Mircea FIANU. Marius PERIANU . Durriitru SAVULBSCU

Matematiceclasa a Vlll-a

I

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

1.7.

CupnrNS

RLCEAnA Capitolul 1. Numere reale

1.1. Mul[imidenumerereale:N C-V' C-Q CR1.2. Reprezentarea pe axd a numerelor reale.

Compararea gi ordonarea numerelor reale .............. 13

Modulul unui numdr rea|................. 20

lntervale in JR . Definitie, reprezentare pe ax5 23

Teste de evaluore .................. 29

Figd pentru portofoliulindividual(A1)... 31

Operatii cu numere reale .............. 33

Rationalizarea numitorilor 43

Teste de evaluore .................. 47

FiSd pentru portofoliul individual(A2).. 49Calcul cu numere reprezentate prin litere: adunarea, scdderea,

inmulfirea, impdrlirea, ridicarea la putere cu exponent intreg................ 51

1.7.1. Adunarea gi sciderea ..................... 51

1.7.2. inmullirea, impSrlirea, ridicarea la putere cu exponent intreg .... 54Formule de calcul prescurtat 57

Descompunerea in factori 62

1.9.1. Metoda factorului comun........... 62

1.9.2. Utilizarea formulelor de calcul prescurtat..... 641.9.3. Descompunerea in factori folosind metode combinate... 67

Teste de evaluare .................. 70

Fi$d pentru portofoliulindividual(A3)... 71

1.10. Rapoarte de numere reale reprezentate prin litere.Amplificarea. Simplificarea ..................... 73

1.1 1. Operatii cu rapoarte de numere reale reprezentate prin litere ............... 78

1.1 1.1. Adunarea gi scdderea... .. 78

1.1 1.2.1nmul1irea, impdrfirea, ridicarea la putere.

Expresii cu toate opera!ii1e...... 83

Teste de eva|uore ......................

1.8.

1.9.

93

F i 5a pentru portofol i u I i n divid ual (A4)................

1.12. Probleme cu caracter aplicativ........1.13. Probleme pentrur performanti gcolari gi olimpiade.

9597

100

I

(EI5(o(o

GIJ

IJ

=utF

=3

Teste de evaluareFi5a pentru portofoliul individual (G 1 ) ...............

2.4.

2.5.

Poziliile relative a doui drepte in spaliuUnghiul a doui drepte in spa[iu. Drepte perpendiculare .............................

Teste de evaluare

2.6.

2.7.

Distanfa de la unTeste de evaluare

120"t21

123126129

Fi5a pentru portofoliul individual(G2) ............... 131

Pozifiile relative ale unei drepte fatd de un plan.Dreapti paralelS cu un plan ......... 133

Dreapti perpendiculard pe un plan.punct la un plan. lnillimea piramidei................................. 137

141

Fiqa pentru portofoliulindividual(G3) ............... 1432.8. Pozitiile relative a doui gi trei plane. Plane paralele.

Teoreme de paralelism .................. 145

2.9. Secliuni paralele cu baza in corpurile studiate. Trunchiul de piramidd .... 149

Teste de evaluare ...... 153

Figa pentru portofoliul individual(G+) ............... 1 55

2.10. Probleme cu caracter aplicativ .... 157

2.1 1. Probleme pentru performan[d gcolard gi olimpiade. 160

GEOMETRIE Capitolul3.Proiec[iiortogonale3.1. Proieclii de puncte, segmente 9i drepte pe un plan3.2. Unghiul unei drepte cu un plan. Lungimea proiecfiei unui segment ..

3.3. Teorema celortrei perpendiculare ....................

Teste de evaluare .................. 177

FiSa pentru portofoliul individual(G5) ............... 1793.4. Unghi diedru. Plane perpendiculare .................... 18'l

3.5. Calculul unor distante gi mdsuri de unghiuri pe felelesau in interiorul corpurilor studiate 186

Teste de evaluareFi5a pentru portofoliul individual(G6) ............... 193

3.6. Probleme cu caracter aplicativ........ 195

3.7. Probleme pentru performanfi gcolard giolimpiade. 197

SINTEZE Capitolul 4. Variante de subiecte pentru tezi ................. 201

Solulii ....... 20e

165

169173

191

CAPITOLUL

NUUERE REALE

Tema 1.1. Multimi de numere reale: N c.Z c. Q c IR

Tema 1.2. Reprezentarea pe axi a numerelor reale.

