Noţiuni şi definiţii:

1. Fie dată o mulţime oricare G. Se spune că în G este definită o operaţie

algebrică binară , dacă oricărui element a,bG luate într -o anumită ordine li

se pune în corespondenţă un anumit element cG . Dacă operaţia binară este

numită înmulţire atunci se foloseşte simbolul ,, ” , iar dacă este numită

adunare se foloseşte simbolul ,, “.

Mulţimea G se numeşte grup dacă sunt satesfăcute următoarele condiţii:

1) în G este definită o operaţie binară, adică pentru orice

a,bG : ab=cG ;

2) operaţia este asociativă (ab)c = a (bc), a,b,cG ;

3) în G există măcar un element e astfel încît a e=a, pentru aG (e-

unitate de dreapta) ;

4) printre unităţile de dreapta un element e0 astfel încît pentru aG

aşa un bG ca ab=e0 (b –element invers de dreapta pentru a, notat prin

b = a-1 ).

2. Grupul de simetrie S al figurii se numeşte discret dacă punct al figurii

1 (pe care îl transformă grupul S) este izolat în clasa punctelor S-omologice

cu el , adică , dacă el are o -vecinătate , în care nu-s puncte S-omoloage cu

dînsul. Dacă se poate alege un -comun pentru toate punctele S-omoloage

ale diferitelor clase de acest fel , atunci grupul se numeşte puternic discret ,

s-au uniform discret .

3. O varietate compactă o vom numi local euclidiană , dacă fiecare punct al

varietaţii posedă o vecinătate sferică izometrică vecinătăţii a unui punct în

1

spaţiu euclidian. Analogic se definesc varietăţile local hiperbolice s-au

sferice.

4. Postulatul V a lui Euclid : Printr-un punct ce nu aparţine dreptei

în plan trece o dreaptă şi numai una ce nu intersectează dreapta dată.

5. Postulatul V a lui Lobacevski : Prin punct ce nu aparţine

dreptei în planul determinat de ele (dreapta şi punctul) trec cel puţin două

drepte diferite ce nu intersectează dreapta dată.

6. Două drepte în spaţiu se numesc paralele s-au divergente (în sens

Lobacevskii) dacă ele aparţin unui plan , în care respectiv sunt paralele s-au

divergente.

7. Planele şi le vom numi paralele după Lobacevskii dacă ele nu

au puncte commune , dar conţin drepte paralele din fiecare plan dat.

8. Vom numi un grup G de izometrii ce acţioneaza într-un spaţiu

metric X n grup de covolum finit dacă :

0 < Vol Xn /G < ∞ .

2

CAPITOLUL 1

Grupuri discrete de covolum finit în planul

euclidian şi planul Lobacevskii .

§1.Determinarea tuturor descompuneril în planul euclidian în

domenii fundamentale-poligoane regulate .

Pentru a întroduce noţiunea de grup Fiodorov în planul şi spaţiul

Lobacevskii ne vom opri mai întîi la grupurile Fiodorov în spaţiul

euclidian. Vom considera unele exemple în planul euclidian pentru a putea

să construim prin analogie exemple în planul Lobacevskii.

Pentru n=1 - spaţiul euclidian este 1-dimensional, adică toate punctele

se găsesc pe o dreaptă şi toţi vectorii care formează o transformare de

dimensiunea 1 sunt coliniari ,dar printre ei sunt vectori nenuli.

Pentru n=2 - spaţiul euclidian este 2-dimensional, adică plan şi pentru

vectorii care formează o transformare de dimensiunea 2, triplet de vectori

este coplanar.

Pentru n =3 - spaţiul euclidian este 3-dimensional , iar printre vectorii

transformărilor se găseşte un sistem din 3 vectori .

Pentru n=1 sunt două grupuri Fiodorov, pentru n=2 sunt 17 grupuri

Fiodorov şi ele sunt repartizate pe singonii:

1) singonia oblică ;

3

2) singonia dreptunghică ;

3) singonia semisimorfică , este aşa un grup Fiodorov a cărui subgrup

este din trnsformări de simetrie de ordinul 1 , iar singur grupul nu este

simorfic , adică el conţine reflexie de la dreapta s-au reflexie cu alunecare

faţă de o dreaptă .

Toate teoremele geometriei absolute vor fi adevărate şi pentru

geometria euclidiană şi la toate teoremele geometriei absolute

mai adăugăm şi postulatul V a lui Euclid de unde rezultă

geometria euclidiană.

În planul euclidian unghiurile unui triunghi,la creşterea

laturilor nu se schimbă.Indiferent cît nu s-ar mări, suma

unghiurilor unui triunghi va fie egală cu 3600 ( 2 ).

A) Exemple de grupuri în E2 :

Penrul planul euclidian figura cu cele mai puţine laturi care poate acoperi

întregul plan este triunghiul de unde rezultă că ajungem la formarea unui grup

Fiodorov.

Pe desen (vezi fig. 1) sunt ilustrate descompuneri regulate în poligoane

regulate şi se notează prin simbolul Shleflly {3,6} pentru descompunerea din

figura 1, unde 3 este numărul de laturi ( s-au numărul de vîrfuri) , iar 6

numărul vecinilor în vîrf.

Suma unghirilor triungiurilor incidente a unui fîrf fixat trebuie să fie

3600 : < 1 + < 2 + < 3 + < 4 + < 5 + < 6 = 3600

aceasta se realizează în E2 de unde rezultă că :

< 1= < 2 = < 3 = < 4 = < 5 = < 6 =600 .

4

Această descompunere o putem fragmenta în descompuneri analogice . Oricît

n-am descompune,obţinem hexagoane regulate .

6

5

1 32

Fig.1.

  

În planul H2 nu există posibilitatea de

fragmentare ,păstrarînd simbolul Şhlefly ,deoarece nu există triungiuri

asemenea .

B) O altă figură geometrică care poate acoperi şi înpacheta

întregul plan euclidian este dreptunghiul sau patrulaterul . La fel se

formează un grup Fiodorov.

