Gheorghe lurea, Dorel Luchian,Gabriel Popa, loan $erdean, Adrian Zanoschi

matematieva l:uarea nalio

2

tt

CA

na I5

018

clasa a Vlll-a

Memorator de matematicd o

Teme recapitulative .5 Variante de subiecte pentru luna Decembrie .

5 Variante de subiecte pentru luna Martie o

80 Variante de subiecte dupi modelul M.E.N. .

Editura Paralela 45

Cu prins

MEMORATOR DE MATEMATICA / 5

TEME RECAPITULATIVE I 23

5 VARIANTE DE SUBIECTE PENTRU LUNA DECEMBRIE / 31

5 VARIANTE DE SUBIECTE PENTRU LUNA MARTIE / 8S

80 DE VARIANTE DE SUBIECTE, dupd modelul M.E.N. / 95

s0LUTrr/200

MEMOBATOR DE MATEMATIGA

ALGEBBAMULTIMI NUMERICE

N - mullimea numerelor naturale; N[ : {0, l, 2, 3, ... }, N- : N \ {0}.Z - mullimeanumerelor intregi; Z : {.. ., -3, -2,-1, 0, l, 2, ...}, Z. : Z \ {0\ .

Z*: {x e Zlx> 0};Z-= {x e Z l, < 0}.

offi.4-3-2-1 01234

\*_______v-____ \-_______Y_____

numere intregi negalive (Z ) , nqmere intregi pozitivE (Z*)

Q - mullimea numerelor ralionale; * : t; la e Z ti t e Z' j.

Q.=Q\ {0} ; Q*: {xe Qlx>0}; Q-: {xe Qlr<0}.IR. - mul{imea numerelor reale, IR.* : R. \ {0}.R \ Q : mul{imea numerelor ira}ionale.

NcZcQcR.

OPERATII CU MULTIMI

Reuniunea: Aw B: {,l, e A saux e B}.lntersectia: AnB: {rl, e Agixe B}.DiferenJa: A\B: {xlxe ASixe B}.

OPERATII CU NUMERE

l+2+3+...+ n:(l+n)'n.Vn e N'.2

n!: | .2. 3 . ... .n,Y n e N- lcitim: ,,nfactoial"); 0l : l.Factor comun:/. a +.f . b : f . (a+ r), V a, b,f e R.

Opusul numtrrului real r este numirul real-r.

Inversul num[rului real nenul r este numdrul real r-t = 1.r

TEOREMA iUrAnlmU CU REST

InN: Vc,6 e N, b+0,1! c,re Nastfelinc6t a:b-c*r,01r<b.nZ:V a,be Z,b*0,11 ce Z,re Nastfel incdta:b.c+r,0<r<lbl.

Matematict. Evaluarea Nationale 2018 >5

DryIZIBILITATE iN N

Pentrud, z e N spunem cddlm dacd existbx e N astfel incdtm: d.x.Proprieti,ti:

P;lln;nll,Yn e N;

P2: Dacda, de N Si d I a, atunci d I a . n,Y r e N;

P3: Dacd a, b, d e N, d I a Si d I b, atunci d | (a + b).

Criterii de divizibilitate:I. Folosind ultima cifr6 a numlrului:

2lnau(n)e {0,2,4,6,8};5In au(n) e {0,5h 10ln <+ u(n):0.II. Folosind suma cifrelor num5rului:

3 ln e3 | s(z); e ln ae I s(n).III. Folosind ultimele doud cifre ale num5rului:

4l "..*y a4l *y;251 a...xy a25l xy .

NumIr prim: numdr natural care are exact doi divizori.C.m.m.d.c.: d-- (o, b) dacd: 1) d I a Si d I b;

ii) dac[ d I a qi d I b, aunci d I d.Pentru a calcula (a, b) procedlm astfel:o descompunem numerele a gi bin factori primi;o luim factorii primi comuni, o singurd datd,,la exponentul cel mai mic qi ii ?nmul(im.Numerele a gi b sunt relativ prime (prime intre ele) dacd (a, b) : l.Dacd,d: (a,6), atunci a: &,b: dy,clx,y e N, (x,y) = 1.

