Calculul in Domeniul Elastic Şi Calculul in Domeniul Plastic

8/11/2019 Calculul in Domeniul Elastic i Calculul in Domeniul Plastic

1/18

1. Metode de calcul elastic

n proiectarea structurilor la actiunea seismica se pot folosi mai multe metode de analiza structu proiectarea curenta se foloseste un calcul liniar elastic, fiind posibile doua alternative:

- metoda de calcul cu forte laterale (metoda fortelor statice echivalente)

- metoda de calcul modal cu spectre de raspuns (calcul spectral) 1.1. M etoda de calcul cu f orte laterale

Aceasta metoda se poate aplica constructiilor care pot fi calculate prin considerareamodele plane,cte unul pentru fiecare directie principala a cladirii, si al caror raspuns seismiceste influentat semnificativ de modurile proprii superioare de vibratie. n acest caz, modulfundamental de vibratie are o contributie predominanta asupra raspunsului seismic total. Aces pot fi considerate satisfacute de structurile care au perioada fundamentala de vibratieT 1 1.5 sec, naltime de pna la 30 m si sunt regulate pe verticala.

Metoda de calcul cu forte laterale reprezinta un calcul spectral simplificat, care ia n condoar aportul modului fundamental de vibratie la raspunsul structurii. Pe baza acestei simcalculul spectral se reduce la un calcul static al structurii sub efectul unor forte laterale aplicate maselor concentrate (la nivelul planseelor). Fortele laterale reprezinta fortele statice echDeterminarea fortelor laterale se efectueaza n doua etape. n prima etapa se determina forta tai baza, iar n cea de-a doua etapa aceasta se distribuie pe naltimea structurii conform fundamental.Rezultatele unui calcul cu forte laterale reprezinta valorile de vrf ale efortdeplasarilor structurii.

Forta taietoare de baza se poate determina cu relatia:

unde M n* este masa modala efectiva din modul propriun, An este pseudo-acceleratia spectralacorespunzatoare perioadei proprii de vibratie din moduln.

Formulnd expresia lui V bn pentru modul fundamental de vibratie (n=1) si folosind notatiile din

P100-1/2006 aceasta devine:

unde: F b - forta taietoare de baza corespunzatoare modului propriu fundamental, pentru fiecare directie

orizontala principala considerata n calculul cladiriiS d ( T 1) - ordonata spectrului de raspuns de proiectare corespunzatoare perioadei fundamentaleT 1T 1 - perioada proprie fundamentala de vibratie a cladirii n planul ce contine directia orizontalaconsideratam - masa totala a cladirii -factor de corectie care tine seama de contributia modului propriu fundamental prin masa modefectiva asociata acestuia, ale carui valori sunt:

= 0.85 dacaT 1 TC si cladirea are mai mult de doua niveluri si


2/18


3/18

3 | P a g e

Fig : Reprezentarea schematica a fortelor orizontale de nivel folosite in metoda de caforte laterale.

O alta simplificare permisa de normativul P100-1 (2006) o reprezinta determinarea perioadei fundamentde vibratie. Astfel, pentru proiectarea preliminara a cladirilor cu naltimi de pna la 40 m, se poate utilizaurmatoarea formula simplificata pentru estimarea perioadei fundamentale de vibratie:

unde:T 1 - este perioada fundamentala a cladirii, n secundeC t - este un coeficient ale carui valori sunt functie de tipul structurii, dupa cum urmeaza:C t = 0.085 pentru cadre metalice (necontravntuite),C t = 0.075 pentru cadre din beton armat (necontravntuite) sau cadre metalice cu contravntuiriexcentrice,C t = 0.05 pentru celelalte tipuri de structuri.

H- naltimea cladirii, n metri, masurata de la nivelul fundatiei sau de la extremitatea superioarainfrastructurii rigide.

