LabN1 8 Final

MINISTERUL EDUCAŢIEI al REPUBLICII MOLDOVA

UNIVERSITATEA TEHNICĂ A MOLDOVEI

Catedra Microelectronică şi Dispozitive cu Semiconductori

Îndrumar de Laborator la disciplina

Chişinău 2007

Elaborat dr.conf. S.Railean

2

Figura 1 Reprezentarea grafică a semnalului discret în timp..

Lucrarea de laborator N 1Iniţiere în MATLAB. Studierea şi proiectarea semnalelor elementare

folosind MATLAB.

Scopul lucrării: Studierea şi proiectarea semnalelor elementare folosind MATLAB.

a. Semnale discrete.

Un semnal discret în timp x(n) este o funcţie de o variabilă independentă care este un număr integru. Reprezentarea grafică a unui semnal discret este prezentată în figura 1. Menţionăm, că semnalul discret în timp x(n) nu este definit pe intervalul dintre două probe succesive. De asemenea nu e corect de considerat că semnalul x(n) este egal cu zero când n nu este integru. Pur şi simplu x(n) nu este definit pe valoarea neintegră a variabilei n.

Dacă semnalul x(n) a fost obţinut din semnalul analogic xa(t),atunci x(n) =xa(nT), unde T este perioada de discretizare.

Există câteva metode de reprezentare a semnalelor discrete:1. Reprezentarea în formă de funcţie:

(1)2. Reprezentarea în formă de tabelă:

(2)3. Reprezentarea în formă de secvenţă. O secvenţă cu durata infinită

sau o secvenţă cu originea timpului (n = 0) indicată prin simbolul ↑ este reprezentată:

(3)O secvenţă x(n), care este egală cu zero pentru n < 0, este reprezentată:

3

Figura 2 Reprezentarea grafică a semnalului (n).

(4)O secvenţă cu durata finită este reprezentată:

(5)Dacă o secvenţă cu durata finită satisface condiţia x(n) = 0 pentru n <

0 atunci ea poate fi reprezentată:

(6)

b. Câteva semnale discrete elementare.

1. Secvenţa cu o singură probă sau impulsul-unitate δ(n) este definită:

(7)Cu alte cuvinte, impulsul-unitate este un semnal care este egal cu zero oriunde, cu excepţia n = 0, unde are valoarea egală cu unul. Reprezentarea grafică a semnalului (n) este în Fig. 2.

2. Semnalul cu un “prag-unitate” e notat prin u(n) şi este definit:

(8)Figura 3 ilustrează semnalul u(n).

3. Semnalul cu o singură înclinaţie e notat prin ur(n) şi e notat prin:

(9)Figura 4 ilustrează semnalul u(n).

4

Figura 3 Reprezentarea grafică a semnalului u(n).

Figura 4 Reprezentarea grafică a semnalului ur(n)

4. Semnalul exponenţial e o secvenţă de forma:

(10)Dacă parametrul a este real, atunci x(n) este un semnal real. Figura 5 ilustrează x(n) pentru diferite valori ale parametrului a.

Dacă parametrul a are o valoare complexă:

(11)unde r şi sunt parametri. Semnalul poate fi reprezentat:

(12)

Deci dacă x(n) are o valoare complexă, el poate fi reprezentat grafic prin afişarea părţii reale:

(13)ca funcţie de n, şi separate afişarea părţii imaginare:

(14)ca funcţie de n. Figura 6 ilustrează dependenţa xR(n) şi xI(n) pentru r = 0.9 şi

= n/10.

Figura 6 Dependenţa xR(n) şi xI(n) pentru r = 0.9 şi = n/10.

5

Figure 2.5 Graphical representation of exponential signals

Figura 5 Reprezentarea grafică a semnaluluiexponenţial

Semnalul x(n) definit de (12) poate fi reprezentat grafic prin dependenţa amplitudei: (15)şi dependenţa fazei:

(16)

Figura 7 ilustrează A(n) şi (n) pentru r = 0.9 şi = /10.

c. Clasificarea semnalelor.

Semnale energetice şi semnale de putere. Energie semnalului este definită:

(17)Energia semnalului poate fi finită şi infinită. Dacă E este finită (0 < E

< ), atunci x(n) este numit semnal energetic. Energia acestor semnale uneori este notată Ex..

Multe semnale au o energie infinită, dar posedă putere medie finită. Puterea medie a semnalului discret x(n) este definită:

(18)Dacă definim energia semnalului x(n) pe intervalul —N n N cxa

(19)

atunci putem exprima energia semnalului E :

(20)şi puterea medie a semnalului x(n) ca

6

Figura 7 Dependenţa A(n) şi (n) pentru r = 0.9 şi = /10.

(21)Este evident, că dacă E este finită, P = 0. Şi dacă E este infinită, puterea medie P poate fi atât finită cât şi infinită. Dacă P este finită, (şi diferită de zero), semnalul este numit semnal de putere.

Semnale periodice şi aperiodice. Semnalul x(n) este periodic cu perioada (N > 0) dacă şi numai dacă:

(22)Cea mai mică valoare a N pentru care (2.22) este adevărată, este numită perioada (fundamentală). Dacă nu există valori pentru N care satisfac (2.22), semnalul este numit neperiodic sau aperiodic.

Energia unui semnal periodic x(n) pe o perioadă, sau pe intervalul 0n N-1, este finită dacă semnalul ia valori finite pe acest interval. Energia semnalului pentru - este infinită. Puterea medie a unui semnal periodic este finită şi este egală cu puterea medie pe un interval. Deci dacă semnalul x(n) este periodic cu perioada fundamentală N şi ia valori finite, atunci puterea acestui semnal:

(23)Consecutiv semnalele periodice sunt semnale de putere.

Semnale simetrice (even) şi antisimetrice (odd). Un semnal cu valoarea reală x(n) este numit simetric (even) dacă

(26)Semnalul x(n) este antisimetric (odd) dacă:

(27)Exemple de semnale simetrice şi antisimetrice sunt prezentate în

Figura 8.

7

Figura 8 Exemplu de semnal simetric (a) şi antisimetric(b).

Ordinea îndeplinirii lucrării de laborator

Lansaţi pachetul de programe MATLAB . Pe cran va apărea fereastra de comandă.

1. Modelarea semnalelor elementare.

1.1 Modelaţi un semnal periodic în formă dreptunghiulară folosind funcţia square, pentru aceasta culegeţi programa:

A=1;w0=10*pi;rho=0.5;t=0:.001:1;sq=A*square(w0*t+rho);plot(t,sq), grid, set (gca,'FontName', ...'ArialCyr','FontSize',16)title('Semnal periodic in forma dreptunghiulara')xlabel('t,sec'),ylabel('X(t)'),grid

Notă: Schimbaţi parametrii semnalului sq (A,w0 şi rho), notaţi noul semnal prin sq1. Afişaţi pe acelaş grafic semnalul iniţial şi sel modificat şi observaţi modificările întroduse asupra formei semnalului (plot (t,sq,t,sq1),... ).

1.2 Modelaţi un impuls în formă dreptungiulară folosind funcţia rectpuls: y=rectpuls(t,w), unde w este lăţimea, t este deplasarea de la t=0. Pentru aceasta culegeţi programa:

A=2;t=0:0.01:10;y=A*rectpuls(t-3,2)+ ...0.5*rectpuls(t-8,0.4)+ ...1.25*rectpuls(t-5,0.8);plot(t,y), grid, set (gca,'FontName', ...'Arial Cyr','FontSize',16)title('Exemplu de utilizare a procedurii rectpuls')xlabel('timpul(s)'),ylabel('functia y(t)'),grid

8

1.3 Modelaţi un semnal periodic în formă treungiulară folosind funcţia sawtooth, pentru aceasta culegeţi programa:

A=1;w0=10*pi;W=0.5;t=0:0.001:1;tri=A*sawtooth(w0*t+W);plot(t,tri), grid, set (gca, ...'FontName','Arial Cyr','FontSize',16)title('Exemplu de utilizare a procedurii sawtooth')xlabel('timpul(s)'),ylabel('functia try(t)'),grid

Notă: Schimbaţi parametrii semnalului tri (A,w0 şi W), notaţi noul semnal prin tri1. Afişaţi pe acelaş grafic semnalul iniţial şi sel modificat şi observaţi modificările întroduse asupra formei semnalului (plot (t,tri,t, tri1),... ).

1.4 Modelaţi un impuls în formă treungiulară folosind funcţia tripuls: y=tripuls(t,w,s). Pentru aceasta culegeţi programa:

t=0:0.01:10;y=0.75*tripuls(t-1,0.5)+ ...0.5*tripuls(t-5,0.5,-1)+ ...1.35*tripuls(t-3,0.8,1);plot(t,y), grid, set (gca,'FontName', ...'Arial Cyr','FontSize',16)title('Exemplu de utilizare a procedurii tripuls')xlabel('timpul(s)'),ylabel('functia y(t)'),grid

1.5 Modelaţi un semnal periodic în formă sinusoidală folosind funcţia cos, pentru aceasta culegeţi programa:

A=4;w0=20*pi;phi=pi/6;t=0:.001:1;cosine=A*cos(w0*t+phi);plot(t,cosine), grid, set (gca, ...'FontName','Arial Cyr','FontSize',16)

9

title('Exemplu de utilizare a procedurii cos')xlabel('timpul(s)'),ylabel('functia y(t)'),grid

1.6 Modelaţi un semnal discret în formă sinusoidală folosind funcţia cos, pentru aceasta culegeţi programa:

A=4;w0=20*pi;phi=pi/6;t=0:.005:1;cosine=A*cos(w0*t+phi);stem(t,cosine), grid, set (gca, ...'FontName','Arial Cyr','FontSize',16)title('Exemplu de utilizare a procedurii cos')xlabel('timpul(s)'),ylabel('functia y(t)'),grid

Notă: Schimbaţi parametrii semnalului cosine (A,w0 şi phi), notaţi noul semnal prin cosine1. Afişaţi pe acelaş grafic semnalul iniţial şi sel modificat şi observaţi modificările întroduse asupra formei semnalului (plot (t, cosine,t,cosine1),... ).

