4 - 1

4. Discretizarea sistemelor continue 4.1. Sisteme de reglare continuale

Sistemele automate moderne combină în bucla de reglare dispozitive pur numerice (calculatorul de proces, microcontrollerul) cu dispozitive continuale (care au mărimi de intrare şi de ieşire funcţii continuale, definite la orice moment de timp şi reprezentate prin funcţii analitice f(t)).

Un sistem de reglare se numeşte continual dacă toate dispozitivele componente ale sistemului de reglare sunt dispozitive cu funcţionare continuă în timp. Bucla de reglare convenţională este de forma:

R(s) r(t)

HR(s) HF(s) E(s) e(t)

U(s) u(t)

Y(s) y(t)

P(s) p(t)

Fig. 4.1. Schema generală a unui sistem de reglare convenţional

Semnificaţiile semnalelor sunt: - r(t) reprezintă semnalul de referinţă pe care trebuie să-l urmărească mărimea de ieşire y(t); - e(t) reprezintă eroarea sistemului, e(t) = r(t) – y(t); - u(t) reprezintă semnalul de comandă furnizat de regulator către partea fixă; - y(t) este semnalul de ieşire din partea fixă sau mărimea care se reglează; - p(t) este semnalul perturbator care tinde să modifice valoarea mărimii de ieşire y(t).

Dispozitivele componente sunt: - regulatorul, reprezentat prin funcţia de transfer HR(s); - partea fixă, reprezentată prin funcţia de transfer HF(s) şi care este ansamblul element de

execuţie + instalaţie tehnologică + traductor. Toate semnalele de timp care leagă dispozitivele de mai sus sunt semnale cu existenţă

continuă în timp, definite deci la orice moment de timp, pe care le vom numi continuale (Obs. Pentru a nu face confuzie cu semnalele continue în sens matematic, semnalele continuale nu sunt neapărat semnale continue în timp, putând avea şi discontinuităţi). Prin procesul de proiectare a unui sistem de reglare se găseşte, în final, o funcţie de transfer pentru regulator. Sistemul în buclă închisă din Fig. 4.1 va avea performanţele dorite de proiectant, performanţe care pot fi analizate prin simularea funcţionării sistemului de reglare pe un anumit interval de timp, în prezenţa diferitelor semnale de test aplicate de obicei pe referinţă.

Prin performanţe bune înţelegem un anumit comportament la semnalele de referinţă şi la semnalele perturbatoare. Un sistem de reglare trebuie, în general, să conducă la urmărirea cât mai precisă şi mai rapidă a mărimii de referinţă de către mărimea de ieşire precum şi la o cât mai bună rejectare a influenţelor mărimilor perturbatoare. 4.2. Sisteme de reglare hibride

Evoluţia calculatoarelor numerice a permis introducerea acestora în sistemele de reglare automată. Un sistem numeric, care prelucrează secvenţe de intrare numerice oferind la ieşire tot secvenţe numerice, are o serie de avantaje faţă de sistemele continuale. Putem să enumerăm câteva asemenea avantaje:

- Un semnal numeric este în mai mică măsură afectat de perturbaţii. Semnalele numerice sunt de obicei reprezentate de două niveluri de informaţie distincte pe care, formal, le denumim

4 - 2

biţi: “0” şi “1”. Suportul fizic al acestor biţi este foarte diferit: niveluri de tensiune TTL (“0” = 0 V, “1” = 5 V), magnetizarea sau nu a unor particule de material magnetic (dischete floppy, hard-disk), încărcarea sau descărcarea unor condensatoare (memoria RAM, flash), reflectarea sau nu a unui fascicol laser (CD-ROM, DVD) sau emiterea sau nu a unui fascicol luminos (transmisia pe fibră optică). Indiferent de suportul fizic, informaţia este una de nivel (“low” sau “high”). În mod normal este mult mai greu de alterat un nivel pentru a-l face de nerecunoscut decât informaţia temporală conţinută de un semnal analogic.

- Un semnal numeric este mult mai uşor de stocat pe diferite suporturi. - Un semnal numeric este mult mai uşor de prelucrat matematic cu ajutorul unui sistem de

calcul. Atât analiza unui semnal numeric cât şi sinteza sa se fac mult mai uşor decât în cazul unui semnal continuu.

- Un semnal numeric este mult mai uşor de transmis la distanţă (cablu electric, fibră optică, unde electromagnetice (wireless)).

- Un semnal numeric este mult mai uşor de reprezentat grafic (pe display, plotter, imprimantă) Este evidentă cauza pentru care se preferă astăzi, aproape în exclusivitate, introducerea

dispozitivelor numerice de conducere. Sistemul de reglare continual din Fig. 4.1 se va transforma în:

R(s) r(t)

HR(z)ARN

HF(s) E(s) e(t)

U(s) u(t)

Y(s) y(t)

P(s) p(t)

C A N

CNA

E(z) {e(kTe)}

U(z) {u(kTe)}

Sistem discret

Fig. 4.2. Sistem hibrid de reglare (combinaţie între un sistem discret şi unul continuu)

unde ARN este algoritmul de reglare numerică.

