INTRODUCERE. OBIECTIVELE DISCIPLINEI DE STUDIU

Probleme de modelare matematică proceselor mecanice şi a

situaţiilor economice nu pot fi rezolvate fara aplicarea metodelor de calcul

numeric.

Un specialist modern trebuie să cunoască bine metode de baza ale matematicii

aplicate din care face parte şi analiza numerică . Practic, orice teoria inginerească fără

un suport matematic solid nu are nici o valoare ştiinţifică.

Ca regulă , un inginer operează cu datele numerice, care trebuie sa fie prelucrate

intr-un anumit mod pentru calculul şi proiectarea dispozitivelor tehnice.

Ecuaţiile matematice din domeniul mecanic, ca regulă, conţin derivate şi

integrale,iar cele din domeniu financiar modern utilizează, de exemplu, teoria ecuaţiilor

diferenţiale stohastice, care nu pot fi rezolvate direct in mod analitic, ci numai prin

metode aproximative cu care opereaza analiza numerică.

Astfel, metode numerice de calcul sunt metode aproximative, iar disciplina aparţine

domeniului matematicii aplicate.

Programa analitică a cursului cuprinde studierea principalelor metode de analiza

numerică, care prin intermediul computerelor devin tot mai precise si mai des utilizate,

si anume:

- rezolvare numerica a ecuaţiilor algebrice neliniare si transcendente;

- rezolvare sistemelor de ecuaţii algebrice liniare si neliniare;

- aproximare si interpolare funcţiilor algebrice complexe sau prezentate in forma

tabulară (de tabele);

- determinare funcţiilor analitice pentru o bază de date numerice;

- derivare si integrare numerică .

6

Capitol 1. METODE NUMERICE PENTRU REZOLVAREA ECUAŢIILOR

ALGEBRICE NELINIARE ŞI TRANSCENDENTE

Sub noţiunea de ecuaţii algebrice neliniare se înţelege acele ecuaţii care conţin

necunoscută la puterea diferită de unu, de exemplu:

, unde n1.

Sub noţiunea de ecuaţii algebrice transcendente se înţeleg acele ecuaţii din care

nu poate fi obţinută soluţie analitică în mod evident,de exemplu:

ecuaţiile iraţionale de tipul ,

ecuaţiile exponenţiale , ecuaţiile

logaritmice (unde i= 0,1,...,n) ,

sau cele trigonometrice ( la care k=0,1,...,n),

Pentru rezolvarea ecuaţiilor neliniare şi transcendente există următoarele metode

principale : metoda înjumătăţirii intervalului, metoda coardei metoda tangentei ( sau

metoda Newton) şi metoda iteraţiilor. Să examinăm aceste metode .

1.1. Metoda înjumătăţirii intervalului

Este cea mai simplă şi totodată cea mai sigură metoda de rezolvare numerică a

ecuaţiilor neliniare şi transcendente. Singurul ei dezavantaj reprezintă un ritm lent de

convergenţă, care cere un număr mare de operaţii matematice. Metoda are ca baza

teorema valorii intermediare din analiza matematică şi are ca o idee reducerea

7

progresivă a intervalului de examinare a funcţiei date prin înjumătăţirea pentru a localiza

rădăcina căutată.

Deci , fie o funcţie f(x) continuă pe un interval finit a ≤ x ≤ b , care are două

valori f(a) şi f(b) definite astfel că produsul . În acest caz a funcţia f(x)

trebuie să aibă cel puţin o rădăcina, iar metoda localizării poate fi prezentată grafic în

felul următor (fig. 1.1). Cum se vede reducerea progresivă a intervalului se face prin

înjumătăţirea lui şi utilizarea punctului de mijloc drept limita noua pentru intervalul

ulterior.

Fig. 1.1. Schema obţinerii soluţiei prin metoda înjumătăţirii intervalului

8

Aşadar cum rezultă din prezentarea grafică – cu cât intervalul final [an , bn ] va fi

mai mic, cu atât abscisa punctului de mijloc să fie cât mai aproape de

rădăcina căutată α .

La pasul k se obţine intervalul [ak , bk ] , astfel că ,

rezultă şi (1.1)

Dacă , atunci se atribuie ak+1=ak şi bk+1=xk . Dacă ,

se atribuie ak+1=xk şi bk+1=bk .

Astfel se obţine un şir de valorii {x}= x1, x2 ,…,xn pentru care

, (1.2)

unde este valoarea precisă a rădăcinii cautate.

