Ministerul Educaţiei al Republicii MoldovaUniversitatea Tehnică a Moldovei

Lucrare de laborator Nr. 2

La Teoria Probabilităţilor şi a Informaţieirealizată în sistemul MATHEMATICA 5.1

Tema: Teoria probabilităţilor. Calculul probabilităţilor

Varianta XIX

Elaborat: Rusu Cristin st.gr.134

Verificat: Lisnic Inga lect. asist.

Chişinău 2013

SISTEMUL DE PROGRAME MATHEMATICA.Rezolvarea exerciţiilor din Matematici

Teoria probabilităţilor1. Calculul probabilităţilor. Dacă rezolvarea unei probleme de calcul

al probabilităţii şi această problemă s-a reduc la aplicaţia unei formule de calcul, atunci rămâne de introdus în această formulă datele numerice ale problemei şi parametrii necesari. Astfel se obţine o expresie numerică la care trebuie calculată valoarea. Di cele expuse anterior rezultă Sistemul de programe Mathematica permite: calculul valorii exacte, calculul unei valori aproximative cu şapte cifre semnificative şi calculul unei valori aproximative cu un număr dorit de cifre semnificative.

Cititorul are de acuma o careva experienţă de lucru cu Sistemul Mathematica şi nu va uita ca după scrierea instrucţiunii să tasteze Shift+Enter după care instrucţiunea va fi executată. De aceea textul rezolvărilor problemelor ce urmează va conţine numai instrucţiunea respectivă şi rezultatul executării ei: Input, Output precum şi unele comentarii (dacă ele sunt necesare).

Unele calcule din exerciţiile ce urmează pot efectuate cu ajutorul unui microcalculator, sau chiar „în minte”. Prin atare exerciţii se ilustrează nu atât necesitatea utilizării Sistemului Mathematica, cât posibilitatea utilizării lui.

Variante de exerciţii pentru lucrul individual pot fi găsite, de exemplu, în lucrarea didactică Théorie des probabilités et statistique mathématique, (numită succint TPSM). Pentru comoditate, unele din aceste exerciţii au fost incluse în exerciţiile propuse pentru rezolvare care sunt la sfârşitul paragrafului.

La rezolvarea exerciţiilor ce urmează vor fi folosite unele funcţii din cele enunţate anterior şi unele din funcţiile:Collect[expr,x] – reduce termenii asemenea din expresia expr şi îi arangează după puterile lui x;Sum[f[i],i,imin,imax] – calculează suma valorilor funcţiei f pentru i de la imin

până la imax cu pasul +1;NSum[f[i],i,imin,imax] – calculează o valoare a sumei valorilor funcţiei f pentru i de la imin până la imax cu pasul +1;Product[f[i],i,imin,imox] - calculează produsul valorilor funcţiei f pentru i de la imin până la imax cu pasul +1;NProduct[f[i],i,imin,imox] – calculează o valoare a produsului valorilor funcţiei f pentru i de la imin până la imax cu pasul +1.

2. Scheme clasice de calcul al probabilităţilor. Amintim câteva formule şi scheme de calcul al probabilităţilor.

1) Definiţia clasică a probabilităţii. Formule de adunare a probabilităţilor. Dacă spaţiul evenimentelor elementare conţine un număr finit de evenimente elementare echiprobabile, atunci probabilitatea unui eveniment aleator A se calculează conform formulei

P( A )= card Acard , (8.1.1)

unde card înseamnă numărul de elemente ale mulţimii respective. Această formulă reprezintă definiţia clasică a probabilităţii. Formula de adunare a probabilităţilor evenimentelor incompatibile două câte două este

P( ∪ i=1n Ai )=∑ i=1

nP( Ai ) , (8.1.2)

iar formula de adunare a probabilităţilor în cazul general este

P( ∪ i=1n Ai )=∑ i=1

nP( Ai )− ∑

1≤i< j≤n

P( A i∩A j)+ …+

+ ∑1≤i< j<k≤n

P( A i∩A j∩ Ak )+ .. .+(−1)n−1P ( intersect i=1n Ai )

(8.1.3)

2) Probabilităţi condiţionate. Formule de înmulţire a probabilităţilor. Se numeşte probabilitate a evenimentului A condiţionată de evenimentului B mărimea notată cu P( A ¿ B)¿ definită prin egalitatea

