Informatica Clasa 9+10

Clasa 9-a , INFO

1. Notiunea de algoritm

2. Pseudocod. Date. Expresii

3. Instructiuni de intrare/iesire. Atribuirea. AF: interschimbarea a 2 valori

4. Instructiunea de decizie. AF: maximul a doua numere (psp;multimi)

5. Instructiunea CAT TIMP ( xyz; capete; alo; cadouri;sume4;fazanr)

1. AF:Prelucrarea sirurilor cu numar necunoscut de valori (care se incheie cu zero)

2. AF:Calculul CMMDCsi CMMMC (ingerasi)

6. Instructiunea PENTRU (case1; conturi; bancomat;gardul;rachete;prize;vraji;pin;barca;cabina)

1. AF:Prelucrarea sirurilor cu numar cunoscut de valori

2. AF:Divizibilitate. N este prim? (tort;vraji)

7. Instructiunea EXECUTA CAT TIMP (triplu)

1. AF:Prelucrarea cifrelor unui numar natural

8. Care instructiune repetitiva este mai buna?

9. AF: Conversia unui numar natural din baza 10 in baza B

10. AF:Conversia unui numar din baza B in baza 10

11. AF:Sirul lui Fibonacci

Despre …

Ma numesc Chelariu Mihai si sunt profesor de informatica. Intentia mea este de a crea material didactic online pentru uzul elevilor

mei sau a tuturor doritorilor. Sper sa pot acoperi, in timp, intreaga materie.

In meniu, puteti observa sectiunile:

• operare Windows (structura calc, notiuni de retele, foldere, fisiere, linkuri, creare fisiere video cu Movie Maker)

• elemente Internet (situri, motoare de cautare, cercetare Yahoo.com, cercetare Google.com, elemente HTML)

• MS. Office

• MS Office Word

• MS OfficePowerpoint (in lucru)

• MS OfficeExcel (in lucru)

• MS Office Access (in lucru)De asemenea, exista si articole legate de algoritmica si programare (in limbaj C/C++) corespunzatoare cursului de Informatica

aferent claselor 9-11.

Astept observatiile si sugestiile voastre.

http://mchelariu.wordpress.com/2012/09/28/l7-2-care-instructiune-repetitiva-este-mai-buna/

http://campion.edu.ro/arhiva/index.php?page=problem&action=view&id=1215




















http://mchelariu.wordpress.com/2009/08/12/l5-instructiunea-repetitiva-cat-timp/



Multumesc,

Chelariu Mihai

1.

L1. Notiunea de algoritm

Istoric. Definitie

Cuvantul algoritm provine de la numele unui matematician arab (Mohammed ibn-Musa al-Khowarizmi) a carui lucrari au fost

traduse in latina sub numele de Algoritmus.

Definitia actuala a cuvantului algoritm : Ansamblu de simboluri folosite în matematică și în logică, permițând găsirea în mod mecanic (prin calcul) a unor

rezultate. Succesiune de operații necesare în rezolvarea unei probleme oarecare

Din punctul de vederea al informaticii, algoritmul reprezinta rezolvarea etapizata, in pasi mici, elementari, a unei probleme.

Scopul folosirii algoritmului este aplicarea lui la o serie pe probleme care au aceeasi metoda de rezolvare; adica, pentru orice

dateale problemei, algortimul trebuie sa se incheie cu un raspuns.

Un exemplu in acest sens este acuatia de gradul I. Exista o infinitate de ecuatii de gradul I dar toate se subscriu aceleiasi ecuatii

generice A*X+B=0. Algoritmul trebuie sa rezolve aceasta ecuatie generica pentru a obtine rezultate corecte pentru intreaga clasa

se ecuatii de gradul I sau sa anunte eroarea in cazul in care simbolul A ar avea valoarea 0.

Caracteristici

Deducem de aici o serie de proprietati pe care un algoritm corect trebuie sa le indeplineasca:

sa aiba caracter de generalitate: sa rezolve o intreaga clasa de probleme de acelasi gen (pentru orice date de intrare) sa aiba finitudine: sa ofere un raspuns la problema si sa se incheie in timp util sa fie clar: calculul/etapele sa fie descriese intr-o maniera fara dubii

DATE DE INTRARE -> ALGORITM -> DATE DE IESIRE

Reprezentarea algoritmilor

S-au identificat cateva structuri folosite in descrierea unui algoritm:

secventa: pasii sa se execute unul dupa altul testul: in cazul in care rezolvarea trebuie sa raspunda unei intrebari sa putem aplege traseul logic ce trebuie urmat repetitia: sa putem repeta o anumita secventa daca algoritmul o cere

De asemeni, pentru exprimarea algoritmilor s-au incercat metode care sa poata fi intelese de toti. Iata cateve dintre ele: scheme logice: metoda grafica care specifica traseul ce trebuie urmat pseudocod: un set de reguli de scriere , in principiu in limba engleza; pt elevi s-a simplificat, folosindu-se aceleasi notatii

si limba romana (o varianta care se poate folosi in laborator gasiti la http://www.haskell.org/haskellwiki/Rodin/Download) limbaj de programare: mult mai strict ca exprimare dar folosind aceleasi concepte.

Limbajul RODIN – prezentare succintaObs: Nu exista declaratii de variabile

Programul principal

{… instr; …}

Instructiuni de citire/afisare

citeste variabila; scrie expresie; text “…. text…“;

Atribuirea

fie variabila = expresie;

Operatori logici:

SAU, SI,

Instructiune de test

daca (COND) atunci instr altfel instr;

Instructiuni repetitive

cat timp (COND) {instr;…}; executa {inst1; instr2;} atat cat (COND); repeta {instr1; instr2;…} pana cand (COND) pentru (atribuire; test ;pasul urm) {instr;…};

2.

L2. Pseudocod. Date. Expresii

Cuvantul pseudocod provine din pseudo, care inseamna fals, si cod care se refera la textul scris intr-un limbaj de programare.

Deci pseudocod inseamna un asa-zis limbaj de programare.

Pseudocodul foloseste aceeasi operatori si o exprimare la relaxata fata de un limbaj consacrat , care cere rigurozitate.

Pseudocodul, ca orice limbaj, foloseste date, variabile, operatii si instructiuni.

Pentru doritori, va prezint o varianta de pseudocod apropiata de cea din manual, limbajul Rodin a domnului profesor Dan Popa de

la Univeristatea Bacau. In acest fel puteti pigmenta orele de informatica din clasa a 9-a si cu ore de laborator. :)

Date

Datele cu care lucreaza un algoritm (scris in pseudocod) sunt:

valori intregi: 12, -5, 17 valori reale: 3.14, -1005.25, … ; observati ca folosim punct zecimal si nu virgula ca in notatia de la matematica valori logice: adevarat (true) si fals (false) siruri de caractere: “introdu valoarea:”, “rezultatul este:”

Variabile

O variabila este un simbol care se caracterizeaza prin:

nume; se noteaza cu combinatii de litere sau cifre dar intotdeauna primul caracter este litera: a, Beta, nr1, nr2 tip de data: intreg, real, sir de caractere, logic valoare: functie de tipul de data asociat, o variabila poate avea valori din cele de mai sus; valoarea memorata se poate

schimba, de unde si numele de variabila;

Practic, o variabila se comporta ca o cutie ce poate fi folosita doar pentru ceva anume: valorile intregi in cutii pentru valori intregi si

valori reale in cutii pentru valori reale; doar nu puneti zahar intr-o cutie de pantofi. :).

Din acest motiv, la inceputul algoritmului nostru in pseudocod trebuie sa specificam cu ce variabile lucram si ce tip au, ca in

exemplul de mai jos:

intreg m,n

real x,y.z

logic ok, exista, este

Expresii

Expresiile sunt foormate din operatori si operanzi. Formeaza expresie urmatoarele

o variabila variabila operator variabila expresie operator expresie operator expresie (cazul operatorilor unari de genul - (5+3) )

Dintre operatorii folositi vom vorbi acum numai de cei intregi (care se folosesc numai pentru operanzi intregi): semnul ” - ” se foloseste pentru scaderi sau ca operator unar semnul ” + ” se foloseste pentru adunari semnul ” * ” se foloseste pentru inmultiri semnul ” / ” se foloseste pentru impartiri semnul ” % ” se foloseste pentru a obtine restul impartirii primului operand la cel de al doilea

o a % b = restul impartirii lui a la bo a % 2 = restul impartirii lui a la 2, care este 1 daca a este impar si 0 daca a este paro a % 10 = restul impartirii lui a la 10, care este intotdeauna ultima cifra a lui a, cifra unitatilor

prioritatea operatiilor este aceeasi ca in matematica; mai intai inmultirile si impartirile si apoi adunarile si scaderile se pot folosi si paranteze pentru expresiile mai complicate, dar numai perechide paranteze rotunde

http://www.haskell.org/haskellwiki/Rodin

http://www.haskell.org/haskellwiki/Rodin

atentie la ordinea operatiilor si folosirea parantezelor rotunde (ex. ecuatia de gradul 2):o x1=-b+ radical(b*b-4*a*c)/2*ao x1=(-b+ radical(b*b-4*a*c))/2*ao x1=(-b+ radical(b*b-4*a*c))/(2*a)

care din variantele de mai sus este corecta?o prima imparte numai radicalul la 2, rezultatul este inmultit cu a si apoi se efectueza scadereao al doilea exemplu pune parantezele pentru numarator dar imaprte numai la 2, rezultatul impartirii fiind inmultit cu

ao abia ultima varianta separa numitorul si numaratorul prin paranteze

3.

L3. Instrucţiuni intrare/ieşire. Atribuirea

Instructiuni de intrare ieşire

Asa cum am vazut in lectiile anterioare schema fluxului de date in rezolvarea unei probleme este urmatoarea:

Date de intrare -> Algoritm -> Date de iesire (Rezultate)

Deducem ca aven nevoie de o metoda de a prelua datele initiale (ale problemei reale) pentru a le putea prelucra in algoritm. De

asemenea, avem nevoie de o metoda de a transmite rezultatul calculului nostru.

Pentru preluarea datelor vom folosi instructiunea Citeste. Sintaxa: Citeste variabila; Exemplu: Citeste a; Efect: Se citeste o valoarea care va fi memorata in variabila a Observatii:

o pentru ” intreg n; citeste n ” , nu putem introduce o valoare reala (3.14) deoarece variabila n este declarata ca

fiind intreaga

Pentru afisarea rezultatului vom folosi instructiunea Scrie: Sintaxa: Scrie expresie Exemplu: Scrie a Efect:

o instructiunea Scrie afiseaza valoarea expresieio presupunand ca ceea ce se scrie este transmis care monitor, atunci prima instructiune scrie afiseaza sirul de

caractere Rezultatul problemei iar cea de a doua afiseaza valoarea memorata in variabila a la acel moment Observatii

o pentruafisarea unor texte folosim text ” acesta este mesajul”o instructiunea scrie afiseaza valoarea expresiei; atunci o instructiune de tipul Scrie a+b va afisa valoarea

calculata a expresiei a+b; adica se aduna valoarea lui a cu valoarea lui b si se afiseaza rezultatul expresiei

Pana acum, cel mai complicat algoritm pe care il putem scrie este cel de adunare a doua valori intregi:

Intreg a, b;

Citeste a, b;

Scrie a+b.

