ALGEBRĂ LINIARĂ GEOMETRIE ANALITICĂ - adrianmanea.xyz · de algebră liniară (structuri...

Stud

ent W

EB Cop

y

Prof. Dr. Vladimir BALAN

ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ

= ediţia a III-a revăzută şi adăugită =

BUCUREŞTI - 2004

Stud

ent W

EB Cop

y

Referenţi ştiinţifici: Prof. Dr. Constantin Drăguşin Prof. Dr. Constantin Radu

Stud

ent W

EB Cop

y

Prefaţă Acest curs reprezintă un ghid practic, care include noţiunile, rezultatele teoretice de bază, precum şi tipurile de probleme care apar în cadrul disciplinei "algebră liniară şi geometrie analitică" predată în instituţiile de învăţământ superior universitar tehnic şi economic. În lucrare sunt expuse clar şi cu multe exemple instructive, elemente de algebră liniară (structuri algebrice, spaţii vectoriale, transformări liniare, forme pătratice) şi de geometrie analitică (vectori liberi, dreapta şi planul în spaţiu, conice, cuadrice).

Deşi cartea are un pronunţat caracter teoretic, atât exemplificările ce însoţesc definiţiile şi rezultatele, precum şi exerciţiile propuse la sfârşit de capitol urmate de răspunsuri sau rezolvări succinte, fac din acest curs un instrument util de seminarizare. În plus, volumul include un index de noţiuni, deci poate fi utilizat şi ca memento, iar referinţele bibliografice reprezintă un punct de plecare pentru un studiu extins al materialului.

Lucrarea este utilă în special studenţilor de la facultăţile tehnice, inginerilor, cercetătorilor şi cadrelor didactice din învăţământul mediu şi superior, putând fi consultată şi de elevii de liceu din anii terminali. Parcurgerea cărţii presupune cunoaşterea noţiunilor şi rezultatelor de algebră, analiză matematică şi geometri predate în învăţământul liceal. 19 noiembrie 2004, Bucureşti.

Autorul.

Stud

ent W

EB Cop

y

Cuprins

Algebră liniară

Capitolul 1. Spaţii vectoriale #1. Grupuri şi corpuri ..................................................…............. 1 #2. Spaţii vectoriale. Subspaţii vectoriale..................................… 3 #3. Dependenţă şi independenţă liniară ........................................ 9 #4. Bază şi dimensiune .............................................................…. 10 #5. Spaţii vectoriale euclidiene ..................................................... 18 #6. Ortogonalitate. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt... 22 #7. Probleme propuse.................................................................... 29 Capitolul 2. Transformări liniare #1. Transformări liniare…………………………….................... 39 #2. Nucleu şi imagine .................................................................. 42 #3. Matricea unei transformări liniare ......................................... 46 #4. Endomorfisme particulare ..................................................... 49 #5. Transformări liniare pe spaţii euclidiene ............................... 52 #6. Izometrii ................................................................................ 56 #7. Probleme propuse.................................................................. 58 Capitolul 3. Valori şi vectori proprii #1. Valori şi vectori proprii ........................................................ 64 #2. Polinomul caracteristic al unui endomorfism........................ 65 #3. Forma diagonală a unui endomorfism................................... 69 #4. Forma canonică Jordan ......................................................... 74 #5. Spectrul endomorfismelor pe spaţii euclidiene ..................... 79 #6. Polinoame de matrice. Funcţii de matrice ............................. 82 #7. Probleme propuse.................................................................. 86 Capitolul 4. Forme biliniare şi pătratice #1. Forme biliniare. Forme pătratice…......................................... 91 #2. Reducerea formelor pătratice la expresia canonică ...........…. 96 #3. Signatura unei forme pătratice reale ....................................... 103 #4. Probleme propuse................................................................... 105

Stud

ent W

EB Cop

y

Geometrie analitică în E 3

Capitolul 5. Vectori liberi #1. Spaţiul vectorial al vectorilor liberi……. ......................... 108 #2. Coliniaritate şi coplanaritate ........................................… 112 #3. Proiecţii ortogonale……………….......................………. 114 #4. Produs scalar ..................................................................... 116 #5. Produs vectorial .............................................................… 118 #6. Produs mixt ........................................................................ 121 #7. Probleme propuse............................................................... 123

Capitolul 6. Dreapta şi planul în spaţiu

#1. Reper cartezian ................................................................... 126 #2. Ecuaţiile dreptei în spaţiu ................................................... 127 #3. Ecuaţiile planului în spaţiu ................................................. 129 #4. Unghiuri în spaţiu ............................................................... 134 #5. Distanţe în spaţiu ................................................................ 136 #6. Probleme propuse................................................................ 140 Capitolul 7. Schimbări de repere în spaţiu #1. Translaţia şi rotaţia reperului cartezian .............................. 146 #2. Trecerea de la reperul cartezian la reperul cilindric ........... 151 #3. Trecerea de la reperul cartezian la reperul polar în plan.... 153 #4 Trecerea de la reperul cartezian la reperul sferic ............… 154 #5. Probleme propuse................................................................ 156 Capitolul 8. Conice #1. Generalităţi ........................................................................ 158 #2. Reducerea la forma canonică a ecuaţiei unei conice ......... 170 #3. Intersecţia dintre o dreaptă şi o conică ...........................… 176 #4. Pol şi polară ....................................................................... 178 #5. Diametru conjugat cu o direcţie dată ................................. 180 #6. Axele unei conice .............................................................. 182 #7. Probleme propuse.............................................................. 183 Capitolul 9. Cuadrice #1. Sfera ……………............................................................. 185 #2. Elipsoidul ......................................................................... 188 #3. Hiperboloizii .................................................................... 190 #4. Paraboloizii....................................................................... 193 #5. Alte tipuri de cuadrice………........................................... 195 #6. Cuadrice riglate .......................................................……. 196 #7. Cuadrice descrise prin ecuaţia generală ........................... 197 #8. Reducerea la forma canonică a ecuaţiei unei cuadrice ..... 200 #9. Intersecţia unei cuadrice cu o dreaptă sau cu un plan ...... 202 #10. Probleme propuse........................................................... 205 Index de noţiuni Algebră liniară………………....................................…..……... 208 Geometrie analitică…………….............................….....……… 211 Bibliografie ....................................……………………..……………… 214

Stud

ent W

EB Cop

y

ALGEBRĂ LINIARĂ

Capitolul 1

SPAŢII VECTORIALE

#1. Grupuri şi corpuri Vom reaminti întâi noţiunile de grup şi de corp comutativ, structuri cunoscute din manualul de algebră de liceu de clasa a XII-a. 1.1. Definiţie. Un grup reprezintă o mulţime împreună cu o operaţie binară internă

( , )G ∗ G∗ ∈ × → ∗ ∈:( G G g g1 2, )g g1 2 G , care satisface

următoarele condiţii: (asociativitate) (1) 321321321 )()(,,, ggggggGggg ∗∗=∗∗∈∀ , (element neutru) (2) ,, geggeGgGe =∗=∗∈∀∈∃ (element simetric). (3) eggggGgGg =∗′=′∗∈′∃∈∀ ,,Dacă operaţia * satisface condiţia suplimentară , (comutativitate) (4) 122121 ,, ggggGgg ∗=∗∈∀atunci grupul G se numeşte grup comutativ (sau abelian). Observaţii 1. Elementul e din axioma (2) este unic determinat de proprietatea dată (temă, verificaţi) şi se numeşte element neutru; elementul ′g care satisface axioma (3) este unic determinat de g şi se numeşte simetricul lui g. 2. În grupurile uzuale, operaţia de grup se notează fie aditiv, fie multiplicativ. În fiecare din cele două cazuri apar următoarele notaţii şi denumiri: ♦ Într-un grup aditiv, notat prin ( , elementul neutru e se notează cu 0 şi se numeşte zero, iar elementul simetric

, )G +′g al unui element g se notează cu − şi se

numeşte opusul lui g . Diferenţa se defineşte ca fiind suma . g

g g1 2− g g1 2+ −( )♦ Într-un grup multiplicativ, notat prin ( , elementul neutru e se notează cu 1 şi se numeşte unitate, iar ′

, )G ⋅g se notează cu g şi se numeşte inversul lui g . −1

Exemple de grupuri. 1. Grupurile aditive (C,+), (R,+), (Q,+), (Z,+). 2. Grupurile multiplicative (C* = C \ {0},⋅), (R* = R \ {0},⋅), (Q* = Q \ {0},⋅).

3. ( , , unde G , iar este înmulţirea

matricelor.

)G ∗ =

−

−−

−

1 0

0 1

0 1

1 0

1 0

0 1

0 1

1 0, , , ∗

4. Grupurile ( ,⋅); (Z C⊂−−= },1,,1{ iiG 4 ,+).

Algebră liniară 1

Stud

ent W

EB Cop

y

5. Mulţimea bijecţiilor definite pe o mulţime şi cu valori în formează grup relativ la compunerea funcţiilor.

A A

1.2. Definiţie. Fie ( un grup. Se numeşte subgrup al lui grupului G o submulţime nevidă care satisface proprietatea

, )G ∗GH ⊂

∀ ∈ ∗ ′ ∈g g H g g H1 2 1 2, , . (5) În acest caz notăm ( , . ) ( , )H G∗ ⊂ ∗ Observaţii. 1. este un subgrup al grupului ( dacă şi numai dacă este grup în raport cu operaţia indusă de .

H , )G ∗ H∗

2. Condiţia (5) este echivalentă cu condiţiile HggHgg ∈∗∈∀ 2121 ,, ; HgHg ∈′∈∀ , .

Exemple de subgrupuri. 1. ; ),(),(),(),( +⊂+⊂+⊂+ CRQZ2. ; ),(),(),( *** ⋅⊂⋅⊂⋅ CRQ3. ; ),(),(),( *** ⋅⊂⋅⊂⋅ +++ CRQ4. Grupul permutărilor de n obiecte ( n ); *N∈5. , unde e este elementul neutru al grupului G. Aceste

subgrupuri se numesc subgrupuri improprii ale grupului G. ),(),();,()},({ ∗⊂∗∗⊂∗ GGGe

1.3. Definiţii.

a) Fie ( , şi două grupuri. Se numeşte omomorfism de grupuri o funcţie ϕ ' care satisface relaţia .

