Matematici financiare

7/18/2019 Matematici financiare

http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 1/49

I . E L E M E N T E D E M A T E M A T I C I

F I N A N C I A R E

Introducere

Matematicile financiare studiază proprietăţile şi relaţiile matematice dintrediferitele concepte şi elemente întâlnite în studierea structurii şi funcţionării pieţe-lor monetar-financiare şi valutare, în analiza proceselor inflaţioniste, a investiţiilorşi a altor fenomene şi activităţi economice.

Activităţile economice necesită utilizarea unui activ special ⎯ banul

(moneda) ⎯ care în baza unei convenţii general acceptate este folosit ca mijloc demăsurare a activităţii economice, ca etalon al valorii şi ca mijloc de intermediere aschimbului. Banii reprezintă denumirea generică pentru toate felurile de monedă şisemne ale valorii (semne băneşti).

Deşi în limbajul comun curent prin monedă se înţelege banul de metal,moneda reprezintă ansamblul mijloacelor de plată utilizabile în mod direct pentruefectuarea tranzacţiilor pe piaţa bunurilor şi serviciilor, deci este denumirea dată pentru toate semnele băneşti, indiferent de forma lor de existenţă, de exemplu:

moneda de hârtie (bancnotele emise de Banca Centrală), moneda divizionar ă (moneda confecţionată din aliaj de metale comune, care are o valoare nominală cereprezintă o subdiviziune sau un multiplu al unităţii monetare legale) şi monedascripturală sau moneda de cont (disponibilităţile din conturile bancare).

Aşadar, masa monetar ă (totalitatea monedelor existente într-o economie într-o perioadă dată) este eterogenă. Aceasta poate fi structurată în următoarele active:

a) moneda efectivă (numerarul sau banii cash); b) moneda de cont (se refer ă la disponibilităţile din conturile bancare curente

sau la vedere);c) depozitele la termen (se refer ă la plasamentele f ăcute la bănci, case de eco-

nomii şi alte instituţii financiare, în vederea economisirii şi fructificării sumelor de bani depuse; au un grad de lichiditate mai scăzut decât primele două componente);

d) alte active (diferite titluri aflate în circulaţie pe piaţa financiar ⎯ monetar ă,de exemplu: active pe termen scurt ⎯ cambiile, biletele de trezorerie, biletele laordin; active pe termen lung ⎯ acţiuni, obligaţiuni, titluri de ipotecă; opţiuni şi alteactive derivate.

5



Menţionăm că în cele ce urmează vom utiliza termenii de capital sau decapital bănesc în accepţiunea restrânsă de sumă de bani (o valoare în expresie mo-netar ă). Vom trata dobânda şi regimurile de plasament financiar atât în cazul dis-cret cât şi în cazul continuu. Vom analiza operaţiunea de scontare şi vom deduceformulele de calcul utilizate pentru plăţile eşalonate. Sunt prezentate diferitemetode de rambursare a împrumuturilor, de evaluare a investiţiilor de capital şi demăsurare a riscului aferent unei investiţii financiare în condiţii probabilistice.Expunerea teoretică este însoţită de numeroase exemple şi aplicaţii.

6



1. Dobânda

1.1. Generalităţi

Termenul de dobândă apare spre sfâr şitul Evului Mediu ca alternativă lacel de camătă, care r ămâne cu sensul de dobândă exorbitantă, exagerată,excesivă, ruinătoare. Dobânda este suma de bani plătită de către debitor (celcare se împrumută) creditorului (cel care împrumută) pentru suma de baniîmprumutată. O cerere mare pentru credit în condiţiile unor resurse băneştilimitate constituie cauza unor dobânzi ridicate. Împrumutul (creditul) bănesc

poate fi considerat ca fiind un serviciu f ăcut celui împrumutat, astfel că dobânda poate fi privită ca fiind o remuneraţie (sau remunerare) a acestuiserviciu. Deci, cea mai simplă tranzacţie sau operaţie financiar ă este investirea(plasarea pentru fructificare) unei sume de bani pentru o perioadă de timp.Suma investită iniţial o numim sumă iniţială (valoare iniţială sau capital

principal) iar suma obţinută (desigur mai mare) după perioada de investire onumim sumă finală (sumă revenită, valoare finală sau valoare revenită,valoare acumulată la scadenţă ⎯ adică la momentul respectiv). Putemdescrie aceasta folosind notaţia matematică şi noţiunea de funcţie. Astfel, dacă t este lungimea perioadei de timp pentru care suma iniţială ⎯ notată cusau cu S

( )0S

0 ⎯ a fost investită, vom nota valoarea finală cu ( )t S sau cu S f .

Deocamdată consider ăm că . Funcţia0≥t ( )t S se numeşte funcţie sumă, iar

raportul ( ) ( )

( )0S

t S t a = se numeşte factor (sau funcţie) de acumulare. Avem

şi( ) 10 =a ( ) ( ) ( )t aS t S ⋅= 0 .Se pune întrebarea: Care funcţii pot fi funcţii de acumulare? R ăspunsul

teoretic este că orice funcţie ( )t a cu ( ) 10 =a poate fi o funcţie de acumulare.Evident că apare şi cerinţa practică de a avea o funcţie crescătoare. Dar este eacontinuă? Aici r ăspunsul depinde de situaţia considerată. Astfel, dacă

reprezintă suma datorată la un împrumut după t ani de la luarea lui, atunci poate fi privită ca fiind continuă considerând că dobânda continuă să seacumuleze pentru valori neîntregi ale lui t . Dacă

( )t a

( )t a

( )t a reprezintă suma de banidin contul tău bancar la t ani de la depunerea iniţială (presupunând că nu ai

f ăcut între timp alte depuneri sau retrageri), atunci ( )t a este o funcţie în scar ă,adică se menţine constantă pentru o perioadă de timp şi face un salt ori de câteori dobânda este plătită (introdusă) în cont.

7



În practică, în general, se utilizează trei tipuri de funcţii de acumulare: — primul reprezintă cazul când suma câştigată prin dobândă este aceeaşi în

fiecare an, deci ( )t a este o funcţie liniar ă; — al doilea reprezintă cazul când suma câştigată prin dobândă creşte de la

an la an (cu alte cuvinte dobânda câştigă dobândă sau –altfel zis – dobânda secapitalizează), cea mai des utilizată este curba exponenţială;

— al treilea corespunde cazului menţionat anterior când dobânda este plătită după perioade de timp fixate (lună, an etc.); să observăm că dacă sumacâştigată prin dobândă este constantă pe perioada de timp, atunci salturilefuncţie au aceeaşi înălţime.( )t a

Aşadar, putem defini dobânda ca fiind diferenţa dintre valoarea finală şivaloarea iniţială. Pentru a putea face o analiză mai amănunţită a diferitelorsituaţii financiare, este necesar ă utilizarea unor instrumente matematice mai

bune (în speţă funcţii cu proprietăţi adecvate: monotonie, derivabilitate etc.).

Defini ţ ia 1.1: Numim dobândă corespunzătoare plasării sumei S pe

durata de timp t valoarea D(S , t ) a funcţiei D : [0, +∞) × [0, +∞) → [0, +∞)care îndeplineşte condiţiile

0

0

:a) este strict crescătoare în raport cu fiecare argument; b) D(S , t ) = D(0, t ) = 00 .

Aşadar, dobânda este funcţie (depinde) de suma plasată şi de durata plasa-

mentului, ceea ce justifică exprimarea că dobânda este funcţia D(S , t )0 . Dacă această funcţie este derivabilă în raport cu fiecare argument, atunci condiţia a)din definiţia 1.1 poate fi înlocuită cu:

a′)( )0

0

,0

D S t

S

∂>

∂ şi

( )0 ,0

D S t

t

∂>

∂.

Defini ţ ia 1.2: Numim valoare finală (sumă sau valoare revenită, valoare

acumulată etc.) pentru suma iniţială S plasată pe durata de timp t , valoarea

S (S , t ) a funcţiei S : [0, +∞) × [0, +∞) → [0, +∞) care îndeplineşte condiţiile:

0

0

a) este strict crescătoare în raport cu fiecare argument şi S (S , t )0 este maimare decât S 0; dacă S este derivabilă în raport cu fiecare argument, aceasta

înseamnă că:( )0 ,

0S S t

t

∂>

∂ şi

( )0

0

,1

S S t

S

∂>

∂;

b) S (S , t )0 = S 0, S (0, t ) = 0.

Propozi ţ ia 1.1: Dacă funcţia S (S , t )0 îndeplineşte condiţiile din definiţia 1.2

şi este aditivă şi omogenă în primul argument, atunci D(S , t ) = S (S , t ) − S 0 0 0 este o dobândă corespunzătoare plasării sumei S 0 pe durata de timp t .

8



Demonstra ţ ie: Vom ar ăta că D(S , t )0 îndeplineşte condiţiile din definiţia1.1, adică: D(S , 0) = S (S , 0) − S 0 0 0 = S 0 − S 0 = 0, D(0, t ) = S (0, t ) − 0 = 0.

Fie . Rezultă 't t < ( )t S S ,0 < ( )',0 t S S , deci ( ) ( ) 0000 ',, S t S S S t S S −<− şi

, adică ( ) ( ',, 00 t S Dt S D < ) ( )t S D ,0 este strict crescătoare în t .

Dacă ' atunci00 S S <( ) 0000 ',' S S t S S S −>− ⇒ ( ) ( ) '

0 0 0', ,S S t S S t S S 0− > − ⇒

⇒ ( ) ( )' '0 0 0, ,S S t S S S t S − > − 0 ⇒ ( ) ( )'

0 0, , D S t D S t > ,

deci este strict crescătoare în S ( t S D ,0 ) 0. ■

Defini ţ ia 1.3: Dacă t = 1 an şi S 0 = 100 unităţi monetare, atunci dobândacorespunzătoare se numeşte procent, notat cu p, iar pentru t = 1 an şi S 0 = 1 uni-

tate monetar ă dobânda corespunzătoare se numeşte dobândă unitară anuală sau rată anuală efectivă a dobânzii, notată cu i.

Are loc relaţia: i p ⋅= 100 .În practica operaţiunilor bancare pentru procedurile de calcul se folosesc

frecvent trei convenţii privind aşa numitul an bancar:• în procedura germană, anul bancar are 360 de zile, iar luna bancar ă are

30 de zile;• în procedura franceză, anul bancar are 360 de zile, iar luna bancar ă

coincide cu luna calendaristică;• în procedura engleză, anul bancar are 365 de zile, iar luna bancar ă

coincide cu luna calendaristică.Să menţionăm şi legătura dintre dobânda unitar ă anuală şi funcţia de acu-

mulare: ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

1 11,1 1 1 1

0 0

S S S i D a

S S

−= = − = − =

0.

Deci i apare ca fiind suma câştigată prin dobândă într-un an împăr ţită la su-ma investită iniţial, ceea ce justifică folosirea pentru i a sintagmelor: „rată

anuală efectivă” şi „rată anuală” a dobânzii. Putem să generalizăm puţin şi să definim rata efectivă a dobânzii în al n-lea an:

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )( )1

1

0

10

1

0

1

1

−−−

=−

−−

=−

−−=

na

nana

S

nS

S

nS

S

nS

nS

nS nS in .

Evident, avem ii =1 . După modelul ratei anuale putem calcula şi rate core-

spunzătoare altor perioade de timp. De asemenea, să remarcăm că, dacă perioa-dele avute în vedere sunt plasate undeva în timp, atunci se impune considerarea

9



dependenţei de timp (mai precis de momentul respectiv) a ratei dobânzii,vorbim deci de ( ) ( )t it i n, etc. Dar despre acestea vom discuta mai târziu.

Să presupunem acum că suma S 0 plasată pe duratele de timp t şi dă valorile finale şi

dt t +( )t S S ,0 ( )dt t S S +,0 a căror variaţie este propor ţională cu va-

riaţia timpului, iar factorul de propor ţionalitate este funcţie de S 0 şi t şi îl notămcu ( )0 ,S t ϕ . Deci ( ) ( ) ( )0 0 0, ,S S t dt S S t S t dt ,+ − = ϕ ⋅ , unde ( )0 , 0S t ϕ ≥ .

Rezultă:( ) ( )

( )0 00

0

, ,lim ,dt

S S t dt S S t S t

dt →

+ −= ϕ

Aşadar, valoarea finală ( )t S S ,0 este soluţia ecuaţiei diferenţiale de ordinul

întâi:( )

( ) (00

,, 1.1

S S t S t

t

∂= ϕ

∂ )

dt )

cu condiţiile: i) S (S , 0) = S 0 0 şi S (0, t ) = 0;ii) S (1, 1) = 1 + i.Integrând ecuaţia (1.1) şi folosind condiţiile i) şi ii), obţinem:

( ) ( ) ( )1

0

1, 1 1, 0 1,S S t − = ϕ∫ , de unde rezultă ( ) (1

0

1, 1.2i t dt = ϕ∫

Cum din propoziţia 1.1 avem( ) ( )0 , , D S t S S t

t t

∂ ∂=

∂ ∂0 , obţinem relaţia:

( ) ( ) (00, , 1.3 D S t S t

t ∂ = ϕ∂ )

cu condiţiile: d1) D(S , 0) = 00 şi D(0, t ) = 0;d2) D(1, 1) = 1.

Exemple de calcul:

1. Pentru funcţia de acumulare ( ) 15 2 +⋅= t t a vrem să calculăm rateleefective ale dobânzii: i şi in, în particular, i5.

Solu ţ ie: Avem ( ) 5111511

2

=−+⋅=−= ai ,( )

( ) 6105

510

115

11515

)1(

)1()(22

22

+⋅−⋅+⋅

=+−⋅

−−⋅−+⋅=

−−−

=nn

n

n

nn

na

nanain ,

679,081

55

651055

551025 ≈=

+⋅−⋅+⋅

=i .

2. Să calculăm dobânda unitar ă anuală şi dobânda ( )t S D ,0 pentru factorul

de propor ţionalitate:

a) ( )0 01,

1S t S

t ϕ = ⋅

+; b) ( ) ( )

3

0 0, 1S t S t ϕ = ⋅ + .

10



Solu ţ ie: a) Avem ( ) ( ) 693,02ln1ln1

1,1

1

0

1

0

1

0

≈=+=⋅+

== ∫∫ t dt t

dt t i ϕ

Din( )

t S

t

t S D

+⋅=

∂

∂

1

1,0

0 , rezultă ( ) ( ) ( )t S S Dt S D +⋅=− 1ln0,, 000 , deci

( ) ( t S t S D )+⋅= 1ln, 00 (aceasta nu este o formulă uzuală pentru calculul dobân-zii, dar este o formulă posibilă şi chiar vă propun să o comparaţi cu formuleleuzuale pentru procentul p = 69,3 %).

b) ( ) ( )

75,34

15

4

11

1

0

41

0

3 ==+

=+= ∫ t dt t i . Din

( )( )3

00 1,

t S t

t S D+⋅=

∂

∂,

obţinem ( ) ( ) ( )

44

10,, 0

40

00

S t S S Dt S D −

+⋅=− , deci

( ) ( ) ( 2224

, 2200 +⋅+⋅⋅+⋅= t t t t

S t S D ) (credeţi că ar putea fi o camătă?).