Daca ar fi doar atat… :P

Atribuirea

Pentru a schimba valoarea unei variabile pot folosi citirea. Daca totusi doresc ca variabila sa primeasca valoarea unei expresii

calculate pe parcursul algoritmului, atunci am nevoie de atribuire:

Sintaxa: variabila<- expresie; Efect: In “cutia” variabilei se memoreaza valoarea expresiei; Exemplu:

o intreg a; a<- 10;o real b; fie b<- 3.14;o sir c; fie c<- ‘totul e ok’;

Observatie:

o noua valoare se memoreaza peste vechea valoare care se va pierde; adica, se inloceste vechea valoare cu cea noua

o in fiecare din exemple in variabila se memoreaza o valoare de acelasi tip cu variabila; nu putem memora intr-o variabila o valoare de alt tip:

secventa intreg a; a<-3.14; scrie a; nu este corecta; variabila a este de tip intreg si nu poate memora o valoare reala.

secventa real a; a<- +10; este corecta deoarece valoarea intreaga 10 este si valoare reala, conform incluziunii matematice.

greselile frecvente sunt cele in care valori obtinute in urma unor impartiri sau radicali (valori reale) sunt atribuite unor variabile intregi

o operatiile cele mai de intalnite la atribuire sunt incrementarea (marirea cu 1 a valorii variabilei) si decrementarea (micsorarea cu 1 a valorii variabilei)

o incrementarea: a<- a+1;

asa cum stim , intai se calculeaza valaorea expresiei (cresterea cu 1 a lui a) si apoi se memoreaza in variabila, peste vechea valoare

o decrementarea: a<- a-1;

se calculeaza valoarea expresiei (scadereacu 1 a lui a) si apoi se memoreaza in variabila, peste vechea valoare

Exemplul 1: calculul vitezei, atunci cand stim valoarea distantei parcurse si timpul necesar; real viteza; intreg timp, distanta; citeste timp, distanta; viteza <- distanta/timp; scrie viteza.

Exemplul 2 (interschimbarea a doua variabile folosind auxiliar). Fie doua variabile intregi. Sa se interschimbe valorile

variabilelor. Daca variabila a are valoarea 5 si variabila b are valoarea 7, dupa executarea algorimului, variabila a sa aiba valoare 7

si variabila b sa aiba valoare 5. intreg a, b, aux; citesc a, b; aux<-a; a<-b; b<-aux; scrie a, b. observatie: problema este similara cu urmatoarea problema. Aveti un pahar de bere (rolul variabilei a) si o halba de suc

(rolul variabilei b). Pentru a schimba bauturile aveti nevoie de o cana goala (rolul variabilei aux);o turnam in cana goala continutul paharuluio turnam in pahar continutul halbeio turnam in halba continutul caniio acum toate sunt in ordine; berea in halba si sucul in pahar si gana este goala; NU BEM DECAT SUCUL!

Exemplul 2 (interschimbarea valorii a doua variabile fara auxiliar). Avem aceeasi problema dar trebuie rezolvata fara o

variabila in plus. intreg a, b; citeste a,b; a <- a+b; b<- a-b; a<- a-b; scrie a,b.

4.

L4. Instrucţiunea de decizie

Fara instructiunea de decizie sau de test (in nici un caz detest) algorimul ar fi linear. Aceasta instructiune ne ajuta in cazul in care

avem o intrebare privind natura datelor folosite, a valorii lor la un moment dat.

Practic, trebuie sa punem intrebari la care algoritmul sa raspunda cu adevarat/fals; ce operatori folosim pentru a obtine raspunsuri

adevarat/fals?

Expresii cu valoare logica (adevarat/fals)

Operatori de relatie:

“>” inseamna mai mareo a>b are valoarea adevarat numai daca valoarea variabilei a este mai mare decat valoarea variabilei b

“<” inseamna mai mico a<b are valoarea adevarat numai daca valoarea variabilei a este mai mica decat valoarea variabilei b

“>=” inseamna mai mare egalo a>b are valoarea adevarat numai daca valoarea variabilei a este mai mare sau egala cu valoarea variabilei b

“<=” inseamna mai mic sau egalo a>b are valoarea adevarat numai daca valoarea variabilei a este mai mica sau egala cu valoarea variabilei b

” =” inseamna egalo a=b are valoarea adevarat numai daca variabila a are aceeasi valoare cu variabila b

“!=” inseamna diferito a!=b are valoarea adevarat numai daca variabila a NU are aceeasi valoare cu variabila b

Operatori logici

Operatorii logici (cu care lucreaza si logica matematica) sunt SI, SAU si NEGARE:

Operatorul SI este un operator binar, cu doi operanzi cu valoare logica. Rezultatul operatorului SI este adevarat numai

daca ambii operanzi au valoarea ADEVARAT.o “Mie imi place fata bruneta si cu ochi albastri!”o daca fata nu este bruneta sau nu are ochi albastri nici nu ma uit la ea (:P), ceea ce inseamna fals; daca macar

una dintre conditii este falsa atunci intreaga expresie este falsa Operatorul SAU este un operator binar cu doi operanzi cu valoare logica. Rezultatul operatiei SAU este adevarat daca

macar unul din operanzi are valoarea ADEVARAT.o “Mie imi place fata bruneta SAU cu ochi albastri!“o Fata nu trebuie sa aiba ambele calitati. Daca este bruneta imi place (ADEVARAT). Daca este cu ochi albastri imi

place (ADEVARAT).o Daca macar una din conditii este adevarata atunci intreaga expresie este adevarata

Operatorul de negatie (vom folosi semnul ” ! ” ) schimba valoarea de adevar a expresiei: !ADEVARAT==FALS si !FALS

==ADEVARAT

Exemple: X apartine [-5, -2]

o (x>=-5) SI (X<=-2)

x apartine (0, 10)o (x>0) SI (x<10)

x nu apartine (-7,9]o (x<=-7) SAU (x>9)o !(x>-7) SAU !(x<=9)o !((X>-7) SI (x<=9))

Observatii prioritatea operatorilor logici: negare, SI, SAU in cazul expresiilor logice se pot aplica regulile lui De Morgan:

o !( exp1 si exp2) = !exp1 sau !exp2o !(exp1 sau exp2) = !exp1 si !exp2

Instructiunea de decizie (de test; sau detest :P)

Sintaxa:

daca (exp_logica) atunci instructiune1

[altfel instructiune2;]

Efect: Se evalueaza expresia logica; daca valoarea logia ca expresiei este ADEVARAT se executa intructiunea 1; Daca exista

sectiunea ALTFEL si valoarea logica a expresiei este FALS se executa intructiunea 2; in ambele cazuri, dupa executarea

intructiunii corespunzatoare si executa ce instructiune urmeaza dupa testul nostru.

Observatie. Un algoritm trebuie sa fie clar si sa poata fi inteles intr-un singur fel. Din acest punct de vedere, exista doua moduri de

a scrie un algoritm: cate o instructiune pe linie si cu marcatori la sfarsitul instructiunilor de test si repetitive (cum cere manualul) mai multe instructiuni pe line, separate printr-un marcator; pentru cazul cand un grup de instructiuni trebuie executate

impreuna pe unul din cazurile intrtuctiunii de decizie (de exemplu ), acestea pot fi incadrate cu acolade (in limbajul C++) sau cu cuvinte rezervate (begin … end);

Pentru ca pdeudocodul nu este un limbaj in sine ci doar o conventie de notatii, sugerez sa folosim deja notatiile din C++; cand o secventa de instructiuni trebuie executate una dupa alta, datorita logicii algoritmului, acea secventa o vom incadra

in acolade (de exemplu: {instructiune1; instructiune2; instructiune3; …}); vom reveni cu amanunte.

Exemple: Sa se afiseze maximul a doua valori citite.

intreg a,b;

http://en.wikipedia.org/wiki/De_Morgan's_laws

citeste a,b;

daca (a>b) atunci scrie a

altfel scrie b. Sa se afiseze modulul (matematic) al unui numar intreg.

intreg a;

citeste a;

daca (a>0) atunci scrie a

altfel scrie -a. Sa memoram valoarea maxima intr-o variabila si sa o afisam.

intreg a,b,max;

citeste a,b;

daca (a>b) atunci max<-a

altfel max<-b;

Scrie max. Sa se citeasca o valoare intreaga si sa se stabileasca daca s-a citit o valoare para sau nu.

intreg a;

citeste a;

daca (a%2 ==0) atunci scrie “Valoarea citita este para!”

altfel scrie “Valoarea citita este impara!”. Fie a si b coeficientii unei ecuatii de grad 1. Sa se afiseze solutia ecuatiei a*x + b =0;

o evident x=-b/a daca a!=0;

intreg a,b;

real x;

citeste a,b;

daca (a!=0) atunci { x<- -b/a; scrie “Solutia ecuatiei este “; Scrie x;}

altfel scrie “Nu se poate calcula solutia ecuatiei”.

Secventa { x=-b/a; scrie “Solutia ecuatiei este “; Scrie x;} trebuie gandita ca un intreg deoarece este valabila numai pentru cazul in

care a este nenul; de aceea am incadrat-o intre acolade. Fie a, b si c coeficientii unei ecuatii de grad 2 (a*x^2+b*x+c=0). Sa se calculeze valorile radacinii, daca exista.

o conditia pentru a fi ecuatie de grad 2: coeficientul a trebuie sa fie nenul (a!=0)o trebuie calculata valoarea DELTA=b*b-4*a*co pentru a avea solutii, valoarea DELTA trebuie sa fie pozitiva, cel putin nula;o vom folosi radical (expr) pentru a calcula valoarea radicalului unei expresii reale/intregi

intreg a,b,c,delta;

real x1,x2;

citeste a,b,c;

daca (a==0) atunci scrie ” Coeficientii nu formeaza ecuatie de gradul 2″;

altfel {delta=b*b-4*a*c;

daca (delta<0) atunci scrie “Nu se pot calcula radacini reale “

altfel {x1<- (-b+radical(delta))/(2*a); x2<- -b-radical(delta))/(2*a);

scrie “Solutiile sunt :”, x1,” “, x2; }

}

Observatii: x1 si x2 sunt declarati reali pentru ca se obtin in urma radicalului si a unei impartiri urmariti daca algoritmul scrie concide cu termenii problemei pentru cazul coeficientului a nenul trebuie efectuate doua operatii (calculul lui delta si testul lui delta), motiv pentru care

acestea au fost incadrate intre acolade la calculul solutiilor au fost puse paranteze pentru separarea numitorului si a numaratorului de asemenea, aici au trebuit puse acolade pentru calculul celor doua solutii si a afisarii solutiilor Fie o functie matematica data pe intervale. Sa se calculeze valoarea functiei intr-un punct x oarecare daca expresia

functiei este:o x^2+2*x+1 daca x<0o 3*x+5 daca x apartine [0,5)o -x+2 daca x>=5o este clar ca valoarea functie difera pe cele trei intervale; va trebui sa verificam, pe rand, carui interval apartine

valoarea citita pentru x;

real x,f;

citeste x;

daca (x<0) atunci f<- x*x+2*x+1

altfel daca (x>=5) atunci f<- -x+2

altfel f<- 3*x+5;

scrie f.