1.7 Modelaţi un semnal discret în formă sinusoidală şi reprzentaţi dependenţa în formă de histogramă, folosind funcţia bar, pentru aceasta culegeţi programa:

A=4;w0=20*pi;phi=pi/6;t=0:.005:1;cosine=A*cos(w0*t+phi);bar(t,cosine), grid, set (gca, ...'FontName','Arial Cyr','FontSize',16)title('Exemplu de utilizare a procedurii cos')xlabel('timpul(s)'),ylabel('functia y(t)'),grid

Notă: Schimbaţi parametrii semnalului cosine (A,w0 şi phi), notaţi noul semnal prin cosine1. Afişaţi pe acelaş grafic semnalul iniţial şi sel modificat şi observaţi modificările întroduse asupra formei semnalului (bar (t, cosine,t,cosine1),... ).

2. Modelarea semnalelor exponenţiale.

10

2.1 Modelaţi un semnal exponenţial cu valoarea crescândă folosind funcţia exp, pentru aceasta culegeţi programa:

B=1;a=5;t=0:.001:1;x=B*exp(a*t);plot(t,x), grid, set (gca,'FontName',...'Arial Cyr','FontSize',16)title('Exemplu de utilizare a procedurii exp')xlabel('timpul(s)'),ylabel('functia y(t)'),grid

Notă: Schimbaţi parametrii semnalului x (B şi a), notaţi noul semnal prin x1. Afişaţi pe acelaş grafic semnalul iniţial şi sel modificat şi observaţi modificările întroduse asupra formei semnalului (plot (t,x,t,x1),... ).

2.2 Modelaţi un semnal exponenţial cu valoarea descrescândă folosind funcţia exp, pentru aceasta culegeţi programa:

B=5;a=6;t=0:.001:1;x=B*exp(-a*t);plot(t,x), grid, set (gca,'FontName', ...'Arial Cyr','FontSize',16)title('Exemplu de utilizare a procedurii exp')xlabel('timpul(s)'),ylabel('functia y(t)'),grid

Notă: Schimbaţi parametrii semnalului x (B şi a), notaţi noul semnal prin x1. Afişaţi pe acelaş grafic semnalul iniţial şi sel modificat şi observaţi modificările întroduse asupra formei semnalului (plot (t,x,t,x1),... ).

2.3 Modelaţi un semnal exponenţial discret cu valoarea descrescândă folosind funcţia stem, pentru aceasta culegeţi programa:

B=5;r=0.85;n=-10:10;y=B*r.^n;

11

stem(n,y), grid, set (gca,'FontName', ...'Arial Cyr','FontSize',16)title('Exemplu de utilizare a procedurii exp')xlabel('timpul(s)'),ylabel('functia y(t)'),grid

Notă: Schimbaţi parametrii semnalului y (B şi r), notaţi noul semnal prin y1. Afişaţi pe acelaş grafic semnalul iniţial şi sel modificat şi observaţi modificările întroduse asupra formei semnalului (plot (t,y,t,y1,... ).

2.4 Modelaţi un semnal sinusoidal discret cu valoarea descrescândă folosind funcţia stem, pentru aceasta culegeţi programa:

A=60;w0=20*pi;phi=0;a=6;t=0:0.001:1;expsin=A*sin(w0*t+phi).*exp(-a*t);plot(t,expsin), grid, set (gca,'FontName','Arial Cyr', ...'FontSize',16)title('Exemplu de utilizare a procedurii exp')xlabel('timpul(s)'),ylabel('functia y(t)'),grid

Notă: Schimbaţi parametrii semnalului expsin (A,w0 şi a), notaţi noul semnal prin expsin1. Afişaţi pe acelaş grafic semnalul iniţial şi sel modificat şi observaţi modificările întroduse asupra formei semnalului (plot (t, expsin,t,expsin1),... ).

3. Funcţii speciale.

3.1 Modelaţi un semnal care va constitui o sinusoidă modulată după funcţia lui Gaus, folosind funcţia gauspuls, pentru aceasta culegeţi programa:

t=-10:.01:10;y=0.75*gauspuls(t+3,1,0.5);plot(t,y), grid, set (gca,'FontName', ...'Arial Cyr','FontSize',16)title('Exemplu de utilizare a procedurii gauspuls')

12

xlabel('timpul(s)'),ylabel('functia y(t)'),grid

Notă: Schimbaţi parametrii semnalului y, notaţi noul semnal prin y1. Afişaţi pe acelaş grafic semnalul iniţial şi sel modificat şi observaţi modificările întroduse asupra formei semnalului (plot (t, y,t, y1),... ).

3.2 Modelaţi un semnal care va constitui transformarea Fourier inversă a unui impuls dreptungiular cu lăţimea 2 şi înălţimea 1, folosind funcţia sinc, pentru aceasta culegeţi programa:

t=0:.01:50;y1=0.7*sinc(pi*(t-25)/5);plot(t,y1), grid, set (gca,'FontName', ...'Arial Cyr','FontSize',16)title('Exemplu de utilizare a procedurii sinc')xlabel('timpul(s)'),ylabel('functia y(t)'),grid

Notă: Schimbaţi parametrii semnalului y1, notaţi noul semnal prin y2. Afişaţi pe acelaş grafic semnalul iniţial şi sel modificat şi observaţi modificările întroduse asupra formei semnalului (plot (t, y1,t, y2),... ).

3.3 Modelaţi o cosinusoidă, frecvenţa căreia se schimbă linear cu timpul, folosind funcţia chirp, pentru aceasta culegeţi programa:

t=0:0.001:1;y=0.75*chirp(t);plot(t,y), grid, set (gca,'FontName', ...'Arial Cyr','FontSize',16)title('Exemplu de utilizare a procedurii chirp')xlabel('timpul(s)'),ylabel('functia y(t)'),grid


3.4 Modelaţi un semnal care va constitui dependenţa funcţiei Dirihlet, folosind funcţia diric, pentru aceasta culegeţi programa:

t=0:.01:50;y=0.7*diric(t,4);

13

plot(t,y), grid, set (gca,'FontName', ...'Arial Cyr','FontSize',16)title('Exemplu de utilizare a procedurii diric')xlabel('timpul(s)'),ylabel('functia y(t)'),grid


Conţinutul Dării de seamă.

- scopul lucrării,

- scurte noţiuni teoretice;

- programele de modelare a semnalelor.

- semnalele modelate,

- concluzii.

Literatura.

1. S.Haykin, B.V. Veen Signals and Sistems, New Yorc, 1999

2. D.M.Etter Engineering Problem Solving with MATLAB, Matlab

Curriculum Series, 1996.

14

Lucrarea de laborator N 2Studierea transformării Analog-Digitale a semnalelor folosind

MATLAB. Aproximarea datelor.

Scopul lucrării: Studierea transformării A/D a semnalelor folosind MATLAB.

Noţiuni teoretice.

Cele mai întrebuinţate semnale din punct de vedere practic, aşa ca semnalul vorbirii, semnalele biologice, semnalele seismice, semnalele radar, semnalele sonore şi diferite semnale de comunicaţie (audio şi video semnalele) sînt analogice. Pentru prelucrarea semnalelor analogice cu ajutorul procesoarelor digitale e necesar în primul rînd de a transforma semnalele în formă digitală. Această procedură se numeşte transformarea analog-digitală (A/D), şi corespunzător dispozitivul e numit convertor A/D. Conceptual procesul de transformare A/D e un proces cu trei trepte (fig.1).

Fig.1 Părţile componente ale convertorului A/D

1. Discretizarea – e numită conversia semnalului continuu în timp în semnal discret în timp prin luarea "probelor" din semnalul continuu în timp. Deci, dacă xa(t) este semnalul de întrare a discretizatorului,

15

atunci xa(nT)=x(n) este semnalul de ieşire, unde T este intervalul de discretizare.

2. Quantizarea – este conversia semnalului discret în timp cu valori continue în semnal discret în timp cu valori discrete în timp (semnal digital). Valoare fiecărei "probe" a semnalului e reprezentată printr-o valoare ce aparţine unui set de valori posibile. Diferenţa dintre "probele"nequantizate x(n) şi cele quantizate xq(n) se numeşte greşala (eroarea) quantizării.

3. Codarea - reprezentarea fiecărei valori quantizate a semnalului xq(n) printr-un şir de valori binare

În multe cazuri de interes practic (semnalul vorbirii) e necesar de a transformasemnalul digital în semnal de formă analogică. Procesul de conversie a semnalului digital în semnal analogic e cunoscut ca conversie digital-analogică (D/A).Orice conversie D/A e cunoscută ca "unirea probelor" în semnalul digital pentru transformarea semnalului digital în semnal analogic. Figura 2 ilustrează o simplă formă a transformării D/A, numită aproximarea pe trepte ("zero-order hold" – eng.).

Un alt exemplu de aproximare posibilă este conectarea liniară a perechilor consecutive a "probelor" (aproximarea liniară)

Fig. 2 Conversia A/D prin aproximarea pe trepte

Există multe forme de discretizare a semnalelor. Ne vom limita cu descrierea discretizării periodice sau discretizării uniforme, care este cea mai des folostă în practică. Discretizarea periodică se descrie :

x(n) = xa(nT) (1)

unde x(n) este semnalul discret în timp obţinut prin luarea "probelor" din semnalul analogic xa(t) în orice T secunde. Această procedură este ilustrată în fig. 3.

16

Fig.3 Discretizarea periodică a semnalului analog.

Intervalul de timp T între "probele" consecutive se numeşte perioada de discretizare, iar mărimea inversă - 1/T=F - este viteza de discretizare ("probe" pe secundă) sau frecvenţa de discretizare. După cum am menţionat mai sus , semnalul digital e o consecutivitate de numere ("probe") în care fiecare număr e reprezentat cu o precizie finită. Procesul de conversie a semnalului discret în timp cu o amplitudine continua într+un semnal discret în timp cu exprimarea fiecărei valori cu un număr finit de valori se numeşte quantizare. Eroarea întrodusă în reprezentarea semnalului cu valoarea continua cu un set de valori discrete se numeşte eroarea quantizării sau zgomotul quantizării.Operaţia quantizării a "probelor" x(n) ca Q[x(n)] , şi xq(n) - un şir de "probe" quantizate :

xq(n) = Q[x(n)] (2)

Eroarea quantizarii e definită ca un şir eq(n) de diferenţe dintre valorile quantizate şi valorile reale ale "probelor" :

eq(n)=xq(n) – x(n) (3)

Acest proces este ilustrat în fig. 4 , unde e reprezentat un exemplu de quantiyare a şirului : 0.94, n 0 X(n) = (4) 0, n 0

17

obţinut prin discretizarea semnalului analogic exponenţial xa=0.9t , t 0 cu frecvenţa de discretizare de 1 Hz.

