Ion Cojocaru 2

165
Ion COJOCARU TEORIA ŞI METODOLOGIA INSTRUIRII MATEMATICE ÎN CICLUL PRIMAR Partea a II-a Didactici particulare Suport de curs Chişinău, 2013 C.Z.U.: 37.016.046:51 C61 Lucrarea a fost recomandată pentru tipar de Senatul Universităţii de Stat dir proces verbal

Transcript of Ion Cojocaru 2

Ion COJOCARUTEORIA I METODOLOGIA INSTRUIRII MATEMATICE N CICLUL PRIMARPartea a II-a Didactici particulareSuport de cursChiinu, 2013C.Z.U.: 37.016.046:51 C61Lucrarea a fost recomandat pentru tipar de Senatul Universitii de Stat dir proces verbal

Obiectivele generale ale suportului de curs:,, Teoria i metodologia instruirii matematice n clasele primare a cunoate metodele didactice specifice caracteristice procesului educaional i teoria aferent adecvat n domeniul predrii matematicii n clasele primare a nelege legitile cror se supun metodele de predare-nvare-evaluare a matematicii n clasele primare; a forma sistemul de competene necesare pentru a rezolva problema dat n mai multe variante; a forma competene de a rezolva o problem dat prin cea mai adecvat i cea mai eficient metod; a forma la studeni abiliti de determinare a nivelului de cunotine ce trebuie sa posede elevii pentru aplicarea competent a cunotinelor i abilitilor achiziionate n cele mai variate situaii; a forma competene de a argumenta din punct de vedere a didacticii matematicii calea cea mai corect de soluionare a problemei date; a forma abiliti de determinare a erorilor comise de elevi n aplicarea cunotinelor achiziionate n cele mai variate i mai diverse situaii din practica cotidian i, n special, n rezolvarea problemei propuse n discuie, ct i a cilor de corectare i modelare a acestora; a familiariza studenii cu lucrul raional de pregtire al elevilor necesar pentru organizarea corect a rezolvrii unei probleme matematice, a forma abiliti de cercetare n domeniul cunoaterii strategiilor euristice de aplicare n practica de lucru a cunotinelor achiziionate i de rezolvare a problemelor n nvmntul matematic n clasele primare; a compara ntre ele procedeele de rezolvare a unor probleme tipice i de a determina prin ce difer i ce este comun n aceste rezolvri; a forma poziia civic a studentului fa de importana rezolvrilor corecte i a verificrii corectitudinii celor realizate prin mai multe variante; a forma atitudinea prtinitoare fa de rspndirea necontenit a ideilor progresiste de studiere a matematicii i de soluionare a problemelor matematice, a importanei de a valorifica i educa tnra generaie n spiritul nvmntului matematic continuu.CAPITOLUL IMETODOLOGIA STUDIERII NUMERAIEI NUMERELOR NATURALEnvmntul cu frecvena la zi 4 ore prelegeri, 4 ore seminare practice, pentru grupele cu frecvena redus se prevd 2 ore.1.1. Obiective generale ale modululuiCaracteristica esenial a coninutului i sistemului de construire a cursului de matematic n clasele primare are orientare spre formarea la elevii mici a noiunii de numr natural, care n continuare va fi aplicat la formarea noiunii de operaii matematice asupra numerelor naturale i crerii unui fundament logic pentru extinderea ulterioar a noiunii de numr. Acest lucru are o durat extins pe parcursul a celor patru ani de studii n clasele primare i n continuare n cele gimnaziale i liceale . Curriculumul n vigoare orienteaz o extindere treptat a domeniului de studiere a numerelor prin concentre aparte. Concentrismul n construirea coninuturilor este indisolubil legat de particularitile sistemului zecimal de numeraie i de nsi modalitatea de numrare.Studiind acest capitol studenii trebuie: s cunoasc metodologia de p--e privind formarea conceptului de numr natural, ca proprietate specific comun a mulimilor finite echivalente sau aplicnd axiomatica lui G. Peano; s aplice procedeele didactico-metodice de nvare a numerelor naturale de orice mrime, pe concentrele date, innd seama de caracterul poziional al sistemului zecimal de numeraie; s poat dirija procesul de p--e pentru nsuirea algoritmilor de compunere i descompunere a numerelor i de determinare a relaiei de ordine ntre ele; s aplice metode i strategii didactico-metodice n msur s stimuleze capacitile intelectuale ale elevilor, s cultive dragostea i interesul lor pentru matematic i s formeze sistemul necesar de competene, s disting clar n descrierea numerelor naturale aspecte legate de semnul grafic - simbolul matematic corespunztor cifrei, denumirea numrului n plan lingvistic i noiunea matematic propriu-zis de cifr-numr.n didactica matematicii se aplic dou repere sau dou modaliti asupra formrii conceptului de numr natural: unul are ca punct de plecare noiunea de coresponden ntre mulimile finite, altul - utilizeaz noiunea de succesiune a numerelor n irul numerelor uniunilePentru a opera corect n studiul numerelor naturale, studentul trebuie s cunoasc noiuni, relaii, metodele i algoritmi, care mpreun formeaz modelul matematic al teoriei numerelor naturale. Necunoaterea, nerespectarea sau aplicarea incorect a acestora creeaz reprezentri greite asupra mulimilor numerice, care duc la ngreunarea procesului de nsuire corect i contient a noiunilor, a conceptelor de baz i a relaiilor matematice, i n final al limbajului matematic.1.2 Problema celor trei limbajeIn coal, n special, n clasele primare exist o problem, care trebuie soluionat pe tot parcursul anilor de colarizare. Aceasta este problema celor trei limbaje: limbajul elevului cu vocabularul de cuvinte achiziionat de el la moment (experiena proprie), limbajul nvtorului, care trebuie s-l nvee pe elev matematica i limbajul tiinific al matematicii expus prin manuale, curriculum, literatur didactico-metodic. nvtorul este acel ndrumtor, care l duce pe elev zi de zi spre nsuirea corect a noiunilor abstracte matematicii, transpunerea limbii vorbite n expresii i simboluri matematice i i formeaz deprinderi de a utiliza i aplica corect un nou limbaj - limbajul matematic, considerat la moment limbajul tuturor tiinelor. nserm aici gndurile unor dintre cei mai mari cugettori ai timpurilor: Galileo Galilei spunea c pn i natura vorbete n limbajul matematic avnd drept cuvinte semne, simboluri, cifre, figuri i el, n primul rnd, iubete matematica ca i marele Platon ce considera matematica drept o tiin, care necesit exactitatea i rigurozitate, acceptnd ca adevrat doar acel raionament, ce rezult ca o urmare logic din cele demonstrate, de altfel Francisc Becon meniona c matematica este prima dintre toate tiinele i totodat este util i necesar pentru ele.1.3 Conceptul de mulime: operaii asupra mulimilor, cardinalul unei mulimin matematica contemporan la baza formrii noiunii de numr st noiunea de mulime care este considerat drept noiune primar, care nu se definete. Studenii trebuie s repete materia de studiu la tema dat din programa matematicii colare preuniversitare la tema dat n urmtoarea succesiune: Noiunea de mulime n matematic i n limba vorbit. Elementele unei mulimi, Relaii ntre mulimi. Cardinalul unei mulimi. Operaii asupra mulimilor. Redarea unei mulimi: analitic i sintetic. Probleme logice cu mulimi.1.4. Conceptul de numr naturalConceptul de numr natural este una din cele mai importante n matematica claselor primare n baza cruia se realizeaz studierea operaiilor matematice i a relaiilor de ordine.1.1.1. Numere naturale ca numere cardinale

Conceptul de numr rezult din noiunile de mulime i de relaie dintre mulimile echipotente A~B, adic cnd ntre dou mulimi exist o bijecie a mulimii A pe mulimea B i viceversa.Relaia de echipoten ~ posed urmtoarele proprieti:a) Este reflexiv, adic A~A.b) Este simetric, adic, dac A~BB~A.c) Este tranzitiv, adic dac A~B i B~C - A~C.Relaia de echipoten fiind reflexiv, simetric i tranzitiv este o relaie de echivalen. Aceasta indic faptul c mulimile date snt mprite de relaia de echipoten n clase disjuncte, numite clase de echipoten sau cardinale, notate card A, card B etc.Aceast noiune abstract la elevii mici trebuie de lmurit n urmtorul mod. Fie c este dat o mulime compus din mai multe mulimi ale prilor ei. O asemenea mulime ar fi format din mulimea vid, din mulimi a cte 1 element, din mulimi a cte 2 elemente, din mulimi a cte 3 elemente etc., care snt submulimi ale mulimii date. Nu ne intereseaz natura acestor elemente, nici forma, nici culoarea. Atragem atenia doar la mulimile echipotente, adic acele, care au acelai numr de elemente de ce natur nu ar fi ele. Dacii relaia de echipoten ntrunete toate mulimile care au aceast proprietate ntr-o clas tic echipoten (cu cte un element: o stelu, un triunghi, un balon, o ciuperc, un ursule etc.), atunci aceast clas o vom numi cardinalul UNU i l vom nota cu semnul 1 sau (cu cte 2 elemente: 2 lebede, 2 ptrate, 2 mingi etc.) - cardinalul DOI i l vom nota cu semnul 2 ele Mulimea vid va determina clasa crei i vom zice clasa ZERO i pe care o notm cu cumul 0. Se construiesc n mod succesiv progresiv toate clasele de echipoten, deci toate numerele cardinale.Se face o generalizare i se spune c: se numete numr natural cardinalul unei mulimi finite. Deci toate cardinalele pe care noi le-am construit snt numere naturale. Mulimea numerelor naturale se noteaz cu N i conine urmtoarele elemente N = {0, 1, 2, 3}Mulimea N este prima mulime numeric cu care se lucreaz n clasele primare i pe care o cunoate colarul mic.

1.1.2. Axiomatica lui PeanaPentru cercetarea proprietilor numerelor naturale este uneori incomod de a apela mereu la clase de mulimi, adic la definiia numerelor naturale.O alt abordare este construirea mulimii N n baza conceptului de succesiune n conformitate cu axiomele lui Giuseppe Peano (1858-1932), care a artat c toate proprietile numerelor naturale rezult din urmtoarele 5 axiome care-i poart numele:1. 0 este un numr natural.2. Orice numr natural n are doar un singur succesor n3. 0 nu este succesorul nici unui numr.4. numere distincte au succesori distinci.5. Mulimea numerelor naturale este cea mai mic mulime cu proprietile: l conine pe 0, odat cu oricare numr n, conine i succesorul lui n.

1.1.3. Aspectul cardinal al numrului naturalnc din cele mai vechi timpuri omul mereu a trebuit s compare diferite mulimi de obiecte, mai ales cnd a nceput schimbul de mrfuri ei comparau mulimi de pietre, sgei, piei, fructe, peti etc. Actualmente aceasta se realizeaz prin numrarea i compararea numerelor obinute ca rezultate ale numrrii. Aceasta presupune c deja se cunosc numerele i se tie a numra.Cum se procedeaz cu micul colar? El realizeaz o ordonare n perechi a elementelor mulimilor ce se compar dup principiul unu la unu, adic realizeaz o coresponden. Din aceast ordonare se poate constata dac mulimile au tot attea elemente, adic snt echipotente - au aceeai putere sau o mulime are mai multe (mai puine) elemente dect cealalt.Toate mulimile care pot fi ordonate complet au o proprietate comun, adic au acelai numr de elemente.In acest mod se formeaz noiunea de numr cardinal.1.1.4. Aspectul ordinal al numrului naturalNecesitatea de a determina o ordine ntre elementele sau submulimile din interiorul unei mulimi a condus la aspectul ordinal al numrului natural.Dup un anumit criteriu (nlime, greutate, rezultatele la nvtur) se poate determina o ierarhie a elevilor dm clas, adic cine este primul, al doilea etc. Numrul de ordine ataat n acest mod ntr-o anumit succesiune se numete numr ordinal. n mod similar se poate proceda i cu numerele naturale, care deja snt bine ordonate, cum cresctor aa i descresctor.Ambele aspecte att cel cardinal, ct i cel ordinal s-au format i dezvoltat n conformitate cu metoda genetico-istoric de cercetare ntr-o legtur permanent unele cu altele i determin aspectele fundamentale ale numerelor naturale, la care se adaug i numrul zero.

