UNIVERSITATEA POLITEHNICĂ BUCUREŞTI

Bazele electrotehnicii - laborator pentru studenţii facultăţii de Automatică şi Calculatoare (seriile AC şi CA), 2013/2014

L3 - Circuite rezistive neliniare – caracteristici de transfer. Punctul static de funcționare.

Autorii3/30/2014

Acest document este o parte din îndrumarul "Modelarea şi simularea circuitelor electrice", în curs de elaborare, autori Gabriela Ciuprina, Alexandru Gheorghe, Mihai Popescu, Dragos Niculae, Mihai Rebican, Sorin Lup, Ruxandra Barbulescu, Daniel Ioan.

Cuprins1 Obiectivele lucrării............................................................................................................3

2 Probleme pentru referat.....................................................................................................4

2.1 Dioda Semiconductoare.............................................................................................4

2.1.1 Problema L3/ 1: Caracteristica u(i) a diodei semiconductoare..........................4

2.1.2 Problema L3/ 2: Circuit de redresare cu diode semiconductoare.......................6

2.2 Dioda Zener...............................................................................................................7

2.2.1 Problema L3/ 3: Caracteristica u(i) a diodei Zener............................................7

2.2.2 Problema L3/ 4: Circuit stabilizator de tensiune cu diodă Zener.......................8

2.3 Aplicații combinate....................................................................................................8

2.3.1 Problema L3/ 5: Circuit stabilizator de tensiune cu diodă Zener și Tranzistor. .8

2.3.2 Problema L3/ 6: Circuit stabilizator de tensiune cu diodă Zener și două BJT conectate în configuraţie Darlington......................................................................................10

2.3.3 Problema L3/ 7: Circuit stabilizator de tensiune cu diodă Zener și BJT conectate în paralel.................................................................................................................11

2.4 Problema L3/8 Funcționarea MOSFET ca poartă logică

3 Structuri de date, algoritmi..............................................................................................13

L3 - 2013/2014 2

1 Obiectivele lucrării

Problemele care se propun în această lucrare ilustrează aspecte importante legate de modelarea şi simularea circuitelor electrice rezistive, în care se găsesc elemente neliniare, numite și de curent continuu. După cum am constatat, elementele reactive (bobine, condensatoare) se comportă în regim staționar ca rezistoare degenerate. În schimb, în circuitele pur rezistive, timpul nu are relevanță, deci aceste circuite sub excitația unor surse variabile în timp se pot analiza exact ca în c.c. (regimul variabil fiind de fapt o succesiune de regimuri staționare). De exemplu, pentru extragerea caracteristicilor neliniare de transfer și de ieșire ale elementelor neliniare, acestea pot fi excitate cu semnale cu variație rampă în timp sau pot fi analizate în regim staționar, cu sursele parametrizate. Rezultatul este același. Lucrarea începe cu cele mai simple elemente neliniare, cele dipolare (dioda semiconductoare și dioda Zenner). Extragerea caracteristicilor neliniare ale elementelor multipolare, cum sunt tranzistoarelor bipolare și tranzistoarele MOS-FET, dar și liniarizarea lor a făcut obiectul lucrării anterioare. Aici se prezintă doar modelele neliniare ale AO și folosirea lor în analiza circuitelor cu reacție pozitivă. Domeniul de valabilitate al modelelor liniarizate pentru circuite neliniare este un alt aspect studiat, cu aplicație la determinarea domeniul de liniaritate al unui amplificator (cu tranzistor și cu AO), respectiv la determinarea distorsiunilor. O altă aplicație abordată, prin excelența neliniară, fundamentală pentru electronica actuală se referă la porțile logice (circuite digitale).

Pentru a parcurge cu succes această lucrare şi a realiza un referat de calitate bună, este util să vă reamintiţi şi să vă documentaţi în prealabil asupra următoarelor aspecte [Daniel Ioan, Note de curs, 2012http://cs.curs.pub.ro/2013/mod/folder/view.php?id=4485]:

elemente rezistive neliniare (rezistoare neliniare, diode, tranzistoare) surse comandate

InstrucţiunilePSpicepe care le veţi exersa în această lucrare sunt:

.op - punct static de fucționare

.param - parametrizarea valorilor elementelor de circuit;

.model - crearea unui model cu anumiţi parametrii

.tf - calculul funcţiei de transfer;

.dc - simulare în curent continuu.