)G ∗G

),( oG ′:G → Ggggggg ∈∀ϕϕ=∗ϕ 212121 ,),()()( o

b) Un omomorfism bijectiv se numeşte izomorfism. c) Dacă ' şi G G= ∗ ≡ o, omomorfismul mai poartă numele de endomorfism,

iar izomorfismul, pe cel de automorfism. Exemple de grupuri izomorfe. 1. Grupurile din exemplul 1.1.3 sunt izomorfe; 2. Grupurile (Z n ,+) şi }1{ =∈= n

n zzU C( , sunt izomorfe prin aplicaţia

nn U→ϕ Z: , 1,0,sincos)ˆ( −=+= nmn

min

mm ππϕ .

1.4. Definiţii. a) Se numeşte corp un triplet (K, +, ⋅ ) format dintr-o mulţime K împreună cu două aplicaţii binare notate prin +, ⋅ ale lui K în K (numite respectiv adunare şi înmulţire), care satisfac condiţiile:

K×

♦ adunarea determină pe K o structură de grup comutativ, ♦ înmulţirea determină pe K \{0} o structură de grup, ♦ înmulţirea este distributivă faţă de adunare.

b) Se numeşte câmp (corp comutativ), un corp pentru care şi înmulţirea este comutativă.

Cap.I. Spaţii vectoriale 2

Stud

ent W

EB Cop

y

În cele ce urmează, vom nota un corp ( , prin K, iar corpurile utilizate vor fi câmpurile ( , şi ( , .

,K + ⋅), )R + ⋅ , )C + ⋅

Exemple de corpuri.

1. Tripletele ( , , ( , , ( , sunt corpuri comutative; operaţiile de adunare şi înmulţire sunt cele obişnuite.

) , )R + ⋅Q,+ ⋅ , )C + ⋅

2. Tripletul ( , unde p este un număr prim, este corp comutativ. ),, ⋅+pZ

#2. Spaţii vectoriale. Subspaţii vectoriale

Pe lângă diverse structuri algebrice precum cele de monoid, algebră, inel, sau modul, în studiul disciplinelor aplicate intervine cu prioritate structura de spaţiu vectorial. Această structură constă dintr-un grup aditiv comutativ V , şi o operaţie de înmulţire externă definită pe cu valori în V care satisface patru axiome, unde K este un câmp. Vom nota elementele spaţiului vectorial V (numite vectori) prin

, iar cele ale corpului K (numite scalari), prin a sau α β .

K V×

u v w, , ,... ,...,;,,, lkcb K , ,...

2.1. Definiţie. Se numeşte spaţiu vectorial peste corpul K un triplet (V,+,⋅ = f ), în care

k

1. V este o mulţime - ale cărei elemente se numesc vectori; 2. operaţia “+” (numită de adunare a vectorilor) determină o structură de grup comutativ pe V, notată aditiv, ( , ) ;v w v w∈ × → + ∈V V V 3. operaţia “⋅ ” (numită de înmulţire cu scalari), dată de o funcţie f k

,),(,: kvvkff =→× VVK ce satisface proprietăţile (asoc. înmulţirii cu scalari), (1) VK ∈∀∈∀= vlkvkllvk ,,,)()( (distrib. faţă de adunarea din K), (2) VK ∈∀∈∀+=+ vlklvkvvlk ,,,)( (distrib. faţă de adunarea din V) , (3) VK ∈∀∈∀+=+ wvkkwkvwvk ,,,)( 1 (4) V∈∀= vvv , Elementele lui K se numesc scalari, iar aplicaţia f se numeşte înmulţirea cu scalari. În cazul K = R, spaţiul vectorial se numeşte spaţiu vectorial real, iar dacă K = C, spaţiul vectorial se numeşte spaţiu vectorial complex. Un spaţiu vectorial (V,+,⋅ ), se va nota uneori, pe scurt, prin V. În cele ce urmează, prin corpul K vom înţelege unul din câmpurile R sau C.

k

2.2. Teoremă. Dacă V este un spaţiu vectorial peste corpul K, atunci ∀ ∈ şi ∀ au loc următoarele proprietăţi: u v w, , V ∈k l, K

Algebră liniară 3

Stud

ent W

EB Cop

y

(i) 0 0 v = , (ii) k0 0, =

(iii) ( ) , − = −1 v v

(iv) , uwuvwv =⇒+=+(v) kv şi lv= lkv =⇒≠ 0 ,

unde elementul 0 din stânga egalităţii (i) reprezintă elementul neutru al corpului K, iar elementul 0 din membrul drept reprezintă vectorul nul (elementul neutru al grupului abelian (V,+) ).

V∈

Demonstraţie. i). . vvvvv 0000)00(0 =⇒+=+=ii) . 00)00(0 ⋅+⋅=+⋅=⋅ kkkk 00 ⋅=⇒ kiii) v vvvvvvv −=−⇒==−+=−+=−+ )1(00)1(1()1(1)1( .iv) v u =+ w wuwuvvwvvuv =⇒+=+⇒++−=++−⇒+ 00 .v) (în caz contrar, înmulţind cu ( , rezultă

, contradicţie)

0)( =−⇒= vlklvkv0

lk =⇒ 1)−− lk=v

Corolar. În orice spaţiu vectorial V peste corpul K , pentru

,∀ au loc relaţiile: ∀ ∈k l, K ∈v w, Va) , )()()( vkvkkv −=−=−b) , lvkvlvkvvlkvvlk −=−+=−+=− )()()(c) kwkvkwkvwkkvwvkwvk −=−+=−+=−+=− )()(])1([)( .

Demonstraţie. Arătăm, spre exemplu, proprietăţile a). Pe de o parte avem

)()1()1()( vkvkvkvkiii

−⋅=−⋅=⋅−=− .

Pe de altă parte, din egalităţile rezultă, folosind implicaţia (iv), egalitatea .

kvkvvvvkkkvvki

+−=⋅=⋅=+−=+− )(00)()()3(

)()( kvvk −=− Exemple de spaţii vectoriale. În fiecare din exemplele următoare, vom preciza mulţimile V şi K, adunarea din V şi înmulţirea vectorilor cu scalari.

1. Spaţiul vectorial K peste corpul K. În acest caz, V=K=corp, adunarea şi înmulţirea cu scalari este înmulţirea din corpul K.

2. Spaţiul vectorial C peste corpul R. În acest caz, V = C (mulţimea numerelor complexe), (mulţimea numerelor reale), adunarea este cea din C, înmulţirea cu scalari este cea uzuală dintre un număr real şi un număr complex.

R=K

3. Spaţiul vectorial aritmetic cu n dimensiuni. , K = corp comutativ; adunarea şi înmulţirea cu scalari definite prin:

nKV =

KK ∈∀∈==∀

=+++=+

kyyyyxxxxkxkxkxkx

yxyxyxyx nnn

n

nn ,),...,,(),,...,,(, ),,...,,(

),...,,(2121

21

2211

V3 4. Spaţiul vectorial al vectorilor liberi. V = , K = R, adunarea vectorilor liberi prin regula paralelogramului, înmulţirea dintre un număr real şi un vector liber (vezi cap.V, # 1).


Stud

ent W

EB Cop

y

5. Spaţiul vectorial al matricelor de tipul m . V = , K = câmp, adunarea matricelor, înmulţirea dintre un scalar şi o matrice.

n× )(KnmM ×

6. Spaţiul vectorial al soluţiilor unui sistem algebric liniar omogen. V = mulţimea soluţiilor unui sistem liniar omogen de m ecuaţii cu n necunoscute privite ca elemente din (n-uple), cu coeficienţi din K, , adunarea din înmulţirea dintre un scalar şi un element din .

K n },{ CR∈K K n ,

K n

Spre exemplu, familia V a soluţiilor sistemului este familia

tripletelor de numere reale de forma ( ,

x y z

x z

+ − =+ =

0

2 0

),, ) ( , ,x y z = − −λ λ3 2 ∈λ λ R ; V formează spaţiu vectorial cu operaţiile definite în exemplul 3.

7. Spaţiul vectorial al funcţiilor cu valori într-un spaţiu vectorial dat. În acest caz avem V = WS →:ff

},{ CR∈K{ }, unde S mulţime nevidă iar W este un spaţiu

vectorial peste câmpul , iar operaţiile sunt cele de adunare a funcţiilor şi înmulţire a acestora cu scalari din corpul K.

8. Spaţiul vectorial al soluţiilor unei ecuaţii diferenţiale liniare şi omogene. În acest caz, V = mulţimea soluţiilor unei ecuaţii diferenţiale ordinare, liniare şi omogene, K = R, adunarea funcţiilor, înmulţirea unei funcţii cu un scalar. Spre exemplu, pentru , R∈λ

},)({}0,,:{ R∈===λ−′=→= λ aaexffyyfyff xnot

RRV

formează un asemenea spaţiu vectorial. 9. Spaţiul vectorial al tuturor şirurilor reale sau complexe. În acest caz, V =

mulţimea tuturor şirurilor reale sau complexe, , iar operaţiile sunt: },{ CR∈K

,

=++=+

,...},...,{,...},...,{

1

11

n

nn

kxkxkxyxyxyx

KV ∈∀∈==∀ kyyyxxx nn ,,...},...,{,...},,...,{ 11 .

2.3. Dat fiind un K-spaţiu vectorial, vom studia în cele ce urmează subspaţiile vectoriale ale spaţiului vectorial V , submulţimile acestuia care sunt ele însele spaţii vectoriale relativ la operaţiile induse din V .

