Grupuri de Simetrii

Transcript of Grupuri de Simetrii

ajtroposc kirtemmizSZilele Universitatii Alexandru Ioan Cuza

zsr ttetzsekrezS

25 octombrie 2013

Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
Rolul grupurilor de transformari in denirea unei geometrii

(ssoB ogoH 1849-1925) a dorit sa aplice conceptul de gruppentru a caracteriza diferitele geometrii ale timpului.

In discursul inaugural de la Universitate araosimiTa (1872) -

Tendinte recente in cercetarea geometrica - spune: ind data

o varietate si in ea un grup de transformari, sarcina noastra

este sa investigam acele proprietati ale unei guri din varietate

care nu se schimba prin transformarile grupului.

Se da o multim Pe si SM

grupul permutarilor lui M . Orice

subgrup G al lui SM

este un grup de transformari ale lui M.

Se studiaza acele proprietati ale gurilor care sunt invariate de

toate elementele lui G . Deci, apriori, M nu are proprietati

geometrice, acestea sunt dictate de grupul G . O geometrie

este notata prin (M,G ).

Rolul grupurilor de transformari in denirea unei geometrii

Felix Klein (1849-1925) a dorit sa aplice conceptul de grup

pentru a caracteriza diferitele geometrii ale timpului.

In discursul inaugural de la Universitatea Erlangen (1872) -

Tendinte recente in cercetarea geometrica - spune: ind data

o varietate si in ea un grup de transformari, sarcina noastra

este sa investigam acele proprietati ale unei guri din varietate

care nu se schimba prin transformarile grupului.

Se da o multime M si SM

grupul permutarilor lui M. Orice

subgrup G al lui SM

este un grup de transformari ale lui M.

Se studiaza acele proprietati ale gurilor care sunt invariate de

toate elementele lui G . Deci, apriori, M nu are proprietati

geometrice, acestea sunt dictate de grupul G . O geometrie

este notata prin (M,G ).

Geometria euclidiana (plana)

Geometria euclidiana se ocupa de acele proprietati pastrate de

izometrii: lungimea segmentelor si congruenta lor, masura

unghiurilor si congruenta acestora, coliniaritatea, raportul

simplu al punctelor.

Fie P un plan euclidian, inzestrat cu o functie distantad : P P R :d(A,B) 0, A,B P; d(A,B) = 0 A = B;d(A,B) = d(B,A);d(A,B) d(A,C ) + d(C ,A), A,B,C P; d(A,B) =d(A,C ) + d(C ,A) A C B.

Denition

Se numeste izometrie a planului P o aplicatie f : P P cuproprietatea

d (f (A), f (B)) = d(A,B), A,B P .

Se poate demonstra ca orice izometrie a planului este o

aplicatie bijectiva.
Geometria euclidiana (plana)

Geometria euclidiana se ocupa de acele proprietati pastrate de

izometrii: lungimea segmentelor si congruenta lor, masura

unghiurilor si congruenta acestora, coliniaritatea, raportul

simplu al punctelor.

Fie P un plan euclidian, inzestrat cu o functie distantad : P P R :d(A,B) 0, A,B P; d(A,B) = 0 A = B;d(A,B) = d(B,A);d(A,B) d(A,C ) + d(C ,A), A,B,C P; d(A,B) =d(A,C ) + d(C ,A) A C B.

:szemletrSe numeste izometrie a planului P o aplicatie f : P P cuproprietatea

d (f (A), f (B)) = d(A,B), A,B P .

Se poate demonstra ca orice izometrie a planului este o

aplicatie bijectiva.
Grupul izometriilor

Theorem

Multimea izometriilor planului formeaza un grup in raport cu

compunerea functiilor.

Grupul izometriilor cu un punct x este izomorf cu grupul ortogonal

O(2).

O(2) = {A M2

(R) | AAt = AtA = I2

}={A Gl(2,R) | A1 = At}Clasicare

Izometrii de specia I: translatia, rotatia

Izometrii de specia a II-a: simetria ortogonala axiala, compunerea

dintre o simetrie axiala si o translatie de vector paralel cu axa

simetriei

Grupul izometriilor

Theorem




O(2).

Clasicare




simetriei


istvanSor trlve
Grupul izometriilor

Theorem




O(2).

O(2) = {A M2

(R) | AAt = AtA = I2

}={A Gl(2,R) | A1 = At}Clasicare




simetriei

Izometriile planului

Simetriile unei guri

Odata xata o geometrie cu un grup de automorsme G , se

poate studia subgrupul automorsmelor care invariaza o gura

xata F . Aceste automorsme se numesc simetrii ale guriirespective.

