Lucrarea 02 - Constante Variabile Matrice Determinanti Functii MathCad

METODE NUMERICELABORATOR

LUCRAREA 02 – CONSTANTE, VARIABILE,MATRICE, DETERMINANŢI, FUNCŢII MATHCAD Pag.1 / 9

2. CONSTANTE, VARIABILE, MATRICE, DETERMINANŢI, FUNCŢIIMATHCAD

I. SCOPUL LUCRĂRII

Lucrarea are drept scop prezentarea modului de operare cu constantele şi variabilele înMathCad, definirea şi operarea cu matrice, calculul determinanţilor şi funcţiile MathCad.

II. CONŢINUTUL LUCRĂRII1. Constante MATHCAD2. Variabile în MATHCAD3. Matrice şi vectori4. Determinanţi5. Funcţii MATHCAD

III. PREZENTAREA LUCRĂRII

III.1 Constante MATHCAD

Constante matematice predefinite:

Tabelul 2.1

SIMBOL LOCALIZARE PE TOOLBAR TASTE OBSERVAŢII

1 ∞ Calculus [Ctrl]+[Shift]+[z] În calculele numericeare valoarea 13307

2 E Calculator (ex) [e ] Valoarea e în calculelenumerice are 15 zecimale

3 Π Calculator sau Greek [Ctrl]+[Shift]+[p][p] → [Ctrl] → [g]

Valoare π în calculelenumerice are 15 zecimale

4 % - [% ] Echivalent cu înmulţirea0.01

În afară de constantele matematice predefinite, concentrate în tabelul de mai sus, înMathcad se mai utilizează constante de sistem, predefinite.

Constante de sistem, predefinite în Mathcad:

Tabelul 2.2

NUME VALOAREIMPLICITĂ FUNCŢIONALITATE

1 TOL(TOLerance)

0.001 Controlează precizia de evaluare numerică a integralelordefinite şi a derivatelor, a blocurilor solve şi funcţiei root.

2CTOL(ConstraintsTOLerance)

0.001 Controlează precizia de evaluare a restricţiilor în blocurilesolve, în operaţii de optimizare, prin funcţiile minimize,maximize, find sau minner .

3 ORIGIN 0 Valoarea de start a indexului vectorilor / matricelor de pe ofoaie de lucru

4PRNPRECISSION(PRiNtPRECISSION)

4Numărul de zecimale cu care se scriu valorile numerice într-un fişier, prin intermediul funcţiei writeprn



5PRNCOLWITDH(PRiNt COLumns’WIDTH)

8 Lăţimea coloanelor la fişierele ASCII, scrise cu funcţiawriteprn

6 CWD (CurrentWorking Directory)

string Afişează directorul curent de lucru, unde sunt salvate fişierele.Implicit este directorul Mathcad-ului.

III.2 Variabile în MATHCAD

Variabilele au proprietatea de a-şi modifica valoarea în timp.În afară de numele unor constante matematice, sau de sistem (tabelele 2.1 şi 2.2)

Mathcad tratează numele unor unităţi de măsură predefinite, ca variabile predefinite.Exemple: A-ampere, m-metru, s-secundă, etc.De asemenea, sunt predefinite sute de funcţii, care pot fi inserate în foia de lucru prin

butonul f(x), sau meniul Insert → Function. (vezi 2.5)

Nume definite de utilizator ale variabilelor şi funcţiilorPentru a se evita confuziile, este indicat, ca înainte de definirea unei noi funcţii, să se

verifice dacă nu există o funcţie predefinită cu acelaşi nume.Numele de variabile şi funcţii pot conţine următoarele caractere: litere mari sau mici; cifrele 0 ... 9; caracterul _ ; simbolul prim ‘ (a nu se confunda cu “); simbolul procent %; simbolul infinit ∞; caracterele greceşti, care se pot insera din toolbar-ul Greek Symbol, sau prin

succesiunea de taste: [litera latină corespunzătoare cele greceşti] → [Ctrl] +[g ]; Mathcad face distincţia între literele mari şi mici (în engleză “case senzitive”).

Exemplu: x este numele unei variabile diferită de X.