Definiţie. Se numeşte subspaţiu vectorial al lui V o submulţime nevidă W a

lui V , astfel încât au loc proprietăţile ; (5) WW ∈+∈∀ vuvu ,,

WWK ∈∈∀∈∀ kuuk ,, . (6)

Observaţii. 1. Aceste condiţii sunt echivalente cu proprietatea WKW ∈+∈∀∈∀ lvkulkvu ,,,, ;

2. Adunarea şi înmulţirea cu scalari pe W sunt restricţiile la W ale operaţiilor de pe V; de aceea următoarele afirmaţii sunt echivalente :

♦ W este un subspaţiu vectorial al lui V ; ♦ W este un spaţiu vectorial peste K în raport cu operaţiile induse din V.

Algebră liniară 5

Stud

ent W

EB Cop

y

Exemple de subspaţii vectoriale 1. Fie V un spaţiu vectorial peste câmpul K. Mulţimile {0} şi V sunt subspaţii

vectoriale ale lui V. Acestea se numesc subspaţii improprii; oricare alt subspaţiu al lui V se numeşte subspaţiu propriu.

2. Mulţimea W a n-uplelor de forma ( , , este un subspaţiu vectorial al lui . Se observă că are loc egalitatea

,..., )0 2x xn ∀x xn2 ,..., K∈K n

W K= = ∈ ={ ( , ,..., )x x x x xnn

1 2 1 0}

)

şi că W formează un subspaţiu vectorial în , de tipul spaţiilor vectoriale descrise în exemplul 2.2.6.

K n

3. Mulţimea funcţiilor impare şi mulţimea funcţiilor pare sunt respectiv subspaţii ale spaţiului vectorial real al funcţiilor reale definite pe ( , ,

. −a a

}{∞∪∈ +*Ra4. Fie continuă pe [a,b]}. V = = →C a b f f a b f0[ , ] { :[ , ] ,R

Submulţimea este un subspaţiu vectorial în V. W = ∈ ={ [ , ] ( ) (f C a b f a f b0 )}

5. Fie V . Dreptele şi planele care conţin originea sunt subspaţii vectoriale ale lui . Coordonatele punctelor lor (triplete din ) sunt familii de soluţii ale unor sisteme lineare şi omogene de ecuaţii cu trei necunoscute.

3R=3R 3R

2.4. Definiţie. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K şi S o submulţime nevidă a sa. Se numeşte combinaţie liniară finită de elemente din S un vector v de forma

∈V

pikSvvkvp

iiiii ,1 ,, ,

1=∈∈= ∑

=

K unde .

Teoremă. Dacă S este o submulţime nevidă a lui V, atunci mulţimea tuturor combinaţiilor liniare finite formate cu vectori din S, este un subspaţiu vectorial al lui V . Acest subspaţiu se numeşte de subspaţiul generat de submulţimea S sau acoperirea liniară a lui S şi se notează cu L(S). Dacă S este mulţimea vidă, atunci prin definiţie L(S)={0}. Observaţie Diferite submulţimi de vectori din V pot să genereze acelaşi subspaţiu vectorial. De exemplu, pentru a b , oricare din mulţimile a, ,∈ ≠K 0

{ , , ,..., }, ,!,

!,...,

!, { ,( ),( ) ,..., ( ) }1 1

1 212

22t t t

t t t

nat b at b at bn

nn

+ + +

generează spaţiul vectorial al funcţiilor polinomiale în nedeterminata t care au cel mult gradul n, notat în cele ce urmează cu Kn[t], iar oricare din mulţimile

{ , , ,..., ,...}, ,!,

!,...,

!,... , { ,( ), ( ) ,..., ( ) ,...}1 1

1 212

22t t t

t t t

nat b at b at bn

nn

+ + +

generează spaţiul vectorial al tuturor funcţiilor polinomiale în nedeterminata t, notat cu K[t]. Observăm că W= Kn[t] este subspaţiu vectorial al spaţiului vectorial V= K[t].


Stud

ent W

EB Cop

y

2.5. Teoremă. Dacă şi sunt două subspaţii ale spaţiului vectorial V, atunci

U W

1) suma dintre U şi W , mulţimea },{ 2121 WW ∈∈+==+ vvvvv UU

este un subspaţiu vectorial al lui V ; 2) intersecţia este un subspaţiu vectorial al lui V ; mai mult, intersecţia

unui număr arbitrar de subspaţii vectoriale ale lui V este tot un subspaţiu vectorial.

U∩W

3) reuniunea este un subspaţiu vectorial al lui V dacă şi numai dacă sau (deci

UUW⊆U

U ⊆WW UUW nu este în general subspaţiu vectorial al lui V).

Demonstraţie. 1) Adunarea este o operaţie internă; într-adevăr, avem

⇔+∈′ WUvv, v u ' , w v u w= + = +, ' '

cu u u ,w w ; atunci rezultă u u ,w w , şi deci , '∈U , '∈W + ∈' U + ∈' W∈′++′+=′+ )()( wwuuvv U +W .

Pentru proprietatea (6), considerăm . Avem k ∈ Kku∈U , . ⇒∈Wkw ∈+= )()( kwkukv U +W

2) Din , rezultă , . Cum U şi sunt subspaţii vectoriale, rezultă

v v, '∈ ∩U W v v, '∈U v v, '∈W W

kv lv+ ∈' U , kv , . lv+ ∈' W ⇒∈∀ Klk, kv lv+ ∈ ∩' U W3) Presupunem că nu are loc nici una dintre incluziunile . Fie deci

, w . Rezultă UU ⊆⊆ WW ,

u∈U \W ∈W \Uu w+ ∉U , u w , ⇒∉+ Wwu + ∉UUW

deci, în acest caz, precizată nu este subspaţiu vectorial. Dacă , atunci , şi deci este subspaţiu vectorial (subspaţiul total) al spaţiului

vectorial V . Cazul se demonstrează analog.

U ⊆W UUW W=

=W W⊆W ⊆W U

Exemple. 1. Dacă şi sunt două subspaţii ale spaţiului vectorial V, atunci acoperirea liniară a mulţimii este exact subspaţiul vectorial

(temă, verificaţi).

U(U

W)L UW UUW

U W+ 2. Fie U U . = = = = ⊂L v L v( ( , )), ( ( , )); ,1 2

21 0 0 1W W R

Atunci ={0}, U (deci suma este întregul spaţiu vectorial) iar reuniunea U nu este subspaţiu vectorial în , deoarece

U∩W∪

+ = ⊂W R R2 2

W 2R }0),{(,, 2121 ==∪∉+∈∈ xyyxvvvv WW UU .

3. Fie subspaţiile U generate respectiv de vectorii 2R⊂W,)0,2(),2,1(),4,1( 321 =−== uuu şi w w w1 2 315 2 10 315= = − − =( , ), ( , ), ( , )

din . Determinăm subspaţiile U + W şi . Subspaţiul sumă este acoperirea liniară a mulţimii de vectori { ,

2R U W∩,,, 13 wwu

U W+},, 3221 wuu

U W+ = L u u u w w w({ , , , , , })1 2 3 1 2 3 , adică orice vector v este de forma ∈ +U W

K∈+++++= 654321362514332211 ,,,,,; kkkkkkukukukwkwkwkv . Algebră liniară 7

Stud

ent W

EB Cop

y

Subspaţiul conţine acei vectori care admit scrierea simultană U W∩v = α α . α β β β1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3w w w u u+ + = + + u

Folosind operaţiile cu vectori din R obţinem prin înlocuire şi identificare pe componente, sistemul

2

β+β=α+α−αβ+β−β=α+α−α

.2415105232

21321

321321

Rangul matricei sistemului este unu, iar compatibilitatea este asigurată de anularea determinantului caracteristic β . Obţinem 0107 321 =β+β−

R∈µλµ=βλ=βµ−λ=β ,,,,107 321 . Atunci vectorii spaţiului sunt de forma U W∩

, R∈µλµ−λ=µ−λµ−λ=µ+λ+µ−λ ,),5,1)(86()4030,86()107( 321 uuuşi deci U W∩ = =L v({ ' ( , )})15 . 2.6. Teoremă. Fie U , subspaţii vectoriale. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

W

(i) pentru orice vector v , există o unică descompunere ∈ +U W v ; WU ∈∈+= 2121 ,, vvvv

(ii) U W∩ = { }0 . Demonstraţie. (ii)⇒(i). Fie v v . , ⇒

}⇒ . Reciproc, prin absurd, dacă are loc (i), dar U W

v v v= + = ′ + ′1 2 1

0 v v v1 1 2= ′ =,

∩ ≠

2

v′v v1 1, ′ ∈U v v2 2, ′ ∈W

=′−= 11 vvu {22 =∩∈−′ WUvv 2

{ }0 , fie w∈ ∩U W \ ≠∅{ }0 . Atunci reprezintă două descompuneri simultane ale lui w, în care

. Din unicitatea descompunerii, rezultă w=0, contradicţie. WU +∈+ 0

W∈=+= 0 ww

U∈ ww ,0;,0w

2.7. Definiţii. Fie U şi W două subspaţii vectoriale ale lui V. a) Dacă U W∩ = { }0 , atunci suma se numeşte sumă directă şi se notează WU +

WUWU +=⊕ . b) Dacă suma este directă şi avem în plus , atunci şi se

numesc subspaţii suplimentare. Noţiunile de sumă şi sumă directă se pot extinde în mod natural la cazul unui număr finit de subspaţii vectoriale.

U W+ VWU =+ U W

Exemple. 1. Subspaţiile }),0{(},)0,{( RR ∈=∈= yyxx WU

}0{)}0,0{( 2R==

au suma şi intersecţia , deci sunt suplementare în R U W+ = R 2 ∩WU 2.

