pag. 1

CURSUL 4 OPTIMIZARE TOPOLOGICA

Introducere

Scopul optimizării topologice (OT) este de a găsi cea mai bună utilizare a materialului unei

piese astfel încât funcţia obiectiv (rigiditatea, frecvenţa proprie) să atingă valoarea maximă sau

minimă, supusă restricţiilor date (reducerea volumului sau a masei). În general, OT se face înaintea

optimizării de formă şi mărime. Domeniul de optimizat (suprafaţa, volumul unei piese) este

discretizat cu elemente finite ca apoi să fie aplicate condiţiile la limita şi încărcările. Odată ce

funcţia obiectiv şi restricţiile au fost definite, procedura de optimizare elimină în mod iterativ

elementele ce nu sunt necesare domeniului dat, pentru a obţine forma optimă pentru problema

studiată.

Distribuţia materialului în timpul OT este controlată de o serie de factori: condiţiile la limită

(constrângerile aplicate piesei), direcţia încărcărilor, simetriile aplicate sau combinarea încărcărilor.

Efectul direcției încărcării

Modelul cu elemente finite din figura 1 este modelat cu elemente solide, este constrâns la

unul din capete şi încărcat la celălalt capăt. Prin OT se doreşte determinarea formei optime cu

reducerea cu 40% a volumului iniţial. Se obţin trei soluţii diferite în funcţie de cele trei încărcări.

În figura 1.b se obţine forma optimă pentru încărcarea 1, figura 1.c prezintă rezultatul

încărcării 2, iar figura 1.d prezintă formă optimă pentru încărcarea axială 3.

a) b)

c) d) Figura 1

pag. 2

Pod suspendat

Domeniul de optimizat este discretizat cu elemente de tip placă (shell). Un rând de elemente

reprezentând strada şi cei doi suporţi ai podului nu fac parte din domeniul de optimizat (figura 2).

Elementele ce nu vor fi supuse procesului de optimizare sunt colorate în roşu. Deasupra elementelor

corespunzătoare străzii s-a aplicat o presiune uniformă constantă. În acest caz, problema de

optimizare topologică a fost definită cu o reducere a volumului de 70%. Soluţia converge după 30

de iteraţii.

Pod de cale ferată

Pentru acest exemplu, modelul cu elemente finite este similar podului suspendat cu excepţia

modului de constrângere (suporţii). Toate gradele de libertate de translaţie din colţul din stânga au

fost constrânse, în timp ce în colţul din dreapta sunt lăsate libere, pentru a simula posibilitatea

podului de a se dilata în direcţia X. Ca domeniu ce nu va face obiectul optimizării au fost selectate

elementele din partea de jos, aplicându-li-se o presiune uniformă constantă. Modelul optimizat

topologic arată o structură simetrică, de şi condiţiile la limită nu au fost uniforme (figura 3).

Figura 2

Figura 3

pag. 3

Modelul cu elemente finite Pentru definirea modelului cu elemente finite se vor putea folosi numai tipurile de elemente

permise pentru astfel de optimizare. Ansys suportă următoarele tipuri de elemente finite pentru

optimizare topologică:

Solid 2D PLANE2 sau PLANE82

Solid 3D SOLID92 sau SOLID95

Placă SHELL93

Domeniul supus optimizării va avea atribuit

tipul de elemente numărul 1 (TYPE,1). Părţile pentru

care nu se doreşte optimizarea topologică (zone de

prindere, restricţii geometrice, zone de asamblare cu

alte subansamble) vor avea atribuite tipuri de

elemente începând cu numărul 2, aşa cum rezultă din

figura 4 (a se vedea şi figurile 2, 3).

Definirea unei probleme de optimizare topologică

Încărcările, condiţiile la limită şi paşii de

încărcare sunt întocmai problemelor de analiză liniară

elastică. Este recomandabil ca utilizatorul să verifice

soluţia statică prin soluţionarea cazului de încărcare înaintea rulării optimizării topologice. Ansys

oferă două nivele de optimizare în meniul de optimizare topologică: primul este “Basic Opt” care

permite numai un caz ce încărcare, iar al doilea este “Advanced Opt” care permite multiple cazuri

de încărcare, asa cum se arată în figura 5.

Optimizarea topologică din Ansys este controlată prin intermediul a 7

comenzi: TOFREQ, TOCOMP, TOVAR, TOTYPE, TODEF, TOEXE

și TOLOOP. Comenzile TOCOMP şi TOFREQ sunt folosite pentru a

defini funcţiile de optimizare topologică iar comanda TOVAR este

folosită pentru a defini răspunsul funcţiei obiectiv şi restricţiile. Făcând

click pe Basic Opt din meniul principal se deschide fereastra “Basic

Topological Optimization” (figura 6). În mod implicit, numărul cazului

de încărcare este 1, întrucât am ales procedura de bază a OT, iar

restricţia de reducere a volumului este propusă de program de 50%,

Figura 4

Figura 5

pag. 4

ceea ce înseamnă că volumul piesei poate scădea cu până la 50% din volumul inițial, în timp de

energia de deformare va fi minimizată.

