Gheorghe Necșuleu CALCULUL UNOR LIMITE DE ȘIRURI CU ... · gheorghe necșuleu calculul unor...

Gheorghe Necșuleu

CALCULUL UNOR LIMITE DE ȘIRURI CU

AJUTORUL INTEGRALELOR DEFINITE

DIN FUNCȚII RAȚIONALE

2

INTRODUCERE

Vom da o metodă de calcul a limitelor:

1) , , ,

0

1lim

( 1)( 1)...( 1)

n

m l p rn

k

Lmk l mk l r mk l pr

,

unde ,m ,l ,p r ;

2) /

, , ,

1lim ( 1)

( 1)( 1)...( 1)

nk

m l p rn

k o

Lmk l mk l r mk l pr

,

unde ,m , ,l p r ;

3) , , ,

0

( ) lim( )( )...( )

mk ln

m l p rn

k

xL x

mk l mk l r mk l pr

,

unde (0,1), ,x m , ,l p r ;

4) /

, , ,

0

( ) lim ( 1)( )( )...( )

mk lnk

m l p rn

k

xL x

mk l mk l r mk l pr

,

unde (0,1),x , , , .m l p r

Pentru fiecare caz vom face particularizări care vor include

rezultate remarcabile cunoscute. Cercetările pe această temă le-

am început cu mulți ani în urmă, după ce am observat că în multe

culegeri de matematică de liceu figurau probleme de calcul a unor

limite de șiruri de tipul 1) de mai sus și că toate erau propuse,

astfel încât să poată fi calculate prin metode elementare. Erau

ocolite numeroase șiruri de tipul 1), întrucât în aceste cazuri

3

metoda elementară de calcul a limitelor șirurilor respective nu se

putea aplica. După mai multe încercări fără succes am constatat

că după o descompunere în fracții simple, urmată de trecerea la

integrale definite prin formule de tipul 1

0

1,

1x dx

, precum

și de aplicarea teoremei de integrare termen cu termen a șirurilor

de funcții, am reușit să fundamentez o metodă de calcul a

limitelor șirurilor de tipul anunțat.

Ulterior am publicat lucrările [3] și [4] în anul 1998 în Gazeta

Matematică Seria A în care era prezentată metoda obținută în

limbaj de șiruri numerice, respectiv serii numerice, care a consti-

tuit o noutate la momentul respectiv, dar care nu putea fi folosită

la nivelul liceului, întrucât folosea în mod esențial convergența u-

niformă a unor șiruri de funcții.

În lucrarea de față am considerat patru familii de șiruri și la trei

dintre aceste familii, în loc de convergența uniformă a unor șiruri

de funcții am folosit formula generalizată a mediei pentru integra-

le, astfel încât metoda fundamentată în această lucrare să poată fi

folosită și în liceu.

Profesor gradul I Gheorghe Necșuleu,

LICEUL TEORETIC VIRGIL IERUNCA, Lădești-Vâlcea

4

CUPRINS

1.Calculul limitelor , , ,m l p rL și aplicații ................................ 9

Limitele , , ,1m l pL ....................................................................9

Limitele , , ,2m l pL ...............................................................14

Limitele , , ,m l p rL ..................................................................16

2.Calculul limitelor /

, , ,m l p rL și aplicații ................................19

Limitele /

, , ,1m l pL ..................................................................19

Limitele /

, , ,2m l pL ..................................................................22

Limitele /

, , ,m l p rL ..................................................................24

3.Calculul limitelor /

, , , , , ,( ), ( )m l p r m l p rL x L x și aplicații ...............27

Limitele , , ,1( )m l pL x ...........................................................27

Limitele , , , ( )m l p rL x ................................................................29

Limitele /

, , ,1( )m l pL x ...............................................................31

Limitele /

, , , ( )m l p rL x .............................................................33

4.Aspecte metodice privind posibilitatea și utilitatea

aplicării metodei în liceu ................................................35

Șirul 1

1n

n

k

an k

...............................................................35

5

Elementar sau neelementar ?.............................................37

Șirul 1

1

2 1

n

n

k

ak k

........................................................39

Șirul 1

0

11 ,

1

nk

n

k

an k

......................................40

Concluzii ..........................................................................41

Bibliografie..........................................................................43

Anexă: formule utile stabilite cu metoda prezentată

în lucrare ..................................................................45

6

CAPITOLUL I

CALCULUL LIMITELOR , , ,m l p rL ȘI APLICAȚII

1.Limitele , , ,1m l pL

Lema 1.1 Pentru orice p și x \ 1, 2,..., ( 1)p are

loc următoarea descompunere în fracții simple :

0 11 1

... ( 1)( 1)( 2)...( 1) ! 1 2 1

p

p p ppC C C

x x x p p x x x p

.

Demonstrație. Considerăm descompunerea în fracții simple :

11 21... ,

( 1)( 2)...( 1) 1 2 1

pAA A

x x x p x x x p

unde , 1, 2,..., 1 .iA i p Înmulțind această egalitate cu x i și

trecând la limită pentru ,x i obținem :

7

1,

( 1)( 2)...( 1)( 1)( 2)...( 1)iA

i i i i i i i i i p

de unde :

11 1( 1) 1

1!( 1)! 1 !

ii i

i pA Cpi p i

, c.c.t.d.

Următoarele trei leme constituie rezultate binecunoscute.

Lema 1.2 (prima formulă de medie pentru integrale,[10],pa-

gina 330). Dacă ,f g : ,a b sunt funcții continue și g nu-și

schimbă semnul în ,a b ,atunci există ,a b , astfel încât :

b b

a a

f x g x dx f g x dx .

Remarcă. Lema 1.2, se mai numește ,, formula generalizată a

mediei pentru integrale”

Lema 1.3 ( teorema lui Dini, [8], pagina 30 sau [6],pagina78).

