Capitolul 1 Ecuaţii Diferenţiale

1.1.Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi

A1. Ecuaţiile diferenţiale de ordinul I au forma generală

( , , ) 0F t x x sau ( , )x f t x

unde funcţia necunoscută este ( ), ( , )x x t t a b . Vom spune că o ecuaţie

diferenţială este integrabilă prin cuadraturi, dacă determinarea soluţiei sale

generale poate fi redusă la calculul unor primitive.

Cea mai simplă ecuaţie diferenţială de ordinul întâi este ( )x f t ,

unde f C I 0 , iar soluţia ei generală va fi x(t) = F(t) + C unde F este o

primitivă a lui f.

A2. Forma canonică a ecuaţiei cu diferenţiale total exacte este

P(t, x)dt + Q(t, x)dx = 0

unde funcţiile P şi Q definite pe D 2 sunt de clasă C1 pe D iar Q 0 pe

D şi P Q

x t

pentru orice (t,x) D, atunci soluţia generală a ecuaţiei

este

0 0

0( , ) ( , ) ,

t x

t x

P u x du Q t u du C C .

Obs. Uneori este posibil ca înmulţind ecuaţia P(t, x)dt + Q(t, x)dx = 0

cu o funcţie u D: R nenulă să obţinem o ecuaţie diferenţială:

(u(t, x) P(t,x)dt + u(t,x) Q(t,x)dx = 0,

care să fie o ecuaţie diferenţială exactă.

Funcţia u mai sus considerată trebuie să verifice condiţia:

( ) ( ), (t,x)

uP uQD

x t

O funcţie având această proprietate se numeşte factor integrant.

A3 Forma canonică a ecuaţiei cu variabile separate este:

x’ = g(t) h(x)

unde g este de clasă C0 pe ,I a b , h este de clasă C1 pe 1 2,J x x şi

h nu se anulează pe J, atunci soluţia generală a ecuaţiei este dată de

expresia:

8

0 0

0 0, , ,

x t

x t

dug s ds C C t x

h u

A4 Forma canonică a ecuaţiilor omogene este:

'x

x gt

,

unde g este o funcţie reală continuă definită pe un interval a,bI R .

Prin schimbarea de funcţie ( )x t

u tt

ecuaţia omogenă

devine o ecuaţie cu variabile separate 1

u g u ut

.

A5 Forma canonică a ecuaţiilor diferenţiale liniare este

'x a t x b t ,

unde a, b C I0, I fiind un interval al axei reale.

Când funcţia b este identic nulă ecuaţia se numeşte liniară şi

omogenă, iar când b nu este identic nulă ecuaţia se numeşte liniară şi

neomogenă.

În prima etapă se presupune b(t) = 0 şi se integrează ecuaţia liniară şi

omogenă asociată ecuaţiei 'x ax .

Această ecuaţie este cu variabile separate, de unde rezultă imediat

soluţia ei generală ca fiind dată de 0

( )

,

t

t

a u du

x t c e c

În a doua etapa se presupune că b(t) 0 şi vom folosi metoda

variaţiei constantelor pentru a determina o soluţie particulară a ecuaţiei

liniare neomogene. Astfel căutăm o soluţie particulară de forma

0

t

t

a u du

x C t e

(care verifică ecuaţia 'x a t x b t ) de unde obţinem:

0 0 0

t t t

t t t

a u du a u du a u du

c t e c t a t e a t c t e b t

sau

0

t

t

a u du

c t b t e

.

9

de unde prin integrare deducem

0

0

,

s

t

a u dut

t

c t b s e ds K K

.

Deci soluţia particulară are expresia

0 0

0

s t

x t

a u du a u dut

t

x t b s e ds e

.

Soluţia generală a ecuaţiei 'x a t x b t este 0 px x x unde

0x este soluţia ecuaţiei liniare omogene adică

0

0

t

t

a u du

x c e

iar px

este o soluţie particulară(dedusă prin metoda variaţiei constantelor)

adică

0 0

0

s t

x t

a u du a u dut

p

t

x t b s e ds e

.