Următorul pas este selectarea tipului de optimizare, controlată de comanda TOTYPE, vezi

figura 7. Există doua posibilităţi de abordare a soluţionării:

- după criteriul optimalităţii (OC), care este opţiunea implicită propusă de Ansys;

- prin metoda programării secvenţiale complexe (SCP).

Comanda TODEF controlează convergenţa problemei de optimizare. Funcţia obiectiv si

restricţiile sunt comparate la fiecare pas de iteraţie cu valorile lor de la pasul anterior. Dacă

diferenţa este mai mică decât toleranţa convergenţei specificată prin comanda TODEF, atunci s-a

obtinut soluţia optimă.

Figura 6

Figura 7

pag. 5

Numărul maxim de iteraţii permise la rularea unei analize de optimizare topologică este 100

şi este controlat prin comanda TOLOOP. Dacă problema nu converge în maxim 100 iteraţii, soluţia

este oprită înainte de a atinge valoarea optimă. Un număr de 50 de iteraţii se dovedeşte adesea ca

fiind suficient în cazul problemelor cu geometrii şi condiţii de încărcări cel mult medii. Pentru a

putea urmări modul în care Ansys rezolvă fiecare iteraţie, se poate bifa opţiunea PLOT “Plot

density @ each iter?”. Rularea se opreşte când, între două iteraţii, nu se mai pot „scoate” elemente

din model, cu respectarea restricţiei de reducere a volumului cu 50%.

Rezultatele optimizării topologice sunt salvate de către Ansys în fişierul de rezultate *.rst.

Pentru vizualizarea rezultatului optimizării se poate folosi comanda "Plot Densities". Densitatea

elementelor (elementală – a nu se confunda cu densitatea materialului piesei!) are valori cuprinse

între 0 şi 1. Ansys reduce densitatea la 0 (acolo unde nu este nevoie de material în urma

optimizării), aşa cum se arată în figurile 1, 2 şi 3.

În cele ce urmează, se prezintă un exemplu de optimizare topologică pentru o piesă ce face

parte dintr-un ansamblu, fiind supusă la întindere, prezentând astfel un singur caz de încărcare.

Geometria piesei a fost modelată cu ajutorul programului Pro/Engineer şi apoi importată în Ansys

pentru analiza de optimizare topologică (figura 8).

Figura 8

pag. 6

Zone de prindere ce nu vor fi supuse optimizării, având

tipul de elemente 2 (TYPE,2)

Domeniul supus optimizării, cu tip de elemente 1

(TYPE,1)

Figura 9

Figura 10

Suprafaţa interioară a urechilor de prindere a fost constrânsă pe

cele 3 direcții OX, OY, OZ.

Pe alezajul urechii inferioare s-a aplicat o

presiune uniformă constantă de 100 MPa.

pag. 7

Odată stabilite condiţiile la limită (constrângerile şi încărcările) acestea se vor salva pe hard-

disk într-un fişier ce va corespunde acestui caz de încărcare (load step). Fisierul va avea extensia

.Sn , unde n este numărul atribuit de utilizator pentru încărcarea dată (figura 11).

Înaintea unei optimizări topologice se poate face o analiză statică cu încărcările date, pentru

validarea modelului.

În continuare, definirea unei analize pentru optimizarea topologică parcurge o serie de etape

ce sunt explicate mai jos. Din meniul principal se alege submeniul “Topological Opt” şi apoi “Basic

Opt” din ramura “Set Up”. În fereastra “Basic Topological Optimization” sunt disponibile două

comenzi ale procedurii de optimizare topologică: TOCOMP și TOVAR. Pentru numărul cazului de

încărcare se pune valoarea 1, precum un singur caz de încărcare a fost salvat. Aşa cum s-a mai

specificat, comanda TOVAR defineşte restriţiile, iar în cazul nostru vom specifica o ca restricţie o

reducere de 50% a volumului piesei (figura 12).

Figura 11

Figura 12

pag. 8

Următoarele setări ale analizei de optimizare topologică se vor face din submeniul

“Advanced Opt”. Funcţia de optimizare se alege din fereastra “Topological Optimization Function”

în funcţie de tipul solicitării pentru care se doreşte analiza de optimizare, asa cum reiese din figura

13. Se alege, astfel, o funcţie specifică analizei cu un singur caz de încărcare pentru care s-a salvat

pe hard-disk fişierul nume_bază.s01. În fereastra următoare se va da un nume funcţiei de optimizare

şi se va specifica numărul cazului de încărcare existent pe hard-disk, nume determinat de extensia

fişierului de încărcare .s01, .s02, etc. După stabilirea tipului funcţiei trebuiesc precizate funcția

obiectiv şi restricţiile. În figura 14 se alege ca funcţie obiectiv “SCOMP” (compliance) care se

referă la lucrul mecanic al forţelor interioare de deformaţie care, minimizat fiind, face ca rigiditatea

piesei sa fie maximă pentru încărcările date.

