intduble

Integrale dubleMai multe dimensiuni

Radu Trımbitas

UBB

Noiembrie 2012

Radu Trımbitas (UBB) Integrale duble Noiembrie 2012 1 / 42

Continut

1 Notiuni de topologie a planului

2 Functii vectorialeFunctii de reale de doua variabile

3 Integrala dubla ın sensul lui RiemannDefinitie si proprietatiMetode de calculExemple


Notiuni de topologie a planului I

R2 = R×R = {(x , y) : x ∈ R, y ∈ R}

Definitie 1

Distanta dintre doua puncte P(x1, y1) si Q(x2, y2) este

d(P,Q) =

√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)

2.


Notiuni de topologie a planului II

Definitie 2

Fie P ∈ R2 si r > 0. Prin disc deschis (respectiv ınchis) de centru P siraza r se ıntelege multimea

S(P, r) = {Q : d(P,Q) < r}

si respectivS(P, r) = {Q : d(P,Q) ≤ r}.

Definitie 3

Se numeste vecinatate a punctului P orice multime V ce contine un discdeschis de centru P (adica ∃r > 0 : S(P, r) ⊂ V ).


Notiuni de topologie a planului III

Definitie 4

Fie E ⊂ R2. P este punct aderent al multimii E ⇔ oricare ar fi Vvecinatate a lui P are loc V ∩ E 6= ∅. Multimea punctelor aderente lui Ese numeste aderenta lui E si se noteaza cu E .

Definitie 5

P este punct de acumulare al multimii E ⇔ oricare ar fi V , vecinatate alui P contine cel putin un punct din E diferit de P (V ∩ (E\{P}) 6= ∅).

Definitie 6

Fie E ⊂ R2. P este punct interior multimii E ⇔ exista numarul realr > 0 astfel ıncat S(P, r) ⊂ E . Multimea punctelor interioare lui E senumeste interiorul lui E si se noteaza cu intE (sau E ).


Notiuni de topologie a planului IV

Din definitiile 4 si 5 rezulta intE ⊂ E ⊂ E .

Definitie 7

Multimea E\intE se numeste frontiera lui E si se noteaza cu ∂E .

Definitie 8

Multimea E ⊂ R2 este marginita ⇔ ∃r > 0 ∃P ∈ E astfel ıncatE ⊂ S(P, r).

Definitie 9

Multimea E ⊂ R2 este ınchisa ⇔ E = E .


Notiuni de topologie a planului V

Definitie 10

Multimea E ⊂ R2 este deschisa ⇔ E = intE .

Definitie 11

Multimea E ⊂ R2 este compacta ⇔ E este ınchisa si marginita.

Definitie 12

Multimea E ⊂ R2 este conexa ⇔ nu exista doua multimi G1 si G2 cuproprietatile: E ⊂ G1 ∪ G2, E ∩ G1 6= ∅, E ∩ G2 6= ∅, E ∩ G1 ∩ G2 = ∅.


Notiuni de topologie a planului VI

Definitie 13

Fie E ⊂ R2. Prin diametrul multimii E se ıntelege numaruldiam(E ) = sup {d(P,Q) : P,Q ∈ E}.

Definitie 14 (domeniu)

Fie D ⊂ R2. D se numeste domeniu daca este deschisa si conexa. D ∪ ∂Dse numeste domeniu ınchis. Un domeniu ınchis si marginit se numestedomeniu compact.

Vom nota elementele din R2 cu litere mici; x ∈ R2 ınseamnax = (x1, x2) ∈ R×R.


Functii vectoriale I

Fie Rp ={(x1, x2, . . . , xp) : xi ∈ R, i = 1, p

}. Elementele lui Rp se

numesc vectori p-dimensionali.

Definitie 15

Fie x = (x1, x2, . . . , xp) ∈ Rp. Prin norma vectorului x se ıntelegenumarul real pozitiv notat ‖x‖ si definit prin

‖x‖ =(

p

∑i=1

x2i

)1/2

.