Fie șirul nf : ,a b ,cu 0 1 2 ... ...nf x f x f x f x ,pen-

tru orice ,x a b , nf continue, lim nn

f x f x

, oricare ar fi nu-

mărul ,x a b și f continuă. Atunci ( )n n of converge uniform

către f pe ,a b .

Lema 1.4 ( teorema de integrare termen cu termen a șirurilor

de funcții,[10], pagina 419). Dacă șirul 0n n

f

de funcții definite

și continue pe ,a b este uniform convergent, atunci:

lim lim

b b

n nn n

a a

f x dx f x dx

.

8

Teorema 1.1 Are loc formula:

11

, , ,1 2 1

0

11

! 1 ...

pl

m l p m

x xL dx

p x x x

, (1)

unde , ,m l p .

Demonstrație. Folosind și Lema 1.1, pentru x mk l , unde

0,1,...,k n , rezultă :

0 0 0

1 11

1 ... 1 ! 1

i ipn np

k k i

C

mk l mk l p p mk l i

1 1

0 0 0 00 0

1 11 1

! !

p pn ni ii mk l i mk l i i

p p

k i k i

C x dx x C x dxp p

1 1

0 00 0

1 11 1

! !

n np pmk l mk l

k k

x x x dx x x xp p

11

1

2 1

0

111

! 1 ...

nm

pl

m

xx x dx

p x x x

.

În continuare avem două posibilități de a finaliza demonstrația .

Varianta cu prima formulă de medie :

Folosind Lema 1.2 obținem:

11

1

, , ,1 2 1

0

11lim 1

! 1 ...

nm

pl

m l p mn

xL x x dx

p x x x

11

2 1

0

11

! 1 ...

pl

m

x xdx

p x x x

2 1

1 1lim 1,

! 1 ... mnn n n

B mn m l pp

,

9

unde 0,1n pentru orice n , iar B este integrala lui Euler de

prima speță ( numită și funcția beta a lui Euler):

1

11

0

, 1 , 0, 0baB a b x x dx a b (2)

Se arată (de exemplu în [7], pagina 314) că pentru ,a b , avem:

1 ! 1 !,

1 !

a bB a b

a b

(3)

Atunci:

! 1 !lim 1, lim 0

!n n

mn m l pB mn m l p

mn m l p

și demonstrația se încheie.

Varianta ce are la bază convergența uniformă a unor șiruri

de funcții, în cazul 1p :

Presupunem , , \ 1m l p . Atunci aplicând Lema 1.3

se obține că șirul de funcții

: 0,1nf ,

1

1

2 1

11

1 ...

nm

pl

n m

xf x x x

x x x

,

este uniform convergent pe 0,1 către : 0,1f ,

1

2 1

1

1 ...

pl

m

x xf x

x x x

.

Cu acest rezultat și folosind Lema 1.4, rezultă:

1 1

, ,, ,1

0 0

1 1lim lim

! !m l p n n

n nL f x dx f x dx

p p

1

0

1

!f x dx

p . c.c.t.d.

10

Observația 1.1 Metoda de calcul a limitelor , , ,1m l pL este dată de

demonstrația Teoremei 1.1. În aplicații vom folosi direct formula

(1), dar pentru justificarea riguroasă a fiecărei aplicații în parte

trebuie procedat exact ca în demonstrația Teoremei 1.1.

Aplicații:1)

1 1 1lim ...

1 2 4 5 3 1 3 2n n n

0

1lim

3 1 3 2

n

nk k k

1

3,0,1,1 2

0

1 1

1! 1L dx

x x

3 3

;

2)

1 1 1lim ...

1 2 3 5 6 7 4 1 4 2 4 3n n n n

0

1lim

4 1 4 2 4 3

n

nk k k k

4,0,2,1L

1

2 3

0

1 1

2! 1

xdx

x x x

1ln 2;

4

3)

1 1 1lim ...

1 2 3 4 3 4 5 6 2 1 2 2 2 3 2 4n n n n n

2,0,3,1

0

1lim

2 1 2 2 2 3 2 4

n

nk

Lk k k k

21

0

11 2 5ln 2 ;

3! 1 3 12

xdx

x

4) 1 1 1 1 1

lim 1 ...2 3 4 2 1 2 2n n n

1 1 1lim ...

1 2 3 4 2 1 2 2n n n

0

1lim

2 1 2 2

n

nk k k

11

1

2,0,1,1

0

1 1ln 2.

1! 1L dx

x

Remarcă. Această ultimă aplicație este de fapt un rezultat

binecunoscut pe care noi l-am obținut cu metoda furnizată de

Teorema 1.1.

2. Limitele , , ,2m l pL

Lema 1.5 Pentru orice p și \ 1, 3,..., 2 1x p are

loc următoarea descompunere în fracții simple:

0 11 1

... 11 3 ... 2 1 ! 2 1 3 2 1

ppp p p

p

C C C

x x x p p x x x p

.

Demonstrație. În descompunerea:

2 1311

... ,1 3 ... 2 1 1 3 2 1

pAAA

x x x p x x x p

înmulțim cu 2 1x i și trecem la limită când 2 1x i .

Obținem:

2 1

1

2 1 1 2 1 3 ... 2 1 2 1 2 1 2 3 ... 2 1 2 1iA

i i i i i i i p

1

2 2 2 ... 2 2... 2 2i i i p

1 1

2 1 ...1 1...

i

p i i p i

1 ! 11

! 2 ! ! ! 2

i

i i

pp p

pC

p i p i p

. c.c.t.d.

12

Această lemă ajută la stabilirea următorului rezultat important:


11

, , ,2 2 1

0

1 11

! 2 1 ...

p pl

m l p p m

x x xL dx

p x x x

,

unde , ,m l p .