1.1.5. Relaia de ordine n NOrdonarea numerelor naturale este evident i reflectat n totul ce ne nconjoar.Pentru a demonstra c mulimea N este ordonat vom apela la axiomele lui G. Peano i la axioma lui Arhimede.Axioma 2. a lui Peano spune c orice numr natural dat are un succesor. Aceasta confirm c n irul numerelor naturale nu exist nici un numr despre care se poate afirma c el este ultimul. Prin urmare acest ir este infinit.Axioma 3. indic c 0 nu este succesorul nici a unui numr natural. Aa cum oricare alt numr din acest ir are un predecesor, rezult c 0 este primul numr al acestui ir.Pentru oricare dou numere naturale n1 i n2 exist una dm cele trei relaii: n1 este mai mic dect n2; n1 < n2 (7 < 9); n1 este mai mare dect n2; n1> n2 (7 > 3); n1 este egal cu n2 ; c = n2 (7 = 7).Cu alte cuvinte, prin relaia de succesiune n acest ir s-a introdus o relaie ntre dou elemente vecine - relaia de ordonare, relaie notat cu semnul grafic > care indic anume c n' > n. Pentru dou numere naturale oarecare a i b se introduce o relaie care respect principiul relaiei de succesiune n felul urmtor: dac exist un numr oarecare c (nu este egal) 0 astfel nct a=b + c, atunci se spune c a este mai mare dect b sau b este mai mic dect a i se scrie a > b respectiv b < a (trihotomia).Se verific n acest mod c aceast relaie este o relaie de ordine total, adic mulimea N este o mulime total ordonat.Operaiile de adunare i nmulire a numerelor pe aceast mulime snt monotone.La cele spuse se mai ataeaz i Axionul lui ArhimedePentru dou numere naturale oarecare a i b, a > 0 exist un numr natural n > 0 astfel nct a*n > b.innd cont de aceste proprieti se poate spune c mulimea numerelor naturale este o mulime total ordonat.

1.5. Sisteme de numeraieIn istoria matematicii este cunoscut cum oamenii au nceput a numra n cadrul diferitor civilizaii, fiind utilizate cele mai variate baze ale sistemului de numeraie: 2, 5, 10, 12, 20, 60. Prezentarea cifrelor i a numerelor avnd cele mai variate forme. Cea mai simpl ndure a lor fiind rbojul, care n varianta cea mai primitiv avea notarea prin crestturi sau liniue.RbojulAcest sistem este un sistem popular atestat la romni din vechime. El consta din anumite semne i are mai multe variante. Sistemul de numrare pe rboj n variantele expuse este destul de simplu: fiecrui element numrat i corespunde o linie. Iat primele zece miniere scrise n trei variante de rboj, care se folosesc i astzi n cazrmi, penitenciare, la competiii sportive etc.Astfel de modaliti de notare a numerelor snt comode i eficiente n cazul cnd se opereaz cu mulimi finite i care nu au multe elemente. Este ne economic de a utiliza un simbol i uncuvnt nou pentru fiecare numr natural. Din aceste considerente se impune o modalitate de stabilire a unui anumit numr ct mai micde simboluri i cuvinte care s se combine n cele mai diverse moduri pentru a forma numere noi.Dup felul de grupare i ordonare se deosebesc dou feluri de sisteme de numeraie: sistemul de numeraie aditiv, sistemul de numeraie poziional.Sistemul de numeraie aditiv, este atestat la multe popoare, cel mai caracteristic fiind cel roman. El folosete doar apte simboluri, numite cifre romane, care corespund anumitor numere, dup cum urmeaz:IVXLCDM

1510501005001000

din care prin modalitatea aditiv de operare cu ele se pot cpta un ir destul de impuntor de numere naturale, ns fr zero.Regula de operare este: dac semnul mai mic dup valoare se afl naintea semnului cu culoarea mai mare apoi ele se scad,IVIXXLXCCDCM

494090400900

iar dac semnul mai mic urmeaz dup semnul mai mare, atunci ele se adun,VIVIIVII

678

ns n cadrul unui numr nu se admite de a scrie mai multe de trei semne de acelai fel la rnd. De exemplu, 3496 = MMMCDXCVI.Pentru numere foarte mari s-a convenit ca grupul de cifre ce reprezint clasa miilor s se scrie cu o bar deasupra, iar cel ce exprim clasa milioanelor cu dou bare etc. De exemplu, 579486341 = DLXXIX CDLXXXVI CCCXLI .Acest sistem este nepoziional.Sistemul de numeraie zecimal poziional, inventat de hindui i rspndit n lume prin intermediul arabilor, este un sistem poziional. n acest sistem de numeraie numit sistemul zecimal poziional de numeraie se folosesc doar 10 simboluri numite cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. n cadrul acestui sistem de numeraie unitile formeaz prima grup, care se scrie doar cu ajutorul unei cifre, zece uniti formeaz o nou grup n care numerele se scriu deja cu ajutorul a dou cifre pe care le numim zeci, zece grupe de cte zece formeaz alt grup n care numerele se scriu cu ajutorul a trei cifre similare pe care le numim sute, zece sute formeaz alt grup n care numerele se scriu cu ajutorul a patru cifre de acelai fel pe care le numim mii .a.m.d. n acest sistem locurile ocupate de cifre se numeroteaz de la dreapta la stnga i se numesc ordine. Un ordin oarecare este de 10 ori mai mare dect ordinul precedent, dac gruparea se face n sistemul zecimal. Absena unui ordin se face prin scrierea cifrei 0 (zero).1.1.6. BazeNumrul de cifre cu care se opereaz n sistemul poziional se numete baza sistemului dat. Exist sisteme de numeraie n diverse baze: 2, 5, 8, 12, 60, n cadrul crora obiectele ce se numr se grupeaz cte 2, cte 5, cte 8 etc. De la sistemul n baza 5 ne-a rmas palma, de la cel n baza 12- duzina, anul, de la cel n baza 60 - unitile de timp. O importan extrem de mare n tehnica i viaa cotidian actual l joac sistemul n baza 2 numit sistemul binar sau dual. n acest sistem se utilizeaz doar 2 simboluri - 2 cifre: 0 i 1. Aceasta este baza de lucru a unui computer modern.In dependen de baza sistemului valorile de poziie prezint puteri ale bazei sistemului dat.1.1.7. Scrierea sistematic a unui numr ntr-o baz oarecareIn sistemul zecimal de numeraie valorile de poziie prezint puteri ale lui zece. De exemplu, numrul 3476 n scris are urmtoarea structur logic bazat pe baza cu care opereaz sistemul utilizat 3476=3*103 +4*102 +7*10 + 6Un numr scris n baza 8 folosete opt semne (cifre), care pot fi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.Se citete i se scrie n aceast baz, de exemplu numrul 35706(8), care se citete trei cinci apte zero ase n baza opt i nu cum noi tim a citi n baza 10. El se scrie sistematic astfel: 35706(8) = 3*84 + 5*83 +7*82 + 0*8 + 6. n sistemul binar, poziiile prezint puterile numrului 2. Numrul 111011(2) se scrie sistematic astfel 111011(2)= l*25 +1*24 +1*23 +0*22 +1*21 +1.

1.1.8. Trecerea unui numr din baza 10 ntr-o baz oarecareSe realizeaz mprirea numrului dat n baza 10 la numrul care reprezint baza n care urmeaz s scriem numrul dat iniial. Ctul cptat se mparte din nou la baz. Acest procedeu urmeaz a fi executat pn cnd cptm un ct care nu mai poate fi mprit la numrul care indic baza dat, adic ctul cptat este un numr mai mic dect baza n care urmeaz ca noi s scriem numrul n baza 10. Se scriu doar numerele ce se capt de la ultimul ct, apoi ultimul rest, urmnd toate resturile pn la primul. Numrul cptat din ultimul ct i aceste resturi n ordine retrograd va fi numrul cutat n baza cutat.Exemple:1793=x(6)12145(6).4675=x(8)=11103(8).

1.1.9. Trecerea unui numr dintr-o baz oarecare n baza 10 Se scrie sistematic n forma standard n baza respectiv i se efectueaz calculele n baza 10.De exemplu:111011(2)=1*25+1*24+1*23+0*22+1*21+1=31+16+8+0+2+1=5911110101(2)=1*27+1*26+1*25+1*24+0*23+1*22+0*21+1=128+64+32+16+4+1=245

1.1.10. Operaii cu numere naturale n diverse bazeOperaiile se execut la fel ca i n sistemul zecimal de numeraie, inndu-se cont d baza sistemului n care se lucreaz.Adunarea: 6 7 4 5 (8)3 4 5 7 (8)_________, 1 2 4 2 4 (8)

Scderea:6 2 3 4 (7)2 5 4 6 (7)_________,3 3 5 5 (7)

nmulirea: 7 4 5 (8) 3 5 2 (8)_________, 1 7 1 2 4 5 7 1 2 6 5 7 ___________ 3 3 5 5 5 2 (8)

mprirea:E dificil de executat mprirea a dou numere n aceeai baz, mai ales cnd numerele cu care se opereaz, att dempritul ct i mpritorul snt de mai multe cifre. Din aceast cauz se recomand de a transforma att dempritul ct i mpritorul din baza dat n baza zecimal, de efectuat mprirea numerelor cptate n sistemul zecimal, apoi rezultatul cptat de transformat n baza necesar.

1.6. Elemente de metodologie a formrii noiunii de numr natural1.1.11. Preliminarii n p--e a conceptului de numr naturalElevii din clasele mici se afl n stadiul operaiilor concrete. La aceast etap ei nva ndeosebi sprijinindu-se pe intuiie i manipulare direct cu obiecte concrete, iar activitatea lor matematic reproduce, n anumite limite, spaiul fizic n care aceste obiecte se dezvolt. In conformitate cu acestea, cunoaterea i modelarea obiectelor prezint pentru nvarea matematicii un interes special esenial.Cercetrile realizate n psihologia genetic i cea a nvrii au artat c: n jurul vrstei de 3-4 ani copiii snt api de a localiza un set de obiecte ntr-un sistem de relaii spaiale la vrsta de 4-5 ani copiii snt capabili s copieze un ptrat i s reproduc forma unei figuri oarecare nchise; se formeaz intuitiv noiunile figurative de interior i exterior, de nchis i deschis; dup vrsta de 5 ani ei devin capabili s reproduc o anumit ordine spaial simpl; doar n anumite cazuri ei pot realiza operaia invers; ctre nceputul colarizrii posibilitile copiilor de a nelege corect spaiul geometric se lrgesc n mod considerabil; apar i se dezvolt primele operaii logice: conjuncia, disjuncia i negaia, formarea mulimilor dup una sau mai multe proprieti ale elementelor lor cultiv i dezvolt la elevi capacitatea de a lega ntre ele proprietile obiectelor care leag o mulime, cu ajutorul relaiilor: sau - corespunztor disjunciei (ptrat sau triunghi), i - corespunztor conjunciei a dou proprieti (ptrat i rou), nu sau non - pentru negaia unei proprieti (nu este ptrat), cu ajutorul operaiilor logice se introduc operaiile asupra mulimilor: reuniunea, intersecia i diferena a dou mulimi, pentru care nvtorul ar trebui s preia unele jocuri logice de la precolari; la vrsta de 6-7 ani pot s organizeze n mod concret spaiul fizic; ei neleg corect i pot s explice anumite proprieti ale figurilor geometrice, s noteze grafic deplasrile unui corp fizic, s construiasc mulimi de obiecte dup anumite proprieti ale elementelor ce le conin, apar primele semne ale formrii noiunii de msur, pot determina sesizarea poziiei unui obiect fa de altul i aprecia distana dintre ele, pot nelege conceptul de figur geometric: triunghi, dreptunghi, cerc; apar primele reprezentri asupra invarianei cantitii - ei pot determina i stabili corespondena ntre elementele a dou mulimi i s exprime rezultatul acestei activiti prin cuvintele: mai mult, mai puin, toi att, care apar n rezultatul stabilirii corespondenei element cu element a dou mulimi; introducerea conceptului de numr natural impune, ca o etap pregtitoare, familiarizarea elevilor cu noiunea de relaie de echivalen a mulimilor de clas de echivalen, de funcie bijectiv, care se poate face pe dou ci: corespondena element cu element i construirea unei mulimi echivalente cu o mulime dat.Cercetrile psihologice indic c la aceast vrst nvtorul trebuie s urmreasc ca elevul s foloseasc un limbaj ct mai aproape de limbajul matematic. Cnd afirmaiile elevilor conin idei corecte, dar formulate ntr-un limbaj nesigur, aprecierea nvtorului trebuie s fie pozitiv, subliniindu-se partea corect a rspunsului dat de elev i ajutndu-i s-i corecteze modul de a se exprima ct mai concis ntr-un limbaj corect matematic.