5.

L5. Instrucţiunea repetitivă CÂT TIMP

Chiar si cu atribuirea si intructiunea de decizie, si tot nu este de ajuns. Exista probleme ce necesita repetarea unor operatii si cu

ceea ce stim, nu putem face fata.

Exista trei instructiuni (structuri) repetitive folosite in toate limbajele:

instructiunea repetitiva cu test initial CAT TIMP (WHILE) (se foloseste cand numarul de repetitii este nedefinit) instructiunea repetitiva cu test final REPETA-PANA CAND / EXECUTA CAT TIMP (DO WHILE sau REPEAT) (se

foloseste cand numarul de repetitii este nedefinit) instructiunea repetitiva cu un numar cunoscut de pasi PENTRU (FOR) (se foloseste cand numarul de repetitii

este cunoscut)

Instructiunea CAT TIMP

Sintaxa: cat timp (expresie_logica) executa instructiunea;

Efect:1. se stabileste valoarea de adevar a expresiei logice2. daca valoarea expresiei logice este ADEVARAT atunci se executa instructiunea si se reia de la pasul 13. daca valoarea expresiei logice este FALS atunci se continua cu instructiunea de dupa CAT TIMP

Observatii: CAT TIMP este repetitiva conditionata anterior deoarece intai se evaluaeza conditia si apoi se executa instructiunea Practic, succesiunea de etape este exp logica, instructiune,exp logica, instructiune,exp logica,instructiune,…exp

logica;succesiunea se incheie cu exp logica in momentul in care valoarea expresiei este FALS. daca pe cazul ADEVARAT trebuie sa scriem mai multe instructiuni, acestea vor fi grupate cu acolade

Exemplul 1 Fie a si b doua valori naturale. Se se simuleze inmultirea a*b prin adunari repetate.

o P=a*b=a+a+….+a de b orio Expresia de mai sus spune ca a trebuie adunat la P de b ori; adica, la fiecare adunare la P a lui a putem sa

scadem un 1 din b (decrementam), pentru a pastra numarul de adunari ce mai trebuie efectuat; candb va fi zero , se va adunat a de b ori

intreg a,b,p;

citeste a,b;

p<-0;

cat timp (b>0) executa {p<- p+a; b<- b-1;};

scrie p.

Observatii: pentru fiecare adunare a lui a la p, scadem un 1 din b aceste operatii trebuie executate pentru fiecare caz in care b este pozitiv; de aceea au fost grupate cu acolade este algoritmul corect? Sa verificam cazurile cu zero:

o daca a este zero, atunci la P se aduna zero de b ori; practic P ramane la valoarea zero. CORECT!o daca b este zero, conditia din CAT TIMP este falsa si atunci nu se executa instructiunile; in consecinta se

afiseaza direct valoarea lui P,adica zero; CORECT!

Exemplul 2 Fie a si b doua valori naturale. Sa se simuleze impartirea lui a la b prin scaderi repetate si sa se afiseze catul si restul.

o vom scadea din a valoarea lui b de mai multe ori, numarand intr-o variabila contor de cate ori am facut scaderea

(practic variabila contor va fi catul impartirii)o operatia se va repeta cat timp din a se mai poate scadea un b, adica cat timp a mai mare decat b

o Ce reprezinta valoarea ramasa in a? O valoare mai mica decat b? Evident, restul impartirii.

intreg a, b, contor;

contor<- 0;

daca (b=0) atunci scrie “nu se realizeaza impartiri la zero!”;

altfel {cat timp (a>=b) executa {a<- a-b; contor<-contor+1;};

scrie “catul este “, contor;

scrie “restul este “, a;

}.

Observatii: am pus intre acolade secventa in care numaram de cate ori am scazut pe b din a; erau doua instructiuni; este corect algoritmul? Daca incercati cazurile normale, va merge. Sa verificam cazurile speciale:

o daca a este mai mic decat b atunci cat timp nu va functiona si se va afisa direct contor (zero) si a(restul);

CORECT!o daca a este zero, atunci nu se executa cat timp si se afiseaza contor si a (0 si 0 ) CORECT!o daca b este zero, se afiseaza mesajul de eroare si algoritmul se incheie CORECT!

Exemplul 3. Sa se calculeze cel mai mare divizor comun a doua valori a si b naturale.

o asa cum spune definitia, cel mai mare divizor comun trebuie sa fie o valoare, care sa divida atat pe a cat si pe b;

aceasta valoare poate fi in cel mai bun caz a sau b

intreg a,b;

citeste a,b;

cmmdc<- a;

cat timp (a%cmmdc +b%cmmdc !=0) executa cmmdc<- cmmdc-1;

scrie cmmdc.

Observatii: expresia a%cmmdc +b%cmmdc !=0 este nula doar daca atat a%cmmdc cat si b%cmmdc sunt nule, adica cmmdc divide

simultan a si b; atat timp cat aceasta conditie nu se realizeaza scadem cmmdc-ul ultima valoare panaa la care se poate scadea este 1, divizorul tuturor numerelor; in acest caz a si b se numesc numere

prime intre ele.

Exemplul 4 Ghiceste-mi numarul! Eu imi aleg un numar intre 1 si 100. In cati pasi il poti ghici? La fiecare incercare raspund cu

SUCCES, MIC sau MARE.o prima varianta este sa intrebam aleator; cam multi pasi!o sa parcugem valorile de la 1 la 100; cam multi pasi!o sa gandim! vom testa intodeauna mijlocul intervalului; in acest fel, la fiecare intrebare, elimin jumatate din cazuri.

intreg x,m1,m2, mij, pasi;

citesc x; m1 <- 1; m2<- 100;

mij<- 50; pasi<- 0;

cat timp (mij!=x) executa

{daca (x<mij) atunci m2<- mij;

altfel m1<- mij;

mij<-(m1+m2)/2;

pasi<- pasi +1;};

scrie pasi.

Observatie: dupa fiecare test fara succes intervalul in care cautam se ajusteaza la stanga (daca mij este mai mic decatx) sau la

dreapta (daca mij este mai mare decat x)

Exemplul 5. Fie N un numar natural. Sa se calculeze suma cifrelor lui N.

o vom initializa o variabila suma cu zeroo trebuie ca delimitam pe rand cifrele care formeaza numarul N; putem determina rapid ultima cifra: n%10; daca o

stergem (n<- n/10) putem deternima penultima cifra; s.a.m.d.o cand ne oprim? … cand N nu mai are cifre; deci , cand N este zero.

intreg n, suma;

citeste n;

suma <-0;

cat timp (n!=0) executa {suma<-suma+n%10; n<-n/10;};

scrie suma.

Observatie: instructiunea suma<-suma+n%10 creste suma cifrelor deja obtinute cu valoarea ultimei cifre a lui n. pentru cazul in care n este nul, cat timp nu se mai executa si se afiseza suma cu valoarea 0; Suma cifrelor lui 0 este 0.

CORECT!

5.1

L9. Algoritmi fundamentali. Şiruri de numere

Pentru a prelucra un sir de numere trebuie sa stim fie numarul de valori in discutie (sir cu numar cunoscut de valori), fie sa avem o

valoare care sa marcheze sfarsitul sirului (de obicei – zero).

Prelucrarea unui şir cu număr cunoscut de valori

De vreme ce stim cate valori vor fi in sir (prelucrarea va fi retetat de un numar cunoscut de ori) putem folosi instructiunea

FOR/PENTRU.

natural x, n, i;

citeste N

pentru i=1,N executa

{ citeste X;

//prelucrez X

........

}

Prelucrarea unui şir cu un număr necunoscut de valori (care se încheie cu

zero)

Valoarea zero nu face parte din sir si nu trebuie prelucrata. Nu stim exact cand primim valoarea zero (care marcheaza sfarsitul

sirului), motiv pentru care la fiecare citire trebuie sa verificam daca s-a citit zero saunu.Daca valoarea citita nu este zero avem de

realizar prelucrarea ceruta de problema si o noua citire.

citeste x;

cat timp (x!=0) {

//prelucrez valorea X

.........

//trec la valoarea urmatoare

citeste X

}

Probleme

1. Sa se calculeze suma/produsul valorilor din sir

2. Sa se determine valoarea minima/maxima dintre valorile citite.

3. O valoare data Y se gaseste in sir?

4. De cate ori apare o valoare data Y?

5. Presupunand ca sirul reprezinta coeficientii uni polinom ( dati incepand cu gradul cel mai mic), calculati valoarea polinomului intr-un

punct Y.

5.2

L11. Cmmdc. Cmmmc

C.m.m.d.c. este acronimul (prima literă de la fiecare cuvânt) de la “cel mai mare divizor comun” şi se aplică pentru două numere

naturale.

Problema. Fie doua numere naturale A si B. Sa se determine cel mai mare divizor comun a lui A si B.

Sa citim iar. Practic trebuie sa determin un numar natural care sa fie divizor atat pentru A cat si pentru B. Daca sunt mai multe

numere in aceasta situatie, atunci il aleg pe cel mai mare. Ceea ce ma duce cu gandul la

Varianta 1.

citeste A, B;

cmmdc=0;

pentru D=1 pana la A executa

daca (A%D==0 si B%D==0 ) atunci cmmdc=D;

scrie cmmdc;

Practic, cmmdc-ul va fi cel mult unul dintre numere. As putea sa fiu prevazator si sa aleg ca limita superioara pe cel mai mic dintre

A si B. Si conditia de numitor comun se poate rescrie A%D +B%D==0.

Varianta 2.

citeste A,B

min=A; daca (min>B) atunci min=B;

pentru D=1 pana la min executa

daca (A%D +B%D==0) atunci cmmdc=D;

scrie cmmdc;

Varianta 3.

Problema nu e noua, Euclid (cca 325 – 265 î.Hr.!!!!!) s-a gandit si el la acelasi lucru si a gasit o solutie.

