MACROMECANICA LAMELEI COMPOZITE

7/30/2019 MACROMECANICA LAMELEI COMPOZITE

http://slidepdf.com/reader/full/macromecanica-lamelei-compozite 1/24

1

MACROMECANICA LAMELEI COMPOZITE

Materialele armate cu fibre sunt materiale ortotrope, a căror comportare se află între cea a materialelor izotrope şi a celor anizotrope. Diferenţele dintre aceste materiale pot fi explicate prin răspunsul la tracţiune şi forfecare.

Tracţiune Forfecare pur ă

Material izotrop

21

(L)

(T)

(T) 2

(L)

1

Material anizotrop sau ortotrop general

(T) 2

1 ( L )

Material ortotrop special

Figura…



2

O stare de tensiuni uniaxiale pe o epruvetă din material izotrop produce doar alungire în direcţia de solicitare fără să modifice unghiuriledintre două laturi adiacente.

O stare de forfecare pură produce modificări unghiulare dar numodifică lungimile.

Eforturi egale aplicate în direcţii diferite produc modificări egale alelungimilor şi unghiurilor.

Comportarea materialelor izotrope este independentă de direcţie ;tensiunile normale produc doar deformaţii specifice liniare iar tensiuniletangenţiale doar deformaţii specifice unghiulare.

În cazul unui material anizotrop tensiunea uniaxială şi forfecarea pură produc modificări atât ale lungimilor cât şi a unghiurilor.

Când se modifică direcţia efortului aplicat răspunsul materialului nuse schimbă calitativ, ci doar cantitativ; cu alte cuvinte comportarea ladeformare a materialului anizotrop este dependentă de direcţie.

Comportarea la deformare a unui material ortotrop este de asemeneadependentă de direcţia de aplicare a eforturilor.

Totuşi când eforturile se aplică după anumite direcţii, răspunsulmaterialului este similar celui de la materialele izotrope. Aceste direcţii cu ocomportare specială se numesc axe de simetrie a materialului.

Legea lui Hooke generalizată

În general starea de tensiuni în jurul unui punct este descrisă de 9componente ale tensorului tensiunilor, ij , ca în fig. 3.

Corespunzător acestui tensor al tensiunilor există şi un tensor aldeformaţiilor specifice, ij

, cu 9 componente.

Legea lui Hooke se poate scrie astfel:

ij ij jC



3

(1)

În sistemul de coordonate 321 ,, x x x relaţiile tensiuni-deformaţiispecifice sunt:

12

31

23

3

2

1

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

12

31

23

3

2

1

C C C C C C

C C C C C C

C C C C C C

C C C C C C

C C C C C C

C C C C C C

(2)

în care ijc sunt elementele matricei rigidităţilor [C] în sistemul de

coordonate 321 ,, x x x Relaţiile deformaţii specifice-tensiuni se pot scrie:

X3

X2

X1

σ3

σ2

σ1

τ13

τ12

τ31 τ32

τ23

τ21

ijijij C



4

12

31

23

3

2

1

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

12

31

23

3

2

1

S S S S S S

S S S S S S

S S S S S S

S S S S S S

S S S S S S

S S S S S S

(3)

în care ijS sunt elementele matricei complianţelor S în sistemul de

coordonate 321 ,, x x x .Matricea complianţelor este inversa matricii rigidităţilor

1 C S (4)

Pentru un material elastic matricele rigidităţilor şi ale complianţelor sunt simetrice:

jiij

jiij

C C

S S

6,......,2,1, ji (5)

Datorită acestei simetrii numai 21 din cele 36 elemente suntindependente.

Materi ale ortotrope

Atunci când există trei plane de simetrie perpendiculare unul pe altul.

Pentru un material ortotrop se poate scrie matricea complianţelor.