1.1.12. Specificul p--e numerelor n concentrul 0-10Pe primele zece numere naturale se ridic fundaia pe care n continuare se dezvolt ntreaga oper a gndirii matematice a elevului mic i de studiere n continuare a matematicii, de aceea acestui compartiment trebuie s i se acorde o atenie deosebit. Este primul contact al copiilor cu matematica, perioada cnd ei ncep a utiliza n vorbire primele cuvinte pentru denumirea numerelor i a cifrelor pentru scrierea lor.A utiliza, a reproduce denumirea unui numr sau a ti s numere mecanic nu nseamn c elevul a nsuit corect conceptul de numr natural.nsuirea contient a noiunii de numr se fundamenteaz pe:a) nelegerea numrului ca o proprietate a mulimilor cu acelai numr de elemente - cardinalul mulimilor echivalente (clasa tuturor mulimilor finite echivalente cu o mulime cu un singur element este numrul 1 etc.);a) intuirea locului fiecrui numr n irul numerelor naturale de la 0 la 10 (aspectul ordinal al numrului);b) nelegerea semnificaiei reale a relaiei de ordine pe mulimea numerelor naturale i a denumirilor corespunztoare: mai mare, mai mic, tot att;c) cunoaterea cifrelor corespunztoare numrului;d) citirea cifrelor de tipar i scrierea cifrelor de mn.Comparnd ideea caracterului stadial al dezvoltrii intelectuale (dup Jean Piaget) ci modalitile principale de prezentare a realitii n nvare - acionai, iconic i simbolic (dup Jerome Bruner) se poate nc din clasa I-a, bazndu-ne pe teoria mulimilor, a descompunerii numerelor, s trecem ntr-un mod raional i eficient de la gndirea reproductiv la cea probabilistic, de la formele operatorii mentale concrete la cea abstracte, chiar dac la aceast vrst simbolurile nu se desprind de suporturile lor obiective. Sugestie metodic - un model metodologic de p--e a numrului natural 5, de compunere i descompunere a acestuia.Activitatea didactic ncepe cu pornirea de la numrul natural nsuit anterior - de liSe arat n mod practic c dac la o mulime de 4 obiecte mai vine un asemenea obiecte se fac 5. Se va continua cu toate posibilitile de compunere a numrului 5. n acest fel, aciunea direct se proiecteaz n contiina copiilor sub forma schemei de prezentare a aciunii de compunere a numrului 5 (dac o bil vine spre 4 bile se fac 5 etc.). Se continu apoi operaia invers, de descompunere (dac iau o bil de la 5 bile rmn 4 bile etc.) Se trece la nvarea scrierii cifrei 5, dup ce elevii vor repeta verbal toate posibilitile de compunere i descompunere a cifrei 5.In caietele elevilor se fac desene diagrame de compunere i descompunere, apoi n ui lor, apar relaii simbolice de tipul:1 4=5,2 3=5,3 2=5,4 1=5,5 0=5.sau

0550

1441

2332

3223

4114

5005

Toate acestea pregtesc elevii pentru a sesiza i nelege n mod operaional adunarea i scderea numerelor naturale n concentrul 0- 10.Aceasta i va ajuta i la introducerea simbolicii algebrice de forma a+2 = 5, 5-b=1. Acest lucru este motivat de faptul c fiecare elev are n plan mental un micro model acional de tip algoritmic. Elevul rezolv exerciiul fie prin eroare-ncercare, fie pe cale probabilistic pn va ajunge la soluie. La ei deja aciunea mental este format.n formarea conceptului de numr natural aciunea va precede intuiia, modelul didactic presupinnd parcurgerea urmtoarelor etape: activiti i aciuni cu mulimi de obiecte; schematizarea aciunii i reprezentarea grafic a mulimilor; traducerea simbolic a aciunilor.Sugestie metodic - un nou model metodologic de p--e a numrului natural 5. Construcia mulimilor prin echivalene cu mulimea model, presupune angajarea activ a gndirii copilului n realizarea progresiv a esenialului i generalului matematic, parcurgnd etapele:a) se construiete o mulime care are tot attea elemente cte indic numrul anterior nvat i o mulime cu un singur element;b) se reunesc acele 2 mulimi. Mulimea nou format se deosebete de cea cunoscut anterior prin faptul c are cu un element mai mult. Se d denumire mulimii nou formate i numete cardinalul ei;c) se construiesc mulimi echivalente, prin corespondena element cu element; se subliniaz faptul c numrul indic cte elemente are fiecare din mulimile echivalente construite;d) se arat semnul grafic sau cifra corespunztoare numrului. Se scrie pe tabl i elevii n caiete.

Scrierea de mn a cifrei se face odat cu predarea corespunztoare a numrului pentru a se realiza o legtur ct mai strns ntre numr, exprimarea sa verbal i simbolul su grafic care este cifra.O deosebit atenie trebuie acordat procesului de nelegere a semnificaiei cifrei 0 (zero), deoarece aceasta reprezint pentru copil o dubl abstracie: cifra 0 nu mai exprim ca, alte cifre ceva concret, ea este simbolul clasei de mulimi care nu au nici un element, adic a mulimilor vide.Pentru ai deprinde pe elevi cu relaia de succesiune a numerelor naturale este necesar ca, paralel cu introducerea numrului nou s fie nsuit i relaia de ordine a acestuia cu numrul dat i cu numerele nvate anterior, att n ordine cresctoare ct i n ordin mi descresctoare.Curriculumul n vigoare prevede pentru predarea fiecrui numr n concentrul 0-10 cte 2 lecii. In cadrul primei lecii se introduce conceptul de numr, iar n cadrul celei de-a doua - se introduce relaia sa de ordine cu numrul dat i numerele studiate anterior.De exemplu:Pentru determinarea relaiei de ordine a numrului 5 cu cel nvat anterior (4) i ci celelalte numere nvate anterior (1, 2, 3) se poate proceda n felul urmtor:a) se construiete o mulime cu 4 elemente i alta cu 5;b) se pun n coresponden 1 la 1 elementele celor 2 mulimi i se determin c mulimea cu 4 elemente are cu 1 element mai puin de ct mulimea cu 5 elemente;c) se explic elevilor c pentru a indica faptul c mulimea cu 4 elemente are cu1element mai puin de ct mulimea cu 5 elemente se folosete semnul 4 i vom citi n modul corespunztor,d) se scriu apoi numerele n ordine cresctoare i descresctoare, utiliznd semnele corespunztoare:00.Pentru a contribui la conturarea premiselor necesare abstractizrii structurilor operaionale se propun urmtoarele nsrcinri: completarea irului numerelor naturale de la 0 la 10 cu numerele care lipsesc; cunoaterea locului fiecrui numr natural n acest ir prin precizarea numrului dinaintea fiecrui sau de dup el, deci a numerelor vecine lui; stabilirea relaiei de ordine ntre dou numere date, chiar dac ele nu snt numere consecutive; ordonarea mai multor numere date ntr-un ir cresctor sau descresctor.1.1.13. Numerele naturale n sistemul zecimal poziional formate dintr - un numr ntreg de zeciAa cum sistemele nepoziionale snt anevoioase n aplicarea practic este acceptat de a utiliza sistemul zecimal poziional. Expunem unele consideraii metodice privitoare la utilizarea: introducerea, scrierea i citirea numerelor formate dm zeci i uniti. Ele au la baz formarea de submulimi din cte zece elemente fiecare i numrarea lor. Numrul corespunztor mulimii formate din dou submulimi din cte 10 elemente este 20. Acesta se scrie 20 i se citete douzeci, adic 20 = 10 + 10 i se indic legtura acestei modaliti de a scrie numrul 20 cu cel corespunztor scrierii unitilor n concentrul 0-10 (2=1 + 1). In continuare se pot face nsrcinri de formare, recunoatere i citire de numere formate din zeci. Relaia de ordine n mulimea numerelor formate din zeci se poate introduce prin mai multe modaliti: prin reprezentarea lor pe o dreapt ordonat; compararea numrului de uniti de ordinul al doilea din fiecare numr; utilizarea procedeului prin analogie cu numerele din concentrul 0-10.

1.1.14. Specificul p--e numerelor n concentrul 0-20 Procedeul se aplic n mod similar ca i n concentrul 0-10.Trecerea de la numrul 10 (clasa mulimilor cu cte 10 elemente) la numrul 11 (clasa mulimilor formate din 10 elemente i nc un element) poate fi fcut n mod analog cu trecerea de la numrul 4 la numrul 5.Procedura poate fi urmtoarea:a) se formeaz o mulime din 10 elemente;b) se formeaz o mulime cu un element;c) se reunesc cele 2 mulimi i se obine o mulime nou format din 10 elemente i nc un element;d) se explic c despre o astfel de mulime se spune c are unsprezece elemente i c simbolul grafic sau simbolul numrului dat este 11.n mod analog se procedeaz n continuare, desemnnd clasa mulimilor cu dousprezece elemente cu numrul 12 etc.Apoi se procedeaz n mod asemntor la introducerea tuturor numerelor mai mici dect 20 dar mai mari dect 10, dndu-le denumirile corespunztoare. Elese scriu sub forma: 10+3=13, 10+5=15, 10 + 7=17,10 + 9 = 19, 10+4=14, 10+6=16,10 + 8 = 18,10 + 10 = 20.Pentru consolidarea cunotinelor i formarea competenei de citire i scriere a unui numr natural n concentrul 0-20, se pot propune nsrcinri de genul: s formeze din elementele unei mulimi cu 13 elemente o submulime cu 10 elemente i alta cu 3 elemente i de scris numrul corespunztor acestei mulimi ca o sum.Prin scrierea numerelor formate din zeci i uniti elevii iau contact cu ideea de baz, a sistemului zecimal de scriere i notare a numerelor naturale, utiliznd proprietatea poziiei lui n scrierea numrului, adic dup locul pe care l ocup.O alt modalitate de formare a unui numr cuprins ntre 10 i 20 este cea de utilizare a axiomaticii lui Peano, avnd la baz metodologia formrii n cretere a fiecrui numr nou din numrul precedent prin adugarea unei uniti1.1.15. Specificul p--e numerelor n concentrul 0-100, pn la 1000, mai mari de 1000Etapa precedent de formate a numerelor naturale n sistemul zecimal poziional de numeraie de la 10 la 20 are o importan esenial pentru extinderea ulterioar a procesului de formare a numerelor naturale mai mici dect 100 i a scrierii lor poziionale, apoi n continuare a formrii numerelor pn la 1000 i a celor mai mari dect 1000.Se procedeaz n mod analog cum s-a procedat i n concentrul 0-20.Dac vom reuni o mulime format din 20 elemente cu o mulime format din 1 elemente, se obine n rezultat o mulime nou care are 25 de elemente.Activitile de reunire a mulimilor formate dintr-un numr de submulimi de cte 10 elemente cu o mulime format dintr-un numr de elemente mai mic dect 10, ne conduce corect metodic, n mod progresiv ascendent la construirea mulimilor de numere naturale mai mici dect 100. n rezultat vom avea:20 + 3 =23, 30+ 7 = 37, 70 + 7 = 77,90 + 9 = 99,20 + 4 = 24, 40+ 6 = 46, 80 + 2 = 82,90+ 10= 100.Trecerea studierii numerelor naturale de la concentrul 0-10 la numerele maimici dect 100 prin depirea primei zeci, constituie esena nelegerii de ctre copii astructurii zecimale a sistemului poziional de numeraie i devine o treapt logic necesar pentru extinderea ulterioar treptat a concentrelor de studiere a numerelor naturale de la un concentru la altul pn la 1000, apoi i a numerelor ce depesc 1000.