1.2. Dobânda simplă

1.2.1. Definire

Defini ţ ia 1.4: Dacă pe întreaga durată de plasare t valoarea considerată încalcul a sumei S 0 nu se modifică, vom spune că avem un proces de dobândă

simplă sau că plasarea sumei S 0 s-a efectuat în regim de dobândă simplă.

Aşadar, în regim de dobândă simplă, avem:

( ) ( )0 0,S t S f t ϕ = ⋅ ,

unde f (t ) ≥ 0, ∀ t ≥ 0.

În condiţiile regimului de dobândă simplă, integrând ecuaţiile (1.1) şi (1.3),

obţinem: şi .

Deci (1.4)

( ) ( ) ( )∫⋅=−t

dx x f S S S t S S 0

000 0,, ( ) ( ) ( )∫⋅=−t

dx x f S S Dt S D0

000 0,,

( ) ( )0 0

0

,t

D S t S f x dx= ⋅ ∫

şi (1.5)( ) ( )0 0

0

, 1t

S S t S f x dx⎛ ⎞

= ⋅ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫Următorul rezultat ne dă formulele uzuale pentru calculul dobânzii şi

sumei finale în regimul de dobândă simplă.

11



Propozi ţ ia 1.2: Dacă f (t ) = i, ∀ t ≥ 0, atunci:( )0 0, D S t S i t = ⋅ ⋅ (1.6)

şi ( ) ( )0 0, 1S S t S i t = ⋅ + ⋅ (1.7)

Demonstra ţ ie: Avem

( ) ( ) t iS xiS dxiS dx x f S t S D t t t

⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅= ∫∫ 000

0

0

0

00 , şi

( ) ( ) ( t iS idxS dx x f S t S S

t t

⋅+⋅=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅= ∫∫ 111, 0

0

0

0

00 ) . ■

Factorul ( ) ( )t it u ⋅+= 1 se numeşte factor de fructificare (sau de acumu-lare). Pentru t = 1 an, acest factor se numeşte factor anual de fructificare (acu-mulare) şi se notează mai simplu cu u, deci iu += 1 .

Factorul ( )t i

t v⋅+

=1

1 se numeşte factor de actualizare, iari

v+

=1

1 este

numit factor anual de actualizare.

Observa ţ ie: Dacă pe durata de plasare a sumei S 0 procentul se modifică (deexemplu: j j i p ⋅= 100 este procentul corespunzător perioadei t j, iar durata de

plasare este ), atunci dobânda cuvenită plasării sumei S ∑=

= j

jt t 1

m

0 în regim de

dobândă simplă este dată de relaţia:

( )0 01

,m

j j

j

D S t S i t =

⎛ ⎞= ⋅ ⋅⎜

⎝ ⎠∑ ⎟ , (1.8)

iar suma finală este calculată cu formula:

( )0 01

, 1m

j j

j

S S t S i t =

⎛ ⎞= ⋅ + ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ . (1.9)

1.2.2. Elementele dobânzii simple

Din relaţiile (1.6), (1.7) şi (1.8) putem deduce prin calcul următoarelemărimi, numite şi elementele dobânzii simple:

1. Valoarea finală (suma finală, suma revenită ş.a.), notată cu S f , este:• ( t iS S f )⋅+⋅= 10 dacă procentul este constant pe durata plasamentului;

• dacă procentul este variabil pe durata plasamentu-

lui , unde

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ ⋅+⋅= ∑

=

m

j

j j f t iS S

1

0 1

∑=

=m

j

jt t 1

j j i p ⋅= 100 este procentul anual corespunzător perioadei t j.

12



2. Valoarea actuală (valoarea sau suma iniţială, capitalul iniţial), notată cu S 0,este dată de relaţia:

• t i

S S

f

⋅+=

10 dacă procentul este constant;

•

∑=

⋅+= m

j

j j

f

t i

S S

1

0

1 dacă procentul se schimbă de m ori pe durata plasamentului.

3. Procentul anual de plasare, notat cu p, şi dobânda unitar ă anuală, notată

cu i sunt date de relaţiile:t S

S S i

f

⋅

−=

0

0 şi p = 100·i.

4. Durata de plasare sau scadenţa, notată cu t , este dată de relaţia:

0

0

S iS S t f

⋅−= .

1.2.3. Operaţiuni echivalente în regim de dobândă

simplă

Să presupunem că deponentul P plasează sumele S 1 , S 2 ,…,S n pe duratelecu procentele anuale corespunzătoare . Vom nota o

astfel de operaţiune multiplă (sau matriceală) cunt t t ,...,, 21 n p p p ,...,, 21

n j j j j t pS A,1

,,=

= , iar

dobânda corespunzătoare cu ( ) A D . Deci .( ) ∑=

⋅⋅=n

j

j j j t iS A D1

Defini ţ ia 1.5: Spunem că operaţiunile matriceale ( )nk k k k t pS A ,1,, == şi

( )m j j j j t pS B

,1,,

== ''' sunt echivalente în regim de dobândă simplă dacă

, adică dacă aduc aceeaşi dobândă. Se notează ( ) ( ) B D A D = BS D ..~ .

Defini ţ ia 1.6: Două operaţiuni echivalente se numesc substituibile, iar dacă B substituie pe A, atunci elementele lui B se numesc elemente înlocuitoare.

Prezintă interes două cazuri:1. Când A se înlocuieşte (se substituie) cu B de acelaşi tip dar având o

componentă constantă (componentă numită element mediu înlocuitor sauvaloare medie înlocuitoare);

2. Când A se înlocuieşte cu o operaţiune unică în care două elemente suntdate şi al treilea, numit element unic înlocuitor, se determină.

13



Elementele medii înlocuitoare pentru operaţiunea ( )nk k k k t pS A ,1,, == :

a) Suma medie înlocuitoare: Din ( )nk k k t pS B ,1,, == şi B

S D ..~ , rezultă

1

1

1

n

k k k nk

k k nk

k k

k

S i t

S S

i t

=

=

=

⋅ ⋅

= = α⋅

∑∑

∑⋅ , unde

1

k k k n

k k

k

i t

i t =

⋅α =⋅∑

. Cum 0k α > şi ,

suma medie înlocuitoare S este o combinaţie liniar convexă a sumelor S

1

1n

k

k =α =∑

k .

b) Scaden ţ a medie înlocuitoare: Din ( )nk k k t pS B ,1,, == şi B

S D ..~ , rezultă

1

1

1

n

k k k nk

k k nk

k k

k

S i t

t t S i

=

=

=

⋅ ⋅

= = β ⋅⋅

∑

∑∑ , unde1

k k

k n

k k

k

S i

S i=

⋅

β = ⋅∑ şi 1 1

n

k k = β =∑ .

c) Procentul mediu înlocuitor: Din ( )nk k k t pS B ,1,, == şi B

S D ..~ , rezultă

1

1

1

n

k k k nk

k k nk

k k

k

S p t

p p

S t

=

=

=

⋅ ⋅= =

⋅

∑∑

∑γ ⋅ , unde

1

k k k n

k k

k

S t

S t

=

⋅γ =

⋅∑ şi .

1

1n

k

k =

γ =∑

Aşadar, elementele medii înlocuitoare sunt combinaţii liniar convexe aleelementelor înlocuitoare.

Elementele unice (sau comune) înlocuitoare pentru substituirea opera-ţiunii ( )

nk k k k t iS A ,1,, == cu operaţiunea unică echivalentă ( )t iS B ,,= :

a) Suma unică sau comună înlocuitoare: ∑=

⋅⋅⋅⋅

=n

k

k k k t iS t i

S 1

1.

b) Scaden ţ a unică sau comună înlocuitoare: ∑=

⋅⋅⋅⋅

=n

k

k k k t iS iS

t 1

1 .

c) Procentul unic sau comun înlocuitor: ∑=

⋅⋅⋅⋅

=n

k

k k k t pS t S

p1

1.

1.3. Dobânda compusă

1.3.1. Definire

14



Defini ţ ia 1.7: Dacă valoarea luată în calcul a sumei plasate S 0 se modifică periodic, pe durata plasamentului, prin adăugarea (sau capitalizarea) dobânziicuvenite pe perioada anterioar ă, spunem că avem un proces de dobândă compusă sau că plasarea sumei S 0 s-a efectuat în regim de dobândă compusă.Aşadar, în regim de dobândă compusă, în relaţia (1.1), factorul de propor-

ţionalitate φ este de forma: ( ) ( ) ( )0 0,S t S S t f t ϕ = ⋅ , unde f (t ) ≥ 0, ∀ t ≥ 0.

Deci( )

( ) (00

,,

S S t S S t f t

t

∂= ⋅

∂ ) (1.10)

şi( )

( ) (00

,,

D S t S S t f t

t

∂= ⋅

∂ ) , (1.11)

cu condiţiile: i) ( ) ( ) 0,0,0, 00 == t S S S S , ii) ( ) iS += 11,1 ,

d1) ( ) ( ) 0,00,0 == t DS D , d2) ( ) i D =1,1 .

Punând (1.10) sub forma

( )

( ) ( )t f

t S S

t

t S S

=∂∂

,

,

0

0

şi integrând pe [0, t ], obţinem

( ) ( )∫==

t t

x dx x f xS S 0

00 ,ln ,( )

( )∫=t

dx x f S

t S S

00

0 ,ln , deci

( )

( )

00 0,

t

x dx

S S t S e

∫

= ⋅ (1.12)

şi (1.13)( ) ( )( )

00 0 0 0, ,

t

f x dx

D S t S S t S S e

⎛ ⎞∫⎜ ⎟

= − = ⋅⎜⎜ ⎟⎝ ⎠

1− ⎟

Propozi ţ ia 1.3: Dacă ( ) ( ) ( ) 0,1ln ≥∀+= t it f , atunci:

( ) (0 0, 1 t

S S t S i)= ⋅ + (1.14)

şi ( ) ( )0 0, 1 t D S t S i 1⎡ ⎤= ⋅ + −⎣ ⎦ (1.15)

Demonstra ţ ie: Avem

( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )ln 1

ln 1 ln 10 00 0 0 0 0 0, 1

t t

f x dx i dxt t i t i

S S t S e S e S e S e S i

++ ⋅ +

∫ ∫= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ +

şi

( )

( )

( )[ ]111, 00

00 −+⋅=⎟⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

∫

⋅= t

t

dx x f

iS eS t S D ■

15



Propoziţia de mai sus ne dă formulele uzuale pentru calculul sumei finaleşi al dobânzii în regimul de dobândă compusă. Expresia ( ) ( it f + )= 1ln se

numeşte dobând ă unitar ă instantanee şi va fi notată cu δ, deci ( )ln 1 iδ = + .

Expresia se numeşte factor de fructificare (acumulare) în cazul reg-

imului de dobândă compusă. Analog, expresia

( ) ( )t it u += 1

( )( )t

it v

+=

11 constituie factorul

de actualizare. Pentru t = 1 an se obţin factorii anuali: iu += 1 şii

v+

=1

1.

Observa ţ ie: În regimul de dobândă compusă, dacă , iar corespun-

zător perioadei de timp t

∑=

=n

k

k t t 1

k se utilizează procentul anual pk = 100·ik în regim de

dobândă compusă (de regulă când t k reprezintă un număr de ani), atunci sumafinală va fi dată de relaţia:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 16.1,1111,1

0210021 ∏

=

+⋅=+⋅⋅⋅+⋅+⋅=n

k

t

k

t

n

t t k n iS iiiS t S S )

În cazuln

t t t t n ==== 21 , notând cu g media geometrică a factorilor de

fructificare nn iuiu +=+= 1,,1 11 … , adică ( ) ( ) ( )nniii g ++⋅+= 111 21 ,

rezultă .( ) t

g S t S S ⋅= 00 ,Dacă pe perioada t k , plasarea este în regim de dobândă simplă (de regulă,

când t k este sub un an), iar dobânda cuvenită se capitalizează (deci generează dobândă pe perioada ), atunci valoarea finală este dată de relaţia:1+k t

( ) ( ) ( 17.1,1,1

00 ∏=

⋅+⋅=n

k

k k t iS t S S )

Revenind la formula (1.14) care dă suma finală în cazul plasamentului înregim de dobândă compusă cu procent constant pe durata t , deci la

, observăm următoarele:( )t

f iS S +⋅= 10

1. Formula poate fi utilizată şi în cazul că t reprezintă un număr de peri-oade de timp diferite de an (de exemplu: luni, trimestre etc.), iar i este dobândaanuală unitar ă corespunzătoare perioadei respective şi evident capitalizareadobânzii se face după fiecare perioadă.

2. Dacă m

t nt m+= , unde n este un număr întreg de perioade (de regulă ani),

iar perioada este împăr ţită în m păr ţi egale, t m fiind un număr întreg de astfel de păr ţi, atunci pentru calculul sumei finale avem aşa numita solu ţ ie ra ţ ional ă:

16



( ) ( )18.1110 ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅+⋅+⋅=

m

t iiS S mn

f

Adică, pentru partea întreagă se foloseşte regimul de dobândă compusă, iar pentru partea fracţionar ă se foloseşte regimul de dobândă simplă.

3. În condiţiile punctului anterior, se poate determina suma finală şi cuformula:

( )0 1 mt n

m f S S i

+= ⋅ + , (1.19)

care constituie aşa numita solu ţ ie comercial ă.

Utilizând variaţia funcţiei ( ) →1,0: f R ( ) ( ) xi xi x f +−⋅+= 11 , se arată

că ( ) m

t m

m

im

t i +≥⋅+ 11 , deci soluţia raţională duce la o dobândă mai mare,

astfel, ea este convenabilă celui care încasează dobânda şi evident soluţiacomercială va fi preferată de cel care plăteşte dobânda.Pentru , notăm cu21 t t < ( )21 , t t A acumularea (sau capitalizarea) la momen-

tul t 2 a unei investiţii de o unitate monetar ă f ăcută la momentul t 1 pe perioada. Deci este valoarea finală a unei unităţi monetare plasată pe

durata t

12 t t − ( 21 , t t A ))2 – t 1. se mai numeşte şi factor de acumulare. În cazul relaţiei

(1.14), funcţia de acumulare este:( 21 , t t A

( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )t

t

iS

iS

S

t S t a +=

+⋅== 10

10

0 .

Observăm legătura acesteia cu dobânda instantanee:

( )( )( )( )

( )

( )

''1

ln 11

t

t

i a t i

a t i

+δ = + = =

+.

Remarcăm că, în cazul particular al acestei funcţii de acumulare, dobândainstantanee este independentă de timp. Ori este de aşteptat ca dobânda instan-

tanee să fie dependentă de momentul respectiv, fapt evidenţiat şi de raportul( )( )t a

t a' dacă ne gândim la funcţii de acumulare arbitrare. De aceea vom defini

dobânda instantanee ca fiind raportul menţionat, deci ( ) ( )

( )

'a t t

a t δ = , unde a(t )

este o funcţie de acumulare oarecare. Dacă notăm cu F (t ) valoarea revenită (nu-mită şi valoare acumulată) la momentul t a unei investiţii de 1 u.m. f ăcută lamomentul t 0 avem ( ) ( )t ak t F ⋅= şi ( ) ( )t t At F ,

0

= .