Dacd n I a qi n | 6, atunci n | (a, b).Dacda f D.c ai (o,b): l,abtncialc.C.m.m.m.c.: m : fa, bl dacd: 1) a I m gi b I m;

ii) dac[ a I m' Si b I m', atunci m I m' .

Pentru a calcula [a, 6] proced6m astfel:o descompunem numerele a gi 6 in factori primi;o luim factorii primi comuni gi necomuni, o singur[ datd, la exponentul cel mai mare gi iiinmullim.Dacdalry"Sib In, atunci fa,blln.Oricare ar fr a, b e N, are loc egalitatea (a, b) - [a, b): a . b.

PUTERI

a': q.a.d.....a.;ae IR.re N-;

-

a0:l,JrI*-, at:a,Vae JR.;1': l,Vn e N;00nuaresens.

a'':J-.aelR-.reN.a4'

6 < Vtemorator de matematice

OPERATII CU PUTERI

l. a- . q' : {*";Vae 1R., m,n e Z.

2. { : an : e'-n;Va€ JR*, m,n e Z.

4. (a. b)' -- an . bn;Y a, b e R*, n e Z.

5. (a : b)' : a' : b',a, b € IR*, n e Z.

[], dac5 r este num6r par;6. (-l't"= { '"' \ ''

l-1, daca n este numdr impar.

FRACTII ORDINARE, FRACTII ZECIMALE

Frac{ie ireductibilS: l, "u r,D e N, b * O, (a, b) = l.

b

Fractii echivalente: I =L dacda-d: b.c.' bdDacd a e Z, b e Z*, atrinci I . Z e b I a.

b'

Transformarea fracfiilor zecimale in fracfii ordinare:

Tipulfracfiei

zecimaleMod de transformare Exemplu

zecimaldfiniti ",brU-|=r+*

., 1o_179 _279- 10' 100

periodiclsimpl6

,1hb*b\= ob'b'"499...9

koi

13,(24)=rr#

periodicSmixtd

a, brbr.,.bo(crcr...c o) = ab,4-%-b,b"nr

99...900...0r.-Jg\.J

p oi ,t ori

3,61(7s4\ -36t7s4-61' 99900

MEDIAARITMETICA

mo: x,lxr;r,: t14fr. vxr,.f,r,.....r1 € 1R.2kDacd py p2, . . ., p7. sunt respectiv ponderile numerelor x1 , x2, . . ., xp, atunci:

*r: xrPt * xrP, * "'* xnpo (media aritmeticd ponderatd).

pr* Pt*...t p*

MatematicS. Evaluarea Nationale 2018 >7

MODULUL UNUI NUMAR REAL

lxl- modulul (sau valoarea absolutii) a unui numlr real; lxl : {''-Oi:1j ='^[-x,dac5x<0

Propriefnfi ale modulului:Pr: Fl >0, Vxe m; H :0 <+x=0;

Pz V.yl:W. [yl, Vx,y e IR;

"r, 14=li-l,vxe rR,ye rR.;- lYl I Yl'

Pa: lx + yl< lrl + lyl, V r,y e IR.

PARTEA iNTNT,C.CA A UNUI NUMAR REAL: [X]

lxl Sx< [x] + l;lxje Z.

PARTEA FRACTION.MA A, UNUI NUMAN NNAT,: P1

{x}:x- [x]; o < {x} < l.

n roAcna pArn lrA (RADICALUL)

Ji : * e * :a, undec,.r e IRn a,x20.

REGULI DE CALCUL CU RADICALI

l. DacI a20,b2 0, atunci J-r'Ji : J*t-2.Dacba20,b>0,atunci J-t rJi =Jo;t e fi 6

' 6: {r'3. Jrt : oJE, a2.o;b20.q. JF :lal,a. R;rF :(Ji)':a,dacdae IR*; ,[db:lolJi, oe IR,D>0.