OBS. M-am gandit de multe ori cum sa explic elevilor ce anume l-a facut pe Euclid sa se gandeasca la problema cmmdc si mi-am

imaginat urmatorul scenariu: Euclid avea o camera de latime A si lungime B pe care sotia lui vroia sa o acopere cu placi

patrate de gresie. Pentru a-si impresiona prietenele, placile trebuiau sa acopere integral suprafata camerei si sa fi cat mai

mari. Cum a rezolvat Euclid problema? Practic trebuie desenat un caroiaj cu patrate de latura CMMDC.

Daca D este divizorul comun a lui A si B, atunci estista A2 si B2 asa incat:

A=D*A2 B=D*B2 si deduce ca si diferenta acestor numere are acelasi divizor comun A-B=D*(A2-B2)

Practic, in “lenea” lui de a calcula cmmdc(A,B), Euclid propune mereu o pereche mai mica (A-B, B) daca A>B sau (A, B-A) daca

B>A. Deci, cmmdc(A, B) este

(A-B, B) daca A>B (A, B-A) daca B>A A daca A==B

Se observa ca in primele doua cazuri trebuie sa reluam algoritmul, ceea ce ne duce cu gandul la urmatoarea secventa:

citeste A,B

cat timp (A!=B) executa

daca (A>B) atunci A=A-B;

altfel B=B-A;

scrie A;

http://ro.wikipedia.org/wiki/Euclid

Varianta 4.

Deci varianta 3 e de acum 2000 de ani! Intre timp, s-a mai facut o varianta. Daca A=23456 si B=89 ar trebui sa se efectueze o

multime de scaderi a lui B din A. Scaderi repetate, pana nu se mai poate scadea pe B din A! Asta este o impartire si ce ramane in

A este restul. In consecinta, pe cel mai mare il vom transforma in restul impartirii. Cand ne oprim? Ne vom opri cand A sau B vor fi

nule, ceea ce inseamna ca cealalta valoare, nenula, va fi CMMDC.

citeste A,B;

cat timp (A*B!=0) executa //daca nici unul nu e nul….

daca (A>B) atunci A=A%B;

altfel B=B%A;

scrie A+B; //afisez valoarea nenula

Varianta 5.

Desi varianta 4 e o solutie respectabila, inca nu e de ajuns. Practic, la fiecare iteratie se executa 2 teste – cel din CAT TIMP si cel

din DACA. Varianta urmatoare foloseste aceeasi idee de mai sus dar elimina unul din teste.

citeste A,B;

cat timp (B!=0) executa

{R=A%B; A=B; B=R;}

//se iese cand B este nul=>

scrie A;

Analiza variantelor

Evident, ultima varianta este cea mai buna. Am explicat deja ratiunile prin care s-a trecut de la o varianta la alta. In vederea

examenului de bacalaureat va trebuie toate variantele, indeosebi ultima pentru momentul cand va trebui sa programati.

Calculul CMMMC

Pentru calculul matematic a cmmdc pentru doua numere A si B, se realizeaza descompunerea in factori primi si apoi se considera

termenii comuni, la puterea cea mai mica.

Pentru calculul matematic a cmmmc pentru doua numere A si B, se realizeaza descompunerea in factori primi si apoi se

considera termenii comuni si necomuni, la puterea cea mai mare.

Practic daca as scrie produsul A*B ca inmultire intre descompunerile lor, as observa ca toti termenii existenti sunt fie parte a

CMMDC, fie parte a CMMMC.

De aici apare si relatia A*B=CMMDC(A,B)*CMMMC(A,B). Practic ne vom folosi de CMMMC(A,B)=A*B/CMMDC(A,B).

citeste A,B

A2=A; B2=B; //salvez separat datele initiale

//calculez CMMDC

cat timp (B!=0) {R=A%B; A=B; B=R;}

//afisez CMMMC

scrie “CMMMC este “, A2*B2/A.

6.

L6. Instructiunea PENTRU – EXECUTA


instructiunea repetitiva cu test initial CAT TIMP (WHILE) (se foloseste cand numarul de repetitii este nedefinit) instructiunea repetitiva cu test final REPETA-PANA CAND/EXECUTA CAT TIMP (DO WHILE sau REPEAT) (se foloseste

cand numarul de repetitii este nedefinit)

instructiunea repetitiva cu un numar cunoscut de pasi PENTRU (FOR) (se foloseste cand numarul de repetitii

este cunoscut – un numar fix de ori.)

Sintaxa: PENTRU contor<-exp_init,exp_fin EXECUTA instructiune

Efect: pentru fiecare valoare a contorului intre expresia initiala si expresia finala se executa instructiunea;

Exemplu: pentru i <- 1,10 executa scrie ” Nu ma prinzi!”; pentru fiecare valoarea a variabile i, de la 1 la 10, se afiseaza ” Nu ma prinzi!” de 10 ori se afiseaza ” Nu ma prinzi!” daca secventa ce trebuie repetata contine mai multe instructiuni, acestea se vor grupa cu acolade

Observatii: practic, pentru fiecare valoare a lui i, intai se testeaza daca nu s-a depasit valoarea finala 10 si apoi se executa

instructiunea; algoritmic, propozitia de mai sus este :

o i<-1; cat timp (i<=10) {scrie ” Nu ma prinzi!”; i<-i+1; };

practic , secventa de mai sus me explica faptul ca instructiunea pentru este o clona a instructiunii cat timp. instructiunea este “ceruta” daca descrierea algorimului spune “de la valoarea X la valoarea Y”, “pentru primele X valori”,

“de X ori”, …

Exemplul 1. Sa se afiseze numerele pare pana la o valaore N, naturala.

intreg n,i;

citeste n;

pentru i<- 0,n executa

daca (i%2==0) atunci scrie i.

Observatii: algoritmul ia fiecare valoare intre 0 si n si o testeaza daca este para (restul impartirii lui i la 2 sa fie nul : i%2==0) se efectueaza n pasi din care jumatate sunt gresiti; trebuie o varianta mai buna

Exemplul 2. Aceeasi problema dar incercam sa mergem din doi in doi

o intreg n,i; citeste n; pentru i<-0,n,2 executa scrie i.o intreg n,i; citeste n; pentru i<-0,n/2 executa scrie i*2.

Observatie: in primul caz, 2-ul de dupa n (i<-0,n,2 ) stabileste cresterea lui i cu 2 si nu cu 1 asa cum este implicit in al doilea caz, ne folosim de faltul ca valorile cautate sunt pare, divizibile cu 2;

Exemplul 3 Sa se calculeze suma primelor N numere naturale.

o evident, stim formula n*(n+1)/2 dar sa incercam un algoritm;o va trebui sa adunam, la o suma , toate valoarile de la 1 la n

intreg n,i,suma;

citeste n;

suma<-0;

pentru i<- 0 ,n executa suma<- suma +i;

scrie suma.

Exemplul 3. Se citeste un sir de N valori intregi. Sa se determine cea mai mare valoare citita (valoarea maxima dintr-un sir).

intreg n,i,max,val;

citeste n;

citeste max;

pentru i<-2,n executa {citeste val; daca val>max atunci max<-val;};

scrie val.

6.1

L9. Algoritmi fundamentali. Şiruri de numere

Pentru a prelucra un şir de numere trebuie să ştim fie numărul de valori în discuţie (şir cu număr cunoscut de valori), fie să avem o

valoare care să marcheze sfârşitul şirului (de obicei – zero).

Prelucrarea unui şir cu număr cunoscut de valori


FOR/PENTRU.

natural x, n, i;

citeste N


{ citeste X;

//prelucrez X

........

}

Prelucrarea unui şir cu un număr necunoscut de valori (care se încheie cu

zero)




citeste x;

cat timp (x!=0) {


.........


citeste X

}

Probleme

1. Sa se calculeze suma/produsul valorilor din sir

2. Sa se determine valoarea minima/maxima dintre valorile citite.

3. O valoare data Y se gaseste in sir?

4. De cate ori apare o valoare data Y?

5. Presupunand ca sirul reprezinta coeficientii uni polinom ( dati incepand cu gradul cel mai mic), calculati valoarea polinomului intr-un

punct Y.

6.2

L10. Algoritmi fundamentali. Divizibilitate. N este prim?

Divizibilitate

Problema. Pentru un N dat, care sunt divizorii lui N?

Multimea divizorilor lui N este cuprinsa intre valorile 1 si N. Un numar D este divizor al lui N daca N se imparte exact la D. Pentru

noi, impartirea exacta inseamna ca restul impartirii lui N la D este zero. Trebuie sa cautam acele valori intre 1 si N la care N se

imparte exact. Vom aifsa si vom numara aceste valori.

natural N, D, NR;

NR=0;

citeste N;

pentru D=1, N executa

daca (N%D==0) atunci { scrie D; NR=NR+1}

scrie NR;

Cu numarul de divizori putem stabili daca numarul N este prim.

daca (NR==2) atunci scrie N, " este prim!"

Este N număr prim?

Problema. Fie N un număr natural. Este N număr prim?

Conform matematicii un numar N este prim daca are drept divizori pe 1 si pe N.

Varianta 1. Ideea este sa realizam cat mai putine teste, astfel incat algoritmul sa se incheie mai repede D=2; cat timp (D<=N-1 si N%D!=0) executa D=D+1; daca (N%D==0) atunci scrie “divizibil” altfel scrie “prim”

Am redus doua teste : nu mai testam cazul D=1 si D=N. De asemenea, profitam de situatia in care gasim primul divizor pentru a

iesi din repetitie. Totusi, pentru cazul in care numarul ar fi prim, inca se executa N-2 pasi.

Varianta 2. Numarul 2 este cel mai mic potential divizor. Deduc ca numarul N/2 este cel mai mare potential divizor.

D=2; cat timp (D<=N/2 si N%D!=0) executa D=D+1; daca (N%D==0) atunci scrie “divizibil” altfel scrie “prim”

In aceasta varianta se executa, in cel mai rau caz, N/2 operatii. Super! Am redus munca la jumatate! Se poate mai bine?

Varianta 3. Sa cercetam, in continuare, perechile de potential divizori: 2 cu N/2, 3 cu N/3, 4 cu N/4, …. Observ ca pe masura ce

primul termen creste, al doilea scade. Deduc ca, la un moment dat cei doi termeni pot fi egali. Adica ar putea fi un element X astfel

incat N==X*X sa fie adevarat! In consecinta X=radical(N) . Deci ultima pereche care ar trebui studiata este cea cu radical (N). D=2; cat timp (D<=radical(N) si N%D!=0) executa D=D+1; daca (N%D==0) atunci scrie “divizibil” altfel scrie “prim”

Este cert ca radical(N)<N/2. Iata ca am obtinut un numar mai mic de operatii. Sa cercetam cat de eficienti sunt algoritmii nostri.