Practic calculul se opreşte atunci când se indeplineşte una din urmatoarele condiţii:

a) n nad ,

b) f(xn) ≤ fad , (1.3)

c) (bn-an) ≤ ad ,

la care nad, fad şi εad reprezintă respectiv numărul de paşi, valoarea funcţiei şi eroarea

de calcul (cu indicele “ad” s-a notat valoarea lor admisibilă, stabilită de la inceput ca

fiind satisfăcătoare). Ca regulă, se aplică ultimile doua condiţii (formula 1.3 b,c).

1.2. Metoda coardei

Metoda constă în inlocuirea funcţiei date f(x), continua pe un interval [a,b],

printr-o dreapta g(x) care trece prin extremităţile A si B definite astfel că f(a)f(b) < 0.

9

Rădăcina precisă a funcţiei date f(x) se aproximeaza prin punctul de intersectie a

dreptei g(x) cu axa ox ( fig. 1.2. )

Fig. 1.2. Schema obţinerii soluţiei prin metoda coardei

Ecuaţia secantei AB se poate scrie sub forma:

(1.4)

Punând condiţiile de intersecţie a coardei g(x) si axa Ox ( g(x)=0 ) se obţine abscisa

punctului de intersecţie:

,

sau

10

(1.5)

Punctul de intersecţie corespunzător pasului k

, (1.6)

unde k =1,2,3,……, n, iar ak şi bk sunt extremităţile intervalului corespunzător

pasului k.

Pentru alegerea noului interval corespunzător pasului (k+1) se procedeaza astfel:

- dacă f(ak)f(xk) < 0, atunci atribuie ak+1=ak şi bk+1=xk;

- dacă f(xk) f(bk) < 0, atunci atribuie ak+1=xk şi bk+1=bk.

Procesul continuă până când se indeplineşte condiţia:

|xn-xn-1| ≤ ad ,

unde ad= - xn este eroarea de calcul admisibilă.

NOTĂ. Convergenţa metodei se obţine mai rapid decât in cazul metodei de

înjumătăţire a intervalului.

1.3. Metoda tangentei (metoda Newton )

Fie o ecuaţie neliniara sau trascendentă de forma f(x)=0 şi fie ca functia f(x) are pe

intervalul [a,b] o singură rădăcina reala, iar prima derivata f /(x) si cea a două f //(x) sunt

continuie şi nu menţin semnul constant în intervalul dat.

11

Metoda constă in aproximarea rădăcinii precise cu abscisa punctului de

intersecţie a tangentei cu axa Ox, care este dusă la curba f(x) in punctul k cu

coordonatele {xk ,f(xk)} alese în mod corespunzător.

Altfel spus, arcul de curbă f(x) se inlocuieşte cu o tangentă la curba intr-un punct

k care se deplaseaza in direcţia rădăcini (fig 1.3):

Fig. 1.3. Schema obţinerii soluţiei prin metoda tangentei

Pentru obţinerea convergenţei sigure spre rădăcina căutată ca punctul iniţial x0

trebuie să fie luat acel capăt al intervalului [a,b] la care semnul funcţiei coincide cu

semnul primei derivatei. Deci, dacă f(b)· f /(x) > 0 atunci punctul iniţial este limita

dreaptă x0 = b, iar dacă f(a)· f /(x) > 0 atunci punctul initial va fi limita stângă x0 = a.

Fie punctul de plecare al procesului de calcul este limita dreaptă x0= b. Construim

o tangentă la curba data in punctul B(x0, f(x0) ). La intersecţia tangentei cu axa ox se

obţine prima aproximare – punctul x1. Construim, din nou, o tangentă la curba dată in

12

punctul nou B1 cu coordonate B1{ x1, f(x1)}. Intersecţia ei cu axa absciselor o notam cu

x2. Din nou construim o tangentă,acum în punctul B2 cu coordonate B2{ x2, f(x2)},

repetând procedura.

Procesul de calcul genereaza un şir de aproximări succesive x1,x2,x3,...,xn ,

astfel încât , unde este valoarea precisă a rădăcinii cautate.

Relaţie de calcul pentru determinarea coordonatei xk+1 este:

, f /(xk)0 , k=0,1,2,3….., n (1.8)

In cazul in care f /(xk)= 0 , atunci se va face atribuirea: xk+1= xk .

Calculul se opreşte atunci când se realizeaza condiţia:

| xn –xn-1 | ≤ εad , (1.9)

unde εad este eroarea de aproximare admisibilă.

Notă. Metoda această area viteza de convergenţă mai superioara decât celelalte

metode. Principalul dezavantaj constă in faptul ca metoda Newton nu poate fi aplicată

la orice funcţie sau pentru orice domeniu [a,b].

