Ecuatiile hipersfereiIntersectia dintre o dreapta si o hipersfera. Hiperplanul tangent unei hipersfere intr-un punct al ei.Intersectia dintre o hipersfera si un hiperplan. Ecuatia unui cerc in E3.Puterea unui punct fata de o hipersfera. Hiperplanul radical a doua hipersfere.

Curs 6Hipersfera

Oana Constantinescu

Oana Constantinescu Curs 6

1 Ecuatiile hipersferei

2 Intersectia dintre o dreapta si o hipersfera. Hiperplanul tangent

unei hipersfere intr-un punct al ei.

3 Intersectia dintre o hipersfera si un hiperplan. Ecuatia unui cerc

in E3.

4 Puterea unui punct fata de o hipersfera. Hiperplanul radical a

doua hipersfere.

Denitia hipersferei

Fie En un spatiu an euclidian n-dimensional, d : E × E → Rfunctia distanta si R = O; e1, · · · , en un reper ortonormat.

Denition

Fie Ω ∈ E si R > 0. Hipersfera de centru Ω si raza R este multimea

punctelor P ale spatiului a.e. E cu proprietatea ca d(Ω,P) = R .

Sn−1 (Ω,R) = P ∈ E | d(Ω,P) = R

Exteriorul hipersferei se deneste prin

ExtS (Ω,R) = P ∈ E | d(Ω,P) > R, iar interiorul hipersfereiprin IntS (Ω,R) = P ∈ E | d(Ω,P) < R.

Ecuatiile hipersferei

Fie P ∈ E de vector de pozitie r in raport cu R.Atunci

P ∈ S (Ω,R)⇔‖−→ΩP ‖2= R2 ⇔‖ r − rΩ ‖2= R2 ⇔ (1)

‖ r ‖2 −2 < r , rΩ > +(‖ rΩ ‖2 −R2) = 0. (2)

Oricare din ecuatiile anterioare reprezinta ecuatia vectoriala a hipersfereicu centrul in Ω, de raza R.Presupunem ca r =

∑n

i=1x i ei , rΩ =

∑n

i=1ωi ei . Din ecuatiile anterioare

obtinem ecuatia generala a hipersferei

n∑i=1

(x i − ωi

)2= R2 ⇔

n∑i=1

(x i )2 − 2

n∑i=1

ωix i + α = 0,

α =n∑i=1

(ωi )2 − R2.

Cercul in E2 si sfera in E3

Bineinteles, o hipersfera intr-un plan an euclidian E2 este un cerc,

iar intr-un spatiu a.e. 3-dimensional E3 este o sfera.

In dimensiune mica vom nota coordonatele unui punct arbitrar cu

(x , y), respectiv (x , y , z), iar bazele reperelor ortonormate cui , j,

respectivi , j , k

.

Ecuatia generala a cercului S1(Ω,R) in E2, cu Ω(x0, y0) este

(x − x0)2 + (y − y0)2 = R2 ⇔

x2 + y2 − 2x0x − 2y0y + x20 + y20 − R2.

Iar ecuatia generala a sferei S2(Ω,R) in E3, cu Ω(x0, y0, z0) este

(x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = R2 ⇔

x2 + y2 + z2 − 2x0x − 2y0y − 2z0z + x20 + y20 + z20 − R2.

Reciproc, ne intereseaza cand o ecuatie de tipul

n∑i=1

(x i )2 +n∑

i=1

λix i + α = 0, λ1, · · · , λn, α ∈ R, (3)

reprezinta o hipersfera?

Ecuatia (3) este echivalenta cu

n∑i=1

(x i − λi2

)2 =1

4

n∑i=1

(λi )2 − α.

Daca∑n

i=1(λi )

2 > 4α rezulta ca multimea punctelor ale caror

coordonate verica (3) este hipersfera de centru

Ω(−λ12,−λ2

2, · · · ,−λn

2) si raza R = 1

2

√∑ni=1

(λi )2 − 4α.Daca

∑ni=1

(λi )2 = 4α, multimea anterioara se reduce la

Ω(−λ12,−λ2

2, · · · ,−λn

2), iar in cazul

∑ni=1

(λi )2 < 4α se obtine

multimea vida.