66

55

44

332313

232212

131211

00000

00000

00000

000

000

000

S

S

S

S S S

S S S

S S S

S (6)

Matricea de rigiditate se obţine prin inversarea matricii complianţelor,iar termenii nenuli ai matricei de rigiditate sunt:



5

66

55

44

332313

232212

131211

00000

0000000000

000

000

000

C

C C

C C C

C C C

C C C

C (7)

Dacă se folosesc componentele inginereşti ale matricei de rigiditate legea lui Hooke se poate scrie sub forma:

jiji Q 6,......,2,1, ji

unde: i = componentele tensiunilor ijQ = termenii matricei de rigiditate scrisă în funcţie de constantele

inginereşti

j = componentele deformaţiilor specifice.

Deformaţia specifică unghiulară inginerească este de două orideformaţia specifică unghiulară tensorială.

12

31

23

3

2

1

66

55

44

332313

232212

131211

12

31

23

3

2

1

00000

00000

00000

000

000

000

Q

Q

Q

QQQ

QQQ

QQQ

(8)

Ecuaţiile constitutive scrise în funcţie de termenii matricei

complianţelor sunt:



6

12

31

23

3

2

1

66

55

44

332313

232212

131211

12

31

23

3

2

1

00000

00000

00000

000

000

000

S

S

S

S S S

S S S

S S S

(9)

Ecuaţiile constitutive pentru materialele ortotro pe arată că tensiunilenormale nu produc deformaţii specifice unghiulare atunci când acestetensiuni sunt aplicate după direcţiile 321 ,, x x x de ortotropie.

Constantele inginereşti Coeficienţii ijC ai matricei de rigiditate şi ijS ai matricei complianţelor

nu se măsoară direct în laborator. Constantele care pot fi măsurate înlaborator se numesc constante inginereşti .

Considerând un material ortotrop cu axele principale 321 ,, x x x supus lao stare de tensiuni tridimensională, se pot scrie următoarele ecuaţii pentrustabilirea deformaţiilor specifice în raport cu tensiunile şi constanteleinginereşti:

3

3

312

2

21

1

11

E E E

3

3

32

2

21

1

122

E E E

3

32

2

231

1

133

E E E

23

2323

G

31

31

31G

1212

12G



7

Unde1 E , 2 E , 3 E sunt modulii lui Young corespunzători celor trei

direcţii principale iar ij coeficientul lui Poisson.

i

j

ij

în care i se referă la direcţia efortului aplicat, iar j corespunde direcţieideformaţiei specifice laterale corespunzătoare.

1

212

( 01 şi celelalte componente ale stării de

tensiune sub zero)

1

3

13

( 01 )

2

121

( 02 ) etc.

Coeficienţii matricei complianţelor sunt:

;1

1

11 E

S ;1

2

22 E

S ;1

3

33 E

S

21 1212 21

2 1

S SE E

31 1313 31

3 1

S SE E

32

2

23

3

32

23 S E E

S

Folosind simetria termenilor din matricea complianţelor jiij S S rezultă:

1

12

2

21

E E

;

3

32

2

23

E E

;

3

31

1

13

E E

Intrucât jiij

12

1

221

E

E ş.a.m.d.



8

Pentru lamele compozite cu armare unidirecţională transversal - izotrope

)( 32 E E şi 21 E E , rezultă 1221 .dar 3223 ...

Ecuaţiile constitutive pentru un material ortotrop exprimate în raport cu

constantele inginereşti sunt:

12

31

23

3

2

1

12

31

23

32

23

1

13

3

32

21

12

3

31

2

21

1

12

31

23

3

2

1

100000

01

0000

001

000

0001

0001

0001

G

G

G

E E E

E E E

E E E

Macromecanica lamelei ortotrope

În analiza structurilor compozite, de multe ori există stări plane de

tensiuni. Ecuaţiile constitutive în raport cu axele principale ale materialului

lamelei ortotrope, pentru starea plana de tensiune sunt:

12

2

1

66

2212

1211

12

2

1

00

00

Q

QQQQ

În ecuaţia de mai sus dacă se exprimă termenii Qij în funcţie de

constantele inginereşti.rezultă:

1221

111

1

E

Q

1221

212

1221

12112

11

E E Q

1221

222

1

E Q

1266 GQ



9

Folosind matricea complianţelor putem scrie

12

2

1

66

2212

1211

12

2

1

00

0

0

S

S S

S S

Întrucât 1 QS se pot scrie următoarele relaţii între termenii matricii

de rigiditate şi ai complianţelor :

2

122211

2211

S S S

S Q

2

122211

11

22S S S

S Q

2

122211

1212

S S S

S Q

66

66

1

S Q

Lamela ortotrop ă specială

12

2

1

66

2212

1211

12

2

1

00

0

0

S

S S

S S

(1)

1

11

1

E S

1

12

2

2112

E E S

T

L Lamela ortotropă specială



10

2

22

1

E S (2)

12

66

1

GS

Expresiile termenilor matricei Q de rigiditate a lamelei ortotrope

speciale sunt:

12

2

1

66

2212

1211

12

2

1

00

0

0

Q

QQ

QQ

(3)

1221

111

1

E Q

1221

212

1221

12112

11

E E Q (4)

1221

222

1

E Q

1266 GQ

Lamela la care axele de referinţă coincid cu axele de simetrie se numeşte

lamela ortotropă specială.

Axele de simetrie sunt direcţia longitudinală L(1) şi direcţia transversală

T(2). Structurile compozite sunt realizate prin stivuirea mai multor lamele

unidirecţionale într -o anumită succesiune (secvenţă) de orientare a lamelelor.

De aceea direcţiile principale ale mater ialului L(1) şi T(2) sunt orientate

cu un anumit unghi faţă de axele de referinţă (x şi y ). Fiecare lamelă este

ortotropă şi respectă relaţiile tensiuni – deformaţii specifice în raport cu

axele principale ale lamelei. Pentru calculul elementelor stratificate, din

lamele compozite este necesară stabilirea relaţiilor tensiuni – deformaţii

specifice în raport cu un sistem de coordonate general.



11

Lamela ortotropă generală este lamela pentru care relaţiile dintre

mărimi (tensiuni, deformaţii) se stabilesc în raport cu un sistem arbitrar de

axe (x,y), Fig....

Se consideră o lamelă ortotropă cu axele principale ale materialului

orientate cu unghiul faţă de sistemul global de coordonate.

Trecerea dintr-un sistem de coordonate local într-unul global se poate

face scriind ecuaţiile de echilibru pe un element re prezentativ, Fig. 3

2

x

y

σy

σ2 τ21

θ

τxy

σx

τyx

1

θ

τ12

θ

x

1

2

y

σy

τyx

τxy

σx

σ1

θ

θ

1

Fig...Lamela ortotropă generală

x

σx

τxy τxy

τyx

σy

σyθ

τyx

T(2)L(1)

σx

y

θ



12

cossin2sincos 22

1 xy y x

cossin2cossin 22

2 xy y x (5)

)sin(coscossincossin 22

12 xy y x

Dacă se notează cosc şi sin s se poate scrie următoarea matrice de

transformare:

22

22

22

1 2

2

sccscs

csc s

cs sc

T (6)

iar ecuaţiile de transformare se pot scrie:

xy

y

x

sccscs

csc s

cs sc

22

22

22

12

2

1

2

2

(7)

Transformările în starea plană de deformaţii se pot scrie sub forma:

xy

y

x

sccscs

csc s

cs sc

22

22

22

12

2

1

22

(8)

în care termenii în c şi s formează matricea

22

22

22

2

22 sccscs

csc s

cs sc

T (9)

iar relaţia se poate scrie

xy

y

x

T

2

12

2

1

(10)

Forma



13

condensată a ecuaţiilor constitutive în sistemul axelor principale ale

materialului este:

11 Q (11)

Combinând (11) cu (7) şi (10) se obţine

1

1 2x xT Q T

(12)

Se poate scrie:

2

1

1 T QT Q (13)

care se numeşte matricea rigidităţilor reduse transformate.