Fig. 4 Ilustrarea quantizăriiÎn figura 5 este ilustrat procesul de discretizare şi quantizare a

semnalului analog sinusoidal :

xa(t)=Acos 0 t (5)

Liniile oriyontale reprezintă nivelele de quantizare. Liniile verticale repretintă timpul de discretizare.

Fig. 5 Discretizarea şi quantizarea semnalului sinusoidal.

Ordinea îndeplinirii lucrării de laborator.

18

1. Studierea transformării A/D 1.1 Lansaţi pachetul de programe MATLAB . Pe cran va apărea

fereastra de comandă.

1.2 Culegeţi comanda demo – va apărea fereastra cu exemple in

MATLAB.

1.3 Găsiţi directoriul "Блок-схемы " şi deschideţi-l, apoi deschideţi

directoriul "Блок-схемы DSP" . În acest directoriu găsiţi fişierul

"Sigma-Delta A/D conversion" şi startaţi programa de demonstrare.

Va apărea bloc-schema fig. 6.

Fig. 6 Bloc-schema convertorului A/D

1.4 Din comanda File deschideţi un nou fişier de modelare şi copiaţi

întreaga bloc-schemă în fişierul nou.

19

1.5 Startaţi modelarea şi urmăriţi semnalele de întrare şi de ieşire.

Schimbaţi forma semnalului (sinosoidal, treungiular) de la

„Generatorul de semnale” şi urmariţi transformarea acestora.

1.6 În directoriul "Блок-схемы DSP" găsiţi fişierul "Библиотека блок-

схем DSP" si deschideţi-l. Deschideţi fişierul "DSP Sincs", apoi

deschideţi fişierul "Simulink Sincs". Adăugaţi ecranul de vizionare a

semnalelor după fiecare bloc în bloc-schemă.

1.7 Startaţi simularea şi urmăriţi prelucrarea semnalului de fiecare bloc.

1.8 Schimbaţi forma semnalului de la sursa de semnale şi repetaţi p. 1.7

(semnal sinusoidal, în formă dreptungiulară şi în frmă de undă

treungiulară).

20

2. Aproximarea datelor.

2.1 Aproximarea polinomială.

Aproximarea polinomială se înfăptuieşte cu ajutorul procedurii

polyfit(X,Y,n), unde n este ordinul polinomului de aproximare.

Reprezentaţi pe un singur grafic dependenţele polinoamelor de

aproximare după cum urmează:

x=[1 2 3 4 5 6 7 8 9];y=[-1.1 0.2 0.5 0.8 0.7 0.6 0.4 0.1 -1];p1=polyfit(x,y,1);p2=polyfit(x,y,2);p3=polyfit(x,y,3);p4=polyfit(x,y,4);stem(x,y); holdx1=0.5:0.05:9.5;y1=polyval(p1,x1);y2=polyval(p2,x1);y3=polyval(p3,x1);y4=polyval(p4,x1);plot(x1,y1,x1,y2,x1,y3,x1,y4), grid, set(gca,'FontName', ...'Arial Cyr','FontSize',16)title('Aproximarea polinomiala')xlabel('Argumentul'),ylabel('functia'),grid

Notă: Schimbaţi parametrii semnalului y, notaţi noul semnal prin yp=[0.1 0.2 0.18 0.28 0.3 0.32 0.48 0.46 0.6] şi repetaţi aproximarea polinomială pentru noul semnal.

2.2 Aproximarea “cubic spline”.

Aproximarea “cubic spline” se înfăptuieşte cu ajutorul procedurii

spline(X,Y,Xi). Reprezentaţi aproximarea “cubic spline” după cum

urmează:

x=-0.5:0.1:0.3;y=[-1.1 0.2 0.5 0.8 0.7 0.6 0.4 0.1 -1];stem(x,y); holdx1=-0.5:0.01:0.3;

21

y2=spline(x,y,x1);plot(x,y,x1,y2), grid, set (gca,'FontName', ...'Arial Cyr','FontSize',16)title('Aproximarea cubic spline')xlabel('Argumentul'),ylabel('functia'),grid

Notă: Schimbaţi parametrii semnalului y, notaţi noul semnal prin ycs=[0.1 0.2 0.18 0.28 0.3 0.32 0.48 0.46 0.6] şi repetaţi aproximarea „cubic spline” pentru noul semnal.

2.3 Aproximarea tabelară unidimesională.

Aproximarea tabelară unidimesională se înfăptuieşte cu ajutorul

procedurii interpl(X,Y,Xi,'metoda'), şi permite de a indica metoda de

aproximare. unde n este ordinul polinomului de aproximare.

Reprezentaţi aproximarea lineară (nu se indică), pe praguri, cubică şi

“cubic spline” după cum urmează:

x=-0.5:0.1:0.3;y=[-1.1 0.2 0.5 0.8 0.7 0.6 0.4 0.1 -1];stem(x,y); holdx1=-0.5:0.01:0.3;y1=interp1(x,y,x1);y2=interp1(x,y,x1,'nearest');y3=interp1(x,y,x1,'cubic');y4=interp1(x,y,x1,'spline');plot(x1,y1,x1,y2,x1,y3,x1,y4), grid, set(gca,'FontName', ...'Arial Cyr','FontSize',16)title('Aproximarea prin procedura interpl')xlabel('Argumentul'),ylabel('functia'),grid

Notă: Schimbaţi parametrii semnalului y, notaţi noul semnal prin ytu=[0.1 0.2 0.18 0.28 0.3 0.32 0.48 0.46 0.6] şi repetaţi aproximarea tabelară unidimesională pentru noul semnal.


- scopul lucrării,

22


- bloc-schema convertorului A/D (perfecţionată).

- semnalele de intrare şi ieşire modelate (sinusoidal, dreptunghiular şi

triunghiular),

- textele programelor de aproximare şi figurele obţinute;

- concluzii.

Literatura.



Curriculum Series, 1996

23

Lucrarea de laborator N 3Sisteme Discrete în Timp.

Generarea zgomotului şi fultrarea lui.

Scopul lucrării: Generarea zgomotului şi filtrarea lui folosind Sistema Discretă în timp „M-point Moving Average Sistem”

Noţiuni teoretice.

Sitemă este numit orice dispozitiv sau algoritm, ce îndeplineşte operaţii asupra semnalului. Sistemă Discretă in Timp este numit orice dispozitiv sau algorotm, care influenţează asupra Semnalului discret în timp numit Semnal de Întrare sau Excitaţie – x(n)- în coordonare cu reguli bine definite pentru a obţine un alt semnal discret numit Semnal de eşire - y(n) – sau Răspuns (fig. 1) . Sau semnalul de întrare x(n) este transformat de sistemă în semnalul y(n) şi relaţia dintre x(n) şi y(n) este:

(1)unde simbolul T transformerea (sau operatorul) înfăptuită de sistemă asupra x(n) pentru a obţine y(n). Relaţia (1) este ilustrată în Fig. 1.

Descrirea relaţiei întrare-ieşire. Descrierea relaţiei întrare-ieşire constă expresii matematice sau reguli fixe, care definesc relaţia dintre semnalul de întrare şi semnalul de ieşire (relaţia întrare-ieşire). Structura internă exactă a sistemei deseori e necunoscută sau ignorată.

O notaţie alternativă a expresiei (1) este următoarea:

(2)24

Figura 1 Bloc diagrama representării a unei sisteme discrete.

care reprezintă y(n) ca răspunsul sistemei T la excitaţia x(n).

Reprezentarea sistemelor.Sumatorul. În Figura 2 este ilustrată o sistemă (Sumator) care

înfăptuieşte adunarea a două semnale pentru a obţine o a treia secvenţă (suma) y(n).

as y(n). Note that it is not necessary to store either one of the sequences in order to perform the addition. In other words, the addition operation is memoryless.

Multiplicatorul constant. Această sistemă este ilustrată în Figura 3 şi reprezintă multiplicarea cu o constantă a întrării x(n).

Multiplicatorul a două semnale. Figura 4 ilustrează multiplicarea a două semnale pentru a obţine un al treilea semnal (produsul), semnat în fugură cu y(n).

Mişcarea cu o unitate. Mişcarea cu o unitate este o sistemă care mişcă valorile semnalului cu o unitate. Figura 5 ilustrează această sistemă. Dacă semnalul de întrare este x(n), semnalul de ieşire va fi x(n - 1). Este folosit simbolul z-1 pentru a exprima această operaţie.

25

Figure 5 Reprezentarea grafică a mişcării cu o unitate.

Figure 2 Reprezentarea grafică a sumatorului.

Figura 4 Reprezentarea grafică a multiplicatorului.

Figura 3 Reprezentarea grafică a multiplicatorului constant.

Avansarea cu o unitate. Avansarea cu o unitate mişcă semnalul de întrare x(n) în aşa fel că semnalul de ieşire x(n +1).

Classificarea sistemelor.

Sisteme Statice şi Sisteme dinamice. Sistema este numită Statică sau fără memorie dacă Semnalul de ieşire în orice moment n depinde de semnalul de întrare la acelaş moment n , şi nu de momentele precedente sau viitoare. În orice alt caz sistema este Dinamică cau cu memorie. Dacă semnalul de ieşire la un moment n depinde de semnalul de întrare cu intervalul n-N – pînă la n, atunci Sistema are o memorie cu durata N. Dacă N=0 , sistema este Statică.