Într-adevăr, descompunerea unui vector din R2 după cele două subspaţii este unică: 2),( R∈∀ yx , . WU +∈+= ),0()0,(),( yxyx

2. Subspaţiul funcţiilor pare U = → = − ∀ ∈{ : ( ) ( ), }f I f x f x x IR

şi respectiv impare W = → = − − ∀ ∈{ : ( ) ( ), }f I f x f x x IR ,


Stud

ent W

EB Cop

y

unde I=(-a,a) este un interval simetric real, sunt suplementare în spaţiul vectorial real V al funcţiilor reale definite pe I, întrucât intersecţia conţine numai funcţia constantă nulă şi are loc descompunerea

Ixxfxfxfxfxf ∈∀−−

+−+

= ,2

)()(2

)()()( ,

deci orice funcţie f a a:( , )− → R este suma dintre o funcţie pară şi una impară, ceea ce probează incluziunea nebanală V . WU +⊂

#3. Dependenţă şi independenţă liniară

3.1. Definiţii. Fie S o submulţime de vectori din K-spaţiul vectorial V, unde . },{ CR∈K

a) Spunem că mulţimea S este liniar dependentă dacă există o familie finită de vectori distincţi din S, spre exemplu v v şi scalarii

, cu cel puţin unul nenul, astfel încât să aibă loc relaţia (numită relaţie de dependenţă liniară):

v Sp1 2, ,..., ∈k k kp1 2, ,..., ∈ K

k v k v k vp p1 1 2 2 0+ + + =... .

b) Spunem că mulţimea S este liniar independentă dacă nu este liniar dependentă, adică dacă ∀ ∈ =v S ii , ,1 p (p arbitrar, ), p ∈ N piki ,1, =∈∀ K , are loc implicaţia

k v k v k vp p1 1 2 2 0+ + + =... ⇒ k i . pi = =0 1, ,

Notaţii. În cazul dependenţei liniare a familiei S, vom nota dep(S); în caz contrar, ind(S). Observaţii. 1. Mulţimea S din definiţie poate fi o mulţime finită sau infinită. 2. Deşi liniar dependenţa şi liniar independenţa sunt proprietăţi specifice unei familii de vectori, vom spune despre vectorii familiei că sunt vectori liniar dependenţi, respectiv vectori liniar independenţi. Exemple. 1. Mulţimea S = {v}, pentru v ∈V \ {0}arbitrar fixat, este finită, liniar independentă.

2. Mulţimea }{ K∈λλ= vS , pentru v ∈V \ {0} arbitrar fixat, este infinită,

liniar dependentă. 3. Mulţimea S = {0} este finită, liniar dependentă, căci are loc relaţia 1 ,

(relaţie de dependenţă în care intervine coeficientul nenul 1). ⋅ =0 0

4. Dacă 0 , atunci mulţimea S este liniar dependentă. ∈ S5. Dacă în S există un vector care se poate exprima ca un multiplu scalar al

unui alt vector, atunci S este liniar dependentă. 6. Fie , unde )(},,{ 321 R∞⊂= CvvvS

2)()(,2ch )(,)( 321 /-eettveettvetv -ttttt ≡=+≡== sh )/( - . Algebră liniară 9

Stud

ent W

EB Cop

y

Deoarece 1 , mulţimea { , este liniar dependentă. 01ch1 =⋅−⋅−⋅ ttet sh , }v v v1 2 3

7. Mulţimea este infinită, linear independentă.

][},,...,,,{ 12531 XXXXXS k R⊂= + K

3.2. Teoremă. Fie L(S) acoperirea liniară a o mulţimii liniar

independente , . Atunci orice familie de vectori din L(S) este liniar dependentă.

S v v vp= { , ,..., }1 2 V⊂ p ∈ N p+1

Demonstraţie. Fie p+1 vectori arbitrari din L(S), a căror descompunere după baza

este },{ 1 nvv K

w a v i pi ijj

p

j= ==∑

11 1, , + .

Considerăm relaţia k w k w k wp p1 1 2 2 1 1 0+ + + =+ +... .

Înlocuind expresiile vectorilor relativ la vectorii din S, în relaţie, avem 121 ,..., +pwww

001

1

1

1

1 1=

⇔=

∑ ∑∑ ∑=

+

=

+

= =j

p

j

p

iiji

p

i

p

jjiji vakvak ;

Dar vectorii v j fiind liniar independenţi, rezultă anularea tuturor coeficienţilor combinaţiei liniare nule, deci rezultă relaţiile

pj , ,= 1

pjakakak jppjj ,1,0... 112211 ==+++ ++ . Acestea formează un sistem liniar omogen cu p ecuaţii şi 1 necunoscute, deci admite şi soluţii nebanale k k . , care înlocuite în relaţia iniţială, o transformă într-o relaţie de dependenţă liniară, şi deci vectorii

p +k p1 2 1, ,..., + ∈ K

w i sunt liniar dependenţi.

pi , ,= +1 1

#4. Bază şi dimensiune 4.1. Definiţii. Fie V un K-spaţiu vectorial, . },{ CR∈K

a) O submulţime de vectori se numeşte bază pentru V dacă B este liniar independentă şi generează pe V - deci, pe scurt, B satisface condiţiile ind(B) şi L(B)=V.

VB ⊂

b) Spaţiul vectorial V se numeşte finit dimensional dacă admite o bază finită sau dacă V = { }0 . În caz contrar, V se numeşte infinit dimensional. Observaţie. Utilizând axioma alegerii [RAD_1] se poate demonstra că orice spaţiu vectorial diferit de spaţiul vectorial nul {0} admite o bază. 4.2. Teoremă. Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional. Oricare două baze B, ale lui V au acelaşi număr de elemente. ′B


Stud

ent W

EB Cop

y

Demonstraţie. Fie n numărul de vectori din B şi n numărul de vectori din B . Dar B este liniar independentă şi generează spaţiul . Dacă B ar avea mai multe elemente decât B , ar rezulta conform teoremei 3.2, linear dependenţa familiei B, contradicţie, deoarece B este o bază; în concluzie .

′= L

′)(BV ′

n ≤′ nn ′>

n′Un raţionament similar aplicat mulţimii liniar independente conduce la ; deci n ′.

)(BVB L=⊂′

nn ≤′ n= Definiţii. a) se numeşte dimensiunea spaţiului vectorial finit-dimensional V , numărul

dacă admite o bază formată din vectori (deci {0}) ,dim

0 dacă {0}. n n− ≠

= −

V VV

V =

b) Un spaţiu vectorial de dimensiune n finită spunem că este n-dimensional şi îl notăm cu V . n

Exemple. 1. Fie spaţiul vectorial aritmetic n-dimensional. Vectorii K n

e e enn

1 21 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1= = =( , , ,..., ), ( , , ,..., ),..., ( , ,..., , ) K∈

0

determină o bază a spaţiului . Într-adevăr, B este liniar independentă, deoarece

B = { , ,..., }e e en1 2 K n

)0,...,0,0(),...,,(0... 212211 =⇔=+++ nnn kkkekekek , de unde rezultă . Pe de altă parte ∀ , avem ...21 ==== nkkk n

nxxxx K∈= ),...,,( 21

x x e x e x e Ln n= + + + ∈1 1 2 2 ... ( )B , deci ; incluziunea inversă este banală, deci B generează pe V = . )(BLn ⊂K nK

2. Spaţiul vectorial } grad][{][ npXpXn ≤∈= KK

+},...,, 21 nXXX

al tuturor polinoamelor

de grad cel mult (inclusiv) n, are dimensiunea n 1. Într-adevăr, observăm că familia de polinoame este liniar independentă, deoarece ,1{ 0X≡=B

k k X k X k X k k k knn

n0 1 22

0 1 20 0+ + + + = ⇒ = = = = =... ... şi orice polinom de grad mai mic sau egal cu n este o combinaţie liniară finită de monoamele mulţimii B. 3. Spaţiul vectorial al tuturor polinoamelor în nedeterminata X este infinit dimensional şi admite baza { .

K[X ]

,

, , ,..., ,...}1 2X X X n

4. Spaţiul vectorial al matricelor dreptunghiulare cu m linii şi n coloane şi coeficienţi în corpul K are dimensiunea mn, admiţând baza

)(KnmM ×

B = ≤ ≤ ≤ ≤{ , , }E i m j nij 1 1 Eij fiind matricea care are coeficientul 1 la intersecţia liniei i cu coloana j, iar ceilalţi coeficienţi sunt nuli. 5. Dacă V este un C-spaţiu vectorial, atunci spaţiul vectorial real R care coincide cu V ca grup aditiv şi cu înmulţirea cu numere reale definită exact ca în V , se numeşte trecerea în real a spaţiului V . În particular, trecând în real spaţiul vectorial complex n-dimensional , se obţine R-spaţiul vectorial , de dimensiune 2n. O bază a acestuia este { , obţinută prin trecerea în real a bazei { .

V

n ≡nC=V

ne ⊂},...,

n2RCR

nCnn ieieieeee R⊂},...,,,,...,, 2121nCee , 21

Algebră liniară 11

Stud

ent W

EB Cop

y

4.3. Teoremă. Fie V un spaţiu vectorial n-dimensional. Atunci au loc afirmaţiile:

n

1) O mulţime liniar independentă din V n este o submulţime a unei baze din V . n2) Fie S v o mulţime formată din n vectori din V . v vn= { , ,..., }1 2 Vn⊂ n

Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente: (i) S este bază în V ; n

(ii) S este familie liniar independentă (ind(S)); (iii) S este sistem de generatori pentru V (L(S)= V ). n n

Demonstraţie. 1) Dată fiind o mulţime liniar independentă din V , avem următoarele situaţii: fie L(S) = V şi deci S este o bază, fie L(S) este o submulţime proprie a lui V . În al doilea caz există măcar un vector , şi atunci S S

S v v vp= { , ,..., }1 2

\ Lv nV∈

n

n

n )(Sv' { }= ∪

n

este linear independentă (temă, verificaţi). Dacă , atunci este o bază ce conţine pe S (deci baza căutată), iar dacă este o submulţime

proprie a lui V , atunci se reia acelaşi raţionament pentru S:=S'. După un număr finit de paşi (căci numărul de vectori dintr-o familie linear independentă nu poate fi mai mare decât n), obţinem o bază ce conţine familia S. În concluzie, orice familie linear independentă S poate fi prelungită sau completată până la o bază a spaţiului vectorial V .

nSL V=′)( L S( )′′S

nV⊂B

n

2) Implicaţiile (i)⇒ (ii), (i) (iii) sunt evidente. Demonstrăm implicaţia (ii) (i). Avem ind(S) S bază în L(S) ⇒ dim L(S) = n = dim V . Dar , deci L(S) = V ; rezultă S bază în V .

