Logica termenilor

LOGICA TERMENILOR2.1 Propoziii i enunuriAm definit logica drept studiul formal al inferenelor deductive, acestea fiind nite nlnuiri precis structurate de propoziii. Dar ce sunt propoziiile? Psihologii disting n rndul proceselor cognitive actul de judecat, n care se combin dou sau mai multe noiuni, realiznd o idee aflat ntr-o parial coresponden ori similitudine cu un obiect sau fenomen reflectat, la nivel raional, de ctre contiin. Sub aspect gramatical, propoziia este o combinaie de cuvinte care exprim un sens inteligibil, respectnd anumite reguli morfologice i sintactice. Dar ce sunt propoziiile din punct de vedere logic? n romnete Plou indic printr-un singur cuvnt faptul c are loc (se petrece) un prea bine cunoscut fenomen meteorologic. n alte limbi, producerea aceluiai fenomen este indicat prin intermediul unor expresii verbale diferite: It rains (engl.), Es regnet (germ.), Il fait plui (franc.) etc. Dei aceste expresii verbale difer, sensul sau nelesul este acelai. n logic se numete propoziie tocmai acest sens (idee, neles) exprimabil n limbi diferite i care se pstreaz nealterat prin traducerea lui dintr-o limb n alta. Vom numi enun forma verbal concret n care se exprim o propoziie. De exemplu, propoziia care indic faptul c un individ, purtnd numele unuia dintre Sfinii Evangheliti, desfoar n mod profesional o activitate didactic, se exprim n enunuri (intertraductibile) precum: (1) Ion este profesor.; (2) John is a teacher.; (3) Johann ist ein Lehrer.; (4) Jean est professeur. etc.

Logic

Prin urmare, un enun este un tip de expresie [...] i expresiile sunt ntotdeauna expresii ntr-o limb anumit. O propoziie este definit mai abstract i complet independent de limbile n particular. O propoziie este ceea ce aserteaz un enun. Plou aserteaz c plou; Il fait plui aserteaz c plou; Es regnet aserteaz c plou. Avem nevoie de enunuri care aparin unei anumite limbi pentru a exprima (sau aserta) propoziii, dar ceea ce este exprimat (sau asertat) nu aparine unei anumite limbi.1 ntre idei i limbaj, respectiv ntre propoziii i expresiile lor verbale exist o profund i necesar solidaritate, ntruct ideile nu pot fi inteligibile i comunicabile dect transpuse ntr-un limbaj, ale crui reguli invariante i impersonale modeleaz gndurile, dezbrcndu-le de coloratura lor subiectiv, inefabil i incomunicabil, pentru a le da obiectivitate i raionalitate. Aceast solidaritate ntre propoziii i enunurile care le exprim nu exclude ns o relativ independen a lor, uor de evideniat n ambele direcii. a) Aceeai propoziie poate fi exprimat n enunuri diferite, i aceasta nu numai n limbi deosebite, ca n exemplele (1) (4) de mai sus, ci chiar n aceeai limb. De pild: (5) n zori se nal steagul i (6) La rsritul soarelui se ridic drapelul; sau (7) irul numerelor naturale este infinit i (8) Cel mai mare numr natural nu exist.; sau (9) Orict le-am prelungi, dou drepte paralele nu se intersecteaz i (10) Paralele sunt dou drepte situate n acelai plan care nu au nici un punct comun etc. b) Pe de alt parte, acelai enun, n contexte diferite, poate fi suportul verbal al unor idei sau propoziii distincte. n sensul ei propriu, expresia: (11) Ionescu a virat spre stnga indic faptul c un individ, pe nume Ionescu, conducnd un vehicul, a schimbat direcia de mers spre stnga. Dar dac Ionescu este un personaj politic, atunci sensul expresiei este cu totul diferit, indicnd faptul c opiunile politice ale lui Ionescu s-au deplasat ctre una din extremele spectrului politic.

Logica termenilor

Regulile corectitudinii gramaticale sunt complementare cu cele ale validitii logice, toate fiind menite s asigure inteligibilitatea mesajelor intercomunicabile, dar nu se suprapun i nu se subordoneaz unele celorlalte. Cea mai bun dovad o constituie faptul c exist oameni care se exprim cu multe erori gramaticale (fie n limba lor matern, n cazul persoanelor lipsite de educaie, sau ntr-o limb strin, insuficient exersat), dar fr cusur din punct de vedere logic; pe de alt parte, nu sunt rare situaiile n care, folosindu-se forme gramaticale impecabile, se comit (premeditat sau involuntar) erori logice cteodat subtile, alteori de-a dreptul grosolane.

2.2 Termeni i noiuniFie propoziiile: a) Toate mamiferele sunt vertebrate. (adevrat) b) Nici un numr prim nu este divizibil cu 2. (fals) c) Unii studeni sunt cstorii. (adevrat) Distingem n aceste propoziii dou clase de cuvinte sau elemente lingvistice. Exist, pe de o parte, componente care descriu forma logic a propoziiei, form care poate cuprinde indiferent ce coninut: Toate...sunt...; Nici un...nu este...; Unii...sunt... etc. Restul cuvintelor, care exprim coninutul (sensul) specific al fiecrei propoziii, sunt componente extralogice, care variaz de la o propoziie la alta, prezena lor fcnd ca fiecare propoziie s spun altceva, s exprime un neles propriu. Vom numi termeni toate aceste componente extralogice ale propoziiilor simple de predicaie propoziii n care unui obiect i se atribuie sau i se respinge o anumit proprietate. Situai la nivel lingvistic, termenii sunt asociai n logica tradiional cu aa-numitele noiuni sau concepte. Avnd n primul rnd o semnificaie psihologic i episte-mologic, noiunea este o form de cunoatere, prin care se reflect la nivel raional proprietile eseniale ale claselor sau mulimilor de obiecte. Toate numerele prime au n comun nsuirea caracteristic de a nu fi divizibile dect cu unu i cu ele nsele; toate poligoanele sunt linii frnte nchise, iar

Logic

poligoanele regulate au n comun proprietatea laturilor i unghiurilor congruente (de unde consecina: toate pot fi nscrise ntr-un cerc i n toate se poate nscrie un cerc tangent pe mijloacele tuturor laturilor etc.). Toate mamiferele sunt fiine vii, care, orict de diverse ca genuri, specii, rase, indivizi au n comun faptul c se reproduc sexuat, nscnd pui vii dup o perioad de gestaie intrauterin . a. m. d. Aceste nsuiri eseniale, pe baza crora entitile individuale se grupeaz n clase de obiecte, clase de clase etc. se numesc note sau caracteristici, iar cunoaterea lor se concentreaz n concepte sau noiuni. Orice noiune se exprim printr-unul sau mai multe cuvinte, care constituie un suport lingvistic indispensabil, dat fiind solidaritatea profund ce exist ntre gndire i limbaj. Aceast solidaritate nu exclude ns o relativ independen a coninutului ideal fa de suportul su lingvistic. Fie c una i aceeai noiune se poate exprima prin cuvinte diferite (aa-numitele sinonime, de exemplu ivr i zvor, voce i glas, start i pornire sau plecare etc.), fie c unul i acelai cuvnt, n contexte diferite, desemneaz noiuni cu totul distincte (de exemplu capr animal, de tiat lemne, de la trsur, joc de copii; toc de scris, la u, la pantof, de btaie, de ochelari; volum carte, spaial, trie a unui sunet etc.). Forma lingvistic prin care se exprim orice noiune are rolul de nume al tuturor elementelor reflectate de noiunea respectiv. Numele poate fi simplu atunci cnd const ntr-un singur cuvnt (de exemplu unghi) sau complex atunci cnd const ntr-un grup de cuvinte (de exemplu unghiurile de la baza triunghiului isoscel). Unitatea logico-lingvistic format dintr-un nume i noiunea pe care o evoc acesta constituie un termen logic. Termenul nu este, deci, un simplu element al limbajului, ci o sintez ntre o form logic (noiunea) i o form lingvistic (numele). Logica termenilor studiaz, n primul rnd, operaiile cognitive prin intermediul crora se contureaz cu precizie noiunile i suportul lor lingvistic, precum i acele scheme de inferen al cror mecanism logic se bazeaz pe considerarea anumitor relaii ntre termenii ce intr n alctuirea propoziiilor nlnuite deductiv.

Logica termenilor

2.3 Coninutul i sfera noiunilor Fa de mulimea de obiecte creia i corespunde pe plan raional, orice noiune poate avea o dubl raportare: calitativ, ea este un model abstract, n care nu se regsesc nsuirile accidentale prin care elementele unei mulimi se difereniaz, ci numai trsturile eseniale comune, fr de care un obiect s-ar exclude din mulime; cantitativ, noiunii i se subsumeaz toate elementele mulimii corespunztoare. Ansamblul notelor caracteristice unei clase de obiecte constituie coninutul sau intensiunea unei noiuni; totalitatea membrilor clasei de obiecte, grupai dup criteriul nsuirilor comune, formeaz sfera sau extensiunea acelei noiuni. A explicita coninutul unei noiuni presupune a rspunde la ntrebarea: Ce nseamn termenul X?, iar a preciza sfera unei noiuni presupune un rspuns la ntrebarea: La ce se refer termenul X?. Schema de mai jos ilustreaz raportul dintre coninut i sfer.poligon = linie frnt nchis poligon cu patru laturi patrulater cu toate laturile egale romb cu un unghi drept ptrat romb patrulater poligon

coninutul se lrgete sfera se restrnge

ntre coninutul i sfera unei noiuni exist un raport de variaie invers: cu ct sporete numrul notelor care definesc un concept (coninutul devine mai bogat, iar sensul noiunii mai bine determinat), cu att se ngusteaz sfera conceptului (obiectele care corespund ntrutotul

Logic

descrierii mai bogate n caliti sunt din ce n ce mai puin numeroase) i invers. De exemplu secvena de noiuni om (om) alb european romn oltean craiovean sau poligon patrulater romb ptrat.

2.4 Tipuri de noiuniSfera i coninutul reprezint criteriile logice principale n funcie de care distingem diferitele tipuri de noiuni. I. Dup sfer putem deosebi: noiuni vide sau nevide (reale). O noiune este vid numai dac mulimea de obiecte la care se refer nu conine nici un element; n caz contrar, noiunea este nevid sau real. a) Noiunile vide sunt fie rezultatul comiterii unor contradicii logice explicite (de exemplu cerc-ptrat sau triunghi cu patru laturi), fie rezultatul unor construcii speculative, soldate cu nite ficiuni necontradictorii din punct de vedere logic, deci conceptibile sau inteligibile, ns fr nici un corespondent n realitate (de exemplu regele Elveiei, preedintele Marii Britanii, centaur, siren, inorog etc.). Nu toate noiunile vide sunt rezultatul unor erori de gndire sau al unei fantezii necontrolate. Aa-numitele ficiuni teoretice sunt chiar instrumente conceptuale indispensabile pentru construcia deductiv a unor modele idealizate ale unor clase de procese i fenomene reale. Astfel de ficiuni teoretice sunt conceptele geometrice (punct, dreapt, plan etc.), punct material sau gaz ideal n fizic i n chimie etc. b) La rndul lor, noiunile nevide pot fi: noiuni individuale sau generale. O noiune este individual numai atunci cnd se refer la un singur obiect i general atunci cnd clasa la care se refer conine cel puin dou elemente. De exemplu, Bucureti sau capitala Romniei, numrul prim par sau 2 sunt noiuni individuale; capital i numr prim sunt noiuni generale. Noiunile individuale sunt denumite fie prin nume proprii (precum Londra, Mihai Eminescu), fie prin nume complexe, care constituie descripii suficient de complete pentru identificarea obiectului denotat (capitala Marii Britanii, autorul poemului Luceafrul). Noiunile generale se mpart n alte dou subclase:

Logica termenilor

c) Noiuni colective sau divizive. Noiunile colective se refer la clase ntregi de obiecte, privite ca totaliti de elemente, ntregul avnd unele proprieti distincte fa de proprietile fiecrui element n parte. Mai simplu spus, n cazul noiunilor colective nu tot ceea ce se poate spune despre mulime luat ca ntreg este adevrat i n legtur cu fiecare element al ei privit ca atare. De exemplu, o pdure poate fi rar sau deas ceea ce nu se poate spune despre fiecare arbore din ea; o armat poate fi numeroas sau distribuit pe 200 km2, nu ns i fiecare militar din componena ei; o bibliotec poate fi aranjat n mai multe ncperi, ntruct este foarte vast ceea ce nu revine fiecrui volum etc. Noiunile divizive sau distributive exprim ceea ce este general, esenial i, ca atare, comun tuturor obiectelor dintr-o mulime, astfel nct ceea ce este valabil pentru toate elementele mulimii este valabil i pentru fiecare element luat individual. Astfel, ceea ce este definitoriu pentru ideea de triunghi poligon cu trei laturi este o caracteristic indispensabil a oricrei figuri geometrice care poate fi numit, pe drept cuvnt, triunghi; noiunea de numr prim se definete prin aceea c numrul respectiv nu se divide dect cu 1 i prin el nsui ceea ce este valabil pentru oricare numr prim n parte etc. d) Dintr-un alt punct de vedere, putem distinge ntre noiuni precise i vagi. O noiune este precis numai dac satisface condiia: oricare ar fi obiectul ales, putem spune cu certitudine c el aparine sau nu clasei pe care o denot noiunea; n caz contrar, noiunea este vag. n vreme ce noiuni precum dreptunghi, numr prim sau pendul sunt precise, noiuni precum tnr, bun, inteligent, interesant sunt vagi. II. Dup coninut distingem urmtoarele tipuri de propoziii: a) Noiuni abstracte sau concrete. O noiune este abstract atunci cnd desemneaz o nsuire conceput n sine, ca i cum ar fi de sine stttoare, nelegat de un obiect. De exemplu, culoare, mndrie, duritate etc. nsuiri care nu au o existen real independent (dect, poate, n filosofia lui Platon), dei pot fi concepute ca fiind desprinse de suportul lor ontologic. Noiunile concrete desemneaz una sau mai multe nsuiri ca fiind legate laolalt ntr-un obiect; de exemplu, popor, copac, automobil etc.

Logic

b) Noiuni absolute sau relative. O noiune este absolut dac notele care formeaz coninutul ei pot fi enunate despre obiecte independente unele fa de altele; de exemplu om, numr par, carte etc. Atunci cnd spunem c par este numrul care se divide cu 2, avem n vedere doar o proprietate intrinsec fiecrui numr par luat ca atare, fr a fi necesar s concepem vreo relaie a numrului respectiv cu alt numr sau cu oricare alt entitate. O noiune este relativ dac notele din coninutul ei caracterizeaz un obiect individual numai ntr-o relaie ntre acel obiect i unul sau mai multe alte obiecte; de exemplu sinonim, frate, nsoitor etc. Un termen nu poate fi sinonim luat ca atare, aa cum poate avea, independent de orice legtur cu vreun alt termen, dou, trei, patru silabe, cum poate s nceap cu o vocal sau cu o consoan, ori cum poate fi substantiv, verb, adjectiv etc. Ideea de sinonimie presupune c un termen are aceeai semnificaie cu altul (alii), dar, evident, nu cu oricare alt termen din vocabular; dac lum, de pild, chiar ultimul termen vocabular, el este sinonim cu lexic i numai cu acest termen. c) Noiuni pozitive sau negative. O noiune este pozitiv dac intensiunea ei se definete prin prezena unor nsuiri care aparin unui obiect i este negativ dac, dimpotriv, intensiunea ei exprim privaiunea obiectului de una sau mai multe nsuiri. Rou, vertebrat, demonstrabil sunt noiuni pozitive; orb, asimetric, incoerent etc. sunt negative. Sintetic, iat principalele tipuri de noiuni la care ne-am referit: vide dup sfer nevide individuale generale colective precise divizive vagi dup coninut abstracte absolute pozitive concrete relative negative

2.5 Raporturi extensionale ntre noiunintre dou noiuni distincte s le notm A i B pot exista sub

Logica termenilor

aspect extensional dou tipuri de raporturi: concordan, dac sferele lor au cel puin un element comun, i opoziie sau excludere, dac sferele lor nu au nici un element comun. Pentru o mai sugestiv reprezentare a raporturilor extensionale dintre noiuni, sfera fiecrei noiuni va fi reprezentat grafic printr-un cerc; schemele care urmeaz sunt cunoscute drept diagramele lui Euler. A B a1 B A a2 A a3 B A b B

(a) Exist mai multe raporturi de concordan. a1 identitate: noiunile A i B au aceeai sfer, ntruct se refer la acelai obiect sau la aceeai mulime de obiecte; de exemplu Mihai Eminescu i autorul poemului Luceafrul; numr par i numr divizibil cu 2; nemi i germani etc. a2 subordonare: sfera uneia dintre cele dou noiuni se include total n sfera celeilalte, fr ns ca sferele lor s coincid; de exemplu, fie A = poligon i B = patrulater; sau A = primate i B = cimpanzei etc. n fig. a (2) A este subordonat lui B, iar B este supraordonat lui A. Supraordonata se mai numete i gen, iar subordonata specie. a3 intersecie sau ncruciare: sferele celor dou noiuni coincid parial, fiecare separndu-se de cealalt prin cte o parte a sferei sale; de exemplu, fie A = numr par i B = numr divizibil cu 5; sau A = student i B = sportiv; sau A = romni i B francofoni etc. (b) n cazul noiunilor aflate n raport de excludere sau opoziie sferele lor sunt total separate ; de exemplu numr par i numr impar; cerc i ptrat; fag i stejar; romn i paralelipiped.

Logic

2.6 DefiniiaFiecare domeniu teoretic se caracterizeaz printr-un ansamblu de noiuni specifice. La progresul cercetrii n fiecare domeniu contribuie direct doi factori, aflai ntr-o strns interdependen: profunzimea cunotinelor i gradul de organizare atins de ansamblul noiunilor proprii domeniului respectiv. La rndul su, gradul de organizare a unui ansamblu sistematic de concepte depinde direct de utilizarea corect a anumitor operaii logice cu noiuni, ntre care cele mai importante sunt definiia, clasificarea i diviziunea. Definiia este operaia logic prin care se precizeaz coninutul i sfera unei noiuni respectiv sensul (nelesul) i aria de aplicabilitate a unui termen. 2.6.1 Structura definiiei n alctuirea oricrei definiii intr urmtoarele trei componente: a) definiendum (definitul) este noiunea care constituie obiectul definiiei; b) definiens (definitorul) ceea ce se spune despre obiectul de definit; c) relaia de definire este echivalena dintre (a) i (b), care se noteaz cu semnul = i se citete este identic prin definiie cu saudf

este prin definiie. Formula (1) A = B , n care A reprezint definiendum i Bdf

definiens, red structura general a oricrei definiii. n exemplul: Patrulater = poligon cu patru laturidf

noiunea patrulater a luat locul variabilei A, iar poligon cu patru laturi a luat locul lui B. O definiie poate fi corect dac i numai dac relaia de definire coincide cu un raport de identitate ntre A i B. Nici un obiect nu se poate

Logica termenilor

auto-defini, iar dac A se definete prin B, atunci este exclus ca B s se defineasc prin A; rezult c formulele: (2) A = A idf

(3) ( A = B ) i ( B = A )df df

sunt lipsite de sens. n schimb, dac A se definete prin B i B se definete prin C, atunci A se definete prin C; altfel spus, formula (4) [( A = B ) i ( B = C )] implic logic (A = C)df df df

este logic corect. 2.6.2 Regulile definiiei I. Definiia trebuie s fie caracteristic: definiens trebuie s fie astfel alctuit nct s corespund ntregului definiendum i numai lui. Notele care formeaz coninutul definitorului se cer selectate n aa fel nct s ofere un temei suficient pentru a preciza clasa desemnat de ctre definiendum. Aceste note caracteristice sunt comune tuturor obiectelor din clasa respectiv, astfel nct permit identificarea complet a clasei de definit, pe baza unui raport de identitate ntre cele dou pri echivalente ale definiiei. n cazul nerespectrii acestei reguli, ntre definiendum i definiens ar exista un raport de (sub)ordonare n locul unuia de identitate, iar definiia ar fi neadecvat. Abaterile de la aceast regul pot fi comise n dou modaliti. Fie definiia: Matematica = tiina care studiaz operaiile cu numere.df

Aceast definiie este prea ngust, deoarece notele care formeaz definitorul nu aparin ntregului definit i, drept urmare, definiens este o noiune subordonat fa de definiendum: n matematic exist, pe lng aritmetic, i alte domenii sau discipline, care nu studiaz operaii cu numere, ci alte entiti i relaii ideale, aa cum este, de exemplu, cazul geometriei sau analizei matematice. n schimb, definiia: Fizica = tiina fenomenelor naturaledf

este prea larg, deoarece notele definitorului nu caracterizeaz numai

Logic

fizica, ci i alte tiine naturale, precum chimia sau biologia. Tot inadecvat este i situaia n care definiendum i definiens se gsesc ntr-un raport de ncruciare, acoperindu-se reciproc numai parial din punct de vedere al extensiunii, precum n definiia: Filosofia = cunoaterea omului,df

cci, pe de o parte, de om se ocup numeroase alte domenii de reflecie pe lng cea filosofic, iar filosofia, pe de alt parte, nu se concentreaz sub aspect tematic n mod exclusiv asupra umanitii, ci se preocup i de multe alte probleme. II. Definiia nu trebuie s fie circular: definiens nu trebuie s conin n semnificaia sa pe definiendum, cum se ntmpl n cazul definiiei urmtoare: Psihologia = tiina care studiaz procesele i particularitiledf

vieii psihice, i nici s utilizeze pe definiendum pentru propria sa definire, aa cum este cazul definiiilor: Cauz = obiect sau proces care precede i produce (genereaz)df

un alt obiect sau proces, numit efect i Efect = obiect sau proces care succede altuia, numit cauz, idf

care este produs de ctre aceasta. Exemplele invocate nu respect condiiile relaiei de definire (vezi formulele (2) i (3) de mai sus) i, drept urmare, dei nici una dintre aceste definiii nu este formal fals, toate sunt lipsite de valoare informaional sau cognitiv, deoarece nu ne comunic nimic nou despre definiendum. Cazul al doilea are un caracter aparte, deoarece noiunile de cauz i efect sunt corelative; astfel de noiuni nu pot fi obiect al definiiei dect mpreun, ca termeni ai relaiei dintre ele (n cazul nostru ca termeni ai relaiei de cauzalitate) aceasta fiind, de fapt, aceea care primete o definiie. III. Definiia trebuie s fie logic afirmativ, preciznd ce este conceptul de definit i nu artnd ce nu este. Prin nsuirile sale, orice obiect (clas de obiecte) are o anumit individualitate prin care se deosebete de o infinitate de alte obiecte (clase de obiecte). Dac definiia

Logica termenilor

unui obiect ar spune c el nu este un anumit alt obiect, ar lsa deschis posibilitatea ca el s fie orice altceva, ceea ce ar constitui o surs de confuzie, de neclariti asupra obiectului definiiei, chiar i atunci cnd definiendum ar fi o subclas dintr-un numr restrns de subclase incluse n una i aceeai clas supraordonat tuturor, ca n exemplul urmtor: Linie curb = linie care nu este nici dreapt, nici frnt.df

Desigur, atunci cnd definiendum este o noiune negativ, definiens este n mod obligatoriu negativ; de exemplu Oper anonim = lucrare al crei autor nu este cunoscut.df