17



Deci ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )0

0

lim'lim

h

h

a t h a t a t k a t h k a t ht a t a t h k a t

→

→

+ −⋅ + − ⋅

δ = = =⋅ ⋅

=

( ) ( )

( )

( )

( )0

'1

limh

F t h F t F t

h F t F →

+ −

= ⋅ t = .Aşadar, dobânda instantanee este raportul dintre panta creşterii valorii acu-

mulate şi mărimea valorii acumulate la momentul respectiv.

Cum ( ) ( ) 1, 000 == t t At F şi ( ) ( )

( ) ( )(

'ln '

F t t

F t δ = = ) F t

0

, integrând pe [t 0, t ]

obţinem

( ) ( ) ( )0ln ln

t

t F t F t x d − = δ∫ x, deci

( )

( )

0

t

x dx

t F t e

δ∫= sau

( )( )

00 ,

t

x dx

t A t t e

δ∫= . (1.20)

Să observăm că nu am fixat ordinea momentelor t 0 şi t , astfel că, pentrut 0 < t , A(t 0, t ) este factor de fructificare (acumulare, capitalizare), iar pentru t 0 > t , A(t 0, t ) este factor de actualizare. Vom prezenta acum aceste noţiuni într-uncadru mai general.

Fie ( ){ } ( ) I y x y x y x I ≤≤= 0, şi ∈, . Menţionăm că păstr ăm pentrumomentele de timp cerinţa de nenegativitate, deşi, este evident că ea nu esteesenţială, momentul originii putând fi stabilit conform unui sistem de referinţă arbitrar. Notăm cu ( ) y xd , dobânda unitar ă pe intervalul [ x, y] (adică dobânda

corespunzătoare sumei iniţiale de o unitate monetar ă investită ⎯ plasată ⎯ lamomentul iniţial x şi cu scadenţa la momentul y, deci y – x este durata plasamentului). Avem ( ) ( ) y xd y x A ,1, += (1.21)

Presupunând că suma iniţială S x este omogenă, adică fiecărei unităţi

monetare din această sumă îi corespunde în intervalul [ ] y x, aceeaşi dobândă

, vom avea:( y xd , ) ( ) ( ) ( )22.1,,,, y xd S y xS D x x ⋅=

( ) ( ) ( )23.1,,,, y x AS y xS S x x ⋅=

unde este dobânda produsă de suma iniţială S ( y xS D x ,, )

] ) x în intervalul de timp

, iar este suma finală sau revenită la scadenţa y. Menţionăm că

ipoteza de omogenitate a sumelor băneşti a fost utilizată (f ăr ă să fie menţionată

distinct) şi la relaţiile anterioare. Relaţia

[ y x, ( y xS S x ,,

( ) ( ) x

x

S y xS D y xd ,,, = justifică pentru

şi denumirea de rat ă a dobânzii în intervalul( y xd , ) [ ] y x, , iar relaţia (1.23)

18



justifică pentru ( ) y x A , sintagma de factor de fructificare sau de capitalizare,

de unde şi notaţia ( ) y xu , (evident, numai în contextul menţionat, adică pentru

x ≤ y avem ( ) ( ) y x A y xu ,, = ). Privind invers operaţia financiar ă, pornind de la

suma finală (revenită sau capitalul rambursat) la scadenţă ( ) y xS S S x y f ,,= ,

suma S x este numită valoarea actual ă (sau valoarea scontat ă ori anticipat ă) lamomentul x a lui şi este dată de diferenţa dintre viitorul capital şi

scontul aferent lui. Deci y f S y f S

( ) y xS DS S x y f x ,,−= Dar, despre scont vom vorbi

mai mult în paragraful respectiv.

Menţionăm şi că raportul ( ) ( )

( ) y xS S

y xS D y xr

x

x

,,

,,, = este numit rat ă de scont (în

engl. discount rate) sau taxă de scont (ori scont unitar efectiv, rat ă de discont ).

Raportul ( )( ) y xS S

S y xv

x

x

,,, = se numeşte factor de actualizare.

Să observăm că, pentru dobânda unitar ă ( ) ( ) x yi y xd −⋅=, notând yt −= din relaţiile (1.22) şi (1.23) regăsim formulele de calcul (1.6) şi (1.7)

de la regimul de dobândă simplă, iar pentru dobânda unitar ă

regăsim formulele de calcul (1.14) şi (1.15) de la regimulde dobândă compusă. Să reţinem că aceste dobânzi unitare sunt sta ţ ionare,

adică nu depind de situarea în timp a intervalului

( ) ( ) 11, −+= − x yi y xd

[ ] y x, ci depind de lungimeaintervalului. Aşadar, putem vorbi despre dobânda simplă şi dobânda compusă într-un cadru mult mai general.

Defini ţ ia 1.8: Dobânda d : I → R

este simplă dacă, pentru orice x, y, z ∈ Z

cu z y x ≤≤ , se verifică egalitatea: ( ) ( ) ( ) z yd y xd z xd ,,, += .

Defini ţ ia 1.9: Dobânda d : I → R

este compusă dacă, pentru orice x, y, z ∈

Z

cu z y x ≤≤ , se verifică egalitatea:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z yd y xd z yd y xd z xd ,,,,, ⋅++= .

Propozi ţ ia 1.4: Dobânda R → I d : + este compusă dacă şi numai dacă, pentru orice ∈ z y,, R + cu z y ≤≤ , are loc egalitatea:

( ) ( ) ( ) z y A y x A z x A ,,, ⋅= ,unde A este factorul de fructificare (acumulare).

Demonstra ţ ie. Cum ( ) ( ) y xd y x A ,1, += , relaţia ( ) ( ) ( z y A y x A z x A ,,, ⋅ )=

este echivalentă cu ( ) ( )( ) ( )( ) z yd y xd z xd ,1,1,1 +⋅+=+ , deci( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , ,d x z d x y d y z d x y d y z = + + ⋅ , . ■

19



Propozi ţ ia 1.5: Dacă dobânda R → I ds : + este simplă, atunci dobânda

R → I dc : +, unde ( ) ( ) ( ),, 1 , ,dc x y e x y I ds x y= − ∀ ∈ , este compusă.

Demonstra ţ ie: Avem ( ) ( ) ( ) y xdse y xdc y x A,,1, =+= şi

( ) ( ) ( ) ( ) =⋅=⋅ z yds y xdsee z y A y x A

,,,, ( ) ( ) ( ) ( ) z x Aee z xds z yds y xds ,,,, ==+ ,

deci, conform propoziţiei 1.4, dc este o dobândă compusă.

Propozi ţ ia 1.6: Fie R → I d : + o funcţie care admite derivate par ţiale deordinul întâi continue pe I . Atunci d este o dobândă simplă dacă şi numai dacă există o funcţie continuă h: R + R → + astfel încât

( ) ( ) ( ), , , y

xd x y h t dt x y I = ∀ ∈∫ .

Demonstra ţ ie: Fie z t t x +<< , presupunând că d este dobândă simplă,

rezultă: ( ) ( ) ( ) z t t d t xd z t xd ++=+ ,,, ,( ) ( ) ( ) ( ) z

t t d z t t d

z

t xd z t xd ,,,, −+=

−+ .

Trecând la limită cu , obţinem0→ z ( ) (t ht xt

d =

∂ )

∂, , unde ( ) ( t t d t h y ,'= )

iar este derivata par ţială de ordinul întâi a lui d în raport cu a doua varia-

bilă. Integrând pe intervalul [ x, y], rezultă .

' yd

( ) ( ), y

xd x y h t dt = ∫

Reciproc, fie funcţia continuă h astfel încât .( ) ( ), y

xd x y h t dt = ∫

Pentru z y x ≤≤ , avem , deci( ) ( ) ( ) z y z

x x yh t dt h t dt h t dt = +∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) z yd y xd z xd ,,, += ,adică d este o dobândă simplă.

În plus, ( ) ( ) xh y xd x −=,' şi ( ) ( ) yh y xd y =,' , deci există derivatele par ţiale

de ordinul întâi şi sunt continue. ■

Să remarcăm şi faptul că d fiind descrescătoare în primul argument (deri-vata este negativă) şi crescătoare în al doilea argument (derivata este

pozitivă) este în concordanţă cu faptul că

' ' xd yd

21 x x < implică [ x2, y] _ [ x1, y] şi, prin urmare, este natural ca dobânda pe intervalul [ x1, y] să fie mai mare decâtdobânda de pe intervalul [ x2, y], deci ( ) ( ) y xd y xd ,, 21 > . Analog, pentru

avem [ x, y21 y y < 1] _ [ x, y2] şi ( ) ( )21 ,, y xd y xd < .

Ţinând cont de propoziţiile 1.5 şi 1.6, se obţine următorul rezultat privitorla dobânda compusă.

20



Propozi ţ ia 1.7: Funcţia R → I d : + admite derivate par ţiale de ordinul întâicontinue pe I şi este o dobândă compusă dacă şi numai dacă există o funcţiecontinuă h: R + R → + astfel încât:

( ) ( )

( ), 1 , , y

xh t dt

d x y e x y I ∫= − ∀ ∈ .

Demonstra ţ ie: Funcţia R → I ds : + , ( ) ( )( ) y xd y xds ,1ln, += este odobândă simplă deoarece pentru orice z y ≤≤ , avem:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ), , ln 1 , ln 1 ,ds x y ds y z d x y d y z + = + + + =

( )( ) ( )( )ln 1 , 1 ,d x y d y z ⎡ ⎤= + ⋅ + =⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )ln 1 , , , ,d x y d y z d x y d y z = + + + ⋅ =⎡ ⎤⎣ ⎦

( )( ) ( )ln 1 , ,d x z ds x z = + = .

Cum ( ) ( )

( ) y xd

y xd y xds x

x ,1

,,

''

+= şi ( )

( )( ) y xd

y xd y xds

y

y ,1

,,

''

+= , ds are derivate

par ţiale de ordinul întâi continue şi, conform propoziţiei 1.6, există h continuă

astfel încât: . Rezultă ( ) ( ), y

xds x y h t dt = ∫ ( ) ( ) ( ),, 1

y

xh t dt ds x y

d x y e e∫ 1= − = − .

Reciproc, fie funcţia h continuă astfel încât ( ) ( )

, 1 y

xh t dt

d x y e∫= − .

Pentru z y x ≤≤ avem: ,( ) ( ) ( ) z y z

x x yh t dt h t dt h t dt = +∫ ∫ ∫( )

( ) ( ) ( ), 1

y z z

x y x

h t dt h t dt h t dt

d x z e e+∫ ∫∫= − = −1 =

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1

z y z z y y

y y y y x x

h t dt h t dt h t dt h t dt h t dt h t dt

e e e e e e⎛ ⎞ ⎛ ⎞∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫= ⋅ − = − ⋅ − + − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( ), , ,d x y d y z d x y d y z = ⋅ + + , , deci d este o dobândă compusă.

În plus şi , adică există derivatele par ţiale de ordinul întâi şi sunt continue. ■

( ) ( ) ( )' , y

x h t dt xd x y h x e∫= − ⋅ ( ) ( ) ( )' ,

y

x h t dt yd x y h y e∫= ⋅

În cazul în care d este o dobândă staţionar ă, avem ( ) ( ) x yd y xd −= ,0, .

Propozi ţ ia 1.8: Funcţia R → I d : + admite derivate par ţiale de ordinul întâicontinue şi este o dobândă simplă staţionar ă dacă şi numai dacă există oconstantă astfel ca0>i ( ) ( ) ( ) I y x x yi y xd ∈∀−⋅= ,,, .

Demonstra ţ ie: Fie d o dobândă simplă staţionar ă şi z y y +<< . Avem

( ) ( ) ( ) z y yd y xd z y xd ++=+ ,,, ,

21



( ) ( ) ( ) ( )=

−+=

−+ z

y yd z y yd

z

y xd z y xd ,,,, ( ) ( ) z

d z d 0,0,0 −.

Trecând la limită cu , obţinem0→ z ( )

i y

y xd =

∂∂ ,

, unde constanta i este

( 0,0 yd i

∂∂= ) ). Integrând pe [ x, y], rezultă ( ) (, y

xd x y i dt i y x= ⋅ = ⋅ −∫ .

Reciproc, dacă ( ) ( ) ( ) I y x x yi y xd ∈∀−⋅= ,,, , funcţia d admite derivate par ţiale de ordinul întâi continue. Cum, pentru z y ≤≤ , avem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z xd x z i y z i x yi z yd y xd ,,, =−⋅=−⋅+−⋅=+ , rezultă că d este odobândă simplă. Evident, ea este şi staţionar ă. ■

Coroborând acest rezultat cu propoziţiile 1.1 şi 1.2 şi adăugând ipoteza de

omogenitate a sumei S 0, avem unicitatea formulelor de calcul (1.6) şi (1.7) pentru dobânda simplă în ipotezele „naturale”: omogenitatea capitalului,staţionaritatea dobânzii şi monotonia crescătoare a acesteia în raport cucapitalul şi durata.

Propozi ţ ia 1.9: Funcţia R → I d : + admite derivate par ţiale de ordinul întâicontinue şi este o dobândă compusă staţionar ă dacă şi numai dacă există oconstantă astfel ca0>i ( ) ( ) ( ) I y xe y xd ∈∀−= ,,1, . x yi −⋅

Demonstra ţ ie: Pentru implicaţia directă, fie ( ) ( )( ) y xd y xds ,1ln, += .Conform demonstraţiei propoziţiei 1.7, ds este o dobândă simplă. Cum d estestaţionar ă, avem ( ) ( )( ) ( )( ) =−+=+= x yd y xd y xds ,01ln,1ln, ,deci ds este staţionar ă. Conform propoziţiei 1.8, există constanta astfelîncât

( ) x yds −,00>i

( ) ( ) x yi y xds −⋅=, . Aşadar ( ) ( ) ( ) 11, , −=−= −⋅ x yi y xds ee y xd .

Reciproc, dacă există astfel ca0>i ( ) ( ) ( ) I y xe y xd x yi ∈∀−= −⋅ ,,1,

avem ( ) ( ) ( ) ( ) x yi

y

x yi

x ei y xd ei y xd −⋅−⋅ ⋅=⋅−= ,,, '' . Luând ( ) it h = , conform pro-

poziţiei 1.7, d este o dobândă compusă. Evident, d este şi staţionar ă (verifică definiţia dobânzii staţionare). ■

Există şi un aşa numit regim de capitalizare cu dobândă anticipată (re-gim de capitalizare comercială sau hiperbolică). Acesta se obţine conside-rând că variaţia factorului de fructificare ( ) ( )t At u ,0= pe intervalul [t , t + | t ]

este propor ţională cu ( )2 t u , iar factorul de propor ţionalitate este t r Δ⋅ . În acest

caz, ( )1

, 0,1

u t t r t r

1⎡ ⎞= ∀ ∈ ⎟⎢− ⋅ ⎣ ⎠, unde r este rata anuală de scont. Într-adevăr,

22



( ) ( )( )t ur

t

t ut t u

t

2

0lim ⋅=

Δ−Δ+

→Δ,( ) ( ) ( ) t r t ut ut t u Δ⋅⋅=−Δ+ 2 implică

( )( )

r t u

t u=

2

'.

Integrând pe rezultă [ t ,0 ]( )

t r t u

⋅=−1

1 , deci ( )t r

t u⋅−

=1

1.

