1

MATEMATICI PENTRU ECONOMIŞTI 1 Tema nr. 1

1. Noţiuni recapitulative 1.1. Matrici Fie K un corp (comutativ) şi fie M = {1, 2, ..., m} şi N = {1, 2, ....., n} Vom numi matrice de tip (m, n) o funcţie: A: M × N → K. Notăm A = ( ), ,i j i M j N

a∈ ∈

, ,i ja ∈ K şi scriem

A ∈ Mm, n (K) Observaţii: 1. Dacă n = 1 atunci A ∈ Mm, 1 (K) se numeşte matrice coloană.

Exemple: A ∈ M2, 1 (R) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

32

A

B ∈ M3, 1 (Z) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

211

B

2. Dacă m=1 atunci A ∈ M1, n (K) se numeşte matrice linie Exemple: A ∈ M1, 2 (R) ( )3 2A= B ∈ M1, 3 (R) B = ( 1 0 -5) 3. Dacă m = n atunci A ∈ Mn (K) se numeşte matrice pătratică

Exemple: A ∈ M2 (K) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=3201

A

B ∈ M3 (K) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=

234127501

B

Operaţii: 1. Fie A, B ∈ Mm, n (K) atunci matricea sumă C ∈ Mm, n (K) C = ( ), ,i j i M j N

c∈ ∈

astfel încât , , ,i j i j i jc a b= +

Proprietăţi: 1) comutativitate: A + B = B + A, ∀ A, B ∈ Mm, n (K) 2) asocialivitate: (A + B) + C = A + (B + C), ∀ A, B, C, ∈ Mm, n (K) 3) element neutru: A + Om, n = Om, n + A = A, ∀ A ∈ Mn, n (K)

unde Om, n este matricea nulă (matricea cu toate elementele nule). 4) element opus: A + (-A) = (-A) + A = Om, n ∀ A ∈ Mn, n (K) unde – A = (-aij) i∈M, j∈N 2. Fie A ∈ Mn, n (K) şi B ∈ Mn, p (K) atunci matricea produs

2

C = A × B unde , i,k j,k a b i kc = ⋅∑ ∀ j ∈ N Proprietăţi: 1) asociativitate: A(BC) = (A B) C ∀ A ∈ Mm, n (K), B∈ Mn, p (K) C ∈ Mp, k (K) 2) element neutru: (∀) A ∈ Mn (K) (∃) In ∈ Mn (K) a ↑ A ⋅ In = In ⋅ A = A unde

1 00 1nI⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

3) distributivitatea inmultirii faţă de adunare: A (B + C) = AB + AC ∀ A ∈ Mm, n (K), B, C ∈ Mn, p (K) 3) Fie α∈ K şi A ∈ Mm, n (K) atunci α ⋅ A = (α aij)i ∈ M, j ∈ N 4) Transpusa unei matrici A∈ Mm, n (K) este A ∈ Mn, m (K) aji = aji (∀)i, j. Proprietăţi: 1) t(A+B) = tA + tB 2) t(A⋅B) = tB ⋅ tA 3) t(αA) = α tA 1.2. Determinanţi Definiţie: Fie A ∈ Mn (R), R – inel. Elementul din inelul R : det )n(nT)1(15

STa.....a)(A

n

ΤΣ=∑∈

unde Sn este mulţimea permutărilor de grad n, Σ (T) singulară permutării T se numeşte determinantul asociat matricii A.