1.1.16. Specificul p--e numerelor de mai multe cifreStudierea numerelor de orice mrime se ncepe n clasa a III-a, dup ce elevii au nsuit numeraia oral i scris pn la 1000 i operaiile matematice n limita pn la 1000.Aceast etap de studiere a numerelor naturale are urmtoarele caracteristici: se extinde considerabil sistemul zecimal de numeraie cu noi uniti de calcul, asigurndu-se sistematizarea i aprofundarea studiului numerelor naturale; se introduce noiunea de ordin i de clas, se consolideaz nelegerea conceptului de sistem poziional de numeraie; se studiaz sistematic operaiile n scris, proprietile acestora, ordinea operaiilor, folosirea parantezelor; se mbogete considerabil limbajul matematic, se diminueaz, pe ct e posibil, apelul la intuiie, trecndu-se progresiv la abstractizri, fr a renuna la principiul unitii dintre concret (intuitiv) i abstract n procesul de formare a noiunilor matematice.n studiul numerelor pn la 1000 elevii parcurg urmtoarele uniti de nvare: unitatea simpl, zecea, suta, mia.Tot odat ei deja cunosc baza zecimal a acestei uniti, adic: 10 uniti simple formeaz o zece - unitate nou de ordin mai superior, 10 zeci formeaz o sut - unitate nou de ordin i mai superior, 10 sute formeaz o mie - cea mai mare unitate n acest concentru.Prin urmare elevii trebuie s intuiasc corect c n sistemul zecimal poziional de numeraie 10 uniti oarecare formeaz o unitate de ordin imediat superior.Centru formarea, scrierea i citirea oricrui numr natural de la 0 pn la 1000 elevii pot folosi cele mai diverse materiale didactice: mnunchiuri de beioare, abacul cu orificii i fie, numrtoarea cu bile, jetoane etc.La elevi se formeaz competene de a determina c se va lucra cu unitile de ordinul: nti - unitile simple, doi - zecile, trei - sutele, patru - miile, cinci - zecile de mii, ase - sutele de mii, apte - milionul, opt zeci de milioane, nou sute de milioane, zece - miliarde etc.Pe msur ce elevii nsuesc ordinele numerelor naturale, elevii constat, c n scrierea numerelor naturale se atest grupuri de 3 ordine la rnd ncepnd cu primul ordin care conin uniti care se numesc la fel, ele se numesc uniti, mii, milioane, bilioane sau miliarde, trilioane, cvadrilioane etc. Aceste trei ordine consecutive ncepnd cu primul s numesc clase: Clasa unitilor include ordinele 1, 2, 3, adic unitile, zecile, sutele. Clasa miilor include ordinele 4, 5, 6, adic unitile de mii, zecile de mii, sutele de mii. Clasa milioanelor include ordinele 7, 8, 9, adic unitile de milioane, zecile de milioane, sutele de milioane etc.Se poate indica c acest proces poate fi extins la nesfrit indicnd clasele bilioanelor, trilioanelor, cvadrilioanelor, cvintilioanelor, sextilioanelor, septilioanelor, octalioanelor, nonalioanelor, decalioanelor etc. Trebuie ca elevii s sesizeze cte cifre trebuie s conin fiecare numr n raport cu clasele din care este constituit, innd cont d fiecare clas const din 3 ordine la rnd.Dup ce elevii i formeaz ct de ct noiunea de ordin i de clas se impune o sistematizare a celor nvate. In mod logic apare urmtorul tabel:10 uniti simple = 1 zece,10 zeci = 1 sut,10 sute = 1 mie,10 mii = 1 zece de mii,10 zeci de mii = 1 sut de mii,10 sute de mii = 1 milion,10 milioane = 1 zece de milioane,10 uniti zeci de milioane = 1 sut de milioane,10 sute de milioane = 1 bilion (1 miliard),10 miliarde = 1 zece de miliarde,10 zeci de miliarde = 1 sut de miliarde etc.n continuare, se trece la numerotarea unitilor de calcul n succesiunea nvrii lor, consolidndu-se astfel noiunea de ordin:1) Uniti simple: pe locul 1 se posteaz unitile simple, care snt uniti de ordinul 1.2) Zeci: pe locul 2 se posteaz zecile, care snt uniti de ordinul 2.3) Sute: pe locul 3 se posteaz sutele, care snt uniti de ordinul 3.4) Uniti de mii: pe locul 4 se posteaz miile sau uniti de mii, care snt uniti de ordinul 4.5) Zeci de mii: pe locul 5 se posteaz zecile demii, care snt unitide ordinul 5.6) Sute de mii: pe locul 6 se posteaz sutele demii, care snt unitide ordinul 6.7) Uniti de milioane: pe locul 7 se posteaz milioanele, care snt uniti de ordinul 7 etc.Ne remarc, c numrul scris n faa fiecrei uniti de numeraie din tabelul de mai sus indic loculunitii respective n scrierea numerelor, iar numrul care arat locul fiecrei uniti se numete ordin. Noiunea de ordin se introduce i n vorbire. Varietatea ordinilor i semnificaia lor se consolideaz prin nsrcinri de forma: a) sulele snt uniti de ordinul ... (3); b) unitile de ordinul 5 se numesc ... (zeci de mii).ntrebrile de acest gen se pun iniial n ordinea indicat apoi pe srite.Apoi se discut noiunea de clas:I clasa UNITILOR format din ordinele 1, 2, 3,II clasa MIILOR format din ordinele 4, 5, 6;III clasa MILIOANELOR format din ordinele 7, 8, 9;IV clasa MILIARDELOR format din ordinele 10, 11, 12; etc.Dup nsuirea contient a ordinelor i claselor e poate trece la formarea, scrierea i citirea numerelor de mai multe cifre. Pentru aceasta nvtorul sene petabl i elevii scriu n caiete un tabel n care se evideniaz ordinele i clasele, numerotarea crora se face de la dreapta spre stnga.Modalitatea de lucru cu acest tabel este urmtoarea:a) se formeaz numrul la abac, la tabla magnetic, la numrtoarea cu bile;b) se scrie numrul format n acest tabel ncepnd cu clasele i ordinele mai mari;c) se citete numrul scris n tabel.La etapa iniial se recomand a scrie numere formate numai din cifre semnificative.De exemplu: 2543, 56432, 78954678 etc.n continuare se pot scrie numere care conin zerouri n scrierea lor, numai nu la nceputul numrului:De exemplu: 5098, 304504, 89400500, 230000000 etc.Dup ce elevii au deprins tehnica de a scrie i citi corect numerele naturale dup tabelul cu clase i ordine, se trece la scrierea i citirea numerelor fr a utiliza tabelul. Pentru aceasta se atrage atenia c marcarea (evidenierea) claselor ce se afl n componena numrului se face cu ajutorul unui mic spaiu liber, care se las ntre clase, adic dup fiecare 3 cifre consecutive, ncepnd a numra din dreapta spre stnga. De remarcat, c clasele nu se despart printr-un punct, deoarece acest simbol este consacrat notrii operaiei nmulirii.De exemplu: 5 098, 304 504, 89 400 500, 230 000 000 etc. i nu este admisibil de a scrie 5.098, 304.504, 89.400.500, 230.000.000 etc.O deosebit importan trebuie de acordat scrierii i citirii cifrei 0 (zero), care n componena numrului semnific absena unitilor de un anumit ordin. Cuvntul ZERO n citirea unui numr oarecare, n componena crui este, nu se rostete.De exemplu:5 098 se citete 5 mii 9 zeci i 8;304 504 se citete 3 sute 4 mii 5 sute 4;89 400 500 se citete 89 milioane 4 sute mii 5 sute;230 000 000 se citete 230 milioane etc.La aceast etap este oportun de a reaminti elevilor semnificaia unei cifre dup poziia (locul) pe care l ocupm scrierea unui numr oarecare.De exemplu:3235333.In scrierea acestui numr cifra 3 apare de 5 ori, dar n poziii diferite, n raport de care ea are alt valoare numeric:primul 3 din dreapta indic c numrul conine 3 uniti simple,al doilea 3 din dreapta indic c numrul dat conine 3 zeci, a patra cifr de 3 din dreapta sau a 5-a din componena numrului indic c numrul dat conine 3 zeci de mii i ultimul 3 din dreapta sau prima cifr din componena numrului indic, c numrul dat care n componena sa 3 milioane.Att scrierea i citirea numerelor naturale de mai multe cifre, ct i noiunile de ordin i clas snt chestiuni care cer exercitri multiple, pentru ca n cele din urm elevii s-i formeze competenele necesare de operare cu numerele naturale, ndeosebi, la compartimentul numeraia.Nenelegerea i nsuirea necalitativ a conceptelor fundamentale ale acestui compartiment fac practic imposibil nsuirea etapelor urmtoare de operare cu noiunea numr natural, n special, nsuirea operaiilor matematice cu numerele naturale.1.1.17 Coninutul competenelor necesare pentru formarea conceptului de numr naturalSe recomand pentru bunul nvtor de a utiliza n activitatea sa de utilizarea a itemilor la fiele pentru lucrul independent sau ca strategii educaionale n leciile de p--r a numerelor naturale la compartimentul Numeraia:1) S denumeasc i s dea exemple de mulimi dup criterii semantice (sensul coninutului cuvntului) luate ca (fructe, flori, mijloace de locomoie: mers lent, la pas, alergtor, sritur, not, zbor, rostogolire, jucrii, animale, rechizite colare etc.).2) S deseneze diagrame Venn - Euler cuprinznd n interiorul lor obiecte, jetoane figuri geometrice.3) S construiasc din beioare: figuri geometrice (triunghi, ptrat, dreptunghi) i s enune n prealabil sau dup construcie cte beioare snt necesare. n mod similar pentru cele mai diverse semne matematice: plus, minus, egal4) S compare dimensiunile obiectelor i poziia lor spaial pentru precizarea unor relaii opuse (antonimice): mare-mic, lung-scurt, nalt-scund, gros - subire, lat-ngust, la dreapta-la stnga, sus-jos, aproape-departe, nainte - napoi, deasupra-dedesubt, n fa-n spate, greu-uor, scump-ieftin, mult puin, orizontal - vertical-oblic.5) S cunoasc culorile primare i fundamentale. 6) S stabileasc prin linii corespondene ntre figuri (obiecte) dup criterii de: form, mrime, culoare i identitate.7) S stabileasc corespondene unu la unu (element cu element) a elementelor a 2 mulimi prin linii, sgei, realiznd cupluri ordonate (perechi).8) S stabileasc relaia dintre elementele a 2 mulimi: A i B au tot attea elemente, A are mai multe (mai puine) elemente dect B etc.9) Fiind date 2 mulimi s opereze cu ele n aa fel nct una s aib mai multe (mai puine) sau tot attea elemente cte are i a doua mulime (prin luare sau adugare de elemente).10) S indice interiorul sau exteriorul unei linii nchise.11) S precizeze apartenena sau neapartenena unui element la mulimea dat.12) S alctuiasc (construiasc, deseneze) mulimi dup cardinalele date (enunate, scrise).13) S enune (s scrie) cardinalele unor mulimi date (formate, desenate).14) S alctuiasc mulimi care s aib cardinalele n ordinea cresctoare (descresctoare) a numerelor naturale dintr-un interval dat.15) S determine relaii de ordine ntre numerele naturale date sau dintr-un interval dat.16) S ordoneze cresctor (descresctor) irul numerelor naturale dintr-o mulime dat.17) S precizeze locul unui numr natural pe dreapta numeric ordonat.18) S poat numi predecesorul i succesorul unui numr natural dat.19) S indice numrul sau numerele care lipsesc dintr-un interval dat.20) S enune i s scrie toate posibilitile de compunere a unui numr natural din concentrul 0-10 folosind cardinalele a 2 mulimi distincte disjuncte care se reunesc; numrul de soluii este dat de formula n + 1.21) S indice cifra corespunztoare numrului de elemente (cardinalul) unei mulimi, cifra cardinalului unei mulime cu mai puine, mai multe cu 1,2 elemente dect cea dat.22) S stabileasc valoarea de adevr a unor propoziii referitoare la relaia de ordine dintre numerele date de tipul: 2 = 2, 3^3, 2 > 1, 3 < 9, 2^7 etc. i s interpreteze relaiile incorecte logic.23) S numere n ordine cresctoare sau descresctoare cu stop (un numr sau o cifr interzis) pe unul sau mai multe numere convenite.24) S explice i s exemplifice mulimi marcante, inconfundabile, pentru diferite numere naturale din concentrul 0-10 n special: Zero - mulimea ferestrelor din beci; Unu - mulimea sateliilor naturali ai planetei Pmnt, Doi - perechi de pantofi, pantaloni, ciorapi, ireturi, patine, schiuri, ochelari, cu toate c noiunea desemneaz un singur obiect; Trei - numrul laturilor unui triunghi, foile la trifoi; Patru - numrul de laturi a unui ptrat; Cinci - numrul degetelor de la o mn; apte - numrul zilelor unui sptmni complete.25) S indice tot attea degete cte elemente are o mulime dat, adic un numr enunat, o cifr indicat. Se poate utiliza o mn plin sau combinaii dreapta stnga pentru numere mai mari dect 5 sau chiar i mai mici. De exemplu, pentru numrul 6 se poate indica 5 degete de la mna dreapt i un deget do I stnga sau alte variaii.26) S schimbe locul elementelor dintr-o mulime cu alte elemente i s se determine o nou relaie dintre cardinalele date.27) S rezolve probleme la numeraie.28) S manifeste plcerea de a compune exemple specifice numeraiei.

