gtefan SMARANDOru

Cristian LAZAR

Marius PERIANU

Dumitru SAVI.]LESCU

Matematiceclasa a Vl-a

I

@(/ cr-usur- \/ulrsumcteNtron\

Cuprins

nLceanACapitolul 1. Numere naturale1.1. Operafii cu numere naturale........1.2. Reguli de calcul cu puteri................

1.3. Compararea puterilor . Petrate gi cuburi perfecte.

Alte probleme in care intervin puteri........'....

Teste de eval uore ..................

1 .4. Divizor. Multiplu ........

1.5. Criterii de divizibilitate....................

1.6. ProprietSlile ale relaliei de divizibilitate in N

.l.7. Numere prime. Numere compuse

1.8. Descompunerea numerelor naturale in produs

de puteri de numere prime...........

1.9. Divizori comuni..........1.1 0. Multipli comuni.........

1.1 1. Probleme cu caracter practic...........

1.12. Probleme pentru performanld gcolard 5i olimpiade.

Capitolu! 2. Numere ralionale

2.1. Fraclii echivalente. Fraclii ireductibile..............2.2. Numere ralionale pozitive. Forme de scriere.....

2.3. Compararea numerelor ralionale. Aproximdri...2.4. Adunarea numerelor ralionale pozitive.........

2.5. Sciderea numerelor ralionale pozitive........

Teste de eval u are ..................

2.6. inmullirea numerelor ra!ionale pozitive.........

2.7. impS(irea numerelor ralionale pozitive2.8. Ridicarea la putere a numerelor ralionale pozitive.

Reguli de calcul cu puteri....................

2.9. Ordinea efectudrii operaliilor 114

Teste de eva1uare.................. '1"17

2.10. Media aritmetici ponderati a unor numere ralionale....... 12'l

2.1 1. Ecualiiin mullimea numerelor ralionale pozitive......... "124

7't0

14

18

2"1

26

30

3437

41

455055

596"1

697480869297

101

106

110

I

(t

(!(ll!U

t

=UI

=

2.1 2. Probleme care se rezolvd cu ajutorul ecuatiilor......Teste de eva1uore,.................

2.13. Probleme cu caracter aplicativ........2.14. Probleme pentru performangi gcolard giolimpiade.

GEOMETRIE

Capitolul3. Dreapta3.1. Punct. Dreapti. P|an................

3.2. Semidreapta. Semip1anu1..................3.3. Segmentul de dreapti3.4. Poziliile relative a doud drepte3.5. Lungimea unui segment........-......-..

Teste de eva1uare............--.--.

3.6. Probleme cu caracter practic...........3.7. Probleme pentru performanld gcolari gi olimpiade.

Capitolul4. Unghiul4.1. Unghiul4.2. Clasifi carea unghiurilor4.3. Unghiuri adiacente. Bisectoarea unui unghi...4.4. Unghiuri complementare. Unghiuri suplementare4.5. Unghiuriopuse la vdrf4.6. Unghiuriin jurul unui punct...

Te ste de eva I u a re ...........

4.7. Probleme cu caracter practic....................

4.8. Probleme pentru performanld Scolari giolimpiade.

Capitolul 5. Triunghiul5.1. Triunghiul5.2. Construc!ia triunghiurilor .............

5.3. Congruenla triunghiurilor ................5.4. Metoda triunghiurilor congruente

5.5. Probleme cu caracter practic5.6. Probleme pentru performanli gcolari gi olimpiade.

Capitolul 6. Variante de subiecte pentru tezi

128130133

135

139146

173183

150'153

156163

167"t69

"t87

193'198

2032072"t1

2'.13

217222226230235239

3uutIJJ

3rn

.tsEo

2EIJIo.)'=.E

=EN

C(!