Restricţii în definirea numelor de variabile şi funcţii: cifrele 0 ... 9, nu pot fi folosite ca prim caracter; simbolul infinit poate fi folosit, doar ca prim caracter; caracterele care urmează după caracterul punct vor apare ca indice (în engleză

”subscript”). A nu se face confuzie între un nume de variabilă care conţine unul saumai multe caractere trecute ca indice şi indicele unei variabile indexate. Mathcadeste senzitiv la scrierea subscript.Exemplu: pe o foaie de lucru, o variabilă cu numele X1, unde 1 este un caracterscris subscript este diferită de o variabilă X1 şi de o variabilă X1, unde 1 esteindicele vectorului X.

Mathcad nu poate face deosebirea între nume de variabile şi de funcţii. Înconsecinţă, evitaţi să folosiţi acelaşi nume pentru o variabilă şi o funcţie;Exemplu: Dacă se definesc: o funcţie cu numele f(x) şi undeva la dreapta sau maijos, o variabilă cu numele f, numele funcţiei va putea fi folosit doar în spaţiul foii delucru de la prima definire la a doua, nu şi dedesubtul, sau la dreapta locului unde s-a definit variabila.

Variabile de tip scalar:O secvenţă de tipul:t:0.3,0.5;2 va produce pe documentul MathCAD efectul:t:= 0.3, 0.5 .. 2Este vorba tot de o progresie aritmetică, de această dată cu raţia diferită de 1.Semnificaţiile notaţiei sunt:



Prima cifră indică prima valoare pe care o va lua variabila A doua valoare defineşte împreună cu prima raţia progresiei, care este egală cu

valoarea a doua minus prima A treia valoare indică ultima valoare pe care o va lua variabila.

Deci variabila “t” va lua valorile : 0.3, 0.5, 0.7, 0.9…….1.9.

Variabile de tip şir de caractere:Mathcad permite definirea de variabile de tip şir de caractere. Definirea este extrem de

simplă şi se face ca şi în cazul celorlalte tipuri de variabile. Singura diferenţă este că valoareavariabilei, va fi „închisă” între ghilimele duble (double quote).

Fig. 2.1 Definirea de variabile de tip şir de caractere

În exemplul din figura 2.1 sunt definite două variabile, care apoi sunt concatenate(scrierea făcându-se tot într-o variabilă de tip şir de caractere) şi în final se realizează evaluareavariabilei „sumă”.

Se atrage atenţia că valoarea variabilei nume, conţine şi un spaţiu, necesar separăriiprenumelui de nume în cazul şirului „sumă”.

III.3 Matrice şi vectori

Matricea este un ansamblu de m x n elemente dispuse pe m linii şi n coloane, într-untablou dreptunghiular, notat astfel:

11 1

1

n

m mn

a a

A

a a

sau sintetic: [A] = [ai j]m,n. Indicii asociaţi fiecărui element matriceal ai j, definesc poziţia acestuia.Un vector este o matrice care are o singură linie (matrice linie), adică m=1 sau o singură

coloană (matrice coloan), adică n=1:

1 2[ ] [ , ,..., ]nA a a a

Crearea prin comanda Matrix sau Vector:

Meniul Insert → Matrix sau clic pe butonul din bara de instrumente matematice(fig. 2.2).Se deschide caseta de dialog Insert Matrix, unde se vor introduce nr. de linii şi nr. decoloane ale viitoarei matrice şi se apasa OK (fig. 2.3).În locul unde a fost poziţionat cursorul se va introduce matricea respectiva, unde înplaceholder-e se introduc valorile dorite. Trecerea între placeholder-e se face rapid prinintermediul tastei [Tab] (fig. 2.4).



Fig. 2.2 Inserarea unei matrice Fig. 2.3 Caseta de dialog InsertMatrix

Fig. 2.4 Introducereavalorilor elementelor

matricelor

Crearea de matrice prin funcţia Matrix:Funcţia matrix(m,n,f) returnează o matrice m x n, unde m şi n sunt numerele de linii,

respectiv de coloane, f este numele unei funcţii de două variabile f(i,j), i =0,..,m −1, j =0,.., n −1.Un exemplu este redat în fig. 2.5: se defineşte funcţia f(x,y), după care se scrie funcţia

matrix(4,3,f) şi se apasă butonul “egal ” din bara de instrumente matematice Calculator şimatricea este generată automat.