Problemele care se pun sunt: 1. Ce legătură există între E(s) şi E(z) ? 2. Ce legătură există între HR(s) şi HR(z) ?

4.3. Discretizarea semnalelor continuale

Pentru a stabili legătura dintre transformata Z a semnalului eşantionat şi transformata Laplace a semnalului continual este necesară modelarea fenomenul de eşantionare prin multiplicare cu o serie de impulsuri Dirac, conform proprietăţilor semnalelor de tip distribuţie.

Fie un semnal continuu u(t). Aplicat la intrarea unui CAN, la ieşire vom obţine o secvenţă numerică {u(k)}.

CA N

u(t)U(s)

{uk}={u(kTe)}U(z)

Fig. 4.3. CAN. Discretizarea unui semnal continual

Definim următoarele semnale:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

−⋅−δ=

−⋅=

=⋅=

=⋅=

∑∞

=

DiracimpulsurideSeriaTkttp

esantionatSemnalultptutu

eesantionardeperioadaT,Tkt

tuTkuu

0ke

*

ee

ek

(4.1)

Se observă că primul semnal este un semnal discret, o secvenţă de numere, reprezentat de eşantioanele culese la momente de timp egal distribuite, multiplu al perioadei de eşantionare Te. Al

4 - 3

doilea semnal este de fapt o distribuţie, nu o funcţie în sensul obişnuit. După cum se ştie, multiplicarea unei funcţii cu un impuls Dirac conduce la o distribuţie Dirac multiplicată cu valoarea funcţiei la momentul aplicării impulsului Dirac:

( ) ( )( ) ( )

⋅−δ=⋅−δ⋅δ=⋅δ

)a(fat)t(fat)0(ft)t(ft

(4.2)

Ţinând cont de această proprietate, putem scrie:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=

⋅−δ⋅⋅=⋅−δ⋅=⋅−δ⋅=⋅=0k

ee0k

e0k

e* TktTkuTkttuTkttutptutu

Cele două semnale se mai scriu:

{ }

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

⋅−δ=

⋅−δ⋅⋅=⋅=

⋅==⋅=

∑

∑∞

=

∞

=

∈

0ke

0kee

*

eek

Nkk

Tkttp

TktTkutptutu

TkttuTkuu

u

(4.3)

u(t)

p(t)

1

t

t Te 2Te 3Te kTe (k+1)Te 0 Fig. 4.4. Reprezentarea semnalului continual u(t) şi a distribuţiei “piepten” Dirac p(t)

{uk}={u(kTe)}

u*(t)

t

t Te 2Te 3Te kTe (k+1)Te 0

Te 2Te 3Te kTe (k+1)Te 0

Fig. 4.5. Reprezentarea secvenţei discrete {uk } = {u(kTe)} şi a distribuţiei u*(t) = u(t)p(t)

4 - 4

Primul semnal este o secvenţă numerică la care putem calcula transformata Z. Al doilea semnal este o distribuţie singulară la care putem calcula transformata Laplace. Obţinem:

( ) { }{ } ( )∑∑∞

=

−∞

=

− ⋅⋅=⋅==0k

ke

0k

kkk zTkuzuuZzU (4.4)

( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )

( ) [ ]k

0k

sTk

*

0k

sTke

0kee

**

e

e

eusU

eTkuTktTkuLtuLsU

−∞

=

⋅

∞

=

⋅⋅−∞

=

∑

∑∑

⋅=

⋅⋅=

⋅−δ⋅⋅==

(4.5)

Din compararea relaţiei (4.4) cu (4.5), rezultă

( ) ( )esT

*ez

sUzU=

= (4.6)

Relaţia (4.6) este cea care face legătura între transformata Z a unei secvenţe de eşantioane şi transformata Laplace a semnalului continuu din care au provenit eşantioanele.

Prelucrând mai departe relaţia (4.3), obţinem:

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ξξ−⋅ξπ

==⋅= ∫∞+

∞−

dsPUj2

1sP*sUtptuLsUjc

jc

* , 0c ≥ (4.7)

( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )

( ) [ ] 1e,e11

e1

)e(lim1eesP

dteTktdteTktdtetptpLsP

eee

e

ee sTTssT

nsT

nk

0k

Ts

0k

Tks

0k 0

ste

0

st

0ke

0

st

<−

=−

−===

⋅⋅−δ=⋅

⋅−δ=⋅==

−⋅−−

−

∞→∞

=

⋅−∞

=

⋅⋅−

∞

=

∞−

∞−

∞

=

∞−

∑∑

∑∫∫ ∑∫ (4.8)

Introducând (4.8) în relaţia (4.7) obţinem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ξ⋅−