Linkuri utile pentru documentatia PSPICE:

1. OrCAD PSpice A/D, Reference Manual,http://www.electronics-lab.com/downloads/schematic/013/tutorial/PSPCREF.pdf

2. http://www.engr.colostate.edu/academic/ece/PSpice/psp_sug.pdf 3. Cadence, PSpice User Guide

L3 - 2013/2014 3

http://www.seas.upenn.edu/~jan/spice/PSpice_UserguideOrCAD.pdf4. PSpice Tutorials, http://igdrassil.narod.ru/audio/spice/pspice_tutorial.pdf5. PSpice Tutorial http://www.engr.colostate.edu/ECE562/Pspicetutorial.pdf6. PSpice 9.2 Tutorial http://ece.utah.edu/~ece2280/PSpice92Tutorial2.pdf

Pentru a folosi timpul cu eficienţă, vă recomandăm să vă documentaţi înainte de laborator asupra sintaxei acestor instrucţiuni. În timpul laboratorului, trebuie să parcurgeţi secvenţial problemele propuseşi să vă completaţi referatul după fiecare problemă. La sfârşitul orei de lucru, veţi prezenta referatul în starea lui curentă şi îl veţi încărca pe platforma Moodle. Pentru punctajul complet, referatul trebuie sa conțină următoarele probleme: L3/1, 2, 3, 4. Rezolvarea oricărei probleme suplimentare aduce bonus.

2 Probleme pentru referat

2.1 Dioda Semiconductoare

Dioda este un dispozitiv electronic neliniar, dipolar, care permite trecerea curentului doar într-un singur sens. O diodă în mod normal conduce curentul, când se aplica tensiunea într-un sens și îl blochează în celălalt sens.

2.1.1 Problema L3/ 1: Caracteristica u(i) a diodei semiconductoare

Obiectivul acestei probleme este de a ilustra doua modele pentru dioda semiconductoare (unul din biblioteca interna Spice, și altul definit de utilizator, prin caracteristica neliniară, aproximată liniar pe porțiuni, cu date extrase din primul model). Urmând ca apoi să se folosească cele două modele, pentru a determina PSF al unui circuit cu diodă, și să se analizeze abaterea dintre rezultatele celor două simulări.

Dioda semiconductoare este un element primitiv în SPICE, identificatorul său începând cu litera D și reprezentat intern printr-o caracteristică exponențială, în care intervin mai mulți parametri ce pot fi setați de utilizator, prin comanda .model:

D[numedioda] [anod] [catod] [numemodel].model ([numemodel] D [parmtr1=x] [parmtr2=y] . . .)

(Vezi de exemplu http://www.allaboutcircuits.com/vol_3/chpt_3/14.html pentru semnificația parametrilor).

Cel mai simplu model este cel în care parametrii diodei nu sunt precizați, și au valorile implicite:

D[numedioda] [anod] [catod] DiodaStandard.model DiodaStandard D

L3 - 2013/2014 4

Pentru a determina caracteristica curent-tensiune a diodei semiconductoare, așa cum este modelată ea intern în Spice puteți folosi circuitul din Fig. 1. Variind tensiunea electromotoare E1 de la valori negative la valori pozitive, se trece dioda din polarizare inversă în polarizare directă. Se reprezintă apoi caracteristica diodei, care este graficul dependenței dintre I1 și tensiunea U.

Un alt fel de a modela dioda semiconductoare este de a fi reprezentată ca o sursă de curent, comandată neliniar de tensiunea de la terminalele ei. Descrierea funcției neliniare de comandă se poate face tabelar, prin instrucțiuni de forma:

G1 2 0 table V(2,0) (-.5V, 0) (.6, 0) (7.42E-01, 4.24E-02)

Caz în care caracteristica este aproximată cu o funcție liniară pe porțiuni, definită de punctele de frângere tabelate.

Folosind circuitul din Fig. 2, se pot compara caracteristicile celor două modele de diodă.