A6 Forma canonică a ecuaţiei Bernoulli este:

nx P t x Q t x ,

unde n R - {0,1} şi P şi Q sunt funcţii continue pe un interval I R.

Pentru n = 0 ecuaţia este o ecuaţie liniară şi neomogenă, iar pentru

n = 1 este o ecuaţie cu variabile separate.

Integrarea ecuaţiei diferenţiale Bernoulli se reduce la integrarea unei

ecuaţii difereaţiale liniare în urma schimbării de variabilă 1 nu x , unde u

este noua funcţie necunoscută.

A7 Forma canonică a ecuaţiei Riccati este:

2 ,x p t x q t x r t

unde p, q, r, sunt funcţii reale continue pe aceleaşi interval I R. Vom

presupune că funcţia p(t) nu este nulă pe I. O ecuaţie Riccati nu se

integrează în general prin cuadraturi aşa cum s-a procedat pentru ecuaţiile

considerate până acum. Dacă se cunoaşte o soluţie particulară px prin

schimbarea de funcţie ( ) ( ) ( )px t x t u t ecuaţia iniţială devine o

ecuaţie de tip Bernoulli de forma 2

1 1u p u q u iar prin schimbarea

de funcţie 1z u obţinem o ecuaţie diferenţială liniară şi neomogenă

de forma 1 1z p z q .

10

1.2. Ecuaţii diferenţiale liniare de ordin superior

B1. Ecuaţia de forma ( ) ( )nx f t

Ecuaţia se poate integra prin n cuadraturi succesive

1

( 1)

1

( 2)

1 2

2 1

1 2 1

( ) ;

( ) ;

............

( ) .... ( ) ....

n

n

C t

n n

n n

x f t dt C

x f t dt dt C dt C

x t f t dt C C x C x C x

B2. Ecuaţii diferenţiale de ordinul n liniare cu coeficienţi constanţi

O ecuaţie diferenţială de forma:

( ) ( 1)

0 1 1 ( )n n

n na x a x a x a x f t

, (*)

se numeşte ecuaţie diferenţială de ordinul n liniară, unde 0, 0ia a se

numesc coeficienţii ecuaţiei, nx C I este funcţia necunoscută,iar funcţia f

se numeşte termenul liber al ecuaţiei.

Dacă f (x)=0 ecuaţia (*) se numeşte liniară şi omogenă, iar dacă

f (x) 0, ecuaţia (*) se numeşte liniară şi neomogenă.

Soluţia generală a ecuaţiei (*) este 0 px x x unde 0x este

soluţia ecuaţiei omogene ataşată ecuaţiei (*) iar px este o soluţie

particulară a ecuaţiei (*).

Polinomul 1

0 1( ) n n

n r nP r a r a r a r a

se numeşte

polinom caracteristic asociat ecuaţiei, iar ecuaţia P(r)=0 se numeşte

ecuaţia caracteristică ataşată ecuaţiei omogene (*).

Avem următoarele cazuri:

i)Dacă ( ) 0P r are rădăcinile reale 1 2, ,..., nr r r simple atunci un

sistem fundamental de soluţii reale este: 1

1( ) ,..., ( ) nr tr t

ny t e y t e ;

ii) Dacă ( ) 0P r are rădăcina reală 1r multiplă de ordin 1m

atunci acestei rădăcini îi corespunde sistemul fundamental de soluţii reale

corespunzător este: 1 1 1 1

1

1

1 2( ) , ( ) .., ( )r t r t m r t

my t e y t te y t t e ;

iii) Dacă ( ) 0P r are rădăcinile complexe conjugate 1,2r a ib

simple atunci acestei perechi de rădăcini îi corespunde două soluţii reale

1 2( ) cos , ( ) sin ;at aty t e bt y t e at

11

iv) Dacă ( ) 0P r are rădăcinile complexe conjugate 1,2r a ib

multiple de ordin 1m atunci acestei perechi de rădăcini îi corespunde 2

1m soluţii reale:

1

1

1

1 1

1

1 2

( ) cos ,..., ( ) cos ;

( ) sin ,..., ( ) sin .

mat at

m

mat at

m m

y t e bt y t t e at

y t e bt y t t e at

Dacă 1{ ,..., }nS y y este sistemul fundamental de soluţii reale

atunci soluţia ecuaţiei omogene este:

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ),cn n ix t c y t c y t c y t .

