GEOMETRIE ANALITICĂ

Considerăm în reperul cartezian 2 puncte: A(xA, yA) şi B(xB, yB). 1) Formula după care se calculează distanţa dintre ele este:

AB= 22 )()( BABA yyxx 2) Formula de calcul a pantei acestei drepte( în condiţiile în care xA xB) este:

mAB=BA

BA

xxyy

Condiţia xA xB este necesară întrucat panta se defineşte doar pentru dreptele oblice ca

m=tg , unde este unghiul format de dreaptă cu axa 0x, unghi diferit de 2 .

3) Coordonatele mijlocului M al segmentului AB se calculează cu formulele:

xM=2

BA xx şi yM=

2BA yy

.

4) Coordonatele unui punct M ce împarte segmentul AB în raportul k=MBMA :

xM=kkxx BA

1 şi yM=

kkyy BA

1

5) Ecuaţia carteziană generala a unei drepte este :

ax+by+c=0, unde a2+b2 0 si a, b, c R .

Coordonatele oricărui punct A(x0, y0) al dreptei verifică ecuatia dreptei: ax0+by0+c=0. Pentru a putea scrie ecuaţia dreptei trebuie să ştim diverse caracteristici ale ei, cum ar fi: 6) Un punct al său M( x0, y0) şi vectorul director v (a, b):

byy

axx 00

, unde a, b 0.

În cazul cand a=0, ecuaţia este x=x0 ( este dreaptă verticală) iar în cazul cand b=0 ecuaţia este y=y0 ( este dreaptă orizontală). 7) Un punct al său M( x0, y0) şi vectorul normal v (a, b):

ayy

bxx 00

, unde a, b 0.

În cazul cand a=0, dreapta este orizontală şi are ecuaţia y=y0 şi în cazul cand b=0 dreapta este verticală şi are ecuaţia x=x0. 8) Un punct M( x0, y0) şi panta dreptei m:

y-y0=m(x-x0)

9) Două puncte distincte A(xA, yA) şi B(xB, yB) :

AB

A

AB

A

yyyy

xxxx

, cand xA xB şi yA yB.

Pentru situatia xA=xB dreapta este verticală şi are ecuaţia x=xA iar pentru situaţia yA=yB dreapta este orizontala şi are ecuaţia y=yA. Se poate folosi şi urmatoarea formă a ecuaţiei:

.0111

BB

AA

yxyxyx

10) Tăieturile dreptei A(a, 0) şi B(0, b):

.0,,01 bpentruaby

ax

În ceea ce priveşte poziţia unui punct M( x0, y0) faţă de o dreaptă h a carei ecuaţie este ax+by+c=0, putem avea situaţiile : 11) Cand coordonatele punctului verifică ecuaţia dreptei, punctul se află situat pe dreaptă. 12) Cănd coordonatele punctului nu verifică ecuaţia dreptei punctul este exterior dreptei şi se poate calcula distanţa de la acel punct la dreapta h cu formula

d(M, h)=22

00

ba

cbyax

.

În ceea ce priveşte poziţia relativă a două drepte d1: a1x+b1y+c1=0 şi d2 : a2x+b2y+c=0, se pot întalni situaţiile : 13) Dreptele pot fi paralele :

d1׀׀ d2 2

1

2

1

2

1

cc

bb

aa

Condiţia de paralelism a dreptelor se poate exprima şi cu ajutorul pantelor : d1׀׀ d2 m1=m2.

14) Dreptele pot să coincidă : 2

1

2

1

2

1

cc

bb

aa

.

15) Dreptele pot fi concurente. În acest caz, coordonatele punctului de intersecţie se află rezolvand sistemul format din cele două ecuaţii.

16) Condiţia de coliniaritate a 3 puncte : A(x1, y1), B(x2, y2) şi C(x3, y3) :

Aceste 3 puncte sunt coliniare dacă şi numai dacă = .0111

33

22

11

yxyxyx

17) În cazul cand punctele sunt necoliniare, aria triunghiului ABC se calculează cu formula

S= 21 , unde =

111

33

22

11

yxyxyx

18) Coordonatele centrului de greutate al triunghiului ABC:

xG=3

CBA xxx si yG=

3CBA yyy

.

Pentru fixarea acestor noţiuni şi recapitularea pentru bacalaureat, vă propunem spre rezolvare următoarele probleme:

1) Considerăm în reperul cartezian următoarele puncte: A(1, 3) şi B(2, 6) şi C(7, -5). Aflaţi: a) Perimetrul triunghiului ABC; b) Aria triunghiului ABC; c) Ecuaţiile dreptelor suport ale laturilor triunghiului; d) Coordonatele mijloacelor laturilor triunghiului ABC; e) Pantele laturilor triunghiului ABC; f) Ecuaţiile dreptelor suport ale medianelor triunghiului; g) Coordonatele centrului de greutate; h) Lungimile înălţimilor; i) Ecuaţiile înălţimilor; j) Ecuaţiile mediatoarelor laturilor triunghiului; k) Coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului; l) Coordonatele ortocentrului; m) Arătaţi că centrul cercului circumscris triunghiului, ortocentrul şi centrul de

greutate sunt puncte coliniare.

2) Se dau punctele A(-2; 4), B(3; 6) şi C(9;7). Aflaţi coordonatele punctului D ştiind că ABCD este paralelogram.

3) Se ştie că punctele A(-3; 6), B(5; 7) şi C(8; a) formează un triunghi de arie 5. Aflaţi valoarea reală a lui a.

Prof. Giuclea Adina