Observaţii: 1) noţiunea de determinant pentru o matrice are sens doar dacă este pătratică 2) matricea este o funcţie iar determinantul este un număr

3) în dezvoltarea determinantului există 2!n termeni pozitivi şi tot atâţia

negativi 4) dacă n = 1 atunci det A = a11 Calculul determinanţilor:

1) Fie A ∈ M2 (R) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2221

1211

aaaa

A atunci det A = a11 ⋅ a22 – a12 ⋅ a21

2) Fie A ∈ M3 (R) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A atunci

det A = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13 – a13 a22 a31 – a23 a32 a11 – a12 a21 a33 3) având ordinul matricii n ≥ 4, calculul determinanţilor se face prin

dezvoltarea pe linie (sau pe coloană) astfel: d = ai1 δi1 + ..... + ain δin şi se numeşte dezvoltarea determinantului pe linia i

unde δij = (-1)i+j dij se numeşte complement algebric iar dij se numeşte minorul asociat elementului aij (se obţine din determinantul iniţial suprimând linia i şi coloana j).

Dezvoltarea determinantului după coloana j este următoarea:

3

d = aij δij + a2j δ2j + .... + anj δnj Proprietăţi: det (A ⋅ B) = det A ⋅ det B formula obişnuită după formula lui

Binet-Cauchy. Definiţie: A ∈ Mn (R) este inversabilă dacă (∃) B ∈ Mn (R) astfel încât A ⋅ B = B ⋅ A = In. si notăm: B = (A)-1

Teoremă : A ∈ Mn (R) este inversabilă ⇔ det A ≠ 0 1.2. Rangul unei matrici În cele ce urmează considerăm matricei cu elemente dintr-un corp (comulativ).

Fie A = (aij) ∈ M(m, n, t). Fie şirurile 1 ≤ i1 < i2 < ... < ip ≤ m şi 1 ≤ j1 < j2 < ... < j2 ≤ n Astfel putem construi o submatrice a matricii A de tip pxq

1 1 1

1

q

p p q

i j i j

i j i j

a a

a a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Observaţii – putem construi q

npm CC × submatrici cu p linii şi q coloane

Definiţie: Vom numi minor de ordin p determinantul unei submatrici de tipul p × p a lui A. Definiţie: Rangul unei matrici A e o valoare r > 0 cu următoarele proprietăţi: a) există un minor de ordin r nenul b) oricare alt minor de ordin mai mare ca r este nul Observaţii: 1) Dacă A = 0m, n atunci rang A = 0 2) 0 ≤ r ≤ min (m, n) 3) rang A = rangt A 4) rangul unei matrici nu se schimbă dacă permutăm 2 linii (sau coloane) 5) rangul unei matrici nu se schimbă dacă înmulţim o linie (sau o coloană) cu

un scalar nenul din K 6) Rang A = r dacă şi numai dacă există un minor de ordin r nenul şi toţi

minorii de ordin (r+1) sunt nuli 7) Rangul unei matrici nu se schimbă dacă adunăm la o linie (sau coloană)

elementele altei linii înmulţite cu un scalar din K 1.4. Sisteme de ecuaţii liniare Un sistem de m-ecuaţii cu n-necunoscute x1, x2, ..., xn se scrie sub forma:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

=+++=+++

mnmn22m11m

2nn2222121

1nn1212111

bxaxaxa...........................

bxaxaxabxaxaxa

Κ

ΚΚ

unde aij, bj∈ R n1,j , m,1i ==

sau putem scrie acest sistem sub formă matriceală:

4

∑=

=n

1jijij bxa , m,1i = ⇔ A ⋅ X = b unde

( )n,1jm,1iijaA

=== ,

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

n

2

1

x

xx

XΜ

şi

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

m

2

1

b

bb

bΜ

A se numeşte matricea coeficienţilor b – matricea (sau coloana) termenilor liberi X – matricea necunoscutelor Studiul sistemelor, aflarea rangului unei matrici, rezolvarea ecuaţiilor

matriceale, cât şi aflarea inversei unei matrici se pot afla prin „Metoda lui Gauss-Jordan”sau metoda pivotului.

1.6. Metoda lui Gauss-Jordan Această metodă constă în transformări elementare succesive ale sistemului

într-un sistem echivalent, care va elimina pe rând câte o variabilă din toate ecuaţiile sistemului cu excepţia unei singure ecuaţii în care coeficientul variabilei va fi egal cu unitatea.

