Clasi carea izometriilor planului E2 . Grupuri de simetrii.oanacon/depozit/Izometrii_plan.pdf ·...

Clasicarea transformarilor ortogonale ale unui plan vectorial euclidian orientat (recapitulare)Clasicarea izometriilor unui plan euclidian

Grupuri de simetrii

Clasicarea izometriilor planului E2. Grupuri desimetrii.

Oana Constantinescu

Oana Constantinescu Clasicarea izometriilor planului E2. Grupuri de simetrii.

1 Clasicarea transformarilor ortogonale ale unui plan vectorial

euclidian orientat (recapitulare)

2 Clasicarea izometriilor unui plan euclidian

3 Grupuri de simetrii

Clasicarea aplicatiilor ortogonale ale lui(−→E 2, <,>

)

Fie E2 =(E ,−→E ,Φ

)un plan euclidian orientat. Dorim sa clasicam

izometriile sale.

Fie f : E → E o izometrie. In cursul anterior am demonstrat ca f

este un morsm an cu aplicatia liniara asociata ortogonala−→f ∈ O(

−→E ). De aceea consideram utila pentru intelegerea

izometriilor planului o recapitulare a clasicarii aplicatiilor

ortogonale ale lui−→E 2.

Amintim ca valorile proprii ale oricarei aplicatii ortogonale ale unui

spatiu liniar euclidian V sunt ±1.Intr-adevar, daca λ e valoare proprie a lui T ∈ O(V ), atunci pentruorice vector propriu w ∈ V (nenul) corespunzator valorii proprii λare loc < w , w >=< T (w),T (w) >=< λw , λw >= λ2 < w , w >.Deoarece w 6= 0 rezulta ca λ2 = 1.

Transformarile ortogonale de specia I

Fie B =i , jo baza ortonormata pozitiva in

−→E . Deoarece

−→f este

ortogonala, rezulta ca ea pastreaza norma vectorilor si unghiul

dintre vectori, deci−→f (i),

−→f (j)

este tot o baza ortonormata in

−→E .

(1) Daca B ′ =−→f (i),

−→f (j)

este o baza ortonormata pozitiva,

demonstram ca matricea lui−→f in raport cu baza B este

A =

(cos θ − sin θsin θ cos θ

)∈ SO(2), θ = ]o

(i ,−→f (i)

).

Intr-adevar−→f (i) =<

−→f (i), i > i+ <

−→f (i), j > j =

(‖−→f (i) ‖‖ i ‖ cos θ

)i +(

‖−→f (i) ‖‖ j ‖ cos(π

2− θ)

)j = cos θi + sin θj . Analog

−→f (j) =

(‖−→f (j) ‖‖ i ‖ cos(π

2+ θ)

)i +(‖−→f (j) ‖‖ j ‖ cos θ

)j =

− sin θi + cos θj .Ecuatia caracteristica asociata lui A este λ2 − (2 cos θ)λ+ 1 = 0.

Observam ca ecuatia are solutii reale daca si numai daca θ = 0, sau

θ = π, caz in care−→f este aplicatia identica Id−→

E, respectiv −Id−→

E.

Pentru−→f 6= ±Id−→

E, ecuatia caracteristica nu are valori proprii reale.

Demonstram ca−→f este Rθ, rotatia geometrica de unghi orientat θ.

Fie v = v1 i + v2 j ∈−→E arbitrar. Deoarece

−→f este ortogonala,

rezulta ca ‖−→f (v) ‖=‖ v ‖. In plus,

−→f (v) = (v1 cos θ − v2 sin θ) i + (v1 sin θ + v2 cos θ) j , de unde

rezulta ca cos

(v ,−→f (v)

)= <v ,

−→f (v)>

‖v‖‖−→f (v)‖

=

v1(v1 cos θ−v2 sin θ)+v2(v1 sin θ+v2 cos θ)‖v‖2 = cos θ.

Analog sin

(v ,−→f (v)

)=

˛˛ v1 v1 cos θ − v2 sin θv2 v1 sin θ + v2 cos θ

˛˛

‖v‖‖−→f (v)‖

= sin θ, deci−→f

este rotatia de unghi θ.Evident Id−→

E= R0 si −Id−→

E= Rπ.

Aplicatii ortogonale de specia a II-a

(2) Daca Daca B ′ =−→f (i),

−→f (j)

este o baza negativa,

demonstram analog ca matricea lui−→f in raport cu baza B este

A =

(cos θ sin θsin θ − cos θ

), θ = ]o

(i ,−→f (i)

).