Denition

Fie F P o gura xata a planului P . Se numeste simetrie a luiF o izometrie a planului, f : P P , care invariaza gura F :f (F) = F .

Theorem

Multimea simetriilor gurii F P este un subgrup al grupuluiizometriilor planului P .

Simetriile unei guri

Odata xata o geometrie cu un grup de automorsme G , se

poate studia subgrupul automorsmelor care invariaza o gura

xata F . Aceste automorsme se numesc simetrii ale guriirespective.

Denition

Fie F P o gura xata a planului P . Se numeste simetrie a luiF o izometrie a planului, f : P P , care invariaza gura F :f (F) = F .

Theorem

Multimea simetriilor gurii F P este un subgrup al grupuluiizometriilor planului P .

Grupuri de simetrii

Grupurile de simetrii ale unor poligoane:

grupul lui Klein: grupul simetriilor unui dreptunghi diferit de

patrat

grupurile diedrale: grupul simetriilor unui poligon regulat

subgrupurile acestora formate din rotatii

Reciproc: dat un grup de simetrii, sa determinam un poligon

care sa aiba drept grup de simetrii pe cel initial

Determinarea tuturor grupurilor nite de simetrii: teorema lui

Leonardo

Grupul lui Klein

V

4

= {Id , a

, b

, O

}= < a

, O

= O,pi >

Id a

b

O

Id Id a

b

O

a

a

Id O

b

b

b

O

Id a

O

O

b

a

Id

Grupul simetriilor patratului

Notatii:

rotatia de centru O siunghi

pi2

simetria axiala in raportcu axa orizontala h

Sunt exact opt

simetrii

Putem genera toate

simetriile pornind de

la si

Grupul diedral D4

{Id , h

, r

, v

, l

, O,pi2

, O, 2pi2

= O

, O, 3pi2

}D4

={, 2, 3, 4 = Id , , 2, 3,

}

2 = 4 = Id

1 = 1 = 3 2 = 2 3 = r

= v

= 2 l

= 3

v

= 2 l

= 3

Grupul diedral D4

{Id , h

, r

, v

, l

, O,pi2

, O, 2pi2

= O

, O, 3pi2

}D4

={, 2, 3, 4 = Id , , 2, 3,

}

2 = 4 = Id

1 = 1 = 3 2 = 2 3 = r

= v

= 2 l

= 3

v

= 2 l

= 3

Grupul diedral D4

{Id , h

, r

, v

, l

, O,pi2

, O, 2pi2

= O

, O, 3pi2

}D4

={, 2, 3, 4 = Id , , 2, 3,

}

2 = 4 = Id

1 = 1 = 3 2 = 2 3 = r

= v

= 2 l

= 3

v

= 2 l

= 3

Grupul diedral D4

Compunerea dintre o simetrie axiala fata de dreapta d si o

rotatie cu centrul apartinand dreptei d este o simetrie fata de

o dreapta ce trece prin centrul rotatiei.

Deci , 2, 3 sunt simetrii fata de drepte ce trec prin O,deci sunt aplicatii involutive.

= ()1 = 11 = 3,

2 = (2)1 = 21 = 2,

3 = (3)1 = 31 = .

Grupul diedral D4

Id 2 3 2 3Id Id 2 3 2 3

2 3 Id 2 3

2 2 3 Id 2 3

3 3 Id 2 3 2

3 2 Id 3 2

3 2 Id 3 2

2 2 3 2 Id 3

3 3 2 3 2 Id

C4

={Id , , 2, 3

}=< > subgrupul rotatiilor

Grupul diedral D4

Id 2 3 2 3Id Id 2 3 2 3

2 3 Id 2 3

2 2 3 Id 2 3

3 3 Id 2 3 2

3 2 Id 3 2

3 2 Id 3 2

2 2 3 2 Id 3

3 3 2 3 2 Id

C4

={Id , , 2, 3

}=< > subgrupul rotatiilor

Poligoane care au ca grup de simetrii C4

Grupul diedral D3

= h

= O, 2pi3

2 = 3 = Id

D3

={Id , , 2, , , 2

} = ()1 = 11 = 2

2 = (2)1 = 21 =

Grupul diedral D3

Id 2 2Id Id 2 2

2 Id 2

2 2 Id 2

2 Id 2

2 Id 2

2 2 2 Id

C3

={Id , , 2

}

Poligoane cu C3

drept grup de simetrii

Grupul diedral D6

D6

={Id , 2, 3, 4, 5, , , 2, 3, 4, 5

}, = O,pi3

Poligon cu grup de simetrii C6

C6

= {Id , 2, 3, 4, 5}

Grupul diedral Dn

si subgrupul rotatiilor Cn

Avand un poligon regulat cu n laturi, ecare varf V

i

poate

dus printr-o simetrie intr-unul din cele n varfuri ale poligonului,

de exemplu V

k

. Atunci un varf vecin lui V

i

poate dus prin

acea simetrie intr-unul din varfurile vecine ale lui V

k

. Deci in

total avem 2n posibilitati. Cum imaginea poligonului regulat

printr-o simetrie este determinata atunci cand se cunosc

imaginile a doua varfuri vecine prin acea simetrie, rezulta ca

exista cel mult 2n simetrii pentru poligonul respectiv.