Pe desen ( fig.2) sunt reflectate descompuneri regulare în poligoane

regulate care se notează prin simbolul 4,4 ( simbolul Shleflly ). Unde primul

4 este numărul de laturi s-au vîrguri , iar celălalt 4 - cîţi vecini în vîrf.

< 1 + < 2 + < 3 + < 4 = 3600 = 2 aceasta se realiziază în E2 .

5

< 1 = < 2 = < 3 = < 4 =900.

4 3

1 2 1 3 4

Fig.2.

C) Exemple de grupuri în E3:

O figură care poate descompune tot spaţiul E3 este cubul .

Pe desen ( fig.3) sunt referate descompuneri regulate în poligoane regulate

şi se notează prin simbolul 4,3 - cubul .

Aceiaşi descompunere formată din mai multe cuburi se notează prin

simbolul 4,3,4 , care este numit octaedru regulat ( fig 4).

6

Fig.3. {4,3}

Fig.4. {4,3,4}

D) Exemple de grupuri în S2 .

În sferă vom avea : {3,3},{3,4},{3,5},{4,3},{5,3} , plus o serie numărabilă

de exemple : { 2,2},{2,3},{2,4},...{2,n}. Descompuneri care corespund

simbolului Şhleflly .

Pentru a constru exemple de grupuri în S2, avem nevoie de sferă standartă

(metrică). O metodă de construire a partiţiilor regulate – metode varierii

unui parametru metric .

Ce va fi cu unghiul la vîrfuri ?

Pentru triunghiul regulat în E2, raza circumferinţei înscrise – r : dacă

r o atunci = 600 , dacă r +∞ atunci = 600.

Dar d pentru sferă se schimbă .

7

S 600 din cadrul geometriei analitice putem

demonstra că S (rE)-

S 1800 - monotonă crescătoare.

Lim S (rS )= 600 Lim S

(rE )=1800

r o r +∞

Analogic putem reconstru argumentele pentru orice poligon regulat

pe E2 şi S2 .

Pentru triunghi 600 < dS 1800 (fig.6).

S , 1 = , 2 = , 3 =

< < < < < .

Concluzie : În E2 la mărirea laturii unghiul nu se sghimbă , iar pe S2

triunghiul regulat, dar geodezic, odată cu creşterea laturi (a circumferinţei

înscrise s-au circumscrise) creşte mărimea unghiului .

În paragraful 2 ne vom convinge că , un lucru analogic se întîmplă pe L 2 ,

dar unghiul la vîrf nu va creşte ca pe S2 ci va descreşte .

Ultimul fapt ne va permite construirea de serii numărabile de grupuri

Fiodorov (de covolum finit) .

8

§2.Grupuri discrete de covolum finit în planul L2.

Metoda varierii unui parametru metric .

În acest paragraf vom vorbi despre clasa grupurilor discrete G în plaul

Lobacevskii cu un domeniu fundamental compact , grupurile care sunt

grupuri de simetrie ale descompunerilor în poigoane ale planul

Lobacevskii. Această clasă de grupuri de simetrie,descompune L2 în

poligoane regulate asfel încît, în fiecare din aceste poligoane să se poată

înscrie cercul. Se arată că pentru orice clasă G de grupuri finite se găseşte

o clasă numărabilă de grupuri discrete în planul Lobacevskii . În legătură

cu problema găsirii grupurile Fiodorov 3-dimensional pe planul L2 , ar fi

interesant de descris clasa grupurilor Fiodorov 2 - dimensional în planul

L2 , grupurile care în mod evident se prelungesc pînă la grupuri Fiodorov în

planul Lobacevskii. În această lucrare sunt arătate destul de larg clasa

grupurilor G. Penru rezolvarea problemei propuse , evident apare îtrebarea

despre clasa de grupuri Fiodorov în L2 unde fiecare din ele conţin o serie de

grupuri date mai înainte :

Gi (i=1,...,n) din clasa G în forma subgrupurilor sale.

Anume cu ajutorul cunoştinţelor obţinute din acest paragraf noi putem

da răspuns la toate întrebprile , ce nu le-am putut răspunde doar cu

cunoştinţele primului paragraf. Şi anume:

Ce se întîmplă în celelalte cazuri care nu aparţin nici lui E2, nici S2 ?

( 3,7 , 3,8 ,..., 3,k , 4,5 ,..., 4,k ,....)

9

Sunt nişte cazur care nu satisfac cerinţele planului E2 , E3,… Sn şi de

aceia ele au loc în planul L2.

Pentru planul Lobacevskii se ea toată axiomatica ca în planul euclidian ,

dar se deosebeşte printr-o axiomă Euclid care mai este numită şi

Postulatul V a lui Euclid de unde rezultă geometria euclidiană.

Geometria Lobacevskii se mai numeşte geometrie hiperbolică , ea este

geometrie apsolută , în care sunt satisfăcute axiomele 1- 4 , lipseşte doar

axioma de paralelizm VE . Dacă la geometria absolută mai adăugăm axioma

Lobacevskii atunci obţinem geometria Lobacevskii .

În continuare vom da o expunere succintă (scurtă ) a unor teoreme şi

afirmaţii caracteristice planimetriei Lobacevskii :

Axioma VL este egală cu negaţia axiomei VE . Deci dacă avem un ( )

A şi o dreaptă a atunci există cel puţin 2 drepte b şi c , care nu

intersectează dreapta dată a (fig.7).

( fig.7 )

10

În planul euclidian nu există aşa ceva,iar în planul L2 conform axiomei

VL, este posibil.

Dar nu toate dreptele se intersectează . Există drepte care se

intersectează şi care nu . Pentru a deosebi dreptele ce se intersectează de

cele ce nu se intersectează , există aşa o semidreaptă numită de frontiră .

Anume această frontieră desparte clasa dreptelor ce se intersectează de

clasa dreptelor ce nu se intersectează . Aici apare întrebarea :

Cărei clase îi aparţine frontiera ?