Ecuatia caracteristica asociata lui−→f este λ2 − 1 = 0, deci

−→f are

valorile proprii ±1. Fie u 6= 0 un vector propriu corespunzator

valorii proprii +1. Daca u = u1 i + u2 j , rezulta ca(cos θ sin θsin θ − cos θ

)(u1u2

)=

(u1u2

)⇔(cos θ − 1)u1 + sin θu2 =

0⇔(− sin θ

2u1 + cos θ

2u2)sin θ

2= 0.

Putem alege u = cos θ2i + sin θ

2j . Acest vector unitar este o baza in

subspatiul liniar U(1) al vectorilor proprii corespunzatori valorii

proprii +1.

Fie v un vector propriu unitar corespunzator valorii proprii −1.Deoarece A este o matrice simetrica rezulta ca

−→f este endomorsm

simetric. Stim ca vectorii proprii corespunzatori unor valori proprii

distincte ale unui endomorsm simetric sunt ortogonali.

Deci u, v este o baza ortonormata a lui−→E .

Deoarece−→f (u) = u si

−→f (v) = −v , rezulta ca

matricea aplicatiei ortogo-

nale de specia a doua−→f in

raport cu baza u, v este(1 0

0 −1

)

Pentru w = w1u + w2v arbitrar in−→E , rezulta−→

f (w) = w1u − w2v = Su(w), deci−→f este simetria ortogonala a

spatiului liniar euclidian orientat−→E fata de U(1) = [u].

In concluzie:

orice transformare ortogonala de specia I a planului vectorial

euclidian orientat−→E este o rotatie Rθ :

−→E →

−→E , cu cazul

particular Id−→E;

orice transformare ortogonala de specia a II-a a planului

vectorial euclidian orientat−→E este simetria ortogonala fata de

u, cu u vector propriu corespunzator valorii proprii +1.

Clasicarea izometriilor unui plan euclidian

Fie f : E → E o izometrie a planului euclidian orientat E si

R =O; i , j

un reper cartezian ortonormat pozitiv in E .

Amintim ca in raport cu R ecuatiile izometriei f se scriu matricial

X ′ = AX + B,

unde X =

(x

y

)sunt coordonatele unuie punct arbitrar P in

raport cu R, X ′ =

(x ′

y ′

)sunt coordonatele lui f (P) in raport cu

R, A ∈ O(2) si B =

(b1b2

).

Translatia

Incepem cu deplasarile, adica izometriile cu−→f aplicatii ortogonale

de specia I.

(A) Daca−→f = Id−→

E⇔ A = I2, atunci f este translatia de vector

b = b1 i + b2 j .

Ecuatiile translatiei tb in raport cu R suntx ′ = x + b1,

y ′ = y + b2.

Translatia tb are puncte xe daca si numai daca b = 0⇔f = IdE .

Rotatia de centru Ω si unghi orientat θ

(B) Daca−→f = Rθ este rotatia lui

−→E de unghi orientat θ 6= 0,

atunci matricea lui−→f in raport cu baza

i , jeste

A =

(cos θ − sin θsin θ cos θ

), deci ecuatiile lui f sunt:

x ′ = x cos θ − y sin θ + b1,

y ′ = x sin θ + y cos θ + b2.

Studiem punctele xe ale acestei izometrii. Punand conditiile x ′ = x si

y ′ = y rezulta

(1− cos θ)x + (sin θ)y = b1,

−(sin θ)x + (1− cos θ)y = b2.Determinantul matricii

sistemului este 2(1− cos θ) 6= 0 pentru θ 6= 0. Deci sistemul are solutie

unica (x0, y0). Rezulta

(1− cos θ)x0 + (sin θ)y0 = b1,

−(sin θ)x0 + (1− cos θ)y0 = b2.

Deci ecuatiile lui f suntx ′ = (x − x0) cos θ − (y − y0) sin θ + x0,

y ′ = (x − x0) sin θ + (y − y0) cos θ + y0,

sau, matricial

X ′ = A (X − X0) + X0,

unde X0 e matricea coloana a coordonatelor punctului x. Notam

acest punct x cu Ω.

Izometria obtinuta se numeste rotatia de centru Ω si unghi

orientat θ.

Simetria centrala

Observam ca rotatia de centru Ω si unghi π coincide cu simetria

fata de punctul Ω:

SΩ = RΩ,π.