⋅ξπ

=ξ−

⋅ξπ

=ξξ−⋅ξπ

= ∫∫∫∞+

∞−⋅ξ⋅−

∞+

∞−⋅ξ−−

∞+

∞−

dee1

1Uj2

1de1

1Uj2

1dsPUj2

1sUjc

jcTTs

jc

jcTs

jc

jc

*eee

( ) ( ) ( ) ξ⋅−

⋅ξπ

==

= ∫∞+

∞−⋅ξ−

dez1

1Uj2

1ze

sUzUjc

jcT1sT

*ee

(4.9)

Relaţia (4.9) reprezintă legătura între transformata Z a semnalului eşantionat şi transformata Laplace a semnalului continual. 4.4. Discretizarea sistemelor continue

Se pune problema discretizării unui SLIT continuu. Acesta este descris de o funcţie de transfer Hc(s) care, în urma discretizării, se transformă într-o funcţie de transfer Hd(z).

Nu există numai o singură metodă de discretizare a unui sistem continuu, aşa cum este cazul relaţiei (4.9) pentru discretizarea semnalelor continuale. Discretizarea funcţiei de transfer a unui sistem continuu se bazează pe discretizarea răspunsului sistemului la anumite semnale tip sau pe anumite substituţii directe, aşa cum este cazul în transformările biliniare.

4.4.1. Dicretizarea sistemelor prin identitatea răspunsului continuu şi discret la semnale de intrare tip (impuls sau treaptă) sau prin substituţia z = esTe

4.4.1.1. Discretizarea sistemelor prin identitatea răspunsului indicial continuu (la intrare treaptă unitară continuă 1(t)) cu răspunsul indicial discret (la intrare treaptă unitară discretă 1(k))

Un SLIT continuu, caracterizat de funcţia de transfer continuă Hc(s) se poate discretiza astfel încât răspunsul său indicial la momentele de eşantionare să coincidă cu răspunsul indicial discret.

4 - 5

Hc(s)

Hd(z)

u(t)=1(t)

{uk}={1(k)}

Yc(s)yc(t)

Te Y*c(s)

{yc(kTe)}

Yd(z){yd(k)}

Fig. 4.6. Discretizarea sistemului continuu cu metoda identităţii răspunsurilor indiciale continue şi discrete

Condiţia de discretizare se scrie astfel:

( ) ( ){ } ( ) ( ) ξ⋅−

⋅ξπ

==

== ∫∞+

∞−⋅ξ−

dez1

1Yj2

1ez

sYsYZzYjc

jcT1csTc

*cd ee

Utilizând teorema reziduurilor, obţinem:

( ) ( ){ } ( )( )

∑ξ

⋅ξ−

⋅−⋅ξ==

ce

YpoliiT1ccd ez1

1YzResYZzY (4.10)

În cazul nostru, obţinem

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−⋅=⇒

−=⇒=

⋅=⇒=⇒=

−− 1dd1

cc

z11zHzY

z11zUk1ku

s1sHsY

s1sUt1tu

Relaţia (4.10) se mai scrie:

( ) ( ) ( ){ } ( )

⋅==

−⋅= − s

1sHZsYZz11zHzY cc1dd . Se obţine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

∑ξ

⋅ξ−−−

⋅−⋅

ξ⋅ξ⋅−=

⋅⋅−=

0,HpoliiT1c

1c

1d

ceez1

11HzRez1s1sHZz1zH (4.11)

Relaţia (4.11) stabileşte modul de calcul al funcţiei de transfer a sistemului discretizat Hd(z) pornind de la funcţia de transfer a sistemului continuu Hc(s). Această metodă de discretizare are o aplicabilitate deosebită în sistemele automate deoarece ea se aplică întotdeauna pentru discretizarea părţii fixe a buclei de reglare. Din Fig. 4.2. se observă că putem îngloba partea fixă continuă într-un subsistem discret. Pentru aceasta CAN care are ca intrare eroarea sistemului e(t) = r (t) - yc(t) se poate “distribui” către referinţa r(t) şi către mărimea de ieşire yc(t), obţinându-se sistemul din Fig. 4.7.

R(s) r(t)

HR(z)ARN

HF(s) U(s) u(t)

Yc(s) yc(t)

P(s) p(t)C A N

CNA

Z{E(s)} {e(kTe)}

U(z) {u(kTe)}

Sistem discret

C A N

Z{R(s)} {r(kTe)}

Z{Yc(s)} {yc(kTe)}

Fig. 4.7. SRA hibrid

Sistemul din Fig. 4.7 este echivalent cu sistemul discret din Fig. 4.8.

