Matematica in biologie 2015� 2016

sau

Biologie matematica

Cursul 1

Intr-o recomandarea a Consiliului National al Cercetarii din SUA, de acumcativa ani, se speci�ca urmatoarele:Facultatile de biologie, chimie, farmacie, �zica,matematica, medicina etc.

trebuie sa lucreze in colaborare pentru a gasi cai de integrare a matematicii,�zicii si chimiei in stiintele care se ocupa de studiul vietii, cat si metode pentrua încorpora exemple din aceste stiinte care sa oglindeasca caracterul emergental acestora in cursurile de chimie, �zica sau matematica.

� � � � �

1) Importanta matematicii pentru cunoasterea, intelegerea si controlulunora dintre fenomenele si procesele importante din natur¼a.2) Modelarea matematic¼a a unor procese biologice.3) Probleme matematice de studiat.4) Interpretarea rezultatelor; relevanta lor.5) Bibliogra�e.

x:1: Introducere:

Extraordinarele succese ale succesivelor si diverselor "revolutii" in �zica,chimie, biologie, industrie, agricultura, medicina etc. au p¼atruns în toate com-partimentele vietii oamenilor si in�uenteaz¼a (mai mult sau mai putin , dar ni-cidecum deloc !) viata �ec¼aruia dintre noi. Ceea ce este mult mai putin clar estefactorul (cauza) care a f¼acut posibile, într-o crestere exponential¼a, aceste pro-grese. Orice persoan¼a care a urmat o scoal¼a stie (sau cel putin are idee) c¼aaceste succese, în cvasitotalitatea lor, nu ar � fost posibil de obtinut f¼ar¼a apor-tul (decisiv al) matematicii. Din acest motiv, dar nu numai, interesul societ¼atiifat¼a de matematic¼a a crescut în mod continuu , drept dovad¼a pentru aceasta�ind faptul c¼a , pe lâng¼a studiul acestei discipline din prima clas¼a a înv¼at¼amân-tului primar si pân¼a în ultima clas¼a de liceu (deci la noi timp de doisprezeceani ), este necesar¼a aprofundarea ei si în înv¼at¼amântul superior si nu doar lafacultati, socotite �clasice�din acest punct de vedere, precum cele de matem-atic¼a , �zic¼a , chimie , geologie, constructii, toate facult¼atile din politehnic¼a si cele

1

cu pro�l economic , arhitectur¼a, dar si la unele specializari mai �exotice�cum ar� cele de agronomie,biologie ,biochimie,ecologie, geogra�e, sociologie etc..Destul de ciudat este îns¼a faptul c¼a doar putini oameni înteleg cu adev¼arat

cum anume intervine matematica în cunoasterea si �st¼apânirea�naturii .Dup¼a cum bine observa matematicianul suedez Ivar Ekeland:�oamenii au

vrut dintotdeauna si înc¼a mai vor ca fenomenele naturale (îndeosebi cele socotitefolositoare!) s¼a �e permanente si s¼a aib¼a o regularitate, adic¼a s¼a �e , într-uncuvant, previzibile� .Dar, asa cum remarcabil a sesizat (in [15]) Ian Stewart ,,drumul care urmeaz¼a

a � parcurs de la observarea comportamentului naturii pân¼a la obtinerea legilornaturii nu este, de obicei, nici evident si nici nu trebuie, neap¼arat, s¼a �e di-rect . Între comportarea pe care o observ¼am a naturii si legile care o produc exist¼ao crevas¼a pe care spiritul uman o poate trece, în majoritatea cazurilor, numaiutilizând matematica�.Istoria civilizatiei (cel putin tehnice) de tip occidental, civilizatie adoptat¼a

acum de majoritatea oamenilor, dovedeste, f¼ar¼a vreo posibilitate de t¼agad¼a, c¼aintr-adev¼ar matematica este o cale extrem de e�cace pentru �intele umane de aaborda studiul formelor, regularit¼atilor si al legilor naturii .�

x:2: Modele matematice

Matematica este o stiinta care exista in tot - in �zica, in chimie, biologie,medicina, limbaj etc., din nevoia, in principal, de modelare a unor fenomene.Întreaga cunoastere stiinti�c¼a este bazat¼a pe schematizarea propriet¼atilor

p¼artilor sistemelor materiale sau de orice alta natur¼a, pân¼a la obtinerea unoratribute între care se pot stabili relatii simple , prin care se urm¼areste obtinereaunor legi generale. Aceast¼a schematizare se numeste modelare , iar schemeleobtinute se numesc modele .Dictionarul explicativ al limbii române de�nestemodelul, intr-o acceptiune

cat mai generala, ca �ind �un sistem teoretic sau material cu ajutorul c¼aruiapot � studiate, in principiu in mod indirect, propriet¼atile si transform¼arile al-tui sistem, mai complex, cu care primul sistem prezint¼a o analogie�. Mareledictionar de neologisme consider¼a c¼a modelul este �un sistem ideal sau materialcu ajutorul c¼aruia pot � studiate, prin analogie, propriet¼atile si transform¼arileunui alt sistem mai complex� sau �schem¼a teoretic¼a elaborat¼a în diferite stiintepentru a reprezenta elementele fundamentale ale unor fenomene sau lucruri�.O categorie importanta de modele o constituie modelele stiinti�ce. Printre

cele mai importante modele stiinti�ce sunt cele numite matematice.Într-o acceptiune general¼a specia de modele de tip matematic reprezint¼a

o categorie distincta a matematicii prin care se întelege folosirea limbajului sia simbolurilor matematice cu scopul de a realiza o reprezentare a elementeloresentiale ale unui sistem (existent sau care a existat sau care urmeaz¼a a � con-struit) cu scopul de a permite cunoasterea sistemului respectiv într-o manier¼acare s¼a faciliteze utilizarea acestuia.