P( B|A )=P( A∩B )

P( A ) . (8.1.5)Din (8.1.5) rezultă formula de înmulţire a probabilităţilor a două evenimente aleatoare

P( A∩B )=P( A )P (B|A ). (8.1.6)În cazul general formula de înmulţire a probabilităţilor are forma

P( A1∩ A2∩. ..∩An )= (8.1.7)P( A1 )P ( A2|A1 )P ( A3|A1∩ A2 ) .. . P ( An|A1∩. ..∩ An−1 )

În cazul când fiecare din evenimentele aleatoare A1, A2, ..., An este independent de celelalte şi de orice intersecţie a lor, atunci formula de înmulţire a probabilităţilor lor este

P( A1∩ A2∩. ..∩An )= P( A1 )P ( A2 )P( A3 ). .. P( An ). (8.1.8)3) Formula probabilităţii totale. Formula lui Bayes. Fie un spaţiu de evenimente elementare, H1, H2, ..., Hn este un sistem complet de evenimente şi A este un eveniment aleator. Atunci are loc formula probabilităţii totale

P( A )=P( H1 )P ( A|H1 )+. ..+P( Hn ) P( A|Hn )

(8.1.9)

şi formula lui Bayes

P( H j|A )=P( H j) P( A|H j)

P( H1 )P ( A|H1)+. ..+P (H n )P( A|Hn ) . (8.1.10)4) Experienţe independente. Experienţele aleatoare E1, E2,..., En se numesc independente în raport cu evenimentul aleator A, dacă acest eveniment poate să se realizeze sau nu în fiecare din aceste experienţe şi probabilitatea realizării lui în careva experienţă nu depinde de faptul dacă el s-a realizat sau nu în celelalte experienţe. Experienţele independente por tratate ca o experienţă care se repetă de n ori.

5) Schema binomială (schema Bernoulli sau schema cu revenire a urnei cu bile de două culori). Formula Bernoulli. Fie că în fiecare din n experienţe independente E1, E2,..., En evenimentul A poate să se realizeze cu probabilitatea p: p = P(A). Atunci probabilitatea ca evenimentul A să nu se producă este q = P( A ) = 1P(A) = 1p. Notăm această probabilitate cu Pn(k) probabilitatea ca evenimentul A să se realizeze de k ori în decursul al acestor n experienţe. Se demonstrează că această probabilitate poate fi calculată conform formulei Bernoulli:

, k = 0, 1,..., n. (8.1.11)Schema cu revenire a urnei înseamnă că bilele se scot din urnă câte

una şi fiecare bilă scoasă, după observarea culorii ei se întoarce din nou în urnă.

6) Schema polinomială (schema cu revenire a urnei, care conţine bile de mai multe culori). Fie că în rezultatul fiecărui din n experienţe independente E1, E2, ..., En pot să se realizeze evenimentele aleatoare A1, A2, ..., Ar, care formează un sistem complet de evenimente. Notăm: pi = P(Ai), i = 1, 2, ..., r. Evident că p1 + p2 + ... + pr = 1. Probabilitatea Pn(k1,k2,...,kr) ca în decursul a acestor n experienţe independente evenimentul Ai să se realizeze de ki ori i = 1, 2, ..., r, n = k1 + k2 + ... + kr, poate fi calculată conform formulei

Pn(k1,k2,...,kr) = . (8.1.12)Evident, că pentru r = 2 din formula (8.1.12) rezultă (8.1.11).

7) Schema Poisson. Funcţia generatoare de probabilităţi. Fie că în experienţele independente E1, E2, ..., En evenimentul A poate să se realizeze, respectiv, cu probabilităţile p1, p2, ..., pn. Atunci probabilitatea Pn(k) ca în

decursul acestor n experienţe independente evenimentul A să se realizeze de k ori, k = 1, 2, ..., n, este egală cu coeficientul lui xk din expresia

n(x)=∏i=1

n

(q i+ pi x ), (8.1.13)

unde qi = 1pi.Funcţia n(x) definită prin egalitatea (8.1.13) se numeşte funcţie

generatoare de probabilităţi. Schema Bernoulli este caz particular din schema Poisson şi anume

cazul când p1 = p2 = ... = pn = p. În acest caz funcţia generatoare de probabilităţi are forma

n(x) = (q+px)n. (8.1.14)8) Schema fără revenire a urnei cu bile de două culori. Fie că într-o urnă sunt n bile dintre care n1 sunt albe şi n2 sunt negre. Se extrag la întâmplare m bile fără a întoarce bila extrasă în urnă. Atunci probabilitatea Pm(m1,m2) ca printre m bile extrase m1 să fie albe şi m2 se calculează conform formulei