Revenim la dobânda instantanee ( )t δ şi reamintim legătura ei cu factorul

de acumulare : . Acest factor de acumulare defineşte

aşa numita capitalizare exponenţială (regimul de capitalizare exponenţială sau continuă). Cum regimul de capitalizare compusă (sau regimul de dobândă

compusă) este definit de factorul de acumulare

( ) y x A , ( ) ( )

, y

xt dt

A x y eδ∫=

( ) ( ) x yi y xu

−+= 1, , constatăm că

aceste capitalizări coincid (sunt echivalente) dacă ( ) ( )ln 1t iδ = δ = + .

În concluzie, în modelul de capitalizare exponenţială (continuă), în ipotezaomogenităţii unităţilor monetare, suma finală S fy la scadenţa y şi dobânda produsă de suma iniţială S x în intervalul [ x, y] sunt date de relaţiile:

( ) ( ) ( )

, , , y

xt dt

f y x x xS S S x y S A x y S eδ∫= = ⋅ = ⋅ , (1.24)

( ) ( )

, , 1 y

xt dt

x f y x x D S x y S S S eδ⎛ ⎞∫= − = ⋅ −⎜

⎝ ⎠⎟ . (1.25)

Să menţionăm şi faptul că, deoarece ( ) ( ) ( )

( )0

,

lim ,h

, x t h A x t

t h A x t →

+ −

δ = ⋅ , notaţia

( , ) x t δ ar fi „mai potrivită” pentru dobânda instantanee (în general, se renunţă

la ea considerându-se că momentul iniţial al operaţiunii este momentul zero).Dacă dobânda este staţionar ă, adică dacă ( ) ( ) xt d t xd −= ,0, , atunci avem:

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( )0 0

, , 1 , 1, lim lim

, 1 ,h h

, x t h A x t d x t h d x t x t

h A x t h d x t → →

+ − + + − −δ = =

⋅ ⋅ + =

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )0 0

1 0, 1 0, 0, 0,lim lim0,1 0,h h

d t x h d t x A t x h A t xh A t xh d t x→ →

+ − + − − − − + − −= =⋅ −⋅ + −

=

( ) ( )0,t x t x= δ − = δ − ;

deci, şi „dobânda instantanee este staţionar ă”.De asemenea, menţionăm că unii autori folosesc pentru dobânda instan-

tanee sintagmele: rata instantanee de dobândă, for ţa dobânzii sau intensitatea dobânzii (aceasta pare a fi sintagma cea mai potrivită).

23



Defini ţ ia 1.10: Un regim financiar (de capitalizare) se numeşte scindabil într-un interval de timp T dacă pentru orice T z y x ∈,, cu z y ≤≤ verifică

relaţia: ( ) ( ) ( ) z x A z y A y x A ,,, =⋅ .

Pentru regimul de dobândă simplă, cum ( ) ( ) x yi y x A −⋅+= 1, , rezultă

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( z x A x z i y z x yi x z i z y A y x A ,11,,2

=−⋅+>−⋅−⋅+−⋅+=⋅ ). Aşa-dar, regimul de dobândă simplă nu este scindabil.

Pentru regimul de dobândă compusă, avem: ( ) ( ) x yi y x A

−+= 1, şi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z x Aiii z y A y x A x z y z x y ,111,, =+=+⋅+=⋅ −−− . Deci, regimul de do-

bândă compusă este scindabil.Pentru regimul de dobândă exponenţială, în cazul particular când

( ) ( ), t t δ = δ ∀ x

,

, avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , z y z

y x xt dt t dt t dt

x y A y z e e e A x z δδ δ∫∫ ∫⋅ = ⋅ = = .

Aşadar, regimul de capitalizare exponenţială, în cazul acesta particularcând intensitatea dobânzii este independentă de originea operaţiunii, estescindabil.

1.3.2. Elementele dobânzii compuse

Ca şi în cazul dobânzii compuse, din relaţiile (1.14)÷(1.20), putemdetermina următoarele mărimi numite elemente ale dobânzii compuse:1. Suma final ă ( suma revenit ă, valoarea final ă sau valoarea acumulat ă):

( ) t t

f uS iS S ⋅=+⋅= 00 1 ,

unde este factorul de fructificare anuală, iariu += 1 ( ) ( )t it u += 1 este factorul

global de fructificare (în condiţiile unui procent anual i p ⋅= 100 constant).

Dacă procentele sunt variabile, atunci , unde

, iar este factorul global de fructificare (sau de

acumulare).

( )∏=

+⋅=n

k

k t

k f iS S 1

0 1

∑=

=n

k

k t t 1

( ) ( )∏=

+=n

k

k t

k it u1

1

Dacă procentul este dependent de timp (modelul capitalizării continue),

atunci , unde( )

(00 0 0,

t

x dx

f S S e S A t δ∫= ⋅ = ⋅ ) ( )t δ este dobânda unitar ă

instantanee la momentul t , iar ( )

( )0

0,

t

x dx

A t e

δ∫= este factorul global de

fructificare (acumulare).2. Suma ini ţ ial ă sau valoarea actual ă:

24



( )t

f t f vS i

S S ⋅=+

⋅=1

10 ,

undei

v+

=1

1 este factorul anual de actualizare, iar procentul anual utilizat este

constant.Dacă procentele anuale sunt variabile, atunci:

( )∏

= +⋅=

n

k k t

k

f i

S S 1

01

1, unde

. În cazul capitalizării continue:∑=

=n

k

k t t 1

( )( )0,0

0 t AS dx x

eS S f

t

f ⋅=∫

⋅=− δ

,

unde este factorul de actualizare globală.( )0,t A

3. Procentul de plasare p şi dobânda unitar ă i:

1

0

1t f S i

S ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

, p = 100⋅i.

4. Durata de plasare sau scaden ţ a t :( )i

S S t

f

+

−=

1ln

lnln 0 .

1.3.3. Procente proporţionale, procente echivalente,

procent nominal, procent real sau efectiv

Defini ţ ia 1.11: Procentele p1 şi p2 corespunzătoare perioadelor de timp t 1 şit 2, diferite (an, trimestru etc.) se numesc propor ţ ionale în raport cu aceste peri-

oade dacă 2

2

1

1

t

p

t

p= .

De exemplu, procentul semestrial p s este propor ţional cu procentul anual p dacă , iar procentul trimestrial p s p p ⋅= 2 t este propor ţional cu procentul anual

p dacă t p p ⋅= 4 .Observa ţ ie:

Dacă i este dobânda unitar ă anuală şi i s este dobânda unitar ă se-mestrială, atunci ele sunt propor ţionale dacă sii ⋅= 2 . Plasând în regim de do-

bândă simplă 1 u.m. pe durata de un an, obţinem suma revenită u.m.

dacă folosim procentele propor ţionale

iS a += 1

i p ⋅= 100 şi s s i p ⋅= 100 . Dacă plasarea

s-ar face în regim de dobândă compusă folosind procentul semestrial propor ţional (capitalizarea dobânzii se face semestrial), obţinem suma revenită:

( ) a s s S ii

ii

iS =+>++=⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ +=+= 1

41

211

222 .

25



La plasarea unei unităţi monetare în regim de dobândă compusă, cu capita-lizare trimestrială, cu procentul trimestrial t t i p ⋅= 100 propor ţional cu procen-

tul anual i p ⋅= 100 , suma revenită după un an este:

( ) a st t S iS

ii

iiii

iiS =+>=++>++++=

⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛ +=+= 14

1156168

31

411

243244 .

Aşadar, pentru cel ce primeşte dobânda, există tendinţa de a propunecalculul dobânzii pe perioade cât mai scurte şi capitalizarea ei. Apare astfel problema găsirii unui procent “echivalent” cu procentul anual, în sensul că suma revenită este aceeaşi. De exemplu, pentru procentul trimestrial avem

, deci( ) iit +=+ 11 4 114 −+= iit şi t t i p ⋅= 100 .

Dacă anul este divizat în m fracţiuni egale, atunci procentul

corespunzător fiecărei fracţiuni este echivalent cu procentul anualdacă .

mm i p ⋅= 100

i p ⋅= 100( ) ii m

m +=+ 11

Defini ţ ia 1.12: Procentele p1 şi p2 corespunzând la perioade diferite (an,lună etc.) sunt echivalente dacă pentru aceeaşi durată de plasare a unei sume,conduc la aceeaşi valoare finală.

Considerând două diviziuni ale anului, odată împăr ţit în m1 fracţiuni egaleşi apoi în m2 fracţiuni egale, dacă şi sunt dobânzile unitare corespun-

zătoare acestor fracţiuni de an, atunci ele sunt echivalente dacă:

1mi 2mi

( ) ( )1 2

1 21 1

m m

m mi i+ = + ,

adică, dau aceeaşi sumă finală la plasarea unei unităţi monetare în regim dedobândă compusă pe durata de un an.

Dacă anul este fracţionat în m păr ţi egale, notăm cu jm dobânda unitar ă anuală corespunzătoare fracţionării, adică dobânda unitar ă a fiecărei fracţiuni

de an este

m

jm , iar la plasarea sumei S 0 în regim de dobândă compusă pe durata

de un an, obţinem valoarea finală:

0 1m

m f

jS S

m

⎛ = ⋅ +⎜⎝ ⎠

⎞⎟ . (1.24)

Defini ţ ia 1.13: Operaţiunile de plasare a sumei S 0 pe durata de un an cu procentul anual i p ⋅= 100 şi de plasare, în regim de dobândă compusă, cu

procentul anual corespunzător fracţionării mm j p ⋅= 100 sunt echivalente dacă

( )0 01 1m

m jS i S

m

⎛ ⋅ + = ⋅ +⎜⎝ ⎠

⎞⎟ (1.25)

26



sau ( )1

1 mm j m i 1

⎡ ⎤= ⋅ + −⎢ ⎥⎣ ⎦. (1.26)

Defini ţ ia 1.14: Procentul i p ⋅= 100 se numeşte procent anual real sau

efectiv, iar procentul mm j p ⋅= 100 se numeşte procent anual nominal.Raportul

i

ir

+=

1, reprezentând valoarea actuală a dobânzii unitare anuale,

este numit rată efectivă de scont sau discount.

1.3.4. Operaţiuni echivalente în regim de dobândă

compusă

Vom considera operaţiunile multiple A şi B, reprezentând efectuarea a n1 şirespectiv n2 plăţi de valori finale, deci

( )1,1111 ,,

nk k k k t pS A == ,2,1222 ,,

n j j j j t pS B=

= ,

unde sunt valori finale corespunzătoare procentelor şi scadenţelor

respectiv şi . jk S S 21 ,

k k t p 11 , j p2 jt 2

Defini ţ ia 1.15: Spunem că operaţiunile A şi B sunt echivalente în regim

de dobândă compusă, notând BC D ..~ , dacă ele au aceleaşi valori actuale

totale, adică: . (1.27)( ) ( )1 2

21

1 1 2 21 1

1 1 jk

t t

k k j j

k j

S i S i−−

= =

⋅ + = ⋅ +∑ ∑n n

Avem aceleaşi tipuri de substituiri ca la dobânda simplă:1. Când A se înlocuie cu B de acelaşi tip, dar care are o componentă

constantă numită element mediu înlocuitor sau valoare medie înlocuitoare. De

exemplu, suma medie înlocuitoare este( )

( )

1

2

1 11

21

1

1

k

j

nt

k k

k

nt

j

j

S i

S

i

−

=

−

=

⋅ +=

+∑

∑.

( )t pS B ,,2. Când A se înlocuieşte cu o operaţiune unică = , în care două elemente sunt date, iar al treilea, numit element unic înlocuitor , se determină.

De exemplu, scadenţa unică înlocuitoare este( )

( )

1

1 11

ln 1 ln

ln 1

k

nt

k k

k

S i S

i

−

=

⎡ ⎤⋅ + −⎢ ⎥

⎣ ⎦=

+

∑t .

În general, vom spune că nişte sume (sau operaţiuni financiare) suntechivalente la un moment dat t , dacă valorile lor actualizate la momentul t sunt

27



egale. De exemplu, dacă S k este suma finală la scadenţa (momentul) t k cores-

punzătoare procentului pk , 2,1=k , atunci S 1 şi S 2 sunt echivalente dacă:

( ) ( )1

1

1 21 1t t t t

S S

i i− =

+ + 2

2− , pentru regimul de dobândă compusă;

sau( ) ( )t t i

S

t t i

S

−⋅+=

−⋅+ 22

2

11

1

11, pentru dobânda simplă.

Evident, în cazul regimului de dobândă simplă, momentul echivalării trebuie să fie anterior celor două scadenţe.

Analog, avem şi echivalenţa unor operaţiuni multiple:

— pentru dobânda compusă:( ) ( )1 2

21

1 11 21 1

k j

n m jk

t t t t k jk j

S S

i i− −

= =

=+ +

∑ ∑ ;

— pentru dobânda simplă:( ) ( )

21

1 11 1 2 21 1

n m jk

k jk k j j

S S

i t t i t t = =

=+ ⋅ − + ⋅ −

∑ ∑ .

1.3.5. Devalorizare şi plasament în condiţiiinflaţioniste

Legată de masa monetar ă în circulaţie şi de raporturile acesteia cu cererea

de monedă, inflaţia poate fi considerată un dezechilibru fundamental întreoferta de bani şi cererea de bani, ce se manifestă prin creşterea preţurilor.Astfel, inflaţia este definită ca fiind fenomenul de creştere continuă a preţurilorsau de depreciere continuă a valorii banilor. Există o serie de teorii ale inflaţiei,care îi caută originea pe piaţa for ţei de muncă, încearcă să o explice prin rata decreştere a ofertei de bani sau prin dezvoltarea unei teorii a aşteptărilorinflaţioniste etc. Pe baza lor avem o clasificare şi o terminologie a proceselorinflaţioniste. Astfel, vorbim de infla ţ ie târâtoare dacă preţurile au creşterea sub2-3% anual şi nu se anticipează o inflaţie propriu-zisă; de infla ţ ie deschisă,

când practic economia de piaţă funcţionează ca un mecanism în care preţurilesunt fixe (orice exces de cerere, deci insuficienţă a bunurilor sau a for ţei demuncă, atrage o creştere a preţurilor şi a salariilor); de infla ţ ie reprimat ă, cândcontrolul guvernamental împiedică creşterea preţurilor bunurilor de consum ţi asalariilor (deci excesul de cerere este doar reprimat nu şi redus); de infla ţ iemoderat ă, când creşterea preţurilor este de 5-10% anual; de infla ţ ie galopant ă,când creşterea preţurilor este de peste 15% anual şi deja se creează dezechilibreeconomice; de hiperinfla ţ ie, când nivelul general al preţurilor creşte cu peste50% lunar, deci practic banii îşi pierd funcţia de rezervă de valoare şi, par ţial,chiar şi pe aceea de mijloc de schimb.

i p = ⋅Pentru un plasament cu procentul anual 100 , vom considera că mo-neda se depreciază sau se devalorizează cu un coeficient anual unitar α , adică

28



100 ⋅α este procentul anual de devalorizare. Suma revenită la finele anului, din plasarea sumei iniţiale de 1 u.m. este i+1 , dar în termeni reali (deci

considerând devalorizarea) aceasta este de fapt1

1

i++ α

jq

u.m.