2

Un model matematic al unui anumit fenomen sau obiect din lumea încon-jur¼atoare este o descriere aproximativ¼a a acestuia (i.e. a fenomenului sau aobiectului) realizat¼a cu ajutorul notiunilor , obiectelor si simbolurilor matemat-ice . Analiza modelului matematic cu ajutorul teoriilor si mijloacelor matem-aticii permite p¼atrunderea în esenta fenomenului studiat . Modelarea matem-atic¼a reprezint¼a un instrument , probabil cel mai puternic si uneori singurul , decunoastere a lumii atât la nivelul macro, cât si la cel micro. Totodat¼a ea permiteevidentierea unor caracteristici noi ale fenomenului studiat , descoperirea unorobiecte si procese noi precum si �controlul� asupra comport¼arii lor, fapt carene ajut¼a la aplicarea acestora la îmbun¼at¼atirea vietii si la progresul civilizatieiumane .Pentru obtinerea unor modele matematice este îns¼a nevoie s¼a se realizeze

preliminar ,de exemplu în cadrul �zicii teoretice sau experimentale , alte mod-ele , speci�ce fenomenelor �zice . În acest scop este necesar¼a cunoasterea st¼arilormediilor �zice în care au loc astfel de fenomene , respectiv caracteristicile de starecum ar �, de exemplu , temperatura , presiunea , sarcina electric¼a , vâscozitateaetc.Procesul de modelare matematic¼a presupune , în esent¼a, parcurgerea a patru

etape .1) În prima etap¼a se selecteaz¼a m¼arimile (caracteristicile) fundamen-

tale care caracterizeaza fenomenul avut în vedere si se formuleaz¼alegile care le conexeaz¼a . Aceast¼a etap¼a necesit¼a o bun¼a si (eventual) ampl¼acunoastere a faptelor legate de procesul respectiv si o �n¼a decelare a relatiilor(interconexiunilor) dintre ele . Aceast¼a etap¼a se �nalizeaz¼a prin (de)scrierea întermeni matematici a reprezent¼arilor calitative formulate privind conexiunile în-tre obiectele modelului . De multe ori problemele matematice care apar pe bazamodel¼arii matematice a unor fenomene diferite(cel putin în aparent¼a) coincid , ceea ce constituie o anumit¼a proprietate de uni-versalitate pe baza c¼areia se pun evident¼a clase mari de procese cum ar � celeoscilatorii , cele de difuzie sau cele stationare etc. Având în vedere aceast¼a carac-teristic¼a asemenea probleme si notiuni matematice universale se pot consideraca obiecte de sine st¼at¼atoare, abstractiz¼ari ale fenomenelor studiate.2) În etapa a doua se studiaz¼a problema matematic¼a la care s-a ajuns

în urma procesului de modelare matematic¼a . Chestiunea fundamen-tal¼a pentru acest moment o constituie rezovarea problemei directe , adic¼aobtinerea ca rezultat al analizei modelului a datelor de iesire (care sunt deciconsecinte ale unui demers teoretic) în vederea unei compar¼ari ulterioare alor cu rezultatele observatiilor (experimentelor) asupra fenomenului studiat . Înaceast¼a etap¼a un rol decisiv îl joac¼aaparatulmatematic necesar pentru anal-iza (studiul) modelului matematic cât si tehnica de calcul - mijloc impor-tant (de multe ori indispensabil) pentru obtinerea informatiei cantitative deiesire ca rezultat al rezolv¼arii unor probleme matematice care se dovedesc a�, în majoritatea cazurilor , complicate .3) În etapa a treia se cerceteaz¼a dac¼a , în ipotezele f¼acute , modelul

asociat avut în studiu îndeplineste (satisface) criteriile practice , adic¼ase r¼aspunde la întrebarea dac¼a rezultatele obtinute pe baza deductiilor teoret-

3

ice din model concord¼a , în limitele de exactitate (precizie) admise, cu cele aleobservatiilor directe (experimentale) . Dac¼a modelul a fost complet de�nit (adic¼atoti parametrii s¼ai au fost determinati) problema direct¼a a fost rezolvat¼a si setrece la evaluarea erorii ceea ce înseamn¼a c¼a se m¼asoar¼a abaterile dintre rezul-tatele obtinute pe baza consideratiilor teoretice si cele determinate din m¼asur¼a-tori directe . În cazul în care abaterile constatate dep¼asesc marja de tolerant¼aadmis¼a pentru observatii modelul propus este invalidat . Este necesar¼a reexam-inarea modelului �zic , a ipotezelor f¼acute , a procesului de modelare matematic¼apentru a vedea dac¼a nu s-au f¼acut simpli�c¼ari (idealiz¼ari) prea mari (severe) etc.Adesea , pentru a se putea face constructia unui model corect, unele dintre

caracteristicile sale r¼amân ,momentan , neprecizate (nederminate).Problemele încare este necesar¼a determinarea unor anumite caracteristici (tr¼as¼aturi) (para-metrice , functionale etc.) ale modelului asa încat informatia furnizat¼a de acestas¼a �e în concordant¼a , în limitele de tolerant¼a ale m¼asur¼atorilor , cu rezultateleobservatiilor directe efectuate asupra fenomenului se numesc inverse . Dac¼a seîntâmpl¼a ca pentru nici o alegere a caracteristicilor avute în vedere modelul s¼anu furnizeze date de iesire comparabile, în limitele de eroare admise pentru m¼a-suratori , cu cele obtinute prin masuratori directe, atunci acesta se dovedeste ca�ind inacceptabil pentru studiul fenomenului respectiv .Aplicarea criteriilor practicii în evaluarea modelelor matematice ne per-