Pm(m1 , m2)=Cn1

m1 Cn2

m2

Cnm

. (8.1.15)9) Schema fără revenire a urnei cu bile de mai multe culori

Fie că într-o urnă sunt n bile din care ni sunt de culoarea i, i = 1, 2, ..., r, n = n1 + n2 + ... + nr, se extrag succesiv fără revenire m bile, m n. Atunci probabilitateaPm(m1 , m2 ,. . . ,mr ) ca printre bilele extrase mi să fie de culoarea i, i = 1, 2, ..., r, m = m1 + m2 + ... + mr, se calculează conform formulei

Pm(m1 ,m2 ,. . . ,mr )=Cn1

m1 Cn2

m2 . ..Cnr

m r

Cnm

. (8.1.16)10) Schema Pascal (geometrică). Fie că evenimentul aleator A poate să se realizeze în fiecare din experienţele independente E1, E2, … cu probabilitatea p. Atunci probabilitatea P(k) ca el să se realizeze prima dată în experienţa Ek se calculează conform formulei

P(k) = pqk1, (8.1.17)unde q = 1p.

11) Calculul valorilor aproximative ale probabilităţii din schema Bernoulli. Pentru n şi m relativ mari calculul probabilităţii conform formulei Bernoulli prezintă mari dificultăţi, dacă nu se aplică Sistemul Mathematica. În acest caz se folosesc formule de calcul al unor valori

aproximative ale acestei probabilităţi. Una din acestei formule rezultă din teorema locală Moivre-Laplace şi are forma

Pn (k )≈ 1√2 π npq

e− 1

2 (k−np

√npq )2

, (8.1.18)unde 0 p 1, Pn(k) este probabilitatea ca evenimentul aleator A cu P(A) = p, q = 1p, să se realizeze de k ori în decursul a n experienţe independente, n fiind destul de mare.

În cazul când probabilitatea p este aproape de 0 sau de 1, atunci o mai bună aproximaţie în raport cu formula (8.1.18) este obţinută prin formula

Pn (k )≈ ak

k !e−a ,

(8.1.19)

unde a = np şi n este destul de mare, iar p este aproape de zero. Această formulă rezultă din teorema Poisson. Se recomandă ca această formula să fie aplicată atunci, când npq 9, iar în celelelte cazuri – formula (8.1.18).

O valoare aproximativă a probabilităţii Pn(k1 k k2) ca în decursul a n experienţe independente numărul k de realizări ale evenimentului aleator A să fie cuprins între k1 şi k2 poate fi calculată conform formulei

Pn (k1≤k≤k2 )≈Φ ( k2−np

√npq )−Φ ( k1−np

√npq ), (8.1.20)

unde (x) este funcţia Laplace care se defineşte prin egalitatea

Φ ( x )= 1√2 π

∫0

x

e−t2 /2dt. (8.1.21)

Formula (8.1.20) rezultă di teorema integrală Moivre-Laplace.Având la dispoziţie Sistemul Mathematica, nu este necesară aplicarea

formulelor (8.1.18) – (8.1.21), dar putem cerceta şi compara erorile care se obţin la aplicarea lor.

Exerciţii pentru lucrul individual

8.1.1 Se aruncă un zar de două ori. Să se calculeze probabilităţile evenimentelor aleatoare:

1) A = suma numerelor apărute nu întrece 7,

2) B = suma numerelor apărute este egală cu 5,

3) C = produsul numerelor apărute este mai mare ca 14.