Observăm următoarele:1. Dacă rata devalorizării este mai mică decât rata dobânzii (α < i), atunci

valoarea finală (aici în sensul de „valoare” şi nu de sumă, mărime etc.) a plasării unei u.m. (unităţi monetare) este supraunitar ă, deci plasamentul f ăcutaduce un câştig oarecare.

2. Dacă α = i, atunci câştigul real al plasamentului este nul.3. Dacă α > i, atunci plasamentul este în pierdere, deşi se câştigă în termeni

nominali (suma se măreşte) se pierde în termeni reali (în puterea de cumpărarea sumei respective, „valoarea” sa scade).

Defini ţ ia 1.16: Dacă „se cunoaşte” coeficientul de devalorizare α şi sefoloseşte în mod corespunzător pentru a împiedica pierderea de valoare amonedei, se spune că are loc o devalorizare controlată.

Coeficientul 1 + α se numeşte factor de devalorizare, iar în devalorizareacontrolată, pentru compensarea devalorizării de rată anuală α se utilizează aşanumitul factor de compensare ( factor de anulare a devaloriz ării sau factor de

fructificare aparent ă): 1 + j = (1 + i)⋅(1 + α). În aceste condiţii, j = i + α + i⋅α se numeşte dobând ă anual ă unitar ă aparent ă, iar = ⋅100 se numeşte

procent anual aparent . Menţionăm că neglijarea termenului i⋅α (adică i⋅α ≈ 0)conduce la formulele de calcul întâlnite în unele lucr ări (formule în care ratadobânzii se adună cu rata devalorizării sau, după caz, se scad).

Pentru a atrage depuneri pe un termen minim dat, băncile utilizează diferiteinstrumente financiare, contracte, convenţii etc., care să cointereseze depună-torii. Astfel, un bon de capitalizare este un contract cu primă unică pentru oanumită durată minimă, plătită integral la data rambursării sau cumpăr ării bonului de către emitent. Aşadar, suma este plasată pe durata t cu procentul

anual p dat de: ( )⎩⎨⎧

≥∈=

12

11

pentru,,0 pentru,

t t pt t p p

21 p p

, unde t 1 este durata minimă obliga-

torie a bonului, 0 <≤ , procentele p1 şi p2 fiind constante sau variabile pedurata corespunzătoare, dar cu p2 sensibil superior lui p1.

1.4. Modalităţi echivalente de plată a dobânzilor

29



Vom considera un credit S 0 pe durata t , cu un procent anual ,

pentru care trebuie achitată o dobândă . Vom studia două modalităţi

de plată (implicit şi de calcul) a dobânzilor.

i p ⋅= 100( )t iS D ,,0

( )

( )t iS DS ,,00 +

i p

Defini ţ ia 1.17: Spunem că operaţiunea de creditare (sau de plasament) este

cu dobânda pre-calculat ă sau anticipat ă dacă dobânda se reţine la începutulduratei operaţiunii de creditare din suma S 0. Aşadar, se împrumută efectivsuma şi se rambursează suma S t iS DS ,,00 − 0.

Defini ţ ia 1.18: Spunem că operaţiunea este cu dobând ă post-calculat ă sau posticipat ă dacă dobânda se plăteşte la sfâr şitul duratei operaţiunii împreună cusuma S 0. Aşadar, în acest caz se împrumută efectiv suma S 0 şi se rambursează suma .

Evident, cele două modalităţi difer ă, dar se pune problema echivalenţei lor.Pentru înţelegerea definiţiei acesteia să ne imaginăm ca fiind posibilă urmă-toarea situaţie: un partener al băncii să ia un credit cu dobândă pre-calculată (procent ⋅= 100

jq ⋅= 100

i p

), cu suma respectivă să constituie, la aceeaşi bancă, un depozit pe aceeaşi durată de timp, operaţiune cu dobândă post-calculată cu pro-centul , urmând ca la scadenţa comună, din suma revenită la depozitsă achite creditul S 0 şi să obţină şi un anume câştig.

Defini ţ ia 1.19: Spunem că procentele anuale = ⋅100 j

(al dobânzii pre-cal-culate) şi q ⋅= 100 (al dobânzii post-calculate) sunt echivalente dacă verifică:

( )[ ] ( ) 00 1 S t jS 0 ,, t iS D , pentru regimul de dobândă simplă ⋅− + ⋅ =

sau [ ( )] ( ) 01,, S jt iS DS t =+⋅− , în cazul dobânzii compuse. 00

Vom spune că cele două modalităţi de plată a dobânzilor (pre- şi post-calculate) sunt echivalente dacă procentele de pre-calcul şi post-calcul utilizatesunt echivalente, în sensul definiţiei anterioare.

Propozi ţ ia 1.10: Între dobânzile unitare anuale echivalente de pre-calcul i şi de post-calcul j există relaţia:

— pentru dobânda simplă: j

i1 j t

=+ ⋅

( )

; (1.27)

1

2 1 1t t i j

−⎡ ⎤ — pentru dobânda compusă: = + + −⎣ ⎦ . (1.28)

( ) t iS t iS D Demonstra ţ ie: Pentru dobânda simplă, cum = ⋅ ⋅00 ,, rezultă:

( )( ) ( )00 1 S t jt iS S ,⋅⋅− ⋅ + ⋅ = 0 0

2

0 1 S t jit it jS =⋅⋅−⋅−⋅+( ) 01

şi=⋅+⋅− t ji j , deci

t j

ji

⋅+=

1.

30



( ) ( )00 1,, S iS t iS t −+⋅=Pentru dobânda compusă, 0 D

( ){

, implică

} ( )0 0 01 1 1t t

S S i j S ⎡ ⎤− ⋅ + − ⋅ + =⎣ ⎦ ( ),( )t

j

1t i

+=+−

112 ( )( )

1

2 1 1t t j

−i, deci − + − .■ =

În modalităţile de plată a dobânzii descrise mai sus, sumele iniţiale şi finaleefective au fost diferite, respectiv, la plata anticipată DS −0 şi S 0, iar la plata

posticipată S 0 şi DS +0 . Să consider ăm şi cazul când, în ambele modalităţi de

plată, sumele efective sunt aceleaşi, deci, în cazul dobânzii anticipate (achitată anticipat) se împrumută suma DS S f −=0 şi se rambursează suma S f , iar în

cazul dobânzii posticipate (achitată posticipat) se împrumută suma S 0 şi se ram- bursează suma DS S f = +0

( )

. Aşadar, în cazul plăţii posticipate, rata dobânzii

(dobânda unitar ă posticipată) este 0,0 S

D

t d jt == , iar în cazul plăţii anticipate

a dobânzii, scontul unitar (rata de scont) este f

t S

D= ( )t f jS S +⋅=r . Cum 10 ,

rezultă t

t

jt

jr

+=

1

jt

. Pentru regimul de dobândă simplă, cu dobânda unitar ă

anuală posticipată j, avem t j ⋅= şi

( ) t j

t j

t j

t

⋅+

⋅=

⋅S

jS r t

+⋅

⋅⋅=

10

0

1t ir t ⋅=

. Considerând

(deci i este dobânda unitar ă anuală anticipată), rezultă t j

ji

⋅+=

1,

adică am regăsit şi în această situaţie relaţia (1.27). Pentru regimul de dobândă compusă avem:

( )( ) 1−t 1

11

0

0

0

+=−+⋅

==t

t jS

jS

S

D j şi

f

t S

Dr ==

( )t j+

−1

11 .

(Considerând ) 11 −+=

t

t ir

), unde i este dobânda unitar ă anuală anticipată,

rezultă ( )(1

2 1 1t

t i j −

= − + − , adică regăsim relaţia (1.28).

1.5. Operaţiuni de scont

1.5.1. Definire

31



În general, operaţiunea de scont (sau scontare) constă din cumpărarea decătre unele bănci (de regulă băncile comerciale) a unor efecte de comer ţ sau poliţe (hârtii de valoare, chitanţe, certificate de depozit la purtător, conosa-mente, scrisori de tr ăsur ă, trate, bilete la ordin, scrisori de garanţie bancar ă – pescurt efecte, poliţe etc.) cu reţinerea din valoarea lor nominală a dobânzii până

la scadenţă şi a unui comision (pe scurt, costul scontării sau taxa de scont).Uneori, banca scontatoare vinde poliţa unei alte bănci comerciale sau

băncii centrale înainte de scadenţă, operaţiune numită rescontare. În practica bancar ă românească, avem:

1. opera ţ iunea de scontare ce presupune cumpărarea de către o bancă aunor titluri de creanţă pe termen scurt (maximum 90 de zile);

2. opera ţ iunea de forfetare ce presupune cumpărarea de către bancă (forfetor) a creanţelor în valută ale exportatorului înainte de ajungerea acestora

la scadenţă.Să presupunem că un partener de afaceri P1 la un moment dat θ0 (pentru

simplificare vom considera că θ0 = 0) beneficiază de un serviciu în valoare deS 0 u.m. (poate fi chiar un împrumut) din partea partenerului P2. Dacă P1 estecreditat de banca B el emite un document financiar prin care banca va plăti luiP2 la o dată suma S 0θ > θ 0 plus dobânda aferentă calculată cu un procent anual

, vom nota această sumă ce urmează a fi primită de Pi p ⋅= 100

(

2 cu

) K 0 , , K S p= θ1

. Dacă, din diverse motive, P2 vrea să încaseze contravaloarea poliţei la momentul θ < θ 1t , deci înainte de scadenţă cu = θ − θ ani, el se va

adresa pentru scontare unei bănci comerciale de la care va încasa pe poliţă suma K a numită valoare scontat ă , capital scontat sau valoarea actual ă a po-

li ţ ei la momentul scontării. Vom nota cu ( )1 1 0 , , K K S p 1= θ

1 0

valoarea finală a

sumei iniţiale S 0 plasată cu procentul anual p, pe durata θ − θ , K 1 este valoa-

rea nominală a poliţei la momentul scontării. S 0 se numeşte şi pre ţ sau valoare

de emisiune a poliţei, iar K se numeşte valoare final ă a operaţiunii, valoarenominal ă la scaden ţă a poliţei sau capital disponibil la scaden ţă.

Defini ţ ia 1.20: Diferenţa a K K S −= se numeşte taxă de scont sau scont.

S K K aDin +=

jq ⋅= 100

putem să interpretăm scontul ca fiind dobânda aferentă

valorii scontate pe durata r ămasă până la scadenţă, cu un procent anual, notat, numit procent de scont . Cum scontul revine băncii scontatoare,

aceasta caută să-l mărească prin perceperea unor comisioane, taxe pe comisi-oane, alte taxe (fixe sau variabile) şi chiar mărind perioada până la scadenţă

32



prin adăugarea unor zile de bancă. Suma astfel obţinută se numeşte taxă de

scont modificat ă total ă sau agio.Să menţionăm că, în cazul achitării datoriilor înainte de scadenţă, uneori se

foloseşte scontul ca având semnificaţia unei prime acordate debitorului, princare se diminuează datoria nominală K .

1.5.2. Scont simplu

Dacă dobânda aferentă capitalului scontat K a se calculează în regim dedobândă simplă, atunci spunem că avem o operaţiune de scont simplu. În acestcaz, scontul calculat se numeşte scont simplu ra ţ ional , va fi notat S sr . Deci:

S K j sr a

= ⋅ ⋅ t , (1.29)

1 K K K K j t K a a a

j t = + ⋅ ⋅ ⇒ = + ⋅ . (1.30)

Rezultă:1

K j t S sr

j t

⋅ ⋅=

+ ⋅. (1.31)

Dacă pe durata 1t = θ− θ procentul de scont este variabil, deci t ,

iar pe durata t

∑=

=n

e

et 1

ee jqe se operează cu procentul anual de scont ⋅100 , atunci:=

1

n

sr a e

e

S K j t =

= ⋅ ⋅∑ e (1.32)

1

1a n

e e

e

K K

j t =

=+ ⋅∑

(1.33) şi 1

n

e e

e sr n

K j

S

1

1 e e

e

t ⋅

j t

=

=

⋅=

+ ⋅

∑

∑t

. (1.34)

j ⋅ (adică 1 1+ ⋅ ≈ Neglijând în (1.31) termenul t j

t

) obţinem o aproximarea scontului raţional numită scont simplu comercial , notat S sc. Rezultă:

(1.35), caz în care scS K j= ⋅ ⋅ ( )t j K S K K sca = − = ⋅ − ⋅1 .

scS sr S

Să observăm că < şi că scontul simplu comercial nu poate fi

calculat pentru 1≥⋅ t j (am obţine a K 0).≤

1.5.3. Scont compus

Dacă dobânda aferentă capitalului scontat K a este evaluată în regim de

dobândă compusă, atunci vom spune că avem o operaţiune de scont compus,iar scontul calculat îl vom numi scont compus ra ţ ional , notat S cr .

33



Deci . (1.36)( )1 t

cr a aS K j K = ⋅ + −

Rezultă ,( )1 t

a K K j= ⋅ +( )1

t

a t

K K K v

j= = ⋅

+

( )1

t

cr S K v= ⋅ −

(1.37)

şi (1.38),unde

j+1v =

1

1=t 1

se numeşte factor de scont sau factor de actualizare.

=Pentru an şi K u.m. se obţine scontul unitar sau unitatea de scont

(notată cu d sau cu r ): r j

jvd =

+=−=

11 . Dezvoltând în serie MacLaurin

funcţia obţinem:( ) ( j = 1 )t j f +

( ) ( ) ( ) ( ) ++−−⋅+⋅⋅⋅+−⋅+2

t j jt +=+!

11!2

111n

nt t t jt jn

t

2≥n

( Neglijând termenii cu jn , obţinem ) t j j

t ⋅+≈+ 11 şi o aproximarea scontului compus raţional numită scont compus comercial , notat S cc:

11

1 1ccS K K j t ⎛ ⎞ ⋅ ⋅ j t j t

= ⋅ − =⎜ ⎟+ ⋅ +⎝ ⎠ ⋅. (1.39)

Deci1a cc

K K K S

j t = − =

+ ⋅. (1.40)

Observa ţ ie: Regimul de scont comercial nu este scindabil. Într-adevăr, pentru scontul simplu comercial, factorul de fructificare pe [ x, y] este:

( )( ) x y j

y x A−⋅−

=1

1, ,

( ) ( ) ( ) z x A z y A ycare nu verifică relaţia , deoarece z y x x A ,

( ) ( )

<∀=⋅ ,,, <

=⋅ z y A y x A ,, ( )( ) ( ) ( ) =− y

1

⋅−⋅+−⋅−−⋅− z x y j y z j x y j 21

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

1 1,

1 1 x z

j y x z y j z x= ≠ =

− + ⋅ − ⋅ − − ⋅ −

( ) y x A

. j z x− ⋅

Pentru scontul compus comercial, factorul de fructificare pe [ x, y] este( ) x y j −⋅+ y z << , avem:deci, pentru= 1,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =−⋅−⋅+−⋅+−⋅+=⋅ y z x y j y z j x y j z y A y x A21,,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 1 , j z x j y j z x A x z = + ⋅ − + ⋅ ≠ + ⋅ − = x z y− ⋅ − .