Pentru a da răspuns la această întrebare , raţionamentele elimentare ne

conduc la concluzii – că pentru orice dreaptă dată a ,există aşa o dreaptă

b şi este prima ce nu intersectează dreapta dată a , această dreaptă b se

numeşte de frontieră şi ea este paralelă după Lobacevskii (fig.8) .

11

( fig.8 )

Dacă ea s-ar intersecta , atunci noi vom mai putea găsi încă una ce

intersecteză , de aici şi rezultă contradicţie , deoarece după frontieră nu

trebuie să există nici o dreaptă ce intersectează dreapta a , iar pînă la ea

toate intersectează .

Demonstrare : Fie dat un punct A , unde A a . În baza VL şi a

teoremei (Dacă VL este justă pentru o dreaptă şi un punct atunci

geometria absolută permite să demonstrăm că VL este justă pentru orice

dreaptă şi orice punct ce n-ui aparţine .) avem că în planul determinat de

dreapta a şi punctul A trec cel puţin două drepte ce nu intersectează

dreapta dată.

Există o singură perpendiculară din punctul A către dreapta a .

Perpendiculara b1 nu aparţine dreaptei a . În baza VL şi

teorema (Printr-un punct A din VL în planul determinat de punctual A şi

dreapta a trec o mulţime de drepte ce nu intersectează dreapta a .) b b1 ,

A b şi b a = Ø . Atunci b1 va forma cu perpediculara

c în directia dreptei a un unghi ascuţit . Deci pentru < B1AC (fig.9a) avem

orice semidreaptă interioară ce nu intersectează dreapta a , orice

semidreaptă interioară < B1AB nu intersectează dreapta a . Punctul A

poate fi unit cu orice punct de pe dreapta a şi deci semidrepte interioare

< B1AC ce intersectează

dreapta a.

Formăm două clase nevide din semidreptele interioare < B1AC :

Clasa 1 - cele ce intersectează dreapta a .

Clasa 2 - cele ce nu intersectează dreapta a .

12

Orce semidreaptă din prima clasă formează un unghi mai mic cu

perpendiculara , decît orice semidreaptă din clasa 2 .

Deci am format o secţiune Dedekind . Atunci s-au 1 clasă conţine

supremul s-au clasa 2 conţine infimul . Am opţinut unei semidrepte

interioare < B1AC de frontieră . Să presupunem că semidreapta de frontieră

b*aparţine primei clase , deci ea intersectează dreapta a într- un

punct A*. Axiomele de ordine stimulează existenţa punctului

Ā astfel încît CA*A atunci semidreapta AĀ formează cu

dreapta c un unghi mai mare ca semidreapta de frontieră b* nu este

supremă clasei 1 semidreapta de frontieră nu poate să aparţină clasei 1

b* clasei 2 (fig.9b) .

( fig.9a ) (fig.9b )

Concluzie : Unghiul dus de o dreaptă frontieră într-o direcţie este

acelaşi , ca şi celălalt dus de frontieră în cealaltă direcţie (fig 9c) . Celelalte

13

drepte ce trec prin a şi nu sunt de frontieră le vom numi divergente cu A .

Deci din cele spuse mai sus printr-un punct situate înafara dreptei în

plan , trec cel puţin 2 drepte diferite ce nu intersectează dreapta dată ,

contraziceze cu planul E2.

(fig.9c)

Pentru planul euclidian şi pentru toată geometria cunoscută de noi pînă

la planul L2, prinr-un punc situat înafara dreptei în plan , trece o singură

dreaptă paralelă dreptei date . Iar în L2 frontierele se numesc paralele după

Lobacevskii . Unde b ║ a şi b1║ a . Celelalte drepte ce trec prin dreapta a

şi nu sunt de frontieră le vom numi divergente cu A.

Afirmaţie din planimetria Lobacevskii : fie că avem o dreaptă a şi o

altă dreaptă b a , punctul A b (fig.10) .

14

Ce se va întîmpla dacă vom depărta punctul A de punctul O

pe dreapta b ?

Fie a = OA , atunci depinde de a mai mult .

(a) = d

pentru (a) 0 , a ∞ . Unghiul se numeşte unghi de paralelizm.

0< < , n< n-1<…< 1.

Odată cu creşterea distanţei dintre A şi O unghiul de paralelizm se

micşorează.

Comentarii: Cînd A ∞ < 0 , adică dreapta devine paralelă cu

dreapta a.

Cum putem obţine o bucată de plan Lobacevskii ?

În spaţiu E3 (euclidian) , fie că avem un plan E2 , în acest plan avem

o dreaptă şi un punct d pe ea (fig.11) . Punctul d îl mişcăm pe această

dreaptă . Segmentul respectiv e tangent la linie . Linia opţinută se numeşte

tractrisă . Apoi rotim tractrisa în jurul dreptei şi obţinem o suprafaţă de

curbură Gausiană constantă şi nenegativă (antipodul pentru S2 suprafaţa

sferii ) (fig.12) . Această suprafaţă se mai numeşte pseudosfera lui Beltroni.

Fie că avem un plan şi un punct A , din plan aruncăm cîte o bucăţică şi

anume ( fig 13) bucăţile marcate , vrem s-au nu vrem bucăţile rămase se

unesc şi obţinem S2 (fig .14 ) .

15

Planul L2 este o funţie complicată creşte foarte repede . De exemplu în

(fig.13) unde am făcut tăituri , îi putem falduri şi vom obţine un plan a

cărei mărime unghiulară este mai mare ca 2 este planul Lobacevskii

(fig.15).

În planul euclidian la creşterea laturilor unui triunghi unghiurile rămîn

acelaşi , în S2 unghiurile se măresc .

Dar ce se întîmplă în L2 ?