Demonstrație. Folosind și Lema 1.5, obținem:

0

1

1 3 ... 2 1

n

k mk l mk l mk l p

1

2

0 0 0 0 0

11 11

! 2 2 1 ! 2

i ip pn nip i mk l i

pp pk i k i

CC x dx

p mk l i p

1

2

0 00

11

! 2

pniimk l i

ppk i

x C x dxp

1

2

0 0

11

! 2

np

mk l

pk

x x x dxp

1

00

11 1

! 2

np pmk l

pk

x x x x dxp

11

2 1

0

1 11

! 2 1 ...

p pl

p m

x x xdx

p x x x

1 1

1

2 1

0

1 11.

! 2 1 ...

n p pm l

p m

x x x xdx

p x x x

Folosind acum Lema 1.2 și relațiile (2), (3), rezultă:

1 1

1

2 1

0

1 1

1 ...

n p pm l

m

x x x xdx

x x x

2 1

11,

1 ...

p

n

m

n n n

B mn m l p

,

unde 0,1n .

Acum ținând seama că lim 1, 0n

B mn m l p

, demonstrația

se încheie. c.c.t.d.

13

Suntem conduși la calculul unor limite de șiruri cu rezultate ce

conțin numărul irațional , așa cum vom vedea în continuare.

Aplicații:1)

1 1 1 1lim ...

1 3 5 7 9 11 4 1 4 3n n n

4,0,1,2

0

1lim

4 1 4 3

n

nk

Lk k

1

2 3

0

1 1

2 1 8

xdx

x x x

.

2)

1 1 1lim ...

1 3 5 5 7 9 4 1 4 3 4 5n n n n

4,0,2,2

0

1lim

4 1 4 3 4 5

n

nk

Lk k k

21

2 2 3

0

1 11

2! 2 1

x xdx

x x x

2

16

.

3. Limitele , , ,m l p rL

Lema 1.6 Pentru orice ,p r și \ 1, 1 ,..., 1x r pr

are loc următoarea descompunere în fracții simple:

0 11 1

... 11 1 ... 1 ! 1 1 1

ppp p p

p

C C C

x x r x pr p r x x r x pr

Demonstrație. În descompunerea:

11 11

... ,1 1 ... 1 1 1 1

prrAA A

x x r x pr x x r x pr

înmulțim cu 1x ir și trecem la limită când 1x ir . Obținem:

14

1

1

... 1 1 ... 1 1irA

ir ir r ir ir r r ir pr

1 1 1 !

11 ... 1 1... ! ! !

i

p p

p

r i i p i p r i p i

11

!

i i

ppC

p r .

c.c.t.d.


1 11

, , , 2 1

0

1 1 ...1,

! 1 ...

ppl r

m l p r p m

x x x xL dx

p r x x x

unde , , , .m l p r

Demonstrație. Folosind Lema 1.6 și demonstrația Teoremei 1.2

avem:

0

1

1 1 ... 1

n

k mk l mk l r mk l pr

1

0 0

11

!

np

mk l r

pk

x x dxp r

1 1 1

1

2 1

0

1 1 1 ...1

! 1 ...

n ppm l r

p m

x x x x xdx

p r x x x

.

Rămâne să observăm că , folosind Lema 1.2 și relațiile (2),(3),

obținem:

1 1 11

2 1

0

1 1 ...

1 ...

n ppm l r

m

x x x x xdx

x x x

1

2 1

1 ...1, ,

1 ...

pr

n n

m

n n n

B mn m l p

unde 0,1n și lim 1, 0.n

B mn m l p

c.c.t.d.

În continuare vom da următoarele aplicații sugestive:

15

Aplicații:

1)

1 1 1lim ...

2 5 5 8 3 2 3 5n n n

0

1lim

3 2 3 5

n

nk k k

21

3,1,1,3 2

0

11 1;

3 1 6

x x xL dx

x x

2)

1 1 1lim ...

1 5 4 8 3 1 3 5n n n

0

1lim

3 1 3 5

n

nk k k

1 2 3

3,0,1,4 2

0

1 1 2 3 9;

4 1 72

x x xL dx

x x

3)

1 1 1lim ...

1 4 3 6 2 1 2 4n n n

0

1lim

2 1 2 4

n

nk k k

1 2

2,0,1,3

0

1 1 1 2ln 2.

3 1 6

x xL dx

x

16

CAPITOLUL 2

CALCULUL LIMITELOR /

, , ,m l p rL ȘI APLICAȚII

1.Limitele /

, , ,1m l pL

Lema 2.1 ( Generalizarea Teoremei lui Dini, [8],pagina 45,

problema 1.142). Fie : , 0nf a b n un șir de funcții

continue. Dacă m n ,implică m nf f sau n mf f pe ,a b și nf

converge simplu către o funcție continuă : ,f a b , atunci

nf converge uniform pe ,a b către f .


1

/

, , ,1

0

11,

! 1

pl

m l p m

x xL dx

p x

unde , , .m l p

17

Demonstrație. Ca în demonstrația Teoremei 1.1 se obține:

0

11

1 ... 1

nk

k mk l mk l p

11

0

111

! 1

nm

pl

m

xx x dx

p x

.

În continuare avem două posibilități de a finaliza demonstrația.

Varianta în care se folosește prima formulă de medie

pentru integrale:

Folosind Lema 1.2 obținem:

1

/

, , ,1

0

11

! 1

pl

m l p m

x xL dx

p x

1

1

0

1 1lim 1

!1

n pm l

mnn

x x x dxp

,

unde 0,1 .n Demonstrația se încheie întrucât în baza relații-

lor (2) și (3) avem:

1

1

0

1 1, 1n pm lx x x dx B mn m l p

și lim 1, 1n

B mn m l p

! !lim 0

1 !n

mn m l p

mn m l p

.

Varianta în care se folosește generalizarea Teoremei lui

Dini (Lema 2.1):

Aplicând Lema 2.1 deducem că șirul de funcții : 0,1nf ,

1

11

1

nm

pl

n m

xf x x x

x

converge uniform pe 0,1 la funcția

1

1

pl

m

x xf x

x

, întrucât 1 3 ...f f f și 0 2 ...f f f pe in-

tervalul 0,1 . Rămâne să folosim Lema 1.4 și obținem c.c.t.d.