Fie f : E ⊂ Rn → Rm. Argumentele lui f sunt vectori realin-dimensionali, iar valorile lui f sunt vectori reali n-dimensionali. Valoareafunctiei f ın x se noteaza f (x) sau f (x1, x2, . . . , xn), iar f se numestefunctie vectoriala de n variabile reale. Daca m = 1 f se numeste functiereala de n variabile reale.


Functii vectoriale II

Definitie 16

Functia pk : Rn → R, pk(x1, x2, . . . , xn) = xk se numeste functie proiectiede indice k , k = 1, n.

Definitie 17

Fie f : E → R, E ⊂ Rn. Graficul lui f este multimea

Gf = {(x1, x2, . . . , xn, f (x1, x2, . . . , xn)) : (x1, x2, . . . , xn) ∈ E} ⊂ Rn+1.

Daca n = 2 convenim sa notam argumentele unei functii f : E ⊂ R2 → R

prin (x , y); graficul lui f este multimea

Gf = {(x , y , z) : (x , y) ∈ E , z = f (x , y)} ⊂ R3,

adica o suprafata din spatiu.


Functii vectoriale III

Dandu-se f : E ⊂ Rn → Rm, putem obtine m functii reale f1, f2, . . . , fmdefinite pe E prin compunerea functiei f cu functiile proiectie:

f1 = pr1 ◦ f , f2 = pr2 ◦ f , . . . , fm = prm ◦ f .

Pentru x ∈ E are loc

f1(x) = pr1 (f (x)) , f2(x) = pr2 (f (x)) , . . . , fm(x) = prm (f (x))

si deci f (x) = (f1(x), f2(x), . . . , fm(x)), sau scris prescurtatf = (f1, f2, . . . , fm). Functiile reale fk , k = 1,m, se numesc componentelefunctiei vectoriale f . Putem reduce studiul unei functii vectoriale la studiulunor functii reale (componentele).


Functii vectoriale IV

Exemplu 18 (Curbe plane)

Fie f : I ⊂ R→ R, I interval. f asociaza fiecarui punct t ∈ I un singurpunct f (t) ∈ R2 (din plan). Fie u si v cele doua componente reale alefunctiei f : f (t) = (u(t), v(t)), t ∈ I . Daca notam f (t) = (x , y) atunci{

x = u(t),y = v(t),

t ∈ I .

Perechea de functii u, v constituie o reprezentare parametrica, iarargumentul t se numeste parametru. Cand parametrul t parcurgeintervalul I , punctul f (t) din plan parcurge o multime de puncte din plan,numita curba plana.

Vom da doua exemple:


Functii vectoriale V

Cercul cu centru ın origine siraza r{

x = r cos(t),y = r sin(t),

t ∈ [0, 2π).

Cardioida{x = (1 + cos(t)) cos(t),y = (1 + cos(t)) sin(t),

t ∈

[0, 2π).


Functii vectoriale VI

Exemplu 19 (Suprafete)

Fie f : E ⊂ R2 → R3. Unui punct (t, s) ∈ E ıi va corespunde prin f unpunct din spatiu; fie u, v ,w cele trei componente ale lui f , definite pe E :

f (t, s) = (u(t, s), v(t, s),w(t, s)) .

Daca se noteaza f (t, s) = (x , y , z), atuncix = u(t, s),y = v(t, s),z = w(t, s),

(t, s) ∈ E .

Se obtine o reprezentare parametrica cu doi parametrii t si s. Cand (t, s)parcurge E , f (t, s) parcurge o multime de puncte din spatiu, numitasuprafata spatiala.


Functii vectoriale VII

Sfera cu centrul ın origine si deraza R

x = R cos t cos s,y = R sin t cos s,

z = R sin s,t ∈

[0, 2π), s ∈ [0, π].

(2 + sin v) cos u(2 + sin v) sin u

u + cos vu ∈

[0, 4π), v ∈ [0, 2π).


Exemplu 20 (Transformari punctuale ın plan)

Fie E si F multimi din plan si T : E → F o aplicatie biunivoca. Fiecaruipunct (u, v) ∈ E ıi corespunde punctul T (u, v) ∈ F . Fie f si gcomponentele reale ale lui T .

f , g : E → R,T (u, v) = (f (u, v), g(u, v)) , (u, v) ∈ E .