Compararea numerelor reale

Tema 1.3. Modulul unui numir realTema 1.4. Intervale de numere reale

Teste de evaluareFig d pentru p ortololiul indiv idual

Tema 1.5. Operalii cu numere realeTema 1.6. Ralionalizarea numitorilor

Teste de evaluareFiSd pentru portofoliul individual

Tema 1.7. Calcule cu numere reale reprezentate prin litere1.7.1. Adunarea gi scdderea

1.7.2. inmul;irea, impirlirea gi ridicarea la putereTema 1.8. Formule de calcul prescurtatTema 1.9. Descompunerea in factori

Teste de evaluareFiSd pentru portofoliul individual

Tema 1.10. Rapoarte de numere reale reprezentate prin litere,Amplificarea. Simplifi carea

Tema 1.1 1. Operalii cu rapoarte de numere reale reprezentate prin litere

1.1 1.1. Adunarea gi sciderea

1.11.2. inmullirea gi impirfirea1.1 1.3. Ordinea efectuirii operaliilorTeste de evaluareFisd pentru portofoliul individual

Tema 1.12. Probleme cu caracter aplicativTema 1.13. Probleme pentru performanli gcolarl gi olimpiade

TemaMullimi de numere reale: N c Z c Q c R

llullimea numerelor naturaleItrlii. 1,1 = {0,1,2,. ..,fi,...} este mullimea numerelor naturale;

]ir = N \ {0} = {1,2,...,n,...) este mullimea numerelor naturale nenule.

ftrrrlie. Mullimea numerelor naturale N este stabild in raport cu operaliiletb &ure gi tnmullire, adicl suma a dou[ numere naturale este un numlr natural,lr grodusul a doud numere naturale este tot un num[r natural.

Hullimea numerelor intregitot tii. Z = {..., -2, -1, 0, + 1, +2,... } este mullimea numerelor intregi;

Z* = Z \ {0} este mullimea numerelor tntregi nenule.

observalia 1. N c Z si Z={xnln. N}= {-"l"eX-}u{o}uN*.Ob*ervalia 2. Mullimea numerelor intregi este stqbild in raport cu operaliile de

,fuiore, scddere qi inmullire, adic[ suma, diferenla gi produsul a dou6 numere

iEtregi sunt numere intregi.

Multimea numerelor rationale

t{otalii. * = {; I o.z, b .2.\ este mullimea numerelor ralionale;

Q* = Q \ {0} este mullimea numerelor ralionale nenule.

Observalia 1. Mullimea numerelor ralionale este stabild in raport cu operaliile de

a:i\narc, scddere, tnmul1ire Si tmpdrlire, adic[ suma, diferenfa, produsul qi c6tul a

dscl numere ralionale (dintre care impSrlitorul este nenul) sunt numere ralionale.Observalia 2. Pentru orice numir ralional nenul q existl o unicd fraclie

nductibild l, "u o eZ Si b e N*, astfel incdt q =9.

Observalia 3. Un num5r ralional poate fi reprezentat prin fraclii ordinareerhh'olente sau printr-o fraclie zecimald Jinitd sau periodicd.

Eremple. ,. ?=1=2,q, fraclie zecimaldfinitd;'slO

a, ?59 =l?5 = 41,666...= 41,(6) , frac{ie zecimald periodicd simpld;63

ls05c. - =250,8333...= 250,8(3), fraclie zecimald periodicd mixtd.

6

Mul!imea numerelor realet{otatii. lR. este mullimea numerelor reale;

lR.* este mullimea numerelor reale nenule;

IR\Q este mullimea numerelor irafionale.

T(EJ

=(!rE

gurJ

=IJJF

=

Observatia 1. N c Z c Q c IR.

Observa[ia 2. Orice numdr iralional este reprezentat de o fraclie zecimaldinfinitd Si neperiodicd.Observa[ia 3. Reciproc, dacl un numdr real este reprezentat de o fraclie zecimaldinfinild Si neperiodicd, atunci numdrul este ira{ional.

DUr/tutfr(rn

.=Eaofzgc,lr,t6.