1.7. Probleme legate de noiunea de numeraieDup ce elevii au luat cunotine cu numere de orice mrime (numere de mai multe cifre) se pot rezolva probleme legate de numeraie de urmtorul tip:1. Scriei toate numerele de forma abcd, astfel nct a + b - c + d = 5, iar a, b, c, d snt cifre distincte.Rspuns: 1405, 1450, 1423, 1432, 1305, 2350, 2314, 2341, 3205, 3250, 3211 3241, 4105, 4150, 4123, 4132, 5014, 5041, 5023, 5031.2. Scriei numere de forma abcd, astfel nct a+ b + c = d.Rspuns: 1236, 1326, 3216, 2349, 2339, 3249, 3429, 1809 etc.3. Scriei numere de forma abcd, tiind c a, b, c, d snt numere impare distincte.4. Scriei numere de forma abcd, tiind c a, b, c, d snt numere pare distincte.5. Scriei numere de forma abcd, astfel nct a+ b + c + d = 10, iar a>b>c>d.6. Scriei numere de forma abcd, unde a + b = c + d, iar a, b, c, d snt cifre distincte.7. Scriei toate numerele de forma abcd, dac a + h = c + d, iar a, b, c, d snt cifre distincte care satisfac condiia: a) a+b mai mic 10; b) a + b >10; c) a+b=11; a-b = 3 etc.8. Scriei numere de forma abcd, unde a, b, c, d snt numere distincte consecutive, n ordine: a) cresctoare; b) descresctoare.9. Scriei numere de forma abcdef , unde cifrele snt distincte, diferite de zero, iar produsul lor este cel mai mic numr posibil.10. Scriei numere de forma abcdef , unde cifrele snt distincte, iar produsul lui este zero.11. Scriei cel mai mic numr de forma abcdef.12. Scriei cel mai mare numr de forma abcdef .13. Cte cifre de 1 v trebuie pentru a scrie cel mai mic numr de forma: a) abcd, b) abcdef .14. Cte numere putei alctui cu trei cifre distincte?15. Realizai diferena dintre orice numr dorii i rsturnatul lui. Observai ce proprietate constant posed aceast diferen. ncepei ci numere mici. Rspuns: Aceste numere snt divizibile la 3 i la 9.16. Adunai numere distincte din intervalul 0-10, astfel nct suma lor de forma ab s posede proprietatea a - b. Rspuns: 1+2 + 3+ 4 + 5+ 6 + 7 + 8 + 9+10 = 5517. Scderi pe rnd din 1000 numere de forma abc, unde a = b - c i a primete n mod aleatoriu valorile numerice 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Comparai resturile cptate.Ce observai dac adunai cifrele resturilor, luate ca simple uniti?Rspuns:Se observ c sumele cresc sau descresc cu cte 3 uniti:1000-999 = 1;1000-888 = 112, (1 + 1 + 2 = 4);1000 - 777 = 223 , (2 + 2 + 3 = 7) etc.18. Scriei numere de forma abc, unde a+b = c, iar a, b, c, snt cifre distincte.19. Scriei numere de forma abc, unde a=b=c i a-b=c.

CAPITOLUL IIMETODOLOGIA STUDIERII OPERAIILOR MATEMATICE2.1 Obiective generaleSpecificul metodologiei studierii operaiilor matematice cu numere naturale solicit formarea la studeni a competenelor de: contientizare a sensului operaiilor matematice, semne a operaiilor corespunztoare, denumire a componentelor i relaiile dintre aceste componente i rezultat, relaiile existente dintre operaiile matematice: adunarea - scdere, adunare - nmulire, nmulire - mprire, scdere - mprire; corelare a operaiilor matematice cu operaiile asupra mulimilor; utilizare a celor 4 operaii matematice i aplicarea lor n calculele numerice; optimizare a deprinderilor de calcul mintal i de aplicare a lui n calculele practice; nsuire a unor algoritmi stabili de calcul oral i n scris, utiliznd numere naturale de orice mrime i aplicare a acestor algoritmi de calcul numeric n rezolvarea i compunerea problemelor.

2.2. Metodologia formrii noiunii de operaie n mulimea numerelor naturalen clasele primare cu elevii nu se face un studiu teoretic al problemei formrii noiunii de operaie matematic, n sensul definirii lor, ci doar o descriere a lor n practica cotidian. nvtorul ns trebuie s cunoasc fundamentele teoretice ale noiunilor necesare, definiiile fiecrei operaii cu numerele naturale i proprietile lor. Doar n aa mod nvtorul este capabil s urmreasc contientizarea de ctre elevi a procesului de nelegere a sensului logic i a semnificaiei fiecrei operaii i a principiilor care stau la baza aplicrii acestor operaii n cele mai diverse calcule, n special, n calculele practice.Se atrage atenia la noiunea de operaie intern pe mulimea numerelor naturale, care se poate realiza n rezultatul unei legi de compoziie - a unei funcii, a unei aplicaii f:N*N (o aplicaie definit pe produsul cartezian N*N cu valori n N).O operaie intern pe mulimea N notat cu semnul ,, + " se numete adunare, iar compusul f(a,b) = a + b se numete adunarea sau suma numerelor-elementelor a i b. n acest caz vom spune c aplicm o lege aditiv.O lege de compoziie pe mulimea N notat cu semnul . sau * se nume nmulire, iar compusul f(a,b) a b sau f(a,b)=a*b se numete nmulirea sau produsul numerelor-elementelor a i b. n acest caz vom spune c aplicm o lege multiplicativ.Aa cum procesul formrii conceptului de numr natural se bazeaz pe noiunea primar de mulime, introducerea operaiilor matematice cu numerele naturale are la baz legitile de operare cu mulimi de obiecte. Anume aceasta este baza logic intuitiv-concret pentru nelegerea de ctre elevii claselor primare a operaiilor matematice cu numerele naturale, precum i sesizarea principiilor fundamentale n conformitate cu care se realizeaz calculul numeric, ct i a proprietilor operaiilor.Pentru precizarea unei operaii interne pe N exist mai multe moduri de prezentare a legii de asociere:a) grafic printr-o diagram;b) cu ajutorul unei tabele de operaie matematic - tabel de coresponden;c) cu ajutorul unei reguli de operaie matematic - regul de coresponden.Introducerea operaiilor matematice cu numere naturale nu se face izolat, cu ajutorul legturii dintre cunotinele achiziionate anterior, ca o extindere, ca o aprofundare a cunotinelor ct i a sensului aplicrii lor.Adunarea numerelor naturale este operaie intern a + b, avnd drepl termenii adunrii componentele a i b. Legea de asociere este redat n baza operaiilor cu mulimile de elemente. Dac A i B snt dou mulimi disjuncte respectiv cu a i cu b elemente, atunci numrul elementelor mulimii nou format prin reuniunea celor dou mulimi este a cardinalul ei, ceea ce i reprezint suma numerelor a i b. Adunarea este o operaie ntotdeauna posibil pe N, deci este o lege de compoziie intern definit pe ntreaga mulime.Adunarea, ca operaie intern de tip aditiv posed proprietile: asociativitatea - oricare snt numerele naturale a, b, c, avem.(a + b) + c = a + (b + c); comutativitatea - oricare snt numerele naturale a, b avem a +b = b + a, exist elementul neutru - numrul natural 0 (zero), astfel nct a + 0 = 0 + a = a, oricare ar fi a.Scderea numerelor naturale este operaie intern a - b, prin care cunoscnd suma a dou numere naturale i unul din termeni se determin cel de-al doilea termen. Legea de asociere este redat n baza operaiilor cu mulimile de elemente. Dac A i B snt dou mulumi i B este o submulime a mulimii A cu a i respectiv cu b elemente, atunci numrul elementelor mulimii nou format prin diferena celor dou mulimi este a b=c - cardinalul ei, ceea ce i reprezint diferena numerelor a i b, se noteaz a-b = c. Scderea este o operaie limitat pe N, deci este o lege de compoziie intern definit pe mulimea N cu anumite restricii, este necesar ca a>b. Numrul a se numete desczut, b - scztor, c - restul sau diferena, care adunat cu scztorul trebuie s dea desczutul a = b + c. Scderea se poate introduce ca o operaie de determinare a unui termen necunoscut al adunrii n cazul cnd se cunoate suma i unul din termenii adunrii.nmulirea numerelor naturale este operaie intern axb, avnd drepr factorii produsului componentele a i b. Legea de asociere este redat n baza operaiilor cu mulime de elemente. Dac A i B snt dou mulimi cu a i respectiv cu b elemente, atunci numrul elementelor mulimii nou format prin produsul cartezian a celor dou mulimi este AxB - cardinalul ei, ceea ce i reprezint produsul numerelor a i b, care se noteaz axb=c sau ab = c. Numerele a i b se numesc factori, iar c - produsul lor. A nmuli numerele naturale a cu b nseamn a aduna numrul natural a cu el nsui de b ori, deci a+a+a+a++a (de b ori) = b*a. nmulirea este o operaie ntotdeauna posibil pe N, deci este o lege de compoziie intern definit pe ntreaga mulime, avnd regula dat prin adunarea repetat a aceluiai numr natural a.nmulirea, ca operaie intern de tip multiplicativ posed proprietile: asociativitatea - oricare snt numerele naturale a, b, c, avem (a * b) * c = a * (b * c), comutativitatea - oricare snt numerele naturale a, b avem a * b = b * a, exist elementul neutru - numrul natural 1 (unu), astfel nct a * 1= 1 * a = a, oricare ar fi a.Cele dou operaii interne definite pe ntreaga mulime N (adunarea i scderea) sunt legate ntre ele print-o proprietate comun distributivitatea nmulirii fa de adunare: oricare sunt numerele naturale a, b, c, avem: a*(b+c)=a*b+a*c.mprirea numerelor naturale se introduce ca o operaie de scdere repetat sau ca o operaie de determinare a unui factor necunoscut cnd se cunoate produsul i unul din factorii nmulirii, acest factor fiind diferit de zero. Aceast operaie de mprire a numrului natural a la numrul natural b presupune determinarea unui astfel de numr natural c,nct a= b*c. Numrul b, care trebuie s fie diferitde 0 (zero), se numete - mpritor, numrul a - dempritul i rezultatul mpririi - ct. In cazul cnd a se divide la b restul de la mprire este egal cu 0 (zero), iar dac nu se mparte exact atunci avem mprire cu rest i n aa caz oricare ar fi numerele naturale a i b, cu b 0, exist dou, numere naturale c i r, cu r < b, astfel ca a = b*c + r (teorema mpririi cu rest).n caz particular la elevi se atrage atenia la specificul utilizrii numrului 0 la mprire:a) Dac a = b = 0, mprirea nu are sens.b) Dac a0 i b = 0, mprirea la 0 nu are sens deoarece nu exist un aa numr natural x, care s dea a = x*0.Dac, ns, ncercm a construi mulimea numerelor naturale n baza axiomaticii lui Peano, apoi legile de compoziie se introduc prin urmtoarele axiome: 1.a + I= a ', pentru oricare a din N.2.a + b + 1 = (a + b'). pentru oricare a, b din N.3. a * 1 = a, pentru oricare a din N.4. A*b' = a*b + a, pentru oricare a, b din N.Aceste axiome permit de a determina pentru oricare dou numere naturale suma i produsul lor unic determinate.2.3. Specificul p--e adunrii i scderii numerelor naturale pn la 10Dup nsuirea conceptului de numr natural, numeraie i relaia de ordine definit pe mulimea numerelor naturale, se trece la studiul organizat al operaiilor de adunat la 4 scdere n concentrul 0-10. Aceasta se face n corespundere cu accesibilitatea lor i a caracterului lor intuitiv pronunat, care corespund particularitilor de vrst ale elevilor de vrst colar mic.Introducerea operaiilor de adunare i scdere se poate face n baza reuniunii a dou mulimi disjuncte i a diferenei a dou mulimi. Gndirea copilului n acest caz opereaz prin abstractizare, generalizare i analogie.Operaia de adunare a numerelor naturale apare ca cardinalul reuniunii mulimilor, disjuncte finite.Formarea i nsuirea noiunii de adunare se pornete de la operaii cu mulimi concrete cu obiecte uzuale: balonae, mere, nuci, bobie de struguri etc. - etapa perceptiv, ei reunesc dou mulimi cu numere diferite de elemente i capt reuniunea lor - cardinalul reuniunii reprezint suma lor. In etapa a II-a - semiabstract, cea de formare a reprezentrilor imaginativ-concrete, elevii deja opereaz cu desenarea simbolic a mulimilor: stelue, cerculee, figuri geometrice etc. Se indic c se poate folosi un simbol grafic special + , care desemneaz n matematic operaia de adunare i n cazul reuniunii a dou mulimi: una cu 4 elemente i alta cu 3 elemente se capt o reuniune cu 7 elemente ceea ce se poate scrie ca 3+4= 7 sau 4 + 3 = 7. Cu alte cuvinte elevii trebuie s ajung la concluzia c semnul + se asociaz dup sens cu operaia adunrii. Elevii trebuie s contientizeze c 3+ 4 = 7 sau 4+3 = 7 este aceeai scriere sau snt dou forme echivalente de scriere a numrului 7. Se pune n discuie aa numitele componente ale operaiei de adunare a numerelor. Aceste numere ce-1 determin pe 7, se numesc termenii adunrii, iar rezultatul adunrii - sum: primul termen + termenul al doilea = sum.Se menioneaz dup mai multe exemple, c toi termenii adunrii posed aceast proprietate a comutativitii.Dup mai multe exercitri cu mulimi cu numere variate de elemente elevii pot realiza concluzia, c: 0 + 7 = 71 + 6 = 72 + 5 = 73 + 4 = 74 + 3 = 7 5 + 2 = 7 6 + 1 = 76 + 0 = 7

