Sisteme de reglare automată în cascadă

1

Cap. 4. Sisteme de reglare automată în cascadă

Sistemele de reglare automată în cascadă (prescurtat, SRA-csd) sunt sisteme de reglare după mărimea de ieşire (reacţia principală) şi reacţii interne după mărimi interioare accesibile măsurărilor (eventual cu evoluţie estimabilă).

4.1. Structura de sistem de reglare automată în cascadă SRA-csd este o structură de reglare care are la bază structura de sistem de reglare automată convenţională (SRA–c, buclă de reglare). Reglarea în cascadă se utilizează atunci când:

- procesul poate fi “zonat” (descompus) pe subsisteme (subprocese) fiecare cu una/două constante de timp mari separate prin mărimi intermediare uşor măsurabile;

- procesul conţine mai multe constante de timp mari, când în locul complicării structurii RG se preferă complicarea structurii SRA.

În fig.4-1 este prezentată o exemplificare pentru situaţia în care procesul are o mărime interioară accesibilă măsurărilor şi poate fi zonat pe două subsisteme cu constante de timp mari.

Fig.4-1. Proces cu o mărime interioară uşor accesibilă măsurărilor.

Reglarea în cascadă are caracteristic controlul simultan al mai multor mărimi din cadrul procesului, cu următoarele avantaje (simultan şi efecte):

- posibilitatea reducerii timpului de reglare tr; - posibilitatea reducerii efectelor perturbaţiilor care acţionează asupra PC; aceste efecte

sunt anihilate locale de către buclele interioare ale SRA – csd; - reglarea şi posibilitatea limitării simultane a variaţiei unor mărimi interioare ale PC; - posibilitatea utilizării RG tipizate în conducerea buclelor locale, a căror proiectare

algoritmică este mai uşoară (transparentă); - punerea în funcţiune, exploatarea, întreţinerea şi supervizarea mai uşoare; - reacordarea mai uşoară a buclelor de reglare, eventual adaptarea mai uşoară a

parametrilor RG în timpul funcţionării.

Schema bloc a unui SRA-csd este exemplificată în fig.4-2 pentru două bucle. Bucla interioară poate avea mai multe constante de timp mari (de preferat nu mai mult de două) care pot fi compensate de câte un RG aferent.

Ulterior proiectării, în relaţia intrare (r1)-ieşire (z1) bucla interioară se comportă ca un subsistem caracterizat prin constante de timp echivalente mici, fig.4-3. Ca urmare regulatorul exterior, considerat regulator principal, va conduce procesul (bucla interioară proiectată) cu comportare mai uşor proiectabilă sau optimizabilă.

Fig.4-2. Schema bloc a unui SRA-csd cu două bucle.

Fig.4-3. Schema bloc echivalentă aferentă unui SRA-csd cu bucla interioară echivalată.

Observaţii: 1. În cazul conducerii numerice, fig.4-4, în structura DC RG-1/a.r.n.-1, RG-2 /a.r.n.-2 sunt prezente modulele informaţionale de interfaţare DC <–> PC de a căror prezenţă se va ţine seama in proiectare. 2. Din motive practice, numărul buclelor de reglare din cadrul unui SCA-csd nu trebuie să depăşească 3 (4). Mai mult, numărul regulatoarelor cu componentă derivativă utilizate in cadrul unui SCA-csd trebuie să fie cât mai redus (1, maxim 2). Prezenţa unui număr mărit de componente derivative măreşte posibilitatea intrării in saturaţie a regulatoarelor.

Fig.4-4. Schema bloc echivalentă a unui SRA-csd cu DC numerică.

4.2. Proiectarea algoritmică a sistemelor de reglare automată în cascadă

Proiectarea SRA-csd se derulează întotdeauna începând cu bucla cea mai interioară şi se continuă, pas cu pas, către buclele exterioare. Principial se pot utiliza oricare din metodele de proiectare considerate adecvate la nivelul fiecărei bucle. Pot apare probleme de proiectare atunci când separarea PC pe subprocese nu este completă şi există interconexiuni între subprocese, de exemplu de tip reacţie, fig.4-5.