IV. Definiia trebuie s fie clar i precis. Pentru respectarea acestei reguli se cer satisfcute cteva condiii: (i) Definiens nu trebuie s conin termeni confuzi, ei nii necunoscui, sau noiuni vide, precum n exemplul urmtor: Eter = substan subtil, invizibil i insesizabil, situat ndf

intermundii i ncrcat de flogiston vibratoriu. (ii) Definiens nu trebuie s includ termeni figurai, metafore, figuri de stil creatoare de echivoc sau de ambiguitate, precum n acest exemplu: Duplicitate = alunecare ofidian pe pomul solidaritii, poleit cudf

veninul ucigtor al resentimentului. n asemenea cazuri, definiens nu ne spune ce este, de fapt, conceptul de definit, ci ncearc s ne sugereze o imagine, o impresie subiectiv, o intuiie inefabil despre obiectul definiiei. Astfel de enunuri nu sunt definiii, ci artificii retorice, care pot fi utilizate ca mijloace persuasive sau ca prilej satisfacii estetice, nu ns ca forme de cunoatere teoretic. Cititorul trebuie prevenit asupra faptului c aa se prezint lucrurile n perspectiva strict a logicii, n msura n care aceasta are de a face cu teoria definiiilor ca operaii cu noiuni. Nu rezult ns de aici c expresiile aforistice sau metaforele poetice n-ar avea nici o valoare de cunoatere i de nlare spiritual i c ele ar trebui i ar putea fi nlocuite prin definiii tiinifice riguroase; dimpotriv, sunt nenumrate momente i experiene umane fundamentale, precum iubirea, moartea, prietenia, cutremurarea religioas, euforia contemplativ etc. care i

Logic

gsesc cele mai profunde rostiri n limbajul poetic, n aforisme sau n expresii apoftegmatice, voit paradoxale i de neneles numai cu mintea, dar capabile s produc o tulburare i o iluminare n suflet, prin care subiectul se simte cumva mai aproape, mai familiar cu obiectul revelat, cum ar spune Lucian Blaga, metaforizant. (iii) Definiens trebuie s se limiteze strict la acele elemente care formeaz un temei suficient pentru identificarea noiunii de definit; el nu trebuie s se complice n mod inutil, transformndu-se ntr-o descripie ncrcat de amnunte nesemnificative, dar nici s fie prea eliptic, neoferind toate elementele necesare pentru a ti ce definim. V. Definiia trebuie s fie consistent, adic s nu intre ntr-un raport de opoziie (contradicie logic) cu orice alte definiii sau propoziii acceptate anterior n domeniul (sistemul) din care face i ea parte. 2.6.3 Tipuri de definiii (A) Dup obiectul definiiei, exprimat de ctre definiendum, putem distinge urmtoarele tipuri de definiii: 1) Se numesc reale definiiile unor obiecte despre care tim (sau presupunem) c exist efectiv; drept urmare, definind o noiune, definim totodat clasa de obiecte care este reflectat de ctre aceasta. De exemplu, Satelit = obiect (natural sau artificial) care se rotete pe o orbitdf

eliptic n jurul unui corp ceresc. 2) Se numesc nominale definiiile care urmresc s precizeze sensul unui termen, indiferent dac acesta are sau nu un corespondent n realitate; urmtoarele definiii sunt nominale: Terifiant = adjectiv prin care se nelege calitatea a ceva de a fidf

ngrozitor, nfricotor, nspimnttor, cumplit; Inorog = animal fantastic, ntlnit n mitologia mai multordf

popoare din vechime, reprezentat ca un cal cu un corn lung i ascuit n frunte. La rndul lor, definiiile nominale sunt de dou feluri:

Logica termenilor

(i) Definiiile lexicale precizeaz toate nelesurile cu care poate fi utilizat un anumit termen ntr-o limb; de exemplu: Lun = substantiv feminin prin care se nelege: 1) satelituldf

natural al Pmntului; 2) satelit al unei alte planete; 3) fiecare din cele 12 perioade de timp cu o durat de 28 pn la 31 de zile n care este divizat anul calendaristic. (ii) Definiiile stipulative corespund urmtoarelor situaii: introducerea unui termen nou n vocabularul unei limbi; poate fi vorba de o construcie lingvistic absolut nou (exemplu: Tahion =df

particul care se deplaseaz mai rapid dect fotonul n vid) sau de un termen mprumutat din alt limb (exemplu: Management =df

tiina conducerii eficiente a ntreprinderilor i instituiilor private sau publice). introducerea unui sens nou pentru un cuvnt deja n circulaie (cum ar fi nomenclatura i emanaie dup evenimentele din decembrie 1989 n limbajul politic) sau cartu (cutie care conine zece pachete de igri sau o component a imprimantei care conine tu tipografic) etc. precizarea unui sens anume care se atribuie, ntr-un context particular, unui termen ambiguu, pentru a se evita eventualele confuzii (de exemplu, putere nseamn altceva n matematic, n fizic, n politologie etc., dup cum contingent are n filosofie alt neles dect la centrul de recrutare pentru serviciul militar). (B) Dup procedeul de definire, evideniat de ctre definiens, se disting urmtoarele tipuri de definiii (reale): 1) Definiii prin gen proxim i diferen specific (generice) sunt acelea n care definiendum exprim o specie, iar definiens genul proxim al acelei specii, preciznd att notele caracteristice genului, ct i notele care difereniaz specia n cadrul genului. De exemplu: Ptrat = romb cu un unghi dreptdf

Nu vom defini ptratul ca patrulater, cci este un gen prea cuprinztor, n care specii sunt cele convexe i concave, cele din urm se divid n patrulatere convexe regulate i neregulate (dreptunghiuri,

Logic

trapeze, paralelograme); genul cel mai apropiat, n care ptratele reprezint o specie, l constituie romburile patrulatere regulate cu toate laturile congruente, fa de care ptratul are drept not sau diferen specific un unghi drept. 2) n definiiile operaionale, definiens indic o serie de operaii, experimente sau probe care, luate laolalt, sunt suficiente pentru a delimita obiectul definiiei oarecum indirect, n sensul c orice obiect care trece cu succes toate aceste probe este un exemplu din clasa denotat de ctre definiendum. De exemplu: Un numr este par dac rezultatul mpririi sale cu 2 este un numr ntreg; acidul este o substan care nroete hrtia de turnesol. 3) n definiiile genetice, definiens indic sursa din care provine obiectul denotat de ctre definiendum i procesul prin care acesta ajunge s fie ceea ce este. De exemplu, stalactit = formaie calcaroas conic,df

fixat la baz de tavanul golurilor subterane (peteri, galerii) constituit prin depuneri succesive ale carbonatului de calciu dizolvat n apa care se scurge treptat ca rezultat al infiltrrii ei constante prin straturile superioare, bogate n carbonat de calciu. 4) Definiiile constructive sunt asemntoare cu cele genetice, cu deosebirea c acestea din urm indic procesul natural prin care ia fiin obiectul denotat de ctre definiendum, pe cnd definiiile constructive se refer la obiecte realizate n mod contient de ctre oameni. Exemplu: Cerc = loc geometric rezultat prin secionarea unui cilindru pe un plandf

paralel cu baza. 5) Definiiile structurale sau relaionale indic sistemul unor raporturi eseniale n care se gsete obiectul denotat de ctre definiendum. De exemplu: Zero = acel numr a pentru care este adevrat cdf

ax = a i a + x = x. 6) n definiiile enumerative precizarea noiunii definiendum se face prin enumerarea complet de ctre definiens a elementelor din clasa denotat de ctre definiendum; de exemplu: Continente sunt Europa, Asia, Africa, cele dou Americi, Australia i Antarctica; jocuri sportive sunt volleyball, handball, football, rugby, baschet etc. Evident, definiia prin enumerare (pur extensional) nu se poate utiliza dect atunci cnd

Logica termenilor

clasa la care se refer definiendum conine un numr relativ redus de elemente. 7) Atunci cnd enumerarea complet nu este posibil, se poate recurge la definiia ostensiv, care invoc doar cteva exemple considerate reprezentative; de exemplu: Fizician = un savant naturalistdf

precum Newton, Faraday, Einstein, Heisenberg . a.; Fotbalist = undf

sportiv ca Pele, Bobby Charlton, Maradona, Cruyff sau Hagi. Luat separat, orice procedur de definire are o valoare limitat i, din acest motiv, se recomand ca orice termen s fie definit prin combinarea a dou sau mai multe proceduri lucru posibil ntruct acestea nu se exclud, ci se presupun i se completeaz reciproc.

2.7 ClasificareaClasificarea este operaia logic prin care termeni mai puin generali sunt grupai, n virtutea anumitor note din coninutul lor, n sfera unor termeni mai generali. Clasificrii i corespunde procesul raional de formare a claselor sau mulimilor de obiecte individuale, a claselor etc. n structura clasificrii, trei sunt componentele principale: elementele clasificrii, respectiv termenii care formeaz obiectul clasificrii i care, n multe cazuri, sunt noiuni individuale; clasele, adic termenii mai generali obinui ca rezultat al clasificrii; criteriul clasificrii notele utilizate pentru gruparea elementelor clasificrii n clase. Corectitudinea clasificrii presupune respectarea urmtoarelor reguli: 1) Clasificarea trebuie s fie complet, adic fiecare dintre elementele care formeaz obiectul clasificrii trebuie s fie introdus ntr-o clas, nici unul nu trebuie s rmn n afara clasificrii. n geometrie, adunm toate genurile de poligoane n clasa liniilor frnte nchise, alturi de care distingem clasa liniilor curbe nchise i ambele clase se subsumeaz noiunii de figur geometric, care epuizeaz universul entitilor care delimiteaz sau nchid un spaiu n acelai plan. n schimb,

Logic

nclcm regula enunat dac, studiind lumea vie, dup criteriul modului de hrnire construim clasele autotrofe (plante care sintetizeaz materia vie prin fotosintez) i heterotrofe (animale care consum alte fiine vii pentru a se hrni), i n care se adun laolalt clasele ierbivore, carnivore i omnivore; clasa carnivore astfel delimitat nu include plantele carnivore, care rmn astfel n afara clasificrii. 2) Pe fiecare treapt a clasificrii, ntre clasele obinute trebuie s existe exclusiv raporturi de opoziie; oricare element al clasificrii trebuie s fie introdus ntr-o singur clas i numai ntr-una, neputnd s figureze n dou sau mai multe clase deodat. Dac, de exemplu, clasificm instrumentele muzicale acustice (non-electronice) dup modul n care produc sunete n instrumente de suflat, cu coarde i de percuie, pianul s-ar gsi o dat n clasa instrumentelor cu coarde, alt dat n clasa celor de percuie. 3) Pe aceeai treapt, criteriul de clasificare trebuie s fie unic; aceleai elemente pot fi clasificate dup criterii diferite, dar nu n acelai timp. Pstrnd criteriul de clasificare, operaia se poate efectua din aproape n aproape sau treapt cu treapt, pn la epuizarea obiectelor de clasificat. Grupnd populaia activ n categorii profesionale dup nivelul de calificare, vom introduce n clasa intelectualitii toi oamenii i numai oamenii cu studii superioare, fcnd abstracie de faptul c, din alte puncte de vedere, intelectualitatea poate fi privit mai curnd filosofic, ca o condiie existenial, sau psihologic, ca tip caracterologic, dect ca o categorie socio-profesional, primind n cadrul ei numai indivizii care dedic n mod creativ o mare parte din timpul i energia lor sufleteasc acumulrii, asimilrii critice i producerii de idei sau cunotine, indiferent de nivelul studiilor atestate prin diplome universitare sau nu. 4) Asemnrile dintre obiectele aflate n aceeai clas trebuie s fie mai importante dect deosebirile dintre ele. Aici se pune problema relevanei criteriilor de clasificare. ntr-o clasificare superficial, delfinii sau balenele ar sta alturi de peti, avnd n vedere mediul n care triesc, forma corpului i modul de locomoie criterii dup care, la rndul lor, liliecii s-ar situa alturi de psri n clasa zburtoarelor. Dup criteriul mai esenial al modului de reproducere, ns, att balenele i delfinii, ct i liliecii fac parte din clasa mamiferelor asemnrile fiind, pe acest

Logica termenilor

plan, mult mai importante dect deosebirile, orict ar fi acestea de vizibile n prim aparen. Dup caracterul nsuirilor pe care le reflect notele pe care se ntemeiaz clasificarea, deosebim dou tipuri de clasificare: a) n clasificarea artificial, gruparea elementelor n clase are loc pe baza unor proprieti neeseniale pentru elementele clasificrii, dar convenabile pentru organizarea acestora n vederea unor deziderate practice; de aceea se mai numete i clasificare pragmatic. De exemplu, ordinea alfabetic a termenilor dintr-un dicionar sau a studenilor n catalog. b) n clasificarea natural, fundamentul clasificrii const exclusiv n note ce reflect nsuiri eseniale pentru elementele clasificrii aa cum am vzut c este forma de reproducere n cazul vieuitoarelor.

