Independenta, Dependenta Si Conditionare Statistica

Independen, dependen i condiionare statistic

Dependena statistic se refer la un tip de relaie ntre dou caracteristici ale unor entiti studiate Aceste entiti pot fi, spre exemplu, indivizi, obiecte sau diferite stri ale naturii. n cazul independenei, cunotinele despre o caracteristic rmn neafectate de informaia furnizat despre o alta, n timp ce sub dependena determinist, este urmrit cu certitudine evoluia unei variabile n funcie de nivelul alteia.Definiia acestor tipuri extreme de relaii este simetric fa de cele dou caracteristici implicate, ns n formele intermediare, dependena statistic poate sau nu poate fi considerat sub o form simetric, depinznd de context. Un tip simetric de dependen va fi considerat potrivit dac variabilele implicate sunt exprimate ca atare (ex.: msurtori, caracteristici ale personalitii etc.), n timp ce o form asimetric de dependen implic una sau mai multe variabile considerat/considerate c un posibil rspuns pentru o alta/altele (ex.: creterea pretului datorat creterii cererii).Independena, din punct de vedere al teoriei probabilitii se refer la apariia unui eveniment care nu face un altul nici mai mult, nici mai puin probabil. Spre exemplu, la extragerea cu revenire dintr-o urn n care se afl bile numerotate de la 0 la 9, evenimentul de a se obine bila cu numrul 8 la prima extragere este independent de cel de a se obine bila cu acelai numr i la a doua extragere. Aceast relaie nu s-ar aplica dac extragerea ar fi fr revenire (bila extras nu se mai introduce n urn) sau dac s-ar cere ca suma cifrelor de pe bilele obinute la prima i a doua extragere s fie 14.Conform definiiei standard, evenimentele A i B sunt independente dac i numai dac , unde reprezint intersecia celor dou evenimente, cu condiia ca cele dou evenimente s aib loc.n general, orice colecie de evenimente, indiferent de numrul acestora, sunt reciproc independente dac i numai dac pentru fiecare submulime 1, , n se respect relaia numita regula de multiplicare a evenimentelor independente.

Dac dou evenimente A i B sunt independente, atunci probabilitatea conditiona a lui A n funcie de B este egal cu probabilitatea necondiionat (sau marginal) a lui A

Sunt cel puin dou motive pentru care aceast relaie nu poate fi privit ca o definiie a independenei:a) Cele dou evenimente A i B nu joac roluri simetrice in relaie;b) Nu se consider cazul ca probabilitatea s fie 0.n mod similar, dou variabile aleatoare sunt independente dac densitatea de probabilitate a oricreia este aceeai indiferent de valoarea observat a celeilalte. Matematic, acest fapt se ntmpl dac i numai dac

unde f este funcia densitii de probabilitate (funcia densitii de probabilitate pentru x i y poate fi exprimat ca produsul funciilor marginale).este funcia marginal de densitate de probabilitate a lui x. Analog pentru variabila y.Dac X i Y sunt independente, media are urmtoarea proprietate: , n timp ce covariana este 0 conform proprietii .

n statistic, dependena se refer la orice relaie statistic ntre dou variabile aleatoare sau seturi de date. Corelaia se refer la orice clas de relaii statistice ce implic dependen.Cea mai cunoscut msur a dependenei ntre dou cantiti este coeficientul de corelaie Pearson, obinut prin mprirea covarianei la produsul abaterilor standard.

unde cov reprezint covariana, iar E, media.

Coeficientul de corelaie Pearson ia valoarea +1 n cazul unei relaii liniare i pozitive, -1 n cazul unei relaii liniare negative i orice valoare ntre -1 i +1 n toate celelalte cazuri de depende liniar ntre variabile. Apropierea de valoarea 0 indic absena unei relaii, n timp ce cu ct coeficientul este mai apropiat de -1 sau +1, corelaia este mai puternic ntre cele dou variabile.

Orice dependen statistic observat este o relaie condiional din moment ce mereu vor exista condiionri, cel puin implicit, la locul i timpul studiului. Forme explicite ale condiionrii pot rezulta din analiza statistic ce implic un anumit numr de variabile nregistrate. n cazul evenimentelor, probabilitatea evenimentului A condiionat de B se determin dup:, dac P(B)Cnd se construiesc modele probabilistic pentru experimente care au un caracter secvenial, deseori este avantajos s fie specificate mai mti probabilitile condiionate, care s fie apoi folosite pentru a determina probabilitile necondiionate. Pentru aceasta este folosit regula P(A= P(B)P(A|B) care este o rescriere a definiiei probabilitii condiionate.

E(X|Y=y), media condiionat dac X discretE(X|Y=y)=, media condiionat dac X continu

Spre exemplu, considerm c avem un total de 15 monede. Pentru 5 dintre acestea, probabilitatea ca, n cazul aruncrii, faa rezultat s fie pajura este de 50%. Pentru restul de 10, probabilitatea ca, n cazul aruncrii, faa rezultat s fie pajura este de 20%. Dup extragerea unei monede i aruncarea acesteia de 6 ori, se constat c n 4 cazuri rezultatul a fost pajura. Se cere probabilitatea de a se fi extras o moned din cele 5 tiind c n 4 din 6 cazuri rezultatul a fost pajura.A = evenimentul de a se fi extras o moned din cele 5B = evenimentul ca c n 4 din 6 cazuri rezultatul a fost pajura

Moise Laura-MdlinaGr. 1039