1 UNIVERSITATEA BUCURETI Master Administrarea relatiilor Publice si Asistenta Manageriala STATISTICA APLICATA Profesor indrumator:Conf.univ.dr.Cornelia Nistor

Student: Mereuta Mihai Alexandru Anul II master 2 Indicatorii simpli si sintetici ai variatiei Graduldecomplexitateaunuifenomenestedatdegamafactorilordeinflueni variabilitatea termenilor unei serii de repartiie. Aceasta nseamn c analiza tendinei centrale cu ajutorul indicatorilormedii necesit operaii de verificare a reprezentativitii lor n raport cuvalorileindividualealecaracteristicilornregistrate,adicestenecesarcalcularea indicatorilorstatisticiaivariaieintlniinliteraturadespecialitateisubdenumireade indicatoriaimprtieriisauaidispersiei.Dispersiaexprimgraduldemprtierea valorilorindividualealeuneidistribuiinjurulvaloriicentraleiestedatoratinflueneifactorilor aleatori. Aceti indicatori ai variaiei sau mprtierii stau la baza calculului altor indicatori prin care se caracterizeaz asimetria, excesul, interdependena dintre factorii de influen etc. Indicatorii de variaie aduc un plus de cunoatere i informare asupra: verificriireprezentativitiimedieicavaloaretipicauneiseriide repartiie; verificrii gradului de omogenitate a seriei; comparriintimpsauspaiuamaimultorseriiderepartiiedupcaracteristici independente sau interdependente; cunoateriigraduluideinfluenacauzelordupcares-afcutgrupareaunitilor statistice nregistrate i separrii cauzelor eseniale de cauzele ntmpltoare. Dup gradul de generalitate se disting: indicatori simpli ai variaiei; indicatori sintetici ai variaiei; Dup metodologia de calcul i forma de exprimare deosebim: indicatori ai variaiei calculai ca mrimi absolute; indicatori aivariaiei calculai camrimi relative n raport cu valoarea unui indicator al tendinei centrale, n mod deosebit cu media. Dup modul de sistematizare a datelor deosebim: indicatori ai variaiei ntr-o serie de repartiie unidimensional; indicatori ai variaiei calculai pentru serii de distribuie multidimensionale. Indicatorii simpli ai dispersiei msoar cmpul de mprtiere al caracteristicii, precum i imprtierea fiecrui nivel individual al caracteristicii fa de nivelul lor mediu. Indicatoriisimplicaracterizeazvariaiauneisingurevarianteacaracteristiciin comparaiecualtvariant saucunivelulmediual acesteicaracteristici.Acetiindicatori se pot exprima n uniti absolute, ct i relative (%) calculate n raport cu media. 3 Amplitudineaabsolut a variantei (A) seobine cadiferen ntrevaloareamaxim (x max) ivaloareaminim(xmin) a serieii are rolulde amsuraintervaluldemprtieren interiorul cruia se distribuie unitile colectivitii: A = Xmax Xmin ncazuluneidistribuiidefrecvenepeintervaleamplitudineaabsolutavariaieise determinprindiferenadintrelimitasuperioaraultimuluiintervalilimitainferioara primului interval. Dac este o serie cu intervale deschise, se va proceda la nchiderea intervalelor. Amplitudinea relativ a variaiei (A%) se exprim n coeficient sau n procente i se calculeaz, de obicei, ca raport ntre amplitudinea absolut a variaiei (A) i valoarea medie a caracteristicii. 100xA% A=Acestindicator,amplitudineavariaiei,nambeleforme,nuestesuficientde semnificativpentruanalizamprtieriivalorilorindividuale,deoareceineseamanumaide valorile extreme ale caracteristicii. Amplitudinea variaiei se folosete nmod practic la alegerea numrului de grupe i a mrimii intervalului de grupare. Abaterileindividualeabsolute(di)secalculeazcadiferenntrefiecarevariant nregistrat i media aritmetic a acesteia. x x di i =n funcie de scopul cercetrii, n locul mediei se poate lua mediana sau modulul. Abaterile individuale relative (di%) se calculeaz ca raport ntre abaterile individuale absolute i nivelul mediu al caracteristicii. 100xx x100xd% di ii

==pentrun , 1 i =Indicatorii simpli ai variaiei permit o caracterizare parial i aproximativ a variaiei, deoarece se calculeaz pe baza relaiilor dintre doi termeni ai seriei sau prin comparaia dintre fiecare termen i media lor. Apreciereaconinutuluirealalmedieicalculatesefaceprinutilizareaabaterilor variantelor extreme: abaterea maxim superioar:x x dmax s = abaterea maxim inferioar:x x dmin i = 4 Aplicatia1 Frauda medie a unui lot de 10 firme controlatese prezint astfel(date ipotetice): numrul de ordine:1 2 3 4 5 6 78910 al firmelor (n): frauda medie (xi)1,20,91,10,81,51,60,80,81,30,9 (mild u.m.): Amplitudinea absolut a variaiei:A = x max -x min = 1,6-0,8 = 0,8 mil. lei Amplitudinea relativ a variaiei:xx x% Amin max

=unde: =+ + + + + + + + += ==109 , 0 3 , 1 8 , 0 8 , 0 6 , 1 5 , 1 8 , 0 1 , 1 9 , 0 2 , 1nxxn1 ii = 1,09 milioane lei Abaterileindividualeabsolutesecalculeazpentrufiecaretermen:x x di i = deunde pentru: primul termen va fi: 1,21,09 = 0,11 mil al doilea termen: 0,91,09 = 0,19 mil Abaterile individuale relative: % 09 , 10 10009 , 109 , 1 2 , 1100xd% dii=