mite s¼a tragem concluzii asupra plauzibilit¼atii (corectitudinii) ipotezelor care sea�¼a la fundamentul modelului (ipotetic) supus studiului .4) În sfârsit , în etapa a patra , pe m¼asur¼a ce apar abateri între datele

de iesire ale modelului matematic si observatiile directe sau indirecteasupra fenomenului studiat se ra�neaz¼a modelul pentru a obtine odiminuare a lor ( a abaterilor) . Dar, la un moment, dat nu se mai poate facenimic! Atunci cand între observatii si predictiile furnizate de modelapar diferente semni�cative ce nu mai pot � explicate de acesta seabandoneaz¼a modelul si se trece la altul nou care s¼a �e mai conving¼a-tor decât cel vechi .Pân¼a acum scenariul (procesul) descris mai sus s-a repetat ciclic , uneori

cu perioade de sute si chiar mii de ani . Exemplul cel mai cunoscut este cel alsistemului solar care, la începuturile umanit¼atii, a fost �explicat�prin diverse mi-turi , apoi a ap¼arut modelul geocentric al lui Ptolomeu , urmat de cel heliocentrical lui Copernic , completat de Kepler , Newton , Einstein etc. Pe baza modelelormatematice ale sistemului solar, care la un moment dat nu mai functionau cumtrebuie, au fost descoperite planetele Neptun (în anul 1846 de c¼atre astronomulfrancez Le Verrier) si Pluto (în anul 1930, de c¼atre un astronom american).Teoria modelelor matematice ale fenomenelor biologice am putea-o numi

biologie matematic¼a .Ea ocup¼a o pozitie deosebit¼a atât în matematic¼a cât siîn biologie , situându-se de fapt la granita dintre cele dou¼a discipline. Biologiamatematic¼a este strâns legat¼a cu biologia, îndeosebi în partea de constructie amodelelor matematice. Ea este îns¼a si parte a matematicii, deoarece metodele destudiu ale modelelor sunt de natura matematica . Printre metodele matematiceale biologiei matematice se a�¼a atat cele utilizate la crearea modelului cât sicele folosite la studiul acestuia . Remarcabil este faptul c¼a mai multe clase de

4

fenomene biologice, dar si din alte domenii ale cunoasterii umane, pot �descrisede acelasi model matematic .Istoric vorbind, biologia matematic¼a s-a n¼ascut la inceputul veacului al XIX-

lea, incepand cu lucrarea lui Malthus intitulata Eseu asupra principiului pop-ulatiei, urmata de lucrarile matematicianului, totodata si biolog, belgian Ver-hulst, a continuat cu studiile de genetica ale lui Mendel, cu lucrarile din dome-niul aplicatiilor statisticii in biologie ale scolii engleze de matematica printre aicarei reprezentanti de seama citam pe Sir Francis Galton (Natural Inheritance,1889), R.Fisher si ajungand pana la importanta scoala matematica americana,in domeniu, din perioada actuala.�

x3: Cateva modele matematice:

Dinamica populatiilor:a) Modelul lui Malthus.O veche si mereu actuala preocupare a oamenilor de stiinta, dar si a unora

dintre reprezentantii conducerilor diferitelor state, a constituit-o estimarea sipredictia evolutiei in timp a numarului de indivizi dintr-o anumita populatie,inclusiv umana. Pe baza cunoasterii volumului acelei populatii se pot face di-verse predictii in privinta organizarii acelui stat, a alocarii diferitelor resurse sia asigurarii armoniei sociale sau a pastrarii echilibrului ecologic.Inca din prima jumatate a veacului al XIX-lea s-au creat modele din ce in ce

mai complexe si mai ra�nate ale fenomenelor de dinamica populatiilor, o datacu perfectionarea metodelor de investigare sociologica sau biologica, rezultateleobtinute �ind tot mai precise si descriind tot mai adecvat realitatea inconjura-toare.Inceputul, cum este si �resc, s-a facut cu o situatie mai simpla, chiar "simpli-

�cata" am putea spune: evolutia populatiei unei singure specii. Fie x(t) volumulpopulatiei dintr-o anumita specie, intr-un anumit areal, care dispune de surse dehrana su�ciente si nu este in competitie, pentru resursele de hrana, dar nici dinalte motive, nici cu o populatie alogena, dar nici in "interiorul" acelei populatii.Pornind de la observarea atenta a evolutiei unei asemenea populatii s-a observatca, intr-un interval "mic" de timp [t; t + � ]; (� > 0 "mic"), rata de crestere aacelei populatii

x(t+ �)� x(t)�

este proportionala cu volumul populatiei x(t): Deci exista k 2 R astfel incat

x(t+ �)� x(t)�

� kx(t):

Aproximatia devine din ce in ce mai acurata pe masura ce � > 0 devine maimic. Trecand la limita cu � & 0 obtinem

x0(t) = kx(t);

5

adica ecuatia diferentiala liniara, de ordinul intai,

x0 = kx: (1.3.1)