Ecuaţiile constitutive în sistemul de coordonate (x, y) se pot scrie apoi:

x x Q (14)

Sau, în forma extinsă:

xy

y

x

xy

y

x

QQQ

QQQ

QQQ

662616

262212

161211

(15)

Relaţiile dintre elementele matricei Q şi ale matricei Q sunt :

Matricea rigidităţilor reduse transformate Q este populată în

întregime şi similară cu matricea Q pentru o lamelă anizotropă.

4

22

22

6612

4

1111 sincossin)2(2cos QQQQQ

44

12

22

66221112 sincoscossin4 QQQQQ

4

22

22

6612

4

1122coscossin22sin QQQQQ (16)

cossin2sincos2 3

662212

3

66121116 QQQQQQQ

3662212

366121126 cossin2sincos2 QQQQQQQ

44

66

22

6622121166sincoscossin22 QQQQQQ



14

Coeficienţii16Q şi

26Q diferiţi de zero definesc relaţia de cuplare între

răspunsul în- plan la tensiuni normale şi de forfecare.

De aici s-ar părea că există 6 constante elastice care descriu

comportarea lamelei. Totuşi16

Q şi26

Q sunt combinaţii liniare între cele 4

constante elastice de bază 66221211 ,,, QQQQ .

Coeficienţii16

Q şi 26Q sunt nuli pentru materiale izotrope şi în cazul

materialelor ortotrope în direcţiile principale ale materialelor. În acele cazuri

nu există cuplare între răspunsurile la tensiuni normale şi cele tangenţiale.

Existenţa cuplării dintre tensiunile normale şi cele tangenţiale este

ilustrată în figura de mai jos, care arată forma nedeformată şi cea deformată

a unui element supus la o stare pură de tensiuni axiale:

În cazul materialelor izotrope sau ortotrope solicitate după direcţiile

principale ale materialului nu apar distorsiuni ale unghiului drept ( deci nuexistă cuplare între tensiunile normale şi cele tangenţiale). În cazul lamelei

ortotrope solicitate după o direcţie oarecare cuplarea tensiuni normale-

tensiuni tangenţiale este evidentă prin distorsiunea unghiului drept iniţial.

izotrop ortotropLamelă ortotropăsolicitată după oaxă oarecare



15

Relaţia dintre deformaţiile specifice şi tensiuni în cazul lamelei

ortotrope generale se poate scrie sub forma:

x x

S (`17)

sau11 12 16

x x

12 22 26y y

16 26 66xy xy

S S S

S S S

S S S

(18)

Complianţa transformată este inversa matricei reduse transformată

1 QS

(19)

Care poate fi scrisă sub forma:

1

11

2 T QT S (20)

Elementele matricei transformate a complianţelor pot fi obţinute, de

asemenea, în funcţie de elementele matricei complianţelor:

Constantele inginereşti ale lamelei

4

22

22

6612

4

1111 sincossin2cos S S S S S

22

662211

44

1212 cossincossin S S S S S

4

22

22

6612

4

1122 coscossin2sin S S S S S

cossin22cossin22 3

661222

3

66121116 S S S S S S S (21)

3

661222

3

66121126 cossin22cossin22 S S S S S S S

44

66

22

6612221166 sincoscossin4222 S S S S S S



16

Deseori este utilă cunoaşterea expresiilor explicite pentru constantele

inginereşti în sistemul arbitrar de axe în raport cu cele din sistemul axelor

principale ale materialului (1,2 ) orientate cu un unghi , faţă de sistemul de

axe (x, y) ca în figura de mai jos:

Presupunem că 0 x iar componentele celelalte ale stării de tensiune

sunt nule:

Deformaţiile specifice corespunzătoare direcţiilor principale ale

materialelor sunt:

2

2

21

1

2

2

2

21

1

11

sincos

E E E E x

2

2

1

2

12

2

21

1

122

sincos

E E E E x

(23)