Metoda varieri unui parametru metric :

Vom considera o familie de triunghi cu acelaşi centru ,

fie 1< 2< 3<... n , unde -distanţa de la cenru la vîrf . Vom cerceta un

fragment de triunghi . Cu creşterea valorii n vom avea triunghiul cu 2

unghiuri fixate , 1=600 şi 2=900. Din proprietatea aditivă a defectului

triunghiului

DOA2B2 = DOA1B1 + 0

DOA2B2 > DOA1O1

aceasta este - 2 - 900- 600 în celălalt avem - 1 - 900 - 60 0 2 - 1

e.t.c.

k< k-1<...< 1

F( k) = k – continuă , monoton descrescătoare şi lim F( ) = 300 ,

lim F( ) =

Dacă latura creşte nemărginit atunci 0 (fig.16)

0 … < < < 600 = .

16

Concluzie : Unghiul la vîrf pentru orice poligon regulat descreşte odată

cu creşterea razei circumferinţei înscrise . Penru acest unghi limitele de

variaţie sunt de la mărimea unghiului euclidian , care nu se atinge pînă la

zero – atunci cînd laturile devin drepte paralele .

Acest fapt ne permite construirea de şiruri numărabile de grupuri

Fiodorov (de covolum finit) .

Concluzie finală : În planul euclidian la creşterea laturilor unui triunghi ,

unghiurile rămîn acelaşi , în S2 unghiurile se măresc , iar în planul

Lobacevskii unghiurile se micşoreză .

17

§ 3.Determinarea tuturor descompunerilor în domenii

fudamentale - poligoane regulate simbolul Şhleflly pentru L2.

Revenim la triunghiul regulat {3} vom nota prin simbolul

{n,m} complexul din celule care sunt identice cu poligoane , unde

n - indică numărul de vîrfuri a celulei , iar m - numărul de celule incidente

la vîrf ( acest simbol se numeşte simbolul Şhleflly ) .

Descompuneri regulate :

Pe S2 : {3,3}- tetraedru , {3,4}-octaedru , {3,5}-icosaedru , pe E2 : {3,6}.

Pe planul L2 : pentru r = 0 + , =600-

în general r* astfel încît = 00 şi laturile triunghilui

să devină drepte paralele după Lobacevskii . Ne vom opri la valori pentu

de tip , k N .

600 = atunci are loc : 00 < < …< < < < = 600 ,

pentru n > 6 un triunghi regulat astfel încît =

{3,7} ,{3,8} , {3,9} ,…e.t.c. pentru care putem scrie {3,∞}, sunt

descompuneri ale planului Lobacevskii , inclusiv r = r* deci = 00 .

Unele descompuneri le vom ilustra în modelul Poincare a planului L2 .

{3,7} … {3, ∞} (fig.17) .

Pntru patrat simbolul {4} poligon cu patru laturi,avem descompunerile :

pe S2 - {4,2} şi {4,3} ( cubul) ;

pe E2 - {4,4} ;

18

pe L2 – {4,5} ,{4,6} ,{4,7} ,…,{4,n},…,{4,∞} . Deoarece pe L2 0 < r r*

Ştim că ungiul unui patrat în planul euclidian este egal cu 900 , iar în planul

Lobacevskii este mai mic adică :

E = 900 > L > 00 unghiul la vîrf pentru patrat în L2 este cuprins

între 0 <900 avînd orice valoare a acestui interval (fig.18 ).

Vom obţine :

E = > > >…> >…> 00

Unele descompuneri Poincare ale planului L2 :

{4,5} … {4,∞} . (fig.19).

În mod analog se face şi pentru celelalte cazuri . Pentru tabularea

următoarelor descompuneri :

Pentru {5,n} :

pe E2 – nu avem ;

pe S2 – {5,2} ,{5,3} ;

pe L2 {5,4} ,{5,5},..,{5,+∞} .

Pentru {6,n} :

pe E2 – {6,3} ;

pe S2 – {6,2} ;

pe L2 – {6,4} ,{6,5} ,...,{6,+∞} .

Pentru {7,n} :

pe E2 – nu avem ;

pe S2 – {7,2} ;

19

pe L2 – {7,3} ,{7,4} ,...,{7,+∞} .

Pentru n 7 avem {n,2} pe S2 şi {n,k} pe L2 unde n 7 , k 3 şi n,k N .

Unele descompuneri Poincare ale planului L2 :

{5,+∞} , {6,+∞} ,...,{+∞,+∞} (fig.20).

În lanul Lobacevskii există o infinitate de grupuri discrete de covolum

finit .

20

CAPITOLUL 2.

Grupuri discrete de covolum finit în spaţiu Lobacevskii.

Metode de obţinere a grupudilor de covolum finit în spaţiu

Lobacevskii.

Vom numi un grup G de izometrii ce acţionează într-un spaţiul metric

X2, grup de covolum finit dacă : O < Vol X2 /G < ∞ . Această definiţe este

o extindere a noţiunii de grup cristalografic .

Majoritatea teoremlor din E3 sunt adevărate şi pentru H3 (adică spaţiul

Lobacevskii) însă nu şi cele de paralelizm .

Geometria spaţiului Lobacevskii se face analojic geometriei

planului Lobacevskii .

Două drepte în spaţiu se numesc paralele s-au diverjente , dacă ele

aparţin unui plan , în care respectiv sunt paralele s-au diverjente în sens

Lobacevskii . Iar două plane le vom numi paralele după Lobacevskii dacă

ele nu au puncte comune , dar conţin drepte paralele din plane paralele.

În aces capitol voi vorbi despre clase de grupuri de izometrie în spaţiul

L3 cu un domeniu fundamental compact s-au necompact dar cu volum finit .

Pentru grupurile de acest tip este atestată denumirea de grup

cvasifeodorov .

Acestă clasă de grupuri de simetrie , în H3 se descompune în poliedre

regulate şi neregulate , dar în acest capitol voi vorbi despre descompunerea

21

în poliedre regulate , asfel încît în fiecare din acest poliedre să se poată

înscrie sfera .

Spaţiul L3 este o funcţie complicată creşte foarte repede . De exemplu

ca în (fig.21 ) unde avem un spaţiu E3 şi facem tăeturi unde adăugăm

falduri şi vom obţine un spaţiu a cărei mărime unghiulară este mai mare ca

2 este spaţiul Labocevskii (fig. 22) .