n acest mod se face legtura logic ntre adunarea a 1, 2, 3 etc. uniti i numrarea nainte cu 1, 2, 3 etc. uniti. Odat cu introducerea operaiei de adunare a numerelor se fac variate nsrcinri de scriere i citire a operaiei de adunare. Pentru a motiva necesitatea introducerii acestei operaii este necesar de a compune i rezolva un ir de probleme simple, utiliznd cuvintele: la un loc, mpreun, n total, cu mai mult. Se creeaz premise pentru utilizarea exerciiilor de tipul a + 3 = 7, 3 + a = 7, iar mai apoi de tipul a +b = 7, care se rezolv prin ncercare-eroare sau pe cale probabilistic pn se ajunge la soluia cutat, bazndu-se pe procedeul de compunere i descompunere a numrului 7. Elevii n rezultatul exercitrii i mbogesc vocabularul cu un limbaj nou: mresc cu, adaug, stng la un loc, mpreun cu, ct i cu ct, cu mai mult, mai mult cu, adunat cu, i, i cu, au venit, majorat cu etc., expresii a cror valoare se poate determina prin operaia de adunare. La etapa final se aplic adunarea a trei numere, apelnd la proprietatea asociativitii adunrii.Operaia de scdere a numerelor naturale se introduce ca diferena a unei mulimi i a unei submulimi a ei, adic se bazeaz pe mulimi complementare. In clasa I-a scderea poate fi introdus n felul urmtor: se formeaz o mulime compus din figuri geometrice: un disc, dou ptrate i patru triunghiuri. se grupeaz n submulimi i submulimea triunghi urilor se ndeprteaz. n mulimea diferen rmn trei elemente: discul i dou ptrate.Se opereaz cu diverse mulimi formate dm cele mai variate elemente: flori sau jetoane: roii, galbene i albe, creioane ascuite sau nu, de cele mai diverse culori, animale sau psri: slbatice i domestice; cri i caiete; biei i fete etc. Se procedeaz n mod analogic ca n exemplul descris apelnd tot timpul la cardinalul mulimilor. Se pune n discuie aa numitele componente ale operaiei de scdere a numerelor. Se precizeaz c simbolul operaiei de scdere este semnul grafic care se citete minus c numrul din care se scade se numete desczutul, cel care se scade - scztorul, iar rezultatul operaie de scdere - rest sau diferen:desczutul scztorul = rest (diferen).Elevii n rezultatul exercitrii i mbogesc vocabularul cu un limbaj nou: micorat cu, scad, fr, au plecat, cu att mai puin, cu mai mic, lipsesc, diminuat cu etc., expresii a cror valoare se poate determina prin operaia de scdere. Aceast operaie matematic simbolic, n limbajul ideal matematic se scrie:7 - 4 = 3 7- desczutul,- simbolul grafic al operaiei de scdere,4 - scztorul,3 - restul sau diferena.Prin exemple elevii singuri trebuie s ajung la concluzia c operaia de scdere a numerelor naturale este limitat i c ea este posibil doar cnd desczutul este mai mare sau cel puin egal cu scztorul.Ca i la operaia de adunare este necesar de a compune i rezolva cte mai multe probleme simple pentru a motiva introducerea operaiei de scdere a numerelor naturale, ct i pentru consolidarea cunotinelor cptate. In acelai timp este necesar de a deprinde elevii de a utiliza corect n conformitate cu sensul lor logic expresii de tipul: mai puin cu, dm la o parte, nlturm, nstrinm, mai tnr cu, mai slab cu, scoatem, sustragem, lum etc., care se traduc simbolic cu operaia matematic de scdere a numerelor naturale i utiliznd proba verificrii prin scdere dac unitile care au fost sustrase le reducem la unitile rmase reconstituind numrul iniial. n acest mod se realizeaz legtura indisolubil dintre operaiile de adunare i scdere. Deci: 7 4 = 3, deoarece 7=3+4Treptat, pe msur ce se avanseaz n nsuirea operaiilor de adunare i scdere n concentrul 0-10, se alctuiesc n mod graduat tabelele corespunztoare numrului care se studiaz a operaiilor de adunare i scdere a numerelor naturale, utiliznd complinii descompunerea lor.2.4. Specificul p--e adunrii i scderii numerelor naturale cuprinse ntre 0 i 20P--e a OASNN (operaiile de adunare i scdere a numerelor naturale) n concentrul 0-20 se realizeaz n cunotinelor achiziionate i a competenelor matematice formate anterior de ctre elevi, utiliznd cele nai diverse materiale didactice intuitiv-ilustrative concrete, bazndu-ne pe unele particulariti specifice ale numerelor naturale i a operaiilor matematice cu aceste numere n concentrul 0-20.La aceast etap elevii deja cunosc: Noiuni despre mulimi i operaiile posibile asupra mulimilor. Noiunile: de numr natural, sistem de numeraie, metodologia de lucru cu operaiile de adunare i scdere a numerelor naturale n concentrul 0-10. Proprietile OASNN n concentrul 0-10, ale relaiei de egalitate (comutativitatea i asociativitatea adunrii), probele prin adunare i scdere ale celor dou operaii, simetria i tranzitivitatea relaiei de egalitate etc Posibilitatea de a forma diverse mulimi, ct i mulimi echipotente. Operarea de adunare i scdere a numerelor naturale mai mici dect 10.nainte de a trece la studierea operaiilor n concentrul 0-20 nvtorul trebuie n mod obligatoriu s recapituleze cu elevii toate aceste cunotine necesare pentru lucru cu succes mai departe, s se asigure de nsuirea temeinic, contient i deplin a acestora.Adunarea numerelor naturale n concentrul 0-20. n cadrul p--e adunrii numerelor naturale cuprinse ntre 0 i 20 deosebim: adunarea unui numr mai mic dect 20 format dintr-o zece i ceva uniti cu un numr mai mic dect 10, a cror sum este mai mic sau egal cu adunarea a dou numere mai mici dect 10 a cror sum trece peste 10. adunarea a dou numere mai mici dect 10 a cror sum trece peste 10.Pentru adunarea unui numr format dintr-o zece i uniti cu un alt numr format doar din uniti se adun unitile ntre ele, apoi rezultatul obinut se adun cu zecea primului numr. Astfel, dac avem de adunat 12+5 procedm n urmtorul mod: 12 este format dintr-o zece i 2 uniti, adic 12 = 10 +2. Prin urmare, avem: 12+5 = 10 + 2 + 5=10+ (2+5)=10 + 7 = 17. etc. Dac din adunarea unitilor se formeaz o zece, se explic trecerea peste zece. De exemplu: 16 + 4 = 10+6+4 = 10+ (6 + 4) = 10 + 10 =20 n care zecea obinut se adun la prima zece. La exemple de acest fel trebuie de atras atenie sporit, deoarece adunarea cu trecere peste ordin este o tehnic ce este nsuit de ctre muli elevi destul de anevoios. In mod analog se procedeaz i la adunarea a dou numere formate doar numai din uniti, ns suma crora depete o zece. De exemplu: 6 +9 = 6 + 4 + 5 = (6 + 4) + 5 = 10 + 5 = 15. E bine de antrenat elevii s descompun att primul ct i cel de-al doilea numr i de accentuat de fiecare dat c ne folosim de proprietatea de asociativitate a adunrii.Se recomand de a scrie numerele unul sub altul (scriere vertical) deoarece este mai bine neleas de ctre elevi i uureaz cu mult calculele numerice. ns paralel este util de a folosi i scrierea n linie sau pe orizontal. Obinuind elevii cu ambele modaliti de a realiza adunarea numerelor naturale se poate nltura unele dificulti ce pot aprea la felul cum trebuie aezate numerele care se adun - pe orizontal sau pe vertical.Scderea numerelor naturale n concentrai 0-20. n cadrul p--e scderii numerelor naturale cuprinse ntre 0 i 20 trebuie s se consolideze cunotinele achiziionate anterior referitoare la: conceptul de numr natural de la 0 la 20 - formare, numrare, citire, scriere, relaiile de ordine posibile; adunarea i scderea numerelor naturale, compunerea i descompunerea numerelor naturale mai mici dect 10 i a zecii din dou sau mai multe numere naturale; zecea ca o nou unitate aparte de numrare; adunarea a dou sau mai multe numere naturale fr i cu trecerea peste ordin, reactualizarea i utilizarea n cazuri concrete a expresiilor de genul: a mri cu, a micora cu, mai mult cu, mai puin cu, cu mai mult, cu mai puin etc.La scderea dintr-un numr format din zeci i uniti a unui numr format doar numai din uniti, deosebim dou cazuri: unitile scztorului snt mai puine la numr dect unitile desczutului - operaie care nu prezint dificulti, att n p--e ct i n nsuirea ei n mod contient de ctre elevi - n acest caz este binevenit de a realiza n continuare mai nti adunarea apoi scderea a unitilor adunate anterior; unitile desczutului snt mai puine la numr dect unitile scztorului. Este un caz care prezint unele dificulti, de care depind n continuare nelegerea operaiilor cu trecerea peste ordin cu numere mai mari n clasele II-a i a III-a. Acest caz de scdere poate fi explicat prin dup procedee: Prin descompunerea unitilor scztorului n dou: o parte egal numrul unitilor desczutului, care se scad din acestea obinndu-se zero, iar a doua parte a unitilor scztorului se scade din zecea rmas a desczutului. De exemplu: 12 - 5 =10 + 2 - 2 - 3 = 10 3=7 sau 12 - 5 = 12-2-3 = 10-3 = 7. Prin descompunerea desczutului n zeci i uniti, apoi din zecea desczutului se scad unitile scztorului, iar la rezultat se adaug unitile desczutului. De exemplu: 12 - 5 10+ 2 - 5 = 10-5+2 = 5+2=7.Elevilor trebuie de explicat ambele procedee de calcul, pentru ca ei s aleag i s aplice procedeul care li se pare mai comod de aplicat.Pentru scderea numerelor naturale care i desczutul i scztorul snt formate din zeci i uniti, evident cu desczutul cu un numr mai mare de uniti dect unitile scztorului, se aplic procedeul de scdere a zecilor din zeci i a unitilor din uniti. De exemplu: 16- 12 = 10 + 6-(10+ 2) = (10-10)+(6-2)=0+4=4.2.5. Formarea competenelor de calcul numeric cu referire la adunarea sau scderea netabelarFormarea competenele de calcul numeric este direcionat de coninuturile de nvare n conformitate cu curriculumul la matematic n clasele primare pe fiecare clas aparte.Formarea competenele de calcul numeric prevd urmtoarea ordonare: procedee fr trecere peste ordin; procedee cu trecere peste ordin.Iniial se nva procedeele de calcul oral, apoi procedeele de calcul punnd accentul pe calculul oral. Competenele de a realiza calculul numeric pot fi formate n urmtoarea ordine: familiarizarea cu procedeul de calcul oral i scris n contextul unei probleme simple de adunare sau scdere; formarea competenei de a calcula prin aplicarea procedeului respectiv n soluionarea celor mai diverse nsrcinri;Formarea competenelor de calcul numeric cu numere naturale se nva dup principiul concentric: n clasa I-a: n concentrele 0-10. 0-20, 0-100 neobligatoriu. n clasa a II-a: n concentrele 0-100. 0-1000 neobligatoriu. n clasa a III-a: n concentrul 0-1000. n clasa a IV-a: n concentrele 0-1000000. 0-1000000000 neobligatoriu.