RATIONALIZAREA NUMITORULUI

t.9:"{q ,b>o,a+0.a'lb a'b

,.::'":: "<Ji-Jh :!L: "d-o+Jtt .a>0.b>0,a*b,-' Ji+Ji a-b ' J;-Jb a-b

3 #e = H*,b>o,d>o,a€ e*,ce e. $i o'b*c'd.

I < Uemorator de matematice

FORMULA RADICALILOR COMPU$If-

,t"tJo = lry * lT,unde c = J;' - b

TNTERvALT iN n

(a;b): {xe IR.lo.*.b};(a;bl: {x e IRla.r<D};la;b): {x e IR.lo<*<b\;[a;b): {x e IR.la 3x<b\.

la; +-) : {x e IR lx2 a}; (a; +-): {x e lR l*, ,};(*; a): {x e IR l* . ol; (*; o7: {x e JR l* <

"l .

{r e IR. I lrl < "} = l-a; al.

{x e R. I lrl > "}

: (*; -al v la; +*\

FORMULE DE CALCUL PRESCURTAT

l.(a+b)2:a2+2ab+b2.2.(a-b)':i-2ab+b2.3.(a+ b)(a-b): o'-b'.4. (a + 6 a

")' : a2 + b2 + c2 + 2ab +2ac + 2bc.

5-. (a + b)t : ot + llb + 3ab2 + b3 : a3 + b3 + 3ob(a + b).6. . (o - b)' : ot - 3a2b + 3ab2 - b3 : a3 - b3 - 3ab1a - b1.

7*. a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2).

8.. a3 - b3 : (a - b)(a2 + ab + b21.

9.. I + a+ a2 + ...i an : t4,y aelR.\{1},n € N'.a-l

MEDIA GEOMETRICA (PROPORTIONALA)

*r= J*b, a>0,b>0;a 3 m, I ffi o 1 6, pentru 0 < a < b (inegalitatea mediilor).

PRODUSUL CARTEZIAN

AxB: {(x,y)lxe Agiye B\.

DacI alegem in plan un sistem de coordonate xAy, putem identifica elementele produsului

cartezian lR. x R cu punctele planului. Oric[rei perechi ordonate de numere reale (x1, y,a) iicorespunde un unic pvtct A(x6 yt); x,q se nume$te abscisa punctului A, iar y,a se nume$teordonata punctului l.Distan{a dintre doul ptncte A(x6y1) Si B(x6,y6) se calculeaz[ dupl formula:

AB=

Matematicd. Evaluarea Nationalt 201S >9

Coordonatele mijlocului segmentului AB sunt:

* -x,t*rr. -. -!t*lei,, -..'.-- i,, -,"2rtut2

FUNCTII

Fie I qi B doud mul{imi nevide. Dacd printr-un procedeu oarecare facem cafiecdrui elementdin mullimea I s6-i corespundd un singur element din mullimea B, atunci spunem ci am

definit o frrnc{ie delaAlaB.f : A -+ B; A- domeniul de definilie; B - codcimeniul.

Graficul unei tunclii: Q: {@, y) e A x B lfl*): y}.M(x, y) e G1a flx): y, cu x e A, y e B.

Funcliile/: A -+ B gig: C-+D sunt egaledacdA: C,B: D giflx):g(x), Y x e A.

FUNCTIADE GRADUL I

Este o flrnclie/: R + R. definitd prin/(r) : ex + 6, unde a, b e R, a + 0.

Graficul unei asemenea funclii este o dreaptl oblic[.Gyn Or: {A(0: b)} I

( f A \l I Punctele de interseclie ale graficului cuGr^ O.: { Bl -:;0 ll I axele de coordonate.

L ( o' )) )Dacd a:0, b + 0 =lx) : 6 (frrncJia este constantd); graficul este o dreaptl oizontall.

ECUATIA DE GRADUL AL II-LEA

Forma generald: al + bx * c:0, unde a € R*, 6, c e lR.

