GM_Lucrarea 02 (Memoriu Tehnic)

8/2/2019 GM_Lucrarea 02 (Memoriu Tehnic)

http://slidepdf.com/reader/full/gmlucrarea-02-memoriu-tehnic 1/6

1

Numele: Benedic Codruț LUCRA REA NR. 2

grupa 1, seria A, anul II

Calculul triunghiurilor elipsoidice mici

Lucrarea nr. 2

o Tema lucrării:

Se consideră un triunghi pe sfera de rază , pentru care se cunosc unghiurile ∗, ∗, ∗, precum șidistanța redusă de la la (lungimea laturii „c”).Se cere să se rezolve triunghiul elipsoidic mic prin metoda Soldern și Legendre.

Date inițiale:

Unghiuri masurate si reduse pe elipsoid:Unghiul din A: 70,3425037 [gon]Unghiul din B: 54,6513034 [gon]Unghiul din C: 75,0069724 [gon]

Distanța dintre punctele A și B (c) redusă pe elipsoid: Distanța: 29374,013 m

Latitudinea medie:Latitudinea: 46°[grad]

o Memoriu tehnic:

1. Se calculează excesul sferic cu formula:

= · ,:

– reprezintă excesul sferic în triunghiul elipsoidic mic;

– este raportul

;

– reprezintă aria triunghiului elipsoidic mic; – reprezintă raza medie Gauss.

Figura 1. Excesul sferic

n = 55



2

Pentru determinarea excesului sferic se consideră triunghiul elipsoidic mic, ABC, din figura 1.Triunghiul elipsoidic mic este un triunghi ale cărui laturi nu depășesc 60 km și ale cărui unghiuri,amplasate pe o sferă medie Gauss de rază R, se consideră că nu sunt afectate de erori.

Din figură se pot calcula suprafețele fusurilor sferice (AA), (BB) și (CC) în funcție de suprafața, , atriunghiului sferic considerat.

( ) = +

() = +

() = + = +

Adunând cele trei (3) relații, obținem:

( ) + () + () = 3 · + 2 − = 2 · + 2

Aceleași suprafețe se obțin și prin intermediul relațiilor:

( ) = 400 4

() =

400 4

() =

400 4

Se adună ultimile trei (3) relații și se obține:

( ) + () + () =2200 ( + + )

Rezultă că:

2 · + 2 =2200 ( + + )

( + + ) = 200 + 200 ·

Notând cu raportul · și cu =

, rezultă formula de calcul a excesului sferic:

= ·.

Prin urmare, întotdeauna, întrun triunghi elipsoidic mic, suma unghiurilor este 200g la care se adaugăexcesul sferic.



3

2. Se rezolvă triunghiul elipsoidic mic prin metoda Soldner

Pentru aceasta, se urmăresc următoarele etape de calcul, după cum urmează: se calculează excesul sferic (tabelul T. 1.1); se compensează unghiurile în triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neînchiderii și repartizarea

ei, în mod egal, celor trei (3) unghiuri (tabelul T. 1.1);:

= ( ∗ + ∗ + ∗) − (200 + )

= ∗ −3

; = ∗ − 3

; = ∗ − 3

unde ∗,∗,∗ sunt valorile unghiurilor reduse pe suprafața elipsoidului de referință. se calculează aditamentul liniar al laturii „c” și apoi lungimea laturii „c” în triunghiul plan

(tabelul T. 1.2); se calculează lungimile celorlalte două laturi ale triunghiului plan (tabelul T. 1.2); se determină aditamentele liniare ale celorlalte două laturi și apoi mărimea lor în triunghiul

elipsoidic mic (tabelul T. 1.2).

Figura 2. Rezolvarea triunghiurilorelipsoidice mici prin metoda Soldner (metoda aditamentelor)