2.8 DiviziuneaNumit i clasificare analitic, diviziunea este operaia logic prin care, pornind de la o noiune general, dezvluim nti speciile acesteia, apoi subspeciile fiecreia dintre ele, continund astfel, din treapt n treapt, pn ce ajungem la obiectele individuale care aparin clasei denotate de termenul iniial. n structura diviziunii aflm aceleai componente ca i la clasificare, dispuse n ordine invers: obiectul diviziunii o noiune general luat ca gen i mprit n specii, subspecii . a. m. d. criteriul diviziunii nsuirile pe baza crora se grupeaz speciile i subspeciile; membrii (elementele) diviziunii. Regulile diviziunii coincid, n mare msur, cu regulile clasificrii: 1) Diviziunea trebuie s fie complet, astfel nct membrii diviziunii s epuizeze obiectul operaiei; grupai laolalt, acetia trebuie s acopere o extensiune identic celei ce aparine termenului iniial.

Logic

2) Pe fiecare treapt a diviziunii, ntre speciile care reprezint membrii diviziunii trebuie s existe un raport de opoziie (contrarietate sau opoziie). 3) Pe aceeai treapt a diviziunii, fundamentul trebuie s fie unic. 4) Diviziunea nu trebuie s fac salturi; noiunile de pe fiecare treapt a diviziunii trebuie s-i gseasc genul proxim pe treapta imediat superioar. Pornind de la noiunea de om, distingem rasele dup culoarea pielii albi, negri, galbeni etc. i greim dac, n specia albilor divizm subspeciile romni, bulgari, srbi etc., deoarece am srit treapta diviziunii continentale, uitnd s grupm albii mai nti n europeni, nord i sud americani etc. Diferitele tipuri de diviziune se deosebesc dup numrul membrilor diviziunii, n dihotomice, trihotomice, tetratomice etc. n cazul diviziunii dihotomice, ntre membrii diviziunii exist un raport de contradicie (un membru oarecare nu poate s fac parte din ambele specii, dar nici s lipseasc din amndou). n celelalte tipuri de diviziune, ntre membrii diviziunii exist raporturi de contrarietate (un membru oarecare nu poate s fac parte din dou sau mai multe specii, dar poate fi absent dintr-una sau mai multe).

2.9 Structura i clasificarea propoziiilor categorice de predicaieTermenii izolai nu au i nu ar putea s aib vreo semnificaie sau valoare cognitiv: sensurile lor se contureaz numai prin multitudinea fr numr a combinrilor dintre ei n cadrul propoziiilor, nlnuite, la rndul lor, n raionamente. Ideile nu se pot concepe i exprima dect prin propoziii. Cele mai simple propoziii de predicaie sunt alctuite din dou noiuni absolute, ntre care se stabilete un unic raport acela de ineren a unei proprieti ntr-un anumit obiect. Acest raport se enun n mod necondiionat sau cu certitudine: Tabla este neagr, Creta este alb, Studenii sunt inteligeni, Profesorii sunt erudii, Arbitrii de football sunt coreci etc. fr nici un alt adaus de genul este posibil..., e

Logica termenilor

necesar..., eventual..., nu este exclus s..., este ndoielnic..., de necrezut... etc. Din acest motiv propoziiile simple de predicaie se numesc, pe scurt, categorice. Termenul ce desemneaz lucrul cruia i se atribuie o anumit nsuire este subiectul logic al propoziiei (notat S), iar termenul corespunztor proprietii atribuite subiectului se numete predicat logic (notat P). Din punct de vedere extensional, ntre S i P poate exista fie un raport de concordan i, n acest caz, propoziia afirm c S are proprietatea P, fie un raport de excluziune i, n acest caz, propoziia neag faptul c P este o nsuire a lui S. Proprietatea de a afirma sau nega relaia dintre S i P se numete calitatea propoziiilor categorice. n structura propoziiilor categorice de predicaie mai apar, n mod explicit sau tacit, nite operatori logici numii cuantori (sau cuantificatori) cu precizarea important c ei nu se refer dect la sfera lui S). Cuantorii cel mai frecvent utilizai sunt: (i) Cuantorul universal, redat prin toi (toate), orice, oricare, nici un, nici o, indic faptul c relaia enunat ntre S i P are loc pentru fiecare element din sfera subiectului, fr excepie. (ii) Cuantorul existenial unii (unele) indic faptul c exist cel puin un element n sfera subiectului pentru care relaia dintre S i P are loc, ceea ce nu se poate spune, ns, despre toate elementele din clasa S. (iii) n sfrit, cuantorul individual, redat printr-un pronume demonstrativ (acest X, acel Y) sau printr-un nume propriu, arat c un singur element din sfera lui S (fie c aceasta cuprinde doar acel unic element sau mai multe) este pus n relaie cu P. Proprietatea de a conine unul dintre aceti cuantori, ca un prefix ce precizeaz sfera lui S, se numete cantitatea propoziiilor categorice. Dup cantitate, n funcie de cuantorul folosit, se disting urmtoarele tipuri de propoziii categorice: a) universale, n care P se enun despre ntreaga sfer a lui S: Toi studenii sunt prezeni sau Nici un student nu este plictisit la cursul de logic; n mod frecvent, n limbajul comun, al vieii cotidiene, cuantorul universal este implicit sau subneles: Omul este o fiin raional (subnelegnd c orice fiin care i merit numele de om

Logic

posed atributul raionalitii), Balenele nu sunt peti (subnelegnd c ne referim la toate balenele din lume). b) particulare, n care S este o noiune general, iar P se enun numai despre o parte din elementele S S P P cuprinse n sfera lui S: Unii studeni lipsesc de la cursul de logic sau Unii oferi nu respect (ntotdeauna i absolut toate) S P regulile codului rutier. c) singulare, n care P se enun despre un singur element din sfera lui S, atunci cnd S este o noiune general; de exemplu, Acest creion este albastru. Atunci cnd S este o noiune individual, avnd i o denumire care i exprim limpede unicitatea, menionarea cuantorului individual devine superflu; de exemplu, Bucureti este capitala Romniei. Propoziiile categorice singulare prezint similitudini eseniale cu cele universale (fr a fi cu totul identice cu acestea din urm): ntruct subiectul lor reprezint o clas cu un singur element, vorbind despre acel unic element ne referim la ntregul clasei, ca i n cazul propoziiilor universale. Asimilnd aceste dou tipuri de propoziii, rezult c i dup criteriul cantitii vom reine numai dou feluri de propoziii categorice: universale i particulare. Denumirea Notaie Citire propoziiei simbolic standard universal A Toi S sunt P afirmativ SaP universal negativ particular afirmativ E SeP I SiP Nici un S nu este P Unii S sunt P Reprezentare grafic (diagrame Euler)

S

P

P

Logica termenilor

particular negativ

O SoP

Unii S nu sunt P

S

P

S P

Prezena i semnificaia cuantorilor n structura propoziiilor categorice este att de intim legat de relaia dintre S i P, nct calitatea i cantitatea formeaz numai mpreun un criteriu unic pentru clasificarea acestor propoziii, pe care o redm sintetic n tabelul de mai sus, utiliznd i reprezentarea grafic prin diagramele Euler:

2.10 Opoziia propoziiilor categoriceCele patru tipuri de propoziii categorice care se pot forma cu dou noiuni S i P stabilesc dou cte dou anumite raporturi logice precis definite, n virtutea crora, tiind valoarea de adevr a unei propoziii, se pot infera valorile alethice ale celorlalte tipuri de propoziii categorice. Ansamblul acestor relaii logice este figurat n schema alturat, cunoscut ca ptratul opoziiei propoziiilor categorice.

SaPcontrarietate e c o a l t e r n a r e n t r a r t n o c subcontrarietate d i c i e d i c i

SeP

a l t e r n a r e

SiP

SoP

Logic

Opoziiile din ptratul logic poart urmtoarele denumiri: 1) Propoziiile care difer att dup calitate, ct i dup cantitate (SaP SoP i SeP SiP) se numesc contradictorii. Astfel de propoziii nu pot fi nici ambele adevrate, nici ambele false, ci au ntotdeauna valori logice opuse, astfel nct din adevrul uneia decurge logic falsitatea celeilalte i invers. Dac este adevrat c Toate ptratele sunt patrulatere regulate, atunci este cu siguran fals afirmaia contradictorie c Unele ptrate nu sunt patrulatere regulate. Dac este adevrat c Unii oameni iubesc muzica simfonic, atunci este cu necesitate fals propoziia ei contradictorie, anume c Nici un om nu iubete muzica simfonic. Iar din falsitatea propoziiei Unele mamifere au pene extragem cu certitudine adevrul propoziiei Nici un mamifer nu are pene. 2) Universalele de calitate opus (SaP i SeP) se numesc propoziii contrare: ele nu pot fi niciodat ambele adevrate (astfel nct adevrul uneia implic logic falsitatea celeilalte), dar pot fi ambele false (astfel nct din falsitatea uneia dintre ele nu decurge prin implicaie logic valoarea alethic a celeilalte). ntruct este adevrat c Toate romburile sunt patrulatere, propoziia contrar Nici un romb nu este patrulater nu poate fi dect fals. n schimb, fiind fals c Toate triunghiurile sunt patrulatere, contrara ei Nici un triunghi nu este patrulater e adevrat; dar tot fals este i propoziia Toate triunghiurile sunt echilaterale, ns contrara ei Nici un triunghi nu este echilateral e, de asemenea, fals. 3) Particularele de calitate opus (SiP i SoP) se numesc propoziii subcontrare: astfel de propoziii nu pot fi ambele false (astfel nct din falsitatea uneia din ele decurge logic adevrul celeilalte), dar pot fi ambele adevrate (astfel nct adevrul unei particulare nu implic logic valoarea alethic a subcontrarei sale). Dac este fals c Unii oameni nu sunt pasionai de fotbal, atunci neaprat este adevrat subcontrara ei, Unii oameni sunt pasionai de fotbal. n schimb, adevrat fiind c Unii oameni au copii, e la fel de adevrat c Unii oameni (restul) nu au copii. Dar dac este adevrat propoziia Unele triunghiuri sunt poligoane, contrara ei Unele triunghiuri nu sunt poligoane nu mai este, la rndul ei, adevrat, ci este fals.