'i(o

=l2sttl!oU.=

=

.LJ\

1. Dintre propoziliile de mai jos, menlionafi-le pe cele adevlrate:

2. Se consider[ numerele -l ; Sf,; -S ;

Dinke aceste numere, scrie{i pe caiet:a,) numerele naturale;c) numerele intregi;e) numerele rationale;

6) numerele nenule;d,) numerele reale;

;fl numerele iralionale.

a/ 5eN;d) -3eN;

e lez;

D) J23eR;

4 Jj eQ;

D *.a;

u*;

c/ 8,(3)eN;

fl l3e Z;

r) 2,25 e N*

-3,25 ;Ji; f ; o ; -!, * o ; 3,1(4).

t#,

3.FieA:{-rz; +l; o,(s);J+;-2;JB; 0; zts; s};fi}. o"te.-i,urt:

4. Dintre urmdtoarele fraclii, indicali fracliile echivalente cu l5

,6o) to; u*; "t *, at #;

a) lnN;d) AaZ;g) ln(R \Q) ;

a) 4,7 ;

d) 5,25;

a) 5,3;d) 6,3(5);

D) ln(Z\N);e) Aa(Q\Z);ft) r\JR.";

b) 19,(5);

e) 32,(41);

b) 0,701;e) 2,(4);

c) AaQ;O A\Q*;, r\R. .

.12el -.' 20'

5. Reprezentali sub form[ de fraclie ordinarl fiecare dintre numerele :

6. Reprezenta{i urmdtoarele numere ra}ionale sub forml de fraclie ireductibild:

c) 0,5(3);

fi t,2t(0s).

c) 125,49;

CI 13,7 (r4) .

7. Transformati urmrtoarele fracfii ordinare in fraclii zecimale, amplificdndu-le,eventual, convenabil:

o*' .5c) i;

,)od) 7;)

. lle) zo;

8. Transformali urmitoarele fracfii ordinare in frac]ii zecimale, simplificdndu-le,eventual, mai intdi:

o+o

.34a) to;

at#;. 344ol

-.

o'1ooo'

.34o) _;b)

dt W:' 15'

.-4u -l-)d) 0,9(36);

474747al-' 252525

a/ subunitar[;d) zecimaldfnitd;

u-*;e) 3,(7);

.t -LJL 'L

D) ireductibild;e) periodicd simpli;

-. 123123b) n4B4

. 412c) go;

t#,.. 23

'/ l8o '

. 707c) -.

'77'

n+it

.13")

-tooti^ sl5lli ss8s'

4 4*,o -2,1(6).

c) reductibild;.l) periodicd mixtd.

. 49704970^l

-

" z+slzqsr'

16.8'2l .

J

2.25'

b)

e)

h)

9. Reprezentali urmltoarele numere ralionale sub form[ de fractie zecimald1'

.9q) =l)

at 4;b

10. Determinali numerele naturale nenule a qi b pentru care fraclia ireductibild $b

este echivalentd cu fractia:

u*;. 202e) 3rn;

u2;65

.55e) rgi;

1 1 . Reprezentali numerele ralionale de mai jos sub forma f, ,

wde a eZ, b eN' .

12. Dali cdte trei exemple de numere naturale n pentru care frac{ia I este:n

t 3. Determinali frticlia ireductibilf, echivalentd cu:

I

(!f

(E(!(!

U

u

=ul

E

l{. Stabilili valoarea de adevdr a fiecdreia dintre urmltoarele propozifii, enun!6nd

site un contraexemplu in cazul propoziliilor false.r,1 -Orice numdr nafural este num[r intreg."

3IJtalu:)

t

.tE5o:)zsEu,lo.f(!

=fzsltl!(ul,.=

=

b) ,,Oice numdr real este numdr ralional".c) ,,Dacd un numdr nu este ralional, atunci numdrul nu este intreg."d) ,,Orice numlr intreg este numdr natural."e) ,,Oice numlr ralional este num[r real."l) ,,Un numir este natural numai dacd numdrul nu este intreg."

15. Scrieli numdrul 12 ca:a) xtma a trei numere naturale;D,) suma a doul numere intregi din care unul negativ;c) diferen,ta a dou5 numere intregi; d) produsul a doul numere ralionale;e) produsul a doud numere iralionale; J) suma a doud numere iralionale.

1 6. Reprezentali ca sume de produse intre cifrele din baza I 0 qi puterile ale lui l0urm[toarele numere rationale :

a) 739;d) 25,203;

b) 0,145:e) 210,08:

c) 15,34;

o 2,3(4).

