8/17/2019 Mate.Info_.Ro_.2893-CONCURSUL-„PROFU-DE-MATE”-2014-Etapa-a-II-a-Clasa-a-II-a.pdf

1/2

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ "EUCLID" Clasa a IX -a

Site-ul concursului este www.concurs-euclid.ro 

1

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ "EUCLID" 

03. 02. 2013 Clasa a IX -a PROGRAMA I

NOTĂ.Toate subiectele sunt obligatorii. La subiectul I există un singur răspuns corect .La subiectul II se va da direct răspunsul.La subiectele

III si IV se cer rezolvările complete. Se acordă 10 puncte din oficiu.Timp de lucru efectiv 3 ore

SUBIECTUL I ( 20p )

(Se scrie pe foaia de concurs doar litera corespunzătoare răspunsului corect) 

(4p) 1) 

Care dintre numerele următoare aproximează mai bine numărul 3 ?

a) 2 b) 1,9  c) 1,74  d) 1,5

(4p) 2) 

Dacă funcţia RR  : f   este 12     x x f  , cât este 0 1 2 f f f   ?

a) 9  b) 8  c) 11 d) 10

(4p) 3) 

Cât este raţia progresiei aritmetice cu termenul general 5 1na n  ?

a) 4  b) 1  c) 6  d) 5

(4p) 4) Cât este 1, 2,3, 4 2, 4, 6,8 ? 

a) 1, 2   b)  1,2,3,4   c)  1,2,3,4,6,8   d)  6,8  (4p) 5) Medianele unui triunghi sunt concurente în:

a) centrul de greutate b)ortocentru c) centrul cercului înscris d) centrul cercului circumscris 

SUBIECTUL II ( 40p)(Se scriu pe foaia de concurs doar numărul exerciţiului şi rezultatul corespunzător) 

(4p) 1)  Care sunt soluţiile reale ale inecuaţiei 3 6 0 x  ?

(4p) 2)  Care este suma primilor 10 termeni ai unei progresii aritmetice cu primul termen 1 şi

raţia 2 ?(4p) 3)  Care este suma primilor 10 termeni ai unei progresii geometr ice cu primul termen 1 şi

raţia 2 ? 

(4p) 4) 

Dacă funcţiile  RR  : f  , RR  :g  sunt 2  x x f   şi 2   x xg  care estesoluţia ecuaţiei  f x g x  ?

(4p) 5)  Care este monotonia şirului cu termenul general 1

n

nan ,

Nn ?

(4p) 6)  Scrieţi un exemplu de şir nemărginit.

(4p) 7) 

Scrieţi un exemplu de şir strict descrescător . 

(4p) 8)  Dacă 2, 3,  x  sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice cât este  x ?

(4p) 9) 

Cât este raţia progresiei geometrice cu termenul general 5nna    ?

(4p) 10) Dacă 2, 4,  x  sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice cât este  x ?

8/17/2019 Mate.Info_.Ro_.2893-CONCURSUL-„PROFU-DE-MATE”-2014-Etapa-a-II-a-Clasa-a-II-a.pdf

2/2

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ "EUCLID" Clasa a IX -a

Site-ul concursului este www.concurs-euclid.ro 

2

SUBIECTUL III ( 15p )

( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) 

Spunem că o mulţime nevidă de numere naturale este „echilibrată”, dacă orice submulţime

finită şi nevidă a sa are media aritmetică a elementelor un număr natural. 

(4p) a)  Să se verifice că mulţimea 1,3 A  este „echilibrată”.

(4p) b)  Să se verifice că mulţimea 1, 2 B    nu este „echilibrată”. 

(2p) c)  Să se găsească o mulţime C   N  cu 3 elemente care să fie „echilibrată”.

(2p) d)  Să se găsească o mulţime  D N  cu 4 elemente care să fie „echilibrată”.

(1p) e)  Să se găsească o mulţime  E   N  cu 5 elemente care nu se divid nici cu 2, nici cu 3, nici

cu 5 şi care să fie „echilibrată”.

(1p) f) 

Să se arate că pentru orice n   Ν , există o mulţime  M , formată din n numere naturale,

care să fie „echilibrată”. 

(1p) g) Să se arate că nu există o mulţime infinită, formată din numere naturale, care să fie

„echilibrată”.

SUBIECTUL IV ( 15p )

( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) 

Se consideră un triunghi dreptunghic  ABC , cu   90 Â m   şi un punct  M   pe segmentul

 BC   . Picioarele perpendicularelor construite din  M   pe catetele  AB   şi  AC    se notează

cu  N   şi P .(4p)  a)  Să se arate că 222  AN  AP AM    .

(4p)  b)  Să se arate că 222  AN CP MC    .

(2p)  c)  Să se arate că triunghiul C MP  este asemenea cu triunghiul CBA .

(2p)  d)  Să se arate că tr iunghiul  MBN   este asemenea cu triunghiul CBA .

(1p)  e)  Să se arate că au loc relaţiile BC 

 MB

 AB

 NB

 AC 

 AP  .

(1p) f) 

Să se arate că 222222  MB AC  MC  AB BC  AM    .

(1p)  g)  Dacă  MC  BM    2  să se arate că 2229

4

9

1 AC  AB AM    .

Test conceput de Ion Savu şi Florin Smeureanu