Daca se noteaza T (u, v) = (x , y), atunci{x = f (u, v),y = g(u, v),

(u, v) ∈ E .

Functia biunivoca T se numeste transformare punctualade la multimea Ela multimea F . Inversa ei T−1 : F → E este de asemenea o functievectoriala de doua variabile: fiecarui punct (x , y) ∈ F ıi corespundepunctul (u, v) = T−1(x , y) ∈ E . Are loc

(T−1 ◦ T

)(u, v) = (u, v) si(

T ◦ T−1)(x , y) = (x , y), unde (u, v) ∈ E , (x , y) ∈ F .


Functii de reale de doua variabile I

Definitie 21

Fie f : E → R, E ⊂ R2 si a(x0, y0) un punct de acumulare a lui E .Numarul ` ∈ R este limita functiei f ın a daca pentru orice vecinatate U alui ` exista o vecinatate V a lui a astfel ıncat oricare ar fi (x , y) ∈ V ∩ E ,(x , y) 6= (x0, y0) sa rezulte f (x , y) ∈ U. Notatie

` = limx→a

f (x , y) = limx→x0y→y0

f (x , y).

Definitie 22

Fie f : E → R, E ⊂ R2 si a(x0, y0) ∈ E . f este continua ın a daca pentruorice vecinatate U a lui f (a) exista o vecinatate V a lui a astfel ıncatoricare ar fi (x , y) ∈ V ∩ E sa rezulte f (x , y) ∈ U.


Functii de reale de doua variabile II

Definitie 23

Fie f : E → R, E ⊂ R2 si a(x0, y0) ∈ intE . Functia f are derivatapartiala ın raport cu x ın punctul a daca

limx→x0

f (x , y0)− f (x0, y0)

x − x0

exista si este finita. Limita se numeste derivata partiala ın raport cu x a

functiei f ın punctul (x0, y0) si se noteaza cu f ′x (x0, y0) sau ∂f (x0,y0)∂x .

Asemanator se defineste derivata partiala ın raport cu y a functiei f ın

punctul a, notata cu f ′y (x0, y0) sau ∂f (x0,y0)∂y prin egalitatea

f ′y (x0, y0) = limx→y0

f (x0, y)− f (x0, y0)

y − y0,


Functii de reale de doua variabile III

daca limita exista si este finita.Daca f are derivata partiala ın raport cu x (respectiv cu y) pe multimeaA ⊂ E (deci ın fiecare punct al lui A), atunci functia f ′x (respectiv f ′y ) senumeste derivata partiala a lui f ın raport cu x (respectiv y) pe A. Notatii:f ′x sau ∂f

∂x si respectiv f ′y sau ∂f∂y .

Exemplu 24

Fie f : R2 → R, f (x , y) = xy3 − 3x2 + 5y . Calculati ∂f∂x si ∂f

∂y .

Solutie.

∂f

∂x

(xy3 − 3x2 + 5y

)= y3 − 6x

∂f

∂y

(xy3 − 3x2 + 5y

)= 3xy2 + 5.


Functii de reale de doua variabile IV

Presupunem ca f : E → R si f ′x si f ′y exista pe E . Daca exista derivatelepartiale ale lui f ′x si f ′y ele se numesc derivate partiale de ordinul doi ale luif si se noteaza cu

f ′′x2 =(f ′x)′x=

∂f

∂x

(∂f

∂x

)=

∂2f

∂x2;

f ′′xy =(f ′x)′y=

∂f

∂y

(∂f

∂x

)=

∂2f

∂y∂x;

f ′′yx =(f ′y)′x=

∂f

∂x

(∂f

∂y

)=

∂2f

∂x∂y;

f ′′y2 =(f ′y)′y=

∂f

∂y

(∂f

∂y

)=

∂2f

∂y2.


Functii de reale de doua variabile V

Deci o functie de doua variabile poate avea patru derivate partiale deordinul doi. Functiile f ′′xy si f ′′yx se numesc derivate partiale mixte de ordinuldoi.