Numarul N=611953 este prim, spun unii. varianta 1 va executa maxim 611951 pasi varianta 2 va executa maxim 305 976 pasi

varianta 3 va executa maxim 782 pasi!!!!!!!E ceva, nu?

Varianta 4. Si inca mai merge… daca (N==2) atunci scrie “prim” altfel daca (nN%2==0 ) atunci scrie “divizibil” altfel {

o D=3;o cat timp (D<=radical(N) si N%D!=0) executa D=D+2;o daca (N%D==0) atunci scrie “divizibil”o altfel scrie “prim” }

Algoritmul de mai sus verifica daca N este 2 si elimina din discutie numerele pare. Pentru ca majoritatea numerelor prime sunt

impare, parcurg numai valorile impare si le intreb daca nu cumva sunt divizori pentru N.

Varianta 4 va efectua maxim 390 pasi pentru N=611953.

http://www.cs.arizona.edu/icon/oddsends/primes.htm

7.

L7. Instrucţiunea EXECUTĂ CÂT TIMP


instructiunea repetitiva cu test initial CAT TIMP (WHILE) (se foloseste cand numarul de repetitii este nedefinit) instructiunea repetitiva cu test final REPETA-PANA CAND/ EXECUTA CAT TIMP (DO WHILE sau REPEAT) (se

foloseste cand numarul de repetitii este nedefinit) instructiunea repetitiva cu un numar cunoscut de pasi PENTRU (FOR) (se foloseste cand numarul de repetitii

este cunoscut)

Instructiunea EXECUTĂ CÂT TIMP

Sintaxa: executa instructiune cat timp (expr_logica)

Efect:1. se executa instructiunea2. se stabileste valoarea de adevar a expresiei logice3. daca valoarea conditiei este ADEVARAT atunci se revine la pasul 14. daca valoarea conditiei este FALSA atunci se continua cu instructiunea de dupa EXECUTA CAT TIMP

Observatii: instructiunea EXECUTA CAT TIMP este o instructiune repetitiva conditionata posterior (sau cu test final) intai executa instructiunea de repetat si apoi verifica necesitatea repetarii; instrutiunea se executa macar o data secventa de operatii este: instructiune, conditie, instructiune, … , conditie, instructiune, conditie

Putewti folosi aceasta instructiune pentru algortimul de prelucrare a cifrelor unui numar natural N:

executa {cif<- n%10; prelucrez cifra ; n<-n/10} cat timp (n!=0);

Exemple: sa se afiseze cifrele numarului sa se numere cate cifre are N sa se stabileasca de cate ori apare o cifra anume sa se determine cifra maxima/minima din numar sa se creeze oglinditul numarului N (N=1234 => 4321) sa se stabileasca daca N estre palindrom (egal cu oglinditul sau). Ex: 12321, 11, 121, …

7.1

L8. Algoritmi fundamentali. Prelucrarea cifrelor unui număr natural

Fie N un numar natural. Avem nevoie sa prelucram pe rand cifrele unui numar natural.

In prelucrarea cifrelor numarului, cel mai usor ajungem la ultima cifra (N%10) . Dupa prelucrarea ei, ultima cifra va trebui inlaturata

(N=N/10). Si totul trebuie repetat cat timp N mai are cifre (N!=0).

De vreme ca nu stim cate cifre are N, nu putem folosi intructiunea FOR/PENTRU. Raman instructiunile repetitive cu un numar

necunoscut de pasi : CAT TIMP EXECUTA/WHILE si EXECUTA CAT TIMP/ DO WHILE.

Pentru CAT TIMP EXECUTA/WHILE am un contraargmuent. Algoritmul ar trebui sa fie

cat timp (N!=0) executa { //prel ultima cifra a lui N

.......N%10;

//stergem ultima cifra

N=N/10;

}

Daca utilizatorul doreste sa aplice algoritmul pentru valoarea zero, nu se va efectua nimic si secventa noastra nu se va

executa.Evident, situatia se poate evita prin plasarea unui test inainte de CAT TIMP , care sa verifice daca N este nul.

Nu ramane decat varianta cu EXECUTA CAT TIMP/DO WHILE.

executa{ //prel ultima cifra a lui N

.......N%10;


N=N/10;

} cat timp (N!=0);

Cateva probleme clasice pentru acest algoritm:

1. Sa se numere cate cifre are numarul N2. Sa se stabileasca cate cifre pare/impare are numarul N.3. Sa se stabileasca daca N contine o cifra data, CIF.4. Sa se numere de cate ori apare cifra CIF in numarul N.5. Sa se determine cifra maxima/minima din numarul N6. Sa se construiasca “oglinditul” numarului N. Pentru N=3648 se va afisa 8463.7. Sa se stabilesca daca N este palindrom (egal cu oglinditul sau).8. Pentru un numar N dat, sa se construiasca cel mai mare numar natural care se poate forma cu cifrele lui N.


.......N%10;


N=N/10;

}

8.

L7.2. Care instrucţiune repetitivă este mai bună?

Desi sunteti tentati sa alegeti trebuie sa stit ca ambele instructiuni au aceeasi capacitate. Toata problema este sa verificati in

algoritmul dumneavoastra daca trebuie sau nu efectuat un test inainte de executarea instructiunii/instructiunilor de repetat.

Simularea instructiunii CAT TIMP EXECUTA cu EXECUTA CAT TIMP. Instructiunea CAT TIMP EXECUTA intai testeaza si apoi

executa; daca comparam secventele de executie observam ca la CAT TIMP EXECUTA intai apare un test/conditie. si apoi este

identica cu EXECUTA CAT TIMP; nu ramane decat sa folosim o instructiune de test pentru aceasta conditie;

cat timp (exp_logica) executa instructiune;

daca (exp_logica) atunciexecuta instructiune cat timp (exp_logica)

Observati ca pentru transformarea unei instructiuni cat timp in una executa cat timp, nu trebuie dacat sa

identificati conditia si secventa care se repeta; apoi copiati corespunzator in sablon.

Simularea instructiunii EXECUTA CAT TIMP cu CAT TIMP EXECUTA .

executa instructiune cat timp (exp_logica);

instructiune;cat timp (exp_logica) executa instructiune;

Simularea instructiunii REPETA PANA CAND cu EXECUTA CAT TIMP.

repeta instructiune pana cand (exp_logica); executa instructiune cat timp!(exp_logica)

Simularea instructiunii PENTRU cu CAT TIMP EXECUTA .

pentru i<-A pana la B cu pasul C executa instructiune.

i <- A;cat timp (i<=B) executa {instructiune; i<-i+C};

9.

L14. Conversia unui număr din baza 10 în baza B

Un numar NB scris in baza B are “cifre” cu valori intre 0 si B-1.

Pentru a obtine reprezentarea numarului N10 in baza B, trebuie sa realizam un sir de impartiri repetate la B.

Fie N10=2490 si B=8

2490 impartit la 8 produce catul 311 si restul 2.

311 impartit la 8 produce catul 38 si restul 7



Luam resturile in ordine inversa si obtinem NB=4672.

Algoritmul de mai jos urmareste exact acest tip de calcul. Se observa ca pentru constructia lui NB trebuie sa lipim fiecare rest in

fata numarului NB.

citeste N10;

NB=0;

p10=1;

cat timp(N10!=0)

{

NB=NB+P10*(N10%B);

P10=P10*10;

N=N/B;

}

scrie NB.

10.

L13. Conversia unui număr din baza B în baza 10

Un numar NB scris in baza B are “cifre” cu valori intre 0 si B-1. Problema noastra este sa determinam ce numar N10 ii corespunde

lui NB pentru baza 10.

Pentru aceasta sa observam urmatorul exemplu. Un numar in baza 10, N10=2490 poate fi scris si in forma canonica, adica

N10=2*10^3+4*10^2+9*10^1+0*10^0.

Fie NB=4672 scris in baza B=8. Pentru a converti NB in baza 10 trebuie sa il scriem in forma canonica.

N10=4*8^3+6*8^2+7*8^1+2*8^0. Dupa calcule se obtine valoarea N10=2490.

Practic trebuie sa calculam o suma de produse a cifrelor din NB cu puteri ale bazei. Vom folosi algoritmul de prelucrare a cifrelor

unui numar (NB).

citeste NB, B;

N10=0;

PB=1;

executa{

N10=N10+(NB%10)*PB;

PB=PB*B;

NB=NB/10;

}cat timp (NB!=0);

scrie N10;

11.

L12. Şirul lui Fibonacci

Şirul lui Fibonacci este 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …. şi are legătură cu celebrul număr de aur.

Se observă că şirul începe cu valorile 1 şi 1 , după care, fiecare nouă valoare se obţine prin adunarea ultimelor două valori:

F(1)=1

F(2)=1

F(n)=F(n-1)+F(n-2)

Pentru noi problema este de a determina al N-lea termen din şir.

Dacă N=1 sau N=2, răspunsul este simplu, 1. În restul cazurilor trebuie ca având mereu ultimile valori A si B, să calculăm noua

valoare C=A+B (mereu trebuie memorată noua pereche formată – ultimile doua valori determinate)

citeste N;

A=1;B=1;

daca (N<=2) atunci scrie 1;

altfel {pentru i=3,N executa

{//calculam noua valoare

C=A+B;

//pregatim noua pereche

A=B;B=C}

scrie B;}

Clasa a 10-a, INFO

Limbajul C/C++

1. Alfabet, identificatori, constante , variabile

2. Tipuri

3. Operatori. Expresii

4. Structura unui program C/C++

5. Citirea. Afisarea

6. Atribuirea

7. Instructiunea IF

8. Instructiunea DO – WHILE

9. Instructiunea WHILE

10. Instructiunea FOR

11. Algoritmi fundamentali

1. Conversia unui numar din baza 10 in baza B

2. Conversia unui numar din baza B in baza 10

3. Sirul lui Fibonacci

4. Cmmdc. Cmmmc

5. Divizibilitate. N este prim?

6. Prelucrarea sirurilor de numere

7. Prelucrarea cifrelor unui numar natural

12. Tablouri.

1.

L3. Alfabet, identificatori, constante , variabile

29NOV

Alfabetul

Alfabetul folosit in limbajul C/C++este format din:

litere mici: a-z litere mari: A-Z cifre: 0-9 semne speciale: {}[]:;<>=+*-|,.%#!()&

Identificatori

Cu caracterele din alfabetul de mai sus se pot construi cuvinte. In programare aceste cuvinte se

numescidentificatori. Identificatorii sunt de doua tipuri: identificatori proprii limbajului (cuvinte rezervate, din care sunt formate instructiunile): for, while, if, do, … identificatori ai programatorului: trebuie sa fie formati din litere, cifre si semnul ” _ “; regula este ca primul

caracter sa fie obligatoriu litera.