Aceasta ecuatie diferentiala descrie acurat evolutia diferitelor culturi micro-biene sau bacteriene. Ea a fost adoptata ca model matematic de evolutie sipentru populatia umana de catre Malthus. In anumite perioade din evolutiasocietatii umane, de exemplu intre anii 1700 - 1960, predictiile bazate pe acestmodel matematic s-au dovedit corecte, dar exista si perioade in care predictiilenu mai corespund cu realitatea.b) Modelul lui F.Verhulst.Din nevoia de a pune de acord predictiile modelului matematic cu datele

obtinute experimental, in anul 1837, matematicianul belgian Verhulst a propusun model mai "realist" de crestere a populatiei, descris de ecuatia "logistica" :

x0 = ax� bx2; (1.3.2)

cu a; b constante strict pozitive.Aparitia termenului cu semnul "minus" din membrul drept are drept scop

sa indice in�uenta asupra volumului unei populatii a competitiei intre indiviziidin acea populatie pentru spatiu vital, hrana, dreptul la imperechere etc.Pentru determinarea constantelor a si b se determina efectiv solutiile acestei

ecuatii (aceasta este o problema de matematica !) si din compararea acestorsolutii cu o serie de date obtinute experimental se estimeaza parametrii a si b.c) Modelul Lotka - Volterra.Modele matematice si mai realiste trebuie sa puna in evidenta "interac-

tiunea" intre diferite specii. De exemplu, in cazul interactiunii a doua specii,una �ind considerata "prada" si avand volumul x1(t); iar alta considerata drept"pradator" si avand volumul x2(t) se obtine sistemul de ecuatii diferentiale,atribuit matematicienilor Lotka si Volterra, urmator:�

dx1dt = ax1 � bx1x2dx2dt = �cx1 + dx1x2

; (1.3.3)

unde a; b; c ; d sunt constante strict pozitive care se determina experimental.Exista aplicatii importante ale ecuatiilor diferentiale si cu derivate partiale

si in chimie, economie, sociologie etc.d) Dezintegrarea substantelor radioactive. Datarea cu carbon ra-

dioactiv.Una dintre legile fundamentale ale dezintegrarii substantelor radioactive,

asociata cu numele lui Rutherford, stabileste ca: viteza de dezintegrare (inteleasaca numarul de atomi, din substanta radioactiva, dezintegrati in unitatea detimp) este proportionala cu cantitatea totala de substanta (adica numarul totalde atomi) existenta la momentul respectiv: In foarte multe situatii ne intere-seaza, in primul rand, evolutia in timp a cantitatii dintr-o anumita substantaradioactiva.

6

Sa vedem cum "suna" varianta "diferential¼a" a legii lui Rutherford.Pentruaceasta sa notam cu x(t) cantitatea de substanta radioactiva la momentul t > 0:Atunci, pentru un � > 0 su�cient de mic, are loc relatia:

x(t+ �)� x(t)�

= kx(t) + o(t; �);

unde o(t; �) �! 0; daca � �! 0; iar k 2 R este o constant¼a speci�c¼a substanteiradioactive in chestiune. Intrucat, prin dezintegrare, cantitatea de substantaradioactiva descreste cu trecerea timpului constanta k trebuie sa �e< 0: Trecandla limita in relatia de mai sus obtinem ecuatia diferentiala:

x0(t) = kx(t) (1.3.4)

Prin urmare, din punct de vedere matematic, dinamica unei populatii sidezintegrarea radioactiva se desfasoara dupa acelasi tipar. Ulterior vom vedeacum se aplica legea lui Rutherford, prin intermediul ecuatiei diferentiale (1:3:4);la metoda datarii cu carbon radioactiv.�Pe parcurs vor �prezentate si alte aplicatii ale matematicii in biologie. Citi-

torul interesat poate gasi o multitudine de alte aplicatii, unele chiar foarte com-plexe, in lucrarea [6].

x:4: Cateva fapte matematice

Vom presupune cunoscute conceptele de multime si de functie. Aces-tea sunt notiuni matematice extrem de generale si deci cu o arie de acoperirevasta.Tocmai acest lucru le face extrem de importante! Oricum, ne reamintimca "obiectele" dintr-o multime se numesc elementele acelei multimi. Multimilese noteaza, de obicei, cu litere mari din alfabetul latin: A;B;C;...,iar elementele(unei multimi) sunt desemnate prin intermediul literelor mici din acelasi alfa-bet (, indeobste de la sfarsitul acestuia) : x; y; z; :::.Faptul ca x este element almultimii A este desemnat, in scris, prin:

x 2 A:

�Formula�x 2 A se citeste astfel: x este element al lui A sau x apartine luiA:Semnul 2 aminteste de litera " (epsilon) care reprezinta e-ul din alfabetul

grecesc si cum cuvantul element incepe cu e intelegeti de ce s-a adoptat respec-tivul simbol pentru apartenenta unui anumit obiect la o multime.Printre multimi se distinge una mai speciala si anume multimea fara niciun

element numita,in matematica,multimea vida. Pentru aceasta multime exista onotatie speciala, (cam) universal adoptata, si anume :?:

7

Multimile "se dau", de obicei, �e enumerandu-le (numindu-le) explicit toateelementele, �e cu ajutorul unei proprietati pe care o au numai elementele aceleimultimi. In acest fel un mod de a descrie multimea vida este urmatorul:Multimea studentilor din anul I, grupa ...,sectia de Biologie (sau de Biochimie

sau de Ecologie, dupa caz) de la Facultatea de Biologie, care stiu sa demonstrezeca FALSUL implica orice. De exemplu,"admitand ca 2+2=5 sa deduca faptulca Papa (de la Roma) este colegul lor de grupa !"Trecand la lucruri "serioase" sa retinem urmatoarele multimi importante

(de numere):a) multimea numerelor naturale notata

N:= f0;1;2;3; ::::g;

b) multimea numerelor intregi notata

Z:= f:::;�3;�2;�1;0;1;2;3; ::::g;

(in germana zahlen inseamna numar).c) multimea numerelor rationale notata

Q:= fmnj m 2 Z;n 2 Nnf0gg;

d) multimea numerelor reale notata R:Cateva exemple de numere reale: 0; �1;

p2; e = lim

n!1(1 + 1=n)n; �; ::: .

e) multimea numerelor complexe notata

C:= fa+ ib j a;b 2Rg;

unde i este un "simbol" cu proprietatea

i2 = �1:

Admitem ca �ind cunoscute operatiile naturale de adunare (notata+) si inmultire(desemnata prin �) cu toate tipurile de numere mentionate mai sus.Inversa operatiei de adunare se numeste scadere, iar a celei de inmultire,

cand are sens, este cunoscuta drept impartire.Este deosebit de util sa ne aducem aminte ca (Z;+; �) este un exemplu de

inel; iar (Q;+; �); (R;+; �); (C;+; �) sunt corpuri:In aceasta ordine de idei este util sa evidentiem, despre tripletul (R;+; �);

urmatoarele fapte :1) adunarea este o operatie interna pe multimea numerelor reale, adica

suma a doua numere reale este (totdeauna !) tot un numar real; prin urmare

+ :R�R!R ;

2) adunarea este asociativa, adica

8x;y; z 2 R) (x+ y) + z = x+ (y + z) ;

8

3) adunarea este comutativa, adica

8x;y 2R) x+ y = y + x ;

4) exista un numar real (special!) notat 0 (zero) astfel incat

x+ 0 = 0+ x;8x 2 R ;

5) 8 x 2 R 9 x0(= �x) 2 R astfel incat

x+ x0= x0+x = 0;

6) inmultirea este o operatie interna pe multimea numerelor reale, adicaprodusul a doua numere reale este (totdeauna !) tot un numar real; prin urmare

�:R�R!R ;

7) inmultirea este asociativa, adica

8�; � 2 R si 8 x 2 R) �(�x) = (��)x ;

8) inmultirea este distributiva fata de adunare (in varianta I), adica

8� 2 R si 8 x;y 2R) �(x+ y) = �x+ �y ;

9) inmultirea este distributiva fata de adunare (in varianta II), adica

8�; � 2 R si 8 x 2R) (�+�)x = �x+�x ;

10) exista un alt numar real (special!) notat 1 (unu) astfel incat:

1 � x = x; 8x 2 R:

Proprietatile 1) � 5) ne spun ca (R;+) este un grup comutativ, pe candproprietatile 6), 7); 10) re�ecta caracteristicile fundamentale ale operatiei deinmultire, iar proprietatile 8) si 9) stabilesc relatii intre operatiile de adunare siinmultire.�Daca A si B sunt doua multimi atunci se pot de�ni:i) reuniunea lor

A [B := fx j x 2 A sau x 2 B g;

ii) intersectia lor

A \B := fx j x 2 A si x 2 Bg;

iii) produsul lor cartezian

A�B := f(a;b) j a 2 A;b 2 Bg:

9

Sa retinem ca daca (a;b) 2 A�B si (c;d) 2 A�B avem (prin de�nitie !)

(a;b) := (c;d)

daca si numai daca a = c si b = d:Prin urmare este posibil ca (a;b) 6= (b;a): Asadar (a;b) este o pereche or-

donata in care conteaza care element este primul si care este pe locul al doilea.Deoarece

fa;bg = fb;ag;

pentru orice a;b; nu vom confunda (a;b) (care este o pereche ordonata) cufa;bg (care este o multime).Daca A1; :::;An sunt n (n 2 Nnf0g :=N�) multimi se de�neste, analog ca

mai susA1 � :::�An := f(a1; :::; an) j a1 2 A1; :::; an 2 Ang:

In cazul n 2 Nnf0g si A1 = ::: = An = A in loc de A� :::�A| {z }n factori

se noteaza,

mai simplu, An:Multimile pot � �nite sau in�nite. O multime A este �nita daca exista

n 2 N si elementele a1; :::; an (cu ai 6= aj ;8i 6= j; 1 � i; j � n ) astfel incat

A = fa1; :::;ang:

In acest caz n reprezinta cardinalul (�nit ! al) multimii A. Cardinalulmultimii A se (mai) noteaza jAj :�Exercitiul 1.4.1.1) j?j = 0;2) jAj = 0, A = ?;3) jA�Bj = jAj � jBj ;4) jA1 � :::�Anj = jA1j � ::: � jAnj ;5) jA1 [A2j = jA1j+ jA2j � jA1 \A2j :Daca A si B sunt doua multimi vom nota:

F(A;B) := ff : A! B jf este functieg:

Evident ca prezinta interes doar situatia in care ambele multimi A si B suntnevide (de ce ?).Pentru orice multime A notam cu 1A : A! A aplicatia identica de�nita

prin1A(x) = x;8x 2 A:

Exercitiul 1.4.2. Aratati ca jF(A;B)j = jBjjAj :Datorita relatiei anterioare se obisnuieste sa se noteze F(A;B) = BA:

Asadar ��BA�� = jBjjAj :10

Daca Af!B si B

g!C sunt doua functii vom nota cu g � f compunerea celordoua functii, de�nita prin:

(g � f)(x) := g(f(x)); x 2 A:

Pentru o mai mare claritate in descrierea compunerii se utilizeaza diagrama:

Af�! B& # g

C

:

O functie Af!B se numeste injectiva daca (si numai daca)

8x; y 2 A; x 6= y =) f(x) 6= f(y):

Daca A si B sunt doua multimi vom nota:

I(A;B) := ff : A! B jf este functie injectivag:

O functie Af!B se numeste surjectiva daca (si numai daca)

8y 2 B 9x 2 A astfel incat f(x) = y:

Daca A si B sunt doua multimi vom nota:

S(A;B) := ff : A! B jf este functie surjectivag:

O functie Af!B se numeste bijectiva daca (si numai daca) este (simultan)

si injectiva si surjectiva.