Exemplu 25

Fie f : R2 → R, f (x , y) = xy3 − 3x2 + 5y . Calculati derivatele de ordinuldoi ale lui f .

Solutie.

f ′′x2(x , y) =∂

∂x(y3 − 6x) = −6, f ′′xy =

∂

∂y

(y3 − 6x

)= 3y2,

f ′′y2(x , y) =∂

∂y

(3xy2 + 5

)= 6xy , f ′′yx =

∂

∂x

(3xy2 + 5

)= 3y2.


Functii de reale de doua variabile VI

Definitie 26

Fie f : E → Rm, E ⊂ Rn, unde f = (f1, . . . , fm). Fie a ∈ intE . Daca fksunt derivabile ın a ın raport cu toate variabilele vom asocia functie fmatricea cu m linii si n coloane

Jf (a) =

∂f1∂x1

(a) · · · ∂f1∂xn

(a)...

. . ....

∂fm∂x1

(a) · · · ∂fm∂xn

(a)

,

numita matricea jacobiana a lui f ın punctul a. Daca m = n, atuncimatricea este patratica si determinatul ei se numeste jacobianul saudeterminatul functional al functiilor f1, . . . , fm ın punctul a si se noteaza

D (f1, . . . , fm)

D(x1, . . . , xn)= det Jf (a).


Functii de reale de doua variabile VII

Exemplu 27

Fie f : E → R2, E = [0,+∞)× [0, 2π), f (ρ, t) = (ρ cos t, ρ sin t).Determinati Jf (a) si det Jf (a) unde a ∈ intA, a(ρ, t).

Solutie.

Jf (a) =

[∂f1∂ρ (a)

∂f1∂t (a)

∂f2∂ρ (a)

∂f2∂t (a)

]=

[cos t −ρ sin tsin t ρ cos t

]D(f1, f2)

D(ρ, t)= ρ cos2 t + ρ sin2 t = ρ.


Integrala dubla - definitie I

Definitie 28

Fie D ⊂ R2 un domeniu compact. Se numeste diviziune (descompunere) adomeniului D un sistem de multimi ∆ = (D1,D2, . . . ,Dn) cu proprietatile:

1 Di ınchisa, i = 1, n;

2 intDi ∩ intDj = ∅, ∀i 6= j

3

n⋃i=1

Di = D.

Numarul ‖∆‖ = maxi=1,n (diam(Dj )) se numeste norma diviziunii ∆.


Integrala dubla - definitie II

Definitie 29

Fie f : D → R, D un domeniu compact si masurabil. Fie∆ = (D1,D2, . . . ,Dn) o diviziune a lui D si γi (ξi , ηi ) ∈ Di , i = 1, n, unsistem de puncte asociat diviziunii ∆. Suma Riemann asociata functiei f ,diviziunii ∆ si sistemului de puncte γi , i = 1, n, se noteaza cu σ∆(f ; ξi , ηi )si se defineste astfel:

σ∆(f ; ξi , ηi ) =n

∑i=1

f (ξi , ηi ) aria(Di ).


Integrala dubla - definitie III

Definitie 30

Fie f : D → R, D domeniu compact si masurabil. f este Riemannintegrabila ⇔ ∃If ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∀∆ = (D1,D2, . . . ,Dn) o diviziune adomeniului D cu ‖∆‖ < δ(ε) si ∀γi (ξi , ηi ) ∈ Di , i = 1, n, are loc:

|σ∆(f ; ξi , ηi )− If | < ε.

Notatie If =∫∫

D f (x , y)dxdy .


Integrala dubla - definitie IV

Observatie 31

Daca f : D → R, f (x , y) = 1, atunci pentru orice diviziune ∆ a lui D siorice sistem de puncte (γi )i=1,n asociat diviziunii ∆

σ∆(f ; ξi , ηi ) =n

∑i=1

aria(Di ) = aria(D)

si deci ∫∫Ddxdy = aria(D). (1)


Proprietati

Teorema 32 (Proprietatea de aditivitate a integralei ca functie dedomeniu)

Fie f : D → R integrabila Riemann pe D, unde D este un domeniucomact si masurabil. Daca D1 si D2 sunt domenii compacte cuproprietatile D1 ∪D2 = D si aria(D1 ∩D2) = 0 atunci∫∫

Df (x , y)d xd y =

∫∫D1

f (x , y)d xd y +∫∫

D2

f (x , y)d xd y .

