IRA_Cap1

(R.-E. Precup, UPT, 2013)

1. SISTEME DE REGLARE AUTOMAT N MOD ALUNECTOR (SLIDING MODE CONTROL SYSTEMS)

1.1. Aspecte introductive ncepnd cu anii 60 s-a manifestat un interes constant n ceea ce privete rezolvarea necesitii dezvoltrii unor structuri de conducere neliniar cu proprieti de robustee din punctul de vedere al pstrrii unor performane bune n prezena unor incertitudini parametrice aferente modelelor matematice ale procesului condus. n acestor structuri se nscriu sistemele cu structur variabil (Variable Structure Systems, SSV) (Emelyanov, 1967; Utkin, 1977; Edwards i Spurgeon, 1998; Kaynak .a., 2001; Levant, 2007). Aplicaiile din diverse domenii au deomonstrat succesul SSV datorit robusteii, implementrii simple i compensrii unor neliniariti ale procesului condus. Principala trstur caracteristic a SSV care le delimiteaz ca o clas independent n cadrul sistemelor de reglare automat (SRA) este faptul c n timpul proceselor tranzitorii au loc modificri / variaii ale structurii sistemului. Structura unui SSV este modificat n mod dorit dup un anumit algoritm sau dup o anumit lege de variaie structural stabilit a priori. Momentele de timp la care au loc modificrile i tipurile de structuri formate nu sunt determinate de un program fixat ca n cazul sistemelor de reglare automat (SRA) cu regulatoare programabile, ci sunt dependente de valorile actuale ale erorii de reglare i / sau ale variabilelor de stare ale procesului condus. Modificrile introduse n structura SRA pe parcursul proceselor tranzitorii de reglare permit proiectantului de SRA rezolvarea conflictului tradiional dintre asigurarea unor performane bune de regim staionar pentru SRA i asigurarea n acelai timp a unor performane bune de regim dinamic pentru SRA. Un exemplu simplu va fi edificator n acest sens. Astfel, se cunoate faptul c n cazul n care legea de reglare are o component integral (I), atunci SRA va fi caracterizat prin valoarea de regim staionar constant (VRSC) a erorii de reglare nul i este astatic pentru modificri de tip treapt ale perturbaiei i referinei (a se vedea, de exemplu, Preitl i Precup (2001)); n plus, prezena componentei I mbuntete unele performane de regim dinamic ale SRA (cum este cazul timpului de reglare i al timpului de prim reglare, care se diminueaz). Pe de alt parte, un coeficient cresctor al componentei I n legea de reglare va conduce la creterea suprareglajului. n absena componentei I n legea de reglare poate fi crescut coeficientul de transfer al regulatorului n vederea mbuntirii vitezei de rspuns a SRA ns statismul devine nenul. Acesta este motivul pentru care proiectantul de SRA este nevoit s recurg la o soluie combinat avnd drept rezultat legea de reglare / regulatorul de tip PI cu urmtoarea funcie de transfer (f.d.t.): H(s) = kp + ki/s, (1.1.1) unde parametrii de acordare ai regulatorului kp > 0 i ki > 0 reprezint coeficientul componentei proporionale (P) respectiv coeficientul componentei I. n urma acordrii parametrilor regulatorului vor fi obinute valori medii pentru acetia, care garanteaz un timp de reglare satisfctor i un suprareglaj nu prea mare.

Este evident c aceast soluie nu elimin conflictul menionat ntre performanele de regim dinamic i cele de regim staionar asigurate de SRA. Totui conflictul poate fi rezolvat prin utilizarea principiului SSV. Astfel, nu este greu de apreciat c aplicarea unei legi de reglare de tip P cu f.d.t.: H1(s) = kp' dac |e(t)| > , = const > 0 (1.1.2) n prima etap a regimului tranzitoriu (atta timp ct modulul erorii de reglare e(t) este suficient de mare), iar n etapa final (cnd modulul erorii de reglare devine relativ mic) a unei legi de reglare de tip I cu f.d.t.: H2(s) = ki'/s dac |e(t)| < , t tk (1.1.3) conduce, n cazul unei acordri adecvate a parametrilor {kp', ki, }, la mbuntirea comportamentului de regim dinamic i staionar al SRA. ntr-adevr, prin alegerea unui kp' suficient de mare va fi redus considerabil timpul de reglare; la momentul tk, cnd |e(t)| a sczut la valoarea , este schimbat structura sistemului prin comutarea pe o lege de reglare de tip I care are ca efect anularea statismului SRA.

12 Sisteme de reglare automat n mod alunector 1 (R.-E. Precup, UPT, 2013)

n categoria de SSV pot fi ncadrate diverse SRA cum sunt SRA adaptive (strm i Wittenmark, 1994; Sastry i Bodson, 1994; Ioannou i Sun, 1996; VanDoren, 2002), SRA cu regulatoare fuzzy (Driankov .a., 1993; Preitl i Precup, 1997, 2007; Babuka, 1998; Passino i Yurkovich, 1998; Michels .a., 2006; Jantzen, 2007), SRA bazate pe reele neuronale (Kosko, 1992; Antsaklis i Passino, 1993; Jang .a., 1997; Spooner .a., 2002), unele SRA optimale etc. Din considerente istorice, cea mai mare atenie n cadrul teoriei SSV a fost acordat unui tip specific de lege de reglare care determin instalarea n sistem a unui mod alunector (sliding mode, m.a.) (Utkin, 1992; Hung .a., 1993; Young .a., 1999) sau regim alunector. n m.a. are loc schimbarea / comutarea structurii sistemului cu o frecven teoretic infinit. n practic, ns, aceast frecven este limitat superior de caracteristicile dinamice ale elementelor de comutaie. Studiul SRA n mod alunector (SRA-ma) a fost iniiat i dezvoltat n anii 60 de coala de la Moscova condus de ctre profesorul Emelyanov, iar crile (Itkis, 1976) i (Utkin, 1978) publicate de profesori din cadrul acestei coli sunt considerate lucrri de referin n domeniu. Pe parcursul anilor strategia de reglare cu structur variabil n m.a. numit, simplu, reglare n mod alunector (sliding mode control) s-a transformat ntr-o metod general, fiind utilizat n conducerea unui spectru larg de procese care include sistemele neliniare, sistemele multivariabile, sistemele infinit dimensionale .a.m.d. Motivul deosebitului interes manifestat fa de reglarea n m.a. l constituie sensibilitatea redus a SRA-ma n raport cu perturbaiile parametrice ale procesului condus i cu perturbaiile externe de tip sarcin. n plus, reglarea n m.a. reprezint o alternativ viabil de rezolvare a conflictului menionat ntre performanele de regim dinamic i cele de regim staionar ale SRA. Acest capitol este structurat astfel. Pentru nceput sunt prezentate bazele teoretice ale strategiei de reglare n mod alunector. Apoi sunt tratate dou clase de SRA-ma cu timp continuu (SRA-ma-tc), i anume:

SRA-ma cu variaia structurii prin comutaie bazat pe eroarea de reglare (SRA-ma-e), SRA-ma cu variaia structurii prin comutaie bazat pe reacie dup stare (SRA-ma-x).

n finalul capitolului sunt abordate problemele specifice ridicate de reglarea n m.a. Pentru aprofundarea SRA-ma cu timp discret (SRA-ma-td) pot fi solicitate materiale de la titularul de curs.

1.2. Bazele teoretice ale strategiei de reglare n mod alunector Pentru o nelegere uoar a ideilor principale ale reglrii n m.a. se apeleaz la situaia cu timp

continuu exemplificat clasic printr-un SRA a unui proces liniar monovariabil invariant n timp caracterizat prin urmtorul model matematic intrare-stare-ieire (MM-ISI) de ordinul al doilea (Hung .a., 1993):

1x& = x2, 2x& = x1 + 2 x2 u, (1.2.1) y = x1, n care: x1, x2 variabilele de stare, u comanda, y ieirea reglat. Se consider c legea de reglare (cu structur variabil) are expresia u = x1, (1.2.2) unde

( )( )

+=

,0,~4,0,~4

21

21

xxgdacxxgdac (1.2.3)

g~ (x1, x2) = x1g(x1, x2), g(x1, x2) = 0.5 x1 + x2. n fig.1.1 este prezentat schema bloc informaional aferent SRA descris matematic prin relaiile (1.2.1) ... (1.2.3).

(R.-E. Precup, UPT, 2013) 1.2 Bazele teoretice ale strategiei de reglare n mod alunector 13

Fig.1.1. Schema bloc informaional a SRA conform (1.2.1) ... (1.2.3).

n cele ce urmeaz se studiaz micarea liber a SRA conform (1.2.1) ... (1.2.3), adic intrrile de referin i de perturbaie se consider nule. Variabila g~ definit n (1.2.3) reprezint produsul a dou variabile. Prin egalarea expresiei lui g~ cu zero rezult: x1 = 0 sau g = 0.5 x1 + x2 = 0. (1.2.4) Cele dou drepte cu ecuaiile prezentate n (1.2.4) mpart planul fazelor n regiunile I i II crora le corespund semnele plus respectiv minus pentru g~ (a se vedea fig.1.2). Dreptele (1.2.4) se numesc drepte de comutaie, iar g~ : R2 R, cu g~ (x1, x2) conform (1.2.3) (particularizat n 1.2.4)) se numete funcie sau variabil de comutaie (Utkin, 1977). Cele dou drepte definesc n planul fazelor o mulime de puncte cunoscut sub numele de suprafa de comutaie.

Fig.1.2. Regiunile planului fazelor rezultate din (1.2.4).

Comutarea coeficientului de transfer al regulatorului are loc n funcie de semnul variabilei de comutaie g~ (x1, x2) dup legea (1.2.3). Acesta este motivul pentru care se obine un SSV cu dou structuri, corespunztoare celor dou semne ale lui g~ (x1, x2), iar sistemul descris n (1.2.1) ... (1.2.3) este definit din punct de vedere analitic prin dou modele matematice (MM) diferite aferente celor dou regiuni din planul fazelor:

n regiunea I, unde g~ (x1, x2) > 0, MM are expresia


x& 1 = x2, x& 2 = x1 + 2 x2 4 x1 = 5 x1 + 2 x2, (1.2.5) y = x1;

n regiunea II, unde g~ (x1, x2) < 0, MM devine x& 1 = x2, x& 2 = x1 + 2 x2 + 4 x1 = 3 x1 + 2 x2, (1.2.6) y = x1; n fig.1.3 sunt ilustrate portretele de faz pentru sistemul (1.2.5) (fig.1.3-a) i sistemul (1.2.6) (fig.1.3-b). Punctul de echilibru al sistemului (1.2.5) este un focar instabil n origine; punctul de echilibru al sistemului (1.2.8) este de tip a, de asemenea instabil n origine (Belea, 1985; Khalil, 2002).

Fig.1.3. Portretele de faz pentru sistemul (1.2.5) (a) i sistemul (1.2.6) (b).

Portretul de faz al SSV (1.2.1) ... (1.2.4) este obinut prin reunirea celor dou portrete de faz. Este reprezentat portretul de faz al sistemului (1.2.5) n regiunea I a planului fazelor i portretul sistemului (1.2.6) n regiunea II. Rezult portretul de faz din fig.1.4.

Fig.1.4. Portretul de faz al SSV conform (1.2.1) ... (1.2.4).

