Interpretarea geometrica Interpretarea geometrica a proprietatilor algebrice a proprietatilor algebrice ale functiei de gradul IIale functiei de gradul II

Clasa a IX-a MATEMATICAClasa a IX-a MATEMATICA

6 ore de cate 50 minute6 ore de cate 50 minute

Autor: prof. Nicoleta Mariana POPAAutor: prof. Nicoleta Mariana POPA

Colegiul National Mihai Colegiul National Mihai EminescuEminescu

ProblematizareÎntrebare esenţială:

Unde nu este matematica?

Întrebările unităţii de învăţare:

Cum folosim reprezentarea grafica a unei functii de gradul al-II-lea pentru a determina si caracteriza solutiile ecuatiilor si inecuatiilor de gradul al II-lea?Cum reprezentam schematic graficul unei functii de gradul al II-lea cunoscand solutiile ecuatiei atasate?

Putem optimiza solutiile problemelor cotidiene folosind proprietatile functiilor de gradul al-II-

lea?

Întrebări de conţinut:

Care este forma generala a functiei de gradul al II-lea si care este forma canonica?Cum determinam monotonia unei functii?Care sunt intervalele de monotonie ale functiei de gradul al II-leaCare dintre functiile de gradul al II-lea admit minim si care admit maxim?Care sunt coordonatele punctului de extrem al unei parabole?Care este ecuatia axei de simetrie a unei parabole?Care sunt coordonatele punctelor de intersectie ale parabolei cu axele de coordonate?Cum putem aseza o parabola fata de axa Ox?Care sunt proprietatile functiei de gradul al II-lea care se pot corela cu reprezentarea grafica a parabolei?Cum se poate corela semnul functiei de gradul al II-lea cu reprezentarea grafica a parabolei?Cum utilizam semnul functiei de gradul al II-lea in rezolvarea inecuatiilor de gradul al II-lea?Cum utilizam semnul functiei de gradul al II-lea in rezolvarea altor tipuri de inecuatii?Cum folosim reprezentarea grafica in determinarea imaginii unui interval de numere reale printr-o functie de

gradul al II-lea?Cum folosim reprezentarea grafica in determinarea preimaginii unui interval de numere reale printr-o functie de

gradul al II-lea?Care sunt conditiile ca o familie de functii de gradul al II-lea sa pastreze semn constant pe R?Care sunt conditiile ca o familie de functii de gradul al II-lea sa pastreze semn constant pe un interval inclus in

R?Cum aplicam proprietatile functiei de gradul al II-lea pentru ca o ecuatie cu parametru sa indeplineasca anumite

conditii asupra solutiilor sale?

Competenţe vizate

•C1. Recunoaşterea corespondenţei dintre seturi de date şi reprezentări grafice•C2. Determinarea unor funcţii care verifică anumite condiţii precizate•C3. Utilizarea unor algoritmi pentru rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor şi a sistemelor de ecuaţii şi pentru reprezentarea grafică a soluţiilor acestora•C4. Exprimarea prin reprezentări grafice a unor condiţii algebrice; exprimarea prin condiţii algebrice a unor reprezentări grafice•C5. Utilizarea unor metode algebrice sau grafice pentru determinarea sau aproximarea soluţiilor ecuaţiei asociate funcţiei de gradul al II-lea•C6. Interpretarea informaţiilor conţinute în reprezentări grafice prin utilizarea de estimări, aproximări şi strategii de optimizare

Obiective• O1 -sa recunoasca tipul punctului de extrem al unei functii de gradul al II-lea si

numarul punctelor de intersectie cu axa OX.• O2 –sa reprezinte in reper cartezian graficul unei functii de gradul al-II-lea care

admite minim (respectiv maxim),care intersecteaza sau nu axa OX.• O3 –sa stabileasca semnul unei functii de gradul al-II-lea prin completarea

tabloului de semn.• O4 –sa rezolve inecuatii de gradul al –II-lea folosind semnul functiei de gradul

al-II-lea.• O5 –sa determine conditii pentru ca o ecuatie de gradul al-II-lea cu parametru

sa admita solutii intr-un interval din R.• O6 –sa deduca conditii ca o functie de gradul al-II-lea cu parametru sa pastreze

semn constant pe R sau• pe un interval de numere reale.• O7 -sa deduca numarul de solutii reale si semnul radacinilor unei ecuatii de

gradul al-II-lea cu parametru analizand ∆,S,P.• O8 -sa rezolve si alte tipuri de ecuatii si inecuatii cu ajutorulecuatiei respectiv

inecuatiei de gradul al-II-lea(rationale,irationale,cu modul).• O9 -sa determine imaginea si preimaginea unui interval de numere reale

folosind reprezentarea grafica si proprietatile functiei de gradul al-II-lea.• O10 -sa transfere cunostintele dobandite in probleme practice care pot fi

rezolvate si/sau optimizate cu ajutorul functiilor de gradul al-II-lea.• O11 -sa construiasca exemple si contraexemple pentru problemele studiate.

Rezumatul activitatilor

• Continuturi: Pozitionarea parabolei (graficului functiei de gradul al II-lea) in reperul cartezian, punct de extrem. Pozitionarea parabolei fata de axa Ox, semnul functiei de gradul al-II-lea, rezolvarea inecuatiei de gradul al-II-lea: ax+bx+c<0 (>,≤,≥),cu a,b,c in R si a≠0, in R sau pe intervale de numere reale. Utilizarea reprezentarilor grafice la rezolvarea ecuatiilor si inecuatiilor de gradul al doilea pe R si pe intervale din R. Determinarea conditiilor necesare si suficente ca o ecuatie cu parametru sa admita solutii in intervale din R pornind de la reprezentarea grafica a parabolei. Determinarea imaginilor sau preimaginilor unor intervale prin functii de gradul al doilea.

• Loc de desfasurare: Sala de clasa si laboratorul de informatica.• Modul de lucru: In echipe de 5-6 elevi si individual.• Evaluare: Pe parcursul desfasurarii proiectului prin observatii si

evaluarea fiselor de lucru individuale. Notare in ultima lectie, dupa prezentarea proiectului (autoevaluare, interevaluare si evaluarea profesorului).

Materiale pregatitoare

- Ghidul drepturilor de autor

- Reguli de comportare in laboratorul de informatica

- Pliant de promovare a proiectului

Materiale de documentare

Bibliografie si resurse internet

Fise de documentare

Surse proprii

Conţinutul unităţii de învăţare

Lecţia 1 – introductiva

Lectiile 2-4 - curente

Lectiile 5-6 - evaluare

Microsoft Word Document

Microsoft Word Document

Microsoft Word Document

Evaluarea proiectului

Evaluare initiala

Evaluare formativa

Evaluare sumativa

In loc de concluzii

Un exemplu din perspectiva elevului

Multumiri pentru atentie