Pentru a găsi o soluţie particulară px a ecuaţiei neomogene putem

aplica metoda variaţiei constantelor sau metoda coeficienţilor

nedeterminaţi.

Metoda variaţiei constantelor

Dacă y y yn1 2, , , este un sistem fundamental de soluţii al ecuaţiei liniare

şi omogene ataşat ecuaţiei neomogene (*) atunci o soluţie particulară este

dată de :

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),p n nx t c t y t c t y t c t y t t I ,

unde 1 2( ), ( ), , ( )nc t c t c t este o soluţie a sistemului:

1 1

1 1

( 2) ( 2)

1 1

( 1) ( 1)

1 1

0

( ) ( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) ( ) ( ) 0

( )( ) ( ) ( ) ( )

n n

n n

n n

n n

n n

n n

y t c t y t c t

y t c t y t c t

y t c t y t c t

f ty t c t y t c t

a

Metoda coeficienţilor nedeterminaţi.

Dacă membrul drept este de forma ( ) ( ( )cos ( )sin )atf t e P t bt Q t bt

atunci vom căuta soluţia particulară de forma

1 1( ) ( ( )cos ( )sin )k at

px t t e P t bt Q t bt

unde

0, ( ( ) 0

, ( ( ) 0)

dacăa ibnueste rădăcina ecuaţiei caracteristice P rk

m dacăa ib este rădăcina ecuaţiei caracteristice P r deordin m

1 1 max( , )gradP gradQ gradP gradQ s

Polinoamele 1 1,P Q au gradul s cu coeficienţi necunoscuţi.

12

Determinarea coeficienţilor necunoscuţi ai polinoamelor se face

impunând condiţia ca soluţia particulară px să verifice ecuaţia diferenţiala

dată.

Dacă avem ecuaţia diferenţială ( ) ( 1)

0 1 1 ( )n n

n na x a x a x a x f t

iar funcţia f este o sumă de funcţii f f f fs 1 2 atunci pentru fiecare

dintre ecuaţiile ( ) ( 1)

0 1 1 ( ), i 1,2,...,sn n

n n ia x a x a x a x f t

se

cunoaşte o soluţie particulară ypi , atunci funcţia y y y yp p p ps 1 2

este o soluţie a ecuaţiei (*).

1.3. Probleme rezolvate

Ex 1. Să se determine soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale:

(t - x)dt - (t +x)dx = 0.

Soluţie: Avem P(t,x)=t-x, Q(t,x) = -t-x de unde rezultă 1P Q

x t

.

Deci ecuaţia este o ecuaţie diferenţială total exactă de unde soluţia

generală a ecuaţiei este dată de relaţia :

0 0

1

0 0 0

22 2 2 2 2

0 0 00 0

0 0

, , ,

( )

2 2 2 2 2 2

t x

t x

C

u x du t u du C C t x

t xt uu x t x t xC tx C t x

t x

.

Deducem că soluţia generală a ecuaţiei este 2 2

1 1,t tx x C C .

Ex2. Să se integreze ecuaţia diferenţială 2 2' 1 1x x t .

Soluţie: Ecuaţia se scrie sub forma: 2

2( 1)

1

dxt dt

x

.Obţinem soluţia

generală a ecuaţiei 0 0

2

21

1

x t

x t

dus ds C

u

.Dacă luăm 0 0, 0,0t x

şi integrăm, obţinem soluţia generală sub forma: 3

,3

tarctg x t C C .

Ex. 3 Să se integreze ecuaţia 2 3 2( ) (1 ) 0tx x dt tx dx căutând un

factor integrant de forma ( )x .

