1

OPTIMIZAREA TOPOLOGICĂ

A STRUCTURILOR MECANICE

1. INTRODUCERE

Tehnicile actuale de optimizare structurală sunt sintetizate în figura 1. Optimizările de

topologie urmăresc distribuţia optimă a materialului într-o structură pentru solicitările date. Este

o optimizare multicriterială, procedura găsind soluţii pentru solicitări multiple. Optimizările de

topografie se mai numesc şi optimizări de amprentă. Se aplică pentru structuri cu pereţi subţiri.

(ex. un rezervor de combustibil). Optimizările de formă sunt optimizări locale şi urmăresc

găsirea formei optime pentru o singură solicitare a structurii. Se accesează la elaborarea

detaliilor.

Fig. 1 Tehnici de optimizare actuale

Optimizările de parametri urmăresc găsirea valorii parametrilor care satisfac cel mai bine

criteriile definite de utilizator şi permit minimizarea unei funcţii obiectiv.

Optimizarea topologică reprezintă stabilirea configuraţiei spaţiale generale a elementelor

componente sau a legăturilor unei structuri. Scopul este repartizarea cât mai raţională a întregului

material utilizat. Optimizarea de topologie se mai numeşte şi optimizarea generalizată a formei.

Ȋn programele de elemente finite actuale sunt implementate proceduri de optimizare topologică

ce urmăresc scăderea volumului de material din structură pe baza algoritmului SIMP (Solid

Isotropic Microstructure with Penalty for intermediate densities – implementat în ANSYS).

Această procedură este considerată eficientă în identificarea alternanţelor structurale de tip plin-

gol. Algoritmul modifică densităţile elementelor intermediare şi este utilizat pentru diminuarea

considerabilă a greutăţii structurilor.

1. Optimizarea de

topologie

distributia optima a

materialului

2. Optimizarea topografica

determinarea amprentei pe

componente cu pereti subtiri

3. Optimizarea formei

imbunatatirea formei constructive a

componentelor existente

4. Optimizarea parametrilor

Grosimi, sectiuni transversale, dimensionari

t; a b

t

b

a

2

2. ALGORITMUL SIMP (implementat în ANSYS)

Algoritmul SIMP caută să minimizeze energia complianţei structurale Uc, care reprezintă

chiar funcţia obiectiv. Variabilele de proiectare sunt pseudodensităţile interne i atribuite fiecărui

element finit i .

Pentru o structură 3D şi în domeniul liniar-elastic, complianţa [D]-1

reprezintă inversul

matricei de elasticitate [D], care leagă vectorul tensiunilor {} de cel al deformaţiilor }{ , după

legea cunoscută din teoria elasticităţii:

}]{[}{ D (5)

zyzyxzx

zyzyxyx

zxzyxyx

zyx

EEE

EEE

EEE

D

/1//

//1/

///1

][ 1 (6)

Pseudodensităţile elementare i variază între 0 şi 1. Valoarea io reprezintă materialul

care trebuie îndepărtat, iar zonele pentru care i1 reprezintă materialul care trebuie menţinut.

Formularea matematică a problemei de optimizare în acest caz este

mincU 10 i (i=1,2...N) (7)

unde N reprezintă numărul de elemente finite. Volumul total al structurii V este reactualizat

după fiecare iteraţie.

*0 VVV , (8)

unde V0 reprezintă volumul iniţial, iar V* - cantitatea de material care trebuie îndepărtată.

Volumul total al structurii este calculat ca suma volumelor elementelor, adică:

i

iiVV , (9)

unde Vi reprezintă volumul elementului i.

În timp ce complianţa Uc şi volumul total V reprezintă condiţii globale, la nivelul

elementelor finite individuale se efectuează calcule precise şi critice pentru a stabili nivelul

pseudodensităţilor elementare.

Pseudodensităţile au efect asupra volumului şi tensorului elasticităţii pentru fiecare

element finit.