Discriminantul ecuafiei: L,: b2 * 4ac.

Daci A > 0, ecualia are doui solulii reale distincte: *r.r: -+ .

Dacd A = 0, cele doud solulii sunt egale: xt : xz : -*DacS A < 0, ecua(ia nu are solutii reale.Pentru A ) 0, expresia o* + tX + c se descompune in factori astfel: a(X - x)(X - x).

10 < ttemorator de matematice

GEOMETRIE

\Unitatea dr-rlpnmar(

tipul \ti.trritnrii \Submultiplii Unitatea

principali Multiplii

Lungime 4,:H",,Hj,H-:H,:H:,trSuprafafi 4:;H, M,H,,,H",,H"-PVolum

-:l0r-ra .-:1031 r-:1031-:l031a r-:1031--:1031@*,., 0,4, r oR* r o,F*,, 0,4-", rRr, oF

Penku suprafete:I ha: 100 ari : 10 000 m2; I ar: 100 m2.

Pentru capacitate, unitatea principal[ este litrul (/).

t drr3: t t; I cm3: 1ml;Unitatea principal6 pentru masl este kilogramul (kg).

I kg: 1000 g; I t: 1000 kg;Unitatea principal[ pentru misurarea timpului este secunda (s).

I min:60 s; I h:60 min;

I m3: 10001.

I q: 100 kg.

I zi:24h.

UNGHIUL

Unghi: reuniunea a dou[ semidrepte inchise cu aceeagi origine.Unghiurile se mlsoarl in grade, minute gi secunde: lo : 60'; 1':60".

Clasificarea unghiurilor:Unghi nul Unghi alungit Unghi asculit

oor-*----L AB AoB / Vn(<AOB): 0" n(<AOB) : 180" n(<AOB)<90"

Unghi drept1--..1--',o

IlB

n(<AOB):90"

Unghi obtuz

,N\_

OB

n(<AOB)>90'

Unghiuri congruente: unghiuri care au aceeaqi m[sur[.Bisectoarea unui unghi : semidreapta cu originea in v6rfirl unghiului, situatl in interioqimparte unghiul in dou[ unghiuri congruente.Unghiuri adiacente: au acelagi vffi o laturd comund gi nu au puncte interioare comrme.

Matematicd. Evaluarea Nationald 2018 >11

Unghiuri complementare; doul unghiuri care au suma misurilor de 90".Unghiuri suplementare; doui unghiuri care au suma mdsurilor de 180".Unghiuri opuse la vdrf: dond unghiuri cu v6rfrrl comun 9i laturile in prelungire.Doui unghiuri opuse la vdrfsunt congruente.

Drepte paralele: dold drepte coplanare, frr[ puncte comune.Drepte perpendiculare: dou6 drepte concurente care formeaz[ un unghi drept.

Unghiuri congruente formate de doui drepte paralele cu o secanti:

^ ^t3:51^^t4=61^ ^ll:7 I

^^t2:81

alterne interne

alterne externe

corespondente

1=5

+=8

)=G

l=i

TRIUNGHIULNotafie: AABCElemente:ovdrfuri: A,B,Co laturi: IABI,lBq,lAq. unghiuri: <BAC, <ABC, <BCA

m(<l) + m(<B) + m(<C): 180"Inegalitatea triunghiului:IAB -ACI. BC < AB + AC

Clasilicare:I. DupI unghiuri

Ascutitunghic

A

Dreptunghic Obtuzunghic

";'

II. Dupi laturi

Oarecare

A

,4.Isoscel

A

\AB: AC

Echilateral

A

CAB: BC: CA

12< ttttemorator de matematicE

TEME RECAPITULATIVE

TEMA 1. Numere naturale

Partea I

La fiecare dintre exercitiile de la I la 10 trebuie sd efectua(i calculele.1.40:8-4:2. 2.30-4.7.3. (253 + 147) :25. 4. 142 : (t + 2 . 35).5.23+32-40. 6.07+310:38-9.7. (2t)":2s6-320:318. 8.2.23.2s:27+08-le.9. 257:514+3e0..272s. fi.(2+4+6+...+20)-(1+3+5+...+19).ll. Aflati restul implrfirii numSrului 120la7.12. Calcula{i suma tuturor numerelor naturale care, impdrfite la 4, dart c6tul 5 gi restul nenul.13. Calcula{i suma numerelor pare cuprinse intre 9 qi 21.