13

Soluţie: 2 3 2( , ) , ( , ) 1P t x tx x Q t x tx 2 22 3 ;

P Qtx x x

x t

Observăm că P Q

x t

. Vom căuta un factor integrant din relaţia

2 3 2 2( ) ( ) ( ) (2 3 ) ( )P Q tx x tx x xx t

. Astfel deducem

ecuaţia 2

2

2 3

2 2 2ln 2ln

d x tx ddx dx x x

tx x x

.

După înmulţirea ecuaţiei iniţiale cu factorul integrant 2

1

x obţinem

2

1( ) ( ) 0t x dt t dx

x ecuaţie cu diferenţială total exactă:

2

1( , ) ; ( , ) 1

P QP t x t x Q t x t

x x t

.

Soluţia generală a ecuaţiei este

0 0

0 2

2

1( )d

1,

2

t x

t x

u x u tdu Cu

ttx C C

x

Ex 4. Să se integreze ecuaţia diferenţială: 2 sinx x ctgt t t .

Soluţie: Soluţia generală a ecuaţiei este 0 px x x unde

0x este soluţia ecuaţiei omogene ataşate x x ctgt avem

dxctgt dt

x , de unde prin integrare rezultă ln|x| = ln|sin t| + c sau 0x =

1

ln|sint| c

1sin sinc

C

e t e c t

;

px este o soluţie particulară a ecuaţiei diferenţiale iniţiale pe

care o vom determina cu metoda variaţiei constantelor.Deci

1( ) ( )sinpx t c t t (verifică ecuaţia diferenţială 2 sinp px x ctgt t t ) de

unde obţinem 1 2c t t , iar prin integrare deducem 2

1c t t rezultă

că 2( )sinpx t t .

Obţinem astfel soluţia generală a ecuaţiei date: 2

0 1 1sin ( ),cpx x x t c t .

Ex.5 Să se rezolve problema Cauchy

14

ln

(1) 2

tx x t

x

Soluţie: Ecuaţia diferenţială este liniară şi neomogenă adică este de

forma 1

lnx x tt

de unde soluţia generală este 0 px x x unde 0x

este soluţia ecuaţiei omogene 1

x xt

care este de fapt o ecuaţie cu

variabile separate 1

prin integrare obţinem ,dx

dt x ct cx t deci

0( ) ,x t ct c .

Vom căuta soluţia particulară de forma ( ) ( )px t c t t astfel încât

1lnp px x t

t de unde obţinem că

21 ln( ) ( ) ( ) ln ( ) ln prin integrare obţinem ( )

2

tc t t c t c t t c t t c t

t

deci 2ln

2p

tx t . Soluţia generală este

2ln,

2

tx ct t c .

Acestei soluţii generale vom impune condiţia iniţială (1) 2x de unde

obţinem că 2 c deci soluţia problemei Cauchy este 2ln

22

tx t t .

Ex 6. Să se integreze ecuaţia diferenţială :

2 .x xt t x

Soluţie: În acest caz n 1

2 şi facem schimbarea de variabilă

1 11

2 2u x x

.

Atunci avem 1 1 1 1

2 2 2 21 1

22 2 2 2

t tu x x x xt tx t x tu

, adică

funcţia u este soluţie a ecuaţiei:

.2

tu t u

Soluţia generală a ecuaţiei liniare în u este:

2

21

, c2

t

u x c e

de unde rezultă că soluţia generală a ecuaţiei Bernoulli date este:

2 2

21

.2

t

x t c e

Ex.7 Să se determine soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale:

15

2 2 3' 2 1x tx t x t .

Soluţie: Se observă că px t este o soluţie particulară a ecuaţiei date

deoarece 2 2 3 3 3 32 1 1 2 1p p px tx t x t t t t ceea ce este

adevărat. Facem schimbarea de funcţie px x u x t u de unde

deducem ecuaţia diferenţială de tip Bernoulli 2u tu iar prin

schimbarea de funcţie 1z u obţinem ecuaţie diferenţială liniară şi

neomogenă 'z t de unde prin integrare deducem că 2

,2

tz C C . Deci soluţia generală a ecuaţiei este

2

1 1,

2

px x t Ctz

C

.