1.2. M etoda de calcul modal cu spectre de raspun s

Metoda de calcul modal cu spectre de raspuns descrisa n P100-1 (2006) se aplica cladirinu ndeplinesc conditiile specificate pentru utilizarea metodei simplificate cu forte laterale staticechivalente. Metoda de calcul modal cu spectre de raspuns se foloseste n cazul structurilor cu fcomplexe, sau cu distributii neuniforme ale masei si rigiditatii, deoarece raspunsul unor astfel deste dat de aportul mai multor moduri proprii de vibratie.

n calcul se considera modurile proprii cu o contributie semnificativa la raspunsul seismiAceasta conditie este ndeplinita daca:

suma maselor modale efective pentru modurile proprii considerate reprezinta cel putin 90masa totala a structurii, sau au fost considerate n calcul toate modurile proprii cu masa modala efectiva mai mare de

masa totala.n cazul modelelor spatiale, conditiile de mai sus se verifica pentru fiecare directie de cal


4/18

4 | P a g e

n cazul n care conditiile anterioare nu pot fi satisfacute pentru un numar suficient de mare de m proprii de vibratie (spre exemplu, la cladirile cu o contributie semnificativa a modurilor detorsiune),numarul minimr de moduri proprii ce trebuie incluse ntr-un calcul spatial trebuie sa saturmatoarele conditii:

unde:r - numarul minim de moduri proprii care trebuie consideraten- numarul de niveluri deasupra terenuluiT r - perioada proprie de vibratie a ultimului mod de vibratie consideratrRaspunsurile modale pentru doua moduri proprii de vibratie consecutive,k si k + 1 sunt considerateindependente daca perioadele proprii de vibratieTk si Tk +1 (n careT k +1T k ) satisfac urmatoareaconditie:

Pentru doua moduri proprii de vibratie independente se poate folosi metoda de combinare radicsuma patratelor (RSP). n caz contrar se va folosi fie metoda de combinare suma valorilor absol

(ABS), fie combinarea patratica completa (CPC).

2. Metode de calcul in domeniul elasto - plastic

Studiul legilor decomportare ale seciunilor i ale elementelor n elasto-plastic permnelegerea i modelarea comportrii structurilor ncrcate progresiv pn la rupere.

Considerm o structur elasto- plastic simpl un cadru ncrcat ca n figura1 pentru care cunosc legile de comportare a fiecrei seciuni.

Fig. 1Comportarea structurii n domeniul elasto- plastic depinde n mod esenial de istoria nc

(maniera n care n fiecare dinncrcri cresc proporional cu parametrul ( multiplicatorul ncrclor)Fie P0 i H0 valorile iniiale ale ncrcrii i multiplicatorul ncrcrii cu =0u. Se poate sc

c: PH


5/18

5 | P a g e

000 PH Cnd ncrcarileexterioare cresc, eforturile interioare cresc de asemenea. Conform v

eforturilor seciunile structurii sunt n stadia de comportare definite prin legile de comportare aelastic, post-elastic sau rupere.

Fig. 2Comportarea global a structurii este rezultatul comportrii tuturor seciunilor. n consecin

creterea progresiv a ncrcrilor exterioare structura va parcurge urmtoarele stadii de compo 1. Stadiul elastic (fig. 2.a). Momentele ncovoietoare n toate seciunile structurii nu d

valoarea momentului de plastificare Mc. Dac se descarc structura ( n acest stadcomportare) nu exist deformaii remanente,

2. Stadiul elasto-plastic (fig.2 b). Pentru o valoare concret a ncrcrilor ( caracterizatmulti plicatorul ncrcrii ) momentul unei seciuni I atinge valoarea momentului de plast

i,ci MM Aceast seciune intr n stadiul post-elastic i rigiditatea se diminuaeaz rapid. Dac nc

exterioar continu s creasc deformaiile plastice se extind pe lungimea plastic l p i fenomenele poelastice se dezvolt de o manier identic cu cele descries n paragraful dedicat legilor de comporelementelor. Treptati pe msur ce ncrcrile cresc alte seciuni ale structurii vor suporta fenomen. Rezult diminuarea rigiditii seciunilor (date de deformaiile plastice), rigiditatea

structurii diminundu-se progresiv dar structura este capabil nc s suporte i s transmit la reazncrcrile exterioare.3. Stadiul de colaps ( de rupere sau ultim ) Diminund progresiv rigiditatea struc

urmat de dezvoltarea articulaiilor plastice pe seciunile critice pentru o valoare concret a ncrcexterioare-au o rigiditate global practic nul, deci deformaiile structurii cresc nelimitat p cretere infinit mic a ncrcrilor exterioare.