18

În continuare vom regăsi rezultate cunoscute într-un mod

elegant, folosind metoda dată de demonstrația Teoremei 2.1.

Aplicații:

1) 0

1 1 1 1 1lim 1 ... 1 lim 1

2 3 4 1 1

nn k

n nkn k

1

/

1,0,0,1

0

1ln 2

1L dx

x

, rezultat binecunoscut;

2) 1 1 1 1

lim 1 ... 13 5 7 2 1

n

n n

0

1lim 1

2 1

nk

nk k

1

/

2,0,0,1 2

0

1

1 4L dx

x

, rezultat care figurează și în [10], pagina

447, în care formula:

1 1 1 11 ...,

4 3 5 7 9

poartă numele de formula lui Leibniz;

3) 1 1 1 1

lim 1 ... 14 7 10 3 1

n

n n

0

1lim 1

3 1

nk

nk k

1

/

3,0,0,1 3

0

1 3ln 2 3

1 9L dx

x

, rezultat care figurează și în [7],

pagina 333, problema A.7.2.3;

4)

1 1 1lim ... 1

2 3 4 4 5 6 2 2 2 3 2 4

n

n n n n

/

2,1,2,1

0

1lim 1

2 2 2 3 2 4

nk

nk

Lk k k

21

2

0

11

2! 1

x xdx

x

19

3

4

, rezultat care figurează și în [2], pagina 269, problema

109, punctul c;

5)

1 1 1 1 1lim ... 1

1 2 2 3 3 4 4 5 1 2

n

n n n

1

/

1,0,1,1

0 0

1 1lim 1 1 2ln 2

1 2 1

nk

nk

xL dx

k k x

;

6) 1 1 1 1 1

lim ... 13 7 11 15 4 3

n

n n

0

1lim 1

4 3

nk

nk k

1 2/

4,2,0,1 4

01

xL dx

x

.

2. Limitele /

, , ,2m l pL

Teorema 2.2 Are loc următoarea formulă de calcul:

1

/

, , ,2

0

1 11,

! 2 1

p pl

m l p p m

x x xL dx

p x

unde , , .m l p

Demonstrație. Procedând ca în demonstrația Teoremei 1.2,

obținem:

0

11

1 3 ... 2 1

nk

k mk l mk l mk l p

20

11

0

111 1 .

! 2 1

nm

p pl

p m

xx x x dx

p x

Folosind Lema 1.2 rezultă:

11 1

1

0 0

11 1 1 ,

1 1

n pmnp p pnl m l

m m

n

xx x x x x x dx

x

unde 0,1 .n

Demonstrația se încheie întrucât în baza relațiilor (2) și (3)

avem:

1

1

0

1 1, 1n pm lx x x dx B mn m l p

și lim 1, 1 0.n

B mn m l p

c.c.t.d.

Aplicații:

1)

1 1 1 1 1lim ... 1

1 3 3 5 5 7 7 9 2 1 2 3

n

n n n

1 2/

2,0,1,2 20 0

1 1 1 21 ;

2 1 2 3 2 1 4

nk

k

xL dx

k k x

2)

1 1 1 1 1lim ... 1

2 4 3 5 4 6 5 7 2 4

n

n n n

21

/

1,1,1,2

0 0

11 1 1lim ;

2 4 2 1 12

n

nk

x xL dx

k k x

21

3)

1 1 1lim ... 1

1 3 5 4 6 8 3 1 3 3 3 5

n

n n n n

2

21

/

3,0,2,2 30 0

11 1lim 1 .

3 1 3 3 3 5 8 1

nk

nk

xL dx

k k k x

3. Limitele /

, , ,m l p rL


11

/

, , ,

0

1 1 ...1,

! 1

ppl r

m l p r p m

x x x xL dx

p r x

unde , , , .m l p r

Demonstrație. Procedând ca în demonstrația Teoremei 1.3,

obținem:

0

11

1 1 ... 1

nk

k mk l mk l r mk l pr

1

11

0

1 1 1 ...1

.! 1

n ppm l r

p m

x x x x xdx

p r x

Rămâne să observăm că, folosind Lema 1.2 și relațiile (2),(3),

avem:

1

11

0

1 1 ...

1

n ppm l r

m

x x x x xdx

x

22

1 1

1

0

1 ...1 ,

1

pr

n pn n m l

m

n

x x x dx

unde 0,1n și

1

1

0

1 1, 1 ,n pm lx x x dx B mn m l p

în care lim 1, 1 0n

B mn m l p

. c.c.t.d.

Aplicații:

1)

1 1 1 1 1lim ... 1

1 5 2 6 3 7 4 8 1 5

n

n n n

2 31

/

1,0,1,4

0 0

1 11 1lim 1

1 5 4 1

nk

nk

x x x xL dx

k k x

7

48 ;

2)

1 1 1lim ... 1

2 5 8 6 9 12 4 2 4 5 4 8

n

n n n n

/

4,1,2,3

0

1lim 1

4 2 4 5 4 8

nk

nk

Lk k k

22 21

2 4

0

1 11.

2! 3 1

x x x xdx

x

3)

1 1 1 1 1lim ... 1

1 4 2 5 3 6 4 7 1 4

n

n n n

/

1,0,1,3

0

1lim 1

1 4

nk

nk

Lk k

21

0

1 11 5 12ln 2.

3 1 18

x x xdx

x

23

4)

1 1 1 1 1lim ... 1

1 4 3 6 5 8 7 10 2 1 2 4

n

n n n

/

2,0,1,3

0

1lim 1

2 1 2 4

nk

nk

Lk k

21

0

1 11 2 2ln 2.