Sistemele descries prin relaţiile de întrare ieşire de mai jos sunt sisteme statice:

(3)Sistemele descries prin relaţiile de întrare ieşire de mai jos sunt

sisteme dinamice:

(4)

Sisteme Invariante în Timp. Sistema este numită invariantă în timp, dacă caracteristica Intrare-Ieşire nu depinde de timp. Dacă schimbăm semnalul de întrare cu kunităţi – x(n-k) – la ieşire vom primi y(n-k).

(5)

Câteva exemple de sisteme variente în timp:

a) c)

26

b) d)

Sisteme neliniare şi Sisteme liniare. Sistema este numită liniară dacă satisface condiţia de suprapunere – răspunsul sistemei la suma unor semnale este egală cu suma răspunsurilor sistemei la fiecare semnal aparte (fig.7):

(6)

Fig. 7

Un exemplu simplu de Sistemă discretă în Timp este sistema MAF ( „M-point Moving Average Sistem”), definină :

(4)

Fie că avem un semnal s(n), afectat de zgomot d(n) pentru n>0 în rezultatul măsurărilor:

x(n)=s(n) + d(n) (5)

În lucrarea de laborator se propune de a reduce efectul afectării semnalului original de către zgomot. Pentru atingerea acestui scop se propune folosirea Sistemei MAF („Moving Average Filter”).


27

Figure 6 Exemple de sisteme variante în timp.


1. Cercetarea proceselor aleatorii.

1.1 Zgomotul alb cu reprezentare după dependenţa gauss este

realizat de către procedura rand. Generaţi un proces aleatoriu după cum

urmează:

Ts=0.01;t=0:Ts:5;x1=rand(1,length(t));plot(t,x1), grid, set (gca,'FontName', ...'Arial Cyr','FontSize',16)title('Exemplu de utilizare a procedurii rand')xlabel('timpul(s)'),ylabel('functia y(t)'),grid

1.2 Reprezentaţi această dependenţă în formă de histogramă:

Ts=0.01;t=0:Ts:5;x1=rand(1,length(t));hist(x1,t), grid, set (gca,'FontName', ...'Arial Cyr','FontSize',16)title('Exemplu de utilizare a procedurii rand')xlabel('timpul(s)'),ylabel('functia y(t)'),grid

1.3 Repetaţi p. 1.1 pentru Ts=0.001:

Ts=0.001;t=0:Ts:5;x2=rand(1,length(t));plot(t,x2), grid, set (gca,'FontName', ...'Arial Cyr','FontSize',16)title('Exemplu de utilizare a procedurii rand')xlabel('timpul(s)'),ylabel('functia y(t)'),grid

28

1.4 Reprezentaţi dependenţă funcţiei x2 în formă de histogramă:

Ts=0.001;t=0:Ts:5;x2=rand(1,length(t));hist(x2,t), grid, set (gca,'FontName', ...'Arial Cyr','FontSize',16)title('Exemplu de utilizare a procedurii rand')xlabel('timpul(s)'),ylabel('functia y(t)'),grid

1.5 Proiectaţi un filtru digital de ordinul doi cu frecvenţa oscilaţiilor

proprii 1 Hz, lansaţi prin acest filtru semnalul x1 şi afişaţi semnalul la ieşirea

filtrului:

Ts=0.01;

om0=2*pi;

dz=0.005;

A=1;

oms=om0*Ts

a(1)=1+2*dz*oms+oms^2;

a(2)=-2*(1+dz*oms);

a(3)=1;

b(1)=A*2*oms^2;t=0:Ts:50;x1=rand(1,length(t));y1=filter(b,a,x1);plot(t,y1), grid, set (gca,'FontName', ...'Arial Cyr','FontSize',16)title('Exemplu de utilizare a procedurii rand')xlabel('timpul(s)'),ylabel('functia y(t)'),grid

1.6 Repetaţi p. 1.5 pentru semnalul x2:

Ts=0.001;

29

om0=2*pi;

dz=0.005;

A=1;

oms=om0*Ts


a(2)=-2*(1+dz*oms);

a(3)=1;

b(1)=A*2*oms^2;t=0:Ts:50;x2=rand(1,length(t));y2=filter(b,a,x2);plot(t,y2), grid, set (gca,'FontName', ...'Arial Cyr','FontSize',16)title('Exemplu de utilizare a procedurii rand')xlabel('timpul(s)'),ylabel('functia y(t)'),grid

2. Filtrarea semnalelor afectate de zgomot.

1. Generaţi un semnal original nafectat de zgomot s(n) :

% Generarea unui semnal neafectatR = 50;m = 0:1:R-1;s = 2*m.*(0.9.^m) ;stem(m,s)xlabel('Indecsul de timp n'); ylabel('Amplituda')title('Semnalul original')

30

2. Generaţi un zgomot, folosind funcţia rand cu ajutoul programei ce

urmează :% Generarea zgomotuluiR = 50;m = 0:1:R-1;d = rand(1,R)-0.5;stem(m,d)xlabel('Indecsul de timp n'); ylabel('Amplituda')title('Zgomotul ')

3. Reprezentaţi aceste semnale un altă formă, culegînd programa :

% Generarea unui semnal neafectat şi a zgomotuluiR = 50;m = 0:1:R-1;s = 2*m.*(0.9.^m) ;d = rand(1,R)-0.5;plot(m,d,'r-',m,s,'b--')xlabel('Indecsul de timp n'); ylabel('Amplituda')title('Semnalul original şi zgomotul')

4. Sumaţi aceste două semnale :

% semnalul afectat de zgomotşi cel originalR = 50;m = 0:1:R-1;s = 2*m.*(0.9.^m) ;d = rand(1,R)-0.5;x=s+d;plot(m,x,'r-',m,s,'b--')xlabel('Indecsul de timp n'); ylabel('Amplituda')title('Semnalul original şi afectat de zgomot ')

5. Proiectaţi un filtru MAF şi filtraţi semnalul afectat de zgomot.

Reprezentaţi pe un grafic semnalul deja filtrat şi cel original, pentru

aceasta :

% filtrarea semnalului afectat de zgomot

31

R = 50;m = 0:1:R-1;s = 2*m.*(0.9.^m) ;d = rand(1,R)-0.5;x=s+d;M=3;b=ones(M,1)/M;y=filter(b,1,x);plot(m,s,'r-',m,y,'b--')xlabel('Indecsul de timp n'); ylabel('Amplituda')title('Semnalul original şi semnalul filtrat ')


- scopul lucrării,

- programele şi semnalele obţinute.

- concluzii.

Literatura.



Curriculum

eries, 1996

Lucrarea de laborator N 4

32

Convoluţia a două secvenţe şi proprietăţile ei.

Scopul lucrării: Cercetarea convoluţiei două secvenţe şi proprietăţior ei.

Noţiuni teoretice.

Tehnici de analiză a sistemelor lineare.Există două tehnici de analiză a sistemelor lineare cu scopul găsirii

răspunsului sistemei la semnalul dat de întrare. Prima metodă e bazată pe soluţia directă a ecuaţiei de întrare-ieşire a sistemei, care are forma:

(1)

Pentru sistemele LTI forma generală a ecuaţiei de întrare-ieşire a sistemei este:

(2)

unde {ak} şi {bk} sunt parametrii constanţi care specifică sistema şi sunt independenţi de x(n) şi y(n).

Metoda a doua de analiză a comportării sistemei la un semnal dat la întrare este bazată pe descompunerea semnalului de întrare într-o sumă de semnale elementare. Semnalele elementare sunt alese în aşa fel, ca răspunsul sistemei la fiecare semnal elementar este uşor de găsit. Apoi, folosind proprietatea de linearitate a sistemei, răspunsurile sistemei la semnalele elementare sunt sumate pentru a găsi răspunsul total al sistemei la semnalul de întrare.

Fie că semnalul de întrare x (n) este descompus într-o sumă scalată de semnale elementare {xk(n)} după cum urmează:

(3)

unde {ck} este un set de amplitude (coeficienţi de scalare) în descompunerea semnalului x(n). Fie că răspunsul sistemei la semnalul elementar xk(n) este yk(n). Atunci:

(4)

iar răspunsul sistemeui la ckxk(n) este ckyk(n), ca consecinţă a proprietăţii de scalare a sistemei lineare. În final, răspunsul total al sistemei la semnalul de întrare x(n) este:

33

(5)

In (1.35) we used the additivity property of the linear system.

Dacă semnalul de întrare x(n) este periodic cu perioada N, este mai convinabil mathematic de a allege semnalele elementare:

(6)unde frecvenţele {ωk} asunt associate (harmonically related) în felul următor:

(7)

Frecvenţa 2π / N este numită frecvenţa fundamentală.For the resolution of the input signal into a weighted sum of unit

sample sequences, we must first determine the response of the system to a unit sample sequence and then use the scaling and multiplicative properties of the linear system to determine the formula for the output given any arbitrary input. This development is described in detail as follows.

Descompunerea semnalului în semnale elementareFie că avem un semnal elementar x(n) pe care îl vom descompuneîntr-

o sumă de impulsuri-unitate. we wish to resolve into a sum. Vom alege semnalul elementar (impulsul-unitate) xk(n) în felul murmător:

(8)unde k reprezintă deplasare umpulsului-unitate.

Să multiplicăm secvenţele x(n) şi δ (n - k). Secvenţa δ(n - k) este zero oriunde cu excepţia n = k, unde valoare ei este ugală cu unu. Rezultatul multiplicării ecte o altă secvenţă, este zero oriunde cu excepţia n = k, unde valoarea ei este x(k), după cum este ilustrat în figura 1. Atunci:

(9)

34

k

n

n

n

n

n

n

n

-3 –2 –1 0 1

x(n)

(n-k)

x(n) (n-kk)

0

n

0

n

este o secvenţă care este zero oriunde cu excepţia n = k, unde valoarea ei este x(k). Dacă vom repeat multiplicarea semnalului x(n) cu δ (n - m), unde m este o altă deplasare (m = k), rezultatul va fi o altă secvenţă care este zero oriunde cu excepţia n = m, iar valoarea ei va fi x(m). Deci

(9-a)Cu alte cuvinte fiecare multiplicare a semnalului x(n) cu impulsul-unitate la o deplasare k, [ δ (n - k)], amplasează valoarea x (k) semnalului a semnalului x (n) la deplasarea unde umpulsul-unitate este nonzero. Consecutiv, dacă repetăm multiplicarea la toate deplasările posibile, -∞ < k < ∞, şi sumăm toate secvenţele-produs, acest rezultat va fie gal cu secvenţa x(n), deci,

(9-b)

Partea dreaptă a egalităţii (1.39b) este o sumă de un număr infinit de impulsuri-unitate δ (n - m), care au amplitude x(k). Deci partea dreaptă a egalităţii (1.39b) reprezintă descompunerea semnalului arbitrar x(n) într-o sumă scalată de immpulsuri-unitate deplasate.