Calculul unui sistem echivalent se obţine astfel: linia întâi se împarte prin elementul a11 ≠ 0, a11 se numeşte pivot şi se încadrează. Elementele acestei coloane întâi devin zero cu excepţia pivotului care este egal cu unitatea. Celelalte elemente din celelalte linii se calculează formând un dreptunghi ce are ca diagonală segmentul ce uneşte locul elementului de calculat şi pivotul. Noul coeficient va fi egal cu diferenţa dintre produsul coeficienţilor de pe diagonala pivotului şi produsul coeficienţilor de pe cealaltă diagonală, diferenta care se împarte la pivot.

Schematic obţinem:

mmn2m1m

2n22221

1n11211

baaa

baaabaaa

ΛΜΜΜΜ

ΛΛ

12 1 1

22 2 2

2

1 '0 '

n

n

m mn m

a a ba a b

o a a b

′ ′′ ′

′ ′ ′

LL

M M M ML

unde n1,j aa

a11

ijij ==′

5

11 1 1

11

ij j iij

a a a aa

a−

′ = m,2i = n,1j =

11

1i1i11i a

babab −=′ m,2i =

11

11 a

bb =′

În mod similar, în etapele următoare se obţin sisteme echivalente cu sistemul iniţial.

PROBLEME REZOLVATE Pb. 1. Să se afle soluţiile următorului sistem:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=++−=++

=++=++

14z3y3x27z5yx

5zy3x2zyx2

2 1 1 21 3 1 51 1 5 72 3 3 14

1 1 2 1 2 10 5 2 1 2 40 1 2 9 2 80 2 4 12

1 0 2 5 1 50 1 1 5 8 50 0 22 5 44 50 0 22 5 44 5

1 0 0 10 1 0 20 0 1 20 0 0 0

−−

−−

−−

−

x = 1 y = 2 z = –2 Se observă că sistemul este compatibil determinat (soluţia obţinută este unică)

aşadar rang A =3 sau putem citi foarte uşor din ultimul tabel câte numere de 1 au obţinut.

6

Pb. 2. Să se rezolve următorul sistem şi se afle şi inversa matricii sistemului.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++−=+

=−+

2zy3x22z2y

1zy2x3

5145315210051856154010

3111001314135323500

20102103503231350134103235350201021031003131321

21001322010210

1001123bIA 3

−−−−

−−−−−

−−−

−−

−

−−

Soluţiile sistemului se citesc din ultimul tabel, în dreptul coloanei b: x = –3 y = 18/5 z = –14/5 Inversa matricii sistemului A se rotează A-1 şi o citim din ultimul tabel, în

dreptul matricii A

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−=−

5315256154111

A 1

Sistemul este compatibil determinat (se observă că avem soluţie şi ea este

unică) şi atunci obligatoriu rang A = 3. Asta se observă foarte uşor citind câte elemente de 1 am obţinut în ultimul tabel, în dreptul matricii A.

Pb. 3. Să se rezolve ecuaţia matriceală A ⋅ X = B unde

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

0112

A şi ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

102113

B

7

3111010201232121210212123211

1020111312

BA

−

−−−

−−

Ca şi în rezolvările anterioare situaţia sistemului se citeşte din ultimul tabel, în

dreptul matricii B. Soluţia matriceală este:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=311102

X

Probleme propuse spre rezolvare: 1) Să se rezolve următorul sistem de ecuaţii şi să se precizeze rangul matricii

sistemului:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+=++−

=++=+−+

1t-zy 3tzyx3

1z2yx2tzy2x

2) Fie matricea ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−=−

8104116171565

8171281A 1 . Să se afle matricea A care admite

ca inversă pe A-1. 3) Să se rezolve următorul sistem şi apoi să se afle inversa matricii sistemului.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=+=−+

2z3y2x-22zy 1zy2x3