⇒ ⇒⇒ n nSL V⊆)(

n n

Demonstrăm implicaţia (iii) ⇒ (i). Fie L(S) = V ; dacă avem prin absurd dep(S), atunci ar rezulta că orice bază a spaţiului L(S) are < n vectori, deci n = dim V = dim L(S) < n, contradicţie.

n

n

Exemplu. Familia de vectori este liniar independentă. Cum S are 2 vectori, iar dim , rezultă conform teoremei că S este bază în .

221 )}1,1(),1,1({ R⊂−=== vvS

2 2 =R2R

4.4. Teoremă. Fie V un spaţiu vectorial n-dimensional şi fie

o bază în acest spaţiu. Atunci orice vector x admite o exprimare unică de forma

n

B = { , , ... , }e e en1 2 n∈V

x x e x ii ii

n

i= ∈=∑

11, K, = ,n

e

(*)

(numită descompunerea lui x după vectorii bazei B). Demonstraţie. Deoarece V = L(B), orice vector x poate fi scris ca o combinaţie

liniară de vectorii bazei, adică x , iar această descompunere este unică.

∈V

xi ii

n

==∑

1

Stud

ent W

EB Cop

y

Într-adevăr, dacă vectorul x ar admite şi descompunerea x , atunci prin

scădere ar rezulta combinaţia lineară nulă 0 . Dar B fiind bază, este

formată din vectori linear independenţi, deci rezultă anularea coeficienţilor combinaţiei,

xi ii

n

= ′=∑

1

)

e

1= − ′

=∑(x x ei ii

n

i

nixxnixx iiii ,1,,1,0 =′=⇒==′− , deci descompunerea este unică. Definiţie. a) Se numesc coordonatele vectorului x în raport cu baza B , numerele , asociate vectorului x prin descompunerea (*). nxx ,,1 K n∈V

b) Se numeşte sistem de coordonate pe V asociat bazei B, bijecţia n

n

nn

n xxxxff KKV ∈=→ ),...,,()(,: 21 .

În cele ce urmează vom identifica un vector cu coordonatele sale relativ la o bază fixată. Atunci, pentru , operaţiile spaţiului vectorial se rescriu pe componente

nnnn yyyyxxxx KV ≡∈≡≡ ),...,,(),,...,,( 2121

∈∀≡+++≡+

K.kknkxkxkxyxyxyxyx

n

nn

),,...,,( ),...,,(

21

2211

Exemplu. Aflăm coordonatele vectorului v relativ la baza 2)0,1( R∈=

221 )}1,1(),1,1({ R⊂−=== vvS

din exemplul precedent. Relaţia conduce la α , deci coordonatele vectorului v relativ la baza S sunt

21 vvv β+α=2/1

2/1=β=)2/1;( .

În ceea ce priveşte posibilitatea de a completa o familie de vectori liniar

independenţi la un sistem de generatori folosind un sistem prescris de generatori, avem următoarea Teoremă (teorema înlocuirii, Steinitz). Fie V un K-spaţiu vectorial, n

nnvvS V⊂= },...,{ 1 un sistem de generatori ai spaţiului V , şi fie n

)0(,},...,{ 10 ≥⊂= rwwS nr V un sistem de vectori liniar independenţi.

Atunci are loc inegalitatea şi există familia de vectori S care conţine vectori astfel încât să fie sistem de generatori pentru V .

nr ≤∪ SS0

S⊂+

rn − + n


Stud

ent W

EB Cop

y

Se observă ca în urma teoremei 3.2, avem cu necesitate . nm ≥

Un rezultat deosebit de util ([POP]) în cazul unui spaţiu vectorial de dimensiune arbitrară, care face posibilă completarea la o bază a unei familii liniar independente, folosind vectorii unei baze cunoscute, este

Teorema completării. Dacă este un sistem liniar independent în K-

spaţiul vectorial V , atunci se poate completa la o bază a lui V . V⊂0S

0S Corolar. Fie o bază în K-spaţiul vectorial V , şi fie nneeS V⊂== },...,{ 1B n

)0(,},...,{ 10 ≥⊂= rwwS nr V un sistem liniar independent de vectori din V . Atunci şi se poate completa cu vectori ai unei subfamilii la o altă bază a spaţiului V .

n nr ≤=′B

0S∪rn − B⊂+S +SS0 n

Exemplu. Completaţi familia de vectori

)}1,1,1,1(),1,1,1,1({ 210 −−=== wwS la o bază a spaţiului vectorial V . 4R=

Soluţie. Famlia este liniar independentă (temă, verificaţi). Considerăm baza canonică

0S

44321 )}1,0,0,0(),0,1,0,0(),0,0,1,0(),0,0,0,1({ RB ⊂====== eeeeS ,

şi observăm că din cele selecţii ordonate de 2 vectori din B putem alege, spre exemplu, vectorii , iar vectorii familiei

123424 =⋅=A

},{ 31 eeS =+

},,,{ 32110 ewewSS =∪=′ +B sunt liniar independenţi, şi sunt în număr de 4 în spaţiul (a cărui dimensiune este tot 4), deci conform teoremei 4.3 rezultă că este o bază. În plus, prin construcţie, baza conţine familia şi vectori din familia S.

4RB′

B′ 0S 4.5. Teoremă (Grassmann).

Dacă U şi W sunt două subspaţii de dimensiuni finite ale spaţiului vectorial V, atunci are loc relaţia

)dim()dim(dimdim W+UWUWU +∩=+ .

Corolar. Dacă U şi W sunt două subspaţii suplementare de dimensiuni finite

ale spaţiului vectorial V, atunci are loc relaţia

VWU dimdimdim =+ .


Stud

ent W

EB Cop

y

Matricea asociată unei familii de vectori relativ la o bază dată. Fie V un K-spaţiu vectorial şi o bază în V . Considerând un sistem de p vectori v v , atunci aceştia se descompun relativ la baza B, după cum urmează

n B = { , ,..., }e e en1 2

n

n

v p1 2, ,..., ∈V

v a . e v a e v ai ii

n

ii

n

i pi

n

i1 11

2 21 1

= = == = =∑ ∑ ∑, ,..., eip

n

Vectorilor li se ataşează matricea formată din coeficienţii celor p descompuneri, aşezaţi succesiv pe coloane:

v v v p1 2, ,...,

=

npnn

p

p

aaa

aaaaaa

A

K

MOMM

K

K

21

22221

11211

,

numită matricea asociată familiei de vectori S relativ la o baza B. Vectorii pot fi identificaţi cu coloanele matricei A şi notăm această matrice cu v v vp1 2, ,...,

BB ],...,,[][ 21 pvvvSA == .

4.6. Teoremă. Fie o bază a lui V , o familie de p vectori din V şi matricea asociată acestei familii.

},...,,{ 21 neee=BA S= [ ]B

n S v v v p= { , ,..., }1 2

n

Fie rang A = , şi fie indicii coloanelor unui minor care dă rangul matricii A. Atunci au loc următoarele afirmaţii:

min( , )m p≤ piii m ≤<<<≤ ...1 21

(i) familia de vectori este bază a subspaţiului L(S) (deci avem },...,{'1 mii vvS =

ind şi ); în particular, rang . S( ' ) L S L S( ) ( ' )= )(dim SLA =

(ii) v L , pentru oriceSj ∈ ( ' ) },,...,,{\,1 21 miiipj ∈ .

Exemplu. Pentru subspaţiile date în exemplul 3 al teoremei 2.5., dimensiunea subspaţiului U coincide cu rangul matricei W+

,

=

−−−

02415105211321

],,,,,[ 321321 uuuwww

deci dim( . Un vector oarecare din subspaţiul U este de forma )U W+ = 2 W∩ ( , ) ( ) ' , ,6 8 30 40 6 8λ µ λ µ λ µ λ µ− − = − ∈v vR, '= (1,5) ,

astfel încât (dim 1. Se observă că avem relaţiile )U V∩ =2R=W+U=UWU=W ⊂∩ .

Întrucât dim = 1, dim , teorema Grassmann se verifică, având loc egalitatea W U = 2

)dim()dim(2112dimdim W+UWUWU +∩=+=+=+ . Corolar. Fie o bază a lui şi fie },...,,{ 21 neee=B V n

} ,1 , {1∑=

==′=n

iiijj njeceS

o familie de n vectori din V . Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente: n

Stud

ent W

EB Cop

y

(i) S este bază a lui V ; n

(ii) . 0)det( ≠ijcRezultă că o familie S ⊂ V reprezintă o bază a spaţiului dacă matricea

a familiei S relativ la o bază B oarecare a spaţiului este pătratică şi

nesingulară.

n Vn

)(][ ijcS =B

Exemplu. Vectorii determină o bază a spaţiului vectorial V , deoarece

)}1,1(),1,1({ −===′ vuB)}1,0(),0,1({ 21 === ee),(2

2 == L BBR

02],[det11

11 ≠−=≡−

vu .