Logica termenilor

4) Propoziiile de aceeai calitate, ns de cantiti diferite (SaP SiP i SeP SoP) se afl n raport de subalternare; propoziia universal se numete supraaltern, iar particulara corespunztoare se numete subaltern. Adevrul universalei supraalterne implic logic adevrul particularei subalterne, cci ceea ce se poate afirma sau nega despre toi S a fortiori se poate spune i despre oricare unii S; n schimb, adevrul subalternei nu implic logic valoarea alethic a supraalternei, cci nu tot ceea ce se poate afirma sau nega despre unii S este adevrat despre toi S. ntruct Toi oamenii au o mam i un tat (ceea ce devine tot mai problematic pe msur ce se rspndete fertilizarea in vitro sau inseminarea artificial), a fortiori este adevrat c mcar unii oameni (nc destui) au fost procreai de ctre o mam i un tat. Dar dac este adevrat c Unii studeni neleg cursul de logic, e fals, din nefericire, c toi studenii fac acelai lucru. Sau este adevrat c Unii profesori nu tiu limbi strine, dar, din fericire, nu-i adevrat c Nici un profesor nu tie nici o limb strin. Pe de alt parte, falsitatea subalternei implic logic falsitatea supraalternei corespondente, cci ceea ce nu se poate afirma sau nega despre unii S, cu att mai puin s-ar putea spune despre toi S; n schimb, falsitatea supraalternei nu exclude ntotdeauna adevrul subalternei sale. Dac este fals c Unele triunghiuri au cinci laturi, nu are cum s fie adevrat c Toate triunghiurile au cinci laturi; este ns posibil s fie adevrat c Unele triunghiuri nu sunt isoscele, dar fals c Nici un triunghi nu este isoscel.

2.11 Distribuia termenilor n propoziiile categoriceMecanismele infereniale bazate pe relaiile dintre termenii propoziiilor categorice sunt condiionate de distribuirea termenilor S i P. Un termen este distribuit ntr-o anumit propoziie categoric dac propoziia se refer la ntreaga sfer a termenului respectiv; n caz contrar (atunci cnd sensul propoziiei vizeaz doar unele elemente din sfera acelui termen), termenul se consider nedistribuit. Distribuirea subiectului logic nu prezint nici un fel de dificultate, datorit cuantorilor. E limpede c n propoziiile universale S este

Logic

distribuit, odat ce se afirm c Toi S au proprietatea P ori, dimpotriv, c Nici un S nu are proprietatea P. Este la fel de evident c n propoziiile particulare, introduse prin cuantorul existenial unii, S este nedistribuit, sensul acestor propoziii viznd numai o parte din elementele cuprinse n sfera lui. Se poate spune, aadar, c S este ntot-deauna distribuit n universale i nedistribuit n particulare. n ceea ce privete distribuirea predicatului, diferenierea se face ntre propoziiile afirmative i cele negative. S analizm mai nti cazul afirmativelor universale. Cnd spunem c Toate romburile sunt patrulatere (SaP), distribuit este numai S; propoziia nu se refer la ntreaga sfer a lui P, cci proprietatea patrulater nu revine doar romburilor, ci i altor figuri geometrice cu patru laturi, despre care propoziia noastr nu spune nimic. La fel i n cazul particularelor afirmative. n propoziia Unele patrulatere sunt poligoane regulate, att sfera lui S, ct i sfera lui P sunt vizate numai parial i se suprapun n cazul ptratelor, care nu epuizeaz nici sfera patrulaterelor, nici sfera poligoanelor regulate. Ce se ntmpl n cazul propoziiilor negative? Atunci cnd spunem, de exemplu, c Nici un triunghi nu este patrulater, artm c orice element din S e lipsit de legtur cu orice element din clasa P; proprietatea patrulater nu revine nici unui element din sfera lui S. La fel, atunci cnd spunem c Unele patrulatere nu sunt poligoane regulate, acea parte din sfera lui S la care se refer propoziia se separ de ntreaga sfer a lui P. Sintetiznd, vom spune c P este ntotdeauna distribuit n negative i nedistribuit (de regul) n afirmative. Am spus de regul pentru c exist i excepii cazul SaP atunci cnd ntre S i P exist un raport de identitate; de exemplu: Toate numerele pare sunt divizibile cu 2. Notnd distribuit cu semnul + i nedistribuit cu , alctuim urmtorul tabel rezumativ. SaP SeP SiP SoP S + + P + +

Logica termenilor

n legtur cu distribuirea termenilor vom enuna urmtoarea regul (condiie de validitate) pentru orice fel de inferen cu propoziii categorice: Nici un termen nu poate fi distribuit n concluzia unei inferene dac nu e distribuit i n premise. Nerespectnd aceast regul, am fi n situaia de a trage o concluzie asupra ntregii sfere a unui termen, dei premisele ne dau informaii numai despre o parte din sfera lui caz n care adevrul premiselor nu poate fi o condiie suficient pentru adevrul concluziei.

2.12 Inferene imediate cu propoziii categoriceDin oricare tip de propoziie categoric pot fi derivate, prin anumite transformri logice, alte propoziii; aceste transformri se numesc inferene imediate ntruct concluzia este derivat direct, nemijlocit, dintr-o unic premis. Cele mai importante inferene imediate cu propoziii categorice sunt conversiunea i obversiunea. 2.12.1 Conversiunea Numim conversiune inferena imediat prin care dintr-o propoziie dat (numit convertend) deducem o alt propoziie (conversa), cea din urm fiind de aceeai calitate i avnd aceiai termeni ca i prima, dar funcii logice opuse. Schematic, conversiunea se nfieaz astfel:

P S S P cconvertenda conversa

Nu toate tipurile de propoziii categorice se convertesc n acelai mod.

Logic

a) Fie universala afirmativ Toate patrulaterele sunt poligoane. Intuitiv, ne dm seama de ndat c simpla inversare a termenilor ne d o propoziie fals: Toate poligoanele sunt patrulatere. Revznd reprezentrile grafice din tabelul de la pag. 61, constatm c o propoziie de forma SaP poate fi adevrat numai n dou situaii: atunci cnd S i P se afl ntr-un raport de identitate sau atunci cnd S este subordonat lui P. Simpla inversare a termenilor d o convers adevrat n primul caz, dar fals n cel de-al doilea, mult mai frecvent. Nici regula de distribuire a termenilor, enunat la finele paragrafului precedent, nu este respectat de transformarea lui SaP n PaS. S a P c P a S+ +

Se observ c P, distribuit n concluzie, este nedistribuit n premis. Transformarea corect din toate punctele de vedere (i intuitiv i grafic i conform regulii de distribuire a termenilor) este: S a P c P i S+

Revenind la exemplul nostru, din adevrul propoziiei Toate patrulaterele sunt poligoane se poate infera corect conversa Unele poligoane sunt patrulatere. Acest gen de conversiune, specific propoziiilor universale afirmative care se transform n propoziii particulare, mai slabe cantitativ, se numete conversiune prin accident (per accidens). Conversa i convertenda nu sunt logic echivalente, motiv pentru care convertind, la rndul ei, conversa nu se revine la propoziia iniial. b) n cazul universalelor negative, simpla inversare a termenilor din propoziia dat funcioneaz: dac Nici o pasre nu este patruped, intuitiv ne dm seama de ndat c tot adevrat este i conversa Nici un patruped nu este pasre. Reprezentarea grafic din tabelul de la pag. 61 arat limpede c separarea complet ntre sferele termenilor S i P se poate enuna n ambele sensuri. i regula de distribuire a termenilor este respectat ntr-o conversiune de forma S e P c P e S+ + + +

Logica termenilor

Acest gen de conversiune, n care conversa are aceeai cantitate ca i convertenda se numete conversiune simpl (simplex); premisa i concluzia inferenei sunt logic echivalente, astfel nct prin reconvertirea conversei se revine la propoziia iniial. c) Tot simplu se convertesc i particularele afirmative; dac este adevrat c Unele mamifere sunt fiine acvatice, n mod evident va fi adevrat i conversa ei Unele fiine acvatice sunt mamifere. S i P c P i S

Fiind vorba de acea parte comun din sferele lui S i P, relaia de atribuire se poate face n ambele sensuri; se observ c i regula de distribuire a termenilor este pe deplin respectat. d) Conversiunea particularelor negative nu este posibil ca operaie logic. Ea se poate realiza cteodat, dar nu n virtutea unei corelaii necesare ntre valorile de adevr ale convertendei i ale conversei. n tabelul de la pag. 61 sunt reprezentate cele dou situaii n care poate fi adevrat o propoziie de tip SoP. Exemplificnd primul caz (S i P intersectate), fie adevrat propoziia: Unii studeni nu sunt sportivi; inversnd termenii, se obine tot o propoziie adevrat: Unii sportivi nu sunt studeni. n al doilea caz (S supraordonat lui P), propoziia Unele poligoane nu sunt patrulatere este adevrat, ns propoziia cu termenii inversai Unele patrulatere nu sunt poligoane este, evident, fals. Conversiunea particularelor negative nu respect nici regula de distribuire a termenilor: S o P c P o S + +

(nedistribuit n convertend, S apare distribuit n convers). Rezumnd: propoziiile de tip A (SaP) se convertesc prin accident; propoziiile de tip E (SeP) i I (SiP) se convertesc simplu; propoziiile de tip O (SoP) nu se convertesc.

Logic

2.12.2 Obversiunea Se numete obversiune inferena imediat prin care, dintr-o propoziie dat numit obvertend, este derivat o alt propoziie obversa, de aceeai cantitate, dar de calitate opus fa de propoziia iniial, avnd acelai subiect logic, iar ca predicat contradictoriul predicatului din propoziia iniial. Schematic, obversiunea se prezint astfel: S P o S Pobvertenda obversa

Toate tipurile de propoziii categorice se obvertesc n acelai mod:

S e P exemplu: Toi magistraii sunt coreci o S a P o Nici un magistrat nu este incorect S e P o S a P exemplu: Nici un cascador nu este fricos o Toi cascadorii sunt curajoiS i P o S o P exemplu: Unii arbitri sunt coruptibili o Unii arbitri nu sunt incoruptibilio S i P exemplu: Unii studeni nu sunt serioi o SoP Unii studeni sunt neserioi. ntre obvers i obvertend exist un raport de echivalen logic, astfel nct reobvertind obversa, se revine la propoziia iniial.

2.12.3 Aplicaii ale conversiunii i obversiunii Deseori, o propoziie categoric de forma S P apare sub o alt form dect acelea care se obin direct printr-o singur conversiune sau obversiune; putem ntlni forme de genul S P, P S, S P sau

P

S . Apariia acestor formule este posibil deoarece o propoziie

Logica termenilor

categoric poate fi transformat succesiv prin aplicarea repetat i alternativ a conversiunii i a obversiunii. De multe ori, forma sub care se prezint o anumit propoziie categoric este att de diferit de forma ei iniial, nct dei cunoatem valoarea logic a propoziiei iniiale nu putem stabili intuitiv valoarea alethic a formei sale transformate. n astfel de situaii, este necesar s verificm dac propoziia la care s-a ajuns poate fi derivat din propoziia iniial aplicnd corect o alternan de conversiuni i de obversiuni. Iat acum toate inferenele imediate care pot fi efectuate pornind de la fiecare tip de propoziie categoric: 1. (a) SaP c PiS o Po S (b) 2. (a) (b) 3. (a) (b)

Se P c P eS o P a S SaP o

c

4. SoP Dup cum se poate observa, irurile de inferene alternative se ncheie de fiecare dat cu o propoziie particular negativ, care nu se mai poate converti. Propoziia convers a obversei se numete contrapus parial (procedeul de obinere numindu-se contrapoziie parial), iar obversa contrapusei pariale, obinut prin contrapoziie total, se numete contrapus total. Se numete invers a unei propoziii o alt propoziie implicat logic de ea i care are ca subiect contradictoriul subiectului ei. Inverse nu au dect propoziiile universale ( S iP i S o P sunt inversele lui SaP; S iP i S o P sunt inversele lui SeP).

c S i P o S oP c PeS o Pa S c S iP o S o P SeP o c o SeP Sa P P iS P o S c o PiS Po S SiP o So P SiP o Si P c P iS o P o S