Fig. 1 Circuit pentru determinarea caracteristicii i-u a diodei semiconductoare

Fig. 2 Circuit pentru determinarea caracteristicii liniarizată pe porțiuni

a.) Scrieți netlist-ul circuitului din Fig. 1, folosind pentru diodă modelul Spice implicit.b.) Simulați circuitul din Fig. 1, impunând o variație a curentului sursei de alimentare

între 0 și 100 mA cu pas de 1 mA.c.) Trasați cu ajutorul postprocesorului grafic (probe) caracteristica I(D1) în funcție de

tensiunea de la bornele diodei.d.) Refaceți simulările pentru valorile de 50 mA și 100 m A ale c.e.m. Pentru a nu

simula circuitul de două ori se va folosi comanda LIST..dc I1 LIST 50mA 100mA

e.) Folosind valorile punctelor obținute la simularea anterioară aflați punctul de intersecția a dreptei dată de cele 2 puncte cu axa tensiunilor. Calculați punctul de intersecție folosind extrapolarea liniară. Dacă avem cele două puncte(x1,y1) și (x2,y2) în cazul de față x-ii reprezintă tensiuni respectiv y-ii curenți, atunci ecuația dreptei care trece prin aceste două puncte este:

y ( x )= y 1x−x2

x1−x 2+ y2

x−x 1x 2−x 1

;

punând condiția de intersecție cu axa orizontală y(x) = 0 rezultă:

L3 - 2013/2014 5

x0=y1 x 2− y 2 x 1

y1− y 2.

Pentru calculul numeric puteți folosi orice instrument.f.) Descrieți un model al diodei ca un generator de curent comandat de tensiunea de la

bornele sale, caracteristica de comandă fiind dată tabelar prin perechile de valori stabilite la punctul anterior. Se va lua unul din punctele simulării anterioare și valoarea extrapolată.

g.) Determinați punctul static de funcționare, conectând dioda la o sursă reală de curent având c.e.m de 60 mA și rezistența internă de 1 kΩ. Determinați eroarea punctul static de funcționare determinat prin folosirea modelului implicit și folosirea modelului liniar pe porțiuni.

h.) Comentați și completați referatul cu rezultatele obținute.

2.1.2 Problema L3/ 2: Circuit de redresare cu diode semiconductoare

Figura Fig. 3 prezintă un circuit, care conține o punte redresoare cu patru diode. E1 reprezintă sursa de alimentare a circuitului care variază de la -10 V la 10 V cu un pas de 0,1 V. R6, cu valoarea de 100 Ω este rezistența de sarcină a circuitului redresor.

Fig. 3 Circuit de redresare cu diode

a) Scrieți netlist-ul Spice pentru circuitului din Fig. 3, folosind pentru diodă modelul Spice predefinit D.

b) Trasați caracteristica de transfer a acestui circuit, reprezentând grafic modul în care depinde tensiune de ieșire, pe rezistența de sarcină R6 de tensiunea de intrare, la bornele sursei de alimentare E1.

L3 - 2013/2014 6

c) Comentați și completați referatul cu rezultatele obținute. Ce se întâmplă la valori mici ale tensiunii de intrare (sub 1 V)?

2.2 Dioda Zener

Când diodele normale ating punctul de străpungere, acest fapt duce la distrugerea acestora. Totuși, se pot construi diode speciale ce pot suporta tensiunea de străpungere fără distrugerea completă a acestora. Acest tip de diodă poartă numele de diodă Zener. Dioda Zener la polarizarea directă are o cădere de tensiune de aproximativ 0,7V. La o polarizare inversă dioda blochează trecerea curentului până la o anumită tensiune, numită tensiune de străpungere (inversă) sau tensiune Zener și este notată cu Vs (BV – Breaking Voltage). Deoarece în zona de Zener (de străpungere), tensiunea este practic constantă, indiferent de curent, dioda Zener se mai numește și diodă stabilizatoare de tensiune.

2.2.1 Problema L3/ 3: Caracteristica u(i) a diodei Zener

În Fig. 4 este prezentat un circuit la care între bornele A și B este conectată o diodă Zener Dz. Valorile parametrilor elementelor de circuit sunt: E1 = 20 V, R1 = 4 Ω și parametrul de modelare all diodei Zener este tensiunea de străpungere Vs = 6 V.

Fig. 4 Circuit cu diodă Zener.Netlistul acestui circuit este:

V1 1 0 20R1 1 2 4D1 2 0 DZ6V*model dioda zener.model DZ6V D(BV = 6V,IBV=5mA).end

a) Variați tensiunea de intrare E1 și trasați caracteristica I(U) a diodei Zener.b) Descrieți dioda ca un generator de curent comandat de tensiunea de la bornele sale,

caracteristica de comandă fiind dată tabelar prin perechi de valori stabilite în același mod ca la Problema L3/ 1, și refaceți simulările.

c) Comentați și completați referatul cu rezultatele obținute.