U

=oozE,<

=antr6OJPv1"

Solutii 24"1

ALGEBRA

CAPITOLUL

IlJumere naturale1.1. Operalii cu numere naturale1.2. Reguli de calcu! cu puteri1.3. Compararea puterilor. Pitrate gi cuburi perfecte.

Alte problemein care intervin puteriTeste de evaluare

1.4. Divizor. Multiplu1.5. Criterii de divizibilitate

1.6. Propriet5lile divizibilitSlii in N

Teste de evaluare

1.7. Numere prime. Numere compuse

1.8. Descompunerea numerelor naturalein produs de numereprime

1.9. Divizori comuni1.10. Multiplicomuni

Teste de evaluare

1.11. Probleme cu Garacter aplicativ1.12. Probleme pentru performanfi gcolari gi olimpiade

CAPITOLUL 1-

I'{umere naturale

@ Operaliicu numere naturale

Operaliile cu numere naturale invSlate se clasificb in:- .rpera{ii de ordinul intAi: adunarea qi scdderea;- .rperafii de ordinul al doilea: inmul{irea gi impdrfirea;- .rperalii de ordinul al treilea: ridicarea la putere.

Proprietili ale operaliilor cu numere naturale1. Adunarea este comutativI, asociativf, qi are elementul neutru 0.

2. inmullirea este comutativI, asociativ[ gi are elementul neutru 1.

3. lnmullirea este distributivdfal6 de adunare gi scddere.

Ordinea efectuirii operaliilor1 . Operaliile de acelaqi ordin se efect,rcazd in ordinea in care sunt scrise.

2. Dacd un exerciliu cuprinde operafii de ordin diferit, mai intdi se efectueazS

operaliile de ordinul al treilea, apoi cele de ordinul al doilea qi, in final, cele de

r-rrdinul I.3 . Dacd se utilizeazd paratteze, atunci mai intdi se efectueazd calculele situate intre

parantezele rotunde, apoi cele dintre parantezelepdttate qi, in final, dintre acolade.

.t-,L

1. Efectuali urmdtoarele calcule:a) 34567 +76543; b) 12345-3456; c) 91919-9090;

fl 68442:34.d) 37.3003; e) 308625:25;

2. .{flali num[rul natural n din egalitSlile:a) n+76543=200000; b) 12345-n=4587; c) n-919=1094;d) n:37 =6006; e) n'74=888888; fl 94611:n=47.

3. Efectuafi, ddnd factor comun:a) 38.37 + 38.63;

dt 47.61-47;b) 86.53-76.53:. c) 47.99+47;e) 2012. 20ll+ 2012. 2013 -2012. 4024 .

4. Determinali numdrul natural mperfirv care are loc egalitatea:

I,t:+[2s.4-(3.11+3 22)) m\ :2 =13 .

5. Afla1i num[ru] natural o careverific[ rela]ia { l(a :2)+ al: 3} : 4 = 10.

6. Calculali diferenla dintre cel mai mic numdr natural de cinci cifre diferite doud

cdte dou[ gi cel mai mare numlr natural de patru cifre diferite doul cdte doud.

I

(!

(!(o

(!UtJ

=ul

=

Dlr,UIIu

=UIl.tEofzsEut4=l!

=GN

cIEE

\J

Poo=E

=rnc6(U

w

7. Suma a doul numere naturale este 9. Aflali cea mai micl gi cea mai mare valoarea produsului lor.

8. Suma a doui numere naturale nenule este 10. Aflali cea mai micd gi cea mai marevaloaxe a produsului lor.

9.Produsul a doul numere naturale este 18. Afla1i cea mai mare si cea mai micivaloare a sumei lor.

-L&,L J\

10. Ioana are 11 ani, iar Gabriel are 40 de ani. Peste c6!i ani Gabriel va avea dublulvirstei Ioanei ?

11.La naSterea Alexandrei, Mihaela avea32 de ani. Peste cdli ani de la nagtere,Alexandra va avea o treime din vdrsta Mihaelei?

l2.Puteli scrie numlrul 12, atAt ca sum6, cdt gi ca produs al aceloragi numerenaturale? Dar numlrul 13?

