7/22/2019 intersectia suprafet curbe

1/6

Fig. 2.1

Fig. 2.2

INTERSECIA SUPRAFEELOR CURBE

2.1. Generaliti

Se tie c dou suprafee ),( mt i ),( pn se intersecteaz, dac ele au puncte

comune (fig.2.1). Totalitatea punctelor(11 ,2, ...,i) ce aparin ambelor suprafee formeaz linia l

de intersecie a suprafeelor:).,(),(),...,2,1( pnmtil =

Aceast linie poate fi plan sau spaial. Ea poate fi

de asemenea curb sau poligonal (n cazul cnd se

intersecteaz poliedrele). Ordinul liniei de intersecie este

egal cu produsul ordinelor suprafeelor. Construcia liniei de

intersecie pe desene se bazeaz pe proprietatea, c punctelecomune ale suprafeelor pot fi la intersecia liniilor, care

aparin acestor suprafee, n scopul evidenierii acestor linii la

construirea liniei de intersecie se folosesc suprafee secante

auxiliare.

Drept suprafee auxiliare pot fi utilizate suprafeele plane ori sferice. Din aceste considerente la

construirea liniei de intersecie a suprafeelor se difereniaz metoda planelor auxiliare i metoda

sferelor auxiliare.

2.2. Metoda planelor secante paralele

Esena acestei metode const n aceea c suprafeele date i sunt intersectate de

suprafee plane auxiliare care se aleg n aa fel

nct ele s intersecteze suprafeele iniiale i

n linii drepte sau cercuri )'(m i )'(t la

intersecia crora se obin punctele 1 i 2 careaparin liniei de intersecie la suprafeelor (fig.2.2).

Aadar, algoritmul de baz al gsirii

punctelor comune ale suprafeelor intersectate

poate fi scris n felul urmtor:;'t= ;'m=

).2,1('' =mt

Procedura interseciei suprafeelor se repet de attea ori de cte este necesar pentru a

obine o linie ct mai exact.

Dac linia de intersecie a suprafeelor date se construiete cu ajutorul suprafeelor plane,

7/22/2019 intersectia suprafet curbe

2/6

Fig. 2.3

care sunt paralele cu unul dintre planele de proiecie, aceast metod se numete metoda

planelor auxiliare secante paralele. Ea se utilizeaz n cazurile cnd planele auxiliare

intersecteaz suprafeele date n linii drepte

sau circumferine.

S exemplificm utilizarea acestei

metode n dubl proiecie ortogonal la

intersecia unei suprafee conice ),( mS

cu o suprafa sferic ),( RO (fig.2.3).

Punctele comune ale suprafeelor se

determin utiliznd drept plane auxiliare ',

'', ''', Iv care secioneaz suprafaa conic

dup circumferinele m', m", m1", m Iv i

suprafaa sferic dup circumferinele t',

t", t1", tIv .

Intersecia acestor circumferine

determin punctele comune 3, 4, 5, 6 i

3',4',5',6'. Punctele de baz 1 i 2 se gsesc la

intersecia liniilor de contur t20 i S2A2 ale

suprafeelor. Punctele 3 i 3', n care

ecuatorul sferei intersecteaz conul, se obin

cu ajutorul planului '||1 care se traseaz

prin centrul O2 al sferei. Aceste dou punctesituate pe ecuatorul t" n proiecia orizontal mpart linia de intersecie a suprafeelor n dou

pri: vizibil (31-41-11-4'1-3'1) i invizibila (31-61,-21-6'1-3'1). Din cauza simetriei fa de planul de

front 1' pe suprafaa frontal dou ramuri ale liniei de intersecie coincid.

2.3. Metoda sferelor concentrice

Utilizarea suprafeelor concentrice drept suprafee auxiliare pentru determinarea curbelorde intersecie a dou suprafee de rotaie are la baz urmtoarea proprietate: o suprafa sferic

cu centrul n O situat pe axa i a unei suprafee de rotaie se intersecteaz cu aceasta n

circumferine (m, m'), care n una din proiecii apar complet deformate (fig. 2.4).