L3 - 2013/2014 7

2.2.2 Problema L3/ 4: Circuit stabilizator de tensiune cu diodă Zener

Diodele Zener sunt proiectate să funcționeze polarizate invers. Tensiunea Us la care aceste diode încep să stabilizeze este numită tensiune Zener (de străpungere, stabilizare, sau de prag). Stabilizarea apare numai în condițiile în care dioda este polarizată invers și tensiunea la bornele ei, marcată de la anod la catod, este U < -Us. În aceste condiții, tensiunea la bornele diodei rămâne practic constantă.

În Fig. 5este prezentat un circuit stabilizator de tensiune cu diodă Zener DZ2. E1 reprezintă sursa de alimentare a circuitului cu valoarea de 20 V, R1 este rezistența internă a sursei cu valoarea de 10 Ω. R3 reprezintă sarcina conectată la circuit, cu valoarea de 10 Ω.

Fig. 5 Circuit stabilizator cu diodă Zener.

a) Scrieți netlist-ul Spice pentru circuitului din Fig. 5, folosind pentru diodă modelul Spice predefinit DZ10V și considerând nodul B ca nod de referință.

b) Variați valoarea rezistenței de sarcină între limitele -10 și 10 cu pas de 0.3 Ω și trasați caracteristica de ieșire U(I3) a circuitului.

c) Comentați și completați referatul cu rezultatele obținute.

2.3 Aplicații combinate

2.3.1 Problema L3/ 5: Circuit stabilizator de tensiune cu diodă Zener și Tranzistor

Circuitul anterior solicită excesiv dioda Zener (pe care se disipă o putere prea mare), pentru valori mari ale tensiunii de intrare. Pentru a elimina acest neajuns se folosește circuitul din Fig.6, în care Q4 este un tranzistor de putere. Tranzistorul preia variaţiile tensiunii de intrare menţinând tensiunea de ieşire la o valoare constantă, impusă de dioda Zener. Deoarece tensiune Baza-Emitor a tranzistorului este practic constantă (cca 0,6V), Q4 acționează ca un “repetor”,

L3 - 2013/2014 8

generând la ieșire tensiunea de pe dioda Zener, la care se adaugă tensiunea pe joncțiune B-E a tranzistorului.

Se consideră circuitul din Fig. 6, unde:- Q4 este elementul regulator serie (preia variaţiile de tensiunii de intrare șe cele ce apar

din cauza variației sarcinii)- DZ3 este elementul de referinţă (asigură o tensiune de referinţă constantă)- E1 este tensiunea de alimentare a circuitului de 10V- R1 este rezistența internă a sursei de 10 Ω- R2 este rezistenţa de polarizare a diodei Zener de 100Ω- R5 este rezistenţa de sarcină cu valoarea de 1kΩ

Stabilizatorul cu tranzistor faţă de un stabilizator simplu cu diodă Zener, are avantajul că permite o variaţie a curentului de sarcină de β ori mai mare decât variaţia de curent maxim admisibilă prin dioda Zener. (β este câştigul în curent al tranzistorului serie).

Fig. 6 Circuit stabilizator de tensiune cu diodă Zener și tranzistor.

a) Scrieți netlist-ul Spice pentru circuitului dinFig. 6, folosind pentru diodă modelul Spice predefinit DZ10V, iar pentru tranzistorul bipolar modelul NPN.

b) Simulați circuitul, variind tensiunea de intrare de la 0 la 100 V cu un pas de 1 V. Trasați caracteristica de transfer, a modului în care variază tensiunea de ieșire, la bornele rezistenței de sarcină R5 în funcție de tensiunea de intrare E1.

c) Pentru o valoare constantă de 10V a tensiunii de intrare a circuitului, variați sarcina de la 100 Ω la 2 kΩ cu pasul de 10 Ω. Trasați caracteristica de ieșire, a modului în care variază tensiunea de la bornele rezistenței de sarcină R5, în funcție de curentul prin această rezistență.

d) Comentați și completați referatul cu rezultatele obținute.