Identificatorii programatorului pot avea rolul:

nume de constante (simboluri a caror valoare nu se modifica pe parcursul executiei programului) nume de variabile (simboluri a caror valoare se modifica pe parcursul executiei programului)

nume de tipuri create de utilizator (de ex: vector, matrice, punct – la structuri)

Variabilele

O variabila este un identificator, purtator a unei singure valori. O variabila se caracterizeaza prin: nume tip de data (ceea ce determina spatiul de memorie alocat variabilei si in consecinta, domeniul de

valori care se pot memora in variabila respectiva) locatie de memorie

Exista si aici cateva reguli:

in principiu, la inceputul programului trebuie sa declarati ce variabile folositi si tipul fiecareia din ele nu puteti folosi o variabila nedeclarata sau care inca nu a primit valoare (neinitializata); o exceptie de la regula o reprezinta cazul valorilor intregi care se initializeaza automat cu zero (ordonat ar fi

sa cititi sau sa initializati voi fiecare variabila…) limbajul C/C++ face distinctie intre litere mari si mici

o identificatorul FOR va genera eroare, pentru ca limbajul cunoaste doar for;o variabilele NR, nR, nr, Nr sunt diferite din punctul de vedere al C/C++

2.

L4. Tipuri

Tipurile intregi

Tipurile intregi din C/C++ sunt: enum, short int, int, unsigned int, long, unsigned long.

Pentru fiecare variabila se aloca (rezerva) un spatiu de memorie conform cu tipul ei. Acest lucru influenteaza domeniul de valori

care se poate aloca variabilei:

enum, short int, int:o spatiu: 16 bitio domeniu: -32768..32767

unsigned into spatiu: 16 bitio domeniu: 0..65535

longo spatiu: 32 bitio domeniu:-2147483648 .. 2147483647

unsigned longo spatiu: 32 bitio domeniu:0 .. 4294967295

Observatii: valorile UNSIGNED (eng: fara semn) sunt valori naturale, cu valori pozitive in sprijinul ideii de mai sus, ca tipul determina domeniul de valori, venim cu urmatoarea demonstratie:

o presupunem ca avem o variabila A de tip int (pe 16 biti); aceasta inseamna ca valoarea maxima ce se poate

memora este un sir de 15 pozitii binare cu 1 (primul bit memoreaza semnul); daca convertim aceasta valoare din baza 2 in baza 10 (puteti folosi aplicatia CALCULATOR din Windows) obtinem exact 32767

o analog, pentru o variabila unsigned int (16 biti) putem memora 16 pozitii binare cu 1 (din cauza unsigned, nu mai

avem semn – adica valori pozitive); sirul de 16 pozitii binare reprezinta valoarea 65535 din baza 10.

Tipurile reale

float(32 biti): 3.4 * (10**-38) .. 3.4 * (10**+38) double(64 biti): 1.7 * (10**-308) .. 1.7 * (10**+308)

long double(80 biti): 3.4 * (10**-4932) .. 1.1 * (10**+4932)

Tipul caracter

char -127 .. 127 (pentru fiecare caracter este asociata, in mod unic, o valoare de la 0 la 127; aceasta asociere se

numeste CODUL ASCII)

3.

L5. Operatori. Expresii

Valorile variabilelor interactioneaza intre ele prin operatii. Simbolurile prin care reprezentam aceste operatii se numesc operatori.

Combinatiile care apar in urma folosirii operatorilor si variabilelor/constantelor se numescexpresii.

O expresie poate fi: o constanta/variabila o combinatie de tipul operator expresie (cazul operatorilor unari: – a) o combinatie de tipul expresie operator expresie (cazul operatorilor binari: a+b )

Operatorii folositi in C/C++ sunt:

operatori aritmetici: +,-,*, /, %o A/B reprezinta catul impartirii lui A la Bo A%B reprezinta restul impartirii lui A la B

A%10 reprezinta ultima cifra a lui A A%2 va avea valoarea zero daca A este par si 1 daca A este impar

Prioritatea operatorilor

4.

L6. Structura unui program C/C++

In general, un program este un sir de instructiuni. In C/C++ programul este o functie numita main.

Efectul instructiunillor din C/C++ este stabilit intr-un fisier numit stdio.h (h vine de la header). Acest fisier este incarcat implicit

pentru a asigura buna functionare a programului. Daca dorim sa folosim instructiuni mai complexe (gen cin, cout) trebuie sa

specificam si headerul care explica functionarea acestor instructiuni (iostream.h).

De asemenea, trebuie sa stabilim ce variabile folosim, pentru a le putea aloca spatiu si a le da valori. Spre deosebire de alte

limbaje, in C/C++ declararea variabilelor folosite poate fi facuta si pe parcursul executiei programului.

Structura unui program C/C++ este urmatoarea

//acesta este un comentariu; el nu influenteaza programul

//declararea headerelor

#include <iostream.h>

//declararea variabilelelor

....

//programul principal

int main()

{

// instructiunile programului

..........

return 1;} //aici se incheie programul

In exemplul urmator (citirea a doua valori si afisarea sumei lor) trebuie sa observati:1. orice program are trei parti:2. citirea datelor initiale si initializarea variabilelor necesare3. prelucrarea datel;or (programul propriuzis)4. afisarea rezultatelor

Puteti observa de asemenea:

cum se declara o variabila cum se foloseste o constanta text (sir de caractere) cum se citeste o data cum se afiseaza un sir de caractere, constante, variabile si expresii cum putem schimba valoarea unei variabile

# include <iostream.h>

int a,b,c;

int main()

{//citirea datelor initiale; initializarea altor variabile;

cin>>a>>b;

//prelucrarea datelor

c=a+b;

//afisarea datelor

cout <<"afisarea rezulattului"<<endl;

cout<<<<a<<'+'<<b<<'='<<a+b;

cout<<"Suma calculata este "<<c;

return 1;}

Observatie instructiunea return permite intreruperea brusca a executiei unui program; puteti folosi aceasta instructiune daca , din

diverse motive doriti intreruperea brusca a executiei unui program.

5.

L7. Citirea. Afisarea

Programele in limbajul C folosesc instructiunile printf (pentru afisarea datelor) si scanf (pentru citirea datelor) ca operatii de

intrare/iesire.

Pentru usurinta operatiilor de citire/afisare vom folosi instructiuni consacrate in C++: cin si cout.

Instructiunea CIN

Sintaxa: cin>>variabila1>>variabila2…;

Efect: se preiau de la tastatura (Console INput) valori pentru fiecare variabila din sir;

Cerinte : folosirea instructiunii necesita #include <iostream.h>

Exemplu: int A,B; cin>>A>>B; Pe rand, se introduc valori de la tastatura pentru variabilele intregi A si B.

Instructiunea COUT

Sintaxa: cout<<expresie1<<expresie2;

Efect: se afiseaza, pe rand, valorile expresiilor;

Cerinte: necesita, de asemenea, folosirea #include <iostream.h>

Exemple: cout<<“Rezultatul este”<<endl<< A<<‘+'<<B<<‘='<<A+B; s-au afisat :

o constanta sir de caractere (text) “Rezultatul este”o constantele caracter ‘+’ si ‘=’o valorile variabilelor A si Bo valoarea expresiei A+B

6.

L8. Atribuirea

Variabilele pot primi valori prin citire sau atribuire.

Atribuirea

Sintaxa: variabila=expresie;

Efect: se calculeaza valoarea expresiei aceasta valoare se scrie in variabila, peste vechea valoare, care se pierde

Exemple: A=0; B=5; A=B+6; A=B+A; (in A se va memora suma dintre A si B) un caz deosebit este incrementarea (cresterea cu 1 a valorii unei variabile)

o a=a+1;o aceasta operatie se mai scrie a++; (++ este operator unar)

operatia analoga, de scadere cu 1 a valorii unei variabile, se numeste decrementare:o a=a-1;o sau a–;

citind diverse programe realizate in C/C++ puteti intalni si exprimari de genul:o a=a+ –b; cu semnificatia b–; a=a+b; (analog ++b)o a+=b; cu semnificatia a=a+b;

… cum va place!

Probleme1. Teodor is consuma jumatate din salariul sau pe facturi. Cititi salariul lui Teodor si afisati cu cat ramane Teodor.2. Cititi de la tastatura distanta si timpul necesar unui tren pentru a parcurge respectiva distanta. Calculati viteza medie de

deplasare.3. Ana si Bogdan sunt colegi de banca. In pauza s-au gandit sa-si schimbe scaunele intre ei astfel incat , in orice moment,

fiecare sa stea pe un scaun. Copiii astia chiar n-au treaba!!!

Observatii: la problema 1 pot apare urmatoarele dificultati:

o daca salariul are valoare impara, rezultatul nu este real => float rez=(float) salar/2;o salariul este declarat int salar; si introduceti un salariu mai mare de 32767 rezultatele sunt imposibile; de ce? =>

variabilele de tip int nu pot depasi 32767; de aceea, valorile mai mari sunt trunchiate la problema 2, pe langa valori de bun simt, puteti incerca si impartirea la zero :) problema 3 face apel la o tehnica de lucru numita interschimbarea a doua valori;

o una dintre variantele de rezolvare face apel la inca un scaun (variabila): int aux=a; a=b;b=aux;o exista si o varianta fara variabila auxiliara (pentru cazul in care vorbim de valori :) ): a=a+b; b=a-b;a=a-b;

Sa privim inainte: din exemplele de mai sus este limpede ca variabilele/datele de intrare trebuiesc verificate inainte de a fi prelucrate de aceea, vom studia in continuare instructiunea IF

7.

L9. Instructiunea IF

Instructiunea IF

Sintaxa: if (exp_logica) instrDA; else instrNU;

Efect: se evalueaza valoarea expresie logice daca valoarea calculata este adevarata (nenula) se executa instructiunea instrDA si apoi instructiunea de dupa IF daca valoarea calculata a expresiei este nula se executa instructiunea instrNU (daca exista ramura ELSE) si apoi

instructiunea de dupa IF

Exemplu: if (a%2==0) cout>>”valoarea este para”; else cout<<” valoarea este impara”; se verifica daca restul impartirii la 2 a variabilei A este zero daca DA se executa cout>>”valoarea este para”; daca NU se executa cout>>”valoarea este impara”;

Observatii: in C/C++ instructiunile, pe langa efectul lor, returneaza o valoare adevarat (1 – unu) daca se executa corect si fals (0 –

zero) daca executia a fost eronata; secventa if (a=b) instr1; else instr2; va executa intotdeauna numai instr1 pentru ca atribuirea a=b se executa corect a nu se confunda a=b (lui a i se atribuie valoarea lui b) cu a==b (care verifica daca cele doua valori sunt egale) daca in loc pentru o valoare a conditiei testate algortimul impune executarea a mai mult de o instructiune, acestea se vor

incadra intre acolade: if (conditie) { …instructiuni pe ramura DA} else {instructiuni pe ramura NU};

Probleme:1. Fie N un numar natural. Sa se afiseze textul PAR sau IMPAR, functie de valoarea lui N.2. Fie N un numar natural. Sa se afiseze textul POZITIV, NEGATIV sau ZERO dupa caz.3. Fie A si B capetele unui interval. Sa se stabileasca daca o valoare X apartine intervalului [A,B].4. Fie A si B doua valori intregi. Sa se afiseze A si B in ordine crescatoare.5. Fie A si B doua valori intregi. Sa se calculeze X, solutia ecuatiei A*X+B=0.