)]([][ ii EE (10)

unde tensorul elasticităţii este folosit pentru a relaţiona vectorul tensiunilor cu vectorul

deformaţiilor, după ecuaţia valabilă pentru fiecare element finit:

}]{[}{ iii E (11)

unde {i} reprezintă vectorul tensiunilor pentru fiecare element finit i, iar {} - vectorul

deformaţiilor elementului. Dependenţa exactă a tensorului elasticităţii şi complianţei în funcţie

de densitate este prezentată în detaliu în literatura de specialitate [5],[6].

3

Optimizarea topologică poate fi aplicată pentru un singur caz de încărcare sau pentru o

încărcare multiplă, aplicată simultan. Pentru un număr k de cazuri de încărcare diferite, funcţia

de greutate este definită

k

i

iciccc UwUUUF

1

321 ),...,,( (12)

unde wi reprezintă greutatea structurii pentru cazul de încărcare cu energia de complianţă

structurală icU . Funcţia care trebuie minimizată Uc este înlocuită în acest caz cu funcţia F.

3. TEHNICI INTEGRATE DE OPTIMIZARE STRUCTURALĂ

Scopul implementării tehnicilor integrate de optimizare topologică în sistemele CAD îl

reprezintă automatizarea procedurilor de proiectare şi scăderea duratei proiectării. Nucleul

procesului de proiectare îl constituie sistemul CAD, care are şi un modul de calcul prin elemente

finite. În acest sistem procedurile de optimizare topologică trebuie introduse în fazele iniţiale.

Încă din etapele iniţiale ale proiectării concepţia structurii este orientată către tipul de

solicitare real. În fig. 5 este prezentat exemplul structurii unei maşini de frezat. Deoarece

optimizarea topologică este o procedură care lucrează pe structura discretizată, postprocesarea

informaţiilor obţinute după această primă etapă de optimizare trebuie să se realizeze într-un

modul CAD, prin interpolarea cu funcţii spline a modelului 3D. Pe parcursul acestui proces sunt

generate întâi profilurile pe fiecare strat, după care este reconstituit întregul model. Structura 3D

astfel obţinută reprezintă soluţia iniţială care urmează să fie verificată.

Fig. 2. Exemplu de optimizare topologică a structurii unei maşini de frezat pentru mecanică fină

Prin aplicarea acestor tehnici integrate de optimizare starea de tensiuni din structură este

omogenizată prin redistribuirea sistematică a materialului. Rezultatul final este prototipul virtual

în sistemul CAD, care asigură un răspuns structural controlat la solicitările reale ale ansamblului.

CONCLUZII

4

Aplicaţiile de optimizare topologică permit identificarea direcţiilor după care trebuie

dispus materialul sau elementele de rigidizare pentru elementele de structură

Acest demers trebuie făcut în fazele de început ale proiectării

Avantajul procedurii de optimizare topologică implementat în ANSYS constă în faptul

că optimizarea poate să satisfacă simultan mai multe cazuri de solicitare, în diferite combinaţii,

şi chiar având naturi diferite: tensiuni, deplasări, frecvenţe proprii, condiţii de stabilitate

structurală.

APLICAŢIE

Piesa din fig. 2 este prinsă ȋn şuruburi şi solicitată la o presiune uniformă de 100 MPa pe

suprafaţa frontală exterioară şi o temperatură de 100ºC ȋn interior. Să se propună soluţii

constructive de reducere a greutăţii cu 10%, 15% şi 45%. Să se verifice răspunsul structurii la

solicitarea dată.

Etape:

1. Importul geometriei din fișierul anchor.stp

2. Discretizarea

3. Introducerea restricţiilor şi încărcărilor

4. Optimizarea topologiei cu modulul Workbench Shape Optimization (Beta)

5. Procesarea şi interpretarea rezultatelor. Concluzii

6. Redactarea aplicaţiei şi prezentarea în format html personalizat