În cazul metodei Soldner (metodei aditamentelor) se consideră un triunghi situat pe o sferă medie Gauss în care se cunosc valorile unghiurilor A, B, C și lungimea liniei geodezice „c”. Trebuie să se determinevalorile celorlalte două laturi ale triunghiului: „a” și „b”. Metoda propusă de Soldner pentru rezolvarea triunghiului elipsoidic mic, care este aproximat cu un triunghi sferic, este aceea de a înlocui triunghiul elipsoidic mic cu un triunghi plan în care se păstreazăunghiurile și se modifică laturile. Trebuie, deci, să se determine relația de calcul a corecției care trebuie aplicată laturii cunoscute pentru aobține valoarea ei în triunghiul plan, după care se rezolvă triunghiul plan, deducându-se valorile celorlaltedouă latur i. În final, prin intermediul relației deduse, urmează să se determine valorile celor două laturi întriunghiul elipsoidic mic.Pe sfera medie, care înlocuiește pe suprafețe mici elipsoidul de rotație, teorema sinusurilor estereprezentată prin relațiile:

sin sin =

sin sin =

sin sin

Din prima egalitate a relației de mai sus și prin dezvoltarea în serie a funcției sinus, se obține:

sin

sin =

sin

sin =

sinsin =

−

6 · − 6 ·

= −

6 · − 6 ·



4

În triunghiul plan, din aceeași teoremă, rezultă:

sin sin =

Deorece s-a considerat că unghiurile în cele două triunghiuri sunt egale, din egalarea ultimilor două relațiise obține că:

= − 6 · ș = −

6 ·

sau, în general:

= − 6 · ,:

mărimea· se notează cu și reprezintă aditamentul liniar al laturii s. Deci, ultima relație se mai poate

scrie și sub forma:

= −

3. Se rezolvă triunghiul elipsoidic mic prin metoda Legendre

Pentru aceasta, se urmăresc următoarele etape de calcul, după cum urmează: se calculează excesul sferic (tabelul T. 2.1); se compensează unghiurile în triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neînchiderii și repartizarea

ei, în mod egal, celor trei (3) unghiuri (tabelul T. 2.1); se calculează unghiurile în triunghiul plan, prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime din

excesul sferic (tabelul T. 2.2); se calculează celelalte laturi în triunghiul plan, care, conform metodei Legendre, sunt egale cu cele

din triunghiul sferic (tabelul T. 2.3).

Figura 3. Rezolvarea triunghiurilorelipsoidice mici prin metoda Legendre

În cazul metodei Legendre, denumită și metoda dezvoltărilor în serie, se consideră că un triunghi sfericmic se poate rezolva ca un triunghi plan dacă se păstrează egalitatea laturilor celor două triunghiuri iar unghiurile triunghiului plan se obțin prin micșorarea fiecărui unghi cu câte o treime din excesul sferic. Elementele care se cunosc și cele care urmează a se determina sunt aceleași ca la metoda Soldner de

rezolvare a triunghiurilor elipsoidice mici.



5

Pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prin metoda Legendre, mai întâi, se scrie teoremacosinusului în triunghiul sferic considerat:

cos = cos cos + sin sin cos

de unde rezultă:

cos

=

cos − cos cossin sin

Prin dezvoltarea în serie a funcției cosinus și prin neglijarea termenilor de gradul V și mai mare, pentrunumărătorul relației de mai sus se obține:

cos − cos cos = 1 − 2

+24

− 1 − 2

+24

1 − 2

+24

După efectuarea calculelor, rezultă:

cos − cos cos = − + + 2+ − − − 624

Prin dezvoltarea în serie a funcției sinus și prin neglijarea termenilor de gradul V și mai mare, pentrunumitorul aceleiași relații se obține:

sin sin = 1 − + 6

sau

1

sin sin =1

1 − + 6

≅ 1

1 + + 6

După prelucrarea expresiilor de la numărător și numitor, relația inițială devine:

cos =− + +

2 + + + − 2 − 2 − 2

24

iar dacă se iau în vedere laturile triunghiului sferic:

cos = − + + 2 + + + − 2 − 2 − 2

24

În triunghiul plan corespondent, din teorema cosinusului rezultă:

cos =− + +

2

iar dacă se calculează și valoarea sinusului:

sin = 1 − cos = + + − 2 − 2 − 24



6

Revenind la relația inițială, se obține:

cos = cos − sin 1

6

Din egalitatea = + ( − ) , prin dezvoltări, rezultă:

cos = cos − ( −) sin 1

ceea ce înseamnă că:

( − ) = cos − cos sin = sin 1

6 =1

3

sau

( −) = 3

Astfel, s-a demonstrat afirmația conform căreia unghiurile triunghiului plan se obțin prin micșorareafiecărui unghi din triunghiul sferic mic cu câte o treime din excesul sferic.

GM_Lucrarea 02 (Memoriu Tehnic)

Documents

Transcript of GM_Lucrarea 02 (Memoriu Tehnic)