Daca punctul iniţial x0 nu este ales in mod corespunzator,atunci nu va avea loc

convergenţa spre rădăcina . De aceea in practică se recomandă să inceapa cautarea

rădăcini folosind metoda înjumătaţirii intervalului, iar după un anumit număr de paşi

pentru accelerarea convergenţei se trece la metoda Newton ( tangentei ).

1.4. Metoda iteraţiilor ( aproximărilor succesive)

13

Fie dată o ecuaţie neliniara sau trascendentă de forma f(x)=0; functia f(x) este

continuă pe un interval finit [a,b] şi are pe intervalul dat o singură rădăcina reala. Se cere

determinarea rădăcinii a ecuaţiei date.

Pentru această ecuaţia originală f(x)=0 se înlocuieşte cu ecuaţia echivalentă de

forma:

, (1.10)

care se obţine prin eliminarea parţială a variabilei x. Aceasta ecuaţie se numeşte

iterativă.

Din intervalul dat [a,b] se alege printr-o metodă cunoscută (metoda înjumătăţirii

intervalului, metoda coardei, metoda tangentei ) sau chiar arbitrar o valoarea iniţială

x0 [a , b].

Valoarea aleasă x0 , care reprezintă aproximarea nulă a rădacinii căutate, se

substituie în partea dreaptă a ecuaţiei iterative (1.13) şi după evaluarea se obţine prima

aproximaţie a rădăcinii căutate. Valoarea x1 se substituie în parte dreaptă a

ecuaţiei (1.13), rezulta a doua aproximaţie . Reieşind din valoarea x2 cu

ajutorul ecuaţiei iterative (1.13) se determină a treia aproximaţia etc.

Repetarea acestui procedeu de calcul, numit iterativ, se efectuează după formula

, (1.11)

unde i= 0,1,2,3,…, n , iar n reprezintă numărul iteraţiilor.

Rezulta o succesiune a valorilor {x}=x0, x1, x2 ,…,xn care poate fi:

-convergentă, dacă , unde este valoarea precisă a radacini căutate a ecuaţiei sau a ecuaţiei f(x)=0, ce este una şi aceeaşi, sau -divergentă , dacă nu există limita succesiunii {x}=x0, x1, x2 ,…,xn şi atunci ecuaţia

f(x)=0 nu se rezolvă.

14

Vom formula fără demonstraţie o teoremă, care exprimă anumite condiţii

necesare obţinerii convergenţei spre rădacina căutată a procesului de calcul iterativ.

Teorema de convergenţă a procesului iterativ.

Fie ca în intervalul dat [a,b] se află o singură rădăcina reală α a ecuaţiei x =

φ(x) şi ca in toate punctele din acest interval prima derivată funcţiei , iar

funcţia aparţine intervalului dat , atunci procesul iterativ este convergent , şi

ca o aproximaţie iniţială x0 poate fi luată orice valoarea x din intervalul [a,b] .

Aceasta înseamnă că toate valorile de aproximare x0, x1, x2 ,…,xn se află în

domeniul dat [a,b] şi că cu cât valoarea derivatei |φ/(x)| este mai mică, cu atât

convergenţa iteraţiilor este mai rapidă.

Notă. Ecuaţia echivalentă obţinută din ecuaţia iniţială f(x)= 0 poate să aibă

diferite forme. Metoda iteraţiilor poate fi aplicată numai la aceea formă a ecuaţiei

x=(x) pentru care se îndeplinesc condiţiile teoremei de convergenţă.

Acum vom discuta problema de precizie şi de alegerea numărul iteraţiilor care este

necesar pentru obţinerea preciziei date de calcul.

Fie este rădăcina precisă a ecuaţiei x = (x), iar numărul q se determină din

condiţia , atunci va fi corectă relaţia:

(1.12)

Dacă se va introduce eroarea de calcul dată şi considerând xn , atunci pentru

asigurarea preciziei necesare de calcul , procesul iterativ trebuie sa fie efectuat pâna

când va fi indeplinită inegalitatea:

sau (1.13)

15

Ca un exemplu vom examina rezolvarea unei ecuaţiei neliniare prin metoda

iteratiilor .

Aplicaţia 1.1.Utilizarea metodei iteraţiilor .

Să se rezolve prin metoda iteraţiilor ecuaţia 5·x3-20·x+3=0 în intervalul dat [0 , 1]

cu precizia =10- 4.

Soluţia.