Suprafeele auxiliare sferice concentrice sunt utilizate n cazul interseciei suprafeelor de

rotaie cu axe concurente i paralele cu unul dintre planele de proiecie. Se observ totodat c

punctul de intersecie al axelor suprafeelor date este centrul sferelor auxiliare. Raza minim a

sferelor auxiliare este egal cu lungimea maxim a segmentelor de normale trasate din punctul

de intersecie al axelorOpe suprafeele date. Raza maxim este egal cu distana dintre punctul

O i cel mai ndeprtat punct al liniei de intersecie.

7/22/2019 intersectia suprafet curbe

3/6

Fig. 2.4

Fig. 2.5

S exemplificm cele expuse mai sus printr-o problem

concret. Fie date dou suprafee cilindrice ),( li i )','(' li

de rotaie cu axele concurente i paralele cu planul frontal de

proiecie 2 (fig. 2.5). Se cere s se construiasc linia de

intersecie a acestor suprafee, utiliznd metoda sferelor

concentrice.

Construcia grafic a proieciei liniei de intersecie se face

n felul urmtor: se determinCentrul sferelor concentrice: 222 'iiO = . Se gsete raza celei

mai mici sfere .' 2222min NONOR >= n suprafeele date se

nscrie prima sfera ),( minRO cu raza .'22min NOR = Se

construiesc cercurile de intersecie ale suprafeelor date cu sfera

auxiliara:);,(' min2222 ROm =

).,(')'( min22222 ROtt =

Se gsesc punctele de intersecie ale

cercurilor, care aparin celor dou suprafee

cilindrice i suprafeei sferice:;3

222 tm =

.''3 222 tm =

Se repet procedura nscrierii altei suprafee

sferice cu R>Rmin i se construiesc cercurile deintersecie ale suprafeelor:

;',),('2222

mmRO =

.',),( 2222 ttRO =

Se gsesc nc dou puncte de intersecie ale

cercurilor4 i 4':;4 222 mt = .'''4 222 mt =

n mod analog se construiesc i punctele 52 , 5'2. .

Punctele de baz 12,22, l'2, 2'2 se afl la intersecia liniilor de contur ale suprafeelor date.Proiecia frontal a liniei de intersecie a suprafeelor se obine prin unirea punctelor:

22222 23451 i .'2'3'4'5'1 22222

2.4. Metoda sferelor excentrice

Utilizarea acestei metode se bazeaz pe urmtoarea proprietate: o sfer ),( RO poate

s intersecteze un tor ),( 0im dup circumferine (generatoarele m', m"), dac centrul sferei O

se gsete n planul de simetrie al suprafeei (fig. 2.6).

7/22/2019 intersectia suprafet curbe

4/6

Fig. 2.6

Fig. 2.7

Segmentele (12,22), (1'2,2'2) cu centrele n N2, N'2 reprezint diametrele acestor cercuri.

Centrul sferei O2se gsete la intersecia perpendicularelorN2O2 i N'2O2 ridicate din centreleN2iN'2. Planele cercurilorm'i m"se gsesc n planele proiectante '2i ''2 trasate prin axa

de rotaie i0(i10,i20) a torului.

S examinm utilizarea acestei proprieti a

sferei la construirea proieciilor liniei de intersecie a

suprafeelor.

Fie date torul ),( im i suprafata cilindric)','( im axele rora se gsesc ntr-un plan de front

(fig. 2.7). Se cere s se construiasc linia de intersecie

a suprafeelor:( ) ).','(),(3,2,1 imiml =

Punctele comune ale suprafeelor pot fi gsite n felul

urmtor: tiind, c axele i' i i ale suprafeelor se aflntr-un plan de front, se gsesc punctele de baz 12 i 22ca rezultat al interseciei liniilor de contur ale

suprafeelor. Prin axa i20se traseaz un plan auxiliar '2la intersecia cruia cu suprafaa toric obinem cercul

m2'cu diametrulA2'B'2.