Fie h una din axele de simetrie ale poligonului regulat. Notam

cu simetria axiala in raport cu h si cu rotatia de centru O(centrul de simetrie al poligonului, situat la intersectia axelor

sale de simetrie) si unghi orientat

2pin

.{Id , , 2, , n1, , 2, , n1} sunt 2n simetrii alepoligonului, deci acestea sunt toate simetriile posibile. In

consecinta Dn

=< , > si subgrupul rotatiilor sale estegrupul ciclic Cn

=< > de ordin n.

Grupul diedral Dn

si subgrupul rotatiilor Cn

Avand un poligon regulat cu n laturi, ecare varf V

i

poate

dus printr-o simetrie intr-unul din cele n varfuri ale poligonului,

de exemplu V

k

. Atunci un varf vecin lui V

i

poate dus prin

acea simetrie intr-unul din varfurile vecine ale lui V

k

. Deci in

total avem 2n posibilitati. Cum imaginea poligonului regulat

printr-o simetrie este determinata atunci cand se cunosc

imaginile a doua varfuri vecine prin acea simetrie, rezulta ca

exista cel mult 2n simetrii pentru poligonul respectiv.

Fie h una din axele de simetrie ale poligonului regulat. Notam

cu simetria axiala in raport cu h si cu rotatia de centru O(centrul de simetrie al poligonului, situat la intersectia axelor

sale de simetrie) si unghi orientat

2pin

.{Id , , 2, , n1, , 2, , n1} sunt 2n simetrii alepoligonului, deci acestea sunt toate simetriile posibile. In

consecinta Dn

=< , > si subgrupul rotatiilor sale estegrupul ciclic Cn

=< > de ordin n.

Dn

Pentru a completa tabela grupului procedam astfel. Pentru

primele n linii folosim n = 2 = Id si ecare linie se obtinepractic din precedenta prin compunere la stanga cu .

Pentru linia corespunzatoare lui folosim faptul ca oricecompunere dintre o simetrie axiala si o rotatie este o simetrie

axiala, deci o aplicatie involutiva. Astfel,

(k)1 = k , k 1, n 1. Decik = nk, k 1, n 1.

Dupa completarea acestei linii, ultimele n 1 linii se obtinecare din precedenta prin compunere la stanga cu .

D1

=< > e grupul simetriilor unui triunghi isoscelneechilateral, iar C1

= {Id}.D2

=< , O,pi = O >= V4, iar C2 = {Id , O,pi} e grupulsimetriilor unui paralelogram diferit de romb.

Dn





(k)1 = k , k 1, n 1. Decik = nk, k 1, n 1.


D1


= {Id}.D2


Dn





(k)1 = k , k 1, n 1. Decik = nk, k 1, n 1.


D1


= {Id}.D2


Dn





(k)1 = k , k 1, n 1. Decik = nk, k 1, n 1.


D1


= {Id}.D2


Teorema lui Leonardo

Pana in acest moment am reusit sa demonstram urmatorul rezultat:

Theorem

Pentru orice n N, exista cate un poligon care are ca grup desimetrii pe Dn

si respectiv pe Cn

.

Ne intereseaza rezultatul reciproc: orice grup nit de simetrii al

unei guri plane este de tipul Dn

sau Cn

?

Hermann Weyl (1885-1955) arma in cartea Symmetry, Princeton

University Press, 1951, ca Leonardo da Vinci (1452-1519) era

preocupat de aceasta problema. Mai exact acesta determina in mod

sistematic simetriile unei cladiri centrale si studia cum sa ataseze

capele, nise, etc, fara a strica simetria nucleului.



Theorem


si respectiv pe Cn

.



sau Cn

?








Theorem


si respectiv pe Cn

.



sau Cn

?







Theorem

Singurele grupuri nite de izometrii sunt Cn

si Dn

.

Corollary

(Leonardo) Dat un poligon oarecare, grupul sau de simetrii este Dn

sau Cn

.


Theorem


si Dn

.

Corollary

(Leonardo) Dat un poligon oarecare, grupul sau de simetrii este Dn

sau Cn

.