Se transformă ecuaţia dată f(x)=0 în forma x=(x). În cazul dat eliminarea lui x

poate fi realizată dupa trei modalităţi:

1) se adaugă la partea stangă şi dreaptă a ecuaţiei date câte un x: x = x+(5·x3 - 20·x + 3),

atunci prima formă a funcţiei echivalente va fi

;

2) se elimină din ecuaţia dată primul termen 5x3 şi să ia radical de puterea a treia,

atunci rezultă a două formă a funcţiei echivalente

;

3)se elimină din ecuaţia dată al doilea termen 20·x, atunci se obţine a treia formă a

funcţiei echivalente

16

Vom analiza care din funcţii echivalente 1(x), 2(x) sau 3(x) corespunde în

intervalul dat [0 , 1] condiţiei de convergenţă . Aşadar rezultă:

1) pentru x [0 , 1];

2) pentru x [0 , 1];

3) pentru x [0 , 1].

Cum reiese din analiza, numai a treia funcţia echivalenta 3(x), având derivata după

modul mai mică de unu, corespunde condiţiei de convergenţă.

Astfel, pentru rezolvarea ecuaţiei date prin metoda iteraţiilor putem utiliza funcţia

3(x). Deci formula de calcul pentru iteraţia n va fi:

.

Ca aproximaţia iniţială (nulă) x0 vom lua valoarea maximă a derivatei în domeniul

0 , 1 , adică .

Pentru determinarea diferenţei xn - xn-1dintre două aproximaţii succesive la

care procesul iterativ trebuie să fie oprit se utilizează formula (1.16), introducând

eroarea admisibilă dată ε =10-4 şi parametrul q obţinut mai sus:

Luăm xn - xn-1= 0,00003.

Pentru uşurinţă, toate calcurile se adună într-un tabel:

17

Tabelul 1.1Număr deiteraţii n

xn xn3

0 0.75 0.4218 0.25547

1 0.2555 0.016777 0.154144

2 0.1541 0.005652 0.151413

3 0.15136 0.005443 0.151361

4 0.15136 0.005442 0.151361

Răspuns: x = 0,15136

1.5. Separarea rădăcinelor ale ecuaţiilor neliniare si transcendente

Metode numerice de rezolvare a ecuaţiilor neliniare examinate mai sus pot fi

aplicate dacă în domeniul dat există numai o singură rădăcină. În cazul când nu se ştie

câte rădăcini se află în intevalul dat [a,b] se utilizează procedura de separare.

De a separa rădăcini înseamnă de a împărţi intervalul dat [a,b] în mai multe

segmente [ai ,bi], i = 1,2,3,…,n în care există numai o singură rădăcina.

Separarea rădăcinilor se bazează pe cunoştinţele de bază din analiza

matematică. Pentru aceasta se recomandă următoarele:

18

- se determină prima derivată f /(x) din funcţia dată;

- se alcătuieşte un tabel cu indicarea semnelor ale funcţiei date

f(x) în care pentru x să ia drept valorile: a) valorile critice ale primei derivate din

funcţia dată sau cele vecine , b) valorile de limită a funcţiei f(x)determinate după

capetele intervalului a,b a variabilei independente x;

- se aleg intervalele în care funcţia f(x)schimbă semnul , in interiorul cărora se află una

şi numai una singură rădăcina.

Aplicaţia 1.2. Separarea rădăcinilor ale ecuaţiei nelinare

De a separa rădăcinile ecuaţiei 2x – 5∙x – 3 = 0, unde x [- ∞, +∞].

Rezolvare:

1) notând f(x)= 2x – 5∙x – 3 se determină prima derivată ;

2) determinăm rădăcinile (punctele critice) egalând prima derivată cu zero:

,

,

,

3) se alcătuieşte un tabel în care se trec semnele funcţiei utilizând domeniul x [- ∞,

+∞] şi valorile apropiate punctului critic( x=2,85), de exemplu x=2,00 şi x=3,00 :

Tabelul 1.2

x -∞ 2 3 +∞

Sign f(x) + — — +

19

Cum se vede din tabel are loc două schimbări a semnelor funcţiei sign f(x)→ (+ -‚ - + ),

ceea ce arată că funcţia are numai două rădăcini.

4) se alcătuieşte un tabel nou cu segmente mai mici pentru precizarea intervalelor:

Tabelul 1.3

Răspuns: ecuaţia dată are rădăcini în intervalele [-1 , 0] şi [4 , 5].

1.6. Probleme

Elaboraţi programele de calcul pentru rezolvarea numerică după una din metodele

studiate a ecuaţiilor:

Problema 1.3. x2·log0,5(x+1)=1, unde x [-0,8; -0,5] , precizia de calcul =10-2

Problema 1.4. x - sinx=0.25 , x [0; /2] , =10-4

Problema 1.5. e x- x2=0, x [-0,8; -0,7] , =10-5

x -1 0 1 2 3 4 5 6

Sign f(x) + — — — — — + +

20

Problema 1.6. x2+3x - 3=0, x [-3; -2], x [-2; -1], x [0; 1] , =10-3

21