Ex.8 Să se integreze ecuaţia sinx t

Soluţie: Integrând obţinem (3) (2) (1)

1 1 2

2

1 2 3 1 2 3

sin cos sin

( ) cos , , ,2

x t x t C x t C t C

tx t t C C t C C C C

Ex.9 Să se integreze ecuaţia diferenţială (5) (4) 0tx x .

Soluţie:Facem schimbarea de variabilă (4)x y . Ecuaţia dată devine

10

yty y sau

y t

, de unde rezultă 1y C t . Integrarea ecuaţiei date

se reduce la integrarea ecuaţiei:(4)

1x C t .

Obţinem astfel soluţia generală a ecuaţiei date:

5 3 2

1 2 3 4 5( )120 6 2

t t tx t C C C C t C .

Ex.10 Să se determine soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale:

1

, \sin

x x unde t I kt

R .

Soluţie: Ecuaţia omogenă asociată ecuaţiei date este 0x x care admite

ecuaţia caracteristică 2 1 0r .Rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt i

Sistemul fundamental de soluţii reale este 1 cosy x şi 2 siny x . Soluţia

ecuaţiei omogene este 0 1 2 1 2cos sin , ,x C x C x C C .

Pentru determinarea unei soluţii particulare a ecuaţiei neomogene vom

aplica metoda variaţiei constantelor adică scriem soluţia particulară de

forma 1 2(t)cost C ( )sinpx C t t iar din sistemul

16

1 2

1 2

cos sin 0

1( sin ) cos .

sin

C t C t

C t C tt

De aici rezultă 1 2

cos1,

sin

tC C

t , prin integrare avem 1( )C t t ,

2( ) lnsinC t t . Deci soluţia particulară a ecuaţiei omogene este:

cost sin lnsinpx t t t

Soluţia generală a ecuaţiei neomogene este:

1 2 1 2( ) cost C sint cos sin lnsin , ,x t C t t t t C C .

Ex.11 Să se afle soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale:

(5) (4) 8 8 16 16 0x x x x x x .

Soluţie: Ecuaţia caracteristică asociată este:

r r r r r5 4 3 28 8 16 16 0 .

4 2

4 2

2 2

( 1) 8 ( 1) 16( 1) 0

( 1)( 8 16) 0

( 1)( 4) 0

r r r r r

r r r

r r

Ea admite ca rădăcini pe 1 1 2,3 2 31, 1, 2 , 2r m r i m m . Rezultă că

un sistem fundamental de soluţii al ecuaţiei date este format de funcţiile:

1

2

3

4

5

cos2

cos2

sin 2

cos2

ty e

y t

y t t

y t

y t t

Deci, soluţia generală a ecuaţiei date este:

1 2 3 4 5( ) cos2 cos2 sin2 sin2tx t c e c t c t t c t c t t .

Ex.12 Să se scrie soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale liniare şi

neomogene:

23 2 2 1tx x x e t .

Soluţie: Asociem ecuaţia omogenă 3 2 0x x x a cărei ecuaţie carac-

teristică este r r2 3 2 0 , de unde rezultă soluţiile reale simple r1 1

şi r2 2 .

Soluţia generală a ecuaţiei omogene este: 2

0 1 2 1 2, ,t tx C e C e C C R .

Vom căuta o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene cu ajutorul

coeficienţilor nedeterminaţi.

17

Observăm că membrul drept este de forma 1 2

2

( ) ( )

( ) 2 1t

f t f t

f t e t de aceea

vom cauta soluţia particulară 1 2p p px x x unde

1px este soluţia

particulară a ecuaţiei 23 2 tx x x e , iar 2px este soluţia particulară

a ecuaţiei 3 2 2 1x x x t .

