Probleme matematice rezolvate

Probleme matematice şi rezolvarea acestora

I. METODA FIGURATIVĂ

Problema 1

Suma a trei numere este23.Al doilea nr. este cu 3 mai mic decât primul şi cu 1 mai mare decât al treilea. Află numerele.

REZOLVARE:|----------------------------|

3 Primul nr.este cel mai mare|-------------------|---------| Al doilea nr. este cu trei mai mic

1|--------------|-----| Al treilea nr. este cu 1 mai mic decât al doilea

Primul procedeu

Dacă toate nr.ar fi fost egale suma ar fi fost mai mică cu:3+1+1=5În acest caz,suma a trei nr. egale este triplul:18.Nr. al treilea este:18:3=6Numărul al doilea este:6+1=7,iar primul nr. este 7+3=10

Răspuns :Cele trei nr.sunt :10,7,6Verificare:Suma nr.este 10+7+6+23.Primul nr. este mai mare decât al doilea cu :10-7=3Al treilea nr. este mai mare decât al doilea cu ;7-6=1

Procedeul al doilea

Dacă toate cele trei nr. ar fi fost egale cu primul (cel mai mare)atunci suma ar fi fost mai mare cu:

3+3+1=7Suma a trei nr. egale cu primul ( cel mai mare) este :

23+7=30,adică triplul celui mai mare nr. este 30.

Deci primul nr.este :30 : 3 =10Al doilea nr. este ;10 – 3 =7,iar al treilea nr.este 7-1=6

Răspuns: Nr.sunt :10;7şi 6.

Aflarea a doua (sau a mai multor nr.)când se cunoaşte suma (diferenţa)şi câtul lor

Donáth Anna Page 1

Probleme matematice rezolvate

Problema 2

Suma a două nr.este 12.000.Ştiind că primul nr.este de 5 ori mai mic decât al doilea ,se cere să se afle cele două nr.

Rezolvare Reprezentăm prin segmente de |-----| Dreapta cele doua nr.şi suma lor. |-----|-----|-----|-----|-----| 12 000 Se observă că suma celor două nr.este de şase ori mai mare decât primul nr. Aflăm primul nr.: 12 000:6 =2 000 Aflăm al doilea nr: 5 x 2 000 =10 000Răspuns :Primul nr. este 2 000 Al doilea nr. este 10 000Verificare: Suma nr. este: 10 000 + 2 000=12 000 Câtul celor două nr. este:10 000 : 2000 =5

II.   PROBLEME CARE SE REZOLVĂ PRIN METODA  MERSULUI INVERS

Problema 1

Un număr se înmulţeşte cu 10. La rezultat se adaugă 532, apoi rezultatul obţinut se împarte la 2 şi se obţine 501. Care  este  numărul ?            Rezolvare :            ( a x 10 + 532 ) : 2 = 501             Care este ultima operaţie făcută ? Citim din enunţ: " se împarte la 2 şi se obţine 501".            Deci, numărul pe care îl împarţim la 2  şi obţinem 501 este :   501  x  2  = 1002            Problema dată devine : " un număr se înmulţeşte cu 10. La rezultat se adaugă 532 şi am obţinut 1002 . "                    a + 10 + 532 = 1002            Ce număr am adunat cu 532 şi am obţinut 1002? Acesta este:                    1002 - 532 = 470            Problema apare acum astfel:  "Un număr se înmulţeşte cu 10 şi se obţine 470. Care este numărul căutat ? "                      a  x  10  =  470;      a = 470 : 10;      a = 47                          V:  ( 47 x 10 + 532 ) : 2 = 501  Problema 2

Un călător are de făcut un drum. În prima zi merge 3 / 10 din drum, a doua zi 2 / 7 din rest, a treia zi 3 / 5 din noul rest şi a patra zi ultimii 20 de km.         Care este lungimea drumului ? 