4.7. Schimbarea bazei într-un spaţiu vectorial V . n

Fie şi două baze distincte în spaţiul vectorial V . Atunci vectorii bazei se pot exprima relativ la baza B prin relaţiile:

},...,,{ 21 neee=B

n

},...,,{ 21 neee ′′′=′BB′

′ = ==∑e c e jj ij ii

n

, ,11

n

e

e

.

Fie ( respectiv ( coordonatele unui vector arbitrar

în raport cu baza B respectiv , deci au loc descompunerile x respectiv

. Folosind relaţiile existente între vectorii celor două baze, obţinem

,..., )x xn1

e

' ,..., ' )x x n1

B′

nx V∈

xi ii

n

==∑

1

x x jj

n

j= ′ ′=∑

1

x x c e c xjj

n

ij ii

n

ij jj

n

i

n

i= ′

= ′

= = ==∑ ∑ ∑∑

1 1 11.

Din unicitatea descompunerii vectorului x în raport cu baza B, prin identificarea coeficienţilor, rezultă relaţiile

x c x ii ijj

n

j= ′ ==∑

11, ,n . (*)

Notând coordonatele vectorului x relativ la cele două baze respectiv prin , relaţiile (*) se scriu condensat sub formă

matriceală X x x xt

n= ( , ,..., )1 2 ′ = ′ ′ ′X x x xtn( , ,..., )1 2

X CX= ′. (**)

Definiţii. a) Matricea pătratică njiijc

,1,)(][

==′= BBC , ale cărei coloane

sunt coordonatele vectorilor bazei în raport cu baza B, se numeşte matricea de trecere de la baza B la baza .

B′B′

b) Relaţiile (*) descriu transformarea coordonatelor vectorului x la o schimbarea bazei B în baza B . ′

Exemple. 1. Să se determine coeficienţii polinomului relativ la baza .

][1 22 ttp R∈−=

}1,1,{ 2 −+=′ ttB


Stud

ent W

EB Cop

y

Soluţie. Coeficienţii polinomului p relativ la baza naturală a spaţiului vectorial sunt daţi de vectorul coloană . De asemenea,

matricea coeficienţilor vectorilor noii baze B' relativ la baza B este (temă, verificaţi),

.

},,1{ 2tt=B][2 tR )1,0,1( −=tX

==

−

010001110

]'[ BBC

Coordonatele lui p relativ la B' formează vectorul ce satisface relaţia (**) ′, deci prin calcul direct rezultă coeficienţii , adică p admite

relativ la B' descompunerea:

X ′=′ tX CX= )2,1,0( −−X

)1()2()1()1(0 2 −⋅−++⋅−+⋅= ttp . 2.. Aflaţi coordonatele vectorului relativ la baza 2)2,1( R∈−= tv

)}4,3(),2,1({ 21 −===′ vvB . Soluţie. Matricea de trecere de la baza canonică a

spaţiului vectorial R la baza este , iar coordonatele X' ale

vectorului relativ la baza B sunt , unde .

)}1,0(),0,1({ 21 === eeB

)5/2;5/1( −= t vX =

2

)

B′

−

=42

31C

' 1= − XCX2,1(−=v ′Altfel, relaţia v conduce la coeficienţii ai vectorului v relativ la baza .

2vβ1v +α=B′

5/2,5/1 −=β=α

4.8. Spaţii vectoriale izomorfe. Definiţii. a) Fie V şi W două K -spaţii vectoriale. Se numeşte transformare liniară de la V la W , o aplicaţie care satisface condiţiile WV →:T

∈∀∈∀=∈∀+=+KV

VkxxkTkxT

yxyTxTyxT,),()(

,),()()(

b) O transformare liniară bijectivă se numeşte izomorfism. Exemplu. Un sistem de coordonate pe V reprezintă un izomorfism canonic între V şi K .

n

nn

Teoremă. Două K-spaţii vectoriale de dimensiuni finite V şi W sunt izomorfe dacă şi numai dacă dimensiunile lor coincid. Demonstraţie. " . Fie şi sunt izomorfe, deci există o transformare liniară bijectivă . Avem

"⇒ V V= n

nT V: W W= m

mW→0)0()0(2)00()0( =⇒=+= TTT T .

Fie B o bază a lui V . Mulţimea = { , ,..., }e e en1 2 n

mneTeTeTT W⊂= )}(),...,(),({)( 21B este liniar independentă, deoarece:

)0()...(0)(...)()( 22112211 TekekekTeTkeTkeTk nnnn =+++⇒=+++ ; dar T injectivă şi B bază, deci rezultă

k e k e k e k k kn n n1 1 2 2 1 20 0+ + + = ⇒ = = = =... ... .


Stud

ent W

EB Cop

y

Pe de altă parte, generează W , căci T fiind surjectivă, avem că pentru orice

, există o combinaţie liniară astfel încâtT , şi deci

. În concluzie n = dim = dim W = m.

)B( T

)(BT

m

mw W∈

1vw

n

i

= ∑=

∑=

∈=n

iniievv

1V

)( BT

wv =)(

)(eT ii ∈ m

""⇐ . Fie şi . Sistemele de coordonate şi , asociate unor baze arbitrar fixate în V , respectiv W , produc izomorfismul

V V= n W W= n f nn:V K→ g n

n:W K→

n m

nnfgT WV →= − : 1 o , deci cele două spaţii vectoriale sunt izomorfe.

Exemplu. Spaţiile vectoriale , şi sunt izomorfe, având toate dimensiunea 6.

)(32 RxM ][5 XR 6R

#5. Spaţii vectoriale euclidiene

În cele ce urmează, vom adăuga la structura de spaţiu vectorial o nouă operaţie cu vectori - cea de produs scalar, cu ajutorul căreia vom puta defini: ◊ lungimea unui vector, ◊ unghiul format de doi vectori, ortogonalitatea a doi vectori, ◊ proiecţia unui vector pe un alt vector sau pe un subspaţiu vectorial, etc. 5.1. Definiţii. a) Fie V un C-spaţiu vectorial. Se numeşte produs scalar (complex), sau încă, produs scalar hermitic pe V, o funcţie care, pentru , are proprietăţile

C→×>⋅⋅< VV:,V∈∀ wvu ,, , C∈∀k

♦ ><>=< vwwv ,, (hermiticitate) ♦ (aditivitate/distributivitate) ><+>>=<+< wuvuwvu ,,,♦ (omog. în primul argument) >>=<< wkvwvk ,,♦ . (pozitivitate) 00,;0, =⇔>=<≥>< vvvvv b) Un spaţiu vectorial complex pe care s-a definit un produs scalar se numeşte

spaţiu vectorial euclidian complex. Observaţie Din aceste proprietăţi decurg relaţiile

♦ ><>= wvkkwv ,< , ,♦ < , ><+>>=<+ wvwuwvu ,,,♦ < R>∈vv, ,♦ < , ∀ , 00,,00,0 >=>=<>=< uu C∈∀∈ ku,v,w ,V

deci un produs scalar hermitic nu este în general omogen în al doilea argument, şi este aditiv în ambele argumente.

Cap.I. Spaţii vectoriale

18

Stud

ent W

EB Cop

y

Teoremă. În orice spaţiu euclidian complex V este satisfăcută inegalitatea Cauchy-Schwarz

V∈∀><⋅><≤>< wvwwvvwv , ,,,, 2 ;

relaţia devine egalitate dacă şi numai dacă v şi w sunt liniar dependenţi. Demonstraţie. Dacă 0 sau , relaţia este evidentă. Fie deci v şi fie un scalar arbitrar. Folosind pozitivitatea produsului scalar, avem

=v 0=w {0}\, V∈wC∈α

)(,0 ααα Ewvwv :>=−−≤< ,

şi . Pentru wvE αα =⇔= 0)(><><

=wwwv

,,

α obţinem deci

0,

,,)(

2

≥><

><−>=<

wwwv

vvE α ,

de unde rezultă inegalitatea. De asemenea, 0)(,,, 2 =α⇔>><=<>< Ewwvvwv><>=<α wwwvw ,/,,

, cu α fixat ca mai sus, deci avem ; reciproc, dacă

, avem

α=v

wαv = 22,, α>=><< wwvv 22 ,,, ><=>α<=>< wvvvvv .

5.2. Vom considera în continuare cazul când V este un spaţiu vectorial real.

Definiţii. a) Fie V un spaţiu vectorial real. Se numeşte produs scalar (real) pe

V, o funcţie R→×>⋅⋅< VV:,

care pentru , are proprietăţile R∈∀∈∀ kwvu ,,, V♦ (simetrie) >>=<< vwwv ,,♦ (aditivitate/distributivitate) ><+>>=<+< wuvuwvu ,,,♦ (omog. în primul argument) >>=<< wkvwvk ,,♦ . (pozitivitate) 00,;0, =⇔>=<≥>< vvvvvb) Un spaţiu vectorial real pe care s-a definit un produs scalar se numeşte

spaţiu vectorial euclidian real. Observaţie. Din aceste proprietăţi decurg relaţiile (temă, verificaţi):

♦ < ><>= wvkkwv ,,♦ < ><+>>=<+ wvwuwvu ,,,♦ < , ∀ , 00,,00,0 >=>=<>=< uu R∈∀∈ kwvu V,,,

deci un produs scalar real este omogen şi aditiv în ambele argumente.

Teoremă. În orice spaţiu euclidian real V este satisfăcută inegalitatea Cauchy-Schwarz

V∈∀>><<≤>< wvwwvvwv , ,,,, 2 . Relaţia devine egalitate dacă şi numai dacă v şi w sunt liniar dependenţi. Algebră liniară 19

Stud

ent W

EB Cop

y

Exemple de spaţii vectoriale euclidiene. 1. Funcţia cu valori reale definită pe spaţiul vectorial V = prin nR

nnnnn yyyyxxxxyxyxyxyx R∈==∀+++>=< ),...,,(),,...,,(,..., 21212211

este un produs scalar pe , determinând o structură de spaţiu euclidian real pe . nR nR 2. Spaţiul vectorial complex V = este un spaţiu vectorial euclidian complex în raport cu produsul scalar

nC

nnnnn yyyyxxxxyxyxyxyx C∈==∀+++>=< ),...,,(),,...,,(,..., 21212211

0

3. Spaţiul euclidian real V = C a al tuturor funcţiilor cu valori reale,

continue pe un interval , cu produsul scalar dat de

b[ , ]

[ , ]a b ∫>==< ∑∞

=

yxyxyxi

ii ,,,1

.