Pentru analiza complet a comportamentului SSV ar trebui studiat dinamica sistemului pe mulimea g~ (x1, x2) = 0. Astfel, pe dreapta x1 = 0 are loc unirea fr dificultate a traiectoriilor de stare din regiunile I i II (Hung .a., 1993). Pe dreapta de ecuaie g = 0.5 x1 + x2 = 0.5 x1 + x& 1 = 0, (1.2.7)

(R.-E. Precup, UPT, 2013) 1.2 Bazele teoretice ale strategiei de reglare n mod alunector 15 care reprezint ea nsi o ecuaie de dinamic, portretul de faz este o traiectorie n lungul dreptei de comutaie g = 0 (a se vedea fig.1.4). Portretul de faz complet al SSV conform (1.2.1) ... (1.2.4) demonstreaz c n afar de posibile discontinuiti n direcia de micare la nivelul dreptei de ecuaie x1 = 0 nu mai pot apare alte caracteristici de micare (n plan) care nu sunt uzuale. Dreapta de ecuaie g = 0 conine numai punctele de sfrit ale traiectoriilor (de stare) care au punctele de nceput n ambele pri ale sale. Poate fi remarcat existena unei anumite traiectorii de micare de alunecare n lungul dreptei g = 0 numit, dup cum a fost precizat n subcapitolul 1.1, mod / regim alunector (m.a.). Prin urmare, o traiectorie de faz a SSV (1.2.1) ... (1.2.4) are n general dou pri componente, reprezentnd dou moduri ale sistemului. Prima parte o constituie modul / faza de atingere (reaching mode / phase), n care traiectoriile ncepnd cu orice punct al planului fazelor se ndreapt ctre o dreapt de comutaie (g = 0) pe care o ating n timp finit. A doua parte o constituie m.a., n care traiectoriile converg asimptotic ctre originea planului fazelor conform ecuaiei difereniale (1.2.7). Pe baza exemplului de SRA n mod alunector (SRA-ma) prezentat anterior pot fi evideniate urmtoarele observaii: 1. ntruct originea planului fazelor reprezint starea de echilibru a sistemului, m.a. reprezint comportarea sistemului pe parcursul regimului tranzitoriu. Altfel spus, dreapta de ecuaie g = 0 definete rspunsul tranzitoriu al sistemului pe parcursul m.a. 2. Pe parcursul m.a. (n continuare, pentru simplitate, expresia pe parcursul modului alunector va fi nlocuit cu expresia n mod alunector) MM (1.2.7) al SRA are ordin mai mic fa de MM al procesului condus. 3. n m.a. dinamica sistemului este influenat numai de parametrii care descriu dreapta de ecuaie g = 0. 4. M.a. reprezint o traiectorie de stare care nu apare nici n structura definit de sistemul (1.2.5) i nici n cea definit de sistemul (1.2.6). Deci, m.a. este un regim specific SSV, iar sistemul n m.a. este stabil (Voicu, 1986). 5. Este posibil ca ntr-un SSV s nu se instaleze niciun m.a., dar un astfel de sistem nu mai posed avantajele menionate asociate m.a. 6. Legat de definirea n (1.2.3) a coeficientului de transfer al regulatorului cu structur variabil, n continuare pe parcursul lucrrii va fi utilizat urmtoarea notaie general consacrat n literatura de specialitate:

( )

>


g: Rn Rm, g(x) = [g1(x) g2(x) ... gm(x)]T (1.3.2) i b) o lege de reglare (altfel spus, o comand) cu structur variabil

u: Rn R+ Rm, ( ) ( ) ( )( ) ( )

=

+

,0,,0,

,xgdactxuxgdactxu

txu (1.3.3)

astfel nct modurile de atingere s satisfac aa-numita condiie de atingere, i anume s ating mulimea S = {xRn | g(x) = 0} Rm, dim S = nm, (1.3.4) numit suprafa de comutaie, n timp finit. Relativ la aceast punere de problem pot fi fcute urmtoarele observaii: 1. n relaia (1.3.3) au fost folosite notaiile:

g(x)>0 gi(x)>0, i= m,1 , g(x)

(R.-E. Precup, UPT, 2013) 1.3 Punerea problemei de reglare n mod alunector 17 Fie x0 Rn vectorul de stare iniial a sistemului (1.3.6) la momentul iniial t0 (x0 = x(t0)), x(t) vectorul de stare al sistemului la un moment de timp oarecare t > t0 i SRn o suprafa de comutaie care include originea spaiului strilor x = 0. Definiia 1.3.2: Dac x0 S x(t) S, t > t0, (1.3.10) atunci x(t) reprezint un mod alunector al sistemului sau o traiectorie de micare de alunecare. Definiia 1.3.3: Se numete condiie de existen sau de meninere a modului alunector condiia care garanteaz implicaia (1.3.10) din definiia 1.3.2. Definiia 1.3.4: Dac fiecare punct al lui S este un punct de sfrit al traiectoriilor de stare, adic fiecare punct al lui S este atins de traiectoriile de stare din ambele pri ale lui S, atunci suprafaa de comutaie S se zice suprafa de alunecare. Definiia 1.3.5: Se numete condiie de atingere condiia conform creia traiectoria de stare se va deplasa ctre o suprafa de alunecare i o va atinge. Traiectoria sistemului supus condiiei de atingere se numete mod sau faz de atingere. Remarc: Spre deosebire de condiia de existen a m.a., condiia de atingere se refer la stri iniiale x0 care nu se afl pe S. Totui, unii autori (Hung .a., 1993; Slotine i Li, 1992) consider cele dou condiii de existen i de atingere ca strns legate una de cealalt i inseparabile.

1.3.2. Condiia de atingere i modul de atingere n cadrul acestui paragraf sunt prezentate trei abordri privind specificarea condiiei de atingere: A) Abordarea funciei de comutaie directe. Este cel mai vechi tip de condiie de atingere i are expresia (Utkin, 1978):

>< i

gg

gii

& , mi ,1= . (1.3.13)

Relaia (1.3.14) este implementabil relativ dificil n cazul proceselor multivariabile la intrare. B) Abordarea funciei Lyapunov. Prin alegerea unui candidat de funcie Lyapunov (Itkis, 1976) V(x, t) = gT(x, t)g(x, t), (1.3.14) se obine o condiie de atingere global sub forma

V& (x, t) < 0 x Rn cu g(x, t) 0. (1.3.15) Garantarea unui timp de atingere finit se face prin modificarea relaiei (1.3.15):

V& (x, t) < x Rn cu g(x, t) 0, (1.3.16) unde constanta > 0 rmne la latitudinea proiectantului de SRA. C) Abordarea legii de atingere. Punctul esenial al acestei abordri l constituie metoda legii de atingere (reaching law method) care specific n mod direct dinamica funciei de comutaie i, prin


aceasta, caracteristicile dinamice ale SRA-ma pe parcursul fazei de atingere. Conform acestei metode se consider c dinamica funciei de comutaie este specificat prin intermediul urmtorului sistem de ecuaii difereniale ordinare (Hung .a., 1993) numit lege de atingere:

g& = Q sgn(g) K f(g), (1.3.17) n care Q i K sunt matrice diagonale date (prin proiectare) cu toate elementele pozitive, joac rol de coeficieni de transfer i sgn(g) = [sgn(g1) sgn(g2) ... sgn(gm)]T, f(g) = [f1(g1) f2(g2) ... fm(gm)]T, g = [g1 g2 ... gm]T. (1.3.18) Funciile scalare fi satisfac condiia

gifi(gi) > 0 gi 0, i = m,1 . (1.3.19) Diversele moduri de alegere a lui Q i K specific viteze de variaie diferite pentru g rezultnd diferite structuri ale legii de atingere. n acest sens se dau trei exemple: 1) Legea de atingere cu vitez de variaie constant

g& = Q sgn(g). (1.3.20) 2) legea de atingere cu vitez de variaie constant i de tip proporional

g& = Q sgn(g) K g. (1.3.21) 3) legea de atingere cu vitez de variaie de tip putere

ig& = ki |gi| sgn(gi), 0

(R.-E. Precup, 13) 1.4 Sisteme de reglare automat n mod alunector cu timp continuu (SRA-ma-e) 19 - utilizarea unei transformri de stare (Khalil, 2002); b) se generalizeaz ecuaiile de stare din MM-ISI de forma (1.4.1) la un model de ordin egal cu ordinul PC, caz n care prezentrile ulterioare vor deveni ceva mai complicate. Termenul perturbator f din (1.4.1) nsumeaz unul sau mai multe din urmtoarele elemente: - perturbaia extern de tip sarcin v; - referina w; - derivatele lui v ( v& i / sau v&& ); - derivatele lui w ( w& i / sau w&& ). Dac procesul (1.4.1) este ncadrat ntr-o bucl de reglare (cu reacie negativ stabilizatoare), atunci n cel mai simplu caz comanda u este proporional cu eroarea de reglare e = x1: u = x1, (1.4.2) unde = const > 0 este coeficientul de transfer al regulatorului (de tip P). Dac ns PC este parte a unei bucle de reglare cu reacie pozitiv, atunci expresia legii de reglare va fi u = x1, = const > 0. (1.4.3) Prin analogie cu exemplul prezentat n subcapitolul 1.2 se ncearc reglarea procesului (1.4.1) prin utilizarea unei legi de reglare cu structur variabil avnd expresia

=

,

'1

'1

BBxdacxAAxdacx

u (1.4.4)

n care x = [x1 x2]T reprezint vectorul de stare al PC i regiunile A, A', B, B' din planul fazelor sunt delimitate de dreptele x1 = 0, g = x2 + c x1 = 0, (1.4.5) cu c = const > 0 i g variabila / funcia de comutaie (a se vedea fig.1.5).

Fig.1.5. Regiunile planului fazelor aferente relaiilor (1.4.4) i (1.4.5).

n vederea uurrii calculelor, legea de reglare (1.4.4) poate fi rescris sub forma u = x1, (1.4.6) unde

=

.0,0

1

1

gxdacgxdac

(1.4.7)

Utiliznd relaiile prezentate anterior se poate pune n eviden structura SRA-ma-e ilustrat n fig.1.6.


Fig.1.6. Schema bloc informaional a SRA-ma-e.

Pentru nceput vor fi studiate condiiile de atingere a dreptei x1 = 0. Astfel, utiliznd relaia (1.4.1), rezult succesiv

0limlim 2001

00

11

11

> xx

xx

xx

& dac x2 < 0, (1.4.8)

0limlim 2001

00

11

11

>= 0, (1.4.9)

0limlim 2001

00

11

11

>=>

> xx

xx

xx

& dac x2 > 0, (1.4.10)

0limlim 2001

00

11

11

00

lim111

22

1112

2

00 xdacfxbacca

xdacfxbaccag

gg

& , (1.4.15)

( )( )

+=

c (a2 c) a1 + f / x1, (1.4.17) b < c (a2 c) a1 + f / x1, (1.4.18)

(R.-E. Precup, 13) 1.4 Sisteme de reglare automat n mod alunector cu timp continuu (SRA-ma-e) 21 atunci din (1.4.15) i (1.4.16) se concluzioneaz c este satisfcut condiia de atingere a dreptei g = 0. Prin urmare, (1.4.17) i (1.4.18) reprezint condiiile necesare i suficiente de existen a unui m.a. pe dreapta g = 0. Presupunnd condiiile (1.4.17) i (1.4.18) satisfcute, se pune problema caracterizrii dinamicii SRA-ma-e. Astfel, n regim alunector ideal se anuleaz variabila de comutaie i relaia (1.4.1.6) duce la x2 = c x1. (1.4.19) nlocuind expresia lui x2 din prima ecuaie a relaiei (1.4.1) n (1.4.1.19) se obine ecuaia diferenial caracteristic m.a.

1x& (t) + c x1(t) = 0, (1.4.20) a crei soluie este x1(t) = x1(t0)exp[c(tt0)], (1.4.21) unde t0 reprezint momentul de timp la care SRA-ma-e intr n regim alunector sau durata fazei de atingere. Deci sistemul n m.a. este asimptotic stabil pentru orice stare iniial x(t0) = [x1(t0) x2(t0)]T situat pe dreapta de comutaie g = 0, de unde rezult c regimul alunector este de dorit cel puin din punctul de vedere al stabilitii sistemului. ntruct condiiile (1.4.17) i (1.4.18) de existen / meninere a regimului alunector n sistem au fost obinute deja, n continuare va fi prezentat fr demonstraie o teorem care stabilete condiia de atingere (a dreptei de comutaie g=0).

Teorema 1.4.1 (Itkis, 1976): Starea SRA-ma-e atinge dreapta de comutaie dac i numai dac ecuaia caracteristic a sistemului cu = nu are rdcini reale pozitive. n continuare vor fi punctate urmtoarele observaii legate de enunul teoremei 1.4.1: 1. Teorema afirm c se atinge dreapta de ecuaie g = 0 dac SRA-ma-e cu reacie negativ nu este instabil i aperiodic.

2. Conform enunului teoremei, nu este necesar stabilitatea SRA-ma-e cu =, admindu-se rdcini ale ecuaiei caracteristice care sunt reale strict negative precum i rdcini complex conjugate. 3. Ecuaia caracteristic la care se refer enunul teoremei 1.4.1 are expresia s2 + a2 s + (a1 + b ) = 0. (1.4.22) 4. n teorem se stipuleaz c nu este neaprat necesar ca starea sistemului s ating efectiv dreapta de comutaie g = 0. Condiia de atingere se consider satisfcut i dac traiectoriile de stare tind asimptotic ctre originea planului fazelor sau ctre dreapta g = 0, situaie denumit atingere asimptotic i ilustrat n fig.1.7. Teorema 1.4.1 nu impune restricii suplimentare spectaculoase asupra alegerii parametrilor regulatorului cu structur variabil. De fapt, teorema cere doar ca termenii b i b (proporionali sau invers proporionali n funcie de semnul lui b cu coeficienii de transfer {, } ai regulatorului) trebuie s fie suficient de mari. ntr-adevr, dac este ndeplinit condiia (suficient) b > a22/4 a1, (1.4.23) atunci ecuaia (1.4.22) va avea rdcini complex conjugate, ceea ce va conduce la atingerea dreptei de comutaie g = 0. n concluzie, prin creterea valorilor termenilor b i b (obinut prin alegerea adecvat a valorilor parametrilor {, }) poate fi garantat ntotdeauna condiia de atingere. n plus, creterea valorilor lui i conduce la reducerea duratei fazei de atingere (a se vedea analogia cu scderea timpului de cretere la SRA convenionale (Preitl .a., 1996)) i, procednd n acest mod, dinamica SRA-ma-e va depinde mai puin de parametrii PC deoarece dinamica sistemului n m.a. este guvernat de ecuaia (1.4.20), care nu conine parametrii PC i depinde doar de parametrul c.