14. Aflali cdte numere de forma al6 sunt impare.15. Determinali suma numerelor prime av6nd o singur[ cifr6.16. Stabilili care dintre urmdtoarele numere este prim: 17 , 2!, 29 , 37 , 39, 4l , 51, 67 , gl , gj .

17. Determinali toli divizorii naturali ai numIrului 18.18. Scrieti toti multiplii de dou5 cifre ai numSrului 13.19. Calculati suma divizorilor naturali ai num[rului 28.20. Descompuneli in factori primi numerele: 54,75,120 qi 300.

21. Determinali cifrax, gtiind c[ num5rul ,8, ," divide cu 2.

22. DeterminaJi toate numerele de forma 32o car" se divid cu 4.

23. Aflali cel mai mare num6r de forma 2"18 ,ur" se divide cu 3.

24. Determinali toate numerele de forma 2*34 cur" se divid cu 9.

25. Afla(i cdte numere de forma *yA ," divid cu 12.

26. Determinali cel mai mare divizor comun al numerelor 36 gi 48.27. Determina{i cel mai mare divizor comun al numerelor 45, 180 qi 195.28. Afla1i cel mai mic multiplu comun al numerelor 6 9i 8.29. Aflati cel mai mic multiplu comun al numerelor 9,12 gi 15.30. Determina{i numdrul p6tratelor perfecte nenule, mai mari decdt 500.

Partea a ll-a

l. Un numlr natural ab , adunal cu suma cifrelor sale, dd 54. Aflati numirul.2. Aflali numerele naturale a gi D, qtiind cI suma lor este egal5 cu 19 qi cd, implr{ind pe a la b,

oblinem cdtul 3 gi restul 3.3. Suma a trei numere naturale este 502. Aflali cele trei numere, qtiind cI al doilea este triplul

primului gi c[, imp54ind pe al treileala al doilea, oblinem cdtulT qi restul 2.

Matematicd. Evaluarea Nationale 201S >23

4. Determinali toate numerele naturale nenule care, impdrfite la 12, dau c6tul de trei ori maimic dec6t restul.

5. Determina{i toate numerele naturale care, implr{ite la un numir de doul cifre, dau c6tul 10qi restul 97.

6. AflaJi cdte numere naturale de trei cifre dau restul 7 la impirfirea ct25.7. Ardfia[i cb suma a trei numere naturale, care dau resturi diferite la implrfirea cu 3,

la ll2, oblinem c6tul

este,intotdeauna, un multiplu de 3.

8. Determinafi num5rul abc, gtiind cd b = a + 2c $i, impd(ind pe otca pi restul 59.

9. Calculali: 2s -3 .[3 .7 -2.(6, -231:41+ 1123.

10. Determina{i num[ru] natural n, gtiind cd 7 . 72 . 73 . 74 . 75 = 72"*t .

11. Fie numerele naturale a = 22e + 240 . 2tt si b = 1220 :2a0.a) Arltali cda=230.b) ComparaJi numerele a qi D.

l2.a) Ardta[i cinum5rulnatural a=5.342 +920 - 10.340 estepdtratperfect.b) Demonstrati cd num[rul natural b =342 + 2a3 rueste pitrat perfect.