Daca Ω(x0, y0) in raport cu reperul R, rezulta ca ecuatiile simetriei

centrale SΩ sunt x ′ = 2x0 − x ,

y ′ = 2y0 − y .

Antideplasarile planului euclidian

(C) Daca−→f = Su este simetria ortogonala a lui

−→E fata de u, cu

−→f (u) = u , am vazut ca este mai usor sa lucram cu baza u, v,unde

−→f (v) = −v . Deci matricea lui

−→f in raport cu baza u, v

este A′ =

(1 0

0 −1

).

In raport cu reperul R′ = O; u, v, obtinut din R printr-o rotatie

de unghi θ2, ecuatiile izometriei f sunt:

x ′ = x + b1,

y ′ = −y + b2.

Mentionam ca, pentru simplitatea scrierii, am notat coordonatele

punctelor in raport cu noul reper in acelasi mod.

Simetria ortogonala axiala

Studiem punctele xe ale lui f . Observam ca x ′ = x si y ′ = y daca

si numai daca

b1 = 0,

y = b22.

(C1) Daca b1 = 0 izometria f are in raport cu R′ ecuatiilex ′ = x ,

y ′ = −y + b2.

In acest caz dreapta d de ecuatie y = b22(in raport cu R′) este xa

punct cu punct.

Deci f = Sd este simetria ortogonala a planului E2 fata de

dreapta d .

Remarcam ca directia dreptei d este un vector propriu al lui−→f

corespunzator valorii proprii +1.

Simetria alunecata

(C2) Daca b1 6= 0 izometria f nu are puncte xe. Observam ca

f = tw Sd este compunerea dintre simetria ortogonala fata de

dreapta d si translatia de vector w = b1u ∈−→d :

(x , y) Sd−−→ (x ,−y + b2) tw−−→ (x + b1,−y + b2)

In literatura de specialitate in limba romana nu exista o denumire

consacrata pentru aceasta izometrie, dar o putem numi simetrie

alunecata (in engleza: glide reexion).

Ecuatiile simetriei ortogonale axiale in raport cu RDe obicei dorim sa scriem ecuatiile simetriei ortogonale a planului

E2 fata de o dreapta d care are in raport cu un reper ortonormat

R =O; i , j

ecuatia generala

ax + by + c = 0, a2 + b2 > 0.

Deducem ca N(a, b) este un vector normal dreptei d .

Daca P(x , y) si Sd (P) = P ′(x ′, y ′), impunand conditiile−−→PP ′ ‖ N si

1

2P + 1

2P ′ ∈ d , obtinem

x ′ − x

a=

y ′ − y

ba

2

(x + x ′

)+

b

2

(y + y ′

)+ c = 0.

Din aceste conditii rezulta

Sd :

x ′ = x − 2a(ax+by+c)

a2+b2,

y ′ = y − 2b(ax+by+c)a2+b2

.

Concluzie

Am obtinut urmatoarea clasicare a izometriilor unui plan euclidian

orientat:

deplasarile:

translatia de vector a

rotatia de centru Ω si unghi orientat θ

antideplasarile:

simetria ortogonala fata de o dreapta d

compunerea dintre simetria ortogonala fata de o dreapta d si o

translatie de vector cu aceeasi directie cu dreapta d

Concluzie

Vericati urmatoarele proprietati, folosind e ecuatiile izometriilor

planului, e proprietatea ca orice izometrie a planului este o

compunere de cel mult trei simetrii axiale:

1 Multimea rotatiilor de acelasi centru formeaza un grup in

raport cu compunerea functiilor, grup izomorf cu SO(2).

2 Compunerea a doua rotatii de centre diferite este e o rotatie,

e o translatie. Mai exact

RΩ1,α1 RΩ2,α2 = RΩ3,α1+α2 , daca α1 + α2 6= 0(mod2π),

RΩ1,α1 RΩ2,α2 = tu, daca α1 + α2 = 0(mod2π).

3 Compunerea dintre o translatie si o rotatie de centru Ω si

unghi α este o rotatie de acelasi unghi α dar de centru Ω′ 6= Ω.

4 Compunerea dintre o rotatie si o simetrie fata de o dreapta d

ce trece prin centrul rotatiei este o simetrie axiala fata de o

alta dreapta d ′ ce trece tot prin centrul rotatiei.


Grupuri de simetrii

Rolul grupurilor de transformari in denirea unei geometrii

Felix Klein (1849-1925) a dorit sa aplice conceptul de grup

pentru a caracteriza diferitele geometrii ale timpului.