13.Dacd x.y=30 Si x.z=25,calculali x.(y+z)qi x.(y-z).la. $tiind cd x.y =77 $i x- z =99 , calculali cea mai mare gi cea mai micd valoare

asumei y+2.

15. Calculafi (2+ ++...+20t2)-(l+3+...+201 l).1 6. Efectuaf; calculul: (ZZ + U + ... + 202a) : (t t + ZZ + ... +l 0 I 2) .

17. Determina{i suma tuturor numerelor naturale de doul cifre care imp[rfite la 5 daurestul egal cu 3.

18. Suma a cinci numere naturale nenule gi distincte este 16. Afla{i cele cinci numere.

I 9. Aflaf; $apte numere naturale, distincte, gtiind ci suma lor este egall cu 2l .

20. impn4ind gase mrmere naturale consecutive la 6, se obtine mereu citul 5.Determinali cele gase numere.

2 1 . Determina{i numlrul de zerouri in care se terminl num6rul l. 2. 3. .... 30 .

22. Determinali ultimele dou[ cifre ale produsului I . 3 . 5 ..... I 5 .

23. Aflafi ultimele doul cifre ale sumeiS = 1+ 2.3+3 .4.5+6.7.8.9+...+36 .37 .38.....44.

24. Ar1ta|ri cI nu existii rumere naturale care, irnpirfite la 12 sI dea restul 8, iarimplrtite la 14 sI dea restul 5.

25. y'r;hhti ctr I + 2 + 3 + ... + n + aaa, oicare ar fi n eNt gi a e {1,2,...,9} .

26. Determinali numerele ob"d cu proprietatea cI 3 + 6 + 9 + ...+ "U"a

= ob"d}O}27. F ie a = l. 2. 3 . .... n + 2012, unde z > 25 . Aflali restul impirfiri i lui a la 125.

2S.Determinati numerele naturale a qi b , qtiind cI a implrfit la b dd restul 7, D

impirfit la a dd restul 9, iar suma a + b este cea mai micl posibil5.

J.&J.,L J\ J\

29. Suma cifrelor numirulu i abcd este 34. Determinali cea mai micl 9i cea mai mare

valoare a sumei cifrelor num[rului abcd +Z .

30. Determinafi numerele naturale din care se obtine un numlr mai mic cu 9999 dacd

le qtergem ultima cifr6.

31.Un num[r de patru cifre se termin[ cu cifra 2.Dacd ii mutiim ultima cifri lainceput, num[ru] obfinut este mai mare cu 198 dec6t cel inilial. Aflali toate

numerele cu aceastii proprietate.

Probleme de gapte stele

32. Se scriu petabldnumerele naturale l;2;3; ...;1999. Nruimimoperalie faptul cd se

gterg, la int6mplare, doud numere gi se adaugd pe tabld diferen{a lor, numirnatural.a) Dupd cdte operalii rlmdne scris un singur numdr pe tabli?D) Stabiliti dacd numdrul rlmas este par sau impar.

($tefan SmErdndoiu, Centrul de Excelenfi, Rdmnicu V61cea, 2007)

Rezolvare.a) La frecare operalie, numSrul numerelor de pe tabl6 scade cu unu. cum sunt 1999

nnmere scrise pe tabli sunt necesare 1998 de operalii.D) Initial, pe tabl6 sunt scrise 1000 de numere impare qi 999 de numere pare. (1)