Ecuatiile parametrice ale cerculuiSa consideram cercul de centru Ω(x0, y0) si raza R intr-un plan an

euclidian. Pentru orice punct P ∈ S(Ω,R), cu−→OP = x i + y j ,

consideram t = ](i ,−→ΩP) ∈ [0, 2π].

Ecuatiile parametrice ale cercului

Atunci

−→OP =

−→OΩ +

−→ΩP = x0 i + y0 j + (R cos t )i + (R sin t )j .

Deci x = R cos t + x0,

y = R sin t + y0.(4)

Ecuatiile (4) ne dau reprezentarea parametrica a cercului, sau

ecuatiile parametrice ale acestuia.

Ecuatiile parametrice ale sferei

In E3 inzestrat cu reperul ortonormat R =O, i , j , k

, se considera sfera

de centru Ω(x0, y0, z0) si raza R. Vom determina mai intai ecuatiileparametrice ale sferei cu centrul in origine, de raza R, obtinuta din sfera

initiala prin translatia de vector−→ΩO. Fie P(x , y , z) un punct arbitrar al

acestei sfere. Notam cu P1 proiectia ortogonala a lui P pe planul(xOy) = O + [i , j ] si cu P2 proiectia ortogonala a lui P pe axa

Oz = O + [k]. Fie ϕ = ](i ,−−→OP1) si θ = ](k,

−−→OP2), ϕ ∈ [0, 2π],

θ ∈ [0, π].

Ecuatiile parametrice ale sferei

Ecuatiile parametrice ale sferei

Atunci ‖−−→OP1 ‖= R sin θ si

−−→OP1 = (R sin θ)(cosϕi + sinϕj ) . Deoarece

−−→OP2 = (R cos θ)k si

−→OP =

−−→OP1 +

−−→OP2, rezulta ca

x = R sin θ cosϕ,

y = R sin θ sinϕ,

z = R cos θ

sunt ecuatiile parametrice ale sferei t−→ΩO

(S(Ω,R)). Aplicand acestei

sfere translatia de vector−→OΩ = x0 i + y0 j + z0k, obtinem ecuatiile

parametrice ale sferei S(Ω,R):x = R sin θ cosϕ+ x0,

y = R sin θ sinϕ+ y0,

z = R cos θ + z0.

Intersectia dintre o dreapta si o hipersfera

Fie hipersfera S(Ω,R) de ecuatie vectoriala

H(P) :=‖−→ΩP ‖2 −R2 = 0⇔‖ r − rΩ ‖2 −R2 = 0 (5)

si dreapta δ = P0 + [u], u 6= 0 si P0(r0), de ecuatie vectoriala

r = r0 + tu, t ∈ R. (6)

Vrem sa studiem multimea δ ∩ S(Ω,R).

P(r) ∈ δ ∩ S(Ω,R)⇔

‖−→OP −

−→OΩ ‖2 −R2 = 0,

−→OP =

−−→OP0 + tu

⇒

‖−−→ΩP0 + tu ‖2 −R2 = 0⇔

‖ u ‖2 t2 + 2 <−−→ΩP0, u > t + H(P0) = 0. (7)

Ecuatia (7) este o ecuatie de gradul II in necunoscuta t, al carei

discriminant este

∆

4=<−−→ΩP0, u >

2 − ‖ u ‖2 H(P0). (8)

Dar G(−−→

ΩP0, u)

=‖−−→ΩP0 ‖2‖ u ‖2 − <

−−→ΩP0, u >

2 si

d(Ω, δ) =

√G

“−−→ΩP0,u

”G(u) , deci

∆

4=‖ u ‖2

(R2 − d2(Ω, δ)

)(9)

1 Daca d(Ω, δ) < R, ecuatia (7) are doua solutii reale distincte t1 sit2, deci δ ∩ S(Ω,R) = P1,P2, P1 = r0 + t1u si P2 = r0 + t2u. Inacest caz spunem ca dreapta δ este secanta hipersferei.

2 Daca d(Ω, δ) = R, ecuatia (7) are doua solutii reale egale t1 = t2,δ ∩ S(Ω,R) este formata dintr-un punct dublu. In acest caz dreaptaδ este tangenta hipersferei.