Donáth Anna Page 2

Probleme matematice rezolvate

Rezolvare:         Vom reprezenta  grafic astfel:

         I  zi

                                                                                                                    a II - a zi

                                                                                                a III - a zi

                                                                                                                                           20  km                                                                                                                                     a IV - a zi         1. Cât reprezintă  1 / 5 din distanţa parcursă a treia zi?                             20 km : 2 = 10 km         2. Câţi km a parcurs a treia zi ?                             10 km x 3  = 30 km         3. Câţi km  a parcurs a doua zi ?                             10 km  x  2  =  20 km         4.  Câţi km a parcurs în prima zi ?                             10 km  x  3  =  30 km         5. Care este lungimea drumului ?                              30 km + 20 km + 30 km + 20 km = 100 km

R: 100 km

Donáth Anna Page 3

Probleme matematice rezolvate

III. PROBLEME CU UNITĂŢI DE MĂSURĂ

Problema 1

O camioneta transporta 100 saci cu grâu a câte 76 kg fiecare,100 saci cu secara a câte 69 kg si 10 saci cu orez a câte 63 kg.Ce cantitate de cereale transporta camioneta?”

Rezolvare:

Pasul 1. Care este cantitatea totala de grau din cei 100 de saci?100 x 76 = 7600 ( kg grau in cei 100 de saci)

Pasul 2.Care este cantitatea totala de secara din cei 100 de saci?100 x 69 = 6900 ( kg secara in cei 100 de saci)

Pasul 3. Care este cantitatea totala de orez din cei 10 saci?10 x 63 = 630 ( kg orez in cei 10 saci)

Pasul 4. Care este cantitatea totala de cereale?7600 + 6900 + 630 = 15130 (kg de cereale)

R: 15130 kg cereal

Problema 2

Din 24 kg de vişine se pot obţine 6 kg de dulceaţă . Câte kilograme de vişine sunt necesare pentru a obţine 10 kg de dulceaţă ?”

Rezolvare :6 kg dulceata ………………………. 24 kg visine10 kg dulceata ………………………. x kg visinePasul 1. Dacă 6 kg de dulceaţă se obţin din 24 kg de vişine atunci de cate kg de visine avem nevoie pentru a obtine 1 kg de dulceaţă?

24 : 6 = 4 (kg)

Pasul 2. Dacă pentru 1 kg de dulceaţă sunt necesare 4 kg de vişine atunci de cate kg de visine avem nevoie pentru a obtine 10 kg de dulceaţă?

Donáth Anna Page 4

Probleme matematice rezolvate

10 X 4 = 40 (kg ) R: 40 kgIV. PROBLEME CU MIŞCARE

Problema 1

Un tren personal care are viteza de 40 km/ h pleaca din Bucuresti spre Deva. In acelasi timp pleaca din Deva spre Bucuresti un tren accelerat cu viteza de 70 km /h. Intre cele doua orase este o distanta de 550 km. Afla dupa cat timp se intalnesc

Rezolvare:

Figurăm datele problemei :

Pasul 1. Care este viteza total a celor doua trenuri?vtotal = v1 + v2 = 40 + 70 = 110 (km/h)

Pasul 2. După cât timp se întâlnesc?550 : 110 = 5 (h)

R: 5h

La un concurs de călărie sunt amplasate pe traseu 13 obstacole. Pentru fiecare reusită se acordă 10 puncte, iar eşecul se penalizează cu un punct. Câte obstacole a trecut un concurrent, dacă a totalizat 108 puncte?Rezolvare:Presupunem că trece toate obstacolele.Pasul 1. Câte puncte ar acumula dacă ar trece toate obstacolele?