Theorem


si Dn

.

Demonstratie

Fie G un grup nit de izometrii ale planului P . Rezulta ca acestanu poate contine translatii sau compuneri de translatii cu simetrii

axiale, deoarece acestea ar genera un subgrup innit. In consecinta

G contine doar rotatii si simetrii axiale.Caz I Presupunem ca G contine doar rotatii:

G = C1

= {Id} A, G, A, 6= Id . In aceasta situatie demonstram catoate rotatiile sunt de centru A.

Pp prin reducere la absurd ca B, G cu A 6= B. Atunci

1B,

1A,B,A, G. Dar aceasta compunere de rotatiieste o translatie diferita de Id caci suma unghiurilor

orientate ale acestor rotatii este 0. Se contrazice astfel

ipoteza ca G e grup nit.
Deci n N : nA, = A,n G si 1A, = A, G. Astfel, toateelementele grupului pot scrise sub forma A, cu 0 2pi.Fie 0

valoarea minima (pozitiva) pe care o poate lua unghiul unei

rotatii din G. Se demonstreaza prin reducere la absurd ca A, G, k N astfel incat = k0. Deci orice rotatie agrupului este de tipul A,k0

= kA,0

, pentru un anumit k natural,

deci este generata de A,0

. In concluzie

G =< A,0

>= Cm

, mA,0

= Id .

Caz II Presupunem ca G contine cel putin o simetrie axiala.

Deoarece o izometrie si inversa ei sunt de aceeasi specie, iar

compunerea a doua izometrii de specia I este o izometrie de specia

I, rezulta ca multimea izometriilor de specia I ale lui G formeaza unsubgrup al acestuia, ce contine doar rotatii. Conform primului caz,

rezulta ca acest subgrup e de tipul Cn

= {Id , , , n1}. Ampresupus ca numarul izometriilor de specia I ale lui G este n.
Deci n N : nA, = A,n G si 1A, = A, G. Astfel, toateelementele grupului pot scrise sub forma A, cu 0 2pi.Fie 0

valoarea minima (pozitiva) pe care o poate lua unghiul unei

rotatii din G. Se demonstreaza prin reducere la absurd ca A, G, k N astfel incat = k0. Deci orice rotatie agrupului este de tipul A,k0

= kA,0

, pentru un anumit k natural,

deci este generata de A,0

. In concluzie

G =< A,0

>= Cm

, mA,0

= Id .

Caz II Presupunem ca G contine cel putin o simetrie axiala.

Deoarece o izometrie si inversa ei sunt de aceeasi specie, iar

compunerea a doua izometrii de specia I este o izometrie de specia

I, rezulta ca multimea izometriilor de specia I ale lui G formeaza unsubgrup al acestuia, ce contine doar rotatii. Conform primului caz,

rezulta ca acest subgrup e de tipul Cn

= {Id , , , n1}. Ampresupus ca numarul izometriilor de specia I ale lui G este n.
Presupunem ca G contine m 1 izometrii de specia a II-a.Deoarece , , 2, , n1 sunt izometrii de specia a II-a,rezulta ca m n.Dar cele m izometrii de specia a doua, compuse la dreapta cu ,dau m izometrii de specia I, deci m n. In concluziem = n OrdG = 2n siG = {Id , , , n1, , , 2, , n1}.Pentru n = 1 avem G =< >= D1

, iar pentru n > 1,k, k 1, n 1 este o simetrie fata de o dreapta ce trece princentrul A al rotatiei . Deci G = Dn

.
Presupunem ca G contine m 1 izometrii de specia a II-a.Deoarece , , 2, , n1 sunt izometrii de specia a II-a,rezulta ca m n.Dar cele m izometrii de specia a doua, compuse la dreapta cu ,dau m izometrii de specia I, deci m n. In concluziem = n OrdG = 2n siG = {Id , , , n1, , , 2, , n1}.Pentru n = 1 avem G =< >= D1

, iar pentru n > 1,k, k 1, n 1 este o simetrie fata de o dreapta ce trece princentrul A al rotatiei . Deci G = Dn

.
Bibliograe

1

Mircea Ganga, Manual Algebra clasa a XII-a, Mathpress,

Ploiesti, 2003

2

George E. Martin, Transformation Geometry, An Introduction

to Symmetry, Springer, 1982

3

Liviu Ornea, Adriana Turtoi, O introducere in geometrie,

Theta, Bucuresti 2011

4

Ioan Pop, Geometrie ana, euclidiana si proiectiva, Editura

Universitatii Al.I.Cuza, Iasi, 1999

Grupuri de Simetrii

Documents

Transcript of Grupuri de Simetrii