In discursul inaugural de la Universitatea Erlangen (1872) -

Tendinte recente in cercetarea geometrica - Klein spune:

ind data o varietate si in ea un grup de transformari, sarcina

noastra este sa investigam acele proprietati ale unei guri din

varietate care nu se schimba prin transformarile grupului.

Se da o multime M si SM grupul permutarilor lui M. Orice

subgrup G al lui SM este un grup de transformari ale lui M.

Se studiaza acele proprietati ale gurilor care sunt invariate de

toate elementele lui G . Deci, apriori, M nu are proprietati

geometrice, acestea sunt dictate de grupul G . O geometrie

este notata prin (M,G ).



Grupuri de simetrii

Simetriile unei guri

Odata xata o geometrie cu un grup de automorsme G , se

poate studia subgrupul automorsmelor care invariaza o gura

xata F . Aceste automorsme se numesc simetrii ale gurii

respective.

Denition

Fie F ⊂ P o gura xata a planului P. Se numeste simetrie a lui

F o izometrie a planului, f : P → P, care invariaza gura F :f (F) = F .

Theorem

Multimea simetriilor gurii F ⊂ P este un subgrup al grupului

izometriilor planului P.



Grupuri de simetrii

Grupuri de simetrii

Dorim sa studiem grupurile de simetrii ale unor poligoane:

grupul simetriilor unui dreptunghi diferit de patrat este grupul

lui Klein

grupul simetriilor unui poligon regulat se numeste grup diedral

subgrupurile ciclice ale acestora formate doar din rotatii

De asemenea, dat un grup de simetrii, vom determina un poligon

care sa aiba drept grup de simetrii pe cel initial

In nal vom determina toate grupurile nite de simetrii,

demonstrand teorema lui Leonardo.



Grupuri de simetrii

.



Grupuri de simetrii

Grupul lui Klein

V4 = Id , Sa, Sb, SO= < Sa, SO = RO,π >

Id Sa Sb SOId Id Sa Sb SOSa Sa Id SO SbSb Sb SO Id SaSO SO Sb Sa Id



Grupuri de simetrii

Grupul simetriilor patratului

Notatii:

ρ rotatia de centru O si

unghi π2

σ simetria axiala in raport

cu axa orizontala h

Sunt exact opt

simetrii

Putem genera toate

simetriile pornind de

la ρ si σ



Grupuri de simetrii

Grupul diedral D4

Id , Sh, Sr , Sv , Sl , RO,π

2, RO, 2π

2= SO , RO, 3π

2

D4 =

ρ, ρ2, ρ3, ρ4 = Id , ρσ, ρ2σ, ρ3σ, σ

σ2 = ρ4 = Id

σ−1 = σ ρ−1 = ρ3 ρ−2 = ρ2 ρ−3 = ρ

σr = ρσ σv = ρ2σ σl = ρ3σ

σvσ = ρ2 σlσ = ρ3



Grupuri de simetrii

Grupul diedral D4

Compunerea dintre o simetrie axiala fata de dreapta d si o

rotatie cu centrul apartinand dreptei d este o simetrie fata de

o dreapta ce trece prin centrul rotatiei.

Deci σρ, σρ2, σρ3 sunt simetrii fata de drepte ce trec prin O,

deci sunt aplicatii involutive.

σρ = (σρ)−1 = ρ−1σ−1 = ρ3σ,

σρ2 = (σρ2)−1 = ρ−2σ−1 = ρ2σ,

σρ3 = (σρ3)−1 = ρ−3σ−1 = ρσ.