1.5.4. Procentul real de scont şi procentul de revenire

34



al operaţiunii de scont

Defini ţ ia 1.21: Se numeşte procent real de scont procentul anual q1 careverifică relaţia:

Agio – Taxa pe comisionul fix = t

q

K ⋅⋅ 1001

1= θ − θ,

unde t este durata până la scadenţă.

Defini ţ ia 1.22: Se numeşte procent de revenire (sau procentul efectiv) aloperaţiunii de scont, procentul anual q2 care verifică relaţia:

Agio – Taxa pe comisionul fix = t q

a K ⋅⋅100

2

1 2,θ θ

1 2~

S

A A

1 2~ A A

.

1.5.5. Operaţiuni echivalente în regim de scont

Se consider ă două operaţiuni de scont, notate cu A1 şi A2, corespunzândcapitalurilor nominale la scadenţă K 1, K 2 cu procentele de scont q1, q2 şi descadenţe .

Defini ţ ia 1.23: Operaţiunile A1 şi A2 sunt echivalente în regim de scont dacă,

la o dată comună de scontare t , au aceeaşi valoare scontată; notăm .Deci înseamnă:

S

1. în regimul de scont simplu raţional:22

2

11

1

11 t j

K

t j

K

⋅+=

⋅+;

( ) ( )222111 1 t K t j K 1 j ⋅−⋅2. în regimul de scont simplu comercial: ;⋅ − ⋅ =

( ) ( ) 22

2

11

1

11 t j

K t

j

K

+=

+3. în regimul de scont compus raţional: ;

4. în regimul de scont compus comercial:2211 11 t jt j ⋅+

=⋅+

21 K K

1 1t t = θ − 2 2t t

,

unde şi θ − .=Dacă avem două grupuri de operaţiuni de scont atunci ele sunt echivalente

dacă, pentru aceeaşi dată comună de scontare, au aceeaşi valoare scontată totală.

1.6. Exemple de calcul

35



Pentru simplificare vom conveni ca atunci când nu se specifică altfel:— pentru durate de timp sub un an să folosim dobânda simplă, iar pentru

durate peste un an să folosim dobânda compusă;— vom folosi procedura germană de calcul (anul bancar = 360 zile; luna

bancar ă = 30 zile);

— ziua depunerii banilor intr ă în calculul dobânzii, iar ziua retragerii lor nuse ia în calcul.

1. Cu ce procent anual trebuie plasată suma de 1500 u.m. pe durata de10 luni, în regim de dobândă simplă, pentru a obţine suma finală de 1600 u.m.

Solu ţ ie: Avem ( )t iS S f ⋅+⋅= 10 ,

%8,08,012

10115001600 ==⇒⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅+⋅= pii

( )

.

2. O persoană depune la o bancă suma de 4000 u.m. la data de 1 martie şisuma de 6000 u.m. la data de 16 aprilie. Considerând că procentul anual utilizateste de 8% , să se determine suma revenită deponentului la data de 11 octombrie a aceluiaşi an.

Solu ţ ie: Avem( )⋅ + ⋅ + ⋅+⋅= 2211 11 t iS t iS S f =

220 1751 0,08 10428,89 u.m.

360

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ + ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )

4000 1 0,08 6000

360

= ⋅ + ⋅ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

3. Cu suma de 18000 u.m., o persoană constituie la o bancă un depozit petermen de 3 luni. Ştiind că, iniţial procentul anual oferit de bancă a fost de14%, iar după o lună a fost modificat la 7%, să se determine suma revenită deponentului la data scadenţei.

Solu ţ ie: Avem

0 1 1 2 2

1 21 18000 1 0,14 0,07 18420 u.m.

12 12 f S S i t i t ⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

4. O persoană depune în data de 1 iulie 1997 la o bancă, într-un depozit petermen de 3 luni, suma de patru milioane lei. În contractul de depozit se prevede că nivelul dobânzilor se modifică de către bancă în funcţie de evoluţiadobânzii pe piaţa interbancar ă. Considerând că la formarea depozituluidobânda era de 80% pe an, că de la 15 august 1997 banca a modificat procentulanual la 60% şi de la 1 septembrie 1997 a trecut la procentul anual de 50% şiştiind că dobânda este la termen (adică nu se virează lunar într-un cont dedisponibilităţi la vedere), să se determine suma revenită deponentului lascadenţă. Se va utiliza procedura engleză de calcul.

36



Solu ţ ie: Avem S 0 = 4 000 000, i1 = 0,8, i2 = 0,6, i3 = 0,5, t 1 = 45 zile,

t 2 = 17 zile, t 3 = 30 zile. Rezultă ≈⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+⋅= ∑

=

3

10 365

1 j

j

j

t iS S 4 670 685 lei.

5. O persoană plasează, cu acelaşi procent, trei sume egale pe duratele de

120, 150 şi, respectiv, 180 de zile. Ştiind că dobânda cuvenită reprezintă otreime din capitalul plasat, să se determine procentul utilizat.

i p Solu ţ ie: Fie = ⋅100 procentul plasamentelor şi 3S capitalul plasat.

Avem 8,0450

360

360

180150

360

120==⇒=⋅⋅+⋅⋅ iS iS iS

360 +⋅⋅ iS şi p = 80%.

6. O persoană a luat de la o bancă trei credite: în data de 20 martie uncredit de 11500 u.m., cu un procent anual de 16%, pentru durata de 5 luni; în

data de 15 mai un credit de 13800 u.m. pentru durata de 4 luni cu un procentanual de 18% şi în data de 1 iunie un credit de 16000 u.m. pe 2 luni cu un procent anual de 20%. De comun acord cu banca, debitorul îşi achită datoria ladata de 16 iulie printr-o singur ă plată echivalentă. Utilizând procedura engleză de calcul, să se determine suma achitată de debitor dacă:

a) aceasta reprezintă chiar datoria la momentul respectiv; b) echivalenţa este definită în raport cu valoarea actuală calculată cu

procentul unic înlocuitor de 17%;c) echivalenţa este definită în raport cu dobânda calculată cu procentul unic

înlocuitor de 17% pe durata dată de scadenţa medie înlocuitoare. Solu ţ ie: Avem S 1 = 11 500, S 1 = 13 800, S 3 = 16 000, i1 = 0,16, i2 = 0,18,

i3 = 0,20, 1 2 3

153 123 61, ,

365 365 365t t t = = = ;

a) =⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅++⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅+=365

452,0116000

365

6218,01S +⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅+ 13800365

11816,0111500

= 42 711,31 u.m.

b)1 365⎝ ⎠

15311500 1 0,16 12 271,288 f S ⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ =⎜ ⎟ ,

2

12313 800 1 0,18 14 637,074

365 f S ⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠,

3

6116 000 1 0,2 16 534,795

365 f S ⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠,

3

1

12 271,288 14

351 0,17 1 0,17 1 0,

f k

k f k

S

S t == =+ ⋅ + ⋅∑

637,074

6117365 365

+ ++ ⋅

37



16 534,79516

1 0,17365

++ ⋅

= 42719,65 u.m.

c) Scadenţa medie înlocuitoare este3651043

1

3

1 ≈⋅

⋅⋅

=∑

∑

=

=

k

k k

k

k k k

iS

t iS

t ani.

Din , rezultă 3

1k k k

k

S i t S i t =

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅∑

3

1 782 25244245

0,17 104

k k k

k

S i t

S i t

== = ≈⋅ ⋅

∑

1

u.m.

4424515,4344332 <=++ f f S S Analizând acest rezultat ( f S

( )

), constatăm

că definirea echivalenţei operaţiunilor financiare în cazul regimului dobânziisimple, prin egalitatea dobânzilor produse, este „pur teoretică”, valabilitate practică având definiţia bazată pe valoarea actuală.

7. Un om de afaceri a primit de la o bancă trei credite:► la data de 1 februarie, un credit de 160 000 u.m. scadent la data de 1 septem-

brie (acelaşi an);► la data de 16 martie, un credit de 130 000 u.m. scadent la data de 1 august:► la data de 1 mai, un credit de 200 000 u.m. scadent la data de 1 octombrie.

De comun acord cu banca, debitorul stabileşte lichidarea datoriei printr-o plată unică efectuată la data de 1 iulie. Ştiind că banca a utilizat până la 1 iunie procentul anual de 20% şi apoi procentul anual de 16%, să se determinemărimea plăţii efectuate de către debitor dacă:

a) achită exact suma datorată la data efectuării plăţii; b) achită o sumă echivalentă în sensul valorii actuale a datoriilor la

scadenţă;c) achită suma datorată la data efectuării plăţii, calculată pe baza procen-

tului mediu convenit cu banca. Solu ţ ie:

a)3

1 1 2 21

4 11 160 000 1 0,2 0,16

12 12k k k

k

S S i t i t =

⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

75 1 1 1

12⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ =⎟

⎠130 000 1 0,2 0,16 200 000 1 0, 2 0,16

360 12 12+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝

= 515 950 u.m.

1

4 3160 000 1 0, 2 0,16 177 066,667

12 12 f

S ⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ + ⋅ =

⎜ ⎟⎝ ⎠ b) u.m.;

38



2

75 3130 000 1 0, 2 0,16 140 616,667

360 12 f S ⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ + ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠ u.m.;

3

1 3200 000 1 0,2 0,16 211333,333

12 12 f S ⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ + ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠ u.m.;

3

1 2

177 066,667 140 616,667 211333,3332 11 1 0,16 1 0,16 1 0,16

12 12 12

f k

a

k k

S S

i t =

= = + ++ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

∑ 3 =

= 514 439,11 u.m.

c) Consider ăm procentul mediu %182

1620=

+= p . Obţinem:

( )3

1

51 160 000 1 0,18

12

k k

k

S S i t

=

⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ +

105 2130 000 1 0,18 200 000 1 0,18 514 825

360 12⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

u.m.

8. Un om de afaceri are de efectuat către un partener următoarele plăţi: 35 demilioane la 10 septembrie, 42 de milioane la 1 octombrie, 68 de milioane la15 octombrie şi 110 milioane la 15 noiembrie acelaşi an. De comun acord, ceidoi hotăr ăsc să se facă o singur ă plată la 10 octombrie, care să echivaleze înraport cu valoarea actuală pentru un procent anual de 45% sumele menţionate.

Să se determine mărimea plăţii efectuate considerând:a) procedura engleză de calcul; b) procedura germană de calcul.

Solu ţ ie: Fie S suma cerută.

( ) ( )a) Avem 3 41 1 2 2

3 4

1 11 1

S S S S i t S i t

i t i t = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + =

+ ⋅ + ⋅

66 630 9 68 10

35 10 1 0,45 42 10 1 0, 455365 365

⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 0,45

365+ ⋅

6110 1036

⋅+ ≈

1 0, 45365

+ ⋅251669227 u.m.;

b) +⎟ ⎠

⎞⎜⎛ ⋅+⋅⋅+⎟

⎞⎜⎛ ⋅+⋅⋅=

945,011042

3045,011035 66S

⎝ ⎠⎝ 360360

6 6

68 10 110 10 2517518615 35

1 0, 45 1 0, 45⋅ ⋅+ + =

+ ⋅ + ⋅ u.m.

360 360

39



9. O persoană depune spre fructificare la o bancă suma de 400 000 u.m. ladata de 1 martie, suma de 600 000 u.m. la data de 16 aprilie, suma de 650 000 u.m.la 1 iunie şi suma de 800 000 u.m. la 11 iulie (acelaşi an). Ştiind că banca a uti-lizat următoarele procente anuale de dobândă: de la 1 martie 46%, de la 1 mai42%, de la 16 iunie 51%, de la 1 august 55% şi ştiind că la scadenţă persoana

respectivă dispune de suma de 2966345 u.m., considerând procedura engleză de calcul, să se determine data scadenţei.

Solu ţ ie: Fie t numărul de zile de la 1 august la data scadenţei. Avem:

646 15 312 450 000 400 000 0,46 10 0,46 0, 42

365 365 365⎛ ⎞+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

15 25⎛ ⎞1650 000 0,42 0,51

365 365+ ⋅ ⋅ + ⋅ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

21 2966345t ⎛ ⎞ =

76=

2 450 000 0,51 0,55365 365+ ⋅ ⋅ + ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Rezultă t , deci data scadenţei este 16 octombrie.

10. Un investitor dispune de suma de 1 200 000 de dolari SUA, cu careachiziţionează titluri de stat de câte un milion lei (ROL) pe trei luni cu procentul anual de 56%.

a) Dacă la data vânzării titlurilor cursul de schimb este de 9 600 lei/$,determinaţi cursul de schimb la data scadenţei titlurilor astfel încât să se obţină

un câştig de 92 853 $. b) Dacă la data scadenţei titlurilor, cursul de schimb este de 10 830 lei/$ şi

investitorul a obţinut un câştig de 102 000 $, determinaţi cursul la care acumpărat lei pentru a achiziţiona titluri.

c) Ce procent anual ar trebui utilizat pentru a avea câştigul de la punctul a)din plasarea dolarilor într-un depozit bancar.

Solu ţ ie: a) Numărul titlurilor de stat achiziţionate este:61, 2 10 9600

115201 000 000n

⎡ ⎤⋅ ⋅= =⎢ ⎥⎣ ⎦ .

Dacă x lei/$ este cursul de schimb la scadenţă, avem:

6

6

110 1 0,56

41,2 10

⎛ ⎞⋅ ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠ = ⋅

1152092853

x+ ,

de unde obţinem x = 10 158 lei/$. b) Fie y cursul de schimb (lei/$) la momentul achiziţionării titlurilor, deci

numărul titlurilor achiziţionate de investitor este n = [1,2, y], unde [α] este partea întreagă a numărului real α. Avem

40



6 6110 1 0,56 1,2 10 102 000

4n

⎛ ⎞⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Rezultă n = 12 369, deci [1,2, y] = 12 369 ⇒ 10 307,5 ≤ y ≤ 10 308,33,aşadar y = 10 308 lei/$.

c) Avem 31 200 000 92 853 0,309512

i i⋅ ⋅ = ⇒ = , aşadar un procent al

plasamentului în dolari de 30,95%.

11. La data de 1 mai o persoană dispune de suma de 24 000 $, pe care îitransformă în lei la cursul de 8 850 lei/$ şi îi plasează într-un depozit pe termende 6 luni cu dobânda la deschidere de 48% pe an. Ştiind că banca a efectuaturmătoarele schimbări ale procentului de dobândă: 44% de la 15 august şi 54%de la 11 septembrie, să se precizeze sumele în lei şi valută de care dispune

persoana respectivă la data scadenţei (1 noiembrie), când cursul de schimb estede 10 100 lei/$. Cunoscând că la depozitele în dolari, banca a acordat până ladata de 10 septembrie, inclusiv, un procent anual de 6,5%, iar apoi un procentanual de 8%, să se afle dacă persoana respectivă a ieşit în pierdere sau în câştig.

Solu ţ ie: Suma finală în lei este:

104 26 5024 000 8 850 1 0,48 0, 44 0,54

360 360 360 f l S ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

= 264 532 400 lei,26191

10100 f l

d

S S = ≈suma în dolari $.