3 1 12

x x xdx

x

5)

1 1 1 1 1lim ... 1

1 5 3 7 5 9 7 11 2 1 2 5

n

n n n

/

2,0,1,4

0

1lim 1

2 1 2 5

nk

nk

Lk k

2 31

2

0

1 11 1.

4 1 6

x x x xdx

x

24

CAPITOLUL 3

CALCULUL LIMITELOR /

, , , , , ,,m l p r m l p rL x L x ȘI APLICAȚII

1. Limitele , , ,1m l pL x

Lema 3.1 Pentru orice p și \ 0, 1,...,x p avem:

0 11 1

... 1 .1 ... ! 1

ppp p pC C C

x x x p p x x x p

Demonstrația acestei leme este asemănătoare cu demonstrația

Lemei 1.1.


1

, , ,1

0

1 1,

! 1

plx

m l p p m

t x tL x dt

p x t

unde , , , 0,1 .m l p x

25

Demonstrație. Folosind și Lema 3.1 avem:

0 0 0

11

... !

i mk lmk l pn ni p

k k i

C xx

mk l mk l p p mk l i

1

0 0 0

1 11

!

xpni i mk l i

p ik i

C t dtp x

1

0 00

11

!

ix pnimk l i

p

k i

tt C dt

p x

1

1 1

00 0

11 1 11 .

! ! 1

nmpx xn

pmk l l

p mk

ttt t dt t x t dt

p x p x t

În baza Lemei 1.3 obținem că șirul de funcții : 0, ,nf x

1

11

,1

nm

pl

n m

tf t t x t

t

este uniform convergent pe 0, x

către funcția 1

: 0, , .1

pl

m

t x tf x f t

t

Cu acest rezultat și folosind Lema 1.4, deducem că:

, , ,1

0 0

1 1lim lim

! !

x x

m l p n np pn nL x f t dt f t dt

p x p x

0

1

!

x

pf t dt

p x .

c.c.t.d.

Aplicații: pentru orice 0,1x avem:

1) 2 1 1

0

lim ... lim1 2 1 1

n kn

n nk

x x x x

n k

1,1,0,1

0

1

1

x

L x dtt

1ln

1 x.

2) 3 2 1 2 1

2,1,0,1

0

lim ... lim1 3 2 1 2 1

n kn

n nk

x x x xL x

n k

2

0

1 1 1ln .

1 2 1

xx

dtt x

26

3) 3 7 4 3 4 3

4,3,0,1

0

lim ... lim3 7 4 3 4 3

n kn

n nk

x x x xL x

n k

2

4

0

1 1 1ln .

1 2 4 1

xt x

dt arctgxt x

4)

2 1 1

0

lim ... lim1 2 2 3 1 2 1 2

n kn

n nk

x x x x

n n k k

1,1,1,1

0

1 11 ln 1 ,

1

xx t x

L x dt xx t x

rezultat care figurează și în

[1], pagina 285,problema 624.

2.Limitele , , ,m l p rL x

Lema 3.2 Pentru orice ,p r și \ 0, ,...,x r pr avem:

0 11 1

... 1 .... !

ppp p p

p

C C C

x x r x pr p r x x r x pr

Demonstrația este asemănătoare cu demonstrația Lemei 1.6.


1

, , ,

0

1,

! 1

pl r rx

m l p r p pr m

t x tL x dt

p r x t

unde , , , , 0,1 .m l p r x

Demonstrație. Folosind și Lema 3.2 obținem:

27

0 ...

mk ln

k

x

mk l mk l r mk l pr

0 0

11

!

i i mk lpnp

pk i

C x

p r mk l ir

1

0 0 0

1 11

!

xpni i mk l ir

p ip rk i

C t dtp r x

= 1

0 00

11

!

ix rpnimk l i

pp rk i

tt t C dt

p r x

=

1

00

11

!

px rnmk l

p rk

tt t dt

p r x

1

1

0

11

! 1

nmx

pl r r

p pr m

tt x t dt

p r x t

.

În baza Lemei 1.3 și Lemei 1.4, procedând ca în demonstrația

Teoremei 3.1, rezultă c.c.t.d.

Aplicații: pentru orice 0,1x și r avem:

1)

1lim ...

1 2 3 2 3 4 1 2 3

n

n

x x

n n n

1

0

1lim

1 2 3

kn

nk

x

x k k k

2

1,1,2,1 3

0

1 1

2! 1

x x tL x dt

x x t

2

2 3

13 2ln 1 ,

4 2

xxx

x x

rezultat care figurează și în [1], pagina

285, problema 625.

2)

2 1

lim ...1 1 2 2 1 1

n

n

x x x

r r n n r

1

1,1,1,

0 0

1lim

1 1 1

xk r rn

r rnk

x x tL x dt

k k r rx t

28

21

... 1 ln 1 ,2

rr

r

x xx x x

rx r

rezultat care figurează și în

[1], pagina 285, problema 626.

3)

3 5 2 3 2 3

0

lim ... lim1 3 3 5 2 1 2 3 2 1 2 3

n kn

n nk

x x x x

n n k k

2 12

0

lim2 1 2 3

kn

nk

xx

k k

2

2,1,1,2x L x 2 2

2

0

1

2 1

xx t

dtt

21 1ln

2 4 1

x x x

x

. În particular avem:

2 30

1 1 4 3ln 3lim .

2 1 2 3 2 16

n

knk k k

3.Limitele /

, , ,1m l pL x


1

/

, , ,1

0

1 1,

! 1

plx

m l p p m

t x tL x dt

p x t

unde , , , 0,1 .m l p x

Demonstrația este analoagă celei date Teoremei 3.1, cu

mențiunea că aici folosim Lema 2.1. În cazul de față putem

folosi și varianta cu prima formulă de medie,ca în demonstrația

Teoremei 2.1.