Rezotvare. a) 739 = 7 .10'z + 3.101 + 9.100

c) 15,34=l.l0r +5.100 +3.10'r +4.10-'z sau 15.34=1.10' +5.t0' +a+1-'" 'l0r'102'

17. Determinati, in fiecare din situafiile urmitoare, numerele intregi n penku carerelaliile urmitoare reprezintipropozilii adevlrate:

a/ freN;0 ffiez,;

a *ez\N;, 3n+5e) --- . eLl

3n- |

?(c)

-elL.

' 4n+l

flffi'x'18. Scrieli cdte doud numere ra{ionale cuprinse intre }

7a) fraclii ordinare;b) fr aclii zecimale periodi ce ;c) frac,tli zecimale finite;

19. Determinali numerele naturale nenule x gi y pentru care xxxx 1z.f Wp1 .

20. Numerele 123,123123; 0,(142857) 9i 7,2(51) sunt scrise sub form[ de fracliezecimald.a/ Scrieli a lO-a cifr5 de dupl virguld a fiecirui numlr;D,) Determinali a 100-a cifrl de dupi virgulS a fiecdrui numir.

2l.Aflali cel mai mic numdr natural nenul a pentru care fractiile *,9 qi ^112' 5 36reprezintA simultan numere naturale.

-7.22. a) Determinali numerele naturale n pentru care frac1ia # este reductibil[.' 3n-2b) Determinati suma celor mai mici 2011 numerele naturale nenule n pentru

n-3care fiactia # este reductibilI.' 3n-2

ti I sub form[ de:

23. Aflali numerele naturale n pentru care fracliile urmdtoare sunt reductibile:. n+l

C)-.' n'-3n+l. 2n+3a) tor+z;

-. 3n+2b) sn+si

c) A=1+3+5+7+...+199;d) A =199 +2.(1+2+3 +...+199) .

a c={*.xl }-.r\,' t lx-2 )

dr D={xeNll-..u\.u,, u- f"

=,"1 3x+2--).

c) C ={* .zl ts <z*'< :oo} ;

d) D ={r. X lu. *' ++ < +0} .

I

(oI

(E

(o

oUr(v

=l!

=

h

O ezaUits;

I OeaOc|r9A.

24. Fienumrrul ^=U-u' ..Y!r#, r e Neik e N.

tu5talicf,aeN.25. Demonstrali c[ numerele urm[toare sunt iralionale:

a) Ji ; U Ji ; ") Jp, undep este un num[r natural prim.

Rezolvare. a) Presupunem cA rE este numdr ra,tional adic[ existd fraclia ireductibiH {b

astfel inc6t J1 :9, echivalent "u

*(, sar_ 3b2 =a2. Deducem cd 3la , adrcd' b' b'

a=3ar,a,€N*. inseamnl cd 3b2=(3q)', echivalent r;u3b'=9a?,sau b'=3d.

Deducem cFt 3l b , adic1t b = 34, b,e N* . Deci + =+ este fractie reductibil[, contrarb 3b1

presupunerii f[cute. Rezult6 cd presupunerea este fals5, deci 16 este num6r iralional.

26. Stabilili dacd num[rul J7 este ra,tional in fiecare din urmltoarele cazuri:

a) A=32 +42 +52;b) A=52006 +72007 '

27. Scrieli elementele mulfimilor:I I a I

Q A=lxeNl eNf ;' t lx+2 )

( -l i -1U a=\xezl2x+tetLl;

28. Scrieli elementele mullimilor:

or z={r.NI 3'*tl.x},l-lx+l )

tt n=\..zlt;#."\,IL Daermina{i cifrele a, b, c astfel incdt sd aibd loc relafiile:

tt Caril; b) Tasig;O 2o3b:36 e) aa67bi 45;

L Sc msiderl numSrul " =+ qi mullimea 14 = {a,2a,3a,...,45a\ .

45-r/ Determinali numlrul de elemente din mu[imea MnN;f, Calcula{i probabilitatea ca, alegdnd la intfimplare un element din M, acesta sd

EenmErnatural.