L3 - 2013/2014 9

2.3.2 Problema L3/ 6: Circuit stabilizator de tensiune cu diodă Zener și două BJT, conectate în configuraţie Darlington

Tranzistoarele de putere nu au un factor de amplificare în curent prea mare, din acest motiv, pentru a obține un stabilizator de tensiune performant se folosesc două tranzistoare unul cu β mare și altul de putere, conectate în conexiune Darlington (vezi L2), ca în figura Fig. 7, unde:

- Q4 și Q5sunt elementele regulatore. Tranzistorul Q5 este de putere medie sau mare (de tip BD sau 2N3055) iar tranzistorul Q4 este de mică putere de tip BC. Pentru curenţi mari Q5 este de tipul 2N3055 şi Q4 de tipul BD

- DZ3 este elementul de referinţă (dioda Zener, care asigură o tensiune de referinţă constantă)

- E1 este tensiunea de alimentare a circuitului de 10 V- R1 este rezistența interă a sursei de 10 Ω- R2 este rezistenţa de polarizare a diodei Zener de 100 Ω- R6 este rezistenţa de sarcină cu valoarea de 1kΩ

Stabilizatorul cu element serie în configurație Darlington permite o variaţie a curentului de sarcină de β= βQ4· βQ5ori.

Fig. 7 Circuit stabilizator de tensiune cu element de reglare serie – Darlington

a) Scrieți netlist-ul Spice pentru circuitului dinFig. 7, folosind pentru diodă modelul Spice predefinit DZ10V și pentru tranzistoarele bipolar modelul NPN.

b) Simulați circuitul pentru o valoare constantă de 10V a tensiunii de alimentarea a circuitului, și trasați caracteristica de ieșire, a felului în care variază tensiunea de la bornele rezistorului de sarcină R6, în funcție de curentul prin această rezistență, variind sarcina de la 2 kΩ la 1 GΩ cu pasul de 1 kΩ.

c) Comentați și completați referatul cu rezultatele obținute.

L3 - 2013/2014 10

2.3.3 Problema L3/ 7: Circuit stabilizator de tensiune cu diodă Zener și BJT conectate în paralel

Dezavantajul principal al circuitelor anterioare este că tranzistorul de putere se distruge, atunci când apare un scurtcircuit la intrare. Pentru a elimina acest dezavantaj, se folosește circuitul stabilizator de tensiune din Fig. 8, în care elementul de control adică tranzistorul, este conectat în paralel cu sarcina, preluând din curentul de sarcină acea parte care este necesară pentru a menține la ieșire o tensiune stabilizată. Circuitul este compus din:

- E1 este tensiunea de alimentare a circuitului de 10V- R1 numită și rezistenţa de balast R1 de 2 kΩ, preia variaţiile de tensiune, limitând

curentul prin tranzistor astfel îl protejează în cazul apariţiei unui curent de scurtcircuit sau suprasarcină.

- R2 este rezistenţa de polarizare a diodei Zener de 100Ω- Q4 este elementul regulator paralel- DZ3 este elementul de referinţă- R5 este rezistenţa de sarcină cu valoarea de 1kΩ

Faţă de stabilizatorul serie are un randament mai scăzut datorită consumului rezistenţei de balast şi a tranzistorului, dar avantajul este că elementul de control nu se distruge la apariţia unui scurtcircuit sau a unei suprasarcini, fiind utilizat mai ales când curentul de sarcină prezintă variaţii rapide.

Fig. 8 Circuit stabilizator de tensiune cu elementul de reglare în paralel cu sarcina

a) Scrieți netlist-ul Spice pentru circuitului dinFig. 8, folosind pentru diodă modelul Spice predefinit DZ10V și pentru tranzistoarele bipolar modelul NPN.

b) Simulați circuitul variind tensiunea de intrare de la 0 la 100 V cu un pas de 1 V. Trasați caracteristica tensiunii de la bornele rezistorului R5.

c) Comentați și completați referatul cu rezultatele obținute.d) Comparați caracteristicile de ieșire a celor trei tipuri constructive de stabilizatoare de

tensiune. Comentați valoarea la care se stabilizează ieșirea.