Figura 13

1

2

3

Figura 14

pag. 9

Următorul pas este de a defini funcţia restricţie care, în mod implicit, este volumul piesei ce

se doreşte a fi redus. Reducerea volumului se poate specifica procentual (v. figura 15) sau prin

valori concrete, atunci când se doreşte ca volumul piesei să se încadreze între două valori. În

situaţia prezentată volumul este singura funcţie disponibilă pentru restricţii, iar valoarea procentului

de reducere este propusă aşa cum a fost definită în cadrul submeniului “Basic Opt” (figura 12).

Ultima etapă în definirea analizei de optimizare este specificarea modului de abordare a

soluţionării de către solver, prin comanda TOPYPE. Cele două opţiuni ale solverului sunt criteriul

optimal şi cel secvenţial. Criteriul optimal se alege pentru probleme la care volumul este singura

restricţie a problemei de optimizare, aşa cum e cazul nostru. Criteriul de abordare secvenţială se

alege atunci când problema are diferite combinaţii de funcţii obiectiv şi restricţii.

Tot pentru iniţializarea soluţionării trebuie specificată toleranţa convergenţei, ca fiind

diferenţa valorii funcţiei obiectiv dintre două iteraţii succesive. Când această diferenţă devine mai

mică decât toleranţa specificată solverul opreşte soluţionarea iar soluţia converge.

Ultimul pas necesar configurării analizei este specificarea numarului de iteraţii ce vor fi

efectuate de solver. Numărul maxim de iteraţii este 100. Dacă problema nu converge în 100 de

iteraţii, solverul opreşte soluţionarea cu mesaj de neconvergenţă. În condiţiile unei probleme puse

corect, 50 de iteraţii se dovedesc adesea a fi suficiente atingerii convergenţei (figura 16).

Figura 15

pag. 10

Afi şarea rezultatului analizei se face alegând din meniul principal comanda “Plot Densities”.

Rezultatul optimizării se prezintă sub forma unei hărţi de culori, zona albastră fiind zona cu

densitate elementală zero (sau apropiată de zero), zonă de material ce poate fi îndepărtată (figura

17).

Pentru un model 3D, vizualizarea ca în figura 17 a rezultatului optimizării topologice nu este

întotdeauna suficientă, în interiorul piesei putând exista zone ce pot fi înlăturate (v. figura 1). Pentru

a selecta numai zonele de material cu densităţi de elemente apropiate de valoarea 1 se procedează

după cum se descrie în continuare. Din meniul principal se selectează submeniul “General

Figura 16

Figura 17

pag. 11

Postproc” – “Element Table” – “Define Table” (figura 18-1). În fereastra “Define Additional

Element Table Items” se scrie un nume în dreptul etichetei “Lab” (fig. 18-2) pentru a identifica

tabelul de elemente ce urmează a fi definit. Se selectează categoria “Optimization” (fig. 18.3) ce are

o singură componentă “Topological TOPO”, după care se apasă butonul „OK”

Odată definit tabelul de elemente cu proprietatea dorită (optimizarea topologică), se pot

selecta numai acele elemente din acest tabel care au densitatea elementală dorită de utilizator.

Pentru aceasta, din caseta de dialog “Select entities” se vor selecta elemente (Elements) după

rezultate (By Results), iar mulţimea de selecţie se va face după criteriul “From Full”. După apăsarea

butonului “Apply” va apărea fereastra “Select Elements by Results” în care se va regăsi tabelul de

elemente definit anterior (“dens”), iar plaja de valori a densitătii elementelor se va putea specifica

între 0,5 – 1 (figura 19).

1

2

3

Figura 18

Figura 19

pag. 12

Rezultatul afişat se prezintă în figura 20. Aceasta este forma ce o poate avea piesa în urma

optimizării topologice. Forma finală a piesei se va putea determina numai în urma combinării

analizei de optimizare topologică cu o analiză structurală prin care se verifică tensiunile ce apar în

piesa optimizată topologic. Dacă valoarea tensiunii echivalente depăşeşte limita de curgere a

materialului piesei, se va relua analiza de optimizare topologică cu o reducere mai mică a

volumului. Acest proces poate fi automatizat prin scrierea unei proceduri ce va rula în mod iterativ

cele două tipuri de analize până când forma optimizată din punct de vedere topologic va oferi piesei

rezistenţa necesară la solicitările impuse.

Figura 20