Deci vom descrie metode geometrice de construire a grupurilor cuasi-

cristalografice în spaţiul Lobacevskii .

Este bine cunoscută legătura dintre cele două probleme a geometriei

discrete: problema grupurilor discrete a mişcării spaţiului de curbură

constantă şi problema descompunerii regulate a acestui spaţiu.

Primele descompuneri ale planului Lobacevskii le întîlnim în lucrarea

lui Klein ,în legături cu problemele teorii funcţiilor automorfe. Şi anume

pentru completarea acestei teorii Puancare a construit teoria grupurilor

discrete în planul Lobacevskii, care a şi fost desenată ca o schiţă de bază cu

ajutorul descoperirilorsal sale în planul Lobacevskii. Puancare a clasificat

după gen grupurile discrete în planul Lobacevskii.Mai tîrziusa sa arătat că

grupurile discrete în planul Lobacevskii depind în general de 6p-6 ( p-genul

planului ). Şi anume cu ajutorul celor de mai sus putem descoperi din ce

cauză se pot construi atît de uşor exemple de descompuneri şi grupuri

discrete în cazul planului Lobacevskii .

Metodele aritmetice şi algebrică , dezvoltate la început complet

nedependente de cele geometrice , deşi au încercat să construiască exemple

22

de grupuri în spaţiul Lobacevskii , să demostreze teoremele de caracter

general , dar primind descompunerile spaţiului corespunzătoare cu ajutorul

lor practic se reuşeşte doar în rare cazuri aparte .În aşa mod erau cunoscute

doar un număr finit de descompuneri ale spaşiul Lobacevskii şi unele deşi

şi infinite , dar o clasă destul de îngustă de grupuri discrete a acestui spaţiu

. Cauza unei aşa deosebiri calitative a cazului 2-dimensional de cazului 3-

dimensional şi mai mult grupuri discrete Ln pentru n 3 . Dar unele

deosebiri ale geometriei spaţiul totuşi au permis metodele sale geometrice

de a construi descompuneri şi a grupurile discrete în spaţiul Lobacevskii ,

care au dat posibilitatea de a construe o serie infinită cu cele mai variate

descompuneri ale spaţiului , cu ajutorul cărora ne-am lărgit imaginaţia

pentru spaţiul Lobacevskii .

Descrierea amănunţită a acestor metode şi a problemelor apărute mai

sus o redau în continuoarea tezei .

Majoritatea definiţelor pot fi adevărate pentru spaţiului metric cu

curbură constantă : euclidian En , sferic Sn s-au spaţiul Ln.

23

§1. Metoda varieri a unui parametru

şi a doi parametrici metrici .

Teorema Mostova spune despre lipsa parametrilor metrici în mişcarea

grupurilor discrete în spaţiul Ln penru n 3 . Această situaţie este o greutate

pentru căutarea sterioedrelor în planul Lobacevskii , dar în principiu nu

înpedică folosirea deformări metrice a poliedrelor cu scopul definirii ,

poate oare un sterioedru de tip conbinat şi cîte posibilităţi diferite sunt de

a descompune spaţiul Lobacevskii în sterioedrele de acest tip . În mod

general metoda varierii unui parametru se poate formula în felul următot :

Fie că toţi parametrii metrici a unui poliedru notat M sunt funcţii infinite a

unuia şi aceluiaşi t nestabil , schmbîdu-se într-un oricare interval (a,b). Cu

alte cuvinte poliedru M în întregime se orientează după condiţile

parametrului t din (a,b). Astfel prin folosirea unor calităţi concrete ale

poliedrului M ,se cercetează caracterul schimbării acestor parametri şi se

concretizează , există oare aşa condiţie t (a,b) ,în urma cărea poliedrul M

este sterioedru .Cu alte cuvinte ,cu ajutorul varierii parametrului dat în

unele cazuri posibele , noi încercăm să primim poliedrul ce descompune

spaţiul Lobacevskii.

Există cîteva clase de poliedre , la elementele cărora uşor aplicăm

această metodă : clasa poliedrelor regulate , clasa poliedrelor lui Arhimed .

Destul de uşor putem aplica această metodă în cazul clasei poliedrelor

regulate şi semiregulate : toate unghiurile cu două feţe la poliedru,

aparţinînd uneia din aceste clase, sunt egale şi în acelaşi mod se schimbă

24

odată cu schimbarea unui parametru liniar , de exemplu raza r a sferei

înscrise .

Uşor se poate de văzut dacă există aşa o valoare a parametrului r , în

urma căreia unghiul cu două feţe constitue o parte întreagă din 2 .De aici

cercetare adăugătoare .

Înaintea de a trece la metoda varierii a doi parametri metri , vom

evediţia că această metodă ,la fel ca şi metoda a doi parametri metrici, o

putem aplica şi în cazul spaţiului sferic Sn .

Descompunerea spaţiulu Lobacevskii în poliedre regulate :

Metoda varierii unui parametru liniar este destul de simplă şi se

foloseşte la descompunerea spaţiului în poliedre regulate .Descompunerea

în poliedre regulate mărginite şi în poliedre regulate orisferice au fost

primite pentru prima dată de Cocseter.

O rezolvare deplină pentru cazurile n=2 şi n=3.

Pentru notare vom folosi simbolul şlefi {p, q,r,…s,t}, ceaceînseamnă că

spaţiul se descompune în poliedrele regulate {q,r,...s,t}. De exemplu:

Simbolul{3,7} este descompunerea planului 2-demensional Lobacevskii.

În triunghiul regulat , strînse cite 7 în vîrf (septagon); simbolul {4,3,3}-

descompunerea spaţiului 3-dimensional sferic S2 în cuburi ,strîngîndu-se

cîte 4 .

25

Simbolul{4,3,3,4}-descompunerea spaţiului euclidian 4-dimensional E4

în cuburi formînd în vîrf un octaedru.