Fig.1.7. Relativ la atingerea asimptotic.

Concluzionnd, parametrii de acordare strict pozitivi ai regulatorului cu structur variabil din cadrul structurii prezentate de SRA-ma-e-tc sunt {c, , }. Acordarea acestor parametri se face pe baza metodei de proiectare a SRA-ma-e-tc cu regulator cu structur variabil n m.a. care urmrete parcurgerea urmtoarelor etape: 1) Exprimarea modelului matematic (MM) al procesului condus (PC) sub forma ecuaiilor de stare (1.4.1). 2) Stabilirea valorii parametrului c astfel nct s se asigure o dinamic dorit a sistemului n m.a. 3) Determinarea valorilor parametrilor i innd seama de relaiile (1.4.17), (1.4.18) i (1.4.23). n majoritatea aplicaiilor de conducere (cel puin n cazul conducerii proceselor liniare / liniarizate cu parametri variabili) este recomandat, pentru simplitate, considerarea parametrilor i de aceeai valoare, = . (1.4.24) La alegerea i determinarea valorilor parametrilor de acordare ai regulatorului n etapele 2) i 3) sunt utilizate performanele impuse SRA. Dei metoda de proiectare a SRA-ma-e este simpl, performanele dinamice asigurate de SRA-ma-e sunt bune; exemplul urmtor susine acest punct de vedere.

Exemplul 1.4.1: S se proiecteze o structur de SRA-ma-e cu timp continuu (SRA-ma-e-tc) destinat reglrii vitezei unghiulare (turaiei) unui motor de curent continuu cu excitaie separat. Schema bloc informaional a procesului condus este prezentat n fig.1.8. Pentru simplitate se consider c elementul de msur este inclus n procesul condus. Altfel spus, se presupune c traductorul de vitez () utilizat ca element de msur (este vorba despre un tahogenerator) are coeficientul de transfer egal cu unitatea. Totui pe schem apare elementul de execuie reprezentat de un amplificator de putere (chopper) cu dinamic negljiabil n raport cu cea a procesului. Prin urmare, prin includerea dinamicii n proces rezult c elementul de execuie poate fi modelat matematic printr-un element de tip proporional cu coeficientul de transfer kp.

Fig.1.8. Schema bloc informaional a procesului condus.

(R.-E. Precup, 13) 1.4 Sisteme de reglare automat n mod alunector cu timp continuu (SRA-ma-e) 23 Celelalte mrimi i ceilali parametri care apar n fig.1.8 au semnificaii cunoscute (Muuroi i Popovici, 2006). Se dau valorile parametrilor procesului condus (Antic .a., 1992): km = 0.33 Nm/A, ke = 0.33 Vsec/rad, La = 14.28 mH, Ra = 4.2 , J = 0.7110-3 kgm2, kp = 35 V/V. Se cer rezultate de simulare numeric a comportrii SRA-ma-e proiectat.

Soluie: Pentru a aduce MM al PC la forma (1.4.1) se pornete de la ecuaiile de stare aferente MM-ISI al PC

ai& = -(Ra/La) ia (ke/La) + (kp/La) u, (1) & = (km/J) ia (1/J) v. (2) Prin utilizarea notaiei x1 = w = w y, (3) relaiile (1) i (2) pot fi rearanjate sub forma (1.4.1) necesar proiectrii SRA-ma-e. Astfel, eliminnd pe ia din relaiile (1) i (2) rezult modelul matematic intrare-ieire (MM-II) n domeniul timp aferent PC y&& + (Ra/La) y& + (kekm/J/La)y = (kekp/J/La)u (Ra/J/La)v (1/J) v& . (4) Substituind n (4) expresiile (5) ... (7) y = w x1, (5)

,xwxwy 21 == &&&& (6) ,xwy 2&&&&& = (7) se obine forma dorit (dat de relaiile (1.4.1)) a ecuaiilor de stare aferente MM-ISI al PC, n care parametrii i termenul f au urmtoarele expresii i valori (Precup i Fogarai, 1992): a1 = kekm/J/La = 1.07104, (8) a2 = Ra/La = 294.1, (9) b = kmkp/J/La = 1.13106, (10) f = w&& + a2 w& + a1w + (1/J) v& + (a2/J)v = w&& + 294.1 w& + + 1.07104w + 1408.5 v& + 4.14105v. (11) Observaie: Pentru simplitate, calculele care duc la MM (1.4.1) al procesului condus pot fi efectuate i n domeniul operaional prin aplicarea transformrii Laplace n condiii iniiale nule innd seama de proprietile transformrii Laplace (Precup .a., 2002). Proiectarea regulatorului cu structur variabil din cadrul SRA-ma-e se face prin parcurgerea celor doi pai menionai anterior. n acest sens se impune c = 240 i apoi, pentru satisfacerea condiiilor (1.4.17) i (1.4.18), se alege = 2. Trebuie remarcat faptul c dei condiia (1.4.23) nu este ndeplinit, teorema 1.4.1 este verificat. Acest lucru ilustreaz suficiena condiiei (1.4.23). n fig.1.9 este prezentat rspunsul SRA-ma-e-tc proiectat considernd urmtorul scenariu de simulare: - modificarea treapt a referinei: w(t) = 20 (t) pentru t [0; 0.1] sec; (12) - scderea cu 25 % (fa de valoarea prezentat n enun) a momentului de inerie J pe intervalul

[0.03; 0.06) sec; - modificarea treapt a perturbaiei: v(t) = 12 (t 0.06) pentru t [0.06; 0.1] sec. (13) n relaiile (12) i (13) prin (t) a fost notat semnalul de tip treapt unitate.


Fig.1.9. Rspunsul SRA-ma-e-tc proiectat.

Dei n fig.1.8 este ilustrat doar o parte din rezultatele simulrii numerice a comportrii SRA-ma-e proiectat, poate fi observat faptul c c performanele realizate de sistem sunt bune. Rmne ca exerciiu pentru cititor obinerea schemei bloc informaionale a SRA-ma-e. n finalul acestui paragraf trebuie menionat faptul c abordrile pot fi generalizate fr dificultate la conducerea unor procese de complexitate mai ridicat. Sunt avute n vedere procesele de ordin mai mare dect doi sau procesele cu parametri variabili n timp (Itkis, 1976; Utkin, 1978).

1.4.2. Sisteme de reglare automat n mod alunector cu timp continuu prin comutaie bazat pe eroarea de reglare n variant PI

Dup cum a fost prezentat n paragrafele anterioare, strategia de reglare cu structur variabil n mod alunector prin comutaie bazat pe eroarea de reglare are avantaje importante, dintre care se amintesc:

performane bune de regim dinamic exprimate prin rspunsuri rapide; sensibilitate redus la perturbaii parametrice i de tip sarcin.

n faza de implementare a regulatoarelor cu structur variabil apare ns problema limitrii superioare a frecvenei de comutaie i a valorii absolute a comenzii (datorit ineriei elementului de execuie i echipamentului de conducere numeric) cu efecte negative manifestate prin (a se vedea exemplul 1.4.1):

apariia unor oscilaii nedorite de frecven ridicat cunoscute sub numele de chattering (Utkin, 1978) care se suprapun peste rspunsul sistemului n regim staionar constant;

existena statismului, adic valoarea de regim staionar constant (VRSC) a erorii de reglare este nenul pentru semnale constante aplicate intrrii de referin i intrrii de perturbaie.

Acestea sunt motivele pentru care se consider util combinarea strategiei de reglare cu structur variabil n mod alunector cu strategia de reglare clasic de tip PI n scopul mbuntirii performanelor de regim dinamic i staionar ale sistemului (Hung .a., 1993; Milosavljevic .a., 1994). Totodat, aceast combinare permite eliminarea fenomenului de chattering. Pe de alt parte, aceleai efecte benefice se pot obine prin introducerea unui termen integral n circuitul erorii de reglare conform celor cunoscute la sistemele de reglare automat cu reacie dup stare (SRA-x) (Preitl i Precup, 2001). n cadrul acestui paragraf va fi abordat doar combinarea strategiei de reglare cu structur variabil (n mod alunector) cu cea de tip PI. Sunt posibile dou modaliti de combinare care duc la diverse structuri de regulatoare:

(R.-E. Precup, 13) 1.4 Sisteme de reglare automat n mod alunector cu timp continuu (SRA-ma-e) 25

A) Regulatorul de tip PI (RG-PI) este introdus n aval fa de regulatorul propriu-zis cu structur variabil, deci eroarea de reglare este aplicat direct regulatorului cu structur variabil; rezult regulatorul notat cu structur variabil notat cu RG-SVPI.

B) RG-PI este introdus n amonte fa de regulatorul propriu-zis cu structur variabil, adic imediat dup elementul de comparare care genereaz eroarea de reglare; rezult regulatorul notat cu RG-PISV.

n cele ce urmeaz vor fi tratate pe larg ambele structuri de regulatoare. Se consider c procesul condus este modelat matematic conform relaiilor (1.4.1), iar aspectele legate de ordinul modelului matematic al PC prezentate n paragraful 1.4.1 rmn valabile i n cadrul acestui paragraf. A) Regulatorul cu structur variabil cu regulator de tip PI n aval (RG-SVPI). Pentru aceast structur de regulator variabila de comutaie are expresia g(t) = c x1(t) + x2(t), (1.4.25) n care parametrul c = const > 0 determin panta dreptei de comutaie g = 0 n planul strilor i, n acelai timp, viteza de rspuns a SRA-ma-e n m.a.; pentru un rspuns rapid c trebuie ales de valoare ct mai mare. Pentru RG-SVPI sunt cunoscute dou variante de structuri (Milosavljevic .a., 1992): A.1) RG-SVPI de tip cvasireleu; A.2) RG-SVPI de tip releu ideal, prezentate n continuare. A.1) RG-SVPI de tip cvasireleu funcioneaz pe baza legii de reglare

u(t) = (t) x1(t) + (1/Ti) t0

() x1() d, (1.4.26)

cu Ti constanta de timp de integrare, (t) = sgn(g(t)x1(t)). (1.4.27) Parametrul = const > 0 trebuie determinat din condiia de atingere, considerat n cadrul acestui paragraf drept cuplat n acest paragraf cu condiia de existen a m.a. (a se vedea relaia (1.3.12)) i exprimat n (1.4.28):

g(t) g& (t) < 0. (1.4.28) Pentru reducerea volumului lucrrii se recurge n cele ce urmeaz la eliminarea, pe alocuri, a variabilei independente timp (t). Este exprimat sperana c aceast simplificare nu va afecta nelegerea ideilor expuse. Derivnd n raport cu timpul variabila de comutaie g exprimat conform relaiei (1.4.25) i substituind pe x1 i x2 din ecuaiile de stare (1.4.11), rezult

g& = c 1x& + 2x& = c x2 a1 x1 a2 x2 + b u + f = = a1 x1 + (c a2) x2 + b u + f. (1.4.29) Dar relaia (1.4.25) este echivalent cu x2 = g c x1. (1.4.30) nlocuind variabila de stare x2 din (1.4.30) n (1.4.29) se obine g& = (c a2) g [(c2 a2 c + a1) x1 b u f]. (1.4.31) n continuare se face urmtoarea presupunere (Milosavljevic .a., 1992): c < a2. (1.4.32) Prin nmulirea relaiei (1.4.31) cu g rezult g g& = (c a2) g2 g [(c2 a2 c + a1) x1 b u - f]. (1.4.33)


ns termenul (c a2) g2 este ntotdeauna negativ (a se vedea relaia (1.4.32)), deci pentru satisfacerea condiiei (1.4.28) este suficient ca g [(c2 a2 c + a1) x1 b u f] > 0. (1.4.34) nlocuind comanda u din (1.4.26) n (1.4.34) innd seama de relaia (1.4.27), rezult (Precup i Fogarai, 1992)

g(t) [(c2 - a2 c + a1) x1(t) b x1(t)sgn(g(t)x1(t))

(b /Ti) t0

x1()sgn(g()x1()) d f(t)] > 0. (1.4.35)

n continuare, n funcie de semnul variabilei de comutaie g pot fi explicitate dou cazuri. 1) Cazul g(t) > 0. Relaia (1.4.35) devine

(c2 a2 c + a1) x1(t) b |x1(t)| (b /Ti) t0

|x1()| d f(t) > 0, (1.4.36)

de unde se obine

b < [(c2 a2 c + a1) x1(t) f(t)]/[|x1(t)| + (1/Ti) t0

|x1()| d]. (1.4.37)

2) Cazul g(t) < 0. Relaia (1.4.35) se transform de data aceasta n

(c2 a2 c + a1) x1(t) + b |x1(t)| + (b /Ti) t0

|x1()| d f(t) < 0, (1.4.38)

de unde rezult

b < [ (c2 a2 c + a1) x1(t) + f(t)]/[|x1(t)| + (1/Ti) t0

|x1()| d]. (1.4.39)

Din relaiile (1.4.37) i (1.4.39) rezult urmtoarea dependena care permite calculul parametrului :

b < |(c2 a2 c + a1) x1(t) f(t)|/[|x1(t)| +(1/Ti) t0

|x1()| d]. (1.4.40)

n fig.1.10 este prezentat structura SRA-ma-e-tc cu RG-SVPI de tip cvasireleu.