Cu alte cuvinte o functie Af!B este bijectiva daca (si numai daca)

8y 2 B 9! x 2 A astfel incat f(x) = y:

Daca A si B sunt doua multimi vom nota:

B(A;B) := ff : A! B jf este functie bijectivag:

Exercitiul 1.4.3.(In cele ce urmeaza vom presupune ca A si B sunt douamultimi �nite).1) I(A;B) 6= ?, jAj � jBj ;2) S(A;B) 6= ?, jAj � jBj ;3) B(A;B) 6= ?, jAj = jBj ;4) jI(A;B)j = AjAjjBj (aranjamente de jBj luate cate jAj );5) jB(A;B)j = jAj! = jBj!:Observatie. i) Daca f 2 S(A;B) atunci pentru orice y 2 B ecuatia

f(x) = y

11

are (sigur!) solutie x 2 A:ii) Daca f 2 I(A;B) atunci pentru y 2 B ecuatia

f(x) = y

are cel mult o solutie x 2 A (este posibil sa nu aiba nicio solutie !).iii) Daca f 2 B(A;B) atunci pentru orice y 2 B ecuatia

f(x) = y

are exact o singura solutie x 2 A:O functie A

f!B se numeste inversabila daca (si numai daca) exista o altafunctie B

g!A astfel incat g � f = 1A si f � g = 1B:Remarca. Daca f : A! B este o functie inversabila atunci exista exact

o singura functie g : B! A astfel incat g � f = 1A si f � g = 1B:Aceasta unica functie g se numeste inversa lui f si se noteaza cu f�1:Asadar, in cazul in care f : A! B este o functie inversabila, vom avea:

f�1 � f = 1A si f � f�1 = 1B:

Teorema 1.4.1.Functia A

f!B este inversabila daca (si numai daca) este bijectiva.Observatia 1.4.2.Daca f : A! B este o functie inversabila atunci 8y 2 B ecuatia

f(x) = y

are solutie unica data (explicit !) de x = g(y):Remarca 1.4.3.1) Este mult mai simplu sa se demonstreze ca o functie este bijectiva decat

sa se veri�ce direct inversabilitatea acesteia !2) Foarte multe probleme de matematica (,dar nicidecum toate,) se reduc,

in esenta, la rezolvarea unor ecuatii de forma

f(x) = y;

unde f : A! B este o functie data (deci cunoscuta), iar termenul liber y 2 Beste, de asemenea, tot cunoscut. Trebuie determinata/e necunoscuta/ele x 2 Acare veri�ca ecuatia de mai sus.Daca functia f este bijectiva atunci ecuatia considerata are solutie si, in

plus, aceasta solutie este si unica. Construirea efectiva a solutiei este o altaproblema. Daca se cunoaste si inversa lui f atunci solutia este data (explicit siefectiv !) de:

x = f�1(y):

12

Atragem atentia asupra naturii deosebite a conceptului de existenta a unuianumit obiect care, in matematica, este esential dar nu trebuie confundat cuacela de construire efectiva a respectivului obiect.Multe dintre problemele de matematica sunt de fapt transpuneri in limba-

jul matematic ale unor fenomene, procese, obiecte etc. din natura. Deoarececunoasterea realitatii este doar aproximativa, prin operatia de "transpunere" nuse ajunge la o "copie exacta" a fenomenului real, ci la una mai mult sau maiputin �dela. Modelele �zice, biologice, economice sau de orice alta natura alefenomenelor reale sunt doar oglindiri realizate de intelectul uman si ele devin re-�ectari din ce in ce mai exacte ale realitatii pe masura ce cunoasterea evolueazasi instrumentele cu care aceasta se realizeaza se perfectioneaza.Prin urmare este posibil ca in procesul de "traducere" a modelului fenomenu-

lui real intr-un model matematic sa se piarda anumite trasaturi sau chiar partiale primului (fenomenului, obiectului, procesului real). Asadar este foarte proba-bil ca noi sa incercam sa descoperim (cercetam, evidentiem,studiem etc.) marimi,caracteristici, trasaturi, moduri de functionare etc. ale fenomenului real, pe care(i) le intuim, dar care de fapt nu se mai regasesc si in modelul matematic. Dinaceasta cauza trebuie sa �m extrem de atenti cu statutul existential al obiectelor("matematice") pe care vrem sa le studiem. De multe ori acestea sunt si ramanpentru vecie simple himere !Istoria stiintei ne arata ca trebuie demonstrata, mai intai, existenta unui

anumit obiect (matematic) si abia apoi, daca cumva demonstratia nu este siconstructiva se trece, in caz de nevoie si in limita posibilului, la constructiaefectiva a mult doritului obiect. Sunt situatii in care trebuie sa ne multumimcu aproximatii ale solutiei. Cel mai adesea, din punct de vedere practic, nicinu ne trebuie mai mult. In plus, nu putine sunt situatiile in care, desi reusim saobtinem solutia matematica exacta a unei probleme, in cazul in care va trebuisa "operam" practic cu aceasta solutie sa �e necesara "trunchierea" sa intrucatnu avem nicio posibilitate efectiva de utilizare a "rezultatului" matematic carepoate reprezenta o "entitate" ideala spre care "tind" situatiile reale.In fapt, lumea reala este facuta in asa fel incat sa "functioneze" daca abaterile

"componentelor" sale fata de anumite etaloane ideale nu sunt mari sau, mai binezis, sunt su�cient de mici.�

x:5: Reprezentarea geometrica a numerelor reale

Sa consideram o dreapta d pe care alegem, in mod arbitrar, dar apoi ilconsideram ca �ind �xat, un anumit punct. Vom numi acest punct "distins"origine si-l vom desemna prin O: Punctul respectiv va imparti dreapta d indoua semidrepte. Pe una dintre cele doua semidrepte vom alege un punct A;distinct de O; si vom considera ca directia de la O la A este cea pozitiva.Traditional, daca reprezentarea concreta a dreptei d este orizontala, se alege Ape semidreapta din partea dreapta a observatorului, si deci sensul pozitiv va