6. Spaţiul euclidian complex V al şirurilor complexe

cu proprietatea că

C⊂= ,...},...,{ 1 nxxx

xii

2

1=

∞

∑ este serie convergentă, cu produsul scalar

V∈∀>=< ∑∞

=

yxyxyxi

ii ,,,1

.

7. Spaţiul euclidian real V al matricilor pătratice , cu produsul scalar

)(RnnM ×

)(,),(, Rnnt MBABATrBA ×∈∀>=< ,

unde am notat prin Tr urma unei matrici pătratice C: )(C)()(,)(

,1,2211 Rnnnjiijnn McCcccCTr ×=∈=∀+++= K .

5.4. Definiţie. Fie V un K-spaţiu vectorial euclidian. Se numeşte normă pe V, o aplicaţie +→ RV: care satisface relaţiile v v≥ ∀ ∈0, V şi v v= ⇔ =0 0 (pozitivitate) kv k v v k= ∀ ∈ ∀ ∈, ,V K (omogenitate) v w v w v w+ ≤ + ∀ ∈, , V (inegalitatea triunghiului). Inegalitatea triunghiului devine egalitate doar v şi w sunt coliniari şi de acelaşi sens. Teoremă. Fie V un K-spaţiu vectorial euclidian. Funcţia +→ RV: ,

definită prin V∈∀><= vvvv ,,

Cap.I. Spaţii vectoriale

20

Stud

ent W

EB Cop

y

este o normă pe V. Norma definită în teoremă se numeşte norma euclidiană. Astfel, orice spaţiu

vectorial euclidian este în particular spaţiu vectorial normat.

Demonstraţie. Presupunem că V este un spaţiu vectorial complex. Inegalitatea implică ( , )v v ≥ 0 v ≥ 0

∀v, cu egalitate dacă şi numai dacă v este vectorul nul. Avem,

de asemenea, pentru : C∈∀∈ k,V

vkvvkvvkvvkkkvkvkv =><=><=><=><= ,,,, 2 .

Inegalitatea triunghiului se demonstrează astfel:

., ,)(2

,,,,,222

2

V∈∀+=++≤

≤><+><+><+>>=<++=<+

wvwvwwvv

wwwvwvvvwvwvwv

unde am ţinut seama de inegalitatea Cauchy-Schwarz ( , )v w v w≤ , şi de inegalitatea V∈∀><>≤<=><+>< wvwvwvwvwv ,,,2,Re2,, .

Exemplu. Norma euclidiană canonică a spaţiului R este dată de 3

V∈=∀++=><= ),,(,, 222 zyxvzyxvvv .

Definiţii. a) Un spaţiu vectorial normat în care norma provine dintr-un produs scalar se numeşte spaţiu prehilbertian. b) Un spaţiu prehilbertian complet (în sensul că orice şir Cauchy de elemente din spaţiu este un şir convergent) se numeşte spaţiu Hilbert. Observaţii. 1. Primele două proprietăţi ale normei asigură că orice element v

din V\{0} poate fi scris în forma v unde v e= , e are proprietatea vv=

1e = 1 şi se

numeşte versorul asociat vectorului nenul v. În general, un vector e cu proprietatea e = 1 se numeşte versor.

2. Fie V un spaţiu vectorial euclidian real. Pentru v w, \ { }∈ V 0 , inegalitatea Cauchy-Schwarz, ,, wvwv ≤>< se poate rescrie sub forma

1,1 ≤><

≤−wvwv ,

dublă inegalitate care justifică următoarea definiţie a unghiului format de doi vectori.

Definiţie. Fie V un spaţiu vectorial euclidian real, şi v doi vectori nenuli din V. Se numeşte unghiul dintre vectorii v şi w, numărul definit de egalitatea

w,θ ∈ [ , ]0 π

wvwv ><

=θ,cos .

Se observă că în definiţie este esenţial să avem . R=KAlgebră liniară 21

Stud

ent W

EB Cop

y

5.5. Definiţie. Fie M o mulţime. Se numeşte distanţă (metrică) pe M, o aplicaţie d , care pentru ∀ satisface relaţiile ( , ):⋅ ⋅ × → +M M R M∈wvu ,,

vuvudvud =⇔=≥ 0),(;0),( (pozitivitate) (simetrie) ),(),( uvdvud = (inegalitatea triunghiului) ),(),(),( vwdwudvud +≤În acest caz spunem că mulţimea M are o structură de spaţiu metric. Teoremă. Fie V un spaţiu vectorial normat. Atunci funcţia reală

definită prin d ( , ):⋅ ⋅ × → +V V RV∈∀−= vuvuvud ,,),(

este o distanţă pe V. Deci orice spaţiu vectorial normat este un spaţiu metric.Dacă norma este

normă euclidiană, atunci distanţa definită cu ajutorul ei se numeşte distanţă euclidiană. Exemplu. Fie P spaţiul euclidian real al funcţiilor polinomiale reale de grad cel mult doi înzestrat cu produsul scalar <⋅,⋅>: ,

2

R→× 22 PP2221100 ,,22, P∈∀++>=< qpbababaqp ,

pentru . Fie vectorii 2210

2210 )(,)( xbxbbxqxaxaaxp ++=++=

22

42

322

1 2)(,1)(,1)(,3)( Pxxpxxxpxxpxxp ∈=−+=−=+= . Aflaţi un vector echidistant faţă de cei patru vectori şi calculaţi distanţă comună. p0

Soluţie. Fie aflăm coeficienţii din condiţia ca distanţele de la acest polinom la celelalte patru, să coincidă,

p x a bx cx02( ) ;= + + a b c, ,

p p p p p p p p1 0 2 0 3 0 4 0− = − = − = − ; obţinem (temă, verificaţi)

15 / 26, 14 / 26, 23/ 26a b c= = = , deci . Distanţa cerută este prin urmare 26/)231415( 2

0 xxp ++=

3 0 3 0 3 0

2 2 229

26 26 26 26

15 14 1262,d p p p p p p − + − + = = − = < − − > =

.

#6. Ortogonalitate. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt 6.1. Definiţii. Fie V un spaţiu vectorial euclidian. a) Doi vectori din V se numesc ortogonali dacă produsul lor scalar este nul. b) O submulţime se numeşte ortogonală dacă vectorii săi sunt ortogonali doi câte doi, adică

S ⊂Vv< wvSwvw ≠∈∀>= ,,,0, .

c) O mulţime ortogonală se numeşte ortonormată dacă fiecare element al său are norma egală cu unitatea.

Stud

ent W

EB Cop

y

Teoremă. Fie V un K-spaţiu euclidian şi S o submulţime din V formată din vectori nenuli. Atunci au loc următoarele afirmaţii: 1) Dacă S este mulţime ortogonală, atunci este liniar independentă. 2) Dacă n iar S conţine exact n vectori, atunci S este o bază a lui V. =Vdim Demonstraţie. 1) Dacă este mulţime ortogonală, iar { }S ⊂V \ 0

0...2211 =+++ ppvkvkvk ,

o combinaţie liniară finită nulă de elemente din S. Aplicând acestei egalităţi de vectori produsul scalar cu v , rezultă j

pjvvkvvkvvk jppjj ,1,0,...,, 2211 ∈>=<++><+>< .

S fiind ortogonală, cele p relaţii obţinute devin egalităţile pjvvk jjj ,1,0, ∈>=< .

Dar vectorii v j sunt nenuli, deci pj , ,∈1

pjvvv jjj ,1,0, ∈≠>=< ,

de unde rezultă k j , şi deci mulţimea S este liniar independentă. p

n

j = ∈0 1, ,

2) rezultă imediat din prima afirmaţie şi din teorema 4.3. Observaţie. În spaţiile vectoriale euclidiene este comod să se exprime vectorii în raport cu baze ortonormate. Faptul că o bază este ortonormată se poate rescrie

B V= ⊂{ , ,..., }e e en1 2

≠=

=>=<jiji

ee ijji pentru,0pentru,1

, δ , i j , n, ,= 1

unde simbolul δ se numeşte simbolul lui Kronecker. ij

Exemplu. În spaţiul vectorial euclidean real V al funcţiilor reale, continue, definite pe intervalul [ , înzestrat cu produsul scalar

],0[0 π= C]0 π

∫π

>=<0

)()(, dxxgxfgf ,

considerăm următoarea submulţime de funcţii trigonometrice S f , cu f f= { , , ,...}0 1 2

. }, (

1,2sin)(,2cos)({}1)({ 2120 ≥==∪== − nnxxfnxxfxfS xn

Mulţimea S este ortogonală, căci temă, verificaţi). Deoarece S nu conţine elementul nul al spaţiului (funcţia identic nulă), rezultă conform teoremei de mai sus că S este liniar independentă. Însă S nu este ortonormată, căci normele vectorilor săi sunt diferite de 1, anume:

N∈≠∀>=< jijiff ji . ,,0C0 0[ , ]π

∈π==

π==

π===

∫

∫

∫

π

π

−

π

*,2/2sin

,2/2cos

,,

0

22

0

212

0000

Nnnxdxf

nxdxf

dxfff

n

n

Stud

ent W

EB Cop

y

Împărţind fiecare funcţie prin norma sa, obţinem mulţimea ortonormată de mai jos: ,...},, 210 gg{g

*,2sin)(,2cos)(,)( 2212120 N∈===

πππ− nnxxgnxxgxg nn .