Astfel de interconexiuni pot fi tratate în diferite moduri; de exemplu:

- reconsiderarea informaţională a MM aferent celor două subprocese pe baza regulilor algebrei schemelor bloc; în cazul menţionat, transformările vor fi astfel încât reacţia să fie scoasă în afara conexiunii;

- există situaţii când interconexiunea poate fi izolată şi considerată ca perturbaţie externă; in cazul de faţă acţiunea mărimii intermediare p asupra PT1 va fi tratată ca perturbaţie, efectul ei urmează a fi anihilat de bucla locală, interioară;

2

Sisteme de reglare automată în cascadă

3

- tipul de regulator de utilizat în cadrul fiecarei bucle depinde de repartizarea constantelor de timp mari ale procesului.

Fig.4-5. Procese cu interconexiuni (variantă).

Bucla interioară proiectată se manifestă în bucla imediat următoare ca un subsistem caracterizat prin f.d.t. echivalentă; in faza de proiectare eaeste adeseori simplificabilă la un MM de ordin mai redus. De exemplu, dacă o buclă interioară a fost proiectată cu criteriul modulului (MO-m) sau cu criteriul optimului simetric (SO-m), atunci f.d.t. optimizată aferentă buclei optr sH )( poate fi considerată în

bucla imediat următoare prin intermediul unei f.d.t. de aproximare )(~ sH r , tabelul 4-1.

Tabelul 4-1. Posibilităţi de a considera f.d.t. aferentă unei bucle interioare în manieră simplificată.

Criteriul de acordare

De bază Cu filtru de corecţie

F.d.t. echivalentă buclei proiectate

optr sH )(

F.d.t. de aproximare )(~ sH r

CM - 2222111

sTsTk M ΣΣ ++⋅

sTkM Σ+⋅

2111

(4-1)

PT1 )421)(21(11

22 sTsTsTkM ΣΣΣ +++⋅

sTkM Σ+⋅

4111

(4-2)

CS PD2T2

(PT || DT1) )1)(21(11

sTsTkM ΣΣ ++⋅

sTkM Σ+⋅

3111

(4-3)

În cazul menţionat, aproximările pot fi justificate mai degrabă semi-empiric utilizând ideea că sistemul de bază şi cel simplificat realizează aproximativ un acelaşi timp de reglare, fig.4-6.

Fig.4-6. Diferenţe în răspunsul indicial între comportarea sistemului real şi cel de aproximare.

Raţionamentul este mult simplificat şi – din acest motiv – ulterior se pot constata diferenţe între comportarea scontată a SRA şi comportarea ulterioară, real dovedită (testată chiar prin simulare). O analiză mai detaliată, dezvoltată în domeniul pulsaţie şi focalizată în primul rând la domeniul din jurul pulsaţiei de tăiere, poate evidenţia diferenţele dintre sistemul real şi cel de aproximare.

Observaţii: 1. Prezenţa inversului coeficientului de transfer al elementului de măsură (EM), , se explică prin faptul că mărimea după care se realizează proiectarea este mărimea de măsură y(t) iar mărimea de interconexiune este mărimea z(t):

1−Mk

)(1)( tyk

tzM

⋅= . (4-4)

2. Acceptarea simplificării MM aferent buclelor mai interioare trebuie verificată şi confirmată prin simulare utilizând în acest scop MM reale, detaliate, ale procesului.

4.3. Probleme speciale legate de analiza comportării SRA în cascadă

De structurile de SCA-csd se pot conecta o multitudine de probleme colaterale, atât cu caracter teoretic cât şi cu conotaţii practice. Astfel:

1. În cazul proiectării şi realizării unor SRA-csd cu DC în timp discret pot apărea două variante de bază:

- Varianta hibridă, când – de obicei – bucla (cea mai) interioară este analogică şi cea exterioară este numerică; în acest caz tratarea generală a problemei se supune cunoştinţelor generale de tratare a diferitelor categorii de SRA.

- Varianta în care toate buclele de reglare sunt numerice; în acest caz tratarea problemei se supune cunoştinţelor generale de tratare a SRA numerică.

2. În cazul funcţionării SRA-csd la variaţii mari ale mărimilor de intrare (ale referinţei r(t) sau perturbaţiilor vv(t) localizate în diferite puncte ale procesului), pot apare situaţii de intrare în limitare a ieşirii unora dintre regulatoarele interioare din compunerea SRA-csd. Ele trebuie tratate în funcţie de situaţia concretă creată. Astfel: - Caracterizarea comportării SRA-csd la limitarea comenzii RG principal din fig.4-2; 11 ru = este

comanda care acţionează asupra buclei interioare (unei bucle interioare); în aceste condiţii acţiunea conexiunii inverse din bucla exterioară este suspendată temporar, comanda obţinând valoarea constantă, . Pentru caracterizarea comportării SRA este valabilă schema din fig.4-7, z

const11 == ru1(t) şi corespunzător z(t) evoluând (temporar) relativ la o referinţă constantă.