Cum

1

1

2

1

2

1 1

1 0

( ) ( 2, 0, ( ) 1, ( ) 0)

( ( )cos0 ( )sin0 )

t

k t

p

f t e a b P t Q t

x t e P t t Q t t

unde 1 1k (2 este rădăcină a ecuatiei caracteristice de ordin 1),

1 1 max(0,0) 0gradP gradQ

1 1 1 1( ) , ( )P t A Q t B 1

2

1

t

px te A

Vom determina pe 1A astfel încât 1 1 1

23 2 t

p p px x x e .Întradevăr

Avem

1

1

1

2

1

2 2

1 1

2 2

1 1

2

2 3

4 4 1

t

p

t t

p

t t

p

x te A

x e A te A

x e A te A

2 2

1 1 1t tAe e A

Deci 1

2t

px te

Cum

2

2

0

2

0

1 1

1 0

( ) (2 t 1)

( 0, 0, ( ) 2 1, ( ) 0)

( ( )cos0 ( )sin 0 )

t

k t

p

f t e

a b P t t Q t

x t e P t t Q t t

unde 2 0k (0 nu este rădăcină a ecuatiei caracteristice),

1 1 max(1,0) 1gradP gradQ

1 1 2 1 1 2( ) t , ( )P t A A Q t B t B 2 1 2px At A

Vom determina coeficienţii polinoamelor punând condiţia ca soluţia

particulară 2px să verifice ecuaţia 3 2 2 1x x x t adică

2 2 23 2 2 1p p px x x t .Avem

2

1

1

1 2

1

2

3

0 1

p

p

p

x A t A

x A

x

1 1

1 2 1

2 1 2

2 2 12 2 3 2 1

2 3 1 2

A AAt A A t

A A A

Deci 2

2px t

18

Soluţia particulară a ecuaţiei diferenţiale neomogene este

1 2

2 2t

p p px x x te t .

Atunci soluţia generală a ecuaţiei este 2 2

0 1 2 1 22, ,t t t

px x x C e C e te t C C R .

Ex.13. Să se găsească soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale:

cosx x x x t .

Soluţie: Ecuaţia este liniară si neomogenă. Ecuaţia omogenă asociată este

0x x x x a cărei ecuaţiei caracteristică este r r r3 2 1 0 , de

unde rezultă rădăcinile r r i r i1 2 31 , , . Soluţia generală a ecuaţiei

omogene este: 0 1 2 3( ) cos sintx t C e C t C t . Deoarece termenul liber este

de forma 0( ) (1 cos 0 sin )tf t e t t , unde a = 0, b = 1 şi ( ) 1, ( ) 0P t Q t

Vom căuta soluţia particulară de forma 0

1 1( ( )cos ( )sin )k t

px t e P t t Q t t

unde 1k (0 i este rădăcina ecuaţiei caracteristice de ordin 1);

1 1 1 1 1 1max( , ) 0 ( ) , ( )gradP gradQ gradP gradQ P t A Q t B

Deci 1 1( cos sin )px t A t B t verifică ecuaţia cosp p p px x x x t .

Avem

1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

( cos sin ) | 1

( )cos ( )sin |1

(2 )cos ( 2 )sin | 1

( 3 )cos ( 3 )sint |1

p

p

p

p

x t A t B t

x A tB t B tA t

x B tA t A tB t

x A tB t B tA

De unde obţinem că 1 1 1 1( 2 2 )cos ( 2 2 )sin cosA B t B A t t iar prin

identificare obţinem sistemul1 1

1 1

1 1

2 2 1 1

2 2 0 4

A BA B

A B

.

Atunci soluţia particulară este (cos sin )4

p

tx t t iar soluţia generală

a ecuaţiei este

0 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) cos sin (cos sin ), , ,4

t

p

tx t x t x t C e C t C t t t C C C .

19

1.4. Probleme propuse 1. Să se integreze ecuaţiile diferenţiale cu variabile separate:

a) sin lnx t x x ; b) x tx ; c) 2(1 )x t x ; d) 1, 0txx x .

Răspunsuri

a) 2( ) ,x

tg

x t ce c ; b)

2

2( ) ,x

x t ce c ; c) 2

( ) ( ),2

xx t tg c c ;

d) 2( ) 2ln ,x t ct c .

2. Să se integreze ecuaţiile diferenţiale omogene:

a)x

ttx x te ; b) 0tx t x ; c) 2 2

2

t tx xx

t

; d)

2 22txx t x .