2.13 Structura silogismului categoricCele mai simple raionamente cu propoziii categorice se numesc silogisme. Creat de ctre Aristotel, cu sensul de raionament deductiv n

Logic

general, termenul silogism se folosete astzi cel mai adesea cu sensul de inferen deductiv n care concluzia decurge din dou (i numai dou) premise. Dup natura premiselor, se disting diferite tipuri de silogisme. Atunci cnd una din premise este o propoziie compus condiional, vorbim de silogisme ipotetice; exemple pot fi luate modus ponendo ponens sau modus tollendo tollens, la care ne vom referi n capitolul urmtor. Atunci cnd una din premise este o propoziie compus disjunctiv, avem de a face cu silogisme disjunctive sau alternative; de exemplu modus tollendo ponens sau modus ponendo tollens. Silogismele n care att premisele, ct i concluzia sunt propoziii categorice se numesc, dup natura premiselor, categorice. Fie urmtorul exemplu de silogism categoric: Toate patrulaterele sunt poligoane Toate romburile sunt patrulatere Deci, toate romburile sunt poligoane Gsim n acest raionament trei termeni, fiecare prezent de cte dou ori. Se numete termen minor subiectul concluziei (notat S) i minor premisa n care se gsete acest termen; n exemplul nostru, S este termenul romburi, iar premisa minor propoziia Toate romburile sunt patrulatere. Se numete termen major predicatul concluziei (notat P) i major premisa n care se gsete acest termen; n exemplul ales, P este termenul poligoane, iar premisa major propoziia Toate patrulaterele sunt poligoane. Minorul i majorul sunt termenii extremi ai silogismului. Stabilim prin convenie ca, n scrierea standard a silogismelor s ncepem totdeauna cu premisa major. Cel de-al treilea termen al silogismului apare cte o dat n fiecare premis; el nu figureaz n concluzie, dar joac un rol cheie n stabilirea relaiei dintre S i P, ntruct el raportndu-se att la P, n premisa major, ct i la S, n premisa minor mijlocete relaia dintre extremi; din acest motiv, el se numete termen mediu (notat M). n exemplul nostru, M este termenul patrulatere.

Logica termenilor

Forma simbolic a silogismului ales spre exemplificare este: MaP SaM SaP P M S Figura reprezint grafic relaiile extensionale dintre termenii unui silogism de aceast form. P a fost numit termen major deoarece are sfera cea mai cuprinztoare, n vreme ce S, termenul minor, are sfera cea mai restrns. Figura ne arat foarte sugestiv c mecanismul inferenial al silogismului se bazeaz pe relaiile extensionale ntre sferele celor trei termeni: ntruct orice element din S aparine lui M i orice element din M aparine lui P, rezult c orice element din S aparine lui P (altfel spus, S este o submulime a lui M, M este la rndul su o submulime a lui P, deci S este o submulime a lui P).

2.14 Figuri i moduri silogisticeDac avem n vedere dispunerea termenilor S, M i P n cadrul premiselor, distingem patru structuri sau forme, numite figuri silogistice: Fig. I MP SM SP Fig. a II-a PM SM SP Fig. a III-a MP MS SP Fig. a IV-a PM MS SP

n figura I termenii extremi S i P au aceeai funcie logic, att n premise, ct i n concluzie astfel nct S este subiect logic i n minor, ca i n concluzie, iar P este predicat logic i n major, ca i n concluzie (de unde firescul sau naturaleea silogismelor din aceast figur). n figura a II-a, M este predicat logic n ambele premise; n figura a III-a, M este subiect logic n ambele premise; n figura a IV-a, termenii extremi au n concluzie funcii logice opuse celor pe care le dein n

Logic

premise (de unde caracterul mai greoi, oarecum forat din perspectiva intuiiei al deduciilor silogistice din aceast figur). Figurile silogistice se transform din structuri abstracte n scheme de inferen numai dac specificm tipurile de propoziii (A, E, I sau O) ce apar drept premise i concluzie. De exemplu, o premis major din figura I, de structura M P, poate fi o propoziie de forma MaP, MeP, SiP sau SoP. Considernd acest aspect, n fiecare figur sunt posibile cte 64 de combinaii, numite moduri silogistice. Numrul total de construcii sau moduri silogistice este considerabil: 4 64 = 256. Pentru notaia simbolic a fiecrui mod silogistic posibil adoptm urmtorul procedeu: o succesiune de trei litere (a, e, i sau o) indic tipurile de propoziii care alctuiesc premisele i concluzia modului silogistic respectiv, iar una din cifrele 1, 2, 3 sau 4, alturat grupului de litere, indic figura silogistic, respectiv modul de dispunere a termenilor n premise. De exemplu, aaa-1 red simbolic un silogism de forma: MaP SaM SaP eio-2 reprezint un silogism n figura a II-a, de forma: PeM SiM SoP ntruct se pot construi 256 de moduri silogistice, se pune problema cte i cte i care dintre aceste scheme deductive posibile sunt valide? Sunt necesare anumite criterii sau condiii de validitate, pe baza crora s putem determina cu certitudine toate modurile valide. Aceste criterii sunt oferite de legile generale ale silogismului categoric.

2.15 Legile generale ale silogismuluiIndiferent de particularitile fiecrei figuri, orice schem silogistic poate fi valid numai dac se conformeaz unor cerine sau

Logica termenilor

reguli, numite legi generale ale silogismului categoric. Majoritatea acestor legi nu au o demonstraie formal n logica tradiional; ele sunt stabilite nesistematic, ilustrndu-se prin exemplificri consecinele nerespectrii lor. Dup aspectul pe care l reglementeaz, legile generale ale silogismului se pot mpri n trei clase. 2.15.1 Legi referitoare la distribuirea termenilor (L.1) Pentru ca un silogism s fie valid este necesar ca termenul mediu s fie distribuit n cel puin una din premise. Dac nu s-ar respecta aceast cerin, atunci ar fi posibil ca fiecare dintre termenii extremi s fie pus n relaie cu o alt parte din sfera lui M, astfel nct legtura dintre S i P nu ar fi logic determinat. Fie, de exemplu, premisele: PaM SiM n care M este nedistribuit n ambele premise (ca predicat logic de propoziie afirmativ). Reprezentnd grafic, prin diagrame Euler, cele dou premise, avem de figurat un raport de ncruciare ntre sferele lui S i M, precum i un raport de subordonare a lui P fa de M. Dar P, ca noiune subordonat, poate ocupa n sfera lui M oricare dintre poziiile (a), (b) sau (c).

S

P (c) M P (b) P (a)

Presupunem c ambele premise sunt adevrate. n ceea ce privete raportul dintre S i P, exprimat de concluzie, reprezentarea grafic ne ofer trei variante: (a) SeP; (b) SiP; (c) SiP sau SoP. Variantele

Logic

(a) i (b) sunt contradictorii: una dintre concluziile SeP sau SiP este inevitabil fals; or, n orice inferen valid, din premise adevrate se obin ntotdeauna numai concluzii adevrate. Rezult c un silogism n care M nu este mcar o dat distribuit nu poate fi valid. Intuitiv, coninutul propoziiilor ne spune, de regul, care dintre variantele posibile trebuie aleas pentru a avea o concluzie adevrat. Pe aceeai schem silogistic putem construi urmtoarele nlnuiri de propoziii: (i) Toate ptratele sunt patrulatere PaM Unele poligoane regulate sunt patrulatere SiM Unele poligoane regulate sunt ptrate SiP (ii) Toate ciorile sunt negre PaM Unele lebede sunt negre SiM Nici o lebd nu este cioar SeP n cazul (i) se potrivete soluia (b); n cazul (ii), soluia (a) dar opiunea pentru o concluzie sau alta nu se face n virtutea formei logice, ci a coninutului sau a sensului propoziiilor, cunoscut empiric. (L.2) Nici unul din termenii extremi ai silogismului nu poate fi distribuit n concluzie dect dac este distribuit i n premisa n care apare. Aceast cerin a fost enunat i explicat ca regul general a tuturor inferenelor cu propoziii categorice. Nerespectarea acestei legi duce la comiterea urmtoarelor erori logice: (a) majorul ilicit; fie silogismul: Toi marinarii sunt beivi Ma P

Nici un ofer nu este marinar Nici un ofer nu este beiv

SeM Se P+

Termenul major P este distribuit n concluzie (ca predicat de propoziie negativ), dar nedistribuit n premisa major (ca predicat de afirmativ). Reprezentarea grafic a celor dou premise face din nou posibile trei concluzii diferite:

Logica termenilor

P (a) S (b) M S (c) S

Concluziile posibile sunt: (a) SeP; (b) SiP sau SoP; (c) SaP. Gsim aici o pereche de contradicii logice, ntre SaP i SoP, pe de o parte, i ntre SeP i SiP, de cealalt parte; prin urmare, schema silogistic nu este valid. (b) minorul ilicit; fie silogismul: Nici o pasre nu e vivipar MeP Toate psrile sunt bipede MaS Nici un biped nu este vivipar SeP +

Termenul minor S apare distribuit n concluzie (ca subiect logic de propoziie universal), dar este nedistribuit n premisa minor (ca predicat logic de propoziie afirmativ). Din nou reprezentarea grafic a celor dou premise face posibile mai multe concluzii, dou dintre acestea fiind contradictorii; deci, raionamentul nu este valid. S P P (a) M (b) 2.15.2 Legi referitoare la calitatea premiselor i a concluziei (L.3) Dac ambele premise sunt afirmative, concluzia (presupunnd c se poate extrage vreuna) nu poate fi dect afirmativ. Motivaia acestei legi este urmtoarea: ambele premise fiind afirmative, fiecare termen extrem este pus n concordan cu termenul P (c) (a) S e P (b) S i P sau SoP (c) S i P

Logic

mediu, astfel nct premisele se refer numai la acele pri din sferele lui S i P care se suprapun cu M; stabilind un raport de excludere ntre extremi, o concluzie negativ s-ar referi la acele pri din sferele lui S i P nesuprapuse sferei lui M, pri despre care premisele nu ofer nici o informaie. (L.4) Cel puin o premis trebuie s fie afirmativ (sau, ntr-o formulare echivalent: Un silogism cu dou premise negative nu poate fi valid). Raiunea acestei legi este foarte simpl: dac ambele premise sunt negative, atunci fiecare din ele se refer la ceea ce S, respectiv P nu au n comun cu M; n acest caz, termenul mediu, fiind separat att de S, ct i de P, nu poate spune absolut nimic despre relaia dintre termenii extremi, care se pot gsi n oricare din tipurile posibile de raporturi extensionale. Dac Nici un om nu este pasre i Nici o pasre nu are trei picioare, din aceste dou propoziii nu deriv logic nici o concluzie necesar, ci se poate spune orice sau nimic. (L.5) Dintr-o premis afirmativ i alta negativ nu poate rezulta dect o concluzie negativ. Premisa afirmativ enun un raport de concordan ntre M i termenul extrem pe care l conine. Cealalt premis fiind negativ, enun un raport de opoziie ntre M i cellalt termen extrem. Implicit se stabilete un raport de opoziie ntre S i P, n sensul c acela dintre ei care se afl n premisa negativ este separat de orice element aflat n zona de coinciden a sferei celuilalt termen extrem cu sfera termenului mediu. 2.15.3 Legi referitoare la cantitatea premiselor i a concluziei Aceste legi, care reglementeaz condiiile de validitate a silogismelor n ceea ce privete cantitatea premiselor, pot fi demonstrate drept consecine logice ale celor cinci legi anterior enunate. (L.6) Cel puin una din premise trebuie s fie universal (sau, ntr-o formulare echivalent, un silogism format din dou premise particulare nu poate fi valid.) Vom demonstra aceast lege prin reducere la absurd. Fie, aadar,