Fig.1.10. Structura SRA-ma-e-tc cu RG-SVPI de tip cvasireleu.

Schema bloc informaional din fig.1.10 pune n eviden cei trei parametri de acordare (strict pozitivi) ai RG-SVPI de tip cvasireleu, {Ti, c, }. Metoda de proiectare a SRA-ma-e cu RG-SVPI de tip cvasireleu presupune parcurgerea urmtoarelor etape:

(R.-E. Precup, 13) 1.4 Sisteme de reglare automat n mod alunector cu timp continuu (SRA-ma-e) 27 1) Exprimarea MM al PC sub forma ecuaiilor de stare (1.4.1). 2) Stabilirea valorii constantei de tip de integrare Ti, recomandndu-se n acest scop aplicarea principiului compensrii (Precup i Fogarai, 1992; Preitl i Precup, 2001). 3) Alegerea valorii parametrului c innd seama de relaia (1.4.32) i de performanele impuse SRA. 4) Determinarea valorii parametrului din relaia (1.4.40) presupunnd anumite forme de variaie pentru w i v. A.2) RG-SVPI de tip releu ideal este concentrat asupra urmtoarei legi de reglare:

u(t) = U0sgn(g(t)) + (1/Ti) t0

U0sgn(g() d, (1.4.41)

n care U0 = const > 0 i variabila de comutaie g este exprimat conform relaiei (1.4.25). n fig.1.11 este ilustrat schema bloc informaional a SRA-ma-e cu RG-SVPI de tip releu ideal, de unde pot fi observai parametrii de acordare strict pozitivi ai regulatorului {Ti, c, U0}. Metoda de proiectare a SRA-ma-e-tc cu RG-SVPI de tip releu ideal const n parcurgerea urmtoarelor etape:

1) Aducerea MM al PC la forma exprimat prin ecuaiile de stare (1.4.1). 2) Stabilirea valorii lui Ti aplicnd principiul compensrii. 3) Alegerea valorii lui c conform relaiei (1.4.32) i innd seama de performanele impuse

SRA. 4) Determinarea valorii lui U0 printr-o procedur similar obinerii lui n cazul A.1) i

prezentat n cele ce urmeaz. Astfel, substituind comanda u(t) din relaia (1.4.41) n condiia suficient de existen (i

atingere) a m.a. (1.4.34), rezult

g(t)[(c2a2c+a1)x1(t)bU0sgn(g(t))(bU0/Ti) t0

sgn(g())df(t)]>0. (1.4.42)

n funcie de semnul variabilei de comutaie g pot explicitate dou cazuri.

Fig.1.11. Structura SRA-ma-e-tc cu RG-SVPI de tip releu ideal.

1) Cazul g(t) > 0. Relaia (1.4.42) se transform n (c2 a2 c + a1) x1(t) b U0 (1 + t/Ti) f(t) > 0, (1.4.43) echivalent cu b U0 < [(c2 a2 c + a1) x1(t) f(t)]/(1 + t/Ti). (1.4.44) 2) Cazul g(t) < 0. Relaia (1.4.42) devine (c2 a2 c + a1) x1(t) + b U0 (1 + t/Ti) f(t) < 0, (1.4.45)


de unde se obine b U0 < [ (c2 a2 c + a1) x1(t) + f(t)]/(1 + t/Ti). (1.4.46) n final, din relaiile (1.4.44) i (1.4.46) rezult relaia de calcul al parametrului de acordare U0: b U0 < |(c2 a2 c + a1) x1(t) f(t)|/(1 + t/Ti). (1.4.47) Relaia (1.4.47) este aplicabil pentru forme cunoscute de variaie ale referinei w i perturbaiei v. B) Regulatorul cu structur variabil cu regulator de tip PI n amonte (RG-PISV). Notnd cu x3 ieirea RG-PI (cu coeficientul de transfer unitar i constanta de timp de integrare Ti) situat imediat n aval fa de elementul de comparare al SRA-ma-e (deci, RG-PI admite pe x1 ca intrare), poate fi exprimat urmtoarea dependen intrare-ieire pentru RG-PI (este folosit i prima ecuaie din (1.4.1)):

3x& = x2 + (1/Ti) x1. (1.4.48) Prin urmare, rescrierea relaiilor (1.4.1) i (1.4.48) conduce la ecuaiile de stare ale PC extins cu RG-PI:

1x& = x2, 2x& = a1 x1 a2 x2 + b u + f, (1.4.49) 3x& = (1/Ti) x1 + x2. Remarc: Prin lucarea n considerare a unei variante paralel pentru RG-PI, x3 este ieirea elementului de tip I. Acest lucru duce la alte variante ale ecuaiilor (1.4.48) i (1.4.49).

Spre deosebire de cazul SRA-ma-e-tc cu RG-SVPI la care s-a lucrat cu un sistem de ordinul al doilea, n situaia SRA-ma-e-tc cu RG-PISV este vorba despre un sistem de ordinul al treilea. Acest lucru duce la alt expresie a variabilei de comutaie: g(t) = c1 x1(t) + c2 x2(t) + x3(t), (1.4.50) unde parametrii strict pozitivi c1 i c2 determin poziia / panta planului de comutaie g=0 n spaiul strilor i, n acelai timp, viteza de rspuns a sistemului n m.a. Pentru RG-PISV sunt considerate similar situaiei de la RG-SVPI dou variante de structuri de regulatoare cu structur variabil (Milosavljevic .a., 1992): B.1) RG-PISV de tip cvasireleu, B.2) RG-PISV de tip releu ideal. B.1) RG-PISV de tip cvasireleu este caracterizat de urmtoarea lege de reglare: u(t) = (t) x1(t), (1.4.51) n care (t) = sgn(g(t)x1(t)), (1.4.52) cu observaia c ultima relaie este identic relaiei (1.4.27). Determinarea parametrului = const > 0 se face pe baza respectrii condiiei de atingere i de existen a m.a. exprimat sub forma relaiei (1.4.28). Derivnd pe g din (1.4.52) innd seama de ecuaiile de stare (1.4.49), se obine

g& = c1 1x& + c2 2x& + 3x& = c1x2 c2a1x1 c2a2x2 + bc2u + c2f + + x2 + (1/Ti)x1 = (1/Tic2a1)x1 + (c1c2a2+1)x2 + bc2u + c2f. (1.4.53) ns, relaia (1.4.50) poate fi rescris sub forma x2 = (g c1 x1 x3)/c2, (1.4.54) iar x2 astfel exprimat poate fi nlocuit n relaia (1.4.53) cu rezultatul

(R.-E. Precup, 13) 1.4 Sisteme de reglare automat n mod alunector cu timp continuu (SRA-ma-e) 29 g& = (c1 c2 a2 + 1) g/c2 {[(c12 c1 c2 a2 + c1)/c2 1/Ti + + c2 a1] x1 + (c1 c2 a2 + 1) / c2 x3 b c2 u c2 f}. (1.4.55) Presupunnd c1 + 1 < c2 a2, (1.4.56) prin nmulirea relaiei (1.4.55) cu g se obine

g g& = (c1 c2 a2 + 1) g2/c2 g {[(c12 c1 c2 a2 + c22 a1 + + c1)/c2 1/Ti] x1 + (c1 c2 a2 + 1) / c2 x3 b c2 u c2 f}. (1.4.57)

ntruct termenul (c1 c2 a2 + 1)/ c2 este ntotdeauna negativ, din relaia (1.4.57) poate fi dedus imediat o condiie (suficient) de existen a m.a.:

g {[(c12c1c2a2+c22a1+c1)/c2 1/Ti]x1 + (c1 c2a2 +1) /c2 x3 bc2u c2f} > 0. (1.4.58) Substituind comanda u din (1.4.51) n (1.4.58), rezult

g(t) {[(c12 c1 c2 a2 + c22 a1 + c1)/c2 1/Ti] x1(t) + + (c1c2a2+1) / c2 x3(t) b c2 x1(t)sgn(g(t)x1(t)) c2 f(t)} > 0. (1.4.59) Dependent de semnul variabilei g n continuare pot fi explicitate dou cazuri. 1) Cazul g(t) > 0. Relaia (1.4.59) devine [(c12 c1 c2 a2 + c22 a1 + c1)/c2 1/Ti] x1(t) + (c1c2a2+1) /c2 x3(t) b c2 |x1(t)| c2 f(t) > 0, (1.4.60) de unde se obine

b|x1(t)| < [(c12c1c2a2+c22a1+c1)/c21/Ti]x1(t)/c2 + (c1c2a2+1) / c22 x3(t) f(t). (1.4.61)

2) Cazul g(t) < 0. Relaia (1.4.59) se transform de data aceasta n urmtoarea relaie: [(c12 c1 c2 a2 + c22 a1 + c1)/c2 1/Ti] x1(t) + (c1c2a2+1) /c2 x3(t) + + b c2 |x1(t)| c2 f(t) < 0, (1.4.62) care este echivalent cu

b|x1(t)|< [(c12c1c2a2+c22a1+c1)/c21/Ti]x1(t)/c2 (c1c2a2+1) / c22 x3(t) + f(t). (1.4.63) Din (1.4.61) i (1.4.63) poate fi dedus relaia care permite determinarea lui :

b|x1(t)|< |[(c12c1c2a2+c22a1+c1)/c21/Ti]x1(t)/c2 + (c1c2a2+1) / c22 x3(t) f(t)|. (1.4.64) Prin urmare, metoda de proiectare a SRA-ma-e-tc cu RG-PISV de tip cvasireleu poate fi sintetizat sub forma urmtoarelor etape:

1) Se aduce modelul matematic al procesului condus la forma (1.4.1) rezultnd valorile parametrilor a1, a2 i b.

2) Se determin valoarea lui Ti pe baza principiului compensrii. 3) Se aleg valorile parametrilor c1 > 0 i c2 > 0 innd seama de performanele impuse SRA i

de condiia suficient (1.4.56). 4) Se selecteaz valoarea parametrului > 0 pe baza relaiei (1.4.64), n condiiile acceptrii

anumitor forme cunoscute de variaie ale intrrilor SRA, w i v. n fig.1.12 este prezentat schema bloc informaional a SRA-ma-e-tc cu RG-PISV de tip cvasireleu. Schema pune n eviden parametrii de acordare {Ti, c1, c2, } ai RG-PISV.


Fig.1.12. Structura SRA-ma-e-tc cu RG-PISV de tip cvasireleu.

B.2) RG-PISV de tip releu ideal. n aceast situaie legea de reglare are expresia u(t) = U0sgn(g(t)), U0 = const > 0. (1.4.65) Schema bloc informaional a SRA-ma-e rezultat este ilustrat n fig.1.13.