13. Fie a= 1 * 3 + 32 +... + 3lo + 3rr.a) Ardtali c5 a este num[r par.b) Ardtati cE numdrul a este divizibil cu 10.

14. Demonstrali cd num5rul natural d = 2'*3 . 7" + '7n*r . 2, - 3 . 14, se divide cu 12, pentruorice numdr natural n.

15. DeterminaJi toate numerele naturale n astfel incdt2n + I sd dividd pe 60.16. Determinali toate numerele naturale n, gtiind cd n + | divide pe 2n + ll.17. Demonstra{i cd, dacd "t + t" +ii = 198, atunci numdrul abc esteun multiplu de 9.18. DeterminaJi numerele pime p, q, r astfelincdt2p + 3q + 6r = 78.19. Ardtali cA suma a trei numere naturale consecutive a, a * 1 gi a + 2 este numdr prim doar

dacd a = 0.

20. Demonstrali ci, dacd ab = 3 . cd, atunci numdrul natural ob"d ,"divide cu 7.

21. Se considerl mullimea O ={"b" I a .b . c = 8} .

a) Aflali elementele multimii l.b) Stabili{i dac[ mullimeaA con\;ne numere divizibile cu 3.

22.Fien un numlr natural care impdrfit la 12 Si la 18 d5, de fiecare dati, cdtul diferit de zero qirestul 5.a) Ar5ta{i cI cel mai mic numdr n cu aceaste propriet[]i este 41.b) Determinali toate numerele n cu propriet[]ile considerate care indeplinesc qi condilia100 < n <200.

23.Fie ze un numir natural care implrfit la20 dd,restul l8 qi impirtit la l5 dn restul 13.a) Ar[taJi cI cel mai mic numdr n cu aceste proprieti{i este 58.b) Stabiliti cdte numere n, care indeplinesc condiliile din enunt, sunt mai mici dec6t 1000.

24. a) Determinali toate numerele de doud cifre ab pentru care numdrul ,O + Oo este p6tratperfect.

b) Demonstrafi cd nu exist[ numere de trei cifre abc , astfel incdt numdrul "t" + O* ++ cab s|fie pdtrat perfect.

24 < feme recapitulative

25. Determina(i numerele naturale a gi 6, gtiind cd a > b ) 0, a * b = 78 ;icel mai mare divizorcomun al lor este 13.

26. Alr5ila[i c5, oricare ar fr n e N, num5rul o = n' - n este divizlbil atdt cu 2, cdt gi cu 3.

2l.Dacd scriem pe o tabld toate numerele naturale de la 1 la 100, apoi qtergem to(i multiplii de2 qi toli multiplii de 3, aflaJi cdte numere rdmdn scrise pe tabl5.

28. Ionel a ales dintr-o carte 7 foi gi a adunat numerele inscrise pe cele 14 pagini ale foilorselectate. Este posibil ca suma ob{inutd sd fie 14282 (Binein(eles, presupunem cd Ionel nugre$e$te la adunare.)

29. Un elev a dat un test cu 20 de probleme. Se qtie cI pentru fiecare problemi corect rezolvatlse acordl 8 puncte, pentru fiecare problemd rezolvatd, greqit se scad 5 puncte, iarproblemele nerezolvate se puncteazd ct zero. Afla{i c6te probleme a rezolvat corect eler,ul,gtiind c[ el a oblinut 13 puncte la test.

30. Intr-un tramvai gol, in care incap cel mult 70 de pasageri, s-au urcat, la plecare, n pasageri

(z e N-). Jumdtate dintre ei au luat loc pe scaune. Aflali numdrul n, qtiind cd la prima sta{ie

8% dintre pasageri au cobordt din tramvai.

2.(T-2+3-4):2.4.13 + 24 : (- 2).

6.(- 1)o + 2 .(- lf.8.28 : (- 2)u - (- sf.10.2,25+3,75-5.12. 1,4 . 1,5 - 4,1.

M. (!* 1) 1?(2 3) 5

rz. [r,rro

- *], ,,,r,

', [(i'.(;) ']

''

16. [0,5 + O,(:)] :f .