Observatii:1. Se verifica valoarea expresiei N%2==02. Se compara N cu 0 si se afiseaza dupa caz.3. Daca A este mai mare decat B, valorile trebuie interschimbate.4. -5. Trebuie verificat daca A nu este zero, caz in care se afiseaza un mesaj si se iese fortat, cu RETURN.

8.

L10. Instructiunea DO – WHILE


instructiunea repetitiva cu test initial CAT TIMP (WHILE) (se foloseste cand numarul de repetitii este nedefinit)

instructiunea repetitiva cu test final REPETA-PANA CAND (DO WHILE sau REPEAT) (se foloseste cand numarul de

repetitii este nedefinit) instructiunea repetitiva cu un numar cunoscut de pasi PENTRU (FOR) (se foloseste cand numarul de repetitii


Instructiunea DO – WHILE

Sintaxa: do { instructiuni} while (conditie) ;

Efect:1. se executa secventa de instructiuni2. se evalueaza conditia3. daca valoarea conditiei este adevarata se revine la pasul 14. daca valoarea conditiei este falsa se continua cu instructiunea de dupa punct si virgula

Observatii: do-while se mai numeste instructiune cu test final sau conditionata posterior observati ca intai se executa secventa de instructiuni (macar o data) si apoi se testeaza succesiunea de operatii este instructiune, test, instructiune, test, ….. test, instructiune, test.

Exemplu:

O problema la care putem folosi DO-WHILE este prelucrarea cifrelor unui numar natural/intreg. Cifrele vor fi prelucrate pe rand, de

la sfarsitul numarului catre inceput, de fiecare data taind ultima cifra (deja prelucrata). Algoritmul se reia pana cand nu mai sunt

cifre in numar, adica valoarea N ajunge la valoarea zero.

Sesizati ca orice numar are o ultima cifra, motiv pentru care intai prelucrez si tai , si apoi verific daca mai sunt cifre de prelucrat.

Scheletul algoritmului ar fi:

cin>>n;

do { //prelucrarea ultimei cifre

..............;

// tai ultima cifra

n=n/10;

} while (n!=0);

Observatii: puteti determina intai ultima cifra (int uc=n%10; ) si apoi sa prelucrati variabila uc

Probleme. fie N un numar natural.1. Cate cifre are N?2. Care este suma cifrelor lui N?3. Care este cea mai mare cifra din numar? (valoarea maxima). Analog minima.4. Sa se determine prima cifra a numarului N.5. De cate ori apare o cifra data C, in numarul N?6. Sa se genereze “oglinditul” numarului N. (daca N=1987 atunci oglinditul va fi 7891)7. Folosind problema de mai sus, stabiliti daca numarul N este palindrom.

9.

L11. Instructiunea WHILE


instructiunea repetitiva cu test initial CAT TIMP (WHILE) (se foloseste cand numarul de repetitii este nedefinit)

instructiunea repetitiva cu test final REPETA-PANA CAND (DO WHILE sau REPEAT) (se foloseste cand numarul de repetitii este nedefinit)

instructiunea repetitiva cu un numar cunoscut de pasi PENTRU (FOR) (se foloseste cand numarul de repetitii este cunoscut – un numar fix de ori.)

Instructiunea WHILE

Sintaxa :

while (expL) instructiune;Efect

1. Se evalueaza expresia logica2. Daca valoarea expresiei logice este 1 (adevarata) se executa instructiunea si se revine la pasul 13. daca valoarea expresiei logice este zero (falsa) se continua cu instructiunea de dupa punct-virgulaObservatii:

in esenta, cat timp valoarea expresiei logice este adevarata, se executa instructiunea daca valoarea expresiei logice este falsa de la inceput atunci instructiunea nu se mai executa daca WHILE trebuie sa repete mai mult de o instructiune, acestea se vor incadra intre acolade; instructiunea WHILE se mai numeste “repetitiva cu test initial” sau “conditionata anterior”,

pentru ca intai verifica valoarea conditiei si apoi executa secventa ce trebuie repetataProblema exemplu. Fie A si B doua valori naturale. Sa se simuleza impartirea cu rest a lui A la B (prin scaderi repetate) si sa se determine catul si restul impartirii.#include <iostream.h>

void main()

{//declararea

int A, B, C=0;

//citirea

cin>>A>>B;

//prelucrarea

while(A>=B) {A=A-B; C++;};

//Afisarea rezultatelor

cout<<"catul este :"<<C<<endl;

cout<<"restul este : "<<A;

}

Explicatii. Cand impartim pe A la B cautam “de cate ori se cuprinde” B in A, altfel spus cate scaderi ale lui B din a se pot face.

Un tip e problema ce necesita folosirea instructiunii WHILE este prelucrarea unui sir de valori ce se incheie cu zero.Ideea : Se citeste fiecare valoare si daca este nenula se prelucreaza; Acest pas se repeta pana citim valoarea zero. (Ex: 23, -4, 5, 12, 79, 0).

Codul corespunzator este:

cin>>x;

While (x!=0) { //prelucrez valoarea X citita;

..............................

//citesc urmatoarea valoare din sir

cin>>x;};

Probleme ce folosesc acest algoritm pot umari:

numarul de valori din sir valoarea maxima/minima numarul de aparitii a unei valori K

10.

Instructiunea FOR


instructiunea repetitiva cu test initial CAT TIMP (WHILE) (se foloseste cand numarul de repetitii este nedefinit) instructiunea repetitiva cu test final REPETA-PANA CAND (DO WHILE sau REPEAT) (se foloseste cand numarul de

repetitii este nedefinit) instructiunea repetitiva cu un numar cunoscut de pasi PENTRU (FOR) (se foloseste cand numarul de repetitii


Sintaxa: FOR(initializare; test final; pasul urmator) instructiune; for (i=A; i<=B; i++) {secventa de repetat} for (i=1; i<=n; i++) {secventa de repetat}

Efect: pentru fiecare valoare a contorului i intre expresia initiala si expresia finala se executa instructiunea;

Exemplu: for (i=1; i<=n; i++) cout<<” Nu ma prinzi!”; pentru fiecare valoarea a variabilei i, de la 1 la N, se afiseaza ” Nu ma prinzi!”; de N ori daca secventa ce trebuie repetata contine mai multe instructiuni, acestea se vor grupa cu acolade

Observatii: instructiunea este “ceruta” daca descrierea algorimului spune “de la valoarea X la valoarea Y”, “pentru primele X valori”,

“de X ori”, …

11.1.

L14. Conversia unui numar din baza 10 in baza B

Un numar NB scris in baza B are “cifre” cu valori intre 0 si B-1.

Pentru a obtine reprezentarea numarului N10 in baza B, trebuie sa realizam un sir de impartiri repetate la B.

Fie N10=2490 si B=8

2490 impartit la 8 produce catul 311 si restul 2.




Luam resturile in ordine inversa si obtinem NB=4672.

Algoritmul de mai jos urmareste exact acest tip de calcul. Se observa ca pentru constructia lui NB trebuie sa lipim fiecare rest in

fata numarului NB.

citeste N10;

NB=0;

p10=1;

cat timp(N10!=0)

{

NB=NB+P10*(N10%B);

P10=P10*10;

N=N/B;

}

scrie NB.

11.2

L13. Conversia unui numar din baza B in baza 10

Un numar NB scris in baza B are “cifre” cu valori intre 0 si B-1. Problema noastra este sa determinam ce numar N10 ii corespunde

lui NB pentru baza 10.

Pentru aceasta sa observam urmatorul exemplu. Un numar in baza 10, N10=2490 poate fi scris si in forma canonica, adica

N10=2*10^3+4*10^2+9*10^1+0*10^0.

Fie NB=4672 scris in baza B=8. Pentru a converti NB in baza 10 trebuie sa il scriem in forma canonica.

N10=4*8^3+6*8^2+7*8^1+2*8^0. Dupa calcule se obtine valoarea N10=2490.

Practic trebuie sa calculam o suma de produse a cifrelor din NB cu puteri ale bazei. Vom folosi algoritmul de prelucrare a cifrelor

unui numar (NB).

citeste NB, B;

N10=0;

PB=1;

executa{

N10=N10+(NB%10)*PB;

PB=PB*B;

NB=NB/10;

}cat timp (NB!=0);

scrie N10;

11.3

L12. Sirul lui Fibonacci

Sirul lui Fibonacci este 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …. si are legatura cu celebrul numar de aur.

Se observa ca sirul incepe cu valorile 1 si 1 , dupa care, fiecare noua valoare se obtine prin adunarea ultimelor doua valori:

F(1)=1 F(2)=1 F(n)=F(n-1)+F(n-2)

Pentru noi problema este de a determina al N-lea termen din sir.

Daca N=1 sau N=2, raspunsul este simplu, 1. In restul cazurilor trebuie ca avand mereu ultimile valori A si B, sa calculam noua

valoare C=A+B (mereu trebuie memorata noua pereche formata – ultimile doua valori determinate)

citeste N;

A=1;B=1;

daca (N<=2) atunci scrie 1;

altfel {pentru i=3,N executa

{//calculam noua valoare

C=A+B;

//pregatim noua pereche

A=B;B=C}

scrie B;}

11.4

L11. Cmmdc. Cmmmc

C.m.m.d.c. este acronimul (prima litera de la fiecare cuvant) de la “cel mai mare divizor comun” si se aplica pentru doua numere

naturale.

Problema. Fie doua numere naturale A si B. Sa se determine cel mai mare divizor comun a lui A si B.

Sa citim iar. Practic trebuie sa determin un numar natural care sa fie divizor atat pentru A cat si pentru B. Daca sunt mai multe

numere in aceasta situatie, atunci il aleg pe cel mai mare. Ceea ce ma duce cu gandul la

Varianta 1.

citeste A, B;

cmmdc=0;

pentru D=1 pana la A executa

daca (A%D==0 si B%D==0 ) atunci cmmdc=D;

scrie cmmdc;

Practic, cmmdc-ul va fi cel mult unul dintre numere. As putea sa fiu prevazator si sa aleg ca limita superioara pe cel mai mic dintre

A si B. Si conditia de numitor comun se poate rescrie A%D +B%D==0.

Varianta 2.

citeste A,B

min=A; daca (min>B) atunci min=B;

pentru D=1 pana la min executa

daca (A%D +B%D==0) atunci cmmdc=D;

scrie cmmdc;

Varianta 3.