Fig.1.13. Structura SRA-ma-e-tc cu RG-PISV de tip releu ideal.

n fig.1.13 sunt pui n eviden parametrii de acordare ai regulatorului, {Ti, c1, c2, U0}. Proiectarea SRA cu regulator cu structur variabil n aceast variant se desfoar similar variantelor structuri de SRA cu regulatoare prezentate anterior (este vorba despre A.1), A.2) i B.1)). Rezult metoda de proiectare a SRA-ma-e-tc cu RG-PISV de tip releu ideal caracterizat prin necesitatea parcurgerii urmtoarelor etape: 1) Se aduce MM al PC la forma (1.4.1). 2) Se determin valoarea constantei de timp de integrare Ti aplicnd principiul compensrii. 3) Se aleg valorile parametrilor c1 > 0 i c2 > 0 innd seama de condiia (1.4.56) i de performanele impuse SRA. 4) Se alege valoarea parametrului U0 pe baza calculelor care urmeaz. Astfel, se nlocuiete comanda expresia comenzii u din (1.4.65) n (1.4.58), rezultatul fiind urmtorul:

g(t) {[(c12 c1 c2 a2 + c22 a1 + c1) / c2 1/Ti] x1(t) + + (c1c2a2+1) / c2 x3(t) b c2 U0sgn(g(t)) c2 f(t)} > 0. (1.4.66)

(R.-E. Precup, 13) 1.4 Sisteme de reglare automat n mod alunector cu timp continuu (SRA-ma-e) 31 Dependent de semnul variabilei g pot fi explicitate dou cazuri. 1) Cazul g(t) > 0. Relaia (1.4.66) se transform n [(c12c1c2a2+c22a1+c1) / c21/Ti]x1(t) + (c1c2a2+1) / c2 x3(t) bc2U0 c2f(t) > 0, (1.4.67) echivalent cu

bU0


Fig.1.14. Rspunsul SRA-ma-e-tc proiectat, cu RG-SVPI de tip cvasireleu sau cu RG-SVPI de tip releu

ideal.

n cazul RG-SVPI de tip releu ideal valoarea lui U0 se obine innd seama de relaia (1.4.47): U0 = 3, (5) rspunsul SRA-ma-e fiind practic identic celui din fig.1.14. Pentru cele dou variante de RG-PISV se aleg valorile parametrilor c1 i c2 pe baza relaiei (1.4.56): c1 = 500, c2 = 10. (6) n cazul RG-PISV de tip cvasireleu se constat c alegerea valorii parametrului conform relaiei (4) garanteaz ndeplinirea condiiei (1.4.56). Rspunsul SRA-ma-e proiectat n condiiile scenariului de simulare acceptat este prezentat n fig.1.15.

Fig.1.15. Rspunsul SRA-ma-e-tc proiectat, cu RG-PISV de tip cvasireleu.

n cazul RG-PISV de tip releu ideal alegerea valorii lui U0 conform relaiei (5) conduce la ndeplinirea condiiei (1.4.71) din cadrul metodei de proiectare. Rspunsul SRA-ma-e proiectat este prezentat n fig.1.16. Pe baza analizei rezultatelor de simulare numeric privind cele patru variante de SRA-ma-e-tc proiectate, sunt considerate importante urmtoarele aspecte: 1. Toate cele patru variante de SRA-ma-e-tc sunt astatice (adic asigur statism nul n sensul (Preitl i Precup, 2001)) datorit prezenei componentei PI cu caracter integrator n legea de reglare. n

(R.-E. Precup, 13) 1.4 Sisteme de reglare automat n mod alunector cu timp continuu (SRA-ma-e) 33 plus, prin adugarea componentei PI n legea de reglare se mbuntesc i performanele de regim dinamic ale SRA.

Fig.1.16. Rspunsul SRA-ma-e-tc proiectat, cu RG-PISV de tip releu ideal.

2. Cele dou variante de RG-SVPI n spe, de tip cvasireleu i de tip releu ideal asigur rspunsuri foarte apropiate ale SRA. 3. Comportamentul cel mai bun al SRA n raport cu modificarea referinei w l asigur RG-SVPI, iar n raport cu modificarea perturbaiei v i momentului de inerie J (parametru al procesului condus) cel mai bun se dovedete a fi RG-PISV de tip releu ideal. 4. Cele dou variante de RG-PISV i RG-SVPI de tip cvasireleu asigur cel mai bine reducerea efectelor fenomenului de chattering.

1.5. Sisteme de reglare automat n mod alunector cu timp continuu prin comutaie bazat pe reacie dup stare

Aceast clas de sisteme de reglare automat n mod alunector cu timp continuu prin comutaie bazat pe reacie dup stare (SRA-ma-x-tc sau SR-ma-x) este caracterizat prin faptul c utilizeaz pentru construcia variabilei de comutaie variabilele de stare ale procesului condus. Teoria aferent este ilustrat n cea mai simpl abordare dac sunt luate n considerare procese liniare / liniarizate monovariabile.

1.5.1. Sisteme de reglare automat n mod alunector cu timp continuu prin comutaie bazat pe reacie dup stare fr corecia erorii de reglare

Pentru analiza clasei de SRA-ma-x-tc fr corecia erorii de reglare, procesul condus (PC) se consider caracterizat prin sistemul monovariabil de ordinul n liniar invariant n timp cu MM-ISI

px& = Ap xp + bp u + bpv v, y = cpT xp, (1.5.1) n care: xp (n, 1) vectorul de stare al PC, y ieirea reglat, u comanda, v perturbaia i matricele Ap (n, n), bp (n, 1), bpv (n, 1), cpT (1, n) sunt constante. Cea mai simpl structur de SRA-ma-x-tc este prezentat n fig.1.17 (Bhler, 1986), unde se pun n eviden (a se observa analogia cu SRA cu reacie dup stare (Preitl i Precup, 2001)): w referina, kw parametrul de intervenie a referinei caracteriznd blocul de referin de tip proporional, kpT (1, n) matricea linie a parametrilor blocului de reacie dup stare, de tip proporional, cunoscut i sub numele de bloc de compensare (BC-x) sau compensator sau compensator stabilizator.


Fig.1.17. Structura SRA-ma-x-tc fr corecia erorii de reglare.

Utiliznd fig.1.17 pot fi definite: - variabila / funcia de comutaie g(xp) = kpT xp + kw w, (1.5.2) similar situaiei clasice de sistem de reglare automat cu reacie dup stare (SRA-x), - legea de reglare cu structur variabil de tip bipoziional (releu ideal)

=

,0)(,0)(

pm

pM

xgdacuxgdacu

u (1.5.3)

n care um = const < 0 i uM = const > 0 pentru a asigura reacia stabilizatoare (a se vedea subcapitolul 1.2). Dup cum este cunoscut, modul alunector (ideal) se instaleaz n sistem atta timp ct starea sistemului descrie o traiectorie pe hiperplanul de comutaie avnd ecuaia (1.5.4): g(xp) = 0 (1.5.4) i reprezentnd un subspaiu de dimensiune (n1) al spaiului strilor.

n continuare, pentru caracterizarea comportrii sistemului n m.a. se face apel la metoda comenzii echivalente (Utkin, 1977) conform creia este justificat a se accepta c n regim alunector trebuie satisfcut i relaia

g& (xp) = 0. (1.5.5) Prin derivarea relaiei (1.5.2) n raport cu timpul i utilizarea lui (1.5.5) rezult

0=+ wkxk wPTP && . (1.5.6) Apoi, se nlocuiete px& din ecuaia de stare aferent relaiei (1.5.1) n relaia (1.5.6) obinndu-se kpT (Ap xp + bp u + bpv v) + kw w& = 0. (1.5.7) Rezolvarea ecuaiei (1.5.7) n raport cu u conduce la expresia comenzii echivalente

ue = [1/(kpTbp)] kpT (Ap xp + bpv v) + [1/(kpTbp)] kw w& . (1.5.8) Din relaia (1.5.8) se deduce imediat o condiie necesar de existen a m.a.: kpTbp 0. (1.5.9) Comanda echivalent ue, exprimat n relaia (1.5.8), poate fi interpretat fizic ca valoarea medie, continu, luat de comand n timpul comutrilor rapide efectuate ntre uM i um (a se vedea fig.1.18). Pe baza acestei interpretri fizice rezult (intuitiv) condiia de existen a m.a. pe hiperplanul de comutaie g(xp) = 0: um ue uM. (1.5.10)

(R.-E. Precup, 13) 1.5 Sisteme de reglare automat n mod alunector cu timp continuu (SRA-ma-x) 35

Fig.1.18. Relativ la interpretarea fizic a comenzii echivalente.

Pentru deducerea ecuaiilor de stare ale sistemului n m.a. se procedeaz la substituirea comenzii echivalente ue din relaia (1.5.8) n ecuaia de stare din (1.5.1) cu rezultatul

px& = Apxp[1/(kpTbp)]bpkpT(Apxp+bpvv)+[1/(kpTbp)]bpkw w& +bpvv = = {Ap[1/(kpTbp)]bpkpTAp}xp + {bpv[1/(kpTbp)]bpkpTbpv}v + [kw/(kpTbp)]bp w& . (1.5.11) Prin urmare, MM-ISI al SRA-ma-x n m.a. (obinut prin aplicarea metodei comenzii echivalente) poate fi scris sub forma

px& = Ap* xp + bpv* v + bpw1* w& , (1.5.12) n care matricele sunt puse n eviden din (1.5.11) i au urmtoarele expresii:

Ap* = Ap [1/(kpTbp)]bpkpTAp = {I [1/(kpTbp)]bpkpT}Ap, bpv* = bpv [1/(kpTbp)]bpkpTbpv = {I [1/(kpTbp)]bpkpT}bpv, (1.5.13) bpw1* = [kw/(kpTbp)]bp, cp*T = cpT. O problem interesant care apare n general n studiul SRA-ma este constituit de faptul c m.a. nu exist / nu se instaleaz pe ntreg hiperplanul de comutaie, ci doar ntr-un subdomeniu al su ale crui limite se determin n cele ce urmeaz. Pentru aceasta se ncepe cu presupunerea (simplificatoare) c referina w este constant, ceea ce se traduce prin w& = 0, i relaia (1.5.8) devine ue = [1(/kpTbp)]kpT(Apxp + bpvv). (1.5.14) La limita de funcionare n m.a. comanda echivalent poate lua cele dou valori posibile, ue = uM sau ue = um. Prin urmare, din relaia (1.5.14) rezult urmtoarea condiie la limit:

kpT (bp ulim + Ap Px + bpv v) = 0, (1.5.15)

n care s-au folosit notaiile ulim {um, uM} pentru comand i Px pentru vectorul de stare al sistemului n m.a. Este evident c Px se afl pe hiperplanul de comutaie, deci g( Px ) = 0 i din (1.5.2) rezult

g( px ) = kpT px + kw w = 0. (1.5.16)

n continuare se aplic descompunerile

kpT = [kaT kn], ,

=n

aP x

xx (1.5.17)

cu kaT de dimensiune (1, n1) i ax de dimensiune (n1, 1). Din relaia (1.5.16) utiliznd notaiile (1.5.17) se obine


nx = (1/kn) kaT ax + (kw/kn) w, (1.5.18)

deci este posibil eliminarea variabilei de stare nx sau a oricrei alte variabile de stare (n acest din urm caz trebuie efectuat o permutare a variabilelor de stare care va influena valorile matricelor care intr n discuie). nlocuind nx din relaia (1.5.18) n relaia (1.5.17), rezult

,0

)1(

wkk

xkk

Ix

nwaT

anP

+

= (1.5.19)

cu I matricea unitate de ordinul (n1). Apoi, prin nlocuirea lui Px n relaia (1.5.15) se obine rezultatul

00

)1(lim

=

++

+ wkkAvbxkk

IAubk

nwPPvaT

anPP

TP . (1.5.20)

Ultima relaie poate fi rescris sintetic sub forma

fT ax + hf = 0, (1.5.21)

care poate fi interpretat geometric ca ecuaia unui hiperplan de dimensiune (n2) n spaiul strilor (aceasta deoarece dim ax =n1). Matricea linie fT corespunde normalei determinnd nclinarea hiperplanului de ecuaie (1.5.21) cu expresia

,)1(

= TanP

TP

T

kkI

Akf (1.5.22)

n timp ce scalarul hf cu expresia

,0

lim

++= wkk

Avbubkhnw

PPvPTPf (1.5.23)

determin poziia hiperplanului (1.5.21) fa de originea spaiului strilor i ofer informaii privind distana de la origine la hiperplanului menionat.

Observaii: 1. Relaia (1.5.23) arat destul de simplu influena perturbaiei v i a referinei w n sensul c

aceste dou mrimi provoac o translatare a hiperplanului. 2. ntotdeauna exist i este vorba de fapt despre despre dou hiperplane paralele care fixeaz limitele domeniului de existen a m.a. datorit faptului c ulim din relaia (1.5.23) poate lua dou valori distincte (um i uM). 3. Pentru n = 3 relaia (1.5.21) poate fi interpretat ca ecuaiile a dou drepte paralele, iar pentru n = 2 corespunde la dou puncte. n fig.1.19 sunt puse n eviden prin haurare domeniile de existen a m.a. n cazurile n = 3 i n = 2.