13 x 10 = 130 (puncte)

Donáth Anna Page 5

Probleme matematice rezolvate

Pasul 2. Câte puncte ar pierde pentru fiecare penalizare (eşec)?10 +1 = 11 ( puncte)

Pasul 3. Câte puncte ar acumula dacă ar avea un eşec?130 – 11 = 119 (puncte)

Pasul 4. Câte puncte ar acumula dacă ar avea două eşecuri?119 – 11 = 108 ( puncte)

Pasul 5. Câte puncte a pierdut în total?130 – 108 = 22 ( puncte)

Pasul 6. Câte penalizări a avut? Sau câte obstacole nu a trecut?22 : 11 = 2 ( penalizări; obstacole)

Pasul 7. Câte obstacole a trecut?13 – 2 = 11 (obstacole)

R: 11 obstacole

Problema 2

3 biciclisti parcurg impreuna 446 km. primul a parcurs cu 8 km mai mult de cat al doilea.iar al treilea a parcurs cu 15 km mai putin de cat al doilea.cati km au parcurs biciclisti fiecare in parte

Rezolvare:

a+b+c=446 kma=b+8;c=b-15(b+8)+b+(b-15)=446 km3b-7=446 km3b=453

V. PROBLEME LOGICE

Problema 1

Este vorba de cinci case de culori diferite aşezate pe o stradă într-o ordine pe care nu o cunoaştem; în fiecare casă locuieşte câte un singur locatar, avond naţionalitatea diferită de a celorlalţi, care îşi bea băutura preferată (diferită de a celorlalţi), care îşi fumează ţigara preferată şi îşi creşte animalul preferat.

Titlul are deci o oarecare dreptate: de cinci ori câte cinci (culoarea casei, naţionalitatea, băutura, ţigara, animalul pe care îl creşte) la care se mai adaugă ceva: poziţia caselor pe stradă (prima casă e cea mai din stânga). Combinând între ele toate situaţiile existente, obţinem un număr imens de mare de posibilităţi.

Donáth Anna Page 6

Probleme matematice rezolvate

Dar să expunem problema, cu precizarea că ordinea afirmaţiilor nu contează:Englezul locuieşte în casa roşie.Spaniolul creşte căţelul.Locatarul casei verzi bea cafea.Ucraineanul bea cacao.Casa verde este casa aflată în stânga celei albe.Fumătorul de ţigări creşte melci.Fumătorul de ţigări de foi locuieşte în casa galbenă.Locatarul din casa din mijloc bea lapte.Norvegianul locuieşte în prima casă.Fumătorul de pipă locuieşte în lângă omul cu vulpe.Fumătorul de ţigări de foi locuieşte lângă omul care creşte calul.Fumătorul de trabuc bea limonadă.Japonezul fumează cigarillos.Norvegianul locuieşte lângă casa albastră.Cine bea apă şi cine creşte zebra?

Rezolvare:

Trebuie ţinut cont de faptul că din afirmaţiile 4, 12 şi 13 rezultă că japonezul nu bea nici limonadă, nici cacao.Iată şi soluţia:

Casa 1 Casa 2 Casa 3 Casa 4 Casa 5naţionalitate norvegian ucrainean englez japonez spaniolculoare galben albastru roşu verde albbăutură apă cacao lapte cafea limonadăanimal vulpe cal melci zebră căţelfumează foi pipă ţigări cigarillos trabuc

Aşadar, norvegianul bea apă, iar japonezul creşte zebra.

Problema 2

Într-o oră, o capră mănâncă c verze întregi, iar un ied mănâncă i verze întregi. Tot într-o oră, 7 capre şi 4 iezi mănâncă împreună 100 de verze.Câte verze mănâncă o capră şi câte mănâncă un ied, într-o oră?

Donáth Anna Page 7

Probleme matematice rezolvate

Rezolvare:

Din enunţul problemei, rezultă că 7c + 4i = 100. Cum 4i şi 100 sunt multipli de 4, rezultă că şi 7c trebuie să fie tot multiplu de 4. Ceea ce înseamnă că valorile posibile pentru c sunt: 4, 8, 12, pentru care rezultă valorile lui i: 18, 11, 4.Singura soluţie logică este c=12, i=4. În celelalte două cazuri (c=4, i=18 sau c=8, i=12), iedul ar mânca mai mult decât capra.

Donáth Anna Page 8