29


1) 3 5 7 2 1

lim ... 11 3 5 7 2 1

nn

n

x x x x x

n

2 1

0

lim 12 1

knk

nk

x

k

/

2,1,0,1 2

0

1,

1

x

L x dt arctgxt

rezultat care figurează și în [7],

pagina 334, problema A.7.2.4;

2) 2 3 4 1

lim ... 11 2 3 4 1

nn

n

x x x x x

n

1

0

lim 11

knk

nk

x

k

/

1,1,0,1

0

1ln 1 ;

1

x

L x dt xt

3)

4 6 2 4

lim ... 12 3 4 4 5 6 2 2 2 3 2 4

nn

n

x x x

n n n

2 4

2

2,2,2,1

0

lim 12 2 2 3 2 4

knk

nk

xx L x

k k k

2 2 22

2

0

1 3 1ln 1 ,

2 1 4 4

x t x t x xdt xarctgx x

t

rezultat care figurează și în [1], pagina 286, problema 629.

4)

3 2 1

lim ... 11 2 3 4 2 1 2 2

nn

n

x x x

n n

2 1

0

lim 12 1 2 2

knk

nk

x

k k

/

2,1,1,1 2

0

1

1

xx t

L x dtx t

21ln 1

2arctgx x

x . În particular, de exemplu, putem calcula

limita pentru 3

3x și obținem ca rezultat

6

3 4ln

2 3 .

30

4. Limitele /

, , ,m l p rL x


1

/

, , ,

0

1,

! 1

l r rx

m l p r p pr m

t x tL x dt

p r x t

unde , , , , 0,1 .m l p r x

Demonstrația este analoagă celei date Teoremei 3.2, doar că

aici folosim Lema 2.1. În cazul de față putem folosi și varianta cu

prima formulă de medie, ca în demonstrația Teoremei 2.3.


1)

2 3 4 5 2

lim ... 12 4 3 5 4 6 5 7 2 4

nn

n

x x x x x

n n

2 22

/

1,2,1,2 20 0

1lim 1

2 4 2 1

xknk

nk

t x txL x dt

k k x t

2 2

2

4 3 6 1ln 1

12 2

x x xx

x x

;

2)

3 2 1

lim ... 11 4 3 6 2 1 2 4

nn

n

x x x

n n

2 1

0

1lim

2 1 2 4

k kn

nk

x

k k

3 3

/ 2

2,1,1,3 3 2 3

0

1 1 1 1ln 1

3 1 6 3 6

xx t

L x dt arctgx xx t x x

;

De remarcat că rezultatul conține atât ,, arctg ”, cât și ,, ln ” .

31

3)

2 3 4 1

lim ... 11 4 2 5 3 6 4 7 1 4

nn

n

x x x x x

n n

1 3 3

/

1,1,1,3 30 0

1lim 1

1 4 3 1

xknk

nk

x x tL x dt

k k x t

2 3

2 3

2 3 6 1ln 1 .

18 3

x x xx

x x

În particular, pentru

1

2x ,

șirul are limita 10 3

3ln9 2

.

32

CAPITOLUL 4

ASPECTE METODICE PRIVIND POSIBILITATEA

ȘI UTILITATEA APLICĂRII METODEI ÎN LICEU

1. Șirul 1

1n

n

k

an k

Vom calcula limita acestui șir, atât prin metoda binecunoscută

de calcul a unor limite de șiruri de tipul sumelor Riemann ale unei

funcții reale definite și continue pe un interval compact,cât și prin

metoda fundamentată în capitolele precedente ale acestei lucrări.

Metoda 1. Scriem termenul general al șirului sub forma:

1

1 1

1

n

n

k

akn

n

, formă care, dacă notăm

kx

n , ne sugerează consi-

33

derarea funcției continue 1

: 0,1 ,1

f f xx

. Considerăm

șirul de diviziuni echidistante ale intervalului 0,1 , de normă 1

n,

1 20, , ,..., 1n

n

n n n

și punctele intermediare 1 2

1 2,

n n ,...,

n

n

n . Atunci suma Riemann asociată funcției f , diviziunii

n și

sistemului de puncte intermediare 1 2, ,..., n , este:

1

1,

n

n

k n

k

kf f a

n n

, de unde

1

0

1lim ln 2

1n

na dx

x

.

Metoda 2. Pentru a aduce șirul la una din formele considerate

în capitolele precedente, folosim identitatea lui Botez:

1 1 1 1 1 1 11 ... ... , .

2 3 2 1 2 1 2 2n

n n n n n

Atunci cu metoda fundamentată în această lucrare avem:

1

2 2 2 1

1 1 0

1 1lim lim lim

2 1 2

n nk k

nn n n

k k

a x x dxk k

1 1 2

12

10 0

1lim 1 lim

1

nnk

n nk

xx x dx dx

x

1

0

1

1dx

x

1

2

0

1lim

1

n

nn

x dx

1

0

1ln 2,

1dx

x

unde 0,1n a apărut prin aplicarea formulei generalizate a me-

diei pentru integrale (adică prin aplicarea Lemei 1.2).

Recomandăm compararea celor două metode, cu observația că

Metoda 1 nu este la îndemâna oricui întrucât folosește chiar defi-

34

niția noțiunii de funcție integrabilă Riemann, cu ajutorul sumelor

Riemann. Remarcăm că metodele se aplică simplu dacă în preala-

bil se stabilesc formulele de calcul în ambele cazuri, se rețin, iar

tot ce trebuie să facă rezolvitorul este să aplice aceste formule

simple.

2. Elementar sau neelementar ?

Considerăm șirurile 1 1 1, ,n n nn n n

a b c

și 1n n

d

, date prin:

1 1

1 1; ;

1 2

n n

n n

k k

a bk k k k

1 1

1 1;

3 2 3 1 1 2

n n

n n

k k

c dk k k k k

.

Elementar, avem:

1 1 1 1 1 1lim lim ... 1;

1 2 2 3 1n

n na

n n

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1lim lim( ...