Problema nu e noua, Euclid (cca 325 – 265 î.Hr.!!!!!) s-a gandit si el la acelasi lucru si a gasit o solutie.

http://ro.wikipedia.org/wiki/Euclid

http://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio

http://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number

OBS. M-am gandit de multe ori cum sa explic elevilor ce anume l-a facut pe Euclid sa se gandeasca la problema cmmdc si mi-am

imaginat urmatorul scenariu: Euclid avea o camera de latime A si lungime B pe care sotia lui vroia sa o acopere cu placi

patrate de gresie. Pentru a-si impresiona prietenele, placile trebuiau sa acopere integral suprafata camerei si sa fi cat mai

mari. Cum a rezolvat Euclid problema? Practic trebuie desenat un caroiaj cu patrate de latura CMMDC.

Daca D este divizorul comun a lui A si B, atunci estista A2 si B2 asa incat:

A=D*A2 B=D*B2 si deduce ca si diferenta acestor numere are acelasi divizor comun A-B=D*(A2-B2)

Practic, in “lenea” lui de a calcula cmmdc(A,B), Euclid propune mereu o pereche mai mica (A-B, B) daca A>B sau (A, B-A) daca

B>A. Deci, cmmdc(A, B) este

(A-B, B) daca A>B (A, B-A) daca B>A A daca A==B

Se observa ca in primele doua cazuri trebuie sa reluam algoritmul, ceea ce ne duce cu gandul la urmatoarea secventa:

citeste A,B

cat timp (A!=B) executa

daca (A>B) atunci A=A-B;

altfel B=B-A;

scrie A;

Varianta 4.

Deci varianta 3 e de acum 2000 de ani! Intre timp, s-a mai facut o varianta. Daca A=23456 si B=89 ar trebui sa se efectueze o

multime de scaderi a lui B din A. Scaderi repetate, pana nu se mai poate scadea pe B din A! Asta este o impartire si ce ramane in

A este restul. In consecinta, pe cel mai mare il vom transforma in restul impartirii. Cand ne oprim? Ne vom opri cand A sau B vor fi

nule, ceea ce inseamna ca cealalta valoare, nenula, va fi CMMDC.

citeste A,B;

cat timp (A*B!=0) executa //daca nici unul nu e nul….

daca (A>B) atunci A=A%B;

altfel B=B%A;

scrie A+B; //afisez valoarea nenula

Varianta 5.

Desi varianta 4 e o solutie respectabila, inca nu e de ajuns. Practic, la fiecare iteratie se executa 2 teste – cel din CAT TIMP si cel

din DACA. Varianta urmatoare foloseste aceeasi idee de mai sus dar elimina unul din teste.

citeste A,B;

cat timp (B!=0) executa

{R=A%B; A=B; B=R;}

//se iese cand B este nul=>

scrie A;

Analiza variantelor

Evident, ultima varianta este cea mai buna. Am explicat deja ratiunile prin care s-a trecut de la o varianta la alta. In vederea

examenului de bacalaureat va trebuie toate variantele, indeosebi ultima pentru momentul cand va trebui sa programati.

Calculul CMMMC

Pentru calculul matematic a cmmdc pentru doua numere A si B, se realizeaza descompunerea in factori primi si apoi se considera

termenii comuni, la puterea cea mai mica.

Pentru calculul matematic a cmmmc pentru doua numere A si B, se realizeaza descompunerea in factori primi si apoi se

considera termenii comuni si necomuni, la puterea cea mai mare.

Practic daca as scrie produsul A*B ca inmultire intre descompunerile lor, as observa ca toti termenii existenti sunt fie parte a

CMMDC, fie parte a CMMMC. De aici apare si relatia A*B=CMMDC(A,B)*CMMMC(A,B). Practic ne vom folosi

de CMMMC(A,B)=A*B/CMMDC(A,B).

citeste A,B

A2=A; B2=B; //salvez separat datele initiale

//calculez CMMDC

cat timp (B!=0) {R=A%B; A=B; B=R;}

//afisez CMMMC

scrie “CMMMC este “, A2*B2/A.

11.5

L10. Algoritmi fundamentali. Divizibilitate. N este prim?

Divizibilitate

Problema. Pentru un N dat, care sunt divizorii lui N?

Multimea divizorilor lui N este cuprinsa intre valorile 1 si N. Un numar D este divizor al lui N daca N se imparte exact la D. Pentru

noi, impartirea exacta inseamna ca restul impartirii lui N la D este zero. Trebuie sa cautam acele valori intre 1 si N la care N se

imparte exact. Vom aifsa si vom numara aceste valori.

natural N, D, NR;

NR=0;

citeste N;

pentru D=1, N executa

daca (N%D==0) atunci { scrie D; NR=NR+1}

scrie NR;

Cu numarul de divizori putem stabili daca numarul N este prim.

daca (NR==2) atunci scrie N, " este prim!"

Este N numar prim?

Problema. Fie N un numar natural. Este N numar prim?

Conform matematicii un numar N este prim daca are drept divizori pe 1 si pe N.

Varianta 1. Ideea este sa realizam cat mai putine teste, astfel incat algoritmul sa se incheie mai repede D=2; cat timp (D<=N-1 si N%D!=0) executa D=D+1; daca (N%D==0) atunci scrie “divizibil” altfel scrie “prim”

Am redus doua teste : nu mai testam cazul D=1 si D=N. De asemenea, profitam de situatia in care gasim primul divizor pentru a

iesi din repetitie. Totusi, pentru cazul in care numarul ar fi prim, inca se executa N-2 pasi.

Varianta 2. Numarul 2 este cel mai mic potential divizor. Deduc ca numarul N/2 este cel mai mare potential divizor.

D=2; cat timp (D<=N/2 si N%D!=0) executa D=D+1; daca (N%D==0) atunci scrie “divizibil”

altfel scrie “prim”

In aceasta varianta se executa, in cel mai rau caz, N/2 operatii. Super! Am redus munca la jumatate! Se poate mai bine?

Varianta 3. Sa cercetam, in continuare, perechile de potential divizori: 2 cu N/2, 3 cu N/3, 4 cu N/4, …. Observ ca pe masura ce

primul termen creste, al doilea scade. Deduc ca, la un moment dat cei doi termeni pot fi egali. Adica ar putea fi un element X astfel

incat N==X*X sa fie adevarat! In consecinta X=radical(N) . Deci ultima pereche care ar trebui studiata este cea cu radical (N). D=2; cat timp (D<=radical(N) si N%D!=0) executa D=D+1; daca (N%D==0) atunci scrie “divizibil” altfel scrie “prim”

Este cert ca radical(N)<N/2. Iata ca am obtinut un numar mai mic de operatii. Sa cercetam cat de eficienti sunt algoritmii nostri.

Numarul N=611953 este prim, spun unii. varianta 1 va executa maxim 611951 pasi varianta 2 va executa maxim 305 976 pasi

varianta 3 va executa maxim 782 pasi!!!!!!!E ceva, nu?

Varianta 4. Si inca mai merge… daca (N==2) atunci scrie “prim” altfel daca (nN%2==0 ) atunci scrie “divizibil” altfel {

o D=3;o cat timp (D<=radical(N) si N%D!=0) executa D=D+2;o daca (N%D==0) atunci scrie “divizibil”o altfel scrie “prim” }

Algoritmul de mai sus verifica daca N este 2 si elimina din discutie numerele pare. Pentru ca majoritatea numerelor prime sunt

impare, parcurg numai valorile impare si le intreb daca nu cumva sunt divizori pentru N.

Varianta 4 va efectua maxim 390 pasi pentru N=611953.

11.6

L9. Algoritmi fundamentali. Siruri de numere

Pentru a prelucra un sir de numere trebuie sa stim fie numarul de valori in discutie (sir cu numar cunoscut de valori), fie sa avem o

valoare care sa marcheze sfarsitul sirului (de obicei – zero).

Prelucrarea unui sir cu numar cunoscut de valori


FOR/PENTRU.

natural x, n, i;

citeste N


{ citeste X;

//prelucrez X

........

}

http://www.cs.arizona.edu/icon/oddsends/primes.htm

Prelucrarea unui sir cu un numar necunoscut de valori (care se incheie cu

zero)




citeste x;

cat timp (x!=0) {


.........


citeste X

}

Probleme

1. Sa se calculeze suma/produsul valorilor din sir2. Sa se determine valoarea minima/maxima dintre valorile citite.3. O valoare data Y se gaseste in sir?4. De cate ori apare o valoare data Y?5. Presupunand ca sirul reprezinta coeficientii uni polinom ( dati incepand cu gradul cel mai mic), calculati valoarea

polinomului intr-un punct Y.

11.7

L8. Algoritmi fundamentali. Prelucrarea cifrelor unui numar natural

Fie N un numar natural. Avem nevoie sa prelucram pe rand cifrele unui numar natural.

In prelucrarea cifrelor numarului, cel mai usor ajungem la ultima cifra (N%10) . Dupa prelucrarea ei, ultima cifra va trebui inlaturata

(N=N/10). Si totul trebuie repetat cat timp N mai are cifre (N!=0).

De vreme ca nu stim cate cifre are N, nu putem folosi intructiunea FOR/PENTRU. Raman instructiunile repetitive cu un numar

necunoscut de pasi : CAT TIMP EXECUTA/WHILE si EXECUTA CAT TIMP/ DO WHILE.

Pentru CAT TIMP EXECUTA/WHILE am un contraargmuent. Algoritmul ar trebui sa fie


.......N%10;


N=N/10;

}

Daca utilizatorul doreste sa aplice algoritmul pentru valoarea zero, nu se va efectua nimic si secventa noastra nu se va

executa.Evident, situatia se poate evita prin plasarea unui test inainte de CAT TIMP , care sa verifice daca N este nul.

Nu ramane decat varianta cu EXECUTA CAT TIMP/DO WHILE.

executa{ //prel ultima cifra a lui N

.......N%10;


N=N/10;

} cat timp (N!=0);

Cateva probleme clasice pentru acest algoritm:

1. Sa se numere cate cifre are numarul N2. Sa se stabileasca cate cifre pare/impare are numarul N.3. Sa se stabileasca daca N contine o cifra data, CIF.4. Sa se numere de cate ori apare cifra CIF in numarul N.5. Sa se determine cifra maxima/minima din numarul N6. Sa se construiasca “oglinditul” numarului N. Pentru N=3648 se va afisa 8463.7. Sa se stabilesca daca N este palindrom (egal cu oglinditul sau).8. Pentru un numar N dat, sa se construiasca cel mai mare numar natural care se poate forma cu cifrele lui N.


.......N%10;


N=N/10;

}

Informatica Clasa 9+10

Documents

Transcript of Informatica Clasa 9+10