2.6. P--e tablei adunrii i scderii n clasa I-aTabla adunrii se nva n clasa I-a n urmtoarea ordine: cazurile de adunare: +1, +2, +3, +4, +5 se evideniaz n baza sensului concret al adunrii; cazurile de adunare: + 6, +7, +8, +9, +10 se bazeaz pe comutativitatea adunrii; cazul + 0 evideniaz proprietatea adunrii de a avea elementul neutru pe mulimea numerelor naturale i se discut n baza sensului adunrii.Tabla adunrii nu se insist a fi nvat pe de rost, ci se ajunge la o memorare contient n urma unui sistem de nsrcinri de nvare: rezolvarea exerciiilor i problemelor simple; rezolvarea unor ecuaii cu simboluri diverse (*. , ? etc ); jocuri didactice.Tabla scderii se nva paralel cu tabla adunrii n aceeai succesiune ca i tabla adunrii.

2.7 Specificul p--e adunrii i scderii numerelor naturale pn la 100, fr i cu trecere peste ordinP--e a OASNN formate doar dintr-un numr ntreg de zeci se realizeaz subliniind faptul c zecea este considerat ca o unitate mai superioar de numrare i c OASNN se realizeze n conformitate cu modelul efecturii a acestora asupra unitilor simple. De la 1+1=2 se trece direct la 10+10 = 20, de la 3+4 = 7 se trece la 30 + 40 = 70, de la 6 2=4 se trece la 60-20=40 etc. Un caz particular al acestei adunri l constituie numerele ce dau n sum 100 i scderea unui numr format din zeci din 100.Metodologia nelegerii corecte a realizrii a acestor operaii se bazeaz pe competenele de formare, citire, scriere, de descompunere i compunere a sutei din dou sau mai multe numere formate doar numai din zeci, n conformitate cu modelul deja cunoscut al compunerii i descompunerii unei zeci. De la reactualizarea realizrii operaiilor de forma 2+8, 7+3 etc.se trece la determinarea rezultatelor operaiilor n nsrcinrile de forma 20+80, 60+40, 100-20, 100-50 etc.Realizarea operaiilor se poate face prin demonstrri frontale i cu ajutorul materialului didactic: beioare legate n mnunchiuri de cte 10 etc.Acest compartiment are o mare importan deoarece, cunoaterea primei sute formarea, citirea i scrierea numerelor, relaiile de ordine, efectuarea operaiilor de adunare i scdere constituie baza cea mai important pentru nvarea ntregului curs de matematic a ciclului primar i de aceea lui trebuie s i se acorde atenia cuvenit.Cele mai importante dificulti pentru realizarea acestor operaii rezult din transformarea a 10 uniti de ordinul al doilea ntr-o unitate de ordinul al III-lea (compunerea unei sute din zeci) i n mod reciproc (descompunerea unei sute n zece zeci). Numai rezolvarea a cte mai multe nsrcinri de acest fel, compunnd i descompunnd suta vor duce la nsuirea corect i deplin de ctre elevi a operaiilor de acest gen n concentrul 0-100.Adunarea numerelor naturale mai mici dect 100, fr trecere peste ordin se recomand a realiza n mai multe etape:a) Adunarea unui numr format din zeci i uniti cu un numr format numai din uniti.b) Adunarea unui numr format din zeci i uniti cu un numr format numai din zeci.c) Adunarea a dou numere format din zeci i uniti fr trecere peste ordin.Pentru adunarea unui numr natural format din zeci i uniti cu un numr format doar numai din uniti, fr trecere peste ordin, se folosete descompunerea numrului n zeci i uniti i proprietile de comutativitate i asociativitate ale adunrii (43+ 5= 40+3+5=40+8=48).Pentru a aduna un numr format din zeci i uniti cu un numr format numai din zeci se procedeaz n mod analog: 47+30=40 + 7+ 30 = 70 + 7 = 77.Dup ce nvtorul s-a asigurat c elevii n mod contient au nsuit acest tip de adunare se cere ca elevii s nsueasc realizarea acestor operaii prin scrierea pe vertical:4 6 +2 3----6 9 sau pe orizontal 43+26=69, avnd grij ca elevii la scrierea pe orizontal s capete deprinderea de a scrie corect unitile sub uniti i zecile sub zeci. Rezultatul unei astfel de adunri este numrul n care cifra unitilor este egal cu suma unitilor numerelor care se adun, iar cifra zecilor este egal cu suma zecilor lor.Scderea numerelor naturale mai mici dect 100, fr trecere peste ordin se recomand a realiza ca i la adunare n mai multe etape:a) Scderea dintr-un numr format din zeci i uniti a unui numr format numai din uniti.b) Scderea dintr-un numr format din zeci i uniti a unui numr format numai din zeci.c) Scderea dintr-un numr format din zeci a altui numr format de asemenea din zeci i uniti, fr trecere peste ordin.Procedeul de realizare a operaiei se bazeaz pe componena zecimal a numerelor, potrivit creia se scad unitile din uniti i zecile din zeci, inndu-se cont de faptul c, desczutul trebuie s fie mai mare dect scztorul, ct i pe proprietile de comutativitate i asociativitate ale adunrii.Exemplu: 36-5=30+6-5=30+(6-5)=30+1=31Pentru caz general: 86-54=86-50-4=36-4=32Practica a demonstrat c, dei prin scderea unitilor din uniti i a zecilor din zeci se fac 3 operaii, acest procedeu este mai bine neles de ctre elevi.Utilizarea unui sau a altui procedeu trebuie s rmn la discreia i alegerea liber a elevului n fiecare caz.Adunarea i scderea numerelor naturale mai mici dect 100, cu trecere peste ordin ar fi bine de nvat n mai multe etape:1) Adunarea la un numr format din dou cifre a unui numr format doar numai din uniti sau din uniti i zeci, astfel nct suma lor s fie un numr format mimai din zeci. n mod analog scderea dintr-un numr format din dou cifre a unui numr format doar numai din uniti sau din uniti i zeci, dar diferena lor s fie un numr format numai din zeci.2) Adunarea unui numr format din zeci i uniti cu un numr format numai din uniti i, n mod analog, scderea dintr-un numr format din dou cifre a unui numr format numai din uniti.3) Adunarea i scderea numerelor formate din dou cifre.n primul caz dificultatea principal la adunare const n a transforma cele 10 uniti obinute ntr-o zece care mai apoi trebuie de adugat la suma zecilor, iar ia scdere transformarea unei zeci a desczutului n zece uniti i apoi scderea dm ele a unitilor scztorului:Exemplu: 32+8=30+2+8=30+10=40 40-7=30+10-7=30+3=33.n cazul al doilea se pot utiliza mai multe procedee: adunarea la unitile primului numr a unitilor celui de-al doilea numr i apoi adugarea la zecile primului numr a rezultatului obinut (36 + 9 =30+6+9=30+15=45), adugarea la unitile primului numr a unor uniti de la al doilea numr pn se completeaz o zece i adunarea la numrul obinut format doar numai din zeci a unitilor rmase din al doilea numr (57+8=57+3+5=60+5=65) se poate aplica procedeul prin rotunjire, adic se rotunjete unui din termeni, prin lips sau prin adaos obinndu-se astfel un numr format numai din zeci; se adun numrul rotunjit la cel de-al doilea termen, iar din rezultatul obinut se scad sau se adaug unitile care au fost necesare pentru rotunjire, n dependen de cum s-a realizat rotunjirea prin adaos sau lips: 48 + 8 =(se rotunjete 48, prin adaos, cu 2 uniti i se obine 50, 50+8 = 58, apoi se scad cele 2 uniti folosite pentru rotunjire 58-2 = 56)=56 72 + 9 =(se rotunjete 9, prin adaos, adic prin adunarea unei uniti se obine 10, 10+72 = 82, apoi se scade acea unitate folosit pentru rotunjire 82 - 1 = 81)=81.