1212

12

12

cossin

GG

x

Deformaţiile specifice în sistemul (x, y) se pot obţine din ecuaţia:

2

1 cos x .. 2

2 sin x . cossin12 x (22)

x

σx

θ

1

σx

y2 θ



17

xy

y

x

sccscs

csc s

cs sc

22

22

22

12

2

1

22

(24)

de unde: cossinsincos 12

2

2

2

1 x

cossincossin 12

2

2

2

1 y (25)

22

1221 sincoscossin)(2 xy

Modulul longitudinal E x Plecând de la ecuaţiile constitutive pentru starea plană de tensiuni într -

un sistem arbitrar de axe se poate scrie:

x x

S (26)

Dacă starea de tensiuni este uniaxială x0 , deformaţia specifică

liniară x se poate scrie sub forma:

x x S 11 (27)

şi din definiţia modulului lui Yong rezultă:

x

x

x E

x

x

x E

S

11

rezultă

4

22

22

6612

4

1111 sincossin2cos

11

S S S S S E x

(28)

x E poate fi de asemenea exprimat în raport cu constantele inginereşti îndirecţiile principale ale materialului şi orientarea a fibrelor în raport cusistemul de axe (x, y).



18

4

2

22

1

12

12

4

1

sin1

cossin21

cos11

E E G E E x

(29)

Modulul de elasticitate transversal (E y )Folosind acelasi raţionament cu 0 y şi toate celelalte componente

nule rezultă:

22

1

S E

y

y

y

(30)

sau în funcţie de constantele inginereşti:

4

2

22

1

12

12

4

1

cos1

cossin21

sin11

E E G E E y

(31)



19

Modulul de elasticitate la for fecare (G xy )

Modulul (Gxy) este determinat din starea de tensiuni în care 0 xy şi

celelalte componente nule:

66

1

S G

xy

xy

xy

(32)

sau în funcţie de constantele inginereşti în raport cu axele principale:

44

12

22

121

12

21

cossin1

cossin1422

21

GG E E E G xy

(33)



20

Coeficientul lui Poisson,νxy

11

12

S

S

x

y

xy

(când 0 x ) (34)

22

12

S

S

y

x

yx

(când 0 y ) (35)



21

Coeficienţii de influenţă reciprocă

Când un material ortotrop este solicitat în alte direcţii decât cele principale ale materialului răspunsul său structural se caracterizează princuplarea efectelor tensiuni normale - deformaţii specifice unghiulare şitensiuni tangenţiale - deformaţii specifice liniare. Cuplarea normal – tangenţial se evidenţiază prin coeficienţii de influenţă reciprocă.

1. Coefi cientul de in fl uen ţă de primul tip, iji, este definit ca

raportul dintre deformaţia specifică liniară şi cea unghiulară când 0ij

ij

iiji

, (36)

În cazul în care 0 xy şi celelalte componente ale stării de tensiuni

sunt nule se poate scrie:

66

16

,

S

S

xy

x

xy x

(37)



22

66

26

,S

S

xy

y

xy y

(38)

2. Coefi cientul de in fl uen ţă de tip 2 , iij , este raportul dintre

deformaţia specifică unghiulară şi cea specifică liniară, în cazul aplicăriiunei tensiuni normale 0i .



23

i

ij

iij

, (39)

Primul indice corespunde deformaţiei specifice induse, iar al doilea

corespunde deformaţiei specifice aplicate. Această convenţie este opusăcelei utilizate la coeficienţii lui Poisson. Pentru cazul 0 x şi toate celelalte componente egale cu zero,

coeficientul de influenţă x xy, , este :

11

16

,S

S

x

xy

x xy

(40)

iar în cazul 0 y şi celelalte componente nule, coeficientul de influenţă

y xy, este:

22

26

, S

S

y

xy

y xy

(41)

MACROMECANICA LAMELEI COMPOZITE

Documents

Transcript of MACROMECANICA LAMELEI COMPOZITE