Logica termenilor

acceptat ipoteza: ambele premise ale unui silogism pot fi propoziii categorice particulare. Urmeaz s analizm consecinele acestei ipoteze, lund n consideraie i calitatea premiselor. Se deschid trei posibiliti: H1 ambele premise negative; nu putem admite aceast posibilitate, deoarece este nclcat (L.4) H2 ambele premise afirmative: n dou propoziii particular afirmative nu exist nici un termen distribuit, ceea ce duce la nclcarea (L.1) H3 o premis afirmativ (de tip I) i o premis negativ (de tip O); n astfel de premise nu exist dect un singur termen distribuit (predicatul premisei negative). Decurg de aici urmtoarele consecine: M trebuie s fie cel puin o dat distribuit (L.1) premisa negativ face ca i concluzia silogismului s fie tot negativ (L.5) n concluzia negativ, P este distribuit (ca predicat de propoziie negativ) distribuit n concluzie, P trebuie s fie distribuit i n premisa major (L.2) sunt, prin urmare, necesari doi termeni distribuii n premise (M i P), dar nu se poate distribui dect unul; deci, fie (L.1), fie (L.2) va fi nclcat. Odat respinse toate cele trei posibiliti, cade i ipoteza; conform principiului terului exclus, este adevrat contradictoria ipotezei, adic enunul lui (L.6). (L.7) Dintr-o premis universal i una particular nu se poate extrage dect o concluzie particular. Demonstraia acestei legi este ntrutotul similar celei precedente i o sugerm ca exerciiu. Logicienii medievali contopesc (L.5) i (L.7) ntr-o singur lege general a silogismului, care este util din punct de vedere mnemotehnic: potrivit acestei formulri medievale, concluzia urmeaz partea cea mai slab din premise considernd c sunt slabe propoziiile negative fa de cele afirmative, respectiv propoziiile particulare fa de cele universale. Prin urmare, ntr-un silogism valid, acolo unde apare o premis negativ, concluzia (dac se poate extrage vreuna) va fi neaprat

Logic

negativ, iar dac apare o premis particular, atunci concluzia nu poate fi, la rndul ei, dect particular. Cu alte cuvinte, ntr-un silogism n care una dintre premise este o propoziie SoP, putem extrage numai o concluzie de acelai rang, adic tot SoP. Din dorina de a scurta pe ct posibil expunerea silogisticii, nu am introdus n rndul legilor generale ale silogismului o regul structural care, de obicei, se enun ca prim lege a silogismului categoric. Se cere, prin aceast regul, ca silogismul s nu aib mai mult dect trei i numai trei termeni. n spe, e vorba de eliminarea oricrei ambiguiti a termenului mediu cci dac acesta se folosete cu dou sensuri diferite, atunci se comite un sofism, numit quaternio terminorum sau eroarea celui de-al patrulea termen, n care M nu face dect o legtur artificioas ntre termenii extremi ai silogismului. Fie, de exemplu, silogismul: Albastru este un adjectiv Cerul este albastru Deci, cerul este un adjectiv E limpede, n exemplul de mai sus, n ce const eroarea: n premisa major, termenul albastru este luat ca parte de vorbire i i se precizeaz valoarea gramatical; n premisa minor, albastru este luat ca proprietate atribuit cerului real, astfel nct legtura pe care o face termenul mediu ntre sferele termenilor extremi este artificoas. O ultim remarc, nainte de a trece mai departe. ntr-o expunere riguros axiomatic a silogisticii, primele cinci legi generale ale silogismului, aa cum le-am enunat anterior, ar fi suficiente ca axiome ale sistemului. ntruct, dup cum am vzut, pot fi demonstrate pe baza primelor cinci legi generale ale silogismului, (L.6) i (L.7) ar trebui formulate ca teoreme ale sistemului axiomatic, la fel ca i alte proprieti ale deduciilor silogistice, aa cum sunt vom vedea imediat n cele ce urmeaz regulile speciale ale fiecrei figuri silogistice, pe baza crora se determin toate modurile silogistice valide, precum i alte proprieti, dintre care unele vor fi cerute a fi demonstrate ca exerciii. Cu ajutorul legilor generale ale silogismului putem testa toate cele 256 de moduri posibile, stabilind care dintre ele sunt valide i care nu. Aceast metod este ns greoaie i nesistematic. E firesc s ne ntrebm dac nu se poate elabora o metod mai riguroas, pe baza creia s

Logica termenilor

construim de la bun nceput, pe baza ctorva principii simple i generale, toate modurile silogistice valide. Teoria logicii clasice adopt dou metode principale de determinare sistematic a validitii silogismelor. Prima a fost elaborat de ctre Aristotel, creatorul silogisticii antice: un mic numr de silogisme sunt acceptate drept valide fr demonstraie, n virtutea evidenei lor naturale cvasiaxiomatice, iar celelalte moduri sunt stabilite prin reducerea sau derivarea lor logic din schemele primitive, cu ajutorul conversiunii. Imperfeciunile i lacunele metodei aristotelice sunt depite de o metod mai general, elaborat ulterior de ctre logicienii medievali, n care un rol esenial l joac distribuirea termenilor (neutilizat de ctre Aristotel). n continuare, vom expune pe scurt cele dou metode de demonstraie a modurilor silogistice valide.

2.16 Reducerea figurilor imperfecteAnumite caracteristici ale silogismelor din prima figur l-au fcut pe Aristotel s le considere moduri perfecte, acceptnd fr demonstraie validitatea lor, numai pe criteriul evidenei intuitive. Restul schemelor silogistice, privite ca moduri imperfecte, se consider demonstrate dac pot fi reduse fiecare la cte un mod din figura I. Reducerea decurge n dou modaliti distincte. 2.16.1 Reducerea direct Iat principiile acestui mod de demonstraie: un mod imperfect se consider valid dac: (i) din premisele lui decurg (prin conversiune) premisele unui mod perfect; (ii) concluziile celor dou moduri sunt identice sau concluzia modului perfect implic logic concluzia celui imperfect. ndeplinirea acestor condiii este suficient pentru a proba c n modul imperfect concluzia decurge cu necesitate logic din premisele sale, modul fiind, prin urmare, valid.

Logic

Iat cteva exemple ilustrative. Fie silogismul eae-2; desfurat, el arat astfel: PeM SaM SeP Convertind simplu majora, se obine un silogism perfect: eae-1, cu aceeai concluzie: MeP SaM SeP Alteori, concluzia silogismului perfect, obinut prin transformarea premiselor celui iniial, este alta dect concluzia de demonstrat. Fie silogismul iai-3: MiP MaS SiP Convertirea premisei minore se poate face numai prin accident; deci MaS c SiM. Dar legile generale ale silogismului ne interzic dou premise particulare; cel puin o premis trebuie s fie universal. Pentru a aduce termenii n dispunerea specific figurii I nu avem dect o singur soluie: inversarea premiselor i conversiunea simpl a premisei particulare. Se obine astfel un silogism perfect de forma: MaS PiM PiS Concluzia modului perfect este PiS; din aceasta decurge ns prin conversiune simpl exact concluzia silogismului imperfect de la care am pornit: PiS c SiP. i acest mod silogistic se consider, prin urmare, valid.

Logica termenilor

Tehnica reducerii este complet exprimat prin intermediul unor denumiri codificate, pe care logicienii medievali le-au atribuit diferitelor moduri silogistice. Iat aceste denumiri: Figura I Barbara Celarent Darii Ferio Figura II Cesare Camestres Festino Baroco Figura III Darapti Datisi Disamis Ferison Felapton Bocardo Figura IV Fresison Bramantip Camenes Fesapo Dimaris

Majoritatea literelor din care sunt alctuite aceste denumiri au o anumit semnificaie: vocalele indic succesiunea propoziiilor din care este alctuit modul respectiv; de exemplu, modul B a r b a r a este un silogism de forma aaa-1 sau modul F e s t i n o este un silogism de forma eio-2; consoanele iniiale, cu care ncep denumirile modurilor imperfecte indic modul perfect la care se face reducia; de exemplu, modurile C e s a r e i C a m e s t r e s din figura a II-a se reduc la modul perfect C e l a r e n t din figura I; F e r i s o n i F e l a p t o n din figura a III-a se reduc la modul F e r i o din figura I etc.; consoanele din interiorul denumirilor codificate ale modu-rilor imperfecte au urmtoarele semnificaii: m (mutare) = transpoziia (inversarea) premiselor; s (simpliciter) = propoziia precedent se convertete simplu; p (per accidens) = propoziia precedent se convertete prin accident. S vedem, spre ilustrare, cum se reduce modul Cesare, din fig. II. Consoana iniial ne spune c reducerea se realizeaz aducnd silogismul din fig. II la modul perfect Celarent, din fig. I. Iar consoana interioar s ne semnaleaz faptul c reducerea se bazeaz pe conversiunea simpl a premisei majore din modul Cesare.

Logic

P e M c M e P SaM SaM SeP SeP Modul Camestres (fig. II) se reduce tot la Celarent (fig. I), dar procedura este mai laborioas, fiind necesar inversarea premiselor i o dubl conversiune. PaM S e M c M e S SeM PaM PaM c S e P SeP PeS Inversarea premiselor este necesar i pentru reducerea modului Dimaris (fig. IV) la modul perfect Darii (fig. I). PiM MaS MaS PiM SiP P i S c S i P

2.16.2 Reducerea indirect Metoda reducerii directe, prin transpoziie i conversiune, eueaz n cazul modurilor Baroco (aoo-2) i Bocardo (oao-3), deoarece propoziiile particular negative nu se convertesc. Reducerea direct a acestor dou moduri s-ar putea realiza cu ajutorul obversiunii pe care anticii o cunoteau, dar pe care au considerat-o inaplicabil n tehnica reducerii la modurile perfecte. Neacceptnd utilizarea obversiunii n tehnica reducerii, Aristotel a elaborat o alt metod de demonstraie prin reducere la absurd sau per impossibile, cunoscut i ca reducere indirect. Aceast metod se bazeaz pe principiul potrivit cruia din premise adevrate, printr-o schem de inferen valid, se obine ntotdeauna o concluzie adevrat la care se adaug principiul terului exclus. Metoda ncepe prin a presupune, prin ipotez, drept adevrat contradictoria tezei de demonstrat. Dac n finalul unei suite de raionamente valide contradictoria tezei se dovedete a fi fals, atunci conform raportului de contradicie rezult c teza dat spre a fi demonstrat este adevrat. n cazul aplicrii sale n

Logica termenilor

dovedirea validitii silogismelor imperfecte, baza demonstraiei prin reducere la absurd o constituie modurile valide din figura I. Iat, spre exemplificare, cum se demonstreaz per impossibile sau indirect validitatea modului Baroco. P a M Ipoteza: cele dou premise sunt adevrate; S o M de demonstrat: SoP este o propoziie adevrat SoP Presupunem c este fals concluzia SoP; n acest caz, contradictoria ei SaP trebuie s fie adevrat. Combinm contradictoria concluziei date cu una din cele dou premise, n spe cu premisa major; se obine un silogism valid, de forma aaa-1: PaM SaP SaM Noua concluzie, obinut printr-o inferen valid, este contradictoria premisei minore (SoM), despre care tim prin ipotez c este adevrat. Cum printr-o inferen valid nu se poate ajunge la o concluzie fals din premise adevrate, nseamn c una dintre premisele silogismului derivat este fals; care anume? Fals nu poate fi dect minora SaP, deoarece despre majora PaM tim prin ipotez c este adevrat. Dar dac SaP este fals, rezult c propoziia contradictorie este adevrat; or, contradictoria este tocmai SoP. Q. E. D. Iat i demonstraia indirect a modului Bocardo: M o P Ipoteza: cele dou premise sunt adevrate M a S de demonstrat: SoP este o propoziie adevrat SoP Presupunem c este fals concluzia SoP; n acest caz, contradictoria ei SaP este adevrat.