R(s) r(t)

HR(z)ARN

HdF(z)

Z{P(s)} {p(kTe)}

Z{E(s)} {e(kTe)}

U(z) {u(kTe)}

C A N

Z{R(s)} {r(kTe)}

Z{Yc(s)} {yc(kTe)}

Fig. 4.8. Echivalentul discretizat al SRA continuu

4 - 6

Extrapolatorul de ordinul 0, care transformă secvenţa discretă de intrare într-o mărime analogică continuală, constantă pe porţiuni, este chiar convertorul numeric-analogic CNA. Prin compararea celor două arhitecturi, obţinem:

( ) ( ){ } ( ) ( ){ }sHsHZsHsHZ)z(H EOZFCNAFdF ⋅=⋅= (4.12)

Pentru a calcula funcţia de transfer a extrapolatorului de ordinul 0, calculăm răspunsul la impuls discret al acestuia şi obţinem:

CNA (EOZ)

Te 2Te-Te -2Te Te 0 0

1 1

{uk} y(t)

-Te

{uk} u(t)

t t

Fig. 4.9. Răspunsul la impuls al CNA (extrapolator de ordin zero)

Din Fig. 4.9 se observă că răspunsul la impuls al extrapolatorului de ordin zero este

( ) { }se1e

s1

s1)t(hL)s(HTt1)t(1)t(h)t(y

ee

sTsT

EOZe

−− −

=⋅−==⇒−−==

( )se1sH

esT

CNA

−−= (4.13)

Introducând (4.13) în (4.12) obţinem:

( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )

⋅−=

−

⋅=⋅= −−

ssHZz1

se1sHZsHsHZ)z(H F1

sTFCNAFdF

e (4.14)

Se observă identitatea relaţiei (4.14) cu (4.11). Din această cauză metoda aceasta de discretizare se mai numeşte “cu considerarea extrapolatorului de ordinul 0 la intrarea instalaţiei continue”, lucru întâlnit în realitate în conducerea cu calculatorul a instalaţiilor continue.

Mai jos se prezintă un program MATLAB pentru testarea acestei metode de discretizare: sysc=tf(1,[1,1,1]); % se construieste sistemul continuu te=.5; % perioada de esantionare % se discretizeaza sistemul continuu sysd=c2d(sysc,te,’zoh’); [numd,dend]=tfdata(sysd,’v’); % se calculeaza raspunsul la impuls continuu si discret [yc,tc]=impulse(sysc); [yd,xd]=dimpulse(numd,dend); figure(1);plot(tc,yc/te);hold; td=0:te:te*(length(yd)-1); plot(td,yd,’o’);title(‘Raspuns la impuls’);hold; % se calculeaza raspunsul la treapta continua si discreta [yc,tc]=step(sysc); [yd,xd]=dstep(numd,dend); figure(2);plot(tc,yc);hold; td=0:te:te*(length(yd)-1); plot(td,yd,’o’);title(‘Raspuns la treapta’);hold;

Din figura de mai jos se observă identitatea răspunsurilor indiciale şi faptul că răspunsurile pondere (la impuls) sunt diferite.

4 - 7

Fig. 4.10. Răspunsurile pondere şi indiciale ale sistemului continuu şi a celui discretizat

4.4.1.2. Reprezentarea de stare a sistemului discretizat

Sistemul continuu )s(HF este descris de ecuaţiile de stare forma: ( ) ( ) ( )

( ) ( )

+=+=

tDutCxytButAxtx&

(4.15)

Răspunsul general al sistemului la intrarea u(t) va fi (Obs. Indicele i înseamnă indicial):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0t

t

tA0c

ttAic

t

t

tA0c

ttAc

tt,)t(uDduBeCtxeCty

duBetxetx

0

0

0

0

≥

⋅+τ⋅τ⋅⋅⋅+⋅⋅=

τ⋅τ⋅⋅+⋅=

∫

∫

τ−−

τ−−

(4.16)

În cazul în care sistemul este comandat de un calculator de proces, atunci u(t) va fi un semnal constant pe porţiuni de forma:

( ) ( ) ( ) eee T1ktTk,Tkutu~ ⋅+<≤⋅⋅= (4.17) În (4.16) considerăm:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )

[ ) ( )( ) ( ) ( ) ( )∫

∫

α⋅α+⋅⋅⋅+⋅⋅=⋅+⇒

∈αα+⋅=τ

τ⋅τ−⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅+⇒

⋅+=⋅=

α−

⋅+

⋅

τ

e

ee

e

e

e

T

0e

TAec

ATec

e

e

T1k

Tke

Aec

ATec

e

e0

dTku~BeTkxeT1kxT,0Tk

dT1ku~BeTkxeT1kxT1kt

Tkt

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

⋅⋅+⋅⋅=⋅

⋅⋅

α⋅⋅+⋅⋅=⋅+ ∫ α−

)Tk(uDTkxCTky

TkudBeTkxeT1kx

eeceic

e

T

0

TAec

ATec

e

ee

(4.18)

Sistemul echivalent discret este de forma:

⋅+⋅=⋅+⋅=+

kdkdk

kdkd1k

uDxCyuBxAx

(4.19)

Comparând (4.18) cu (4.19) observăm că modelul discretizat al sistemului continuu este descris de:

==

τ⋅⋅=

=

∫ τ

⋅

DDCC

,dBeB

eA

d

dT

0

Ad

TAd

e

e

(4.20)

4 - 8

După cum se cunoaşte, răspunsul ponderal al sistemelor este: ( ) BeC)0(xeCty At

cAt

pc ⋅⋅+⋅⋅= (Indicele p înseamnă pondere) (4.21) iar răspunsul indicial este:

( ) ( )∫∫ τ⋅τ=τ⋅⋅⋅= τt

0pc

t

0

Aic dydBeCty (4.22)

Să considerăm răspunsul la impuls al sistemului discret (4.19) şi (4.20). Impulsul discret este caracterizat de:

( )( )

≠==

0k,0ku10u

(4.23)

( ) ( )( ) ( ) ( ) d

1nd0

ndnnpd

d1n

d0n

d1nd1nd1ndn

dd0d2

1d1d1d2

d0d0d0d1

kdkd1k

BACxACuDxCny

BAxAxAuBxAx.....

BAxAxAuBxAxBxAuBxAx

uBxAx

⋅⋅+⋅⋅=⋅+⋅=

⋅+⋅=⋅=⋅+⋅=

⋅+⋅=⋅=⋅+⋅=+⋅=⋅+⋅=

⇒⋅+⋅=

−

−−−−

+

Din (4.21) se obţine că: ( ) ( ) BeC0xeCTny ee TnA

cTnA

epc ⋅⋅+⋅⋅=⋅ ⋅⋅⋅⋅ (4.24) Utilizând (4.20) se obţine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ τ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅= τ−⋅⋅−e

ee

T

0

A1nTA0

nTAd

1nd0

ndpd dBeeCxeCBACxACny

( ) ( ) BdeeCxeCnye

ee

T

0

A1nTA0

TnApd ⋅

τ⋅⋅⋅+⋅⋅= ∫ τ−⋅⋅⋅ (4.25)

Comparând (4.24) cu (4.25), rezultă că răspunsul ponderal continuu calculat la momentele de eşantionare nu poate fi egal cu răspunsul ponderal al sistemului discretizat decât în cazul în care:

e

eTA

T

0

A ede ⋅τ =τ⋅∫ (4.26)

Dacă aproximăm integrala din relaţia (4.26) prin

e

eTA

e

T

0

A eTde ⋅τ ⋅≅τ⋅∫

atunci relaţia (4.26) se poate obţine prin divizarea răspunsului la Te. Putem vizualiza acest lucru modificând în programul anterior comanda de afişare a răspunsului continuu în [yc,tc]=impulse(sysc); figure(1);plot(tc,yc/te);hold;

4 - 9

4.4.1.3. Discretizarea sistemelor prin identitatea răspunsului ponderal continuu (la intrare impuls Dirac δ(t)) cu răspunsul ponderal discret (la intrare impuls discret δ (k))

Un SLIT continuu, caracterizat de funcţia de transfer continuă Hc(s) se poate discretiza astfel încât răspunsul său ponderal la momentele de eşantionare să coincidă cu răspunsul ponderal discret:

Hc(s)

Hd(z)

u(t)= δ(t)

{uk}={δ(k)}

Yc(s)yc(t)

Te Y*c(s)

{yc(kTe)}

Yd(z){yd(k)}

Fig. 4.11. Discretizarea sistemului continuu cu metoda identităţii răspunsurilor pondere continue şi discrete

Considerăm semnalele:( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=⇒=⇒==⇒=⇒δ=

zHzY1zUk1kusHsY1sUttu

dd

cc

Relaţia (4.10) se mai scrie: ( ) ( ) ( ){ } ( ){ }sHZsYZzHzY ccdd ===

( ) ( ){ } ( )( )

∑

⋅−⋅ξ==

ξ ⋅ξ−c

eHpolii T1ccdez1

1HzResHZzH (4.27)

Relaţia (27) stabileşte modul de calcul al funcţiei de transfer a sistemului discretizat Hd(z) pornind de la funcţia de transfer a sistemului continuu Hc(s) prin metoda răspunsului invariant la impuls.

Programul MATLAB anterior va suferi modificarea: sysd=c2d(sysc,te,'imp');

Prin raţionamente asemănătoare cazului anterior, modificăm o comandă în: [yc,tc]=step(sysc); [yd,xd]=dstep(numd,dend); figure(2);plot(tc,yc/te);hold;

Se observă că, de data aceasta, modificarea se face în răspunsul la intrare treaptă. Pe măsură ce perioada de eşantionare scade, răspunsul indicial discret se depărtează de cel continuu.