Suma convoluţiei.Având descompunerea semnalului arbitrar x(n) într-o sumă scalată

de immpulsuri-unitate deplasate, putem determina răspunsul sistemei la

35

Fig. 1

orice semnal de întrare. Mai întâi vom nota răspunsul y(n, k) sistemei la impulsul unitate la n = k printr-un symbol special y the special h( k), -∞ < k < ∞. Deci,

(10)

În (10) am notat prin n indicele timpului iar prin k parametrul care arată locaţia impulsului-unitate de întrare. Dacă impulsul unitate este scalat cu ck

== x(k), răspunsul sistemei va vi de asemenea scalat:(11)

În final, dacă întrarea este un semnal arbitrar x(n) şi este exprimat printr-o sumă scalată de impulsuri-unitate:

(12)

atunci răspunsul sistemei la x(n) este corespunzător o sumă de răspunsuri scalate:

(13)Expresia (13) este răspunsul sistemei lineare la un semnal arbitrar de

întrare x(n). Această expresie este o funcţie atât de x(n) cât şi de δ(n,k) – răspunsul sistemei la impulsul-unitate δ (n - k) pentru -∞ < k < ∞.

Dacă sistema este invariantă în timp, expresia (13) se reduce considerabil. Dacă răspunsul sistemei LTI la impulsul-unitate δ(n) este h(n), atunci:

(14)şi după proprietatea invariantă în timp, răspunsul sistemei la impulsul-unitate deplasat δ (n - k) va fi:

(15)Consecutiv formula (13) se reduce la:

(16)

Observăm, că sistema LTI este complet caracterizată de funcţia h(n), numită răspunsul ei la impulsul-unitate δ 8(n).

Expresia (16) arată răspunsul y(n) sistemei LTI ca funcţie de semnalul de întrare x (n) şi răspunsul la impulsul unitate h (n) şi această expresie este numită suma convoluţiei. Se spune că întrarea x(n) este în convoluţie cu răspunsul h(n) pentru a găsi răspunsul y(n).


36


1. Generaţi două secvenţe finite a(n) şi b(n) cu lungimea 5 şi 4 respectiv :

% Generarea a două secvenţea=[-2 0 1 –1 3];b=[1 2 0 –1];m=5;n=1:1:m;c=4;l=1:1:c;subplot(2,1,1);stem(n,a);xlabel(‘Indecsul de timp n’); ylabel(‘Amplituda’)title(‘Secvenţa „a”’)subplot(2,1,2);stem(l,b);xlabel(‘Indecsul de timp n’); ylabel(‘Amplituda’)title(‘Secvenţa „b”’)

2. Efectuaţi operaţia de convoluţie a acestor două secvenţe, pentru aceasta :

% Convoluţia a două secvenţea=[-2 0 1 –1 3];b=[1 2 0 –1];c=conv(a,b);m=8;n=1:1:8;disp(‘secventa de iesire=’);disp(c)stem(n,c)xlabel('Indecsul de timp n'); ylabel('Amplituda')title('Convolutia secventei a(n) si b(n)')

3. Determinaţi Transformarea Fourier a secvenţelor a(n) şi b(n), apoi produsul transformărilor obţinute.Acest produs este egal cu Transformarea Fourier a convoluţiei semnalelor a(n) şi b(n). Deci detrminînd Transformarea Fourier Inversă a produsului Transformărilor Fourier a secvenţelor a(n) şi b(n), obţinem convoluţiei semnalelor a(n) şi b(n).

37

% Generarea a două secvenţea=[-2 0 1 –1 3];b=[1 2 0 –1];m=8;n=1:1:8;% Transformarea Fourier a secventelorAE=fft(a,m);BE=fft(b,m);%Transformarea Fourier Invesa a produsului AE*BEy1=ifft(AE.*BE);%Eroarea convolutiei circulare si directec=conv(a,b);%Afisarea Transformarii Fourier Invesa a produsului AE*BE stem(n,y1)xlabel('Indecsul de timp n'); ylabel('Amplituda')title(' Transformarea Fourier Invesa a produsului AE*BE');

4. Comparati convolutia obtinuta cu cea initiala.Aflaţi eroarea dintre convoluţia iniţială şi cea obţinută :

% Generarea a două secvenţea=[-2 0 1 –1 3];b=[1 2 0 –1];m=8;n=1:1:8;% Transformarea Fourier a secventelorAE=fft(a,m);BE=fft(b,m);%Transformarea Fourier Invesa a produsului AE*BEy1=ifft(AE.*BE);%Eroarea convolutiei circulare si directec=conv(a,b);error=c-y1;%Afisarea convolutiei initiale, Transformarii Fourier Invesa a produsului AE*BE si a Erorii convolutiei circulare si directesubplot(3,1,1)stem(n,c)xlabel('Indecsul de timp n'); ylabel('Amplituda')title(' Convolutia secventelor a(n) si b(n)');subplot(3,1,2)stem(n,y1)xlabel('Indecsul de timp n'); ylabel('Amplituda')title(' Transformarea Fourier Invesa a produsului AE*BE');

38

subplot(3,1,3)stem(n,abs(error))xlabel('Indecsul de timp n'); ylabel('Amplituda')title(' Eroarea convolutiei circulare si directe');

5. Metoda menţionată efectuează convoluţia a două semnale integral. În unele aplicaţii e necesar de a efectua convoluţia semnalului în măsura formării sau măsurării lui. În aşa caz se efectuează convoluţia pe blocuri, în care semnalul este divizat pe blocuri şi se efectuează convoluţia pe blocuri.

Fie că avem două semnale de tipul unui semnal de întrare şi al doilea – răspunsul sistemei la impulsul unitate:

h=[1 4 2];x=[1 2 3 4 5 4 3 3 2 2 1 1];

Determinaţi convoluţia lineară:

h=[1 4 2];x=[1 2 3 4 5 4 3 3 2 2 1 1];c=conv(x,h);m=14;n=1:1:14;disp(‘secventa de iesire=’);disp(c)stem(n,c)xlabel('Indecsul de timp n'); ylabel('Amplituda')title('Convolutia secventei x(n) si h(n)')

Împărţiţi semnalul de întrare în două blocuri a câte 6 probe şi prelucraţi aceste blocuri separat:

x1=x(1:6);h=[1 4 2];c1=conv(x1,h);m=8;n=1:1:8;disp(‘secventa de iesire=’);disp(c1)stem(n,c1)xlabel('Indecsul de timp n'); ylabel('Amplituda')title('Convolutia primului bloc')

şi:

39

x2=x(7:end);h=[1 4 2];c2=conv(x2,h);m=8;n=1:1:8;disp(‘secventa de iesire=’);disp(c2)stem(n,c2)xlabel('Indecsul de timp n'); ylabel('Amplituda')title('Convolutia blocului doi')

Rezultatul convoluţiei finale se află:

y_add=[c1(1:6) c1(7:8)+ c2(1:2) c2(3:end)];m=14;n=1:1:14;disp(‘secventa de iesire=’);stem(n,y_add)xlabel('Indecsul de timp n'); ylabel('Amplituda')title('Convolutia secventei x(n) si h(n)')


- scopul lucrării,



- concluzii.

Literatura.



Curriculum

eries, 1996

40

Lucrarea de laborator N 5Studierea Z-Transformării directe şi factorială. Determinarea

Regiunii de Convergenţă.

Scopul lucrării: Studierea Z-Transformării directe şi factorială. Determinarea Regiunii de Convergenţă

Noţiuni teoretice.

Z-transformarea directăZ-transformarea directă a semnalului x(n) este definită ca o serie de

putere:

(1)unde z este o variabilă complexă. Relaţia (1) este numită Z-transformarea directă deoarece transformă semnalul din domeniul de timp x(n) în reprezentarea lui pe planul complex X(z). Procedura obţinerii semnalului x(n) din X(z) se numeăte Z-transformarea inversă..

Deseori Z-transformarea semnalului x(n) se notează:

(2)sau relaţia dintre x(n) şi X(Z) este indicată:

(3)Z-transformarea este o serie de putere infinită. Regiunea de

convergenţă (ROC) a X(z) este un set de valori a valorii z pentru care X(z) ia valori finite.

Din punct de vedere matematic Z-transformarea semnalului x(n) este o reprezentare alternativă compactă a semnalului.

41

Fie variabila complexă z în formă polară este exprimată :

(4)unde r= şi z. Atunci X(z) poate fi exprimată:

(5)

z=rej = r-ne-j n

În ROC a X(z), < . Însă

(6)Deci |X(z)| este finită dacă secvenţa x(n)r-n este absolut sumabilă.

Problema găsirii ROC pentru X(z) este echivalentă cu deterninarea valorilor r pentru care secvenţa x(n)r-n este absolut sumabilă. Să ecsprimăm (6) prin:

(7)

Dacă x(z) este convergent pe o regiune a planului complex, ambele sume din (7) trebuie să fie finite.În prima sumă din (7) treuie să ecziste un aşa r valorila mai mici decât care satisfac condiţia ca secvenţa x(-n)r-n , , să fie absolut sumabilă. Deci ROC a primei sume constă din toate punctele din interiorul unui cerc cu raza r1, unde r1< , cun este ilustrat în Fig. 4.1a.

42

Fig. 1

Pe de altă parte, pentru suma a doua din (7) treuie să ecziste un aşa r valorile mai mari decât care satisfac condiţia ca secvenţa x(n)/rn, , să fie absolut sumabilă. Deci ROC a sumei a doua constă din toate punctele din exteriorul unui cerc cu raza r2, cun este ilustrat în Fig. 2.