În cazul plasamentului în dolari, obţinem:130 50

0,08 24 830360 360

S ⎛ ⎞⋅ + ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠24 000 1 0,065 f d = ⋅ + $,

1361=− d f d S S $.deci a ieşit în câştig cu

12. O persoană a depus la o bancă, în urmă cu 4 ani, suma de 35 000 u.m.Ştiind că în primii trei ani, banca a utilizat procentul anual de dobândă de 12%,iar în ultimul an procentul de 7%, să se determine suma revenită depunătoruluidacă acesta şi-ar scoate banii.

Solu ţ ie:

( ) ( ) ( ) ( ) =+⋅+⋅=+⋅+⋅= 07,0112,013500011 322

110

t t

f iiS S 52 614,55 u.m.

13. Să se demonstreze că, pentru fructificarea sumelor, soluţia raţională

este mai convenabilă decât soluţia comercială.

41



Solu ţ ie: Avem de ar ătat că ( ) ( )0 01 1 1 mt n nm m

t S i i S i

m

+⎛ ⎞⋅ + ⋅ + ⋅ > ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

, unde

q∈n* ¾ {1}, t m ∈ {1, 2, ... , m − 1}. Notăm ( )1,0∈=

m

t x m

( )

şi consider ăm

funcţia ( ) xi xi x f +−⋅+= 11 .

( )Avem ( ) ( ) ( )iii x f

x +⋅+−= 1ln1' , ( )( )i

i x f

+=

1ln0' 0

i

x +

=⇒1ln

ln

Considerând ( ) ( )ln 1 g i i i− + ( ), ob'inem=1

' 1 01 1

i g i

i i= − = >

+ +

( ) ( )( )

, deci g

este crescătoare şi

( ) 01 0 x> ⇒ >0 0 ln 1ln 1

i g i g i ii

> = ⇒ > + ⇒+

. (a)

( ) ( ) ( ) iiii g −+⋅+= 1ln1 , rezultă>Considerând

( ) ( ) ( ) ( ) 01

1ln' >++= ii g 1ln11

1 =−+

⋅++i

ii ( ) ( ) 0,0 >∀> i g i g ., deci

Obţinem ( ) ( ) 01ln1 >−+⋅+ iii ,( )

ii

i+<

+1

1ln, deci x0 < 1. (b)

Aşadar, pentru f avem următorul tabel de variaţie:

x 0 x 0 1

f ′( x) + + + + + 0 − − − − − −

f ( x) f ( x0)

0 0

Aşadar ( )( ) ( )1,0,0 ∈∀> x x f şi pentru 1 1m m mt t t

i im m m= ⇒ + ⋅ > + .

14. Cu câţiva ani în urmă, o persoană a depus la o bancă suma de 6,7 mi-lioane u.m., astăzi revenindu-i suma de 40 270 066 u.m. Ştiind că în primii ani banca a utilizat pentru dobândă procentul anual de 48%, iar în ultimii trei ani procentul anual de 40%, să se determine durata plasamentului.

Solu ţ ie: Avem , de unde rezultă:3 36 700 000 1, 48 1, 4 40 270 066n−⋅ ⋅ =

5

48,1ln

1904,2ln3 =+=n ani.

15. Suma de două milioane u.m. a fost plasată în urmă cu trei ani în regimde dobândă compusă, cu calcularea trimestrială a dobânzilor, iar astăzi capi-

42



talul acumulat este de 6 097 250 u.m. Să se determine procentul anual efectiv şi procentul anual nominal cu care s-a f ăcut plasamentul. Dacă dobânzile s-ar ficapitalizat lunar, ce procent anual nominal ar fi fost folosit.

Solu ţ ie: Fie i p ⋅= 100 procentul anual efectiv şi mm jq = ⋅100

12=m

procentul

anual nominal utilizat la divizarea anului în m păr ţi (m = 4 pentru trimestru, pentru lună). Avem i

j m

m +=⎟ ⎞

⎜⎛

+ 11m ⎠⎝

, deci12

6 41 64

j⎛ ⎞⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

2 10 097 250=

%9,38,389,0 44

,

obţinem =≈ q j ,45,0, %45= = pi .

Analog36

j⎛ ⎞⋅ + =⎜ ⎟

( )

6 122 10 1 6 097 25012⎝ ⎠

, implică

,377,01112 12

1

12 ≈⎟ ⎞⎜⎛ −+⋅= i j %7,3712 ⎠⎝ . =q

412 qq

.

Observăm că < , deci procentul nominal scade când durata fracţiunii de

timp scade .( )nmqm ><

( )

qn pentru

16. Se consider ă dobânda instantanee0,02

0,08t +1t

δ =+

.

Să se determine:a) valoarea acumulat

ă la momentul

6=t a unei investi

ţii de un milion de

u.m. f ăcută la momentul 0=t ; b) valoarea actuală la momentul t

82= a unei investiţii de un milion de u.m.

f ăcută la momentul =t .

Solu ţ ie: Notăm cu factorul de acumulare (pentru t )

sau de actualizare (pentru ), cu S

( )1 2, t A t t e∫= 21 t <

( )

( )2

1

t t dt δ

21 t t > f valoarea acumulată şi cu S 0 valoareaactuală. Avem:

6

06 6 ∫0,02

0,086 0,48 0,02 ln 7110 0, 6 10 10 1680 209

dt t

f S A e e

⎛ ⎞+⎜ ⎟ + ⋅+⎝ ⎠= ⋅ = ⋅ = ⋅ ≈a) u.m.

( )8

2

0,020,08

6 6 610 0,02 0,48

110 8, 2 10 10 605 336

3

dt t S A e

e

⎛ ⎞− +⎜ ⎟+⎝ ⎠∫= ⋅ = ⋅ = ⋅ ≈

⋅ u.m. b)

(17. Fie dobânda instantanee şi( )t δ )t S

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 0t

x dx

S x x dx S e S t S δ⎛ ⎞∫⋅δ ⋅ = ⋅ − = −⎜ ⎟∫

suma (capitalul) la momentul t .

Să se arate că:( )

0

0

t

⎝ ⎠

(deci, două formule echivalente pentru calculul dobânzii). Solu ţ ie: Avem

43



( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )( )0 0 0

' 't t t a x S x S S x x dx S x dx S x dx

a x S x S x⋅ δ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =∫ ∫ ∫

0

( )

( ) ( )0t

S x S t S = = −

( )

0

şi ( ) ( )

( ) ( )000 1 0

x dx a xS e S e

δ ∫⎛ ⎞∫ ⎜ ⎟⋅ − = ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

'

1t t a x dx⎛ ⎞

=

( )

( ) ( )

(( ) ( )( ) ( )

)

( ) ( ) ( )0ln

0 1 0 1 0 10 0

a xS e S S S t S

a S = ⋅ − = ⋅ − = ⋅ − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠0

t a t S t ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

3 3 2 3 310 000 1,12 1, 08 25 000 1,12 1, 08 30 000 1,12 1,08S = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +240 000 1, 08 146 185+ ⋅ ≈

18. a) Se consider ă următoarele sume depuse pentru fructificare: 10 000 u.m. la data de 1 ianuarie 2000, 25 000 u.m. la data de 1 ianuarie 2001, 30 000 u.m. la data de 1 ianuarie 2002, 40 000 u.m. la data de 1 ianuarie 2004.

Să se determine valoarea acumulată la 1 ianuarie 2006, considerând că până la finele anului 2002 rata dobânzii a fost 0,12 iar după aceea a fost 0,08.

b) Precizaţi valoarea actuală la data de 1.01.2000 a sumelor depuse.c) Dacă pe perioada 1.01.2000 – 1.01.2006 rata anuală a dobânzii ar fi 0,1,

să se determine suma constantă care înlocuind sumele investite conduce la

acelaşi capital acumulat. Se păstrează echivalenţa şi în sensul valorii actuale la1.01.2000 în contextul menţionat?

Solu ţ ie: a) Dacă S f este valoarea acumulată, atunci

f

u.m.

b) Notând cu S 0 valoarea actuală, avem: 0 10 000 25 0001,12

S 1

= + ⋅ +

2 330 000 40 000 82 5991,12 1,08 1,12

+ ⋅ + ⋅ ≈⋅

1 1

6 5 4 21,1 1,1 1,1 1,1 146185S S S S ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = 2,24138

u.m.

c) Fie S suma constantă înlocuitoare. Din ecuaţia:≈S u.m., obţinem

Dacă T este suma constantă înlocuitoare echivalentă în sensul valoriiactuale cu sumele depuse, atunci avem ecuaţia:

2 482 599

1,1 1,1 1,1T T T T + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

1 1 1, şi rezultă 24162,1T ≈ u.m.

Cum u.m., rezultă că nu se păstrează echivalenţa, cauza fiind procentele diferite luate în calcul pentru valoarea acumulată şi valoarea actuală.

24≈− S T

44



19. Un întreprinzător solicită un împrumut de 250 milioane u.m. pentrudurata de 270 de zile. Oferta fiecărei bănci (au fost contactate patru) este:

B1 acordă creditul cu procentul de 19% dobândă pre-calculată;B2 acordă creditul cu procentul de 22,6% dobândă post-calculată;B3 solicită la scadenţă drept dobândă suma de 42,5 milioane u.m.;B4 drept dobândă, reţine din credit, la acordare, suma de 21 milioane u.m.

şi mai solicită, la scadenţă, suma de 20,5 milioane u.m.Să se afle varianta aleasă, considerând că întreprinzătorul investeşte într-o

afacere care îi aduce un profit net de 25% din capitalul investit iniţial şi că aredrept unic criteriu maximizarea câştigului său net.

Solu ţ ie:

• Pentru oferta lui B1, avem:

⎯ capitalul investit (S ) este:

66600 10375,214

360

27019,01025010250 ⋅=⋅⋅⋅−⋅=⋅⋅−= t iS S S

=⋅⋅= t iS D 0

u.m.

⎯ câştigul net (C ) este:=⋅−⋅⋅=−⋅= 66

0 1025010375,21425,125,1 S S C 17 968 750 u.m.

• Pentru oferta lui B2 avem: ⎯ dobânda pentru credit este:

6 270

250 10 0,226 42 375 000360⋅ ⋅ ⋅ = u.m.: ⎯ câştigul net este:

( ) 60 01,25C S = ⋅ u.m.1, 25 250 10 292 375 000 20125 000S D− + = ⋅ ⋅ − =

• Pentru oferta B3, câştigul net este:( ) =⋅+−⋅= 6

00 105,4225,1 S S C

( )6 6 6,5 10 20 000 000= ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ =1, 25 250 10 250 10 42 u.m.

• La oferta B4, câştigul net este:( ) ( ) =⋅+−⋅−⋅= 60

60 105,20102125,1 S S C

( ) ( )6 61, 25 250 21 10 250 20,5 10 15 750 000= ⋅ − ⋅ − + ⋅ = u.m.

Deci câştigul maxim se obţine pentru oferta lui B2.

20. Un întreprinzător solicită un împrumut de 60 000 u.m. pe durata de 300 dezile. Primeşte trei oferte:

O1: împrumut cu dobândă anticipată calculată cu procentul anual de 22%;O2: împrumut cu dobândă posticipată calculată cu procentul anual de 25%;O3: drept dobândă se reţine din împrumut suma de 4 000 u.m. şi se mai

solicită la scadenţă suma de 8 400 u.m.Să se stabilească oferta aleasă de întreprinzător.

45



Solu ţ ie: Vom folosi transformările echivalente ale dobânzilor anticipate şi posticipate. Astfel, procentul de dobândă posticipată echivalent cu procentul dedobândă anticipată %22100 11 =⋅= i p este 11 100 jq ⋅= , unde

25,027,026938,0

30022,01

22,0

12

1

11 =>≈=

⋅−

=

⋅−

= j

t i

i j

360

,

deci O2 este mai bună decât O1.• La O2, dobânda este:

12500360

30025,06000022 =⋅⋅=⋅⋅= t iS D

100 i p

u.m.

• Pentru O3, procentul 33 = ⋅ pentru dobânda anticipată de 4 000 u.m.

este: 3

4 0000,0830060 000

360

D

i S t = = =⋅ ⋅ , procentul echivalent de dobândă postici-

pată este: 085714,0=

360

30008,01

08,0

1 3

33

⋅−=

⋅−=

t i

i j .

Dobânda posticipată cumulată la O3 este

1268684003 ≈= D

D D > 360

300085714,06000084003 +⋅⋅=+⋅⋅ t jS u.m.

Cum , rezultă că oferta O2 este cea mai bună pentru

întreprinzător.23

21. Pentru cumpărarea unei case se stabileşte să se achite un avans de35 000 u.m. şi să se plătească peste 2 ani suma de 49 680 u.m. Considerând că în calcul s-a folosit un procent anual de 20%, să se determine preţul cu care afost vândută casa. Presupunând că se utilizează acelaşi procent anual de 20% şică la a doua plată cumpăr ătorul va achita doar 30 000 u.m., urmând ca diferenţa

să o achite după încă un an, să se determine valoarea celei de-a treia plăţi. Solu ţ ie: Fie V preţul de vânzare al casei, de fapt „preţul negociat”, deoa-

rece vânzarea se face în urma unor plăţi efectuate la momente diferite de timp, plăţi echivalate valoric la momentul zero (momentul plăţii avansului). Avem:

695002,1

14968035000

2 =⋅+=V u.m.

În al doilea caz, dacă S este cea de-a treia plată, avem relaţia:

32 2,12,1

300003500069500

S

++= ,

de unde rezultă 23616=S u.m.

46



( )49 680 3 000 1,2S Acelaşi rezultat se obţine şi după relaţia = − ⋅

( ) 3,2,1,11 12,12 =+=+ k ii k k 12,0,2,0,25,0 321

Comentând asupra sintagmei „preţ de vânzare”, să observăm că putemvorbi de o „vânzare în rate” a casei. De exemplu, în al doilea caz, se poatespune despre casă că s-a vândut în rate pentru suma de:

35 000 + 30 000 + 23 616 = 88 616 u.m.22. O persoană depune suma de 30 000 u.m. în regim de dobândă compusă

capitalizată lunar.

a) Să se determine suma revenită depunătorului dacă durata depunerii afost de 5 ani, iar banca a utilizat în primele 9 luni procentul anual de 25%, înurmătoarele 18 luni procentul anual de 20%, iar în restul perioadei procentulanual de 12%.

b) Cu ce procent anual constant ar fi trebuit efectuat plasamentul anterior

pentru a obţine aceeaşi sumă finală?c) În condiţiile punctului a), considerând că după 2 ani depunătorul retragesuma de 10 000 u.m. şi cu 6 luni înainte de scadenţă finală mai retrage 8 000 u.m.,să se determine suma revenită depunătorului la scadenţa finală.

Solu ţ ie: a) Vom folosi procentul lunar echivalent cu procentul anual

i

k i ,12

k , deci , unde = = =iii .