Din centrulN'2alcercului se coboar o perpendicular

pe planul cercului pn la intersecia ei cu axa de

rotaie i'2 a cilindrului (se obine centrul O'2).Din centrul O'2, se construiete suprafaa sferic )','(' RO cu raza

).''()''(' 2222 BOAOR == Intersecia sferei ' cu torul formeaz cercul m'2= . La

intersecia sferei ' cu cilindrul obinem cercul .'2m

Intersecia cercurilor 2'm i 2'm formeaz punctul 32

care aparine att proieciei torului ct ia cilindrului, deci

aparine liniei de intersecie. Procedura construirii sferelor

auxiliare secante se repeta de attea ori, de cte este necesar

pentru a obine o linie ct mai exact.De exemplu, pentru construirea punctlui 42 se

traseaz prin i20planul ''2care intersecteaz torul n cercul

m". Proiecia centrului celei de-a doua sfere auxiliare se va

afla la intersecia perpendiculareiN"2Q"2 cu axa cilindruluii2

0: .')''''('' 2222 iONO =

Din centrul O"se construiete sfera auxiliara '' cu raza :).''''()''''('' 2222 BOAOR ==

Aceast sfera va intersecta suprafeele date n cercurile 2'm i 2'm .

La intersecia acestor cercuri se afl punctul 4 care aparine ambelor suprafee:222 ''''4 mm = .

7/22/2019 intersectia suprafet curbe

5/6

Fig. 2.8

Fig. 2.9

n mod analog se construiete i punctul 52, folosindu-se planul secant auxiliar '''2.

Linia de intersecie a suprafeelor date va trece prin punctele obinute:.25431 222222 =l

2.5 Cazuri particulare de intersecie a suprafeelor de ordinul doi

ntruct suprafeele de ordinul doi sunt algebrice, linia de intersecie este o curba

algebric (n caz general - o linie spaial). Aceast curb este de ordinul patru, fiindc ordinul

liniei de intersecie este egal cu produsul ordinelor suprafeelor, n practica construirii desenelor

industriale se mlnesc cazuri cnd linia de intersecie a suprafeelor de ordinul doi se

descompune n cteva linii de ordine inferioare.

O importan deosebit are descompunerea liniei

de intersecie de ordinul patru n dou curbe plane deordinul doi. n continuare sunt prezentate unele cazuri

mai des ntlnite n practic.l. Dac dou suprafee de ordinul doi se

intersecteaz dup o curb plan de ordinul doi, atunci

ele se intersecteaz nc dup o curb tot de ordinul doi.

Justeea legii reiese din condiia c suma ordinelor

liniilor, n care se descompune linia de intersecie, este

egal cu ordinul acestei linii, n cazul dat linia de

intersecie este de ordinul patru. Dac o parte din aceast linie este o curb de ordinul doi,

nseamn c a doua parte trebuie s fie de asemenea de ordinul doi. De exemplu, dac o

suprafa cilindric de ordinul doi ),( li intersecteaz

o suprafa sferic ),( RO dup un cerc matunci ea se

intersecteaz cu sfera nc dup un cerc m'(vezi fig. 2.4-

2.7).

2. Dac dou suprafee i ' de ordinul doi

au contact n dou puncte (1,2), atunci linia lor deintersecie se descompune n dou curbe plane de ordinul

doi, planele crora trec prin dreapta care unete punctele

de contact (fig. 2.8).

Fie dai ', - doi cilindri cu diametre egale,

unde 1,2 sunt puncte de contact ale cilindrilor, n acestcaz se obin dou linii de intersecie: '2 =m i

'.'2 =m Liniile m,m'reprezint dou curbe de ordinul doi (elipse).

3. Dac dou suprafee i (fig. 2.9) de ordinul doi sunt circumscrise unei suprafeede ordinul doi ),,( RO atunci ele se intersecteaz dup curbe plane (t,n) de ordinul doi.

Planele acestor curbe trec prin dreapta (1,2), care unete punctele de intersecie ale liniilor de

7/22/2019 intersectia suprafet curbe

6/6

contact.

ntrebri de control

1. Ce se numete linie de intersecie a suprafeelor?

2. Prin ce metode se efectueaz construcia liniei de intersecie a suprafeelor?

3. n ce const esena metodei planelor secante paralele?

4. n ce consta esena metodei sferelor concentrice?5. Ce proprietate a sferei este pus la baza utilizrii sferei ca suprafa auxiliar pentru

construcia liniilor de intersecie?

6. n ce cazuri se utilizeaz metoda planelor auxiliare?

7. n ce cazuri se utilizeaz metoda sferelor concentrice?

8. Cum se determin ordinul liniei de intersecie a suprafeelor?

9. Care sunt cazurile particulare de intersecie a suprafeelor de ordinul doi?