3 Daca d(Ω, δ) > R, ecuatia (7) nu are solutii reale siδ ∩ S(Ω,R) = ∅. Spunem ca dreapta δ este exterioara hipersferei.

Hiperplanul tangent hipersferei intr-un punct al ei

Theorem

Fie P0 un punct al hipersferei S(Ω,R). Atunci multimea tuturor

tangentelor la hipersfera in punctul P0 este un hiperplan H prin P0,

de vector normal−−→ΩP0. In plus ecuatia hiperplanului H se obtine din

ecuatia hipersferei prin dedublare in P0(r0):

< r − rΩ, r0 − rΩ > −R2 = 0. (10)

Hiperplanul H de ecuatie (10) se numeste hiperplanul tangent

hipersferei in P0.

ExempleDaca ecuatia hipersferei este data sub forma∑n

i=1(x i )2 +

∑ni=1

λix i + α = 0, dedublarea in P0 se face astfel:

n∑i=1

x ix i0 +n∑

i=1

1

2λi (x i + x i0) + α = 0

In s.a.e. E2 se considera cercul de ecuatie (x − 1)2 + (y + 3)2 = 5.

Ecuatia tangentei in P0(2,−1) la cerc este

(x − 1)(2− 1) + (y + 3)(−1 + 3)− 5 = 0⇔ x + 2y = 0.

Analog, in E3 se da sfera de ecuatie

x2 + y2 + z2 − 2x + 4y − 10z + 16 = 0. Ecuatia planului tangent

sferei in P0(2, 1, 7) este

2x + y + 7z − (x + 2) + 2(y + 1)− 5(z + 7) + 16 = 0⇔

x + 3y + 2z − 19 = 0.

Hiperconul tangent unei hipersfere (facultativ)

Putem relua rationamentul anterior pentru un punct P0 fara a

presupune ca el apartine hipersferei. Vrem sa determinam locul

geometric al tangentelor duse din P0 la hipersfera. Se obtine ca P

apartine unei tangente prin P0 la hipersfera daca si numai daca(<−→ΩP,−−→ΩP0 > −R2

)2−(‖−→ΩP ‖2 −R2

)(‖−−→ΩP0 ‖2 −R2

)= 0.

Daca P0 este exterior hipersferei, ecuatia reprezinta un hipercon cu

varful in P0.

Evident, daca P0 apartine hipersferei reobtinem ecuatia

hiperplanului tangent la hipersfera.

Daca ne situam intr-un plan an euclidian, ecuatia de mai sus ne

da ecuatia celor doua tangente duse din P0 la un cerc, P0 ind

exterior cercului.

Ecuatia hiperplanelor tangente la hipersfera, de directienormala data (facultativ)

Fie hipersfera S(Ω,R) si hiperplanul xat H ce trece prin P0, de

directie normala [N]. Ecuatiile hiperplanelor paralele cu H, caresunt tangente hipersferei, sunt

(H1) <−→ΩP, N > +R ‖ N ‖ = 0,

(H2) <−→ΩP, N > −R ‖ N ‖ = 0.

Daca N(a1, a2, · · · , an) si Ω(ω1, · · · , ωn), ecuatiile anterioare devin:

(H1)∑n

i=1ai (x

i − ωi ) + R

√∑n

i=1a2i

= 0, (11)

(H1)∑n

i=1ai (x

i − ωi )− R

√∑n

i=1a2i

= 0.

Ecuatia hiperplanelor tangente la hipersfera, de directienormala data

Intr-un plan vectorial euclidian, data o dreapta H si un cerc S,exista doua drepte tangente cercului, paralele cu H.

Sa consideram un cerc in E2, de ecuatie (x − a)2 + (y − b)2 −R2 si

dreapta δ : a1x + a2y + a0 = 0. Ecuatiile tangentelor la cercul dat,

paralele cu δ sunt

(δ1,2) a1(x − a) + a2(x − b)± R

√a21

+ a22

= 0.