==pentru primul termen i% 4 , 17 10009 , 109 , 1 9 , 0 =

pentru al doilea termen Abaterea maxim superioar:51 , 0 09 , 1 6 , 1 x x dmax s===mild u.m. Abaterea maxim inferioar: 29 , 0 09 , 1 8 , 0 x x dmin i ===mild u.m. nconcluzie:variaiantrefraudamaxima(1,6mildu.m.)ifraudaminima(0,8mild u.m.)estede0,8mildu.m.iarabatereamaximfademedieeste0,51mildu.m.,iarcea minimde0,29mildu.m.Nuestelipsitdeimportan,pentrucaracterizareafraudei intregului lot verificat, nici frecvena valorilor maxime (1), ct i a celor minime (3). Indicatorii sintetici ai variaiei caracterizeaz gradul de variaie, lund n consideraie toi termenii seriei. Acetia caracterizeaz ntr-o singur expresie numeric ntreaga variaie a unei caracteristici din colectivitatea analizat. nfunciedemetodologiadecalcul,dencrcturainformaional,nstatisticse calculeaz urmtorii indicatori sintetici ai mprtierii: abaterea medie liniara; abaterea medie ptratic (deviaia standard); dispersia (variana); 5 coeficientul de variaie. Indicatoriisinteticipotficalculaicamrimimedii,cusferdeaplicabilitatenumaila variabile comparabile i ca mrimi relative, de coeficieni, cu sfer larg de comparabilitate. Abatereamedieliniar (d) secalculeazcamedie aritmetic simplsauponderat,n funcie de felul seriei,a abaterilor termenilor seriei de lamedia lor luate nvaloare absolut adic: nx xdix

=pentru o serie simpl; ii ixnn x xd

=pentru o serie de frecven; 100n x xd*i ix

=pentru o serie de frecvene relative Acestindicatorpoateficoncludentnumaidacseriaprezintungradmarede omogenitate. Observaii privind coninutul i metodologia de calcul ale abaterii medii (Al. Isaic- Maniu i colab., 1994) abaterea medie se exprim n unitatea de msur a caracteristicii; n cazul seriilor de distribuie de frecvene pe intervale n locul variabilelor xi se vor lua n calcul centrele de interval; n calculul abaterii medii ne putem limita numai la valorile individuale ale caracteristicii superioarevaloriimedii,deoarecentr-oseriededistribuiesumaalgebricaabaterilor pozitive este egal cu suma abaterilor negative absolute; abatereamediecalculatnraportcumediaaritmetic) s d estemaimare,deregul, dect abaterea medie calculat n raport cu mediana ) Me d abaterile mari n valoare absolut influeneaz n msur maimare gradul de variaie al unei caracteristici, n comparaie cu abaterile mai mici. Dispersia(s2)secalculeazcaomediearitmeticsimplsauponderataptratelor abaterilor termenilor seriei de la media lor. Astfel:

)nx x2i 2x

= opentru o serie simpl;

)ii2i 2xnn x x

= o pentru o serie de frecven;

)100n x x*i2i 2x

= o pentru o serie de frecvene relative; undem , 1 i = Abaterea medie ptratic sau abaterea standard () se calculeaz ca o medie ptratic simpl sau ponderat a abaterilor valorilor seriei fa demedia lor, respectiv rdcina ptrat din dispersie: 2o = o6 Abatereamedieptraticreflectntr-omaimaremsurinfluenafactoriloraleatori comparativ cu abaterea medie liniar. Abaterile extreme prin ridicarea la ptrat au o influen mai mare dect abaterile intermediare, mai apropiate de medie. Abaterea medie ptratic este mai mare dect abaterea medie liniar ) d > o . Coeficientuldevariaie(v)secalculeazcaraportprocentualntreabatereamedie liniar sau abaterea medie ptratic i media aritmetic: 100x; 100xd

o= v= vCoeficientuldevariaiearatcte unitidinabatereamedieliniarsaudinceaptratic revin la 100 de uniti de medie. Coeficientul de variaie, comparativ cu ceilaliindicatori ai dispersiei calculai nmrimi medii ) o , d , mrete sfera de comparabilitate a acestuia, deoarece poate fi exprimat n uniti de msur diferite. Coeficientul de variaie poate lua valori cuprinse ntre 0-100%(0 < v < 100%). Cnd coeficientul de variaie tinde spre zero, se consider o variaie slab, o colectivitate omogen i o medie cu un grad ridicat de reprezentativitate. Cndcoeficientuldevariaietindespre100%,variaiaesteintens,colectivitatea eterogen, iar media are un grad de reprezentativitate redus. Catestdesemnificaieareprezentativitiimedieisepotstabiliurmtoarelepraguride semnificaie: 0 >o= =o== = = Valorile coeficientului de variaie se situeaz sub 17% i se pot concluziona: media calculat este strict reprezentativ; colectivitatea este omogen; gruparea este bine realizat. In concluzie, esantionul format este reprezentativ pantry cele 700 de firme. Se poate estima ca nivelul evaziunii fiscale la nivelul intregii colectivitati este de circa 105840 mil u.m. 12 BIBLIOGRAFIE 1.Zizi Goschin, Mihaela Vatui Statistica, ed ASE, Bucuresti 2002 2.Cornelia Nistor - Elemente de statistica3.Emilia Titan, Simona Ghita, Cristina Trandas - Statistica economica, ed ASE, Bucuresti 2000