Fig. 2

Deci convergenţa X(z) necesită ca ambele sume din(7) să fie finite, sau ROC pentru X(z) este regiune a z-planului, r2 < r < r1, care este o regiune comună unde ambele sume să fie finite.Această regiune este ilustrată în Fig. 3.

43

r

r2

Fig.3

Să determinăm Z-transformarea semnalului:

(8)

Soluţie: După definiţie :

(9)

Dacă sau echivalent , |z| > , această serie de putere este

convergentă pe 1/(1- )Deci avem perechea Z-transformării:

ROC (10)

ROC este exteriorul unui cerc ce are raza | |. În Figura 4 este arătat graficul semnalului x(n) şi Regiunea de Convergenţă corespunzătoare acestui semnal.

Dacă vom nota = 1 vom obţine Z-transformarea:

ROC (11)

44

Fig.4


1. Determinaţi forma factorială a z-transformării următoare. Afişaţi

„POLES” şi „ZERO” –urile transformării obţinute:

% Deterinarea formei factorialenum=[2 16 44 56 32];den=[3 3 –15 18 –12];[z,p,k]=tf2zp(num,den);m=abs(p);disp(‘ZEROS sunt la’);disp(z);disp(‘POLES sunt la’);disp(p);disp(‘Constanta GAIN este la’);disp(k);disp(‘Raza POES-urilor sunt’);disp(m);sos=zp2sos(z,p,k);disp(‘Sectiunea de ordinul doi’);disp(real(sos));zplane(num,den)

45

-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Real Part

Imag

inar

y P

art

>> ZEROS sunt la -4.0000 -2.0000 -1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i

POLES sunt la 0.1816 + 2.1444i 0.1816 - 2.1444i -0.6816 + 0.6317i -0.6816 - 0.6317i

Constanta GAIN este la 0.6667

Raza POES-urilor sunt 2.1521 2.1521 0.9293

46

0.9293

Sectiunea de ordinul doi 0.6667 4.0000 5.3333 1.0000 -0.3632 4.6315 1.0000 2.0000 2.0000 1.0000 1.3632 0.8637

Deci forma factoriala a expresiei (1) va fi:

(2)

Din expresia (2) Regiunea de Convergenţă va fi:

3. Repetaţi determinarea formei factoriale a z-transformării următoare. Afişaţi

„POLES” şi „ZERO” –urile transformării obţinute:

4. Cercetarea Z-transformării CZT.

- Din meniul „MATLAB DEMO” selectaţi „Toolboxex”, apoi „Signal processing”.Selectaţi „Chirp Z-Transform” şi lnsaţi aplicaţia apăsând „Run Chirp Z-Transform”

47

Pe ecran va apărea interfaţa

- Schimbaţi valorile R1, R2, Fs, Fmin, Fmax şi cecetaţi influienţa acestora asupra Magnitudei şi părţii imaginare a Z-transformării.


- scopul lucrării,


- concluzii.

Literatura.



Curriculum

eries, 1996

48

Lucrarea de laborator N 6Analiza domeniului de frecvenţa a semnalelor folosind MATLAB

Scopul lucrării: Analiza domeniului de frecvenţă a semnalului Sinusoidal folosind MATLAB.

Noţiuni teoretice.

La discretizarea semnalului continuu f(t) în orice T secunde obtinem o consecutivitate de valori ale semnalului original : fk=f(kT). Notarea vectorului în MATLAB se începe cu 1 : x(1), x(2) ….. Notarea semnalelor de obicei startează cu zero – g0, g1, …, cît şi co orice altă valoare, inclusiv negativă – h-2, h-1, h0 …. Dacă semnalele g şi h conţin cîte 10 valori,

49

atunci vectorii corespunzători vor conţine de asemenea 10 valori : vectorul kg va conţine valorile de la 0 .. 9 iar vectorul kh va conţine valorile –2 .. 7. Domeniul de frecvenţă a semnalelor poate fi reprezentat prin valori complexe care reprezintă sinusoidele ce fac parte din semnal. Algoritmul Transformării Fourier Discrete (TFD) se foloseşte pentru a transforma semnalul digital din domeniul de timp într-un set de puncte în domeniul de frecvenţă. Intrarea algoritmului TFD este un set de N valori din dimeniul de timp [fk] : algoritmul modelează un set de N valori complexe [Fk] care reprezintă informaţia despre domeniul de frecvenţă. Dacă N este un număr cu baza 2 (N=2M) atunci se foloseşte Transformarea Fourier Rapidă (TFR).

Fie că un semnal digital a fost discretizat la orice T secunde, sau avem 1/T probe pe secundă. Alegerea vitezei de quantizare se efectuiază în aşa fel ca să fie eliminată suprapunerea , problemă ce apare cînd discretizarea e prea lentă. Pentru a inlătura această problemă discretizarea se efectuiază cu o viteză mai mare decît dublul frecvenţei a fiecărui semnal sinusoidal. Dacă avem un semnal ce comţine două sinusoide cu frecvenţa 10 şi respectiv 35 Hz, discretizarea se efectuiază la o fracvenţă mai mare decît 70 Hz. Frecvenţa Nyquist este egală cu jumătate din frecvenţa de quantizare şi reprezintă limita de sus a frecvenţei care trebuie să se conţină în semnalul digital. Funcţia MATLAB care transformarea TFD este fft. Această funcţie poate fi folosită cu un sau cu două argumente la întrare. Dacă se foloseşte un singur argument care este un vector ce conţine un semnal în timp, ieşirea acestei funcţii va fi un alt vector de acelaş tip ce conţine valori complexe care reprezintă conţinutul de frecvenţă a semnalului. Dacă se folosesc două argumente – primul este un vector ce conţine semnalul în timp, iar al doilea argument este o valoare integră L care specifică numărul de puncte a vectorului de ieşire. Dacă L > N atunci L-N zerouri vor fi aplicate la sfîrşitul semnalului în timp înainte de procesul de transformare. Dacă L < N,

50

atunci primele L valori ale semnalului în timp vor fi folosite pentru transformare în domeniul de frecvenţă.

Valorile domeniului de frecvenţă prin folosire fft corespund frecvenţelor separate cu 1/NT Hz. Dacă avem 32 de probe a semnalului în timp care a fost discretizat cu frecvenţa de 1000 Hz, valorile frecvenţei transformate prin fft corespund : 0 Hz, 1/0.032 Hz, 2/0.032 Hz … .Aceste valori sînt 0 Hz, 31.25 Hz , 62.5 Hz … . Frecvenţa Nyquist este egală cu 1/2T şi va corespunde cu F16

. Deci, TFD este o funcţie periodică şi valorile frecvenţei mai mari decît frecvenţa Nyquist nu reprezintş informaţie nouă,



I Transformarea Fourier.

51

1.1 Generaţi un semnal în timp, care conţine 64 de probe. Pentru aceasta culegeţi :

N=64;T=1/128;k=0:N-1;f=sin(2*pi*20*k*T);plot(k,f),grid, set (gca,'FontName', ...'Arial Cyr','FontSize',16)xlabel('Indecsul k'); ylabel('Y(t)')title('Semnalul original ')

Semnalul f este o sinusoidă cu frecvenţa 20 Hz discretizat cu frecvenţa de 128 Hz. Dacă f este o singură sinusoidă , atunci conţinutul de frecvenţă va fi zero cu excepţia punctului în domeniul de frecvenţă care corespunde 20 Hz.

1.2. Pentru a determina Fk care corespunde frecvenţei 20 Hz se

modelează creşterea în Hz dintre punctele din domeniul de frecvenţă care

este 1/NT sau 2 Hz. . Acum componenta cu 20 Hz va apărea la F10

N=64;T=1/128;k=0:N-1;f=sin(2*pi*20*k*T);F=fft(f);magF= abs(F);plot(k,magF) ,grid, set (gca,'FontName', ...'Arial Cyr','FontSize',16)xlabel('Indecsul k'); ylabel('Modulul')title('fft a semnalul original ')

Din figură se vede că componenta cu 20 Hz este repetată de asemenea la F54

ca o cauză a periodicităţii TFD. De asemenea vectorul k conţine notaţia ce

corespunde semnalelor f şi F.

1.3 In genere se recomandă de a desena numai jumătate din valorile modulului . De Asemenea este mai convenabil de a prezenta axa x în Hz faţă de indicele k. Pentru aceasta culegeţi programa :

52

N=64;T=1/128;k=0:N-1;f=sin(2*pi*20*k*T);F=fft(f);magF= abs(F);hertz=k*(1/(N*T));plot(hertz(1:N/2),magF(1:N/2)) ,grid, ...set (gca,'FontName','Arial Cyr','FontSize',16)xlabel('Frecvenţa Hz'); ylabel('Modulul')title('fft a semnalul original ')

1.4 Să presupunem că frecvenţa sinusoide era de 19 Hz (în loc de 20) . Pasul de creştere a valorilor Fk în Hz este de 2 Hz, deci sinusoida va apărea la Fk unde k=9.5. Însă k este integră şi nu sunt valori la F9.5. În acest caz sinusoida va apăra la valorile vecine F9 şi F10. Pentru a ilustra aceasta, culegeţi:

N=64;T=1/128;k=0:N-1;f=sin(2*pi*19*k*T);F=fft(f);magF= abs(F);hertz=k*(1/(N*T));plot(hertz(1:N/2),magF(1:N/2)), grid, set (gca,'FontName',...'Arial Cyr','FontSize',16)xlabel('Frecvenţa Hz'); ylabel('Modulul')title('fft a semnalul original ')

II Determinarea modului şi fazei Transformării Fourier.