18. 1s .(0,, - 1 * 0,6) .

zo.lz--(-i)'] :(0,2s)

21. Calculati suma dintre opusul numbrului intreg2qi inversul num[rului ralional -]J

22. Calcula\i produsul modulelor numerelor intregi - 1, 2 qi - 3.23. Aflali toate numerele intregi care au valoarea absolutl egald u 12.24. ScrieJi toate numerele intregi impare cuprinse intre - 4 qi 2.25. Gdsili cel mai mare num[r intreg mai mic decat* 23,4.

TEMA 2. Numere intregi. Numere ralionale

Partea I

La fiecare dintre exerciliile de la I la20 trebuie sE efectuali calculele.1.3.(-5)-(-12).3. (- 4s) : (3 - 8) + (-2) .2.5.25: (- s)-(2-7).7.(-z)'-(-2)3 +32.9.2 - (- 3)o . 3t : (- 3)'.11.4.0,5+5.(-0,2).

13. 4,35 : 0,15 - 140. 0,2.

tsl15.

---+_.t2 18 9

Matematicd. Evaluarea Nationale 201S >25

80 DE VARIANTE DE SUBIECTE

DUPA MODELUL M.E.N.

TESTUI 1 1

Subiectul l. Pe foaia de examen scrieyi numui rezultutele. (30 puncte)

1. Rezultatul calculului 20 - 10 : 5 + 5 este egal cu ... .

2. Dac[ trei caiete cosld 7 ,20lei, atunci un caiet costi . . . lei.

3. Dac[ + = +, atunci numirul 3x - 4|este egal cu ... .t2 4'{. Un hiunghi echilateral ABC are perimetrul egal cu 12,6 m. A

Lungimea latuii AB este egal5 cu ... m.5. in Jigura 1 este reprezentat un cub ABCDAtBtCtDt cu aria

total[ de 96 cm2 . Lungimea latuiri AB este egalS cu . . . cm.5. ln tabelul de mai jos sunt trecute rezultatele oblinute in urma

m[suririi inlltimii fiec[rui elev dintr-o clas5:

Inlltimea 6n cm) s 150 l5l-160 161 170 t7l-180 > 180NumIr de elevi 2 J 4 t8 7

Num5rul elevilor din clas[ cu in[llimea mai mare de 1,60 m este egal cu ... .

Subiectul al ll-lea. Pe foaia de examen scrieli rezolvdrile complete. (30 puncte)

I. Desena{i, pe foaia de examen, un con circular drept cu vdrful V.

l. Determinali elementelemullimiil : {xe Z ll2 +xl:5}.3. Bursa lunarS a unui elev este mai mic[ dec6t 450 lei cu jumdtate din valoarea ei. Afla{i c6!i

lei primegte ele"ul ca bursd lunar5.

4. Se consider[ func]ia/: JR -+ JR,/(x) :2x - 3.

a) Determina{i coordonatele punctelor de intersec{ie ale graficului func{iei/cu axele Ox gi

Qr ale unui sistem de coordonate xOy.b) Determinali coordonatele punctelor de pe graficul firncliei f care se afl[ la 3 unitnlidistan{d de originea sistemului de coordonate xQr.

? r. x (x+2)(2x-l)-x(x+3)+l:. LreE(x): -;-----;: . undexestenum5r real.x+-l.x+ 0 gi x+x' + x' (2x +2)(3x -3)

* 1. Ardta{i cd E(x):-: ^, pentru orice x numdr real, x * -1, x *0 qi r + l.x(x+l) "

ABFigura I

Matematicd. Evaluarea Nationale 2Ol8 >95

$lbie:ctul al III-lea. Pe foaia de examen scrieyi rezolvdrile complete. (30 puncte)

l. lnfigura 2 este reprezentat un dreptunghi ABCD, cu DAB : 60 cm gi BC : 50 cm. Pltratele AEFG Si CHIJ

au laturile egale cu 10 cm.

a) Aflali c6.li cnf ne aiasuprafelei haqurate.

b) Ardtati c5, daci M este mijlocul segmentului lB, G

atunci dreptel e FM Si IM *ttperpendiculare . A

c) Ardtati cd dreptele EH, FI qi GJsunt concurente.