O reprezentare sugestiv a evolutiei comportrii structurii se obine plecnd de la stadiul pn la stadiul de colaps dac se consider c deformaiile plastice sunt concentrate n ar plastice. O articulaie plastic apare n seciunea i dac momentul ncovoietor tinde n aceastspre valoarea M p a momentului plastic.

Fiecare articulaie plastic aprut n structur diminueaz cu o unitate gradul de nede

static al acesteia.Stadiul elastic corespunde momentului ncovoietor care n toate seciunile structurii arinferioare momentului plastic M pl.

Stadiul elasto-plastic ncepe din momentul cnd ntr-o seciune i o articulaie plasticformeaz i gradul de nedeterminare static scade cu o unitate. Pe msur ce ncrcrile exterivor apare noi articulaii plastice care vor diminua gradul de nedeterminare static i rigiditateaCnd numrul de articulaii plastice este n structura devine izostatic.


6/18

6 | P a g e

Stadiul ultim (de colaps) este atins cnd a n+1 articulaie plastic se formeaz i ncexterioar crete n continuare. n acest moment structura se transform nmecanism.

2.2 Teoreme fundamentale

Starea ultima a unei structure este caracteristica de indeplinirea urmatoarelor trei grupe d

conditii:a.) Conditia de echilibru static (static admisibil) compatibilitatea intre distributiile de efosi actiuni.

b.) Conditia de mecanism (cinematic admisibila) eforturile trebuie sa aiba valori limita intun numar de sectiuni sau elemente, in asa fel incat structura sa devina partial sau in inun mecanism.

c.) Conditia de siguranta (curgere plastica) in nici o sectiune sau element, eforturile efectnu trebuie sa depaseasca efortul limita (capabil):

-S p(t) S t +S p(t)

Indeplinirea simultana a celor trei conditii care definesc starea limita este sintetizata deteorema

unicitatii : Teorema Unicitatii

Daca pentru o structura actiunata de sarcini proportionala este posibil sa se gaseasca pefactor de incarcare pozitiv o distributie de eforturi care satisface cele trei grupuri de conditii alultime, atunci respectiv este factorul deincarcare corespunzator cedarii structurii si este imposibilobtina pentru un alt factor pozitiv o distributie de eforturi care sa indeplineasca cele trei grupconditii.

Pe langa aceasta teorema, care exprim unictiatea starii ultime, mai exista doua teoreme

particulare, care reunesc cate doua din cele trei grupuri de conditii ale starii ultime corespunzatoarecarora s-au dezvoltat doua grupe de metode de calcul in domeniul postelastic si anume:

Teorema cinematica:

Daca pentru o structura actionata de un grup de sarcini proportionale P exista o distribeforturi statice admisibila si care indeplinesc conditia de mecanism, valoarea corespunzatoare amai mare sau cel putin egala cu factorul de proportionalitate ultim u .

In metodele cinematice de calcul in domeniul postelastic , plecand de la distributiile de estatice admisibile si care corespund unor mecanisme posibile de cedare, se determina factorii de

incarcare corespunzatori acestor mecanisme, factorul de incarcare ultim fiind cel mai mic dintreobtinute:u=min(k )

Dintre metodele cinematice, cea mai utilizata este metoda combinariimecanismelorelementare .

Teorema statica:


7/18

7 | P a g e

Daca pentru o structura si o incarcare data exista o distributie de eforturi care pe intreagastructura indeplinesc conditiile de siguranta si este static admisibila cu grupul de sarcini proportP, valoarea corespunzatoare a lui este cea mai mica sau cel mult egala cu factorul de proportiultim u

In metodele statice de calcul in domeniul postelastic se pleaca de la distributii de eforturi

indeplinesc conditiile de echilibru static si de curgere plastica (siguranta) si se ajusteaza succesidistributii, pana cand se determina solutia care satisface si conditia de mecanism, factorul de incultim stabilindu-se pe baza criteriului:

u=max(k )k reprezinta factorii de incarcare corespunzatori distributiilor intermediare de eforturi.

Dintre metodele statice, cele mai utilizate suntmetoda inegalitatilor si metoda distribuiriimomentelor in domeniul postelastic, tot in aceasta grupa putandu-se de asemenea incadra o partmetodele de analiza a comportarii elasto-plastice ale structurilor.