Planul L2 se descompune cu orce poligon regulat cu un număr par de

posibilităţi.

În planul Lobacevskii unghiul a oricărui poligon regulat este o funcţie

infinită a razei r cercului cercumscris şi se schimbă în dependenţă de

(n-2)/n pînă la zero pînă la ∞

lim (r)= , lim (r) =0

r 0 r

De acea pentru n > 6, cu ajutorul alegeri lungimii razei r, unghiul poate fi

făcut egat cu orice poate m (m 3) r = rm razei cercului circumscris ,

(rm) = m = ,m = 3,4...

poligoanele regulate descompun planul Lobacevskii şi însăşi

descompunerea se reflecta în n-unghiuri .

După aceasta la vîrful poliedrului se vor strînge exact m de asfel n-

unghiul . Uşor se vede că în cazul n = 4 m = 5,6,...

pentru n = 5,6 m = 7,8,...

pentru n 7 m = 3,4,...

În cazul spaţiului 3-dimensional L2 vom avea numai cinci poliedre

regulate finite: tetraedrul , cubul ,dodecaedrul ,octaedrul şi icosaedrul .

Dacă spaţiu se desmpune în tetraedre , cuburi s-au dodecaedre, atunci în

nod s-au în vîrf descompunerea va strînge unghiuri regulate cu 3 feţe şi

sfera cu o rază destul de mică cu centru în vîrful descompunerii ,feţele

poliedrului se descompun în triunghiuri regulate .

26

Din cele studiate în paragrafele precedente ştim că cel mai simplu

poligon regulat ce descompune întregul plan E2 şi L2 este triunghiul, de aici

putem lua concluzia că cel mai simplu poliedru ce descompune tot spaţiul

E3 , S3 şi L3 este tetraedrul . Pentru cazul nostruconsiderăm un tetraedru

regulat.

Cum descompune tetraedrul întreg spaţiu E3 ,S3 şi L3 ?

În primul rînd calculăm valoarea unghiului diedru al tetraedrului regulat în

E3 . Not: unghiul egal cu .(fig.23a).

E 700 E3 –nu divide regulat, deci nu grup cristalografic.

Ştim că poate creşte numai în S iar pentru cazul nostru în S3 şi poate

descreşte în L3 .

S3 E3 L3 .

700 ...

Pentru 700 ca unghi diedru al tetraedrului se realizează

numai pe E3 ,dacă unghiul este mai mic ca 700 atunci un

astfel de tetraedru poate descompune întreg spaţiul Lobacevskii. Fie că

avem un tetraedru cu unghiul diedru mai mic ca E ,dacă marimlungimea

laturii ,unghiul diedru se micşorează. Cînd muchiile tetraedrului devin

27

paralele după Lobacevskii în spaţiu ,atunci unghiul diedru este egal cu

unghiul la vîrful unui triunghi echilateral L =600 = . (fig.23b).

Aşa descompuneri ale sferei se ştie că sunt 3:

tetraedrică , octaedrică şi icosaedrică . Penru ca spaţiu Lobacevskii să se

descompună în simplexe, cuburi s-au dodecaedre , este necesar ca unghiul

dintre feţe (diedru ) a acestor poliedre să fie egal cu unghiul central al

tetraedrului t =1090281162

octaedrul 0 = 900 s-au a icosaedrului i = 630261062 .

Dar odată cu creşterea razei cercului circumscrise de la 0 pînă la ∞

unghiul dietru al tetraedrului descreşte monoton de la 600 pînă la 00 şi de

aceia odată cu schimbarea sa nu poate fi egală cu unul din unghiule de mai

sus i , 0 s-au t . De aceia simplexele nu pot descompune

spaţiu L3.

Unghiul diedru al cubului , odată cu creşterea razei cercului circumscris

de la 0 pînă la ∞ , se schimbă adică descrete de la 900 pînă la 00 şi de

aceia se va găsi aşa un parametru r = r0 în urmă căriea şi unghiul drept al

cubului va fi egal cu unghiul central i .

Cercetînd dodecaedrul ,noi vom vedea că unghiul,nou dintre feţe se

micşorează de la 1080 pînă la 00 .

După această schimbare el va trece 2 etape :

1 = 0 = 900 şi 2 = i = 630 211 062 de

unde rezultă că dodecaedrul descompune spaţiul L3 prin două metode

:octaedrică şi icosaedrică .

28

Dar numai una, cea icosaedrică poate descompune spaţiu Lobaceskii .

Deoarece octaedrul poate descompune spaţiul L3 doar prin metoda

cuburilor , dar unghiul drept dintre feţe descreşte de la 600 pînă la 00 , dar

unghiul c = 700 311 442 şi de aceia octaedrul nu poate descompune 3 .

În aşa mod , spaţiul L3 3-dimensional se descompune numai în

cuburi ,dodecaedre şi icosaedre. În simplex şi octaedre spaţiul L3 nu se

descompune .În mod analog se fac cercetări pentru a descompune spaţiul

Lobacevskii n-dimensional pentru n 4.

Vom enumera în continuare descompunerea sferei Sn , spaţiului

euclidian En şi spaţiu Ln în poliedre regulate:

Pentru n=2.

Sfera S2 : 1) {3,3}- simplexă ;

2) {4,3}-cubică ;

3) {5,3}-dodecaedrică ;

4) {3,4}-octaedrică ;

5) {3,5}-icosaedrică ;

Spaţiul euclidian E2 :

1) {4,4}-pătratică ;

2) {3,6}-triunghică ;

3) {6,3}-hexagonală ;

29

Spaţiu Lobacevskii L2 :

1) {n,m}, ( n=3, m 7; n=4, m 5; n=5,6, m 4;

n 7, m 3 ) ;

2) {∞,p} , p-unghiurile adunate la vîrf (p 3) ;

Pentru n=3.