Pentru a scdea dintr-un numr format din zeci i uniti un numr format doar numai din uniti se folosesc aceleai procedee ca i la adunare: se scad din desczut unitile care le conine i din diferena obinut se scade apoi restul de unitiale scztorului (84 - 9 = 84 4- 5 = 80 - 5 = 75), se transform o zecea desczutului n zece uniti care se adun la unitile iniiale; din numrulde uniti astfel obinut se scade scztorul; se adun numrul rmas numai din zeci cu diferena obinut (73 - 8 = 60+10+3-8 = 60+13 - 8 = 60+5 = 65), se rotunjete, prin lips sau prin adaos, fie desczutul, fie scztorul: 62-7(62 rotunjit prin lips este 60, 60 - 7 = 53, se adaug cele dou uniti luate pentru rotunjire 53 + 2 = 55)=55. 73-9 = (9 rotunjit prin adaos este 10, 73 10= 63, la diferena obinut se adun unitatea folosit pentru rotunjire 63+1=64)=64.nvtorul trebuie s acorde procedeului de rotunjire ct mai mult atenie n special, cnd se face rotunjirea scztorului.Pentru a aduna sau scdea dou numere naturale mai mici dect 100 i formate ambele att din uniti ct i din zeci se poate folosi unul din urmtoarele procedee procedeul general, care const n efectuarea operaiilor ntre uniti de acelai fel (uniti cu uniti i zeci cu zeci) i nsumnd rezultatele obinute ( 46+38=40+6 + 30 + 8 = 40+30 + 6+8 = 70+ 14=84; 57-36=50+7-30-6= 50 - 30+7 - 6 = 20+ 1 = 21); descompunerea unuia din componentele adunrii sau scderii n dou nul astfel nct prin adunare sau scdere s se formeze o component :i date formate numai din zeci (37 + 45 = 37+ 40 +5 = 77+5=82; 47+39= 40 + 7 + 39 = 40 + 46 = 86; 83 - 27 = 83 - 20- 7 = 63-7=56; 67-48=60+ 7- 48 = 12 + 7 = 19); rotunjirea unuia din componente i adugarea sau scderea din rezultatul parial obinut a unitilor cu care s-a fcut rotunjirea: 25 + 39 - (39 rotunjit, prin adaos, cu o unitate devine 40, 25+40=65, 65-1=64 se scade unitatea cu care s-a fcut rotunjire)=64 38+39=(38rotunjit, prin adaos, cu 2 uniti devine 40, 40+39=79, 79-2 = 77) = 77; 62- 27 = (62 rotunjit, prin lips, cu 2 uniti i devine 6, 60 - 27 =33, 33 + 2 = 35 se adaug acele 2 uniti folosite la rotunjirea, prin lips, a desczutului) = 35; 64-38=( 38rotunjit, prin adaos, cu 2 uniti devine 40, 64 - 40 = 24, 24+ 2 = 26 la diferena obinut se adun cele 2 uniti folosite pentru rotunjirea, prin adaos, a scztorului) = 26Procedeul rotunjirii este recomandabil deoarece este un instrument util n efectuarea rapid mintal a calculelor numerice.Adunarea i scderea numerelor naturale mai mari dect 100 i mai mici dect 1000 fr i cu trecere peste ordin se nva n clasa a II-a, fr trecere peste ordin, iar n cl. a III-a cu trecerea peste ordin.Adunarea i scderea numerelor naturale mai mari dect 100 i mai mici dect 1000, fr trecere peste ordin poate fi nvat n urmtoarea succesiune: adunarea a dou numere formate numai din sute, care la rndul lor reprezint uniti de ordinul al treilea, a cror adunare se realizeaz ntocmai ca i cea a unitilor i a zecilor; adunarea a dou numere formate unul numai din sute, iar cellalt numai din uniti sau numai din zeci; adunarea la un numr format din sute i zeci a unui numr format fie numai din uniti, fie numai din zeci sau numai din sute; adunarea la un numr format din sute, zeci i uniti a unui numr format fie numai din uniti, fie numai din zeci sau numai din sute; adunarea la un numr format din sute, zeci i uniti a unui numr format fie numai din uniti i zeci, fie numai din sute i zeci, sau a unui numr format numai din sute i uniti; adunarea la un numr format din sute, zeci i uniti a unui numr format din sute, zeci i uniti.Procedeul general de calcul n aceste cazuri se bazeaz pe adunarea ntre ele a unitilor de acelai ordin i constituirea numrului rezultat din adunarea ntre ele a: sutelor cu sutele, a zecilor cu zecile, a unitilor cu unitile.Adunarea i scderea numerelor naturale mai mari dect 100 i mai mici dect 1000, cu trecere peste ordin se nva, de asemenea, trecnd prin mai multe etape. Deoarece procedeele aplicate snt analoage cu adunarea numerelor formate din uniti i zeci, nu se va insista asupra expunerii lor. La etapa de rezolvare a nsrcinrilor se recomand de a efectua n paralel cu ajutorul oral i calculul scris. Se recomand ca nsuirea acestor adunri s parcurg calea: adunarea unui numr format din zeci i uniti cu un numr format numai din zeci, suma zecilor celor dou numere trecnd de 100 (64+70 = 60+4+70=60+40+30+4 = 100 + 34=134); n analiza acestui caz trebuie de insistat pe formarea sutei din zecile primului numr i o parte din zecile celui de-al doilea numr; adunarea a dou numere fiecare formate din zeci i sute, dar prin adunarea cifrelor de acelai ordin doar numai o sum s depeasc ordinul respectiv (53 +84= 50 + 3+80+ 4 = 50 + 50+ 30 + 3 + 4 = 100 + 37 =137); adunarea a dou numere fiecare formate din zeci i uniti, astfel nct prin adunarea att a unitilor, ct i a zecilor s se depeasc ordinul respectiv (76 + 85 = 70 + 6+80+ 5 = 70 +80 + 6 + 5 = 150 + 11 = 161); adunarea a dou numere formate unul din sute, zeci i uniti, iar cellalt numai din uniti, sau numai din uniti i zeci (463+8 = 460+3 + 8=460+11 = 471) sau (546+ 87=540+6+80+7 = 540+80+6+7= =620+13=633); adunarea a dou numere fiecare formate din uniti, zeci i sute (386 +548 =300+ 80+6+ 500+40 + 8= =300+800+6+500+40+8=300+500+80+40+6+8=800+120+14=920+14=934).La fiecare nsrcinare trebuie de insistat asupra faptului c se adun doar unitile de acelai ordin i c din 10 uniti de un anumit ordin se formeaz o unitate de ordin imediat superior, care se adun la numrul unitilor de acest ordin rezultat prin efectuarea operaiei de adunare ntre ele. La calculul n scris trebuie s se insiste pe scrierea att a numerelor care se adun ct i a numrului rezultat prin adunare a unitilor de un anumit ordin sub uniti de acelai ordin.Scderea numerelor mai mari dect 100.Operaia de scdere a numerelor naturale este mai puin accesibil pentru elevi dect operaia de adunare a lor. Aceast operaie presupune un efort mintal ceva mai sporit. Aceasta se datoreaz faptului c n cazul cnd numrul de uniti de acelai ordin al scztorului este mai mare dect cel al desczutului este necesar de a transforma o unitate de ordin imediat superioar al desczutului n zece uniti, s scad aceast unitate din cele corespunztoare ale desczutului i s adune cele 10 uniti obinute prin transferul de mprumut la cele de acelai fel existente. Prin urmare, se realizeaz n acelai moment mai multe transformri: descompunere i compunere de numere de ordine diferite.nvtorul trebuie s reaminteasc elevilor elementele de relaii prin mai multe nsrcinri cu scderi n concentrul 0-100.n acest context se recomand de a realiza urmtoarele etape: scderea unui numr natural format doar numai din zeci ntregi din 100; scderea unui numr natural format din zeci i uniti din 100; scderea unui numr natural format doar numai din uniti dintr-un numr natural format din uniti, zeci i sute; scderea dintr-un numr natural format din uniti, zeci i sute a unui numr format doar numai din zeci ntregi; scderea dintr-un numr natural format din uniti, zeci i sute a unui numr format doar numai din uniti i zeci; scderea dintr-un numr natural format din uniti, zeci i sute a unui numr format din uniti, zeci i sute.Pentru fiecare din aceste etape n parte, de fiecare dat se vor face, iniial, scderi n care s nu se treac peste ordin i doar dup ce aceste nsrcinri cu procedeele respective vor fi bine nsuite de ctre elevi se poate continua cu acele nsrcinri n care se va face trecerea peste ordin.De exemplu:100-30=70+30-30=70;100-33=90+10-30-3=90-30+10-3=60+7=67;578-5=570+8-5=570+3=573;436-9=420+16-9=420+7=427;976-50=920+6+50-50=926;546-78=400+140+6-7-8=400+130-70+16-8=400+60+8=468;587-369=500-300+70-60+17-9=200+10+8=218;843-361=700-300+140-60+3-1=400+80+2=482.

Este clar c aceste nsrcinri snt orientative i totul depinde de nivelul de pregtire a elevilor i de posibilitile lor intelectuale, de experiena i de nivelul de pregtire al cadrului didactic. In fiecare caz se poate trece peste una din etape, se pot aplica unele sau altele procedee de calcul. Se recomand la scrierea nsrcinrilor pe vertical de a scrie n cazul n care numrul unitilor de acelai ordin al desczutului este mai mic de ct numrul de uniti de acelai ordin al scztorului, s se specifice aceasta i s se scrie deasupra cifrei ordinului respectiv la desczut numrul de uniti obinute prin adugarea celor zece obinute la transformarea unei uniti de ordin imediat superior, iar deasupra cifrei ordinului care s-a | i ii t ii is cifra care a rmas.De exemplu:La scderea 432-125 se va proceda n felul urmtor: 400-100=300, 32-25=7, 300+7=307. La scderea pe vertical vom avea: 4 3 2 _ 1 2 5 ---------- 3 0 7.O situaie aparte reprezint cazul cnd cifrele de un anumit ordin fie ale desczutului, fie ale scztorului snt zerouri. nsuirea acestui tip de scderi este destul de anevoios pentru elevi i formarea competenelor de calcul se va face prin cte mai multe i mai variate nsrcinri utiliznd toate cazurile de scderi de acest fel.Cnd la desczut asist cazul c att cifra unitilor, ct i cifra zecilor snt zerouri elevii percep i sesizeaz mult mai greoi, deoarece trebuie s ia o sut de la cifra sutelor desczutului i s le transforme n zece de zeci, din care s ia o zece i o transform n zeci uniti simple, iar pe locul zecilor rmnnd nou zeci. La etapa iniial este util ca la calculul scderii pe vertical c se evidenieze i s se consemneze aceti pai logici. 2.8 Specificul p--e adunrii i scderii numerelor naturale mai mari dect 1000OASNN mai mari dect 1000 se efectueaz oral i n scris, n etape similare i procedee didactice analoage cu cele nvate anterior la OASNN mai mici dect 1000.Pentru realizarea cu succes a OASNN mai mari dect 1000 este necesar ca elevii s cunoasc n mod temeinic operarea cu clasele i ordinele scrierii unui numr n sistemul de numeraie zecimal, ordinea claselor i ordinea ordinelor n fiecare clas aparte, serierea i citirea corect a numerelor naturale de orice mrime, operaiile de adunare i scderea nsuite anterior, scrierea competent a numerelor la efectuarea operaiilor pe vertical n ordine strict cu clasele corespunztoare sub aceleai clase i a ordinilor din fiecare clas sub ordinele corespunztoare ale claselor corespunztoare. Elevii se conving dup mai multe nsrcinri repetate c tehnica de calcul este aceeai.Scderea cu trecere peste ordin prezint aceleai dificulti ca i scderea similar din concentrul 0-10002.9 Metodologia p--e operaiilor de nmulire i mprire a numerelor naturaleOperaiile de nmulire i mprire a numerelor naturale se nva ncepnd cu clasa a II-a.2.9.1. Introducerea operaiei de nmulire n clasa a II-an formarea noiunii de operaia de nmulire a numerelor naturale intuiia elevului deja nu mai joac rolul predominant ca la adunarea lor, deoarece elevii au formate competene de adunarea numerelor naturale i nvtorul trebuie s se baze pe aceste cunotine n predarea temei noi, cu operaia nou pentru elevi. Totui, nvtorul, nu trebuie nici odat s renune la mijloacele intuitive de predare i s le utilizeze la fiecare ocazie posibil. Elevii n rezultatul exercitrii i mbogesc vocabularul cu un limbaj nou: mresc de, de attea ori mai mult, dublu, triplu, mprit, mrit sau majorat de attea ori, de attea ori mai mare, mai mult de, a cte ceva etc., expresii a cror valoare se poate determina prin operaia de nmulire a numerelor. Ordinea realizrii procesului de p e la aceast tem prevede urmtoarea cale logic de expunere: exersarea cu nsrcinri care conin adunri repetate, accentund de fiecare dat, modalitatea verbalizat a executrii operaiei: 3+3+3=9 se citete de 3 ori cte 3, 5+5+5+5=20 se citete de 4 ori cte 5; nlocuirea acestei adunri repetate cu operaia nmulirii numerelor naturale; se accentueaz c pentru adunrile repetate se poate folosi o alt form de scriere, mult mai prescurtat; de exemplu: 5+5+5+5=4*5=20; se execut rezolvarea celor mai variate nsrcinri cu scrierea mixt i sub form verbalizat prin nmuliri i invers, apoi schimbnd numerele cu locul, accentund de fiecare dat, semnificaia numerelor ca componente folosite la nmulire: primul factor indic de cte ori se repet cel de-al doilea factor, care se mai poate considera i ca termen al adunrii repetate. Se introduce utilizarea terminologiei aferente acestei operaii matematice: rezultatul operaiei - produsul minierelor naturale i componentele operaiei - factori ai produsului: primul factor* al doilea factor = produs.Chiar de la nceputul p--e acestei teme este necesar de a evidenia proprietatea de comutativitate a acestei operaii matematice. Din punct de vedere al didacticii matematicii moderne, descoperirea de ctre elevi a acestei proprieti trebuie de fcut treptat, continuu, n accesiune, pe parcursul a cteva ore de nvare, n cadrul unor strategii didactice interactive de tip inductiv - de la particular la general. Elevii, ghidai n mod competent de ctre cadrul didactic trebuie n mod progresiv s ajung la formularea urmtoarea prepoziie matematic: Dac comutm (schimbm) cu locul factorii, produsul este un invariant, adic rmne neschimbat." Aceast important proprietate a nmulirii va fi utilizat ulterior n p--e tablei lui Pitagora - tablei nmulirii numerelor naturale. n prelungire n clasele a III-a a IV-a comutativitatea nmulirii se generalizeaz prin scrierea simbolic a*b=b*a. Proprietatea de asociativitate a nmulirii numerelor naturale se descoper de ctre elevi prin intermediul unui raionament inductiv, calculnd la prima etap produsul a 3 numere naturale, prin asocierea a tuturor variantelor posibile a factorilor. Se formuleaz propoziia: Oricum am asocia 3 numere naturale la nmulire, produsul lor rmne invariant, adic produsul lor mereu este acelai. n continuare se deduce aceeai regul i n cazul a 4, 5, 6 etc. factori. n clasele a III-a a IV-a asociativitatea nmulirii se generalizeaz prin scrierea simbolic. (a*b)*c = a*(b*c).Comutativitatea i asociativitatea nmulirii stau la baza p--e procedeelor de nmulire netabelar.2.9.2. Proprietile nmuliriiCu elevii trebuie de exercitat proprietile nmulirii numerelor naturale i de format competenele necesare n mod practic, innd cont de axiomatica lui Peano:1. a*1=1+1+1+...+1 (de a ori)=a.2. a*0=0+0+0++0 (de a ori)=0.Descoperirea acestor proprieti importante ale nmulirii se realizeaz n cadrul unor strategii didactice interactive de tip logico-euristice inductive, fiind bazate pe sensul nmulirii ca o adunare repetat.Propoziiile de forma 1*a i 0xa snt propoziii echivalente, care rezult din definiia nmulirii, dar n cazul dat snt nite excepii, deoarece primul factor al produsului indic ci termeni are adunarea dat repetat. O adunare trebuie s aib cel puin 2 termeni reali prin urmare primul factor al unei nmuliri nu poate fi nici cum egal cu 0 sau cu 1.Pentru a asigura accesibilitatea particularitile de vrst ale elevilor, aceste cazuri excepionale ale nmulirii trebuie predate n strns legtur cu comutativitatea nmulirii: 1*a=a*1 = a, 0*a = a*0 = 0.

2.9.3. Cazuri specificeFiecare caz de organizare particular a p--e operaiei de nmulire a numerelor naturale trebuie s parcurg o cale format din anumii pa