2.1 Creaţi un semnal după cum urmează:

t = (0:1/99:1); % Vectorul de timp

53

x = sin(2*pi*15*t) + sin(2*pi*40*t); % Semnalul

% determinarea DFT, magnituda şi faza secvenţei x

y = fft(x); % Modelarea DFT m = abs(y); p = unwrap(angle(y)); % Magnituda şi faza

% afişarea magnitudei şi fazei

f = (0:length(y)-1)*99/length(y); % Vectorul frecvenţei

plot(f,m); title('Magnitude');

set(gca,'XTick',[15 40 60 85]);

figure; plot(f,p*180/pi); title('Faza');

set(gca,'XTick',[15 40 60 85])

III Determinarea Transformării Fourier a umpulsului

dreptungiular

3.1 Modelaţi un semnal după cum urmează:

A=0.75;w=0.5;Ts=0.01; T=100;t=0:Ts:T;y=A*rectpuls(t,w);stem(t(1:100),y(1:100)), grid, set (gca,'FontName', ...'ArialCyr','FontSize',16)title('Semnal periodic in forma dreptunghiulara')xlabel('t,sec'),ylabel('Y(t)'),grid

3.2 Aplicaţi procedura fft şi afişaţi dependenţa modului de frecvenţă

după cum urmează:

A=0.75;w=0.5;Ts=0.01; T=100;

54

t=0:Ts:T;y=A*rectpuls(t,w);x=fft(y);df=1/T; Fmax=1/Ts;f=0:df:Fmax;a=abs(x);stem(f,a), grid, set (gca,'FontName', ...'ArialCyr','FontSize',16)title('Modului TF a semnalui periodic in forma dreptunghiulara')xlabel('Frecvenţa Hz'),ylabel('Modulul'),grid

3.3 Aplicaţi procedura fftshift şi afişaţi dependenţa modului de frecvenţă:

A=0.75;w=0.5;Ts=0.01; T=100;t=0:Ts:T;y=A*rectpuls(t,w);x=fft(y);xp=fftshift(x);a=abs(xp);df=1/T; Fmax=1/Ts;f1=-Fmax/2:df:Fmax/2;stem(f1,a), grid, set (gca,'FontName', ...'ArialCyr','FontSize',16)title('Modului TF a semnalui periodic in forma dreptunghiulara')xlabel('Frecvenţa Hz'),ylabel('Modulul'),grid

3.4 Afişaţi pe o singură dependenţă modulul şi faza TF:

A=0.75;w=0.5;Ts=0.01; T=100;t=0:Ts:T;y=A*rectpuls(t,w);x=fft(y);xp=fftshift(x);df=1/T; Fmax=1/Ts;

55

f1=-Fmax/2:df:Fmax/2;dch=real(xp); mch=imag(xp);plot(f1,dch,f1,mch), grid, set (gca,'FontName', ...'ArialCyr','FontSize',16)title('Modulul şi faza TF a semnalui periodic in forma dreptunghiulara')xlabel('Frecvenţa Hz'),ylabel('Modulul şi faza'),grid

VI TFD a zgomotului “alb”:

Deseori Transformarea Fourier este utilizată pentru determinarea

componentelor de frecvenţă a semnalelor afectate de zgomot.

4.1 Generaţi un proces în forma zgomotului “alb”:

Ts=0.01; T=50;t=0:Ts:T;x1=rand(1,length(t));plot(t,x1), grid, set (gca,'FontName', ...'ArialCyr','FontSize',16)title('Zgomot alb')xlabel('Timpul'),ylabel('X1(t)'),grid

4.2 Proiectaţi un filtru şi filtraţi zgomotul “alb”:

Ts=0.01; T=50;t=0:Ts:T;x1=rand(1,length(t));om0=2*pi; dz=0.05; A=1; oms=om0*Ts;a(1)=1+2*dz*oms+oms^2;a(2)=-2*(1+dz*oms);a(3)=1;b(1)=A*2*dz*oms^2;y1=filter(b,a,x1);plot(t,y1), grid, set (gca,'FontName', ...'ArialCyr','FontSize',16)

56

title('Iesirea filtrului')xlabel('Timpul'),ylabel('Y1(t)'),grid

4.3 Reprezentaţi TF a zgomotului “alb” şi spectrul densităţii de putere:

Ts=0.01; T=50;t=0:Ts:T;x1=rand(1,length(t));om0=2*pi; dz=0.05; A=1; oms=om0*Ts;a(1)=1+2*dz*oms+oms^2;a(2)=-2*(1+dz*oms);a(3)=1;b(1)=A*2*dz*oms^2;y1=filter(b,a,x1);df=1/T; Fmax=1/Ts;f=-Fmax/2:df:Fmax/2;dovg=length(f);Fu1=fft(x1)/dovg; Fu2=fft(y1)/dovg;Fu1p=fftshift(Fu1); Fu2p=fftshift(Fu2);A1=abs(Fu1p); A2=abs(Fu2p);S1=Fu1p.*conj(Fu1p)*dovg; S2=Fu2p.*conj(Fu2p)*dovg;subplot(2,1,1);stem(f,A1), grid, set (gca,'FontName', ...'ArialCyr','FontSize',16)title('Modulul zgomotului');subplot(2,1,2);stem(f,S1), grid, set (gca,'FontName', ...'ArialCyr','FontSize',16)title('Spectrul densităţii de putere');xlabel('Frecventa Hz')

4.4 Repetaţi p. 4.4 pentru semnalele de la ieşirea filtrului:

c1=fix(dovg/2)-200; c2=fix(dovg/2)+200; length(f)subplot(2,1,1);stem(f(c1:c2),A2(c1:c2)), grid, set (gca,'FontName', ...'ArialCyr','FontSize',16)title('Modulul zgomotului la iesirea filtrului');subplot(2,1,2);stem(f(c1:c2),S2(c1:c2)), grid, set (gca,'FontName', ...'ArialCyr','FontSize',16)

57

title('Spectrul densităţii de putere la iesirea filtrului ');xlabel('Frecventa Hz')


- scopul lucrării,

- scurte noţiuni teoretice,

- programele folosite la TFD.

- semnalele modelate,

- concluzii.

Literatura.



Curriculum

eries, 1996

58

Lucrarea de laborator N 7Filtrarea semnalelor elementare folosind MATLAB

Scopul lucrării: Proiectarea filtrelor digitale şi filtrarea semnalelor.

Noţiuni teoretice.

Funcţia de transfer a unei sisteme analogice este reprezentată de o funcţie de transfer H(s) şi funcţia de transfer a unei sistene digitale este reprezentată de o funcţie complexă H(z). Aceste funcţii de transfer descriu efectul sistemei asupra semnalului de întrare, cît şi efectul de filtrare a sistemei. Ambele funcţii sînt funcţii de frecvenţă, unde

şi . Dacă K este amplituda şi este faza funcţiei de transfer, atunci dacă la întrare se conţine un semnal , amplituda acestuia se va multuplica cu K şi faya se fa scimba cu . Efectul acestei schimbări este reprezentat în fig.1.

59

Fig. 1 Efectul filtrării a unei sinusoide.

Funcţia de transfer oferă descrierea benzii de frecvenţă care trece prin filtru. De exemplu filtrul cu banda de frecvenţă joasă stopează frecvenţele mai înnalte ca frecvenţa de hotar, filtrul cu banda de frecvenţe înnaltă va stopa frecvenţele mai joase ca frecvenţa de hotar, filtrul cu banda de frecvenţă de trecere va stopa frecvenţele în din afara unei benzi cpecifice. Figura 2 reprezintă exemple de funcţii de transfer ale tipurilor principale de filtre.

Fig.2 Funcţiile de transver ideale.

Figura 3 reprezintă un exemplu al amplitudinei a unui filtru tipic cu banda de frecvenţe joasă. Se observă trei regiuni : banda de trecere, banda intermediară şi banda de stopare.

60

Fig.3 Filtru cu bandă joasă tipic.

Banda de trecere este limitată de frecvenţa de hotar c care corespunde 0.7 din modulul amplitudei şi frecvenţa de stopare este limitată de frecvenţa r care este egală cu 0.1 din modulul amplitudei. Un filtru analog definit de funcţia de transfer H(s). În formî generală funcţia H(s) este :

Cîteva exemple de funcţii de ttransfer :

61




1. Modelarea funcţiei de transfer.

1.1 Modelaţi funcţia de transfer a dou[ filtre, pentru aceasta culegeţi programa

:

%w1=0:0.05:5.0;B1=[0.5279];A1=[1,1.02725,0.5279]H1s=freqs(B1,A1,w1);%

62

w2=0:0.001:0.3;B2=[1,0,0];A2=[1,0.1117,0.0062];H2s=freqs(B2,A2,w2);clgsubplot(221),plot(w1,abs(H1s)),gridsubplot(222),plot(w2,abs(H2s)),grid

2.Filtrarea semnalelor.

2.1 Modelaţi un semnal iniţial, culegând programa :

Ts=0.001;

t=0:Ts:20;

A1=0.75;

T1=1;

Yi=A1*sin(2*pi*t/T1);

plot(t(10002:end),Yi(10002:end)),grid, set (gca,'FontName','Arial Cyr','FontSize',16)title('Semnalul initial')xlabel('timpul(s)'),ylabel('functia y(t)'),grid

2.2 Fie că în rezultatul măsurării la semnalul iniţial s-a adăugat zgomotul aparatului de măsurat şi zgomotul “alb”:

T2=0.2;

A2=10;

Eps=pi/4;

Ash=5;

x=A1.*sin(2*pi*t./T1)+A2.*sin(2*pi.*t./T2 +eps)

+Ash*rand(1,length(t));

plot(t(10002:end),x(10002:end)),grid, set (gca,'FontName','Arial Cyr','FontSize',16)

63

title('Semnalul masurat')xlabel('timpul(s)'),ylabel('functia y(t)'),grid

2.3 Pentru prelucrarea acestui semnal şi obţinerea celui iniţial

proiectaţi un filtru cu frecvenţa egală cu cea a semnalului iniţial şi filtraţi

semnalului măsurat, pentru aceasta culegeţi :

T1=1;

Ts=0.001;

Tf=T1;

dz=0.05;

om0=2*pi/Tf;

A=1;

oms=om0*Ts;


a(2)=-2*(1+dz*oms);

a(3)=1;

b(1)=A*Ts*Ts*(2*dz*om0^2);

y=filter(b,a,x);

plot(t(10002:end),y(10002:end),t(10002:end),Yi(10002:end)),grid, set (gca,'FontName','Arial Cyr','FontSize',16)title('Semnalul la iesirea filtrului')xlabel('timpul(s)'),ylabel('functia y(t)'),grid

2.4 Însă procesul de restabilire a semnalului iniţial posedă o reţinere

in atingerea amplitudei şi o reţinere de fază (2):

Y=filter(b,a,x);

plot(t,y,t,Yi),grid, set (gca,'FontName','Arial Cyr','FontSize',16)title('Semnalul la iesirea filtrului')xlabel('timpul(s)'),ylabel('functia y(t)'),grid

64

2.5 Pentru e exclude aceste reţineri, folosiţi procedura filtrării duble

filtfilt, pentru aceasta :

Y=filtfilt(b,a,x);

plot(t,y,t,Yi),grid, set (gca,'FontName','Arial Cyr','FontSize',16)title('Utilizarea procedurii filtfilt')xlabel('timpul(s)'),ylabel('functia y(t)'),grid

3.