Fig.1.19. Relativ la interpretarea geometric a domeniilor de existen a m.a. n cazurile n=2 i n=3.

n cele ce urmeaz se va demonstra c relaia (1.5.10) care reprezint condiia de existen a m.a. este echivalent condiiei de atingere menionate n subcapitolul 1.3: g(xp) g& (xp) < 0. (1.5.24) ntruct variabila de comutaie g(xp) i schimb semnul la trecerea de pe o parte pe alta a hiperplanului de comutaie (a se vedea legea de reglare (1.5.3)), asigurarea condiiei (1.5.24) devine echivalent cu necesitatea schimbrii semnului lui g& conform urmtoarei relaii:

meMe uuPuuPxgxg == = ))(sgn())(sgn( && . (1.5.25)

Dac se ine seama de faptul c membrul stng al relaiei (1.5.7) reprezint de fapt expresia lui g& (xp), atunci pentru w = const ( w& = 0), se obine ),()( lim vbubxAkxg PvPPP

TPP ++=& (1.5.26)

de unde rezult

>+ 0 i mprind ultima relaie cu (kpTbp) rezult pe baza expresiei comenzii echivalente prezentate n (1.5.14) n condiia w& = 0 relaia (1.5.29): um < ue < uM, (1.5.29) care, la limit, devine tocmai condiia necesar de existen a m.a. exprimat sub forma (1.5.10).

Remarc: Relaia (1.5.10) cu ue conform relaiei (1.5.14) poate fi folosit urmrind dou scopuri (asemntor situaiei SRA-ma-e prezentate n subcapitolul 1.4):

pentru um i uM date pot fi calculate limitele domeniului de existen a m.a., care este, evident, un subdomeniu al hiperplanului de comutaie;

pornind de la un domeniu dorit de existen a m.a. bazat pe cunoaterea limitelor de variaie ale parametrilor PC, intrrilor i strilor, pot fi calculate valorile maxim i minim ale comenzii um, respectiv uM care sunt doi dintre parametrii de acordare ai regulatorului cu structur variabil.

O alt problem interesant ntlnit n general la SRA-ma este reprezentat de posibilitatea ca traiectoriile de stare s ias din domeniul de existen (chiar limitat) a m.a. i ca n acest fel


modul alunector s fie ntrerupt cel puin temporar. Prin urmare, devine necesar determinarea unui domeniu restrns unde m.a. persist pn cnd sistemul ajunge n punctul dorit de funcionare staionar sau ntr-o vecintate acceptat a acestuia (a se vedea zona de linitire care apare n general n rspunsul SRA (Preitl i Precup, 2001)). Acest domeniu este denumit domeniul restrns de persisten a m.a. i va fi dedus n continuare. n fig.1.20 sunt puse n eviden situaiile n care se pot afla traiectoriile de stare pentru un sistem de ordinul n = 3, prezentndu-se proieciile traiectoriilor i limitelor pe planul (Bhler, 1986).

Fig.1.20. Proieciile pe planul ale traiectoriilor de stare i ale domeniului restrns de

persisten a m.a. n cazul n = 3.

Dreptele d1 i d2 delimiteaz domeniul de existen a m.a. Dac traiectoriile de stare sunt orientate ctre interiorul domeniului (punctele de tip A i E), este posibil ca m.a. s persiste. Dac, dimpotriv, traiectoriile sunt orientate ctre exteriorul domeniului de existen a m.a. (punctele de tip B), este sigur c m.a. nu va persista. La limit, traiectoriile de stare sunt tangente (n punctele de tip C) dreptelor d1 i d2. Plecnd de la punctele de tip C pot fi gsite att curbele c1 i c2 care delimiteaz domeniul restrns de persisten a m.a. ct i punctele de intersecie de tip D cu dreptele d1 i d2. Deci domeniul restrns de persisten a m.a. este delimitat n fig.1.20 de curbele c1 i c2 precum i de dreptele d1 i d2.

Determinarea acestui domeniu restrns de persisten a m.a., se efectueaz apelnd din nou la comanda echivalent ue (Utkin, 1977). Astfel, se pleac de la necesitatea orientrii traiectoriilor de stare ctre interiorul domeniului de existen a m.a., deci la limitele domeniului trebuie s fie satisfcute condiiile

=>=

(R.-E. Precup, 13) 1.5 Sisteme de reglare automat n mod alunector cu timp continuu (SRA-ma-x) 39 mT cx + qm = 0, (1.5.32)

unde dimensiunea lui mT este (1, n2) i qm este un scalar real. Relaia (1.5.32) poate fi interpretat sub forma ecuaiilor a dou hiperplane de dimensiune (n3) n spaiul strilor, care sunt limitele domeniului restrns de persisten a m.a.

Remarc: Relaia (1.5.32) descrie dou puncte pentru un sistem de ordinul n = 3 n timp ce pentru un sistem de ordinul n = 2 nu are sens / nu exist. ntr-adevr, la sistemele de ordinul al doilea domeniul restrns de persisten a m.a. este identic cu domeniul de existen a m.a. (Itkis, 1976). n finalul acestui paragraf trebuie amintit faptul c SRA-ma-x-tc fr corecia erorii de reglare au un dezavantaj manifestat prin faptul c valoarea de regim staionar constant (VRSC) a erorii de reglare este nenul pentru intrri (w i v) constante, adic SRA-ma-x-tc de acest tip sunt cu statism. Dezavantajul menionat poate fi compensat conform detaliilor din paragraful urmtor.

1.5.2. Sisteme de reglare automat n mod alunector cu timp continuu prin comutaie bazat pe reacie dup stare cu corecia erorii de reglare

Structura de SRA-ma-x-tc fr corecia erorii de reglare poate fi mbuntit prin adugarea unui bloc de eroare de reglare nul (BERN) cu caracter integrator, care are ca efect anularea VRSC a erorii de reglare pentru w = const i v = const, sistemul devenind astatic. n fig.1.21 este prezentat structura unui SRA-ma-x-tc cu corecia erorii de reglare.

Fig.1.21. Structura SRA-ma-x-tc cu corecia erorii de reglare.

Pentru analiza acestei clase de SRA-ma-x, PC se consider caracterizat din nou ca un sistem monovariabil de ordinul n liniar invariant n timp cu MM-ISI

Px& = Ap xp + bp u + bpv v, y = cpT xp, (1.5.33) n care matricele i vectorii au dimensiuni corespunztoare, iar mrimile au semnificaii cunoscute (a se vedea paragraful 1.5.1). Elementul de tip integrator (I) al BERN este descris prin urmtoarea ecuaie de stare:

Rx& = (1/Ti)e = (1/Ti)(w y) = (1/Ti)(w cpTxp), (1.5.34) n care s-a utilizat ecuaia ieirii din (1.5.33), xR reprezint ieirea integratorului (variabila de stare asociat integratorului) i Ti este constanta de timp de integrare. n unele situaii Ti apare sub forma Ti/kR, kR fiind coeficientul / parametrul de intervenie a lui xR. Distribuia raportului kR/Ti ntre cele dou elemente ale BERN rmne o problem de implementare (Preitl i Precup, 2001). Apariia lui xR conduce la un nou vector de stare (n+1)-dimensional notat cu x i avnd expresia


.

=R

P

xx

x (1.5.35)

Folosind notaia (1.5.35), relaiile (1.5.33) i (1.5.34) pot fi rearanjate sub forma MM-ISI al procesului extins {PC + BERN} de ordin (n+1):

x& = A x + b u + bv v + bw w, (1.5.36) n care matricele au expresiile

= 0)1(

0TPi

P

cTA

A , ,0

= Pbb

=0Pv

v

bb ,

=i

w Tb

10

, ]0[ TPT cc = . (1.5.37)

n acest caz variabila de comutaie are expresia g(x) = kT x + kw w, (1.5.38) unde kT de dimensiune (1, n+1) este matricea linie a parametrilor reaciei dup stare cu expresia kT = [kpT kR]. (1.5.39)

Analog situaiei clasei de SRA-ma-x-tc fr corecia erorii de reglare, legea de reglare cu structur variabil este de tip releu ideal i pentru aceast clas de SRA:

=

,0)(,0)(

xgdacuxgdacu

um

M (1.5.40)

cu uM = const > 0 i um = const < 0. Sistemul se afl n regim alunector atta timp ct starea x aparine hiperplanului de comutaie definit prin ecuaia g(x) = 0, (1.5.41) corespunztoare unui subspaiu de dimensiune n al spaiului strilor (n+1)-dimensional. Pentru caracterizarea comportrii sistemului n m.a. se aplic metoda comenzii echivalente bazat pe faptul c n regim alunector ideal este valabil relaia g& (x) = 0. (1.5.42) Derivnd pe g n raport cu timpul n relaia (1.5.38), nlocuind pe x& din ecuaia de stare a MM-ISI (1.5.36) n rezultat i apoi utiliznd relaia (1.5.42), se obine urmtorul rezultat: kT (A x + b u + bv v + bw w) + kw w& = 0. (1.5.43) Prin rezolvarea ecuaiei (1.5.43) n raport cu u rezult comanda echivalent ue ue = [1/(kTb)] kT (A x + bv v + bw w) + [1/(kTb)] kw w& , (1.5.44) de unde poate fi dedus imediat o condiie necesar de existen a m.a.: kTb 0. (1.5.45) Condiia de existen a m.a. pe hipersuprafaa de comutaie g(x) = 0 este (a se vedea paragraful 1.5.1) um ue uM. (1.5.46)

MM-ISI al sistemului n m.a. se obine prin substituirea comenzii echivalente din relaia (1.5.44) n ecuaia de stare din (1.5.36) i pstrarea neschimbat a ecuaiei ieirii din (1.5.36):

x& = A* x + bv* v + bw* w + bw1* w& , y = c*T x, (1.5.47)

(R.-E. Precup, 13) 1.5 Sisteme de reglare automat n mod alunector cu timp continuu (SRA-ma-x) 41 n care matricele au expresiile

A* = {I [1/(kTb)] b kT} A, bv* = {I [1/(kTb)] b kT} bv, bw* = {I [1/(kTb)] b kT} bw, bw1* = kw/(kTb) b, c*T = cT. (1.5.48) Aspectele legate de determinarea limitelor domeniului de existen a m.a. precum i cele legate de deducerea domeniului restrns de persisten a m.a. se trateaz similar paragrafului 1.5.1. cu modificrile de rigoare ale expresiilor matricelor i innd seama de faptul c fa de paragraful 1.5.1 comanda echivalent are un termen n plus. Concretizarea acestor calcule rmne ca exerciiu pentru cititor. Concluziile obinute vor fi foarte apropiate de cele rezultate n paragraful 1.5.1. Observaii: 1. SRA-ma-x-tc cu / fr corecia erorii de reglare au urmtorii parametri de acordare ale cror valori trebuie determinate n faza de proiectare a structurilor de SRA: kpT, kw, um, uM i, eventual, kR i Ti. 2. Structurile prezentate de SRA-ma-x-tc cu / fr corecia erorii de reglare sunt aplicabile numai dac toate variabilele de stare ale PC sunt accesibile msurrilor. n caz contrar, se recurge la proiectarea de structuri de SRA-ma-x-tc cu observator de stare.

1.5.3. Sisteme de reglare automat n mod alunector cu timp continuu prin comutaie bazat pe reacie dup stare cu observator de stare

Exist situaii cnd nu toate variabilele de stare care intr n componena funciei de comutaie g(x) (sau g(xp)) sunt accesibile msurrilor; atunci se utilizeaz, ca i n cazul SRA cu structur fix (Dumitrache, 2005), observatoare de stare (OS-x). n fig.1.22 este prezentat schema bloc informaional a SRA-ma-x-tc cu OS-x. Fa de structura din fig.1.17elementul nou l reprezint observatorul de stare care furnizeaz vectorul de stare observat xo folosit la formarea variabilei de comutaie g(xo). Este evident c se dorete ca xo s fie o msur ct mai exact a vectorului de stare xP, adic norma vectorului (xP xo) s fie nul sau s tind asimptotic ctre zero.

Fig.1.22. Structura SRA-ma-x-tc cu observator de stare.