2. it figura 3 este reprezentatd o prism[ patrulateri regulati

ABCDA'B'C'D' cu lattxa bazei AB : 4 m qi muchia latetald A

AA'=2Jim.a) Calculali volumul prismei (in m3).

b) Determinati sinusul unghiului format de dreptele A'C gi

AD.

c) Ar6taii cd planele (A'BD) Si (C'BD) sunt perpendiculare.A Figura 3

TESTUL T2

Subiectul l. Pe foaia de exsmen scrie{i numai rezultatele. (30 puncte)

1. Rezultatul calculului 22 + 4.(-3) este egal cu ... .

2. Dacd a:250, atunci 30% din a este egal cu ... .

3. Dintr-o clasl cu l2bdie\i gi 18 fete se alege, la intdmplare, un elev'

Probabilitatea ca elevul ales sd fie bdiat este egal6 cu ... .

4. Lungimea diagonalei unui p[trat cu perimetrul de 24 cm este egallcu... cm.

5. in figura 1 este reprezentat un cilindru circular drept cu taza bazel

OA = 8 cm gi indl{imea OO' = l0 cm. Aria lateralS a cilindrului este

de ...fi cm2.

6. Rezultatele elevilor unei clase la tezade matematicl sunt reprezen- Figura Itate in graficul de mai jos. Numlrul elevilor din clasd care au luat peste 7 este egal cu ... .

7

6

5

4

J

2

1

12345678910

Figura 2

96< Variante de subiecte

Subiectul al Il-lea. Pe foaia de *smen scrieyi rezolvdrile complete. (30 puncte)

l. Desena{i, pe foaia de examen, un trunchi de piramidb patrulateri regdatd, ABCDA'B'C'D'.

2. Dacd xe JR*, astfel incdt x +! = 4,aflafi valoarea sumei *' * \ .xx'3. Aflali cel mai mic num6r natural care impdr(it la numerele 15, 30 gi 45 dd, de fiecare datd,

un cat diferit de zero qi restul 13.

4. Se considerl funclia/: 1R + 1R,/(x) : x - 6.

a) Reprezentali grafrc funcliaf intr-un sistem de coordonate xQ;.b) calcula{i P =f (0) .f (r)-f (2) . ... .f (ee) /(100).

5. Se considerl expresia g1g -G'z + 4x ! 3)lx'z +-lx + z),

unde x este un numdr real, x * -3x'+5x+6Si x * 1. Ar[ta]i cd E(x) > 0, pentru orice r numir real, x * -3 Si x + -2.

Subiectul al III-lea. Pe foaia de examen scrieli rezolvdrile complete. (30 puncte)

Al. Triunghiul ABC, dinfigura 2, are m(<BAa:90", AB := 30 cm $i AC:40 cm. Fie AQ L BC,8 e (BC) qi M, N, P pmijloacele laturilor BC CA, respectiv AB.

a) Ar[tali cI triunghiurrle APN Si QPN sunt congruente.

b) Calculati perimetrul patrulaterului MNPQ (in cm).

c) Demonstrali c[ punctele M, N, A, P, Q se afl5 pe un cerc.

2. ln figura 3 este reprezentatd o piramidl triunghiulariregulati ABCD, cubaza AB :3 m, apotema DM: 1 m(M e BC) qi inll(imea DO. Fie punctul V e DO (D ee (VO)) astfel incdt l/D:gDO.a) Arltali cd DO: 0,5 m.

b) Afla{i lungimea segmentului VO (inm).c) Calculali tangenta unghiului format de dreapta DA cu

plarr':J(ABQ.

Figura 3

TESTUL 13

Subiectul l. Pe foaia de exumen scrieyi numai rezultatele, (30 puncte)

l. Rezultatul calculului l0-0,23 * 1,7 este egal cu ... .

') .,l. Dacd a = *,atunci numSrulxy -2}este egal cu ... .

xt

QMFigura 2

Matematicd. Evaluarea Nationald 2018 >97