Fig.4-7. Reconsiderarea comportării buclei interioare în situaţiile de limitare.

Evoluţia mărimilor z1(t), z(t) şi u(t) poate fi caracterizată de relaţii în care r1(t) se va considera ca având o variaţie treaptă:

satr rs

sHsz 111)()(

1⋅⋅= ,

satPTr rs

sHsHsz 1211)()()( ⋅⋅⋅= şi sat

PR

R rssHsH

sHsu 111

1 1)()(1

)()( ⋅⋅⋅+

= . (4-5)

- Caracterizarea comportării SRA-csd la limitarea comenzii la nivelul regulatorului interior (de exemplu, R1); mărimile z1, z şi u evoluează după dependenţe în care u1(t) se va considera ca

4

Sisteme de reglare automată în cascadă

5

având o variaţie treaptă:

satPTE us

sHsHsz ⋅⋅⋅=1)()()( 11 , satPTPTE u

ssHsHsHsz ⋅⋅⋅⋅=

1)()()()( 21 . (4-6)

În regimurile de limitare problemele cele mai delicate care apar se referă însă la stabilitatea sistemului.

3. Caracterizarea comportării SRA-csd în regim staţionar constant (RSC). Dacă SCA-csd este bine dimensionat, el se va menţine în regimul liniar de funcţionare chiar şi în condiţiile acţiunii simultane a mai multor perturbaţii (v1, v2, ...); nivelul acestora nu trebuie să depaşească anumite limite. În aceste condiţii, pentru caracterizarea coportării în RSC se pot scrie dependenţele de RSC între diferitele mărimi caracteristice ale SRA, pentru diferite regimuri de încărcare. Pe baza acestor informaţii se pot apoi dimensiona:

- informaţional şi functional-constructiv blocurile componente ale SRA, - nivelele de limitare din cadrul SRA.

4.4. Exemplu de proiectare a unui sistem de reglare automată în cascadă Se consideră procesul caracterizat prin schema bloc din fig.4-8; mărimea intermediară z1(t) este accesibilă măsurărilor. Procesul va fi condus printr-o structură de SRA-csd după mărimea z1(t) (bucla interioară) şi z(t) (bucla exterioară).

Fig.4-4. Exemplu de proiectare.

Se cere rezolvarea următoarelor probleme:

(1) Cele două regulatoare ale SRA în cascadă, R1 şi R, se vor proiecta astfel încât: - ambele bucle (dar cel puţin cea exterioară) să fie astatice, 0=γ n ; - bucla interioară să aibă o comportare puţin oscilantă; - bucla exterioară să asigure un suprareglaj de valoare cât mai redusă la o rezervă de fază φr de

valoare convenabilă.

(2) Cunoscând valorile nominale r∞ = 6 şi v∞ = 250, se vor determina valorile de regim stationar constant (VRSC) din sistem; apoi, folosind valorile u∞ şi u1∞ calculate, se vor fixa nivelele de limitare ale regulatoarelor la valorile 1.5u1∞ respectiv 2u∞.

(3) Să se prezinte două soluţii de implementere a RG proiectate algoritmic: - o variantă ca FA cu AO, la care RG să prezinte parametri decuplabili; - o variantă cvasicontină care să includă şi măsura AWR.

Soluţie: (1) Proiectarea regulatoarelor. F.d.t. aferente PC sunt următoarele:

01,0)(,10)(,)21)(5.01(

10)( 11 ==++

= sHsHss

sH MEEPT ,

sec5,0sec,2,1cu,)21)(5.01(

1)( 1121111 ====++

= ΣTTTkss

sH PPC ,

01,0,5.01)( 22 == MPT H

ssH .

Mărimea z1(t) fiind măsurabilă, soluţia de SRA-csd este avantajoasă.

• Proiectarea buclei interioare. Ţinând seama de condiţiile impuse şi de forma f.d.t. HPT1(s), RG aferent buclei interioare se poate acorda după criteriul modulului, varianta CM-2. RG aferent este de tip PI:

sec2,15,012

12

1cu),1()( 1111

111

1

1 ===⋅⋅

=⋅

=+=Σ

TTTk

ksTs

ksH r

prr

rR ;

rezultă:

22211 5.01

1221

1)(1 sssTsT

sH optr ++=

++=

ΣΣ

şi 01.02 =Mk

• Proiectarea buclei exterioare. Ţinând seama de recomandările din tabelul 4-1, bucla interioară se aproximează prin f.d.t. simplificată:

ssTk

sHM

optr +=

⋅+⋅=

1100

2111)(~

1

1.