Fig. 2.5 Exemplu de creare a unei matrice cu funcţia matrixFuncţia matrix este o funţie predefinită în MathCad. Despre acestea se va vorbi într-un

subcapitol următor.

Generarea unor matrice speciale:Mathcad generează următoarele matrice speciale:

funcţia identity(n) returnează o matrice identitate (matrice n x n, cu elemente 1, pediagonala principală) (fig. 2.6);funcţia diag(v) (P) generează o matrice care are pe diagonală elementele unuivector v cunoscut (fig. 2.7);funcţia tr(A) returnează suma elementelor diagonalei unei matrice pătrate A(“trace”-urmă) (fig. 2.8).

Fig. 2.6 Crearea unei matriceidentitate

Fig. 2.7 Crearea unei matrice cu funcţiadiag Fig. 2.8 Utilizarea funcţiei tr



Generarea unor matrice din alte matrice:Funcţia augment(A, B, C, ...) returnează o matrice formată din alăturarea peorizontală a matricelor A, B, C, ... , care trebuie să aibă acelaşi număr de linii (fig. 2.8)Funcţia stack(A, B, C, ...) returnează o matrice formată din alăturarea pe verticală amatriceloe A,B,C, ... , care trebuie să aibă acelaşi număr de coloane (fig. 2.8)Funcţia submatrix(A, ir, jr, ic, jc) extrage din matricea A o submatrice care conţineelementele dintre liniile ir, jr, şi coloanele ic, jc. Trebuie respectate condiţiile jr≥ir, jc≥ic (fig. 2.9).

Fig. 2.9 Generarea unor matrice din alte matrice

Operaţii cu matrice: se pot vizualiza pe fig. 2.10.Majoritatea operatorilor pentru V&M se găsesc pe paleta Vector and Matrix putând fi

accesaţi şi prin intermediul tastelor.Operatorii de însumare +, scădere -, pot fi inseraţi prin apăsarea tastelor

corespunzătoare sau prin simbolurile respective din paleta Calculator. Matricele, vectorii, carese însumează, sau se scad trebuie să aibă aceleaşi dimensiuni. În membrul stâng al evaluăriipot fi adunate, scăzute oricâte matrice. Printre operanzi pot fi şi scalari reali sau complecşi.

Înmulţirea a două matrice se face cu operatorul * după regula “linii pe coloane”. Atenţie,la dimensiunile operanzilor: A(mn) * B(np) = C (mp).

Dacă unul din operanzi este scalar, se efectuează înmulţirea fiecărui element al matriceicu scalarul respectiv.

Împărţirea unei matrice cu un scalar nenul utilizează operatorul /.Ridicarea la putere a unei matrice pătrate A se efectuează cu operatorul ^, utilizat şi la

operaţia similară aplicată numerelor reale, sau complexe. Pentru n întreg pozitiv, A esteînmulţită cu ea însăşi de n ori.

Cazuri particulare: A0 = I, unde I este matricea identitate cu dimensiunea matricei A;



A1 = A; A-1 returnează inversa matricei A.

Transpusa unui vector, matrice este obţinută ca urmare a aplicării operatorului .Determinantul unei matrice pătrate se calculează cu operatorul .Operatorul de calcul a inversei unei matrice pătrate este .Pentru calculul negativei unei matrice se scrie operatorul – în stânga numelui matricei.

Fig. 2.10 Operaţii cu matrice

Rangul unei matrice:Se utilizează funcţia predefinită rank(A). După cum ştie rangul unei matrice Amxn, este

un scalar 1 ≤ k ≤ min(m,n), care reprezintă numărul de linii sau coloane liniar independente.