L3 - 2013/2014 11

2.4 Problema L3/8 Funcționarea MOSFET ca poartă logică

Pentru regimul de semnal mare (funcționare saturat – blocat), tranzistorul MOSFET poate fi asimilat cu un întreruptor (switch) comandat de tensiunea Vgs astfel:

pentru V gs<V p , switchdeschis adicăiD=0(2.1)

pentru V gs>V p , switchînchis adicăV ds=0

undeVp reprezintă o tensiune de prag (caracteristică de catalog).

a. Realizați o schema pentru trasarea caracteristicii (2.1). Folosiți pentru tranzistor modelul standard MOSFET;

b. Impuneți varierea sursei Vgs de la 0 la 5V cu pas de 0,1V;c. Modelați tranzistorul MOSFET cu un comutator – switch ( vezi Fig. 8.c. din Lucrarea L2)

controlat de tensiunea Vgs

d. Schema din Fig. 8.b. (vezi Lucrarea L2) reprezintă o poartă logică inversoare (NOT). Cum trebuie grupate două astfel de porți pentru a obține un circuit (poartă logică) ȘI-NEGAT (NAND) cu două intrări? Dar, pentru a obține un circuit (poartă) SAU-NEGAT (NOR)?

e. Simulați poarta NOT și poarta NAND realizate în tehnologie CMOS, prezentate în planșa 63, Cap. 4 al Notelor de curs. Care credeți că sunt avantajele acestei tehnologii?

* Poarta NOT MOSFETVGS G 0 2VDD 1 0 12VRD 1 D 1000kRS1 1 3 10kS1 3 0 G 0 releuM1 D G 0 0 MOSFET.model releu VSWITCH.model MOSFET NMOS.dc VGS 0 5 .1.probe.end

Fig. 9 Caracteristica de ieșire a porții logice NOT simulată cu modelul NMOS, respectiv modelul VSWITCH; Netlist-ul pentru trasarea simultană a celor două caracteristici.

L3 - 2013/2014 12

0.0V 0.5V 1.0V 1.5V 2.0V 2.5V 3.0V 3.5V 4.0V 4.5V 5.0V0V

1V

2V

3V

4V

5V

6V

7V

8V

9V

10V

11V

12VV(d) V(3)

VGS

Iesire inversor din model MOSFET

Iesire inversor din model SWITCH

2.5 Problema L3/9 Domeniul de liniaritate al amplificatorului ECDeterminați prin simulare Spice, care este domeniul de valabilitate al modelului liniar folosit

în rezolvarea Problemei L2/4 - Conexiunea emitor comun. Indicație: aplicați la intrarea circuitului un semnal rampă și verificați până la ce valoare a lui, semnalul de ieșire este proporțional cu cel de intrare. Explicați de ce se pierde liniaritatea amplificatorului.

2.6 Problema L3/10 Domeniul de liniaritate al amplificatorului neinversor cu AODeterminați prin simulare Spice, care este domeniul de valabilitate al modelului liniar folosit

în rezolvarea problemei L2/8. AO în montaj neinversor. Indicație: aplicați la intrarea circuitului un semnal rampă și verificați până la ce valoare a lui, semnalul de ieșire este proporțional cu cel de intrare. Explicați de ce se pierde liniaritatea amplificatorului.

2.7 Problema L3/11 Circuitul comparator cu AOAnalizați prin simulare Spice circuitul comparator descris în planșa 54 din Cap. 4 al Notelor

de curs.

2.8 Problema L3/12 Circuitul Schmitt triggerAnalizați prin simulare Spice circuitul Schmitt trigger, descris în planșa 54 din Cap. 4 al

Notelor de curs.

3 Structuri de date, algoritmi

a.) Propuneţi structuri de date pentru descrierea circuitelor de curent continuu (care să permită descrierea componentelor identificate în Spice cu R, V, I, E, F, G, H). Implementaţi-le într-un limbaj de programare. Scrieţi un program care să citească un fişier .cir şi să completeze structurile de date pe care le-aţi conceput.

b.) Propuneți un algoritm care pe modelul de circuit de la problema L3/1 calculeaza punctul static de funcționare. Valoarea E și R a sursei de tensiune respectiv, a rezistorului liniar, se va citi de la tastatură. Caracteristica de funcționare a rezistorului liniar se va construii prin interpolarea pe porțiuni cu polinoame de ordinul 1, pe baza perechile de valori (U, I) date sub formă tabelară, preluate dintr-un fișier text, presupus obținut în urma unui proces de măsurare.

L3 - 2013/2014 13