2 1 3 2 4 3 5 4 6 2 1 1n

n nb

n n n n

+

1 1 1 1 1 1 3

) lim 1 ;2 2 2 1 2 4nn n n n

1 1 1 1 1 1 1 1lim lim ... ;

3 1 4 4 7 3 2 3 1 3n

n nc

n n

1

1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1lim lim lim(

2 1 2 2 1 2 3 2 3 4

n

nn n n

k

dk k k

35

1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1

... ) .3 4 5 4 5 6 5 6 7 1 2 4n n n

Cu metoda fundamentată în această lucrare vom calcula limite-

le, care, elementar s-au calculat mai dificil. Avem:

1

1 1

1 0

1lim lim

2

nk k

nn n

k

b x x dx

1

1 2

10

1lim 1

2

nk

nk

x x dx

1 1 1

0 0 0

1 1 1lim 1 1 1 lim 1

2 2 2

n n

nn n

x x dx x dx x dx

1

0

1 31 , 0,1 ;

2 4nx dx

1 1

21

1 0 0

1 1lim lim 1 lim 1 1

2 2

nk n

nn n n

k

d x x dx x x dx

1 1 1

0 0 0

1 1 1 11 lim 1 1 , 0,1 .

2 2 2 4

n

n nn

x dx x dx x dx

Desigur, în calculul limitelor șirurilor 1n n

a

și 1n n

c

este avan-

tajoasă metoda elementară.

Suntem tentați să alegem metoda elementară și în cazul șirurilor

1n n

b

și 1n n

d

.

Ce ne facem, însă, dacă, de exemplu, pornind la calculul limitei

șirului 0n n

x

:

1 1 1... ,

1 2 4 5 3 1 3 2nx

n n

nu reușim să cal-

lăm lim nn

x

, prin metoda elementară exemplificată mai înainte ?

Răspunsul la această întrebare este imediat dacă folosim metoda

fundamentată în această lucrare, cu ajutorul căreia obținem limita

36

lim3 3

nn

x

(a se vedea aplicația 1 din paragraful 1, capitolul 1).

Menționăm că foarte multe din aplicațiile date la metoda noastră

pe parcursul primelor două capitole ale lucrării au ca rezultate

expresii în care apar, de exemplu, și ln 2 .

3. Șirul 1

1

2 1

n

n

k

ak k

Folosind metoda fundamentată în această lucrare avem:

1

2 1 2

1 1 0

1 1lim 2lim 2lim

2 2 1

n nk k

nn n n

k k

a x x dxk k

1 1 12

2 1

10 0 0

12lim 1 2lim 2

1 1

nnk

n nk

x xx x dx x dx dx

x x

1 1

2 1

0 0

1 12lim 2 1 2 1 ln 2 , 0,1

1 1

n

nn

n

x dx dxx

.

Probabil pentru că această limită nu se poate calcula elementar

(ca în paragraful 2), ea a fost considerată limită dificil de calculat,

în lucrarea [14], întrucât, în această lucrare, ea face obiectul pro-

blemei 115, pagina 50 și este rezolvată complet la pagina 196,

printr-un artificiu puternic care folosește șirul binecunoscut

1n n

b

1 1 1 1 11 ...

2 3 4 2 1 2nb

n n

și faptul că lim ln 2n

nb

. Mai

37

precis se observă că 1

2 12 1

n na bn

și apoi se trece la limită

când n . Cu siguranță este un caz fericit faptul că ne-am putut

folosi de o limită binecunoscută.

4. Șirul 1

0

11

1

nk

n

k

an k

,

Cu toate că acest șir nu face parte din familiile de șiruri pentru

care am fundamentat metoda de calcul cu ajutorul integralelor din

funcții raționale, vom aplica metoda noastră (metoda 1)și acestui

șir tocmai pentru a sublinia necesitatea cunoașterii formulei

generalizate de medie pentru integrale și în liceu. Astfel avem

imediat:

Metoda 1.

1 1 11 1

0 00 0 0

11 1

1

nn n

k kn k n k n

n

k k

xa x dx x x dx x dx

x

1

0

1 1 1 1,

1 1 1 1

n n n

n n

x x dxn n n

unde 0,1n și avem ,,+” sau ,,” după cum n este impar

respectiv par. Rezultă lim 0nn

a

și observăm că în final metoda a

fost ușor modificată.

Metoda 2. Deoarece diferențele 1 1

1 2n n

,

1 1

3 4n n

,

38

... sunt toate pozitive avem 0na , pentru orice n . Deoarece

sumele 1 1 1 1

, ,...2 3 4 5n n n n

sunt toate negative

avem 1

1na

n

, pentru orice n . Rezultă lim 0n

na

.

Recomandăm compararea celor două metode.

5. Concluzii

Metoda de calcul a unor limite de șiruri prezentată în această lu-

crare este total diferită de metoda binecunoscută de calcul a unor

limite de șiruri de tipul sumelor Riemann ale unor funcții reale

definite și continue pe intervale compacte, cu ajutorul integralei

definite și, în general, ea se aplică altor familii de șiruri.

Metoda de calcul fundamentată în această lucrare poate fi apli-

cată pentru calculul limitelor /

, , , , , ,;m l p r m l p rL L și /

, , ,m l p rL x și la nivelul

liceului, deoarece și la acest nivel este accesibilă formula

generalizată a mediei pentru integrale, care pentru metoda noastră

constituie un puternic instrument de lucru.

Metoda elementară din paragraful 2 se poate aplica pentru tipuri

de șiruri considerate, de exemplu, în capitolul 1 al lucrării noastre,

alese astfel încât să poată fi abordate prin artificii elementare în

vederea calculului limitelor respective care au ca rezultate cu ne-

39

cesitate, numere raționale. Astfel, în nici un caz, limite care prin

metoda noastră conduc, de exemplu, la rezultate numere iraționa-

le, nu pot fi calculate elementar (ca în paragraful 2).