13

� orientat spre dreapta. Daca pe cealalta semidreapta se alege un punct A0;distinct de originea O; atunci directia de la O inspre A0 se va numi negativa.Prin urmare, in cazul unei reprezentari traditionale, sensul negativ va �orientatspre stanga. Fara nicio micsorare a generalitatii se poate admite ca segmenteleOA si OA0 au aceeasi lungime.Vom considera segmentul OA ca unitate de masura pe dreapta d: Atunci

oricarui numar real strict pozitiv x ii corespunde un unic punct Ax 2 d; situatpe semidreapta pozitiva ce contine punctul "ales" A; astfel incat OAx = x �OA:In mod analog, pentru orice numar x 2 R; x < 0; exista un unic punct A0x 2d; situat pe semidreapta negativa ce contine punctul "ales" A0; astfel incatOA0x = x � OA0: Punctul Ax se numeste imaginea numarului real x: Convenimca numarului 0 sa-i corespunda chiar originea O:Reciproc, oricarui punct M situat pe dreapta d i se asociaza, in mod unic,

un numar real x 2 R astfel incat OM = x � OA: Acest unic numar real x senumeste abscisa punctului M: Evident ca originea O are abscisa 0:Asadar aplicatia

R 3x 7�! Ax 2 d

este o bijectie, numita bijectia lui R. Descartes.Marea realizare a lui Descartes a fost de fapt stabilirea unei bijectii intre

punctele unui plan si multimea

R2= R� R = fx = (x1; x2) jx1 2 R; x2 2 R g

a perechilor ordonate de numere reale.Intr-un plan � se considera doua drepte perpendiculare care se intersecteaza

in punctul O:Pe �ecare dintre cele doua drepte alegem un sens pozitiv. Tra-ditional se noteaza axa orizontala, numita si axa absciselor, prin Ox; iar axaverticala, numita si axa ordonatelor, prin Oy: Pe �ecare dintre cele doua axe decoordonate, mai precis pe partea lor "pozitiva", se alege o unitate de masura,deci un punct A pe axa Ox (distinct de originea O) si un punct B pe axa Oy(distinct de originea O). Tot in mod traditional se admite ca segmentele OAsi OB au aceeasi lungime (strict pozitiva !). Dar, din punct de vedere logic,aceasta restrictie nu este obligatorie. Daca (a; b) 2 R2 atunci se reprezinta geo-metric numarul a pe axa absciselor si se obtine un punct A: Apoi se reprezintageometric si numarul b pe axa ordonatelor si se obtine un punct B: Prin punctulA se duce o paralela la axa Oy; iar prin punctul B se traseaza o paralela la axaOx: Cele doua paralele se intersecteaza intr-un singur punct M(a;b) din planul� care se va numi imaginea perechii (a; b): Este clar ca daca proiectam punctulM(a;b) pe cele doua axe de coordonate obtinem punctul A de abscisa a; pe axaOx; si punctul B; de ordonata b; pe axa Oy: Asadar aplicatia

R2 3 (a; b) 7�!M(a;b) 2 �

se dovedeste a � bijectiva.Pentru un punctM 2 � numerele reale a; b (unic determinate !) pentru care

M = M(a;b) se numesc coordonatele punctului. Mai precis a este abscisa, iar

14

b este ordonata punctului. Se spune ca M este punctul de coordonate (a; b):Evident originea O are coordonatele (0; 0):Inca din antichitate s-au utilizat metode si mijloace geometrice pentru tratarea

unor probleme de aritmetica, iar apoi de algebra. Inventarea coordonatelorcarteziene de catre Descartes (Cartesius reprezinta varianta latinizata a nu-melui lui Descartes) a revolutionat matematica permitand, pentru prima datain istorie, stabilirea unei relatii puternice intre geometrie si algebra, in faptalgebrizarea geometriei. Prin utilizarea coordonatelor carteziene formelor geo-metrice, de exemplu curbelor, li se asociaza ecuatii algebrice. In loc sa ma-nipulam forme geometrice, ceea ce este de multe ori complicat, va � su�cientsa "manevram" forme algebrice, adica ecuatii algebrice care utilizeaza coordo-natele punctelor care se a�a pe acele forme geometrice.De exemplu, pentru a descrie cercul din planul � cu centrul in originea O si

de raza 2; se poate folosi ecuatia:

x2 + y2 = 22;

ceea ce inseamna ca acel cerc reprezinta multimea punctelor din planul � alecaror coordonate x si y satisfac respectiva ecuatie.

Se poate generaliza metoda si la cazul spatiului tri-dimensional. In acestcaz pentru a preciza pozitia unui punct din spatiu se folosesc trei coordonatecarteziene care sunt date de distantele, cu semn, la trei plane perpendicularedoua cate doua si care trec prin originea O a spatiului. Doua dintre celetrei plane se intersecteaza dupa axa absciselor Ox; alte doua dupa axa ordo-natelor Oy; iar celelalte doua dupa axa cotelor Oz: Folosind teorema celor treiperpendiculare se constata imediat faptul ca coordonatele carteziene asociateunui punct din spatiu nu sunt altceva decat coordonatele proiectiilor punctului

15

pe cele trei axe de coordonate.

Generalizarea "maxima" se obtine daca se realizeaza "speci�carea" unuipunct oarecare dintr-un spatiu de dimensine n prin intermediul coordonatelorsale carteziene, adica a distantelor cu semn la n hiperplane �xate din spatiulrespectiv care sunt mutual perpendiculare.Este evident ca in cazul unor dimensiuni strict mai mari decat trei nu mai

poate � vorba de vreo posibilitate de vizualizare a obiectelor geometrice dar, inschimb, nu prezinta absolut nicio di�cultate sa lucram cu obiecte algebrice deforma:

Rn = R� R� :::� R| {z }n factori

= f(x1; :::; xn) jx1 2 R; :::; xn 2 Rg;

adica sistemele (seturile) ordonate formate cu cate n numere reale. Unasemenea sistem ordonat format din n numere reale se mai numeste si n�uplu.