Teorema 33 (Liniaritatea integralei duble)

Fie f , g : D → R integrabile Riemann pe domeniul compact si masurabilD si α,β ∈ R. Atunci∫∫D

(αf (x , y) + βg(x , y))dxdy = α∫∫D

f (x , y)dxdy + β∫∫D

g(x , y)dxdy .

Teorema 34

Fie f : D → R, D compact si masurabil si f (x , y) ≥ 0 ∀(x , y) ∈ D,integrabila Riemann. Atunci

∫∫D

f (x , y)d xd y ≥ 0.

Teorema 35 (Monotonia integralei duble)

Fie f , g : D → R integrabile Riemann pe domeniul D compact simasurabil. Daca f (x , y) ≥ g(x , y), ∀(x , y) ∈ D, atunci∫∫

D

f (x , y)d xd y ≥∫∫D

g(x , y)d xd y .

Demonstratie. Definim h : D → R, h(x , y) = f (x , y)− g(x , y) siaplicam teorema 34

∫∫D

(f (x , y)− g(x , y))d xd y ≥ 0. Aplicand acum

liniaritatea cu α = 1 si β = −1 se obtine∫∫D

f (x , y)d xd y ≥∫∫D

g(x , y)d xd y .

Teorema 36

Fie f : D → R integrabila Riemann, D compact si masurabil. Dacam ≤ f (x , y) ≤ M, ∀(x , y) ∈ D, atunci

maria(D) ≤∫∫D

f (x , y)d xd y ≤ Maria(D).

Demonstratie. Deoarece m ≤ f (x , y) ≤ M, ∀(x , y) ∈ D, aplicandproprietatea de monotonie obtinem∫∫

D

md xd y ≤∫∫D

f (x , y)d xd y ≤∫∫D

Md xd y .

Aplicand liniaritatea, avem

m∫∫D

d xd y ≤∫∫D

f (x , y)d xd y ≤ M∫∫D

d xd y ,

din care se obtine concluzia aplicand relatia (1).


Semnificatia geometrica a integralei duble

Fie f : D → (0, ∞), Dcompact si masurabil. Atunci∫∫D

f (x , y)d xd y reprezinta

volumul unui corp K din spatiudefinit prin

K = {(x , y , z) : (x , y) ∈ D,

0 ≤ z ≤ f (x , y)} .

K se sprijina pe D si estelimitat superior de graficulfunctiei f . K se numestecilindroid.


Metode de calculDescompunerea unui domeniu simplu ın raport cu Oy

Fie g1, g2 : [a, b]→ R continue si g1(x) < g2(x), x ∈ [a, b]. Fief : D → R continua pe D.

D :{

a ≤ x ≤ bg1(x) ≤ y ≤ g2(x)

Are loc ∫∫D

f (x , y)d xd y =

b∫a

(∫ g2(x)

g1(x)f (x , y)d y

)d x . (2)

Convenim sa scriem∫ ba d x

∫ g2(x)g1(x)

f (x , y)d y .


Metode de calculDescompunerea unui domeniu simplu ın raport cu Ox

Fie h1, h2 : [a, b]→ R continue si h1(y) < h2(x), y ∈ [a, b]. Fief : D → R continua pe D.

D :{

c ≤ y ≤ dh1(y) ≤ x ≤ h2(y)

Are loc ∫∫D

f (x , y)d xd y =

d∫c

(∫ h2(y )

h1(y )f (x , y)d x

)d y . (3)

Convenim sa scriem∫ dc d y

∫ h2(y )h1(y )

f (x , y)d x .


Metode de calcul ISchimbarea de variabila

Fie T : d → D o transformare punctuala ın plan

T :{

x = ϕ(u, v)y = ψ(u, v


Metode de calcul IISchimbarea de variabila

Definitie 37

Transformarea T : d → D se numeste regulata daca si numai daca

(i) T este continua pe d ;

(ii) ϕ si ψ au derivate partiale continue si marginite pe intD;

(iii) jacobianul transformarii este nenul pe intD.