Considerăm că metoda prezentată în această lucrare este o me-

todă generală, în sensul că se aplică tuturor tipurilor de șiruri din

familiile considerate în această lucrare, indiferent dacă limitele

acestor șiruri se pot calcula elementar sau nu, ferindu-ne de a în-

cerca o abordare elementară care nu dă roade.

Încheiem cu observația că, metoda dată de noi în această lucra-

re se aplică și la calculul sumelor seriilor de formele următoare:

0 0

; 1n

n n

n n

a a

cu

1

1 2 ... 1na

mn l mn l mn l p

, unde

, ,m l p , respectiv , ,m l p . Convergența este

asigurată pentru prima serie prin comparație cu seria armonică ge-

neralizată 1

1

1p

n n

iar pentru a doua, în baza criteriului lui Leibniz.

De asemenea ca direcții viitoare de cercetare recomandăm găsi-

rea unor alte clase de șiruri ale căror limite se pot calcula cu me-

tode noi ce apelează la integrala definită, pornind eventual de la

metoda fundamentată în această lucrare, pe care o putem modifica

în funcție de noile șiruri considerate, așa cum am procedat, de

exemplu în cazul calculului limitei șirului din paragraful 4.

40

BIBLIOGRAFIE

[1] D. Flondor, N. Donciu: Algebră și analiză matematică,Volu-

mul II, Culegere de probleme, Editura Didactică și Pedago-

gică, București, 1979.

[2] K. Knopp: Theory and application of Infinite series, Dover

Publication, Inc. New York, 1989.

[3] Gh. Necșuleu: O metodă de calcul a unor limite de șiruri cu

ajutorul integralelor definite, în Gazeta Matematică Seria A,

numărul 2, 1998, paginile 115-120.

[4] Gh. Necșuleu: O metodă de calcul a sumelor unor serii cu a-

jutorul integralelor definite, în Gazeta Matematică Seria A,

numărul 4, 1998, paginile 273-276.

[5] M. Nicolescu, N. Dinculeanu, S. Marcus: Analiză matematică,

Volumul I, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1971.

[6] V. Olariu, A. Halanay, S. Turbatu: Analiză matematică, Editu-

ra Didactică și Pedagogică, București, 1983.

[7] C. Popa, V. Hiriș, M. Megan: Introducere în analiza matema-

tică prin exerciții si probleme, Editura Facla, 1976.

41

[8] S. Rădulescu, M. Rădulescu: Teoreme și probleme de analiză

matematică, Editura Didactică și Pedagogică, București,1982.

[9] I. M. Rîjie, I. S. Gradstein: Tabela de integrale, sume, serii și

produse, Editura Tehnică, București,1955.

[10] Gh. Sirețchi: Calcul diferențial și integral, Volumul I, Noți-

uni fundamentale, Editura Științifică și Enciclopedică, Bucu-

rești, 1985.

[11] I. Țevy, M. Postolache: Integrala Riemann, Teorie și aplica-

ții, Editura Fair Partners, București, 2005.

[12] C. Udriște, I. Țevy, Gh. Necșuleu, I. Necșuleu, I. Preda:

Matematică (M 1), Manual pentru clasa a XI-a, Editura Fair

Partners, București, 2004.

[13] C. Udriște, I. Țevy, Gh. Necșuleu, I. Necșuleu, Gh. Micules-

cu, D. Mihalache: Matematică (M 1), Manual pentru clasa a

XII-a, Editura Fair Partners, București, 2003.

[14] A. Vernescu: Analiză matematică, Volumul I, Șiruri de nu-

mere reale, Limite de funcții, Funcții continue, Editura Pan-

theon, București, 2001.

[15] ***: Matematica, conținutul, metodele și importanța ei, Vo-

lumele I, II, III, Editura Științifică, București, 1962.

[16] ***: Studii de matematici pentru licee, Editura Didactică și

Pedagogică, București, 1966.

[17]***: Mică enciclopedie matematică (traducere din limba

germană), Editura Tehnică, București, 1980.

42

ANEXĂ

FORMULE UTILE STABILITE CU

METODA PREZENTATĂ ÎN LUCRARE

Vom prezenta principalele formule utile în calculul limitelor

șirurilor din familiile considerate în această lucrare, formule obți-

nute cu ajutorul metodei fundamentate în această lucrare, de cal-

cul a unor limite de șiruri cu ajutorul integralei definite.

Astfel ținând seama de notațiile din introducere avem:

1)

1 11

, , , 2 1

0

1 1 ...1

! 1 ...

ppl r

m l p r p m

x x x xL dx

p r x x x

;

2) 11

/

, , ,

0

1 1 ...1

! 1

ppl r

m l p r p m

x x x xL dx

p r x

;

3) 1

, , ,

0

1

! 1

pl r rx

m l p r p pr m

t x tL x dt

p r x t

;

4) 1

/

, , ,

0

1

! 1

pl r rx

m l p r p pr m

t x tL x dt

p r x t

.

43

Este binecunoscut faptul că pentru orice funcție continuă

: ,f a b există o metodă celebră de calcul a limitelor unor

șiruri cu ajutorul sumelor Riemann atașate funcției f , metodă

care conduce la următoarele formule:

1

0

lim

bn

nk a

b a b af a k f x dx

n n

;

1

lim

bn

nk a

b a b af a k f x dx

n n

,

formule care sunt, evident, diferite de formulele 1), 2), 3), 4) de

mai înainte, obținute prin metoda prezentată în această lucrare.

Gheorghe Necșuleu CALCULUL UNOR LIMITE DE ȘIRURI CU ... · gheorghe necșuleu calculul unor...

Documents

Transcript of Gheorghe Necșuleu CALCULUL UNOR LIMITE DE ȘIRURI CU ... · gheorghe necșuleu calculul unor...