In paralel au fost dezvoltate si o serie demetode mixte in care se folosesc alternativ etapestatice si etape cinematice , determinandu-se astfel limite inferioare si respectiv limite superioar pentru factorul de incarcare, astfel ca:

c( j)

u

s

(j+1) Referitor la structurile multietajate, pentru calculul acestora se folosesc fie metodele gene

amintite mai sus adaptate corespunzator fie metode specifice bazate pe descompunerea insubansambluri sau, mai nou, metoda de tip PUSHOVER.

2.3 Metode de calcul static a structurilor n domeniul elasto-plastic

Metodele de calcul static al structurilor n domeniul elasto- plastic se clasific innd seamaurmtoarele criterii:

- legile de comportare acceptate pentru seciuni sunt identice cu cele acceptate penelementele structurale.Modelul cel mai utilizat este cel n care seciunile se comport ideal elasto-plasticare admite ipoteza articulaiilor plastice. Cu toate acestea programele de calcul actuale acasemenea legi de comportare foarte generale care conduc la zonele plastice studiate pentru unel plastice ale elementelor.

- stadiul de comportare de referin al structurii. Din acest punct de vedere, principtipuri de metode de calcul static ale structurilor elasto-plastice sunt:

- 1. Metodele de calcul pas cu pas ( metode biografice sau n englez push-over) . Stadiul d

referin considerat n aceste metode estestadiul elasto-plastic. 2. Metode de calcul bazate pe echilibru limit, cunoscute ca metode de analiz limit.

Acestea sunt metode care considerdirect stadiul ultim al unei structure fr trecerea etapele intermediare, elasto- plastice. Prin aceste metode se determin direct valncrcrii exterioare care transformastructura n mecanism. Baza teoretic a acestor meeste teoria plastic simpl care a fost prezentat n capitolele anterioare.


8/18

8 | P a g e

Un aspect important care poate fi luat n considerare pentru definirea diferitelor metode dstatic elasto-plastic este obligatoriu luarea n considerare a datelor experimentalei a rezultatelodiferitelor procedee de calcul. Din acest punct de vedere trebuie s distingem ntre:

a) problemele dedimensionare, specifice structurilor noi, calculate pentru a rezista la un sistncrcri date. n problemele de acest tip:

- datele iniiale sunt ncrcrile exterioare considerate cu valorile lor maxime, ca

provoca colapsul structurii;- necunoscutele problemei sunt valorile eforturilor ultime n seciunile critice ale structueforturile capabile necesare.

b) Problemele deverificare , specifice structurilor existente dj dimensionate. Calculul aobiectiv s stabileasccapacitatea de rezisten a structurii n totalitatea acesteia.

- Datele problemei sunt eforturile capabile efective n toate seciunile critice ale structurii momentele plastice ale anumitor seciuni;

- Necunoscutele problemei sunt valorile maximale ale ncrcrilor exterioare caresuportate de structur.

Metodele de calcul static post-elastic sunt adaptate conform problemelor de dimensioverificare care trebuie s fi rezolvate.

3. Calculul static post elastic, pas cu pas (calculul biographic).

Calculul static post-elastic al structurilor, care descrie comportarea structurilor n toate se realizez prin metoda pas cu pas ( metoda biografic ). Acest calcul pune n eviden succesiv a articulaiilor plastice, schimbarea continu a matricii de rigiditate a structurii n fiecde ncrcare. Principiul de calcul este determinarea eforturilor i deformaiilor structurii cncrcat pas cu passi care conduc la schimbarea rigiditii seciunilor ce depesc succesivelastic n comportarea lor. ncrcarea monoton poate fi un sistem de fore care crete sau un sistde plasri impuse. Acestea pot fi adaptate pentru ncrcri variabile sau ncrcri constante. Sc ncrcrile {S} cresc proporional cu parametrul care este multiplicatorul ncrcrii:

0SS unde {S0} reprezint valoarea iniial a ncrcrilor exterioare. Se accept de asemenea ca mcomportare seciunile modelului ideal elasto- plastic. Deci dac ntr -o seciune i, Mi=M pl n seciunapare o articulaie plastic. Distribuia eforturilor n structur depinde de stadiul de solicitare al fiecrei seciuni. Pentru sfiecrui element se verific dac MMc pentru determinarea domeniului de calcul.Seciunile critice sunt seciunile unde articulaiile plastice pot apare. Notaii.m numrul seciunilor critice ( depinde de alura diagramei M ),n gradul de nedeterminare static.Diagrama elastic este valabil cnd valorile momentelor de ncovoiere nu depesc M pl pentru fiecarseciune critic. Comportarea elastic a structurii este caracterizat prin:

pli MM pentru i=1,..m. Dac ncrcrile exterioare cresc pn ce Mi=M pl, acest moment corespunde apariiei unei articui plastice n seciunea i. Dup, analiza continu ca analiza elastic cnd structura are o articulain seciunea i. Cu fiecare apariie a unei articulaii plastice gradul de hiperstaticitate se diminuece numrul articulaiilor plastice devine n. Dup acest stadiu structura devine izostatic.


9/18

9 | P a g e

ncearc s exprimm o lege de comportare pentru o structur ntreag, similar n cazul eleme poate scrie relaia ntre ncrcrile exterioare (care cresc progresiv pn la colapsul complet al si deplasrile corespunztoare:

KS Matricea de rigiditate [K] este calculat la fiecare pas, pentru structur, cu articulaii n seciunile M=M pl.Date pentru calcul:

- structura (geometria i topologia); - seciunile ( caracteristicile geometrice i mecanice ); - valorile iniiale ale ncrcrilor permanente ( n general gravitaionale ) i variabi

ncrcrile orizontale. Etape de calcul:

1. calculul static la ncrcri gravitaionale; 2. calculul static sub aciunea ncrcrilor variabile (cu valorile iniiale ale ncrcrilor); 3. calculul momentelor plastic n seciunile critice ( n funcie de seciuni innd seama de

forei axiale); 4. calculul rapoartelor:

iGcap

i H i

M M

M

,

,

pentru i=1..m unde s-a notat:-

MH,i- momentul ncovoietor calibrat prin ncrcrile orizontale;

- MGi- momentele date de ncrcrile gravitaionale.

Aceste raporturi reprezint raporturile ntre ncrcrile variabile i rezerva de reziseciunii.

5. seciunea care are: ik max

va fi prima n care apare plastificarea.6. H=H0/k , 1=1/k reprezint valoarea parametrului ncrcrii care produce apariia p

articulaii plastice. 7. luarea unei articulaii plastice n seciunea k i calcularea noii matrici de rigiditate; 8. repetarea etapelor 2-7 pn la colapsul structurii;nainte de etapa 8 trebuie s verificm:

- Dac valoarile rotirilor seciunilor critice nu depinde de capacitatea de rotire a seciun - Dac efortul secional nu depete Tcap. Dac verificrile sunt satisfcute trebuie s decidem dac putem continua calculul elimi

structur elementul degradat sau s oprim calculul considernd c stadiul ultim al structurii a fOricum,la apariia a n+1 articulaie plastic structura ajunge n stadiul de colaps.


10/18

10 |P a g e

Fig. 9.3

Deci un calcul static post-elastic este n principiu o succesiune de calcule elastice pstructur avnd articulaii plastice n seciunile critice unde momentul plastic a fost atins aproximaii sunt uoare din punct de vedere algebric). Pentru fiecare etap de ncrcare de

exist o alt matrice de rigiditate. Rigiditatea se diminuaz pe msur ce apar articulaiile Relaia for exterioar (variabil) deplasare poate fi considerat ca o lege de comportare nelinstructurii compus din segmente liniare. Cnd mecanismulde cedare este format, matricea de rigiddevine degenerat. Echilibrul ntre ncrcrile exterioare i eforturile interioare rmne n toate etapechiar pentru n+1 articulaii plastice (echilibrul limit).

APLICAIE Se consider cadrul cu ncrcarea orizontal i ncrcarea vertical prezentat n figur.

Fig. 9.4

Pentru determinarea momentelor ncovoietoare se va utilize metoda forelor cu necunX2,X4 i X5. Sistemul de baz ales este prezentat n figura 9.5.


11/18

11 |P a g e

Fig. 9.5

Diagramele M p i diagramele unitare m2, m3 i m5 sunt prezentate n figura 9.6.