Daca T este transformare regulata∫∫D

f (x , y)d xd y =∫∫d

f (ϕ(u, v), ψ(u, v)) |det JT |d ud v (4)

O transfomare utilizata frecvent este trecerea la coordonate polare, undeT : d → D, d = [0, ∞)× [0, 2π), D = R×R, x = r cos t, y = r sin t, iardet JT = r .


Exemple I

Exemplu 38

Fie D = [0, 2]× [−1, 1] si f : D → R, f (x , y) = x + y3. Calculati∫∫D

f (x , y)d xd y .

Solutie.


Exemple II

Domeniul este simplu atat ın raport cu Ox cat si ın raport cu Oy .Aplicand formula (2) obtinem

∫∫D

f (x , y)d xd y =∫ 2

0

∫ 1

−1(x + y3)dydx =

∫ 2

02xdx = 4.

Acelasi rezultat se obtine cu formula (3)∫∫D

f (x , y)d xd y =∫ 1

−1

∫ 2

0(x + y3)d xd y =

∫ 1

−1

(2y3 + 2

)d y = 4

Exemplu 39

Fie D ={(x , y) : a ≤ x ≤ b, x2 ≤ y ≤ x4

}cu a ≥ 1 si f : D → R,

f (x , y) =√xy .


Exemple III

Solutie. Domeniul este simplu ın raport cu Oy .


Exemple IV

∫∫D

f (x , y)d xd y =

b∫a

x4∫x2

√xyd yd x =

2

3

b∫a

(x

132 − x

72

)d x

=4

27a

92 − 4

27b

92 − 4

45a

152 +

4

45b

152

Exemplu 40

Calculati∫∫D

f (x , y)d xd y , unde D ={(x , y) : 0 ≤ y ≤ 1,−y2 ≤ x ≤ y

}si f : D → R, f (x , y) = xy2.

Solutie. Domeniul este simplu ın raport cu Ox .∫∫D

f (x , y)d xd y =∫ 1

0

∫ y

−y2xy2d xd y =

∫ 1

0

1

2(y4 − y6)d y =

1

35


Exemple V


Exemple VI

Exemplu 41

Fie domeniul D = {(x , y) : 1 ≤ xy ≤ 2, 1 ≤ y/x ≤ 2, x > 0} sif : D → R, f (x , y) = x . Calculati

∫∫D

f (x , y)d xd y .

Solutie. Consideram transformarea

T−1 :{

xy = uyx = v

⇐⇒ T :{

x =√

uv

y =√uv

Jacobianul este

D(x , y)

D(u, v)=

∣∣∣∣ ∂∂u

√uv

∂∂v

√uv

∂∂u

√uv ∂

∂v

√uv

∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣ 1

2√uv− 1

2v

√uv

12

√vu

12

√uv

∣∣∣∣∣ = 1

2v

Noul domeniu este d = {(u, v) : 1 ≤ u ≤ 2, 1 ≤ v ≤ 2}.


Exemple VII

∫∫D

f (x , y)d xd y =∫ 2

1du∫ 2

1

√u

v

1

2vdv

=1

2

∫ 2

1u

12 du

∫ 2

1v−

32 dv = 2− 5

3

√2


Exemple VIII

Exemplu 42

Fie D ={(x , y) : a2 ≤ x2 + y2 ≤ b2, y ≥ x

}cu 0 < a < b. Fie

f : D → R, f (x , y) =√

x2 + y2. Prin trecere la coordonate polareprecizati noul domeniu si calculati

∫∫D

f (x , y)d xd y .

Solutie. Transformarea este data de x = r cos t, y = r sin t, iar jacobianuleste r .


Exemple IX

∫∫D

f (x , y)d xd y =

b∫a

5π4∫

π4

f (r cos t, r sin t)rd td r =

b∫a

r2d r

5π4∫

π4

d t

=π

3

(b3 − a3

).


intduble

Documents

Transcript of intduble