Sfera S3 :

1) {3,3,3}-simplexe ;

2) {4,3,3}-cubică ;

3) {5,3,3}-120-feţe ;

4) {3,3,4}-octaedric ;

5) {3,4,3}-24-feţe ;

6) {3,3,5}-600-feţe ;

Spaţiul euclidian E3 :

1) {4,3,4}-cubică ;

Spaţiul Lobacevskii L3 :

1) {3,5,3}-icosaedrică {3,5} şi dodecaedrică {5,3};

2) {4,3,5}-cubică {4,3} şi icosaedrică {3,5} ;

3) {5,3,4}-dodecaedrică şi octaedrică;

4) {5,3,5}-dodecaedrică şi icosaedrică ;

5) {3,4,4}-octaedrică ;

6) {3,3,6}-simplexă ;

7) {4,3,6}-cubică ;

8) {5,3,6}-dodecaedrică ;

9) {4,4,3}-cubică ;

30

10) {6,3,3},{6,3,4},{6,3,5},{6,3,6},{4,4,4},{3,6,3}.

Pentru n=4.

Sfera S4:

{3,3,3,3} , {3,4,3,3} , {4,3,3,4}

Penru spaţiul Lobacevskii L4 : {3,3,3,5} , {4,3,3,5} , {5,3,3.5},

{5,3.3,4}, {5,3,3,3} , {3,4,3,4}, {4,3,4,3},

Pentru n = 5

Sfera S5 :

{3,3,3,3,5} , {3,3,3,3,4} , {4,3,3,3,3}

Spaţiul euclidian E5 :{4,3,3,3,4}

Spaţiul Lobacevskii L5 : {3,3,3,4,3} , {3,3,4,3,3} , {4,3,3,4,3},

{3,4,3,3,4} , {3,4,3,3,3}.

Descompunererile Sn şi En pentru n 6 la fel ca pentru n= 5,spaţiu

Lobacevskii Ln pentru n 6 în poliedre regulate nu se descompun .

Concluzie : făcînd concluzie, putem evedenţia că metoda varieri unui

parametru metric ne permite să ducem pînă la capăt problema despre

descompunerile spaţiului Lobacevskii în poliedre regulate şi să primim

descompuneri noi ale spaţiului .

Metoda varierii a 2 parametri metricii:

Fie că avem în spaţiul Lobacevskii L3 un plan oricare şi îi studiem

descompunerea regulată în n-unghiuri regulate egale . Fiecare n-unghi

31

regulat descompune planul Lobacevskii întrun număr par de metode . Dacă

n>6, atunci numărul m de poliedre , strînse la vîrf , poate fi egal cu

3,4,5,6,7,... Penru cazul nostru este important doar cazul cînd m=3,4 s-au 5

.

Fie că spaţiul studiat este descompus în n –unghuil (n 7) cu unul din

cele 3 cazuru (m-3,4,5). Acest plan va descompune tot spaţiul L3 în 2

semispaţii: L+şi L-. La fiecare vîrf (nod) cîte-o descompunere

perpedinculară planului şi pe fiecare perpedinculară notăm cîte un punct

situat de la plan la o distanţă dată s şi aparşinînd semispaşiului L+ . A poi

alegem dintre ele aşa perechi de puncte , care se află pe perpendiculara ce

unesc 2 vîrfuri (noduri ) apoi unim aceste perechi de puncte prin tăieturi. Şi

atunci pe orice poligon în urma descompunerii va apărea un nod cu

n-unghiuri regulate înscris în suprafaţa echidistantă cu distanţa s, baza

căruia este planul descompunerii date . Acum vom cerceta suprafaţa

primită de poliedru de la planul bazei. Din nou suprafaţa poliedrală (L -)

împreună cu precedenta (L+) mărginesc poliedrul convex înscris în 2

suprafeţe euclidiene cu o înălţime egală cu s ,cu un plan comun ca bază .

Folosind regulile de descompunere a planului bazei în n-ungiuri şi

algoritmul de construire a poliedrului, nu e greu de arătat că poliedrul

primit infinit şi convex-este regulat.

În vîrful lui sunt n-unghuiri regulate (fig.23) .

Concluzia : Metoda varierii a doi parametric metrici ne permite să lărgim

numărul exemplelor de grupuri discrete şi de descompuneri ale slaţiului

Lobacevkii . Cu ajutorul acestei metode a fost primită demonstrarea

geometriei constructive . În urma folosirii metodeii varierii parametrilor

32

metrici fără să schimbăm topologia poliedrelor , avem posibilitatea să

variem mărimile lor şi să folosim aceste varieri pentru necesitatea

construirii descompunerilor şi a grupurilor discrete .

Pentru a ne putea întoarce la grupurile Fiodorov şi să continuăm varierea

parametrului metric , ne ajută metoda truncherii vîrfurilor idiale , ce o vom

studia în paragraful următor .

§ 2. Metoda truncherii vîrfurilor idiale .

33

Odată cu creşterea mărimelor poliedrului se shimbă şi poliedrul , unele

vîrfuri ale poliedrului divin nişte puncte depărtate la infinit .

Muchile ce aparţin unei asemenea vîrf , sunt deja nişte raze s-au drepte .

Atît muchile cît şi feşele ale vîrfurilor depărtate, intersectează orisferele

ortogonale cu centrul în acest vîrf .

Creşterea mărimilor poliedrului duce la aceia că vîrful studiat al

poliedrului devine punctual idial . Pentru a înlătura un astfel de vîrf idial ,

prima ideie va fi : ca să trunchem vîrful idial al pliedrului cu un plan

orizontal , se poate de truncheat cu orice alt plan , dar astfel ne va fi mai

uşor de atins scopul dat , ea formeză cu feţele poliedrului unghiuri drepte .

În aşa mod , dacă în procesul varieri parametrului metric noi primim

vîrful idial , atunci noi putem să scăpăm de el în modul descris mai sus .

Anume această metodă o vom numi metoda truncherii vîrfurilor idiale ale

parametrului .

În cazuri simple pentru n = 3 noi primim o posibilitate largă de a varia

parametrii . Dar pentru n 4 cu acestă metodă apar greutăţi , la infinit vor

tinde nu numai vîrfurile dar şi muchile .