Grupuri de simetrii

Grupul diedral D4

Id ρ ρ2 ρ3 σ ρσ ρ2σ ρ3σ

Id Id ρ ρ2 ρ3 σ ρσ ρ2σ ρ3σ

ρ ρ ρ2 ρ3 Id ρσ ρ2σ ρ3σ σ

ρ2 ρ2 ρ3 Id ρ ρ2σ ρ3σ σ ρσ

ρ3 ρ3 Id ρ ρ2 ρ3σ σ ρσ ρ2σ

σ σ ρ3σ ρ2σ ρσ Id ρ3 ρ2 ρ

ρσ ρσ σ ρ3σ ρ2σ ρ Id ρ3 ρ2

ρ2σ ρ2σ ρσ σ ρ3σ ρ2 ρ Id ρ3

ρ3σ ρ3σ ρ2σ ρσ σ ρ3 ρ2 ρ Id

C4 =Id , ρ, ρ2, ρ3

=< ρ > subgrupul rotatiilor



Grupuri de simetrii

Poligoane care au ca grup de simetrii C4



Grupuri de simetrii

Grupul diedral D3

σ = σh ρ = ρO, 2π3

σ2 = ρ3 = Id

D3 =Id , ρ, ρ2, σ, ρσ, ρ2σ

σρ = (σρ)−1 = ρ−1σ−1 = ρ2σ

σρ2 = (σρ2)−1 = ρ−2σ−1 = ρσ



Grupuri de simetrii

Grupul diedral D3

Id ρ ρ2 σ ρσ ρ2σ

Id Id ρ ρ2 σ ρσ ρ2σ

ρ ρ ρ2 Id ρσ ρ2σ σ

ρ2 ρ2 Id ρ ρ2σ σ ρσ

σ σ ρ2σ ρσ Id ρ2 ρ

ρσ ρσ σ ρ2σ ρ Id ρ2

ρ2σ ρ2σ ρσ σ ρ2 ρ Id

C3 =Id , ρ, ρ2



Grupuri de simetrii

Poligoane cu C3 drept grup de simetrii



Grupuri de simetrii

Grupul diedral D6

D6 =Id , ρ2, ρ3, ρ4, ρ5, σ, ρσ, ρ2σ, ρ3σ, ρ4σ, ρ5σ

, ρ = ρO,π

3



Grupuri de simetrii

Poligon cu grup de simetrii C6

C6 = Id , ρ2, ρ3, ρ4, ρ5



Grupuri de simetrii

Grupul diedral Dn si subgrupul rotatiilor CnAvand un poligon regulat cu n laturi, ecare varf Vi poate

dus printr-o simetrie intr-unul din cele n varfuri ale poligonului,

de exemplu Vk . Atunci un varf vecin lui Vi poate dus prin

acea simetrie intr-unul din varfurile vecine ale lui Vk . Deci in

total avem 2n posibilitati. Cum imaginea poligonului regulat

printr-o simetrie este determinata atunci cand se cunosc

imaginile a doua varfuri vecine prin acea simetrie, rezulta ca

exista cel mult 2n simetrii pentru poligonul respectiv.

Fie h una din axele de simetrie ale poligonului regulat. Notam

cu σ simetria axiala in raport cu h si cu ρ rotatia de centru O

(centrul de simetrie al poligonului, situat la intersectia axelor

sale de simetrie) si unghi orientat 2πn.

Id , ρ, ρ2, · · · , ρn−1, ρσ, ρ2σ, · · · , ρn−1σsunt 2n simetrii ale

poligonului, deci acestea sunt toate simetriile posibile. In

consecinta Dn =< ρ, σ > si subgrupul rotatiilor sale este

grupul ciclic Cn =< ρ > de ordin n.Oana Constantinescu Clasicarea izometriilor planului E2. Grupuri de simetrii.


Grupuri de simetrii

Dn

Pentru a completa tabela grupului procedam astfel. Pentru

primele n linii folosim ρn = σ2 = Id si ecare linie se obtine

practic din precedenta prin compunere la stanga cu ρ.

Pentru linia corespunzatoare lui σ folosim faptul ca orice

compunere dintre o simetrie axiala si o rotatie este o simetrie

axiala, deci o aplicatie involutiva. Astfel,

(σρk)−1 = σρk , ∀k ∈ 1, n − 1. Deci

σρk = ρn−kσ, ∀k ∈ 1, n − 1.

Dupa completarea acestei linii, ultimele n − 1 linii se obtin

ecare din precedenta prin compunere la stanga cu ρ.

D1 =< σ > e grupul simetriilor unui triunghi isoscel

neechilateral, iar C1 = Id.D2 =< σ,RO,π = σO >= V4, iar C2 = Id , ρO,π e grupul

simetriilor unui paralelogram diferit de romb.Oana Constantinescu Clasicarea izometriilor planului E2. Grupuri de simetrii.


Grupuri de simetrii

Teorema lui Leonardo

Pana in acest moment am reusit sa demonstram urmatorul rezultat:

Theorem

Pentru orice n ∈ N∗, exista cate un poligon care are ca grup de

simetrii pe Dn si respectiv pe Cn.