Rezolvare. Spaţiul evenimentelor elementare = (i, j): 1 i, j 6. Favorabile pentru evenimentul A sunt evenimentele elementare A = (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(6,1). Cum card A = 21 şi card = 36, avem

P( A )= card Acard

card A = m; card Ω = n

P(A)=mn ;

n=36;m=21;P(A)=21/36

In[1] :=N[21/36]Out[1] =0.583333

Favorabile pentru evenimentul B sunt evenimentele elementare B = (1,4),(2,3),(3,2),(4,1). Cum card B = 4 şi card = 36, avem

P( A )= card Bcard

card B = m1; card Ω = n

P(B)=m1n ;

n=36; m1=4;P(B)=4/36 In[2] :=N[4/36] Out[2] =0.111111

Favorabile pentru evenimentul C sunt evenimentele elementare C=(3,5),(3,6),(4,4),(4,5),(4,6),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)Cum card C = 13 şi card = 36, avem

P( A )= card Ccard

card C = m2; card Ω = n

P(C)=m2n ;

n=36; m2=13;P(C)=13/36 In[3] :=N[13/36] Out[3] =0.361111

8.1.2. Într-un lot care conţine 119 piese de acelaşi tip sunt 8 piese cu careva defect. Se extrag fără revenire 6 piese. Dacă toate piesele extrase sunt calitative, atunci lotul este acceptat, iar în caz contrar este refuzat. Să se calculeze probabilitatea evenimentului A = lotul este acceptat.

Rezolvare:Notăm: Ai = piesa cu numărul de extragere i este calitativă, i = 1, 2, 3, 4, 5,6. Are loc egalitatea A=A1+A2+A3+A4+A5+A6 Deci: P(A)=P(A1) * P(A2 A1) * P(A3 A1+A2) * P(A4 A1+A2+A3) * P(A5 A1+A2+A3+A4)* P(A6 A1+A2+A3+A4+A5)

In[4] :=N[

111119

∗110

118∗99

117∗98

116∗97

115∗96

114¿

Out[4] =0.441514

8.1.3. Un aparat constă din trei elemente care în timpul funcţionării lui pot să se deterioreze independent unul de altul. Notăm: Ai = elementul i se deteriorează, i = 1, 2, 3. Se cunosc probabilităţile acestor evenimente: p1 = 0.6, p2 = 0.7, p3 = 0.5 . Să se calculeze probabilităţile evenimentelor: A = nu se deteriorează nici un element, B = se deteriorează un singur element, C = se deteriorează două elemente, D = se deteriorează toate elementele, E = primul element nu se deteriorează.

Rezolvare. : p1 =P(A1) =0.6, p2 =P(A2)= 0.7, p3 =P(A3)= 0.5.Vom exprima evenimentul aleator A prin evenimentele A1, A2 şi A3.

P ( A )=P( A 1∗A 2∗A 3)

Calculăm probabilitatea evenimentului B folosind succesiv: formula de înmulţire a probabilităţilor evenimentelor independente şi formula de calcul al probabilităţii negaţiei evenimentului. In[5]:= N[(1-0.6)*(1-0.7)*(1-0.5)]

Out[5]=0.06

Vom exprima evenimentul aleator B prin evenimentele A1, A2 şi A3. Se va deteriora numai un singur element când primul element se deteriorează şi al doilea – nu şi al treilea – nu, sau al doilea se deteriorează şi primul - nu şi al treilea – nu, sau al treilea se deteriorează şi primul – nu şi al doilea –

nu. Conform definiţiilor reuniunii şi a intersecţiei evenimentelor aleatoare, avem:

P (B )=( A 1∗A 2∗A 3 )+( A 1∗A 2∗A 3 )+( A 1∗A 2∗A 3).

Calculăm probabilitatea evenimentului B folosind succesiv: formula de adunare a probabilităţilor evenimentelor incompatibile, formula de înmulţire a probabilităţilor evenimentelor independente şi formula de calcul al probabilităţii negaţiei evenimentului.

In[6] := N[0.6*(1-0.7)*(1-0.5)+(1-0.6)*0.7*(1-0.5)+(1-0.6)* (1-0.7)*0.5]Out[6] =0.29

Vom exprima evenimentul aleator C prin evenimentele A1, A2 şi A3.

P (C )=( A 1∗A 2∗A 3 )+( A 1∗A 2∗A 3 )+( A 1∗A 2∗A 3)

Calculăm probabilitatea evenimentului C folosind succesiv: formula de adunare a probabilităţilor evenimentelor incompatibile, formula de înmulţire a probabilităţilor evenimentelor independente şi formula de calcul al probabilităţii negaţiei evenimentului.

In[7] := N[0.6*0.7*(1-0.5)+(1-0.6)*0.7*0.5+0.6*(1-0.7)*0.5]

Out[7] =0.44

Vom exprima evenimentul aleator D prin evenimentele A1, A2 şi A3.