4 - 10

Printre proprietăţile acestei metode de discretizare enumerăm:

- )z(Hd are acelaşi răspuns la impuls ca )s(Hc ; - Dacă )s(Hc este stabilă, atunci şi )z(Hd este stabilă; - )z(Hd nu păstrează răspunsul în frecvenţă al lui )s(Hc . Concluzionăm că există metode de discretizare care folosesc substituţia esTez = (metoda

răspunsului invariant la impuls sau la treaptă) într-o integrală de forma:

( ) ( ){ } ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

ξ⋅ξ=ξ

ξ=ξ

⋅−⋅ξ== ∑

ξ⋅ξ−

treaptalairaspunsulumetoda,1HX

impulslairaspunsulumetoda,HXez1

1XzResHZzH

cc

cc

XpoliiT1ccd

ce

4.4.2. Dicretizarea sistemelor prin substituţii directe (transformări biliniare)

Aceste metode se bazează pe aproximarea esTez = prin forme raţionale. Aceste metode sunt bidirecţionale în sensul că se poate trece de la )s(Hc la )z(Hd dar şi invers. Substituţiile pentru s respectiv z sunt funcţii raţionale în variabila complementară (z respectiv s). 4.4.2.1. Discretizarea sistemelor prin substituţia Tustin (aproximarea integralei cu metoda trapezelor)

Pornim de la substituţia binecunoscută din relaţia (4.6) în care dezvoltăm în serie Taylor exponenţiala şi o aproximăm până la ordinul 1:

1z1z

T2s

1z1z

2T

s

2T

s1

2T

s1z

2T

s1

2T

s1

e

eeeez

e

e

e

e

e

e

2Ts

2Ts

2Ts

2TssT

e

eee

e

+−

⋅≅⇒+−

≅⇒−

+≅

−

+≅=⋅==

−

Substituţia Tustin se scrie sub formele

+−

⋅=

+−

⋅=

−

−

1

1

e

e

z1z1

T2s

1z1z

T2s

(4.28)

4 - 11

Folosind subtituţia Tustin, un sistem continuu caracterizat de funcţia de transfer )s(Hc se discretizează sub forma:

1

1

e

cd

z1z1

T2s)s(H)z(H

−

−

+−

⋅== (4.29)

La aceeaşi substituţie se ajunge dacă operatorul complex de integrare s1 este tratat în domeniul

timp. Obţinem astfel:

1s

( ) ( )∫ ττ=t

0dutyU(s)

u(t)

H(z) Z{U(s)}{u(kTe)}

Z{Y(s)}{y(kTe)}

Fig. 4.11. Aproximarea integralei printr-o funcţie raţională H(z)

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]

( ) ( )( )[ ]

( ) ( ) ( )( )[ ]( ) ( ) ( )( )[ ]ee

eee2k

0iee

ee

1k

0iee

ee

1k

0iee

eTk

0e

t

0

T1kuTku2

T)T1k(y)Tk(y

T1iuTiu2

T)T1k(y

T1iuTiu2

T)Tk(y

T1iuTiu2

Tdu)Tk(ydu)t(y

e

⋅−+⋅⋅≅⋅−−⋅⇒

⋅++⋅⋅≅⋅−

⋅++⋅⋅≅⋅

⋅++⋅⋅≅ττ=⋅⇒ττ=

∑

∑

∑∫∫

−

=

−

=

−

=

⋅

Din relaţiile de mai sus, obţinute prin formula trapezelor, se obţine că:

[ ] { } { } { } { }[ ]

( ) [ ] ( ) ( )( ) 1

1

e1

1e

1e11e1

1kke

1kk1kke

1kk

z1z1

T2s

s1

z1z1

2T

)z(U)z(YzH

)z(Uz12

Tz1)z(Y)z(Uz)z(U2

T)z(YzzY

uu2

Tyyuu2

Tyy

−

−

−

−

−−−−

−−−−

+

−⋅↔⇒↔

−

+⋅==

⋅+⋅=−⋅⇒⋅+⋅=−

+⋅≅−⇒+⋅≅−

(4.30)

Se observă că relaţia (4.30) are aceeaşi formă cu (4.29). Programul MATLAB de simulare a răspunsurilor la semnale tip se modifică doar prin

schimbarea metodei de discretizare: sysd=c2d(sysc,te,'tustin');

Pentru Te = 0.5 sec, se obţin răspunsurile

4 - 12

Pentru Te = 0.1 sec, se obţin răspunsurile

Se observă că, pe măsură ce perioada de eşantionare scade, răspunsul la impuls discret

distorsionează foarte mult, dar cel la treaptă se apropie de cel continuu.