- scopul lucrării,



- concluzii.

Literatura.


2. D.M.Etter Engineering Problem Solving with MATLAB, Matlab Curriculum

eries, 1996

65

Lucrarea de laborator N 8Modulaţia semnalelor

Scopul lucrării: Cercetarea modulaţiei semnalelor digitale.

Noţiuni teoretice.

Modulaţia. Definiţii şi clasificări

În procesul de modulaţie intervin următoarele semnale:- semnalul s(t) ce conţine informaţia (mesajul), denumit semnal modulator;- semnalul P(t), asupra căruia se transferă informaţia, denumit purtâtor;.- semnalul sM(t) rezultat prin acţiunea semnalului modulator asupra purtătorului, denumit semnal modulat.

Modulaţia constă în modificarea unui parametru al purtătorului P(t) de câtre semnalul modulator s(t), ce urmează a fi transmis.După natura semnalului purtător P(t), putem avea:- modulaţie cu purtător sinusoidal;- modulaţie cu purtător în impulsuri.

66

Noţiuni generale. Tipuri de modulaţie

Purtătorul P(t) cu variaţie sinusoidală în timp se reprezintă analitic prin expresia:

(1)În această expresie A0 reprezintă amplitudinea oscilaţiei, 0 - frecvenţa

unghiulară (pulsaţia), iar 0 — faza iniţială (diferenţa de fază sau unghiul de fază).

Reprezentarea grafică a lui P(t) şi semnificaţia parametrilor săi sînt date în figura 2.

A modula înseamnă a stabili o dependenţă între un parametru al purtătorului P(t) şi semnalul modulator s(t). Este indicat ca această dependenţă să fie liniară, căci în acest caz prin transformare inversă, numită demodulaţie, se poate obţine simplu semnalul util s(t) din semnalul modulat.

Fiecare din cei trei parametri ce definesc purtătorul poate prelua variaţiile semnalului modulator, obţinându-se corespunzător următoarele tipuri de modulaţie:

—modulaţie de amplitudine (MA); — modulaţie de frecvenţă (MF);— modulaţia de fază (M) sau (MP).

Modulaţia de amplitudine cu purtător sinusoidal

Fie semnalul modulator s(t), si purtătorul P(t) :

(2)Conform celor afirmate anterior, amplitudinea instantanee A(t) a semnalului MA trebuie să fie într-o relaţie de dependenţă liniară cu semnalul s(t). A(t) poate fi o funcţie de timp de forma:

67

(2.3)

Expresia în domeniul timp a semnalului MA este prin urmare:

Aceasta reprezintă forma cea mai generală a unui semnal MA, întrucât asupra mesajului s(t) nu s-a făcut nici o restricţie.

în figura 3 sînt reprezentate, în ordine, funcţiile de timp (formele de undă) ale semnalului modulator s(t), purtătorului P(t), amplitudinii instantanee A(t) şi semnalului modulat sMA(t). Curba reprezentată punctat în figura 3,d poartă denumirea .de înfăşurătoare sau anvelopă a semnalului MA şi reproduce forma semnalului modulator.

Până acum am analizat forma de undă a semnalului MA, sau altfel spus, reprezentarea sa în domeniul timp. Să examinăm în continuare reprezentarea semnalului MA în domeniul frecvenţă (spectrul de frecvenţă) considerând trei situaţii di-ferite prin forma de undă a semnalului modulator s(t).1. Presupunem că s(t) este un semnal sinusoidal de forma:

(5)

Amplitudinea A(t) si semnalul sMA(t), date de relaţiile (3) şi (4), devin în acest caz:

(6)

(7)Parametrul

68

reprezintă gradul de modulaţie. După cum se observă, m este proporţional cu amplitudinea semnalului modulator.

Din relaţia (6) rezultă amplitudinile maximă şi minimă ale semnalului MA:

(8)

Fig. 4. Formele de undă ale semnalului modulator (a), purtătorului (b) şi semnalului MA (c).

deci

(9)Relaţiile (9) se utilizează în determinarea experimentală a gradului de

modulaţie prin vizualizarea pe osciloscop a semnalului MA.Formele de undă ale semnalelor s{t), P(t) şi sMA(t), corespunzătoare acestui

caz, sînt reprezentate grafic în figura 4.Gradul de modulaţie m trebuie să satisfacă condiţia:

m1 (10)pentru ca la recepţie s(t) să poată îi reconstituit.

Dacă m > 1 (fig. 5), înfăşurătoarea semnalului MA nu mai reproduce forma semnalului modulator s(t) şi acesta nu se mai poate obţine prin demodulare.

Expresia (7) se poate scrie sub forma:

69

(11)

care pune în evidenţă componentele spectrale ale semnalului modulat. Reprezentarea spectrelor de amplitudine ale mesajului, purtătorului şi semnalului MA este dată în figura 2.6, a, b, c. Figura 2.6, c este reprezenta-rea semnalului MA- în domeniul frecvenţă, la frecvenţe fizice ( > 0).

Constatăm că spectrul semnalului MA conţine trei componente armonice:- o componentă centrală de frecvenţa 0 şi amplitudine A0, care este chiar purtătorul;- două componente de frecvenţe 0+ 0,

0 - 0 de amplitudine care se numesc componente laterale (inferioară şi superioară). Banda de frecvenţe ocupată de semnalul MA este B = 2.



1. Generaţi un semnal modulator, purtătorul de fravenţă şi efectuaţi mdulaţia de amplitudă:

70

t=-1:0.01:1;s_M=3*cos(2*pi*t)-sin(6*pi*t+pi/4);Fc=10;s_AM=s_M.*cos(2*pi*Fc*t);subplot(2,1,1)plot(t,s_M)grid onsubplot(2,1,2)plot(t,s_AM,t,abs(s_M), ‘—-‘)grid on

2. Adăgaţu o constantă pentru a primi un semnal unipolar;

t=-1:0.01:1;s_M=3*cos(2*pi*t)-sin(6*pi*t+pi/4);Fc=10;s_AM=(4+s_M).*cos(2*pi*Fc*t);plot(t,s_AM,t,4+s_M,‘--‘)grid on

3. Generaţi un semnal modulator, purtătorul de fravenţă şi efectuaţi modulaţia de amplitudă uniton pentru diferiţi coeficienţi de modulare:

Fs=100;t=-10:1/Fs:10;omega0=10;OMEGA=1;s_AM_0=cos(omega0*t);s_AM_50=(1+0.5*cos(OMEGA*t)).*cos(omega0*t);s_AM_100=(1+cos(OMEGA*t)).*cos(omega0*t);subplot(3,1,1)plot(t,s_AM_0)grid onsubplot(3,1,2)plot(t,s_AM_50)grid onsubplot(3,1,3)plot(t,s_AM_100)

3. Generaţi un semnal modulator, purtătorul de fravenţă şi efectuaţi mdulaţia de amplitudă pentru a obţine un semnal supramodulat:

71

Fs=100;t=-10:1/Fs:10;omega0=10;OMEGA=1;A_AM_150=1+1.5*cos(OMEGA*t);s_AM_150=A_AM_150.*cos(omega0*t);plot(t,s_AM_150,t,abs(A_AM_150), ‘—‘)grid on4. Cercetaţi spectrul semnalului modulator şi a semnalului modulat:

w=-20:0.1:20;w0=10;S_A=1./(1+w.^2);S_AM=0.5./(1+(w+w0).^2)+ 0.5./(1+(w-w0).^2);plot(w,S_A, ‘—‘,w,S_AM)grid on

5. Cercetaţi suprapunerea „cozilor”spectrului semnalului modulator şi a semnalului modulat:

w=-5:0.1:5;w0=2;S_A=1./(1+w.^2);S_AM=0.5./(1+(w+w0).^2)+ 0.5./(1+(w-w0).^2);plot(w,S_A,`--`,w,S_AM)grid on

6. Efectuasţi demodularea semnalului modulat:

Fs=100;t=-10:1/Fs:10;omega0=10;OMEGA=1;s_AM_50=(1+0.5*cos(OMEGA*t)).*cos(omega0*t);y=abs(s_AM_50);[b,a]=butter(5,2*OMEGA/pi/Fs);z=filtfilt(b,a,y);plot(t(1:1000),y(1:1000),‘--‘, t(1:1000),z(1:1000))grid on

6. Efectuasţi demodularea sincronă a semnalului modulat:

72

Fs=100;t=-10:1/Fs:10;omega0=10;OMEGA=1;s_AM_50=(1+0.5*cos(OMEGA*t)).*cos(omega0*t);y=s_AM_50.*cos(omega0*t);[b,a]=butter(5,2*OMEGA/pi/Fs);z=filtfilt(b,a,y);plot(t(1:1000),y(1:1000), ‘--‘, t(1:1000),z(1:1000))grid on

7. Generaţi un semnal modulator, purtătorul de fravenţă şi efectuaţi modulaţia de amplitudă – amplitude modulation with supprwessed carrier:

t=0:0.01:10;omega0=20;OMEGA=1;s_M=cos(OMEGA*t);s_M_SC=s_M.*cos(omega0*t);plot(t,s_M_SC)grid on


- scopul lucrării,



- concluzii.

Literatura.


2. D.M.Etter Engineering Problem Solving with MATLAB, Matlab Curriculum

eries, 1996

73

LabN1 8 Final

Documents

Transcript of LabN1 8 Final