Daca ecuatia dreptei δ este scrisa sub forma δ : y = mx + n,

directia normala a dreptei este data de N = mi − j . Inlocuind in

ecuatiile (11), obtinem ecuatiile tangentelor la cercul dat, paralele

cu dreapta δ:

(δ1,2) y − b = m(x − a)± R√

m2 + 1, (12)

Ecuatiile tangentelor dintr-un punct la un cerc in E2

Putem folosi ecuatiile (12) pentru a obtine ecuatiile tangentelor la

un cerc duse printr-un punct exterior cercului. De exemplu, e

cercul S : x2 + y2 − 25 = 0 si P0(7, 1) exterior cercului.

Am vazu ca tangentele la cerc, de panta data m, au ecuatiile

y − b = m(x − a)± R√m2 + 1, deci y = mx ± 5

√1 + m2.

Punand conditia ca P0 sa apartina acestor drepte, obtinem

±5√1 + m2 = 1− 7m⇔ 12m2 − 7m − 12 = 0⇔ m = 4

3sau

m = −3

4. Obtinem cele doua tangente

(δ1) 4x − 3y − 25 = 0, (δ2) 3x + 4y − 25 = 0.

Intersectia dintre o hipersfera si un hiperplanFie hipersfera S(Ω,R) si un hiperplan H. Fie Ω0 proiectia ortogonala acentrului sferei Ω pe hiperplanul H.

1 Daca d(Ω,H) > R, atunci pentru orice P ∈ H avemd(Ω,P) ≥ d(Ω,Ω0) = d(Ω,H) > R, deci P ∈ ExtS(Ω,R), decitoate punctele hiperplanului sunt exterioare hipersferei. Spunem caH este exterior hipersferei.

2 Daca d(Ω,H) = R, e δ o dreapta oarecare prin Ω0, inclusa in H.Rezulta ca pentru orice P ∈ δ, P 6= Ω0, avemd(Ω,P) > d(Ω,Ω0) = d(Ω,H) = R. Deci δ are un singur punctcomun cu hipersfera, si anume Ω0, deci este tangenta hipersferei.Cum δ era arbitrara in H, rezulta ca H e hiperplanul tangenthipersferei in Ω0.

3 Daca d(Ω,H) < R, atunci pentru orice punct P ∈ H avem

d(Ω,P)2 = d(Ω,Ω0)2 + d(Ω0,P)2 = d(Ω,H)2 + d(Ω0,P)2.

Deci P ∈ S(Ω,R) ∩H ⇔ d(Ω0,P) =√

R2 − d(Ω,H)2 ⇔S(Ω,R) ∩H este hipersfera de centru Ω0 si razar =

√R2 − d(Ω,H)2 din hiperplanul H. In acest caz hiperplanul

este secant hipersferei.

Intersectia dintre o hipersfera si un hiperplan

Puterea unui punct fata de o hipersfera (facultativ)

Fie hipersfera S(Ω,R) si punctul A ∈ E . Se considera o dreapta

arbitrara δ prin A care intersecteaza hipersfera in punctele A1,A2,

posibil confundate.

Denition

Se numeste puterea punctului A fata de hipersfera S(Ω,R) numarul

real

PS(A) =<−−→AA1,

−−→AA2 > .

Puterea unui punct fata de o hipersferaSe demonstreaza ca aceasta denitie este corecta, adica

<−−→AA1,

−−→AA2 > nu depinde de dreapta δ, ci numai de punctul A si

de hipersfera.

Proposition

Fie hipersfera de ecuatie H(P) :=‖−→ΩP ‖2 −R2 = 0. Atunci

puterea punctului A fata de hipersfera este

PS(A) = H(A).

Observatie A ∈ IntS(Ω,R)⇔ PS(A) < 0,

A ∈ ExtS(Ω,R)⇔ PS(A) > 0 si A ∈ S(Ω,R)⇔ PS(A) = 0.

Hiperplanul radical a doua hipersfere

Fie S(Ω1,R1) si S(Ω2,R2) doua hipersfere de centre distincte. Se

poate demonstra ca locul geometric al punctelor ce au puteri egale

fata de cele doua hipersfere este un hiperplan de directie normala−−−→Ω1Ω2.