Fig. 2.11 Rangul unei matrice

III.4 Determinanţi

Click pe butonul Determinant din bara de instrumente Matrix;Clic pe butonul din bara de instrumente MatrixSe introduc elementele matriceiClick pe butonul Evaluate Numerically din bara de instrumente Calculator (fig. 2.12)



a)b)

c)

Fig. 2.12 Calcularea determinantului unei matrice

III.5 Funcţii MATHCADPrimele funcţii MathCad au fost definite în subcapitolele anterioare şi anume câteva

funcţii referitoare la lucrul cu matricele sau vectori.MathCad dispune de mai multe seturi de funcţii predefinite, specifice pe categorii şi care

pot fi folosite pe parcursul rezolvării problemelor.Indiferent de provenienţă, acestea se inserează prin una din căile: meniul Insert → Function (fig. 2.13) butonul f(x) din bara instrumentelor standard fig.2.14. manual (atenţie numele de funcţii sunt “case sensitive“).

Fig. 2.13 Inserarea funcţiilor predefinite Fig. 2.14 Caseta de dialog Insert Function

Principalele categorii de funcţii matematice predefinite:

Funcţii trigonometriceMathcad pune la dispoziţia utilizatorului funcţiile trigonometrice (categoria

Trigonometric) directe şi inverse, funcţii hiperbolice.Atentie: Funcţiile trigonometrice au argumente măsurate în radiani. Dacă doriţi să lucraţi

cu argumente în grade hexazecimale trebuie introdusă unitatea predefinită deg (de la ”degree”în engleză).

Funcţii logaritmice şi exponenţialeArgumentul unei funcţii logaritmice, sau exponenţiale, trebuie să fie un scalar, real sau

complex. În Mathcad există trei funcţii de acest tip: exp(z)→ez, ln(z) cu z≠0 şi log(z,b) cu z≠0,b≠0, dacă b este omis se consideră că baza este 10.



Fig. 2.15 Exemple de utilizare a funcţiilor predefinite

Alte funcţii:Funcţii BesselFuncţii pentru numere complexeFuncţii specifice teoriei numerelor şi combinatoriciiFuncţii de trunchiere şi aproximareFuncţii specialeFuncţii pentru transformări discrete: Fourier, WaveFuncţii specifice operării cu vectori şi matriceFuncţii pentru rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor şi optimizăriFuncţii statistice, probabiliste şi pentru analiza datelorFuncţii specifice operaţiilor financiare de nivel personalFuncţii pentru rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor diferenţiale

Pe lângă acestea, utilizatorul poate defini la rându-i funcţii denumite funcţii utilizator.

III.6 Aplicaţii rezolvate

1. Fie matricea A,1 1

0 1A

şi n un număr natural, n1. Folosind inductia matematica să se

calculeze An şi apoi verificaţi corectitudinea folosind MathCad.Indicaţii:

1 1

0 1A

2 1 1 1 1 1 2

0 1 0 1 0 1A

3 2 1 2 1 1 1 3

0 1 0 1 0 1A A A

Rezultă1

0 1n n

A

.

Presupunem An adevarată. Rezultă ca: 1 1 1

0 1n n

A

.

Sa demonstrăm:



1 1 1 1

0 1 0 1n n

A

1 1 0 1 1 1

0 0 0 1 0 1n n n

A

Se face verificarea cu MathCad.

2. Aceeaşi problemă pentru matricea A,1 1 1

0 1 1

0 0 1

A

. De această dată folosiţi întâi MathCad-ul

şi după aceea folosiţi inducţia pentru a verifica rezultatul.Sa se arate că: 3 23 3A A A I .

3. Fie o matrice A,

1 0 0 0

1 2 0 0

1 2 3 0

1 2 3

A

n

. De asemenea, să se calculeze A , folosind MathCad

şi inducţia matematică.Indicaţii:n=2

1 01 2 1 0 1 2 2

1 2A

n=31 0 0

1 2 0 1 2 3 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1 2 0 1 0 3 1 2 3 6

1 2 3

A

Rezulta pentru un n oarecare:1 2 3A n , adică produsul elementelor de pe diagonala principală. Verificaţi cu MathCad.

Acest lucru este valabil pentru orice n şi pentru orice matrice triunghiulară de tipul celeiprezentate mai sus.

Lucrarea 02 - Constante Variabile Matrice Determinanti Functii MathCad

Documents

Transcript of Lucrarea 02 - Constante Variabile Matrice Determinanti Functii MathCad