11

=UutIllfr^=

.tsE

o3zsEUIoJ'=(g

=fzslt(Uc,L'.=

=

& &.L,t ,t ,\

31. stabilili valoarea de adevrr a urmrtoarelor propozilii, demonsh6nd propozitiileadevlrate qi oferind cdte un contraexemplu in cazul propoziliilor false.a,) Produsul oriclror dou[ numere ira]ionale este un numir ira{ional.D,) Suma dintre un numir ralional qi un numdr iralional este numd4 irafional.c) Produsul unui numlr iraf;onal cu un numlr rational nenul este numdr ira{ional.d) Existi doud numere iralionale a ciror diferenld este numIr rafional.e) Pd1rafil oricirui numir iralional este num[r ralional.fl Oice numdr irafional ridicat la puterea zero este numdr natural.Rezolvare. a) propozilie falsd. Contraexemplu: S-..6 Si 5+.6 sunt numere

irafionale, a* (s -.6). (s * .6) = 5' - J7 = 25 - 3 = 22, care nu este ira]ional.

32, a) Ardiali cd un numir este divizibil cu 8 dac5 qi numai dac6 numrrul format deultimele trei cifre ale sale este divizibil cu 8.

b) Ardra[i cdt abc este divizibil cu 8 dacd gi numai dacd 4a +2b+ c i 8 .

33. Se considera numirul " = oJ2nil@:. .

a,) Demonstrati c[ a este numlr irrli.J.*D) Determinali a 100-a cifr6 de dupl virguld a numdrului a.

34. Determinali cifrax (dinbazazece) astfel inc6t:,r/ff.*, ,/rF.*, ,rffi.x,,/ rF.o, , Fo.*, t) EerR\e.

35. Demonstrali ci urmdtoarele numere sunt iralionale:

a)2+Ji ; U4*Ji; c) Ji *J-z;J3

0 Ji+J1; 4 J7-Ji; l) zJi+s",li.36. Demonstrali c6, dacd z este un numir natural, atunci urmitoarele numere

sunt ralionale:

al Jr.za.-g+8, b) Js"+r; d J4nn .

Probleme de gapte stele37. Fie 4 e Q . Dacd, 7 a eZ Si 3a eZ, demonstrali cd, a eZ .

38. Demonstralicd,,dacdn eN qi rfi.Q,atunci JieX.39. tu[tali cd numIrul x = 0,101001000100001... este ira]ional.

40. Fie numerele e,b,c,deQ gi.xeiR.\Q astfel incit a+bx:c+dx. Arltalia=c $i b=d.

|.---------r

Figi pentru portofoliul individualNumele 5i prenumele:

Clasa a Vlll-a

-

I(oJ

=(!(g

toUUF

=lrJF

=

iIi

It

ia

iririllrlrIr[.I-[:IrIrt:IIlrlrI.

IEI:

c) Agezdnd,in ordine crescltoare elementele multimii A ={ZJi;+;ili}

a) 3& este numir irafional.

D) Dintrenumerele o=1 si b=0,22'c,t [-:;o]n(-oo;0J = [-3;0)

AFmai mare este D. A F

AF

c. [-z;1] o. {-t;o;l}

(2p) f. incercuili rdspunsul corect la fiecare dintre urmitoarele exercilii.Dintre cele patru variante de rispuns, scrise !a fiecare cerintS,doar una este corectS.a) Sumanumerelor intregi conlinute in intervalul l-2,31este egal5 cu:

A. -2 8.0 c.l D.3b) A={.re Rl -3<x-l <0} este egali cu:

se obline ordinea:

a,,zJiSJl;4 8.4;3",12;z.ls c.a;2Ji3J2 s.2.li;a)Ji

d) Fie mullimea C ={S;t;:;O} . Cea mai micd diferen}d intre doud

elemente ale mullimii C este egal[ cu:

n. (z;t) n. {-z;l}

A]Tema nr.l.1: Multimi de numere reale.

Compararea numerelor reale. Modulul unui numir real.lntervale de numere reale

(1,5p) 1. Completali pe figi spa[iile punctate cu rispunsul corect.

a) Dintrenumerele 1 gi -:Z , numIrul intreg este ... .4'D/ Fie mullimea A={x e Xl *<2\ . Cel mai mare numir din multimeal

este egal cu ... .

c,) Modulul numirului-rE este ... .

(1,5p) 2. Pentru fiecare dintre enunlurile urmitoare, dacd enun[u! esteadevdrat, incercuili litera A. in caz contrar incercui[i litera F.

A. -5 B. -8 c.--2 D. -3

31