În general se poate spune că metoda truncherii vîrfurilor idiale constă în

aceia că : de la un poliedru infinit cu vîrfuri idiale , după trunchere primim

un poliedru finit . Mai amănunţit vom studia acestă metodă cu exemple

concrete .

Truncherea poliedrelor regulate 3- dimensionale:

Cercetînd unul din cele cinci poliedre regulate 3- dimensionale , noi

putem mări raza r a sferii circumscrise poliedrului , primind că vîrfurile

34

poliedrului devin idiale , iar muchiile - drepte . Penru aceasta este deajuns

cu lungimea razei r ,a sferei circumscrise , să fie mai mare ca orce lungime

r0 , ce depinde numai de poliedrul studiat .Muchile şi feţele poliedrului , ce

apărţineau (înaintea truncherii ) unui vîrf idial , acum vor fi ortogonale unui

plan .

Astfel poliedrul M devine M1 . Feţele acestui poliedru ceau truncheat cu

planul le vom numi negre, ele vor fi ortogonale cu alte feţe pe care le vom

numi albe .

Feţele negre sunt poligoane regulate , feţele albe – poligoane

semiregulate cu unghiuri drepte .Între două feţe albe este unghiul

poliedrului regulat .

Unghiul drept al feţei negre este unghiul drept dintre feţele albe .Acest

unghi este funcţia continuă a razei sferei circumscrisă în poliedrul regulat

nou , şi începe de la 0 pînă la zero . Şi de aceia noi îl putem face egal

cu , > 6, şi cu aceasta vom primi o serie de descompuneri a

spaţiului L3 în aşa poliedre şi corespunzătoare seriei grupurilor discrete în

L3 .

Concluzie : Metoda truncherii vîrfurilor idiale ne permite să primim ,

cum ne-am convins mai sus , următoarea convingere : în spaţiul L3 există

un număr finit de sterioedre diferite , fiecare din ele descompune spaţiul

Lobacevskii într-un număr finit de metode topologice diferite .

§ 3. Metoda încleerii poliedrelor .

35

Ideia metodei de a încleia poliedrele , a apărut în urma metodei

truncherii vîrfurilor idiale . La truncherea ortogonală a vîrfurilor idiale a

unui poliedru , noi primim poliedrul truncheat cu nişte proprietăţi

deosebite :

1) feţele negre ale poliedrului trunchiat în perechi nu se

intersectează .

2) feţele albe ale poliedrului truncheat sunt ortogonale feţelor

sale negre .

Lema (încleierii poliedrelor ): Fie că avem două poliedre convecxe M

şi M1 ce au două hiperfeşe F şi F1 congruente . În afară de aceasta , toate

feţele poliedrului M , intersectîndu-se cu hiperfaţa F , sunt ortogonale

hiperplanului feţei F , dar toate feţele poliedrului M1 , intersectînd-se cu

faţa F1 , sunt ortogonale hiperplanului feţei F1 .

Încleierea poliedrelor în spaţiul L3 : la această metodă ne orentăm doar

la unele exemple cu caracter ilustrativ . Petru ele vom folosi poliedrele

trunchiate regulate şi semiregulate .

Pentru primul exemlu vom folosi o pereche de poliedre regulate finite

cu triunchiuri în feţe : simplexul şi dodecaedru . Folosind metoda

trunchierii vîrfurilor idiale , vom primi simplexul truncheat cu triunghiuri

regulate în feţele negre şi dodecaedru truncheat cu triughiuri regulate în

feţele negre . Cu ajutorul varieri paramertrului metric în orce caz vom reuşi

ca unghiul dintre două feţe albe să fie egală cu (k 7 ) la ambele

poliedre regulate . Feţele lor negre vor fi congruente cu triunghiul regulat

36

cu unghiurile egale cu şi de aceia poliedrele pot fi încleiate după aceste

feţe . Şi aşa cum feţele , sub formă de triunghi , sunt de acelaşi tip, în urma

încleierii nu se schimbă simetria poliedrelor . Îmulţind poliedrul primit în

urma încleierii , vom primi un polietru infinit , trecînd în el însuşi în urma

oricărei mişcări . Cu un aşa poliedru încleiat noi putem descompune

spaţiul Lobacevskii . Această metodă de încleiere a poliedrelor, se poate

aplica şi pentru orce altă pereche de poliedre regulate s-au semiregulate .

Vedem că metoda încleieri poliedrelor ne permite să opţinem grupuri

discrete în spaţiul Lobacevskii, avînd în calitate desubgrupuri unele grupuri

discrete 2- dimensionale L2 , S2, E2.

Un alt exemplu la care folosim metoda încleierii între o pereche de

poliedre . Dacă vom lua de exemplu dodecaedrul rombic şi vom aplica

metoda truncheri ortogonale , vom primi poliedru ce va avea ca feţe negre

regulate atît triunghiuri cît şi patrate (fig. 25a). Dacă vom lua de exemplu

un simplex regulat şi un octaedru regulat , aplicăm la ele metoda truncherii

ortogonale (fig. 25b,c) , atunci poliedrele regulate primite le putem încleiea

la dodecaedrul rombic trunchiat : la feţele negre sub formă de triunghi

încleiem simplexele , ear la feţele negre sub formă de pătrate încleiem

octaedrele . Astfel opţinem o nouă descompunere a spaţiului L3 .

Concluzie : Metoda încleierii poliedrelor ne permite să primim unele

descompuneri noi şi crupe descrete în Ln pentru n 5 . Dar metoda încleierii

poate primi din două descompuneri o a treia descompunere doar atunci cînd

sterioedrele acestor descompuneri au feţele negre congruente .

37

Cu ajutorul metodelor studiate mai sus ,ne-am convins că

spaţiul Lobacevskii are o serie infinită de grupuri discrete,ceia ce

pentru celelalte spaţii (E şi S) nu este specific.

38

39

40

41