Vom considera ca doua n�upluri x = (x1; :::; xn); y = (y1; :::; yn) 2 Rn suntegale daca si numai daca:

x1 = y1; :::; xn = yn :

Spatiul Rn se poate inzestra, in mod natural, cu doua operatii (legi de com-pozitie binare):i) una interna, notata cu +;

+ : Rn � Rn ! Rn;

numita adunare si de�nita astfel:

(x1; :::; xn) + (y1; :::; yn) := (x1 + y1; :::; xn + yn);

16

8x = (x1; :::; xn); y = (y1; :::; yn) 2 Rn siii) o alta externa, notata cu �;

� : R� Rn ! Rn; (�; x)! � � x = �x;

numita inmultire cu scalari de�nita dupa cum urmeaza:

� � (x1; :::; xn) := (�x1; :::; �xn);

8� 2 R si 8(x1; :::; xn) 2 Rn:Inzestrat cu adunarea de�nita mai sus Rn devine un grup comutativ, adica:1) (x+ y) + z = x+ (y + z); 8x; y; z 2 Rn (asociativitate);2) x+ y = y + x; 8x; y 2 Rn (comutativitate);3) exista element neutru 0Rn = 0 = (0; :::; 0) 2 Rn astfel incat

x+ 0 = 0 + x = x;8x 2 Rn;

4) 8x 2 Rn 9x0 = �x = (�x1; :::;�xn) 2 Rn asa incat

x+ x0 = x0 + x = 0:

In raport cu operatia de inmultire cu scalari sunt veri�cate proprietatile:1) �(x+ y) = �x+ �y, 8 � 2 R, 8 x; y 2 Rn;2) (�+ �)x = �x+ �x; 8 �; � 2 R; 8 x 2 Rn;3) �(�x) = (��)x; 8 �; � 2 R; 8 x 2 Rn;4) 1 � x = x; 8 x 2 Rn:Observatie. Toate cele patru proprietati ale adunarii vectoriale (pe Rn),

cat si cele patru proprietati ale inmultirii cu scalari se demonstreaza (veri-�ca) !�Mai concentrat, proprietatile de mai sus ale lui Rn se exprima prin locu-

tiunea: tripletul (Rn;+; �) este un spatiu vectorial real.Partea interesanta a lucrurilor este ca acest concept se generalizeaza obtinandu-

se notiunea de spatiu vectorial abstract peste un anumit corp de scalari.Marea forta a matematicii consta si in aceasta generalitate extrema care

permite eliberarea conceptelor de tot ce constituie un balast inutil si punerea inevidenta doar a ceea ce este esential.

17

Bibliogra�e

Matematica in biologie

1) Armeanu, I., Petrehus, V. - Probabilitati si statistica aplicate in biologie,Editura Matrix Rom, 2006.2) Bavrin, I.- Introducere in matematica pentru biochimisti, FizMatLit, 2003

(in limba rusa).3) Fomin, S.V., Berkinblit, M.B. - Probleme matematice in biologie (e-

book,in limba rusa).4) Malthus, R. (traducere de Victor Vasiloiu si Elena Angelescu)- Eseu

asupra principiului populatiei. Bucuresti, Editura stiinti�c¼a, 1992.5) Manita, A.D.- Teoria probabilitatilor si statistica matematica (e-book,in

limba rusa).6) Murray, J.D., Mathematical biology, Springer Verlag, 1993.7) Odum H.T., System Ecology, New York: Wiley. 1983.8) Otto, S., Day, T.- A Biologist�s Guide to Mathematical Modeling in Ecol-

ogy and Evolution, Princeton University Press, 2007.9) Pielou E.C., An introduction to mathematical ecology, Wiley-Interscience

1969.10) Rashevsky, N., Mathematical principles in biology and their applications,

Spring�eld. Charles. C. Thomas Publisher, 1963.11) Riznicenko, G.I.- Modele matematice in biologie, Editura RHD, 2002

(e-book,in limba rusa).12) Samboan, G., Dumitrescu M.- Elemente de matematica pentru biologi,

Editura Universitatii din Bucuresti, 1984.13) Sontag, Ed. - Lecture Notes in Mathematical Biology, Rutgers Univer-

sity,2006.14) Stanasila, O. - Matematici speciale,vol.II, Editura All, 2001.15) Stewart, Ian - Numerele naturii, Editura Humanitas, 1999.16) Stewart, Ian - Imblanzirea in�nitului, Editura Humanitas, 2011.17) Stewart, Ian - 17 ECUATII care AU SCHIMBAT LUMEA, Editura

Paralela 45, 2013.18) Volterra,V., Lecons sur la Theorie Mathematique de la Vie, Paris, 1931

(versiunea in limba rusa, Volterra,V., Teoria matematica a luptei pentru exis-tenta, Editura Nauka, 1976).19) Waterman, M. - Applications of Combinatorics to Molecular Biology,

Elsevier Science B.V., 1995.20) Descartes, R. - Geometria , Leiden (1649).

18

21) Axler, S. - Linear Algebra Done Right , Editura Springer, 1997.22) He¤eron, J. - Linear algebra (e-book).23) Dawkins, R. - Ceasornicarul orb, Editura Humanitas, 2009.24) Logan, J. D., Wolesensky, W. - Mathematical Methods in Biology, Edi-

tura John Wiley & Sons, 2009.25) Feller, W. - An introduction in probability theory and its applications,

Editura John Wiley & Sons, Inc., New York, London, Sidney, 1968.

19