P ( D )=( A 1∗A 2∗A 3 )

Calculăm probabilitatea evenimentului D folosind succesiv: formula de înmulţire a probabilităţilor evenimentelor independente .

In[8] := N[0.6*0.7*0.5]

Out[8] =0.21

Vom exprima evenimentul aleator E prin evenimentele A1, A2 şi A3.

P ( E )= ( A 1∗A 2∗A 3 )

Calculăm probabilitatea evenimentului E folosind succesiv: formula de înmulţire a probabilităţilor evenimentelor independente şi formula de calcul al probabilităţii negaţiei evenimentului.

In[9] :=N[(1-0.6)*0.7*0.5]

Out[9] =0.14

8.1.4. Un magazin primeşte pentru vânzare articole cu exterioare identice fabricate la trei uzine în proporţie de: 40% de la uzina nr.1, 40% de la uzina nr.2 şi 20% de la uzina nr.3. Procentele de articole defectate sunt: 5% pentru uzina nr.1, 3% pentru uzina nr.2 şi 2% pentru uzina nr.3.. 1) Care este probabilitatea ca un articol cumpărat să fie calitativ? 2) Un articol luat la întâmplare este defectat. Care este probabilitatea că acest articol a fost fabricat la uzina nr.1. Rezolvare.1. Notăm: A = piesa luată la întâmplare este calitativă. În raport cu faptul care uzină a fabricat piesa luată pot fi enunţate ipotezele: Hi = piesa luată a fost fabricată de uzina nr.i, i = 1, 2, 3. Din condiţiile exemplului rezultă că uzina nr.1 a fabricat 40% din piese din cele existente la depozit, uzina nr.2 – 40% şi uzina nr.3 – 20% din piesele totale. Aplicând definiţia clasică a probabilităţii, avem: P(H1) =0.4, P(H2) =0.4, şi P(H3) = 0.2 . Cum ni% din piesele fabricate de uzina i sunt rebut, rezultă că (1−ni)% din piese sunt calitative. Deci P(AH1)= 0,95 , P(AH2)= 0,97 şi P(AH3) = 0,98. Aplicând formula probabilităţii totale avem:

P(A)=P(H1) P(A|H1)+P(H2) P(A|H2) + P(H3)P(A|H3) In[10] :=N[(0.4*0.95)(0.4*0.97)+(0.2*0.98)]

Out[10] =0.34344

Conform notaţiei din punctul 1 avem A = piesa luată la întâmplare este rebut.P(AH1)= 0.5 , P(AH2)= 0,3 , P(AH3) = 0,2

P( B)=P( H 3 )P( A|H 3 )

P( H 1 )P( A|H 1)+P( H 2 )P( A|H 2)+P( H 3 )P( A|H 3 )In[11]:= N[(0.2*0.2)/((0.4*0.5)+(0.4*0.3)+(0.2*0.2))]

Out[11]= 0.111111

8.1.5. O monedă se aruncă de 44 ori. Să se calculeze probabilităţile evenimentelor: A = valoarea a apărut de 29 ori, B = stema a apărut nu mai mult de 2 ori, C = stema nu a apărut nici o dată.

Rezolvare. Fie evenimentul D = apariţia valorii. Avem: p = P(D) = 1/2 şi q = 1p = 1/2. Formula Bernoulli

, k = 0, 1,..., n. pentru n = 44, k = 29, p =1/2 şi q = 1/2, este

P ( A )=P44 (29 )=C4429∗¿

In[12] :=N ¿

Out[12] =0.013069

B = stema a aparut nu mai mult de 2 ori

P(B) = P44 (1)+P44(2)P44 (1 )=C44

1 ∗0.51∗0.544−1

P44 (2 )=C442 ∗0.52∗0.544−2

P(B) =C441 ∗0.51∗0.544−1+C44

2 ∗0.52∗0.544−2

In[13]:= N [ 44 !1!∗43!

∗0.51∗0.544−1+ 44 !2!∗42!

∗0.52∗0.544−2]

Out[13]= 5.6275∗10−11

P(C)=C440 ∗( 1

2 )0

∗( 12 )

44−0;In[14] := N [ 44 !

