Cuprins

313

XI. Sisteme de ecuaþii liniare ................................... 1091. Noþiuni generale ....................................................... 1092. Metode de rezolvare a sistemelor liniare ................. 1113. Sisteme de ecuaþii liniare omogene ......................... 115

XII. Legi de compoziþie .............................................. 1171. Lege de compoziþie .................................................. 1172. Parte stabilã .............................................................. 1173. Lege de compoziþie indusã ....................................... 1184. Tabla unei legi de compoziþie .................................. 1185. Proprietãþile unei legi de compoziþie ....................... 118

XIII. Structuri algebrice .............................................. 1201. Noþiuni generale ....................................................... 1202. Structuri algebrice cu o lege de compoziþie ............ 1203. Structuri algebrice cu douã legi de compoziþie ....... 123

ANALIZÃ MATEMATICÃ

I. ªiruri .................................................................... 1291. Noþiuni generale ....................................................... 1292. ªiruri monotone ........................................................ 1293. ªiruri mãrginite ........................................................ 1304. Subºir al unui ºir ....................................................... 1315. Vecinãtãþi .................................................................. 1316. Limita unui ºir .......................................................... 1317. ªiruri convergente .................................................... 1338. Convergenþã ºi mãrginire ......................................... 1349. Criterii de convergenþã/divergenþã a ºirurilor ......... 134

10. Operaþii cu ºiruri convergente .................................. 13611. Cazuri de trecere la limitã rezolvate ........................ 13912. Cazuri de nedeterminare (exceptate) ....................... 14013. Limite remarcabile de ºiruri ..................................... 140

Matematicã: formule ºi noþiuni generale — clasele IX-XII

6

Mulþimea A nu este inclusã în mul-þimea B dacã existã cel puþin un elementdin A care nu se aflã în B.

Notaþie: A B sau B A.Se citeºte: A nu este inclus în B sau B

nu include A.Avem: A B x A astfel încât x B.Proprietãþile incluziunii:Fe M o mulþime de referinþã. Avem proprietãþile:1. reflexivitate: A A, A M;2. antisimetrie: (A B ºi B A) A = B, A, B M;3. tranzitivitate: (A B ºi B C) A C, A, B, C M;4. A, A M.Observaþie: Dacã A B, atunci A este o submulþime a lui B.

Definiþie: Dacã A este o mulþime, atunci mulþimea formatãdin toate submulþimile lui A se numeºte mulþimea pãrþilorlui A.

Notaþie: (A).Observaþii:1. (A).2. A (A).3. Dacã A are n elemente, (A) are 2n elemente.

1.3. Egalitatea mulþimilorFie A ºi B douã mulþimi incluse într-o mulþime totalã (de

referinþã) M.Definiþie: Mulþimea A este egalã cu mulþimea B dacã A

este inclusã în B ºi B este inclusã în A.Notaþie: A = B.Se citeºte: A egalã cu B.

Algebrã

7

Avem: A = B A B ºi B A.Observaþie: Douã mulþimi sunt egale dacã un element al

uneia este ºi al celeilalte, ºi invers.Proprietãþile egalitãþii:Fie M mulþime de referinþã. Avem proprietãþile:1. reflexivitate: A = A, A M;2. simetrie: A = B B = A, A, B M;3. tranzitivitate: (A = B ºi B = C) A = C, A, B, C M.

2. Operaþii cu mulþimi

2.1. Complementara unei mulþimiFie A o mulþime inclusã într-o mulþime totalã (de referinþã) M.Definiþie: Complementara mulþimii

A este mulþimea formatã din elementelelui M care nu aparþin lui A.

Notaþie: CA sau CMA.Se citeºte: complementara lui A sau

complementara lui A în raport cu MCMA = {x | x M, x A}.

Proprietãþile complementarei:Fie M o mulþime de referinþã. Avem proprietãþile:1. CM(CMA) = A, A M;2. CMA = M \ A, A M;3. CM = M;4. CMM = ;5. A CMA = M, A M (principiul terþului exclus);6. A CMA = , A M (principiul noncontradicþiei);7. A B CMB CMA, A, B M.