Avem:

( ) ( ) ( )9 18 339 18 3

0 12,1 12,2 12,31 1 1 f S S i i i= ⋅ + ⋅ + ⋅ + =3 12 12 1230 000 1,25 1, 2 1,12= ⋅ ⋅ ⋅

3 3 11

i p

u.m.4 2 430 000 1, 25 1,2 1,12 63 668,58= ⋅ ⋅ ⋅ =

( )50 1 iS S f +⋅= , de unde rezultă:⋅= 100 procentul cerut. Avem b) Fie

16,01624,0130000

58,636681 55

0S ≈=−=−=

S i

f %16≈ p .,

( ) ( ) ] ( ) ( ) −−+⋅+⋅= 273,12

152,12

91,120 11000011 iiiS S f

} ( )

+⋅+⋅ 32,12 1ic)

9 15 3 276

12 12 12 128 000 1 30 000 1, 25 1,2 10 000 1, 2 1,12i⎡⎛ ⎞

− ⋅ + = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −⎢⎜ ⎟12,3⎢⎝ ⎠⎣

]6

128 000 1,12 40 908,47− ⋅ = u.m.

23. Un investitor dispune de suma de 45 000 $ pentru care are de ales între

varianta plasării într-un depozit în dolari, pe trei luni, cu procentul anual dedobândă de 4 % şi varianta transformării în lei (ROL) la cursul de 31 000 lei/$şi plasarea într-un depozit în lei, pe trei luni, cu procentul anual la deschidere

47



de 15 %, procent pe care banca îl schimbă după două luni în 10%. Dacă lascadenţa depozitului cursul de schimb este de 32 000 lei/$, să se determinesuma finală revenită investitorului în lei şi dolari, în ambele variante. La cecurs de schimb, la scadenţă, plasamentul în $ este mai bun?

Solu ţ ie: $

3

45 000 1 0,04 45 45012 f S ⎛ ⎞

= ⋅ + ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠ $, în lei aceasta este

lei,45 450 32 000 1454 400 000 ftl S = ⋅ =

60 45 000 31 000 1 395 10l S = ⋅ = ⋅

În varianta plasamentului în lei:lei,

61395 10 1 0,15 0,12 f l S

⎛ = ⋅ ⋅ + ⋅ +⎜2 1

1 1 441500 00012

⎞⋅ =⎟⎝ ⎠

lei, în dolari aceas-

ta este $ 45 04732 000 ft f l

S S = ≈

45 450 1 441500 000 x

$, deci mai bun ar fi plasamentul în dolari.

Fie x lei/$ cursul de schimb căutat. Avem ⋅ >31 x >

rezultă , deci de la cursul de schimb x = 31 717 lei/$ plasamentul în

dolari devine mai bun pentru investitor.716,17

24. Două poliţe au valorile nominale de 124 000 u.m. la scadenţa pe 1 iulieşi respectiv 126 000 u.m. la scadenţa pe 1 august. Prezentate la scont la data de1 mai, banca plăteşte posesorului aceeaşi sumă pentru fiecare.

a) Să se determine procentul unic de scont folosit. b) Folosind procentul de scont de la punctul a), găsiţi data de scontare la

care posesorul ar primi pe cele două poliţe suma de 232 570 u.m.

Solu ţ ie: a)124 000 126 000

0, 2 , 20%2 3

1 112 12

a K j q

j j

= = ⇒ = =+ ⋅ + ⋅

b) Fie t numărul de zile dintre data scontării şi data de 1 iulie. Avem:124 000

1 0, 2360

+ ⋅

126 000

232 570301 0, 2360

t t + =++ ⋅ ; notând 1 1800

t

x = +

2 06661

obţinem ecu-

aţia , de unde rezultă 0008886,00582785,1 =−⋅− x x ,1= x ,zile, deci scontarea ar fi pe data de 1 martie.

120≈t

25. O persoană depune la bancă pentru fructificare suma de 52 000 u.m. După trei ani retrage suma de 15 000 u.m. şi după încă doi ani suma de 8 000 u.m. Dacă banca a folosit în primii patru ani procentul anual de dobândă de 12 % şi în

următorii patru ani procentul anual de 5 %, determinaţi suma de care dispunedeponentul după opt ani de la depunere.

48



Solu ţ ie: ( )3 352 000 1,12 15 000 1,12 1,05 8000 1,05 69 775 f S ⎡ ⎤= ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ≈⎣ ⎦ u.m.

26. La data de 1 martie o persoană constituie un depozit la termen, pe treiluni, cu suma de 56 800 u.m. Condiţiile sunt:

a) la expirarea termenului, în cazul că deponentul nu se prezintă pentru

restituire, banca prelungeşte automat în aceleaşi condiţii; b) în cazul lichidării depozitului înainte de scadenţă, banca va folosi pentru

întreaga sumă dobânda aferentă disponibilităţilor la vedere;c) dobânda cuvenită depozitului este livrată lunar într-un cont de

disponibilităţi la vedere.Dacă banca a operat până la data de 15 aprilie (inclusiv) pentru depozitele

la termen cu procentul anual de 20 %, iar pentru disponibilităţile la vedere cu procentul anual de 4 % şi începând cu 16 aprilie a utilizat procentul anual de

dobândă la depozitele la termen de 12 %, iar la disponibilităţile la vedere de1 %, să se determine suma revenită deponentului dacă acesta nu efectuează alteretrageri decât lichidarea conturilor (la termen şi la vedere) la data de 16 iunie.

Solu ţ ie: În contul de disponibilităţi la vedere la data de 1 aprilie este

introdusă dobânda 67,94612

12,0568001 =⋅⋅= D u.m.

În contul respectiv, la data de 1 mai, este introdusă şi dobânda

2 56 800 0, 2 D = ⋅

15 15

0,12 757,33360 360

⎛ ⎞

⋅ + ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠ u.m., deci acum în contul respectiv se află suma de 1 704 u.m. La data de 1 iunie se adaugă disponibilităţilor

la vedere dobânda 3

156 800 0,12 568

12 D = ⋅ ⋅ = u.m., acum în contul respectiv se

află suma de 2272 u.m. Suma revenită deponentului la lichidarea conturilor este:

151 0,02 2 272 1 0

360⎛ ⎞⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

1556 800 ,02

360 f S ⎛ ⎞= + ⋅ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

15 15 1946,67 0,04 0,02 1704 0,02360 360 12

⎛ ⎞+ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

59126,43= u.m.

27. Suma de 35 000 u.m. este depusă pentru fructificare pe durata de 6 anicu un procent anual de 20%. Să se determine valoarea finală a operaţiunii dacă:

a) nu există devalorizare; b) există o devalorizare anuală necompensată de 10% (evident, aici este

vorba de valoarea finală în termeni reali);

c) există o devalorizare anuală compensată de 15%, în acest caz să sespecifice procentul anual aparent utilizat.

49



Solu ţ ie: a) u.m.;( ) 60 1 35 000 1,2 104 509

t S S i= ⋅ + = ⋅ ≈

b)6

0

1 1,235 000 58 993

t

r

iS S

+ ⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ ≈⎜ ⎟ ⎜ ⎟

( ) ( )( ) ( )6

0 1 1 35 000 1,2 1,15 241 737

t

S S ic = ⋅ + ⋅ + α = ⋅ ⋅ ≈

1 1,1+ α⎝ ⎠ ⎝ ⎠ u.m.;

c) u.m. şi( )100 100 38%q j i i= ⋅ = ⋅ + α + ⋅α = .

28. O persoană subscrie la un bon de capitalizare cu dobândă minimă garantată. Valoarea bonului este de 8 milioane u.m., durata minimă este de 4ani şi dobânda minimă garantată este de 8% pe an. Dacă se respectă clauzaduratei minime, atunci procentul anual este de 40% în primii doi ani şi de 60%în următorii ani.

a) Precizaţi valoarea revenită dacă bonul este schimbat (vândut emi-tentului) peste 3 ani.

b) Precizaţi valoarea revenită dacă bonul este schimbat peste 4 ani.c) Dacă în perioada respectivă s-a produs şi o devalorizare necontrolată

(necompensată) de 12% anual, să se precizeze valoarea în termeni reali a sumei primite la schimbarea bonului peste 4 ani.

Solu ţ ie: Fie u.m. valoarea nominală iniţială a bonului, S 6

0 108 ⋅=S

6 3

3 0 1, 08 10 077 696S S = ⋅ ⋅ =2 40140800=

3 şi S 4

sumele revenite (primite) la schimbarea bonului peste 3 şi respectiv 4 ani.

a) u.m.( )1 8 10

t

i+ = ⋅ b) u.m.( ) ( )

2 2 6 24 0 1 21 1 8 10 1, 4 1,6S S i i= ⋅ + ⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅

c) Fie S re valoarea în termeni reali a bonului, atunci:

( ) ( )

( ) ( )

2 2

1 2 40 4 4 4

1 1 4014080025 510 204re

i i S S S

+ ⋅ += ⋅ = = =

1,121 1+ α + α u.m.

29. O persoană plasează suma de 245 000 u.m. pe o durată de 9 luni, înregim de dobândă compusă, cu calcularea şi capitalizarea lunar ă a dobânzii cuun procent anual de 32%. Determinaţi valoarea finală a operaţiunii dacă:

a) nu există devalorizare; b) există o devalorizare anuală necompensată de 15%;c) există o devalorizare anuală compensată de 8%, caz în care precizaţi şi

procentul anual aparent utilizat;d) pe lângă devalorizarea compensată de la punctul anterior se consider ă că

există şi o devalorizare anuală necompensată (necontrolată) de 20%. Solu ţ ie: Vom lucra cu procentele propor ţionale:

0,3212 12ii = =

şi 0,15 0,0125

12 12αα = .= =

50



( )a)9

9

0

0,321 245 000 1 310 478,3S S i

⎛ ⎞= ⋅ + = ⋅ + ≈⎜ ⎟ 12⎝ ⎠ u.m.

b)

9

0 9

1277 636re

i S S S

⎛ ⎞+= ⋅ = ≈⎜ ⎟

1 1,0125+ α⎝ ⎠

u.m.

Modelul acesta de calcul prin „capitalizarea” lunar ă a devalorizării estediscutabil, părând a fi mai adecvat modelul dobânzii simple pentru factoruldevalorizării. Am avea astfel:

( )279082

93,3104781 9

0 ≈=+

⋅= i

S S re

1215,011 ⋅+⋅+ t α

u.m.

Iată că „din condei”, inflaţia se manevrează uşor!

c) ,0,32 0,08 0,32 0,08 0, 4256 , 42,56% j i i q= + α + ⋅α = + + ⋅ = =9 9

0

0,42561 245 000 1 335 267,3

12 12c

jS S

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ + = ⋅ + ≈⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

u.m.

Lucrând cu modelul simplu pentru factorul devalorizării, obţinem:

( ) ( )9

0

91 1 310 478,3 1 0,08 329107

12cS S i t ⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ + α ⋅ = ⋅ + ⋅ ≈⎜ ⎟

⎝ ⎠

u.m.

d)

9

0 91

1 335 267,312 2889240,21 112 12

j

S S

⎛ ⎞

+⎜ ⎟= ⋅ = ≈⎜ ⎟α ⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

u.m. Lucrând cu modelul sim-

plu pentru factorul devalorizării avem:329107

2861809

S = ≈1 0, 2

12+ ⋅

u.m.

Dacă am fi lucrat cu procentul lunar echivalent cu cel anual, aveam:

132,1111212

−=−+= ii şi12 12

1 1 1,15 1α = + α − = − .

a)9

12245 000 1,32 301S = ⋅ = u.m.714,749

121,32245 000 271690

1,15reS ⎛ ⎞

= ⋅ ≈⎜ ⎟⎝ ⎠

u.m. b)

( ) ( )( ) ( )c)99

12245 000 1 1 245 000 1,32 1,08 319 642cS i= ⋅ + ⋅ + α = ⋅ ⋅ ≈

u.m.9

121,32 1,08245 000 278 7911, 2

S ⋅⎛ ⎞= ⋅ ≈⎜ ⎟d) u.m.⎝ ⎠

51



30. Se consider ă trei efecte având valorile nominale la scadenţă după cumurmează: 2 500 000 u.m. la scadenţa din 15 iulie, 2 812 500 u.m. la scadenţadin 30 august şi respectiv 3 250 000 u.m. Scontate pe 1 iunie, banca remite purtă-torului aceeaşi sumă pentru fiecare. Utilizând scontul comercial, să se determine:

a) procentul unic de scont folosit;

b) scadenţa celui de-al treilea efect;c) procentul unic înlocuitor necesar pentru a le înlocui cu o poliţă cu

valoarea nominală de 8 milioane u.m. la scadenţa din 30 septembrie;d) data de scontare la care ele ar putea fi înlocuite printr-o plată unică de

7 316 943 u.m. Solu ţ ie:

( ) , decia) Avem 3,1,1 =⋅−⋅= mt j K K mma

6 45 90

2,5 10 1 2 812 500 1 0,8360 j j j

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ %80=q .,360⎝ ⎠

( ) ⎟ ⎠

⎜⎝

⋅−⋅⋅=⋅−⋅⋅360

8,01105,28,011025,3 66 t ⎞⎛ 45

b) Din , obţinem

zile138ani ≈26

10=t . Scontarea fiind pe 1 iunie, rezultă că data scadenţei

este 19 octombrie.

( )t j K K ac) Avem ⋅−⋅=⋅ 113 , ⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛

⋅−⋅⋅=⋅⋅ 360

120

11081025,23 1

66

j

4687,01 = j %47≈q, rezultă

, .d) Fie t numărul de zile de la data scontării până la prima scadenţă (15

iulie). Avem:

6 457 316 943 2,5 10= ⋅ 1 0,8 2 812 500 1 0,8

360 360

t t +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

63,25 10 1 0,8 30360

t + ⋅ ⋅ − ⋅ ⇒ ≈⎜ ⎟⎝ ⎠

94t +⎛ ⎞ zile, deci data scontării este 15 iunie.

31. La data de 30 iulie, cu 60 de zile înainte de scadenţă, se schimbă o poliţă în următoarele condiţii impuse de bancă:

— procent de scont de 50%; — comision de acceptare de 3%, se va adăuga procentului de scont; — comision fix pe efect de 2 000 u.m.; — taxa pe comisionul fix de 20%; — se adaugă 5 zile de bancă;

— se aplică scontul simplu comercial.Dacă valoarea nominală a poliţei la scadenţă este de 6 milioane u.m., să se

determine:

52



a) valoarea scontată a poliţei; b) procentul real de scont şi procentul de revenire al operaţiunii de scont.Solu ţ ie: a) Durata până la scadenţă este t = 60 zile, având de calculat un

agio folosim durata72

13

360

65 zile6551 ===+= t t ani.

Deci =++⋅⋅+= fixcomisionul petaxafixcomisionulagio 11 t j K S sc

1 1 1 2 000 0, 2 2 000 K j t K j t = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ =

6 136 10 0,53 2 400 576 566,6

72= ⋅ ⋅ ⋅ + = .

Rezultă u.m.6,576566106agio 6 =−⋅=−= K K a 4,5423433

b) Avem: t q

K ⋅⋅=100

fixcomisionul petaxa-agio 1 , rezultă:

( )1

6

576 566, 6 400 10057,617%

606 10

360

q− ⋅

=⋅ ⋅

= (procentul real de scont).

Fie q2 procentul de revenire (sau efectiv) al operaţiunii de scont. Avem:

t q

K a ⋅⋅=100

fixcomisionul petaxa-agio 2 , deci

22

60576 566,6 400 5 423 433, 4 63%

100 360

qq− = ⋅ ⋅ ⇒ ≈ .

Matematici financiare

Documents

Transcript of Matematici financiare