0! 2∗( 44−0 )!∗0 .50∗0 .544−0]

Out[14] =2.84217*10−14

8.1.6 Probabilitatea ca un aparat electric să se defecteze in perioada de garanţie este p=0,12. Să se calculeze probabilitatea ca din 1000 aparate cumpărate, in perioada de garanţie, să se defecteze 119 aparate.

Rezolvare:Avem: p=0.12; n=1000; m=119; q=0.88

Conform teoremei locale Moivre-Laplace avem

Pn (m)≈ 1

√2 π npqe

− 12( k−np

√npq)2

P1000 (119 )≈ 1

√2π*1000*0 .12*0 . 88e

− 12( 119−1000*0 .12

√1000*0 .12*0 .88)2

In[17]:=N [ 1

√2∗π∗1000∗0 . 12∗0. 88Exp[− 1

2( 119−1000∗0. 12

√1000∗0. 12∗0. 88)2 ] ]

Out[17]= 0.0386386

8.1.7. Intr-o urnă sunt 18 bile de trei culori: 6 bile albe, 8 bile negre şi 4 bile albastre. Se extrag succesiv cu revenire 9 bile. Să se calculeze probabilităţile evenimentelor: A = toate bilele sunt albe, B = 4 bile sunt albe, 3 sunt negre şi 2 sunt albastre,C = 4 bile sunt albe iar restul sunt de alte culori.

Rezolvare. 1) Vom exprima evenimentul aleator A prin evenimentele A1, A2 şi A3.Fie evenimentele: A1 = bila extrasă este albă, A2 = bila extrasă este neagră şi A3 = bila extrasă este albastră. Atunci: p1 = P(A1) = 6/18 , p2 = P(A2) = 8/18, p3 = P(A3) = 4/18 Aplicând formula (8.1.12) cu n = 9, k1 = 9, k2 = 0, şi k3 = 0, obţinem

P9(9,0,0) = 9!9 !∗0!∗0!

∗( 618 )

9

∗( 818 )

0

∗( 418 )

0

P(A)= 9!9 !∗0!∗0!

∗( 618 )

9

∗( 818 )

0

∗( 418 )

0

In[18] := 9!9 !∗0!∗0!

∗( 618 )

9

∗( 818 )

0

∗( 418 )

0

Out[18] =1

19683

2)Vom exprima evenimentul aleator B prin evenimentele A1, A2 şi A3.Fie evenimentele: A1 = bila extrasă este albă, A2 = bila extrasă este neagră şi A3 = bila extrasă este albastră. Atunci: p1 = P(A1) = 6/18 , p2 = P(A2) = 8/18, p3 = P(A3) = 4/18 Aplicând formula (8.1.12) cu n = 9, k1 = 4, k2 = 3, şi k3 = 2, obţinem

P9(4,3,2) = 9 !4 !∗3 !∗2 !

∗( 618 )

4

∗( 818 )

3

∗( 418 )

2

P(B)= 9 !4 !∗3 !∗2 !

∗( 618 )

4

∗( 818 )

3

∗( 418 )

2

In[19] := 9 !

4 !∗3 !∗2 !∗( 6

18 )4

∗( 818 )

3

∗( 418 )

2

Out[19] =35840531441

3)Aplicind formula (8.1.12) cu n=9, k1=4, k2=5, obtinem

P9(4,5) = 9 !4 !∗5 !

∗( 618 )

4

∗( 1218 )

5

P(B)= 9 !4 !∗5 !

∗( 618 )

4

∗( 1218 )

5

In[19] := 9 !

4 !∗5 !∗( 6

18 )4

∗( 1218 )

5

Out[19] =448

2187

8.1.8. Să se calculeze probabilităţile evenimentelor A, B şi C din exerciţiul 8.1.7 cu condiţia că bilele extrasă nu revine în urnă.

Rezolvare :

P(A)=0 ;

Imposibil de extras 9 bile albe dintr-o urnă în care sunt doar 6 bile albe.

P (B )=P9 (4.3 .2 )=C6

4∗C83∗C4

2

C189

In20 N [

6 !4 !∗2 !

∗8 !

3!∗5 !∗4 !

2 !∗2!18 !

9 !∗9 !

]

Out20 =0.103661

P (C )=P9 ( 4 )=C6

4∗C125

C189

In21 := N [

6 !4 !∗2 !

∗12 !

5 !∗7 !18!

9 !∗9 !