Apoi se poate calcula f.d.t. echivalentă procesului interior rezultat, HP(s):

)1(

201,05,01)(~)(

1 ssssHsH optrP +

=⋅⋅

⋅= , cu 2=Pk şi 1=ΣT .

Regulatorul adoptat va fi de tip de tip PI, cu parametri acordaţi după Criteriul Optimului Simetric Extins (ESO-m). F.d.t. a regulatorului este:

)1()( rr

R sTs

ksH += .

Pentru o rezerva de fază impusă φr ≈ 55o, fig.9.5.4-1, rezultă valoarea parametrului β, β ≈ 9 şi corespunzător se calculează parametrii regulatorului principal:

02,012/3 =

⋅⋅β=

Σ Pr kT

k , 9=β= ΣTTr .

Performanţele realizabile sunt: , %351 ≈σ sec22≈rt , fig.9.5.4-1. Acceptând că referinţa se modifică lent, nu se utilizează filtru de referinţă . )(sFr

(2) Calculul VRSC. Ambele regulatoare fiind de tip PI, se obţine: ,00 ∞∞∞∞∞ =⇔=−⇒=ε ryyr ∞∞∞ =⇒=ε 111 0 ur şi ∞∞∞∞ =⇔=− 1111 0 yuyr . Celelalte relaţii de RSC se explicitează pe bază schemei bloc:

.01.0,10,10

,0,0,01.01

111

1

∞∞∞∞∞∞

∞∞∞∞∞∞

⋅=⋅=⋅=

==−=⋅=

zyummz

puzpyz

Înlocuind VRSC cunoscute r∞ = 6 şi v∞ = 250, rezultatele vor fi următoarele:

6

Sisteme de reglare automată în cascadă

7

.5.2255.2250

5,2;600,6

11

11

========

∞∞∞∞

∞∞∞∞

umyzyuzy

Considerând v∞ = 0 se poate construi caracteristica de prescriere a SRA-csd, fig.4-9.

Fig.4-9. Caracteristica de prescriere.

Dependenţele ieşire-intrări ale sistemului sunt date de relaţiile:

∞∞∞∞∞∞ ⋅+⋅=⋅+⋅= vrzvry 0100

1,01 .

Calculul valorilor de limitare pe ieşirile regulatoarelor: V 75.35.25.15.1,V 52 111 =⋅=⋅==⋅= ∞∞ uuuu L .

(3) Soluţii de implementare.

• Varianta analogică (variantă simplificată fără includerea măsurii AWR). Schema de realizare în varianta de FA cu AO este prezentată în fig.4-10. Relaţiile de calcul aferente elementelor de circuit sunt imediate:

Fig.4-10. Varianta analogică de realizare a regulatoarelor.

- Regulatorul interior, R1: 2,11111

01

11

111

=≈⋅α

= CRTRRk rr .

Pentru a se asigura şi posibilitatea modificării paramerilor RG se alege α1 ≈ 0.5. Ca urmare, alegând: R11 = 1 MΩ se obţine:

, F 21/2/ 11111 μ=== RTC r Ω=⋅

⋅= M 2

15.011

01R , 1101 10 RkR <<Ω≈ .

- regulatorul principal, R: 9,02.0111

0

1 =≈=⋅α

= CRTRRk rr .

Alegând α = 0.5 şi R1 = 1 MΩ, rezultă: C1 = 9 μF , R0 = 100 MΩ, Rα = 0.01 MΩ < R1 (valoarea R0 este foarte mare). • Soluţie de implementare cvasicontinuă. Ambele regulatoare se discretizează prin metoda trapezelor cu o aceeaşi perioadă de eşantionare, sec05.0=eT . Algoritmii numerici obţin forma:

1,110,1111 −− ε+ε+= kkkk qquu (1) kkk yu ,1,1,1 −=ε (2)

1011,1,1 −− ε+ε+= kkkk qquu (3) kkk yr −=ε (4)

Calculul coeficienţilor, modelarea a.r.n. şi scrierea programului în pseudocod se soluţionează conform paragrafului 9.1.5. Implementarea în varianta dată în paragraful 9.1.5 asigură şi realizarea măsurii AWR.

8