4.4.2,2. Discretizarea sistemelor prin metoda aproximării integralei cu metoda dreptunghiurilor cu diferenţe înapoi (Backward Rectangular)

Folosind acelaşi raţionament ca la substituţia Tustin, dar înlocuind metoda de aproximare prin dreptunghiuri în loc de trapeze, putem scrie:

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )( )( ) ( )( )eeee2k

0ieee

1k

0ieee

1k

0iee

Tk

0e

t

0

T1kuTT1ky)Tk(yTiuT)T1k(y

TiuT)Tk(y

TiuTdu)Tk(ydu)t(ye

⋅−⋅≅⋅−−⋅⇒

⋅⋅≅⋅−

⋅⋅≅⋅

⋅⋅≅ττ=⋅⇒ττ=

∑

∑

∑∫∫

−

=

−

=

−

=

⋅

Relaţia de mai sus se mai scrie: { } { } { }

( ) ( )( ) ( )1z

T1

zz1

T1s

s1

z1zT

)z(U)z(YzH

)z(UzTz1)z(Y)z(UzT)z(YzzY

uTyyuTyy

e1

1

e1

1

e

1e

11e

11ke1kk1ke1kk

−⋅=−

⋅↔⇒↔−

⋅==

⋅⋅=−⋅⇒⋅⋅=−

⋅≅−⇒⋅≅−

−

−

−

−

−−−−

−−−−

(4.31)

Funcţia de transfer a sistemului discretizat cu această metodă este de forma:

( )1zT1s)s(H)z(H

e

cd −⋅== (4.32)

4.4.2.3. Discretizarea sistemelor prin metoda aproximării integralei cu metoda dreptunghiurilor cu diferenţe înainte (Forward Rectangular)

Se procedează la fel ca la metoda anterioară cu singura excepţie că se folosesc valorile la pasul k+1 pentru a calcula aria de la pasul k.

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )( )( ) ( )eeee1k

1ieee

k

1ieee

k

1iee

Tk

0e

t

0

TkuTT1ky)Tk(yTiuT)T1k(y

TiuT)Tk(y

TiuTdu)Tk(ydu)t(ye

⋅⋅≅⋅−−⋅⇒

⋅⋅≅⋅−

⋅⋅≅⋅

⋅⋅≅ττ=⋅⇒ττ=

∑

∑

∑∫∫

−

=

=

=

⋅

Relaţia de mai sus se mai scrie:

4 - 13

{ } { } { }( ) ( )( ) ( )

z1z

T1z1

T1s

s1

z11T

)z(U)z(YzH

)z(UTz1)z(Y)z(UT)z(YzzY

uTyyuTyy

e

1

e1e

e1

e1

ke1kkke1kk

−⋅=−⋅↔⇒↔

−⋅==

⋅=−⋅⇒⋅=−

⋅≅−⇒⋅≅−

−−

−−−−

(4.33)

Funcţia de transfer a sistemului discretizat cu această metodă este de forma:

z1z

T1s)s(H)z(He

cd −⋅== (4.34)

Folosirea acestei metode nu este indicată deoarece se obţin de obicei sisteme anticauzale. 4.5. Simularea sistemelor hibride

În cele ce urmează ne propunem să facem o comparaţie între diferitele metode de discretizare. Vom propune pentru implementare 3 modele Simulink: unul continuu, unul discret provenit din cel continuu prin discretizare cu diferite metode şi unul hibrid.

Un program MATLAB ne oferă posibilitatea de a discretiza subsistemele continue folosind diferite metode de discretizare.

te=.1; %perioada de esantionare numr=[1,1];denr=[1,0]; % regulatorul continuu numf=1;denf=[1,.1]; % partea fixa continua syscr=tf(numr,denr); syscf=tf(numf,denf); sysdr=c2d(syscr,te,'imp'); % regulatorul discretizat sysdf=c2d(syscf,te,'tustin'); % partea fixa discretizata [numdr,dendr]=tfdata(sysdr,'v'); [numdf,dendf]=tfdata(sysdf,'v');

Fig. 4.12. Modelul SRA continuu

Fig. 4.13. Modelul SRA discret

Fig. 4.14. Modelul SRA hibrid

4 - 14

Pentru Te = 0.1 şi regulator discretizat prin metoda răspunsului la impuls se obţin următoarele rezultate:

Fig. 4.15. Răspunsurile sistemului continuu, discret şi hibrid

Modificând metodele de discretizare

sysdr=c2d(syscr,te,'tustin'); % regulatorul discretizat sysdf=c2d(syscf,te,'zoh'); % partea fixa discretizata

obţinem rezultatele:

Fig. 4.16. Răspunsurile sistemului continuu, discret şi hibrid

Pentru Te = 1 sec se obţin următoarele rezultate:

Fig. 4.17. Răspunsurile sistemului continuu, discret şi hibrid

Se remarcă înrăutăţirea regimului tranzitoriu (cresc suprareglajele şi apar oscilaţii ascunse).

Putem să sugerăm câteva indicaţii atunci când trecem de la sistemele continue la cele discrete. - Partea fixă se discretizează prin metoda ‘zoh’ (zero-order hold), adică metoda identităţii

răspunsurilor la intrarea treaptă, deoarece corespunde situaţiei reale în care partea fixă continuă este precedată de un CNA.

- Regulatorul se poate discretiza folosind orice metodă. Totuşi, simulările arată că cea mai bună metodă este cea a substituţiei Tustin. Nu se recomandă discretizarea cu metoda identităţii răspunsurilor la intrarea treaptă deoarece nu corespunde realităţii fizice.