Structura prezentat n fig.1.22 ar putea fi complicat fr prea mari dificulti suplimentare prin introducerea BERN n scopul realizrii statismului nul al SRA (a se vedea paragraful 1.5.2). Calculele urmtoare vor fi efectuate n ipoteza absenei perturbaiei (v = 0). Dac este necesar, se poate folosi un observator de stare i perturbaie n cazurile n care perturbaia nu este accesibil msurrilor. n vederea efecturii analizei structurii de SRA-ma-x-tc cu observator de stare PC se consider caracterizat prin sistemul monovariabil de ordinul n liniar invariant n timp avnd urmtorul MM-ISI:

Px& = Ap xp + bp u,


y = cpT xp, (1.5.49) cu matricele corespunztor definite. OS-x, care este un sistem dinamic, este caracterizat de ecuaia de stare

ox& = Ao xo + bp u + bo y. (1.5.50) Prin scderea membru cu membru a ecuaiilor de stare din (1.5.49) i (1.5.50) utiliznd ecuaia ieirii din (1.5.49) se obine

oP xx && = (Ap bo cpT)(xp xo) + (Ap bo cpT Ao) xo. (1.5.51) n ipoteza Ao + bo cpT = Ap, (1.5.52) ecuaia (1.5.51) devine

oP xx && = Ao (xp xo). (1.5.53) Definind eroarea de observare a strii (care reprezint un vector n-dimensional) ex = xp xo, (1.5.54) pentru OS-x se poate scrie urmtoarea relaie rezultat imediat prin rescrierea relaiei (1.5.53):

xe& = Ao ex. (1.5.55) Pe baza relaiei (1.5.55), dac se impune o matrice Ao asimptotic stabil (cu spectrul situat n semiplanul complex stng) (Rsvan, 1987), se obine

.0||)(||lim = te xt (1.5.56) Variabila de comutaie este definit conform schemei bloc din fig.1.22 i are expresia g(xo) = kpT xo + kw w = kpT (xp ex) + kw w, (1.5.57) iar legea de reglare cu structur variabil este din nou de tip releu ideal

=

,0)(,0)(

om

oM

xgdacuxgdacu

u (1.5.58)

cu uM = const > 0 i um = const < 0. n m.a. ideal are loc anularea variabilei de comutaie: g(xo) = 0. (1.5.59) Prin urmare, metoda comenzii echivalente justific luarea n considerare a condiiei

0)( =oxg& . (1.5.60) Din relaiile (1.5.57) i (1.5.60) se obine

0)( =+ wkexk wxPTP &&& . (1.5.61) n cazul w = const ( w& = 0) acceptat n vederea simplificrii calculelor se nlocuiesc px& din (1.5.49) i xe& din (1.5.55) n relaia (1.5.61), care se transform n kpT (Ap xp + bp u Ao ex) = 0. (1.5.62) Rezolvarea ecuaiei (1.5.62) n raport cu u conduce la expresia (1.5.63) a comenzii echivalente, ue: ue = [1/(kpTbp)] kpT (Ap xp Ao ex). (1.5.63)

(R.-E. Precup, 13) 1.5 Sisteme de reglare automat n mod alunector cu timp continuu (SRA-ma-x) 43 Prin substituirea comenzii u = ue din relaia (1.5.63) n ecuaia de stare din (1.5.49) i pstrarea ecuaiei ieirii din (1.5.49), rezult MM-ISI al sistemului n m.a.

Px& = Ap* xp + Ao* ex, y = cp*T xp, (1.5.64) n care matricele au urmtoarele expresii:

Ap* = {I[1/(kpTbp)]bpkpT}Ap, Ao* = [1/(kpTbp)]bpkpTAo, y = cp*Txp. (1.5.65) Poate fi observat faptul c matricea Ap* are aceeai expresie ca n cazul SRA-ma-x-tc fr BERN i fr OS-x. n continuare vor fi prezentate unele aspecte privind principiul separrii cunoscut de la SRA-x cu structur fix. Pentru aceasta, se definete un nou vector de stare al sistemului global (inclusiv OS-x) i avnd dimensiunea 2n:

=x

P

ex

x . (1.5.66)

Prin rearanjarea ecuaiilor (1.5.55) i (1.5.64) innd seama de notaia (1.5.66) rezult MM-ISI global n m.a.

x& = A x, y = cT x, (1.5.67) n care

=o

oP

AAAA

0

**

, cT = [cpT 0T]. (1.5.68)

Polinomul caracteristic al sistemului global (s) se scrie utiliznd relaia (1.5.68); rezult expresia

).det()det(

0det)det()(

*

**

oP

o

oP

AIsAIs

AIsAAIsAIss

=

=

==

(1.5.69)

Relaia (1.5.69) reprezint esena principiului separrii n sensul c polii sistemului aflat n m.a. sunt separai de polii OS-x, deci este posibil proiectarea blocului de compensare (eventual, inclusiv a BERN) separat de proiectarea OS-x. Practic, se ncepe cu proiectarea OS-x prin amplasarea polilor si (spectrul matricei Ao, (Ao)) puin n stnga polilor SRA-ma-x; bo rezult apoi din (1.5.52). Efectul const n stabilizarea rapid a OS-x, deci, dup un proces tranzitoriu iniial de durat ct mai scurt, are loc anularea erorii de observare a strii i ecuaia de stare din (1.5.64) devine

Px& = Ap* xp, (1.5.70) similar situaiei SRA-ma-x fr OS-x. Pentru metode de proiectare a OS-x se recomand consultarea lucrrilor (Ionescu, 1985; Dumitrache, 2005). Dup proiectarea OS-x se va opera cu variabilele de stare din vectorul xp ca i cum acestea ar fi accesibile n totalitate msurrilor i se proiecteaz celelalte elemente ale regulatorului cu structur variabil.

1.5.4. Metodologie de proiectare a sistemelor de reglare automat n mod alunector cu timp continuu prin comutaie bazat pe reacie dup stare

Dup cum rezult din paragrafele 1.5.1 i 1.5.2, la proiectarea SRA-ma-x-tc esenialul const n acordarea parametrilor regulatorului cu structur variabil: kpT, kw, um i uM precum i, eventual, kR i Ti (ultimii doi, pentru SRA-ma-x-tc corecia erorii de reglare) i, eventual Ao i bo (pentru SRA-ma-


x-tc cu OS-x). Dac despre calculul valorilor lui um i uM au fost prezentate aspecte n paragraful 1.5.1 iar despre cel al valorilor lui Ao i bo au fost fcute referiri n paragraful 1.5.3, n cele ce urmeaz va fi detaliat calculul valorilor celorlali parametri ai regulatorului cu structur variabil. Remarc: Trebuie precizat din start c SRA-ma-x-tc sunt sisteme neliniare. Metodologia de proiectare a SRA-ma-x-tc care va fi prezentat n cadrul acestui paragraf este bazat pe ipoteza c SRA-ma-x-tc sunt considerate n mod alunector (m.a.), adic SRA-ma-x-tc n m.a. pot fi caracterizate cu bun aproximaie (justificat de aplicarea metodei comenzii echivalente) prin sisteme liniare de tip (1.5.12), (1.5.47) sau (1.5.64). A) Proiectarea blocului de compensare kT. Calculul valorilor parametrilor din matricea linie kT (sau kpT, pentru clasa de SRA-ma-x-tc fr BERN) poate fi efectuat prin diferite metode dintre care se amintesc (Bhler, 1986):

proiectarea pe baza metodei a doua dup Lyapunov; proiectarea pe baza principiului optimalitii dup Pontryagin; proiectarea pe baza teoriei hiperstabilitii dup Popov; proiectarea prin metoda alocrii (polilor).

n acest paragraf vor fi tratate doar aspecte legate de ultima metod, prezentarea fcndu-se pentru SRA-ma-x-tc cu corecia erorii de reglare. Este evident c particularizarea la cazul SRA-ma-x-tc fr corecia erorii de reglare nu pune probleme deosebite. Dup cum este cunoscut, polinomul caracteristic al sistemului n m.a. are expresia (s) = det(sI A*) = sn+1 + n sn + n-1 sn-1 + ... + 1 s + 0, (1.5.71) n care 0 = 0, (1.5.72) deoarece matricea A*, cu expresia din (1.5.48): A* = {I [1/(kTb)] b kT} A, (1.5.73) este singular. Polii impui ai SRA-ma-x {p1* = 0, p2*, ..., pn+1*} reprezint rdcinile polinomului caracteristic dorit (s) = s (s p2*) (s p3*) ... (s pn+1*). (1.5.74) Relaia (1.5.74) asigur un spectru dorit al matricei A* a sistemului n m.a.,

},...,,0{)( * 1*2

*1

*+== npppA . Identificnd coeficienii polinoamelor din relaiile (1.5.71) i (1.5.74)

innd seama de relaia (1.5.73) n maniera cunoscut de la sistemele de reglare automat cu reacie dup stare (SRA-x), rezult valorile parametrilor din matricea linie kT. Observaii: 1. ntotdeauna exist un grad de libertate n proiectare deoarece sistemul algebric care rezult n urma identificrii coeficienilor este simplu nedeterminat (are (n+1) ecuaii cu n necunoscute n cazul SRA-ma-x cu BERN, iar ntre necunoscute se afl i raportul kR/Ti).

2. Prin aplicarea metodei de proiectare prezentate la SRA-ma-x-tc cu corecia erorii de reglare se obin att valorile parametrilor kpT ai blocului de compensare ct i parametrii {kR, Ti} ai BERN, adic blocul de compensare i BERN sunt proiectate mpreun. BERN poate fi proiectat i separat de blocul de compensare. n lucrarea (Precup, 1993) a fost propus o metod de proiectare a BERN n domeniul frecven asociat cu proiectarea n prealabil a blocului de compensare kpT prin metoda alocrii.

n continuare vor fi prezentate cteva consideraii privind alegerea amplasrii polilor SRA-ma-x-tc n m.a., {p2*, p3*, ..., pn+1*}. Este tratat, din nou, clasa de SRA-ma-x-tc cu corecia erorii de reglare.


O variant de amplasare a polilor recomandat n (Bhler, 1986) este conform fig.1.23, adic polii au aceeai parte real, . Amplasarea polilor n zona haurat din fig.1.23 asigur o amortizare mai mare sau egal cu amortizarea optimal aferent polilor situai sub unghiurile de 45o fa de axa real. Amplasarea polilor la stnga lui (min) asigur un timp de reglare suficient de redus. Creterea lui min > 0 (i, implicit, a lui > 0), deci amplasarea polilor din ce n ce mai mult ctre stnga, are ca efect scderea timpului de reglare asigurat de SRA-ma-x-tc; n schimb, se reduce domeniul de existen a m.a.

Fig.1.23. Variant de amplasare a polilor SRA-ma-x-tc n m.a.

Alte variante cunoscute de amplasare a polilor se refer la poziionarea lor pe cerc (a se vedea filtrul Butterworth) sau pe elips, n ambele situaii fiind necesar respectarea amplasrii polilor n interiorul zonei haurate din fig.1.23. B) Proiectarea blocului de referin kw. Sunt prezentate dou metode: B.1) metoda de proiectare bazat pe calculul VRSC ale variabilelor de stare i comenzii echivalente; B.2) metoda de proiectare bazat pe compensarea unui pol dominant din f.d.t. a SRA-ma-x-tc n mod

alunector (aplicabil doar la SRA-ma-x-tc cu corecia erorii de reglare). B.1) Metoda de proiectare bazat pe calculul VRSC ale variabilelor de stare i comenzii echivalente. Se consider c PC (cu sau fr BERN) este caracterizat prin ecuaia de stare

x& = A x + b ue + bv v + bw w, (1.5.75) n care bw = 0 n cazul fr BERN. Calculul VRSC ale lui x i ue se face pentru SRA-ma-x-tc cu corecia erorii de reglare (cu BERN), deci sistemul (1.5.75) este de ordinul (n+1). Particularizarea la cazul SRA-ma-x-tc fr corecia erorii de reglare este imediat. Pentru nceput se fac pregtirile pentru proiectare, bazate pe efectuarea unor calcule de regim staionar constant (RSC). n RSC se anuleaz efectele de derivare, prin urmare se poate nlocui x& = 0 n relaia (1.5.7.5) rezultnd sistemul de ecuaii algebrice

0 = A x + b ue + bv v + bw w, (1.5.76)

unde prin indicele inferior aplicat unei variabile a fost marcat valoarea de regim staionar constant (VRSC) a variabilei respective. n continuare se efectueaz descompunerea matricelor x i kT conform relaiei (1.5.77):

=+1n

a

xx

x , kT = [kaT kn+1]. (1.5.77)

ns, n RSC se anuleaz i variabila de comutaie g, deci din relaia (1.5.38) se obine


kT x + kw w = 0. (1.5.78) Utiliznd notaiile (1.5.77), relaia (1.5.78) se transform n

.0 ][1

1 =+

+

+ wkx

xkk w

n

an

Ta (1.5.79)

Se rezolv ecuaia (1.5.79) n raport cu xn+1 obinndu-se

xn+1 = (1/kn+1) kaT xa + (kw/kn+1) w, (1.5.80)

apoi substituirea lui n xn+1 n (1.5.77) conduce la urmtorul rezultat:

x = Axa xa + aw w, (1.5.81) unde matricele Axa (de dimensiune (n+1, n)) i aw (de dimensiune (n+1, 1)) au expresiile

= + Tanxa kk

IA

)1( 1,

=

+1

0

nww kk

a . (1.5.82)

Prin nlocuirea lui x din relaia (1.5.81) n relaia (1.5.76) rezult

A Axa xa + b ue + bv v + (bw + A aw) w = 0. (1.5.83)

Dar relaia (1.5.83) poate fi rezolvat n raport cu xa i ue, de unde se obine

e

a

ux

= F1 [bv v + (bw + A aw) w], (1.5.84)

n care a fost introdus urmtoarea matrice de dimensiune (n+1, n+1): F = [A Axa b]. (1.5.85)

care este necesar s fie nesingular. n final, VRSC xn+1 rezult prin aplicarea relaiei (1.5.80). Pe baza calculelor preliminare de VRSC prezentate anterior se poate trece efectiv la proiectarea blocului kw concretizat prin calculul valorii parametrului kw. Pot fi aplicate dou cazuri de proiectare a cror aplicare depinde de absena respectiv prezena BERN. Cazul SRA-ma-x-tc fr corecia erorii de reglare. Se impune ca SRA-ma-x-tc s asigure n RSC ieirea egal cu referina n condiiile acceptrii unei perturbaii nule (v = 0). Aceasta se traduce prin

w = y = caT xa + cn xn, (1.5.86)

cu caT de dimensiune (n1, 1) i xa de dimensiune (1, n1). n relaia anterioar, obinut din ecuaia ieirii (1.5.1) aferent MM-ISI al PC, au fost utilizate notaiile

=n

aP x

xx , cpT = [caT cn], (1.5.87)

sistemul fiind de ordinul n. ns, din anularea n RSC a variabilei de comutaie rezult (a se vedea relaia (1.5.80))

xn = (1/kn) kaT xa + (kw/kn) w. (1.5.88) Prelucrarea relaiilor (1.5.86) i (1.5.88) conduce la

y = [caT (cn/kn) kaT] xa + cn (kw/kn) w = daT xa + cn (kw/kn) w, (1.5.89) unde s-a notat daT = caT (cn/kn) kaT, (1.5.90) iar dimensiunea matricei daT este (1, n1). n continuare se rescrie relaia (1.5.89) sub forma


+

= wkkcux

dy nwne

aTa )( ]0[ (1.5.91)

i se substituie

e

a

ux

din relaia (1.5.84) n condiiile

v = 0, bw = 0 (lipsete BERN), A este nlocuit cu AP, aw este exprimat conform relaiei (1.5.82) cu n n locul lui (n+1).