Intr-adevar, e S(Ω1,R1) :∑n

i=1(x i )2 +

∑ni=1

λi1x i + α1 = 0 si

S(Ω2,R2) :∑n

i=1(x i )2 +

∑ni=1

λi2x i + α2 = 0. Punctul

P(x1, · · · , xn) are aceeasi putere fata de cele doua hipersfere

⇔∑n

i=1(x i )2 +

∑ni=1

λi1x i + α1 =

∑ni=1

(x i )2 +∑n

i=1λi2x i + α2

⇔∑n

i=1(λi

1− λi

2)x i + (α1 − α2) = 0. Deoarece hipersferele au

centre distincte, rezulta ca ecuatia anterioara reprezinta un

hiperplan de directie normala N(λ11− λ1

2, · · · , λn

1− λn

2) ‖−−−→Ω1Ω2.

Acest hiperplan se numeste hiperplanul radical al celor doua

hipersfere.

Exemplu

In cazul unui plan an euclidian, date doua cercuri neconciclice,

locul geometric al punctelor din plan ce au aceeasi putere fata de

cele doua cercuri va o dreapta perpendiculara pe linia centrelor,

dreapta numita axa radicala a celor doua cercuri.

De exemplu, date cercurile S1 : x2 + y2 − 4︸ ︷︷ ︸H1(x ,y)

= 0 si

S2 : x2 + y2 − 2x − 4y︸ ︷︷ ︸H2(x ,y)

= 0, axa lor radicala se obtine astfel:

H1(x , y) = H2(x , y)⇔ x + 2y − 2 = 0.

Intersectia a doua hipersfere

Vom prezenta in continuare, fara demosntratie, un rezultat cegeneralizeaza pozitia relativa a doua cercuri intr-un plan euclidian.Se dau doua hipersfere neconcentrice, S(Ω1,R1) si S(Ω2,R2),Ω1 6= Ω2, R2 ≤ R1. Dorim sa studiem intersectia celor doua hipersfere.Deoarece orice punct comun celor doua hipersfere are putere egala cuzero fata de ambele hipersfere, rezulta ca el apartine si hiperplanuluiradical. Astfel, intersectia a doua hipersfere este intersectia uneia dintreele cu hiperplanul lor radical.Se obtine ca

S(Ω1,R1) ∩ S(Ω2,R2) 6= ∅ ⇔| R1 − d(Ω1,Ω2) |≤ R2 ≤ R1 + d(Ω1,Ω2).

In acest caz avem situatiile:

1 daca intr-una din relatiile de sus avem egalitate, rezulta caintersectia celor doua hipersfere e formata dintr-un singur punct, sihipersferele se numesc tangente;

2 daca | R1 − d(Ω1,Ω2) |< R2 < R1 + d(Ω1,Ω2), intersectia dintrehipersfere este o hipersfera din hiperplanul radical, caz in carehipersferele sunt secante.

Intersectia a doua cercuri in E2

Date doua cercuri S(Ω1,R1) si S(Ω2,R2), Ω1 6= Ω2, R2 ≤ R1 intr-unplan euclidian, relatiile anterioare se poat rescrie intr-un mod analog siobtinem:

1 daca 0 < d(Ω1,Ω2) < R1 − R2, pentru R2 < R1, avemS(Ω1,R1) ∩ S(Ω2,R2) = ∅ si S(Ω2,R2) ⊂ IntS(Ω1,R1): un cerceste situat in interiorul celuilalt;

2 daca d(Ω1,Ω2) = R1 − R2, avem S(Ω1,R1) ∩ S(Ω2,R2) = P siS(Ω2,R2)\ P ⊂ IntS(Ω1,R1): cele doua cercuri sunt tangenteinterioare;

3 daca R1 − R2 < d(Ω1,Ω2) < R1 + R2, avemS(Ω1,R1) ∩ S(Ω2,R2) = P1,P2: cele doua cercuri sunt secante;

4 daca d(Ω1,Ω2) = R1 + R2, avem S(Ω1,R1) ∩ S(Ω2,R2) = P,S(Ω2,R2)\ P ⊂ ExtS(Ω1,R1), S(Ω1,R1)\ P ⊂ ExtS(Ω2,R2):cele doua cercuri sunt tangente exterioare;

5 daca d(Ω1,Ω2) > R1 + R2, avem S(Ω1,R1) ∩ S(Ω2,R2) = ∅ siecare cerc este inclus in exteriorul celuilat: cercurile sunt exterioare.

Intersectia a doua cercuri in E2