Logic

Combinm contradictoria concluziei cu una din cele dou premise, n spe cu cea minor; se obine un silogism perfect, de forma aaa-1: SaP MaS MaP Noua concluzie este contradictoria premisei majore MoP, despre care tim prin ipotez c este adevrat; deci concluzia MaP este fals. Cum printr-o inferen valid nu se poate obine o concluzie fals din premise adevrate, rezult c sursa falsului din concluzie trebuie s fie una dintre premise; aceasta nu poate fi dect majora SaP, cci minora MaS este adevrat prin ipotez. Dac SaP este fals, atunci contradictoria ei SoP este adevrat. Q. E. D.

2.17 Demonstraia modern a modurilor silogistice valideMetoda reducerii aristotelice prezint cteva neajunsuri. n primul rnd este incomplet, acceptnd fr demonstraie validitatea silogismelor perfecte din prima figur. n al doilea rnd, este inconsecvent, nereuind s demonstreze toate modurile valide pe baza acelorai procedee, ci trebuie s utilizeze dou metode diferite reducerea direct i cea indirect, per impossibile. Eliminarea acestor neajunsuri se poate realiza aplicnd urmtoarea metod: 1) Se deduc mai nti regulile speciale ale fiecrei figuri silogistice; aceste reguli speciale sunt nite condiii suplimentare de validitate, impuse de aranjamentul termenilor n premise, care difer de la o figur la alta. 2) Pe baza regulilor speciale se determin toate perechile de premise acceptabile n fiecare figur silogistic. 3) Tot pe baza legilor generale ale silogismului, se determin concluziile care decurg n mod valid din perechile de premise stabilite anterior.

Logica termenilor

2.17.1 Modurile valide n figura I Reamintim aranjamentul structural al termenilor n figura I: MP SM SP (L.1) cere ca termenul mediu s fie mcar o dat distribuit. Fie ca ipotez n care aceast cerin ar fi satisfcut: (H1) premisa minor este negativ. Consecine logice: concluzia silogismului este o propoziie negativ (L.5) n concluzie, P este distribuit, ca predicat de propoziie negativ P trebuie s fie distribuit i n premisa major (L.2) ntruct P este predicat logic n premisa major, ar fi distribuit numai dac i premisa major ar fi o propoziie negativ situaie n care silogismul ar avea dou premise negative, ceea ce nu se poate accepta, conform (L.4) Rezult c minora unui silogism n figura I nu poate fi dect afirmativ; n acest caz, fiind nedistribuit n premisa minor (ca predicat de propoziie afirmativ), termenul mediu nu poate fi distribuit dect n premisa major, dac aceasta este o propoziie universal (n care M este subiect logic). Se pot enuna regulile speciale ale figurii I: R.1 (I) premisa major universal R.2 (I) premisa minor afirmativ Pe baza acestor reguli speciale, rezult c singurele perechi de premise acceptabile n figura I sunt urmtoarele: a a e e a i a i Stabilind, n conformitate cu legile generale ale silogismului, concluziile care decurg din aceste perechi de premise, determinm urmtoarele moduri valide n figura I: MaP MaP MeP MeP SaM SiM SaM SiM SaP SiP SeP SoP

Logic

Cunoscnd raportul de subalternare (adevrul supraordonatei universale implic logic adevrul subalternei particulare) putem aduga nc dou moduri valide sub aspect formal, dei slabe sau redundante din punct de vedere informaional numite moduri subalterne: MaP MeP SaM SaM SiP SoP Recapitulnd, am demonstrat c n figura I exist urmtoarele ase moduri valide: aaa-1; a i i-1; eae-1; eio-1; subalterne: aai-1; eao-1 Privind aceste ase moduri valide, se desprind cteva caracteristici interesante: n figura I pot fi concluzii cele patru tipuri de propoziii categorice: A, E, I i O; de notat i faptul remarcabil c numai n figura I se poate deduce o concluzie universal afirmativ. Figura I poate fi considerat demonstrativ prin excelen: premisa major fiind universal, enun o regularitate sau o generalitate; premisa minor fiind numai afirmativ i avnd drept predicat logic pe M (subiectul premisei majore), prezint un caz, o ilustrare sau o aplicaie particular a generalitii enunate de premisa major. Concluzia formuleaz, deci, rezultatul aplicrii generalitii din premisa major la cazul particular din premisa minor. Specificul argumentativ al figurii I este exprimat, n logica clasic, n dou formule latineti: din punct de vedere extensional, dictum de omni et nullo (ceea ce se enun, afirmativ sau negativ, despre toi membrii unei clase de obiecte este valabil i despre membrii oricrei specii a ei despre orice membru individual al ei; din punct de vedere intensional nota notae est nota rei ipsius (proprietatea genului aparine oricrui membru individual al oricrei specii subordonate genului respectiv). 2.17.2 Moduri valide n figura a II-a Dispunerea termenilor n figura a II-a aeaz termenul mediu n funcia logic de predicat logic n ambele premise. PM

Logica termenilor

SM SP Rezult imediat c una dintre premise trebuie s fie negativ, cci numai astfel ca predicat logic de propoziie negativ M poate fi distribuit, aa cum o cere (L.1). De aici rezult urmtoarele consecine logice: avnd o premis negativ, concluzia nu poate fi dect negativ (L.5) n concluzie, P este distribuit (ca predicat de propoziie negativ) distribuit n concluzie, P trebuie s fie distribuit i n premisa major (L.2) avnd n premisa major funcia logic de subiect, P poate fi distribuit numai dac aceast premis este o propoziie univer-sal. Regulile speciale ale figurii a II-a sunt, aadar, urmtoarele: R.1(II) premisa major universal R.2(II) o premis negativ Regulile speciale indic urmtoarele perechi de premise acceptabile n figura a II-a: a a e e e o a i Determinnd i concluziile care decurg din aceste premise, putem stabili urmtoarele moduri valide n figura a II-a: PaM PaM PeM PeM SeM SoM SaM SiM SeP SoP SeP SoP n virtutea raportului de subalternare, putem aduga i n figura a II-a nc dou moduri slabe sau subalterne: PaM PeM SeM SaM SoP SoP Rezumnd, i n figura a II-a se demonstreaz tot ase moduri valide: aee-2; aoo-2; eae-2; eio-2; subalterne: aeo-2; eao-2. Iat i cteva din caracteristicile silogismelor din aceast figur: una dintre premise fiind n mod obligatoriu negativ, n figura a II-a nu se pot deduce dect concluzii negative;

Logic

fiind o propoziie universal, premisa major a silogismelor din figura a II-a enun, ca i n figura I, o generalitate: orice P are / nu are proprietatea M; ntotdeauna de calitate opus fa de premisa major, minora spune c S are / nu are aceeai proprietate M. Cu alte cuvinte, S nu este un caz particular al lui P; prin raportul fa de M, S se difereniaz fa de P. Formula logicii clasice pentru aceast figur este: dictum de diverso. 2.17.3 Moduri silogistice valide n figura a III-a n aceast figur, termenul mediu (M) este subiect logic n ambele premise. MP MS SP Deoarece, conform (L.6), cel puin una dintre premise este o propoziie universal, termenul mediu este automat distribuit n premisa respectiv, ca subiect de propoziie universal; astfel, (L.1) este respectat. Prin exact aceeai demonstraie la care am recurs i atunci cnd am dedus modurile silogistice valide din figura I se arat c i n figura a III-a premisa minor trebuie s fie afirmativ, de unde rezult urmtoarele consecine: n premisa minor afirmativ, S este nedistribuit, ca predicat de propoziie afirmativ rezult c S trebuie s fie nedistribuit i n concluzie (L.2) aadar, concluzia va fi o propoziie particular (cci numai n particulare subiectul logic este nedistribuit) Iat regulile speciale ale figurii a III-a: R.1(III) premisa minor afirmativ R.2(III) concluzia particular Particularitatea demonstraiei modurilor valide din figura a III-a rezid n faptul c regulile speciale ale acestei figuri nu ne ofer informaii despre ambele premise; din ele se pot extrage perechi de minore

Logica termenilor

afirmative i concluzii particulare. Acestea sunt: ? ? ? ? a a i i i o i o Rmne s determinm, pe baza legilor generale ale silogismului, premisele majore necesare pentru construcia unor silogisme valide. Trecnd n revist toate posibilitile, gsim i n figura a III-a urmtoarele moduri silogistice valide: MaP MiP MeP MoP MaP MeP MaS MaS MaS MaS MiS MiS SiP SiP SoP SoP SiP SoP n figura a III-a nu putem avea moduri subalterne i nici una dintre aceste scheme silogistice nu este redundant. n schimb, remarcm c aceeai concluzie SiP se poate extrage att din combinaia de premise tari MaP i MaS, ct i din combinaia mai slab MiP i MaS; similar, concluzia SoP rezult i din combinaia de premise universale MeP i MaS, dar i din perechea n care o premis este particular MoP i MaS. Modurile n care cele dou premise universale dau aceeai concluzie ca i perechea de premise universal + particular se numesc moduri tari sau supraalterne. Sintetic, cele ase moduri valide n figura a III-a sunt urmtoarele: aai-3; iai-3; eao-3; oao-3; aii-3; eio-3. i modurile figurii a III-a au cteva caracteristici argumentative: n figura a III-a nu se pot deduce concluzii universale; Atunci cnd ambele premise sunt afirmative, M avnd att proprietatea P, ct i proprietatea S, ntemeiaz afirmaia c unele elemente din clasa S au proprietatea P; cu alte cuvinte, o afirmaie general este ilustrat prin producerea unui exemplu care o confirm. Formula clasic pentru aceast funcie argumentativ este dictum de exemplo; Atunci cnd premisa major este negativ, silogismele din figura a III-a produc un contraexemplu care infirm o tez general; formula clasic pentru aceste moduri silogistice este dictum de excepto.

Logic

2.17.4 Moduri silogistice valide n figura a IV-a n figura a IV-a, termenii extremi au n concluzie funcii logice opuse celor avute n premise: PM MS SP O particularitate a regulilor speciale ale acestei figuri este aceea c nici una nu impune restricii categorice vreunei premise ori concluziei; ele impun restricii fie unei premise n funcie de proprietile celeilalte premise, fie concluziei n funcie de calitatea premisei minore. Din acest motiv, enunurile regulilor speciale ale figurii a IV-a sunt de form condiional. H1 S admitem c premisa major este negativ; decurg urmtoarele consecine: n premisa major negativ, M este distribuit (ca predicat logic de propoziie negativ) concluzia va fi tot o propoziie negativ (L.5) n concluzia negativ, P este distribuit (ca predicat de propoziie negativ) P trebuie s fie distribuit i n premisa major (L.2) aceasta presupune ca premisa major s fie universal. H2 Presupunem apoi c premisa minor este negativ; consecine: avnd o premis negativ (minora), cealalt premis (majora) trebuie s fie afirmativ (L.4) avnd n premisa major afirmativ funcia de predicat logic, M este nedistribuit n aceast premis ntruct M trebuie s fie cel puin o dat distribuit (L.1), singura posibilitate este ca premisa minor (n care M este subiect logic) s fie universal avnd o premis negativ, concluzia va fi tot negativ (L.5) n concluzia negativ, P este distribuit P trebuie s fie tot distribuit i n premisa major (L.2)

Logica termenilor

aceasta nu se poate realiza dect dac premisa major (n care P este subiect logic) este universal. H3 Ce se ntmpl dac premisa major este afirmativ? n premisa major afirmativ, M este nedistribuit (ca predicat de propoziie afirmativ) ntruct M trebuie s fie mcar o dat distribuit (L.1), singura posibilitate n acest sens este ca premisa minor (n care M este subiect logic) s fie o propoziie universal H4 n sfrit, s presupunem c premisa minor este o propoziie afirmativ. n premisa minor, S este nedistribuit (ca predicat de propoziie afirmativ) rezult c S trebuie s fie tot