Se obine rezultatul

+

= wkkcwkkAFdy nwnnwPTa )()(10

]0[ 1 . (1.5.92)

Impunnd n relaia (1.5.92) condiia (1.5.86), mprind apoi cu w 0 i rezolvnd n raport cu kw, se obine

kw = kn/(cn [daT 0] F1 an), (1.5.93) unde a fost folosit notaia

= 10

Pn Aa (1.5.94)

pentru ultima coloan a matricei AP. Cazul SRA-ma-x-tc cu corecia erorii de reglare. ntruct BERN cu caracter integrator determin anularea VRSC a erorii de reglare (e = 0), adic

y = w pentru orice v = const, (1.5.95) deci rezult caracterul astatic al SRA-ma-x-tc, pentru calculul lui kw se impune anularea n RSC a ieirii integratorului (a se vedea schema bloc din fig.1.21) xR = 0. (1.5.96) innd seama de relaia anterioar i de faptul c xa = xp, xn+1 = xR, se poate scrie utiliznd (1.5.82) rezultatul

aw = 0,

= TxaI

A0

, (1.5.97)

cu aw de dimensiune (n+1, 1) i Axa de dimensiune (n+1, n). Prin urmare, relaia (1.5.84), cu bw conform relaiei (1.5.37) i v = 0, devine

=

w

TF

ux

ie

P

101 . (1.5.98)

ns matricea F, nesingular, calculat din (1.5.85) are expresia

= 0)1( TPi

PP

cTbA

F , (1.5.99)

inversa sa notndu-se cu


=

+++

1,11

1

nnT

n

PP

gggG

F . (1.5.100)

n relaia (1.5.100) Gp are dimensiunea (n, n), gp are dimensiunea (n, 1) i gn+1T are dimensiunea (1,n). nlocuind matricea F1 din relaia (1.5.100) n relaia (1.5.99), se obine expresia

++

=

wT

gg

ux

inn

P

e

P )1( 1,1

, (1.5.101)

care este echivalent cu

xp = (1/Ti) gp w. (1.5.102) ns n RSC se anuleaz variabila de comutaie g. Aceasta duce la

kT x + kw w = 0. (1.5.103) innd seama de partiionarea lui x i kT din (1.5.35) respectiv (1.5.39) i de condiia de RSC (1.5.96), relaia (1.5.103) se transform n

kpT xp + kw w = 0. (1.5.104) n final, prin compararea relaiilor (1.5.102) i (1.5.104) rezult relaia de calcul al valorii parametrului kw: kw = (1/Ti) kpT gp. (1.5.105) Remarc: Din ultima relaie poate fi observat faptul c din matricea F1 (avnd blocurile definite n relaia (1.5.100)) este nevoie doar de blocul reprezentat de matricea linie gp.

B.2) Metoda de proiectare bazat pe compensarea unui pol dominant din f.d.t. a SRA-ma-x-tc n mod alunector. Se reamintete c aceast metod este aplicabil doar clasei de SRA-ma-x-tc cu corecia erorii de reglare. Acest lucru va fi demonstrat n cele ce urmeaz. Pentru calculul f.d.t. a sistemului n m.a. exist mai multe variante de abordare deoarece trebuie fcute unele aproximri datorit neliniaritii SRA-ma-x. n acest context, n acest paragraf va fi tratat doar abordarea din (Benz, 1990), care pornete de la neglijarea fazei de atingere. Prin urmare, se presupune c SRA-ma-x-tc este permanent n m.a., chiar la eventualele salturi ale lui w. Se pornete de la MM-ISI al SRA-ma-x n m.a. cunoscut sub forma ecuaiilor (1.5.47) aferente SRA-ma-x-tc cu corecia erorii de reglare (particularizarea la cazul fr corecia erorii de reglare nu pune probleme deosebite). Se aplic transformarea Laplace ecuaiei de stare din (1.5.47) rezultnd sx(s) x(t0) = A*x(s) + bv*v(s) + bw*w(s) + bw1* )(sw& , pentru t > t0, (1.5.106) unde x(t0) reprezint vectorul de stare al sistemului la momentul t0 > 0 al intrrii n m.a. i t0 este durata fazei de atingere. Rezolvnd ecuaia (1.5.106) n raport cu x(s) i substituind rezultatul n ecuaia ieirii din (1.5.47), se obine

y(s) = c*Tx(s) = c*T(sIA*)-1[x(t0) + bv*v(s) + bw*w(s) + bw1* )(sw& ], (1.5.107) cu matricele explicitate conform relaiei (1.5.48). innd seama de aproximarea acceptat, este justificat a se considera c sunt valabile urmtoarele relaii: x(t0) = 0, )(sw& = s w(s), (1.5.108) astfel c relaia (1.5.107) se transform n y(s) = c*T (sI A*)-1 [bv* v(s) + (bw* + s bw1*) w(s)]. (1.5.109) Se definete f.d.t. a SRA-ma-x n m.a.


0)(

)()(=

=v

w swsysH , pentru t 0. (1.5.110)

Din relaiile (1.5.109) i (1.5.110) rezult Hw(s) = c*T (sI A*)-1 (bw* + s bw1*), pentru t 0. (1.5.111)

Remarc: F.d.t. exprimat n relaia (1.5.111) descrie comportamentul SRA-ma-x-tc neglijnd durata fazei de atingere dar nu i efectul fazei de atingere. n continuare vor fi detaliate f.d.t. din relaia (1.5.111) pentru cele dou clase de SRA-ma-x-tc fr respectiv cu corecia erorii de reglare.

Cazul SRA-ma-x-tc fr corecia erorii de reglare. n absena BERN se observ c (a se vedea paragraful 1.5.1) bw* = 0. (1.5.112) Prin particularizarea matricelor care apar n (1.5.111) la situaia fr BERN prezentat n paragraful 1.5.1 rezult Hw(s) = cpT (sI Ap*)-1 s bpw1*, pentru t 0. (1.5.113) Cazul SRA-ma-x-tc cu corecia erorii de reglare. Explicitnd matricele A*, bw*, bw* i c*T conform paragrafului 1.5.2, relaia (1.5.111) devine Hw(s) = [1/(kpTbp)](kR/Ti+skw)cpT{sIAp*+[kR/(TikpTbp)]bpcpT}-1bp, pentru t 0. (1.5.114) Analiznd relaiile (1.5.113) i (1.5.114), se observ c doar ultima este dependent de kw. Deci se justific faptul c aceast metod de calcul al valorii lui kw este aplicabil doar clasei de SRA-ma-x-tc cu corecia erorii de reglare. n f.d.t. (1.5.114) apare zeroul z0 = kR/(kwTi). (1.5.115) Se impune compensarea unui pol dominant pi < 0 al lui Hw(s) (impus la proiectarea blocului kpT) prin zeroul z0: z0 = pi. (1.5.116) Din (1.5.115) i (1.5.116) rezult relaia de proiectare algoritmic pentru blocul kw: kw = kR/Ti/pi. (1.5.117)

Observaie: Aceast ultim metod de calcul al lui kw prezint un dezavantaj datorat faptului c la definirea f.d.t. Hw(s) a fost presupus faptul c SRA-ma-x-tc este permanent n m.a. Situaia acceptat nu corespunde realitii; n consecin, la o faz de atingere de durat prea mare efectul scontat nu mai este atins deoarece nu se mai realizeaz o compensare exact a polului dominant.

Exemplul 1.5.4.1: S se proiecteze algoritmic o structur de SRA-ma-x-tc fr corecia erorii de reglare i o structur de SRA-ma-x-tc cu corecia erorii de reglare destinate reglrii poziiei y a sistemului electrohidraulic cu schema bloc informaional simplificat prezentat n fig.1.24 (Preitl .a., 1993a). Schema bloc detaliat a sistemului electrohidraulic conine i blocuri suplimentare att liniare ct i neliniare.

Subsistemele procesului condus sunt: CEH convertorul electrohidraulic, SD sertarul distribuitor, SMP servomotorul principal. Sistemul electrohidraulic stabilizat este cunoscut sub numele de servosistem electrohidraulic i reprezint un SRA local cu rol de element de execuie n cadrul SRA a turaiei unui hidrogenerator. Se dau valorile parametrilor PC: g0 = 0.00625 Vsec/mm, Ti1 = 0.075 sec, Ti2 = 0.002 sec. Se cere simularea comportrii ambelor SRA-ma-x-tc proiectate.


Fig.1.24. Schema bloc simplificat a sistemului electrohidraulic.

Soluie: Pe baza schemei din fig.1.24 poate fi dedus MM-ISI simplificat aferent PC:

1x& = (1/Ti1) g0 u, 2x& = (1/Ti2) x1 (1/Ti2) v, (1) y = x2. Prin identificare cu forma (1.5.1) a MM-ISI rezult imediat expresiile matricelor:

=2

1

xx

x P ,

=0100

2iP T

A ,

=0

10 iP

Tgb ,

= 21

0

iPv T

b , cT = [0 1]. (2)

Pentru simplificare, se accept c uM = um = u0 = const > 0. (3) Ipoteza (3) este valabil deoarece PC este liniarizat. Deci, legea de reglare cu structur variabil va avea expresia mai simpl u = u0sgn(g), (4) n care g este variabila de comutaie; n plus, prin utilizarea relaiei (3) se reduce cu unul numrul parametrilor de acordare ai regulatorului cu structur variabil (trebuie determinat doar valoarea u0 n locul valorilor lui um i uM). Cazul SRA-ma-x-tc fr corecia erorii de reglare. Variabila de comutaie are expresia (1.5.2), cu kpT = [kx1 kx2], (5) deci este valabil urmtoarea expresie a lui g: g(xp) = kx1 x1 kx2 x2 + kw w. (6) Prin aplicarea metodei comenzii echivalente se obine urmtoarea expresie de tip (1.5.8) pentru comanda echivalent: ue = (Ti1/g0/kx1) [(kx2/Ti2) (x1 v) kw w& ]. (7) Apoi, prin nlocuirea lui ue n MM-ISI al PC reult MM-ISI al SRA-ma-x-tc n mod alunector (1.5.12) cu matricele

=010)1)((

2

212*

i

ixxP T

TkkA ,

=

01*

1xw

Pw

kkb ,

=2

212*

1)1)((

i

ixxPv T

Tkkb , cp*T = [0 1]. (8)

(R.-E. Precup, 13) 1.5 Sisteme de reglare automat n mod alunector cu timp continuu (SRA-ma-x) 51 Polinomul caracteristic al sistemului n m.a. (s) = det(sI Ap*) = s [s + (kx2/kx1)(1/Ti2)] (9) pune n eviden prezena polului p1* = 0 n origine. Prin impunerea valorii celuilalt pol, p2*: p2* = (kx2/kx1) (1/Ti2) = p, (10) cu parametrul p > 0 determinnd viteza de rspuns a SRA, rezult relaia de proiectare kx2 = kx1 p Ti2. (11) Impunnd p = 10 i alegnd kx1 = 5 (Prei

IRA_Cap1

Documents

Transcript of IRA_Cap1