Distingem trei cazuri:. Se $terg doui numere pare. Conform principiului paritdlii , mmldrul care se adaug6 pe

tabl6 este par. Consecinli: Numirul numerelor pare de pe tabl6 scade cu unu, iar al celor

impare rimine neschimbatl Q)o Se $terg dou6 numere impare. Conform principiului paritdlii, numlrul care se adaugi pe

tabld este par. Consecinltr: Numdrul numerelor pare de pe tabl[ cre$te cu unu, iar al celor

impare scade cu doi! (3)

o Se $terg doui numere de paritEli diferite. Conformprincipiului paritdlil, numErul care se

adaugi pe tablS este impar. Consecinp: Numdrul numerelor pare de pe tabl6 scade cu unu,

iar al celor impare r6mdne neschimbat! (4)Din relatiile (2), (3) qi (4), deducem cE num6rul numerelor impare de pe tabli, dupi fiecare

operalie scade cu doi sau rimdne constant! (5)

Din relafiile (l) - (5), deducem ci numarul rdmas pe tabl6 dupd 1998 operalii este par.

33. Se scriu pe tabh numerele naturale l;2;3; ...;2010. Numim operalie faptul cI se

gterg, la int6mplare, doui numere gi se adaugi pe tabli suma lor.

a) Dupd cdte operalii rlmine scris un singur numlr pe tabl[?,) Stabiliti dacd numirul rlmas este divizibil cu 5.

($tefan Smnrlndoiu, Centrul de Excelenp, Mmnicu Vilcea,2008)

34. Avem opt bile gi opt cutii, numerotate de la I la 8. Fiecare bill se asazd laintimplare intr-o cutie. Adun[m numlrul bilei cu numlrul cutiei in care se aflI gi

ob{inem opt numere. Arataf cI printre cele opt numere obfinute existi cel pufin

doui care dau acelaqi rest prin imp[rfire la 8.

i|E

(oIE

!LJ

IF=IIF

=

3\,1Al!f

ta).gEfo3zsG,Elo.).Ct!

=E,

N

c(E

UafoozE

=tncGo

(4p)

(1p)

(1p)

(1p)

(2p)

Testul 1

(4p) 1. Calculali;

a) 20+03+la+41+52; b) 520.5-52r; d 6oo:6t'; i0(7r)':lto.(1p) 2. Calculali: 3" :9" +3'' -30 .llze,35 +33 :(:.:'-rs')].(1p) 3. Fie q=1" +4'o +735. AflaliultimacifrIanumIruluia.(1p) 4. Comparalinumerele: 2% cu35a .

(2p) 5. Fie .S = 20 +21 +2' +23 +...+2ee.a,) Demonstra{i cn S i 15 .

b) Arilarj cd S are cel pulin 30 de cifre.

NOTA. Timp de lucru 50 minute. Se acord[ I punct din oficiu.

Testul 2

1. Calculali:

a) 7o +13 +0a +8t +72; b) 427.4:428 ; c,) 8a0:838; 0 (Z')t :lt'.2. Calculali: 230 :2'5 +2oo -z'.ltzz:zt +z' :(z.zo -24')).3. Rezolvali ecuatia: 3x+3 +3x+2 - 3' = 315 .

4. Comparali numerele 823 gi 1617.

5. Fie S = 1+3+32 +33 +...+380.

a) Ar5ltali ci S i 13.

D,) Demonstrali cd 25 >2727 -9.NOTA. Timp de lucru 50 minute. Se acordS I punct din oficiu.

Testul 3{4p) 1. Calcula}i:

a) 50 +0' +13 +l0r +72; b) 7'o .7'-7"; c) zou :2a3; d) (l')' ,(ln)u .

(1p) 2. Calculafi: 730 :491s +72o +71 .lz+ot:73 +72 :(l.l' -336t)].tl p) 3. Ardttalicd numIrul 4r5 este pitrat perfect.(1p) a. Scrieli numlrul 3537 casumi de dou5 cuburi perfecte.

{2p) 5. Fie a = 1.2.3.4.....n+57.a,) Pentru n =10, ardtali cd a nu este pdtrat perfect.6,) Determinafl n e N, pentru care a este p[trat perfect.

NOTA. Timp de lucru 50 minute. Se acordi I punct din oficiu.

18