Ne intereseaza rezultatul reciproc: orice grup nit de simetrii al

unei guri plane este de tipul Dn sau Cn?Hermann Weyl (1885-1955) arma in cartea Symmetry, Princeton

University Press, 1951, ca Leonardo da Vinci (1452-1519) era

preocupat de aceasta problema. Mai exact acesta determina in mod

sistematic simetriile unei cladiri centrale si studia cum sa ataseze

capele, nise, etc, fara a strica simetria nucleului.



Grupuri de simetrii

Teorema lui Leonardo

Theorem

Singurele grupuri nite de izometrii sunt Cn si Dn.

Corollary

(Leonardo) Dat un poligon oarecare, grupul sau de simetrii este Dn

sau Cn.


Theorem

Singurele grupuri nite de izometrii sunt Cn si Dn.

Demonstratie

Fie G un grup nit de izometrii ale planului P. Rezulta ca acesta

nu poate contine translatii sau compuneri de translatii cu simetrii

axiale, deoarece acestea ar genera un subgrup innit. In consecinta

G contine doar rotatii si simetrii axiale.

Caz I Presupunem ca G contine doar rotatii:

G = C1 = Id∃RA,α ∈ G, RA,α 6= Id . In aceasta situatie demonstram ca

toate rotatiile sunt de centru A.

Pp prin reducere la absurd ca ∃RB,β ∈ G cu A 6= B. Atunci

R−1B,βR

−1A,αRB,βRA,α ∈ G. Dar aceasta compunere de rotatii

este o translatie diferita de Id caci suma unghiurilor

orientate ale acestor rotatii este 0. Se contrazice astfel

ipoteza ca G e grup nit.

Deci ∀n ∈ N : RnA,α = RA,nα ∈ G si R−1A,α = RA,−α ∈ G. Astfel,

toate elementele grupului pot scrise sub forma RA,α cu

0 ≤ α ≤ 2π.Fie α0 valoarea minima (pozitiva) pe care o poate lua unghiul unei

rotatii din G. Se demonstreaza prin reducere la absurd ca

∀RA,β ∈ G, ∃k ∈ N∗ astfel incat β = kα0. Deci orice rotatie a

grupului este de tipul RA,kα0 = RkA,α0

, pentru un anumit k natural,

deci este generata de RA,α0 . In concluzie

G =< RA,α0 >= Cm, RmA,α0

= Id .

Caz II Presupunem ca G contine cel putin o simetrie axiala

σ.

Deoarece o izometrie si inversa ei sunt de aceeasi specie, iar

compunerea a doua izometrii de specia I este o izometrie de specia

I, rezulta ca multimea izometriilor de specia I ale lui G formeaza un

subgrup al acestuia, ce contine doar rotatii. Conform primului caz,

rezulta ca acest subgrup e de tipul Cn = Id , ρ, · · · , ρn−1. Ampresupus ca numarul izometriilor de specia I ale lui G este n.

Presupunem ca G contine m ≥ 1 izometrii de specia a II-a.

Deoarece σ, ρσ, ρ2σ, · · · , ρn−1σ sunt izometrii de specia a II-a,

rezulta ca m ≥ n.

Dar cele m izometrii de specia a doua, compuse la dreapta cu σ,dau m izometrii de specia I, deci m ≤ n. In concluzie

m = n⇒ OrdG = 2n si

G =Id , ρ, · · · , ρn−1, σ, ρσ, ρ2σ, · · · , ρn−1σ

.

Pentru n = 1 avem G =< σ >= D1, iar pentru n > 1,

ρkσ, ∀k ∈ 1, n − 1 este o simetrie fata de o dreapta ce trece prin

centrul A al rotatiei ρ. Deci G = Dn.


Grupuri de simetrii

Bibliograe

1 Mircea Ganga, Manual Algebra clasa a XII-a, Mathpress,

Ploiesti, 2003

2 George E. Martin, Transformation Geometry, An Introduction

to Symmetry, Springer, 1982

3 Liviu Ornea, Adriana Turtoi, O introducere in geometrie,

Theta, Bucuresti 2011

4 Ioan Pop, Geometrie ana, euclidiana si proiectiva, Editura

Universitatii Al.I.Cuza, Iasi, 1999


Clasi carea izometriilor planului E2 . Grupuri de simetrii.oanacon/depozit/Izometrii_plan.pdf ·...

Documents

Transcript of Clasi carea izometriilor planului E2 . Grupuri de simetrii.oanacon/depozit/Izometrii_plan.pdf ·...