- Perioada de eşantionare trebuie aleasă cât mai mică posibilă. Limitările sunt impuse de către viteza de conversie a convertoarelor şi de viteza de calcul a sistemului de calcul.

4 - 15

- Frecvenţa de eşantionare trebuie aleasă cel puţin dublul frecvenţei maxime a spectrului. Se consideră că frecvenţa maximă este cea la care caracteristica amplificare-pulsaţie scade cu 20 – 40 dB faţă de valoarea de regim staţionar.

- Semnalele continue se discretizează numai cu metoda ‘răspunsului invariabil la impuls’, adică:

( ) ( ){ } { }

( ) ( )( )

( )

( )( ){ }

⋅=

⋅−⋅ξ=→

=⋅→

−

ξ−ξ

∑

∑1k

dzUpoliik

T1cUpoliid

rediscretiza

c

ke

rediscretiza

zzUzReuez1

1UzRezUsU:complexdomeniulin

uTkutu:timpdomeniulin

d

ec

- Simularea discretă a unui sistem discret va conduce întotdeauna la fenomenul de aliasing.

Iată un model Simulink care scoate în evidenţă fenomenul de aliasing.

Fig. 4.18. Experiment Simulink pentru evidenţierea fenomenului de aliasing

Într-o primă simulare, se aleg frecvenţele generatoarelor de semnal astfel încât ele să difere printr-un multiplu întreg al frecvenţei de eşantionare:

f1=2*pi*1+2*pi*2/te f2=2*pi*1

Fig. 4.19. Ilustrarea fenomenului de aliasing

Din figura de mai sus se observă că nu se poate face distincţie între semnalele de intrare.

Implicit şi semnalele de ieşire vor fi identice. În cea de-a doua simulare, diferenţa între frecvenţe nu va mai fi un multiplu întreg al

frecvenţei de eşantionare. f1=2*pi*1+2.2*pi*2/te f2=2*pi*1

4 - 16

După cum se observă din Fig. 4.20, atât semnalele de intrare cât şi cele de ieşire vor fi complet diferite.

Fig. 4.20. Dispariţia fenomenului de aliasing la modificarea frecvenţelor

Un ultim experiment va evidenţia faptul că, pentru discretizarea semnalelor, se va folosi

numai metoda ‘impulse’, adică a răspunsurilor identice la impuls. Pentru aceasta, vom considera transformata Laplace a unui semnal sinusoidal continuu:

( ) ( ) ( ) 22ssUtsintu

ω+

ω=⇒ω=

Vom considera U(s) ca fiind o funcţie de transfer a unui sistem şi, evident, u(t) va fi răspunsul la impuls al acestui sistem. Evident, U(s) se poate discretiza folosind atât metoda răspunsurilor identice la impuls cât şi o transformare biliniară, de exemplu substituţia Tustin.

Putem implementa atât un program MATLAB pentru calculul secvenţei discrete, cât şi un model Simulink:

te=.4;fe=1/te; % w=2*pi*(f+1*fe); w=2*pi*f; num=w;den=[1 0 w^2]; sysc=tf(num,den); % Sistemul continual sysd_imp=c2d(sysc,te,'imp'); % Sistemul dicsretizat cu 'imp' sysd_tustin=c2d(sysc,te,'tustin'); % Sist. dicsretizat cu 'tustin' [numd_imp,dend_imp]=tfdata(sysd_imp,'v'); [numd_tustin,dend_tustin]=tfdata(sysd_tustin,'v'); [y_imp,x]=dimpulse(numd_imp,dend_imp,100); [y_tustin,x]=dimpulse(numd_tustin,dend_tustin,100); bar(y_imp,1,'w');hold;bar(y_tustin,1,'r');hold;

După cum se observă, cu ajutorul acestui program MATLAB putem modifica frecvenţa semnalului astfel încât să putem observa dacă fenomenul de aliasing mai apare în urma celor două tipuri de discretizări. La frecvenţa iniţială f putem adăuga multipli ai frecvenţei de eşantionare. Modelul Simulink corespunzător acestui program este:

Vom scoate în evidenţă 2 ipostaze corespunzătoare la 2 tipuri de semnale sinusoidale:

4 - 17

( ) ( )( ) [ ]( ) sec12.0T,

tff2sintutf2sintu

ee2

1 =

⋅+π=⋅π=

Rezultatele obţinute sunt prezentate în figurile următoare:

Se observă cum semnalul discretizat cu metoda răspunsului la impuls este insensibil la modificarea frecvenţei cu multipli întregi ai frecvenţei de eşantionare pe când semnalul discretizat cu substituţia Tustin se modifică atât în amplitudine cât şi în faza.

Este evident deci că toate semnalele se vor discretiza cu metoda substituţiei esTez = , adică prin utilizarea unui element eşantionator aşa cum în practică este CNA.