]

Out21 = 0.244344

8.1.9. 1) Care este probabilitatea că numărul 3 va apărea pentru prima dată la a 23-a aruncare a zarului? 2) Care este probabilitatea că la primele 23 aruncări ale zarului numărul 3 nu va apărea?

Rezolvare :

Schema Pascal (geometrică). Fie că evenimentul aleator A poate să se realizeze în fiecare din experienţele independente E1, E2, … cu probabilitatea p. Atunci probabilitatea P(k) ca el să se realizeze prima dată în experienţa Ek se calculează conform formulei:

P (k )= p∗qk−1 ,q=1 p

unde p=16

, iar q=1− 16

= 56

1) P ( A )= 16∗( 5

6 )23−1

In[22]:=N[16∗(5

6 )22

]

Out[22]=0.00301899

2) B = la primele 23 de aruncari ale zarului numarul 3 nu va aparea

Evenimentul B poate fi definit si altfel:

B = numarul 3 va aparea pentru prima data la aruncarea a 24,25,26,27 ……∞ .

P(B) = P(24)+P(25)+P(26)+P(27)+…=∑

k=24∞ (1/6)∗(5/6)k−1

In[23] := ∑ [ 16

∗( 56 )

k−1

, k ,24 , ∞]

Out[23] = 11920928955078125

789730223053602816

In[24] :=N[11920928955078125

789730223053602816]

Out[24]=0.0150949

8.1.10. Probabilitatea unui eveniment A intr-o experienţă aleatoare este p: p = 0,011. 1) Să se calculeze probabilitatea ca in decursul a 1000 repetări a acestei experienţe evenimentul A se va realiza de 10 ori (să se folosească formula care rezultă din teorema locală Moivre-Laplace şi formula care rezultă din teorema Poisson). 2) B = Să se calculeze probabilitatea ca numărul de realizări ale evenimentului A să fie cuprins intre 6 şi 17.

Avem: n=1000; p=0.011; q=0.989; k=10; k1 = 6 ; k2 = 17;

1) Din teorema locală Moivre-Laplace avem

Pn (k )≈ 1√2 π npq

e− 1

2 (k−np

√npq )2

,

P1000 (10)≈ 1√2 π∗1000∗0 . 011∗0. 989

e− 1

2 (10−1000∗0 . 011

√1000∗0 . 011∗0 . 989)2

In[25] := N [ 1

√2π∗1000∗0 .011∗0. 989Exp[− 1

2 (10−1000∗0 .011√1000∗0 .011∗0 . 989 )

2

] ]

Out[25] = 0.11552

Din formula care rezultă din teorema Poisson

Pn (k )≈ ak

k !e−a ,

Unde a = n*p ;

P1000 (10)≈(1000∗0 .011)10

10!e−(1000∗0. 011 ) ,

In[26] :=N [

(1000∗0. 011)10

10 !∗Exp[−(1000∗0 . 011) ] ]

Out[26] = 0.119378

P(A)=0.119378

2)

Pn (k1≤k≤k2 )≈Φ ( k2−np

√npq )−Φ ( k1−np

√npq ),

unde (x) este funcţia Laplace care se defineşte prin egalitatea

Φ ( x )= 1√2 π

∫0

x

e−t2 /2 dt.

Obtinem:

P1000 (6≤10≤17 )≈ 1

√2 π ∫ 6−1000∗0 . 011

√1000∗0 . 011∗0 .989

17−1000∗0 . 011

√1000∗0 . 011∗0 .989

e−t 2/ 2 dt

In[27] :=Nintegrate

[ 1

√2πExp[−t2 /2 ] , t , 6−1000∗0 .011

√1000∗0 .011∗0 . 989, 17−1000∗0 . 011

√1000∗0. 011∗0. 989]

Out[27] = 0.900782

P(B) = 0.900782

Concluzie :

La această lucrare de laborator am invatat să calculez rezultate la probleme

de calcul al probabilităţii. Am realizat ca sistemul de programe

Mathematica 5.1 permite: calculul valorii exacte, calculul unei valori

aproximative cu şapte cifre semnificative şi calculul unei valori

aproximative cu un număr dorit de cifre semnificative.

Bibliografie :

Am folosit fisierul propus de lectorul asistent și am utilizat cunostintele

acumulate la seminarele de Teoria Probabilitatilor si Informatiei.