Răspunsuri

a) ( ) ln( ln ),x t t c x c ;b) 2

1( ) ( ),

2

cx t t c

x ;

c) ( ) (ln ),x t ttg xc c ; d) 2 2 1( ) (1 ),x t t c

t .

3. Să se rezolve următoarele euaţii cu diferenţială total exactă:

a) 2 24 (2 3 ) 0txdt t x dx ; b) ( ) 0t x dt tdx ;

c) 2 22 (3 3) 0txdt x t dx ştiind că admite un factor integrant ce

depinde numai de ( ( ))x x ;

d) 2 2( 3 ) 2 0t x dt txdx ştiind că admite un factor integrant ce

depinde numai de ( ( ))t t .

Răspunsuri

a)2 32 ,t x x C C ; b) 2 2 ,t tx C C ;c)

2

1( )x

x ;d) 4( )t t

4. Să se rezolve ecuaţiile liniare de ordinul I:

a) 2 sinx xctgt t t ; b) 222 2 tx tx te ;

c) (1) 2

ttx x e

x

; d)

2 2(2 1) 2 1

(1) 0

tx t x t

x

.

Răspunsuri

a) 2( ) sin sin ,x t c t t t c ; b) 2 22( ) ,x xx t ce e c ;

5. Să se rezolve următoarele ecuaţii Bernoulli respectiv Riccati:

a) 24 2tx x t x ; b) 2cos cos

(0) 1

x x t x t

x

;

c) 2 2 (2 1) 1tx t x t x ştiind că soluţia particulară este de forma

( )part

ax t

t ;

20

d) 2(2 1) (4 1) 4 0t t x t x t x ştiind că soluţia particulară este

de forma ( ) 2partx t t .

Răspunsuri

b)sin

1( )

2 1tx t

e

;c) soluţia particulară este

1( )partx t

t iar soluţia

generală este 2

1 2( ) ,x t c c

t t ; d)

1 2( ) 2 1 ,

tx t t c

ct

.

6. Să se integreze ecuaţiile diferenţiale liniare şi omogene de ordin

superior cu coeficienţi constanţi:

a) 2 3 0x x x ; b) 2 0x x x ; c) 2 2 0x x x ;

d) 4 6 0x x x x ; e) 0x x x x ; f) 6 12 8 0x x x x .

Răspunsuri

a) 3

1 2 1 2( ) , ,t tx t C e C e C C ; b) 1 2 1 2( ) ( ) , ,tx t C t C e C C ;

c) 1 2 1 2( ) ( cos sin ), ,tx t e C t C t C C ;

d) 2 3

1 2 3 1 2 3( ) , , ,t t tx t C e C e C e C C C ;

e) 1 2 3 1 2 3( ) cos sin , , ,tx t C e C t C t C C C ;

f) 2 2

1 2 3 1 2 3( ) ( ) , , ,tx t C t C t C e C C C .

7. Să se integreze ecuaţiile diferenţiale liniare şi neomogene de ordin

superior cu coeficienţi constanţi:

a) 4

4sin 2

x xt

; b) 2 22 2 4 ( 1)xx x x e x x ; c)

23 1x x t ;

d) tx x te ; e)

(4) 2 cosx x x t ; f) 4 sin2x x t t .

Răspunsuri

a) 1 2 1 2( ) cos2 sin2 cos ln | ( ) |, ,2 4

xx t C t C t t tg C C

;

b) 2

1 2 1 2( ) ( cos sint) , ,t xx t C t C e e C C ;

c) 4 3 2

3

1 2 3 1 2 3

11( ) , , ,

36 27 54

t t t tx t C C t C e C C C ;

d) 2

1 2 1 2( ) , ,4

t t tt tx t C e C e e C C

;

e) 1 2 3 4 1 2 3 4

1( ) ( ) ( ) cos , , , ,

4

t tx t C C t e C C t e t C C C C ;

f) 2 2

1 2 1 2( ) cos2 sin 2 cos2 sin 2 , ,8 16

t tx t C t C t t t C C .