Plecnd de la diagramele M p i mi pentru i=2,4,5, se vor calcula ij i ip cu relaiile:

dxEI

mm jiij i dxEI

Mmpiip

Se obin expresiile:

EIl4

2,2 , EI1

4224 , EI21

525,2 , EI1

44 EI3l2

55

EI61

4554 , EI16Pl5 2

p2 , EI48Pl25 2

p4 EI3Pl2

p5

Sistemul de ecuaii cu necunoscuteleX2, X4 i X5 se obine cu relaiile: 0X ip j

jij

pentru i=2,4,5, se obine:


12/18

12 |P a g e

Pl411,0XPl461,0XPl035,0X

0Pl2X4XX30Pl25X8X48X16

0p15X24X16X64

5

4

2

542

542

542

Diagrama de moment ncovoietor n aceast prim etap de ncrcare va fi determinsuprapunerea efectelor:


13/18


14/18

14 |P a g e

absorbite ale mecanismelor intrate in combinative. Practic, pentru realizarea acestui dse proceseaza astfel:

- nu se fac, in general, combinari intre mecanismele elementare de pe bare diferite;- se fac combinari intre mecanismele care au, in articulatiile plastic din aceleasi secitu

de sensuri inverse, ceea ce poate conduce lainchiderea articulatiilor plastic respective si dla redcerea lucrului mechanic absorbit.

- -

se utilizeaza mecanismele elementare de nod, ceea ce inseamnca de fapt rotirea nrespective in senc orar sau antiorar, in asa el incat lucrul mechanic absorbit calculate rotii unui nor (tinand cont deinchiderea unor articulatii plastic si eventualdeschidereaaltora) sa fie mai mic decat cel determinat inainte de aceasta rotire. Mai trebuie notat stabilirea mecanismului de cedare, este necesara determinarea distributiei fotale de m pentru verificare indeplinirii conditiilor de siguranta.

5. Aplicatie

5.1 Metoda biografica :Pentru cadrul considerat sa se calculeze valoarea lui P pl.

Date de tema:Sectiune : IPE 200 ;A = 2850 mm2;W ply=194300 mm3;Wely=221000mm3;

Material : S235c=235 N/mm 2;


15/18

15 |P a g e

1. Iteratia 1:Mmax=M5=1.07P=M pl;M pl=Wy*c;Pel_lim=M pl/1.07=0.93M pl;

2. Iteratia 2:M4=0.98*Pel_lim+1.05*P14=M pl;

M1=0.7*Pel_lim+1.35*P1=M pl;

P1=min(P1,P14)=0.084M pl;Pel_pl2=Pel-lim+ P1=1.01M pl

3. Iteratia 3:

M1=M11

+M12

+2.19P2=M pl;M1=0.7Pel-lim+1.35*0.084M pl+2.19P2;

Pel_lim3=Pel_pl2+ P2=1.17M pl

4. Iteratia 4:M3=M31+M32+M33+2.5 P1=M pl;

=0.075M pl;

P pl=Pel_pl3+ P3=1.117M pl+0.075M pl=1.2M pl;


16/18

16 |P a g e

P pl=1.2M pl;

5.2 Principiul lucrului mechanic virtual

Pentru cadrul considerat sa se calculeze valoarea lui P pl.

Date de tema:Sectiune : IPE 200 ;A = 2850 mm2;W ply=194300 mm3;Wely=221000mm3;Material : S235c=235 N/mm

2;


17/18

17 |P a g e

Din teorema lucrului mechanic virtual avem:Fi=Fext

Fi* i=Fext* ext P pl*3 +P pl*2=8M pl* Ppl=8/5M pl=1.6M pl;

Mecanismul Elementar 1:LMV: P pl*2=M pl *4

Ppl1 =2M pl ;

Mecanismul Elementar 2:LMV: P pl*3 =4M pl

P pl2=1.33M pl;


18/18

Mecanismul Combinat :LMV: 8Mpl* pl=5Ppl* plPpl3=1.6Mpl

Rezultate din metoda lucrului mechanic

P pl=min(P pl1,P pl2,P pl3)=1.33M pl;

Rezultat din metoda biografica:

P pl=1.2M pl;

Calculul in Domeniul Elastic Şi Calculul in Domeniul Plastic

Documents

Transcript of Calculul in Domeniul Elastic Şi Calculul in Domeniul Plastic