6.2. Definiţie. Fie V un spaţiu vectorial euclidian şi un vector w∈V \ { }0 . a) Se numeşte proiecţia vectorului v pe w, vectorul ∈V

wwwwvvpr w ><><

=,, .

b) Se numeşte mărimea algebrică a proiecţiei lui v pe w, numărul real ∈V

wwvvprw><

=, ,

unde norma este cea euclidiană asociată produsului scalar considerat. Teoremă. Fie spaţiul vectorial euclidian . Fie o

bază pentru V şi . Au loc următoarele afirmaţii:

nVV = B = { , ,..., }e e en1 2

x x ei ii

n

= ∈=∑

1V

1) Dacă B este bază ortogonală atunci nieeex

xii

ii ,1,

,,

=><><

= .

2) Dacă B este bază ortonormată, atunci niexx ii ,1,, =>=< . Demonstraţie. 1) Orice vector x se descompune relativ la baza B, deci

. Înmulţind scalar această relaţie cu vectorul

n∈V

x x j jj

n

==∑

1e e i , obţinem ni , ,= 1

nieeex

xeexeexexii

ii

n

jiiiijji ,1,

,,

,,,1

=><><

=⇒><>=<>=< ∑=

.

2) Dacă baza { } este ortonormată, atunci ,

ei i n=1niexxee iiii ,1,,1, =>=<⇒>=< .

Observaţie. În cazul al doilea din teoremă, orice vector admite

reprezentarea unică . Coordonatele

x n∈V

∑=

><=n

iii eexx

1, nexx ii ,,= ale

vectorului x reprezintă exact mărimile algebrice ale proiecţiilor vectorului x (pe scurt, proiecţii) pe versorii e şi se numesc coordonate euclidiene. i

6.3. Teoremă. Fie este un spaţiu vectorial euclidian complex şi

este o bază ortonormată în V ; atunci nV

B = { , ,..., }e e en1 2 n

1) produsul scalar a doi vectori are expresia nVyx, ∈

∑=

>=<n

jjj yxyx

1, , unde njeyyexx jjjj ,1,,,, =>=<>=< ;

2) norma satisface relaţia x x . jj

n2 2

1=

=∑

Stud

ent W

EB Cop

y

Demonstraţie. 1) Baza fiind ortonormată, avem ; fie ijji ee δ>=< ,

∑=

=n

jjjexx

1

, . n

n

jjjeyy V∈= ∑

=1

Folosind proprietăţile produsului scalar, obţinem

∑∑ ∑∑∑∑ ∑= = == == =

=>=<=>=<n

j

n

k

n

jjjjkkj

n

j

n

kkjkj

n

j

n

kkkjj yxyxeeyxeyexyx

1 1 11 11 1,,, δ .

2) Înlocuind în expresia produsului scalar, rezultă relaţia. xy = 6.4. Definiţii. Fie V un spaţiu vectorial euclidian şi S o submulţime a sa.

a) Un vector din V se numeşte ortogonal lui S dacă este ortogonal pe fiecare element din S.

b) Mulţimea tuturor vectorilor ortogonali relativ la submulţimea S se numeşte “S ortogonal” şi se notează cu S . Se observă că S este un subspaţiu vectorial al lui V, indiferent dacă S este sau nu un subspaţiu al lui V.

⊥ ⊥

c) În cazul când S este un subspaţiu vectorial, subspaţiul vectorial S se numeşte complementul ortogonal al lui S.

⊥

Teoremă. Fie V un spaţiu vectorial euclidian şi un subspaţiu vectorial n- dimensional al lui V; atunci:

nWW =

1) Are loc descompunerea în sumă directă . ⊥⊕WWV = 2) Fie . Atunci vectorul v satisface relaţia

(numită şi teorema Pitagora) V∈v , ⊥⊥ ⊕=∈+= WWVwwv

v w w2 2 2= + ⊥ .

Vectorul w din descompunerea de mai sus se numeşte proiecţia vectorului pe subspaţiul al lui V. În cazul când subspaţiul este finit-dimensional, acesta este dat de suma proiecţiilor sale pe vectorii unei baze ortogonale a subspaţiului.

V∈v W

Demonstraţie. 1) Fie o bază ortonormată a lui W şi fie B = { , ,..., }e e en1 2 n

∑=

><=n

iii eevw

1

,

proiecţia vectorului v pe subspaţiul W . Notând w v rezultă ∈V n w⊥ = −>=<−><=>< ⊥ wwwvww ,,,

=><><−><= ∑ ∑∑= ==

n

i

n

jjjii

n

iii eeveeveevv

1 11,,,,

∑ ∑∑= = =

>=><><<−><=n

i

n

i

n

jjiiii eeevevev

1 1 1

2 ,,,,

∑ ∑∑= = =

=δ>><<−><=n

i

n

i

n

jijjii evevev

1 1 1

2 0,,,

şi deci . Exprimarea unică arată că ⊥⊥ ∈Ww ⊥+= wwv ⊥⊕WWV = . 2) Teorema Pitagora rezultă din următoarele egalităţi:

Stud

ent W

EB Cop

y

>=++>=<=< ⊥⊥ wwwwvvv ,,2

22,,2, ⊥⊥⊥⊥ +>=<+><+>=< wwwwwwww .

Fie în continuare V un spaţiu vectorial euclidian. Vom arăta că din orice mulţime liniar independentă de vectori S din V se poate construi o mulţime ortonormată S ' (mulţime ortogonală ai cărei vectori au norma egală cu 1) care să genereze L(S). Această mulţime ortonormată rezultă prin normarea vectorilor unei mulţimi ortogonale S ". Modul de obţinere al mulţimii orogonale S ", cunoscut sub numele de procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt, este descris în cele ce urmează. 6.5. Teoremă. Fie V un spaţiu vectorial euclidian de dimensiune n , iar

o bază a lui V. Atunci există o bază care are următoarele proprietăţi:

},...,,{ 21 nvvv=B },...,,{ 21 neee=′B

a) baza este B′ ortonormată ; b) mulţimile { , şi { ,..., }v v vk1 2 , ,..., }e e ek1 2 generează acelaşi subspaţiu vectorial

W Vk kL v v v L e e e= =({ , ,..., }) ({ , ,..., })1 2 1 2 k ⊂ pentru fiecare k n. ∈1, Demonstraţie. Mai întâi construim o mulţime ortogonală ce satisface proprietatea b), şi apoi îi normăm elementele. Mulţimea ortogonală

se construieşte din { în felul următor:

}

1

,...,,{ 21 nwww=′′B

{ , ,..., }w w wn1 2 , ,..., }v v vn1 2

♦ Se consideră w v . 1 1=♦ Se alege w v . Vectorul w nu este zero deoarece ind(B) ⇒ . Se determină k din condiţia ca w să fie ortogonal lui w , adică

kw2 2= + 2 ind{ , }v v1 2

2 1

><><

−=⇒><><

−=>⇒+>=<=<11

12

11

1211212 ,

,,,,,0

wwwvk

wwwvkwkwvww

de unde rezultă

222 1vprvw w−= .

♦ Vectorul w este luat de forma w v ; el este nenul deoarece ind(B) ind{ . Scalarii k sunt determinaţi din condiţiile ca w să fie ortogonal

lui w şi lui w ,

3

,1 2

k w k w3 3 1 1 2= + + 2

2⇒ , }v v v3

1 2

k1 , 3

><><

−=

><><

−=

⇒

><+>>==<><+>>=<=<

22

232

11

131

2222323

1111313

,,,,

,,(,0,,,0

wwwvk

wwwvk

wwkwvwwwwkwvww

şi deci 222

231

11

1333 ,

,,, w

wwwvw

wwwv

vw><><

−><><

−= , adică 3333 21vprvprvw ww −−= .

Repetăm procedeul până obţinem o mulţime de n vectori ortogonali },...,,{ 21 nwww=′′B .

Stud

ent W

EB Cop

y

Se observă că procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt descris mai sus poate fi sintetizat astfel:

−−−−=

−−=

−=

=

− nwnwnwnn

ww

w

vprvprvprvw

vprvprvw

vprvw

vw

n 121

21

1

...

.......................................

,

3333

222

11

deci fiecare vector se construieşte scăzând din omologul său proiecţiile acestuia pe vectorii { anterior determinaţi. Mulţimea ortonormată

se obţine prin normarea vectorilor bazei ,

kw kv},, 11 −kww K

},...,,{ 21 neee=′B B ′′

ew

wi ni

i

i

= =, ,1 .

Din modul de obţinere a noii baze B din baza B, rezultă relaţiile ′ ,},...,,{},...,,{ 2121 kkk eeeLvvvL ==W k n. ∈1,

Observaţie. Teorema se poate aplica şi pentru B = S = familie liniar independentă din V. Cum S este bază pentru L(S), procedeul Gram-Schmidt produce o nouă bază (ortogonală !) =S' a subspaţiului vectorial L(S). B′ Exemplu. Determinaţi baza ortonormată asociată bazei B a spaţiului canonic cu trei dimensiuni R , unde

B′3

3321 )}1,1,0(),2,1,1(),1,0,1({ R⊂−==−== vvvB .

Soluţie. Utilizând procedeul Gram-Schmidt, construim o bază ortogonală formată din vectorii },,{ 321 www=′′B

( )

( )11/4;11/12;11/4)2/3;1;2/3(2/112/1)1,0,1(

2)1()1,1,0(=

,,

,,

2/3;1;2/3)1,0,1(21)2,1,1(

,,

)1,0,1(

222

231

11

1333

111

1222

11

−−=−

−−−

−−

=><><

−><><

−=

=−−=><><

−=

−==

wwwwvw

wwwvvw

wwwwvvw

vw

Împărţim fiecare vector din baza ortogonală prin norma sa şi obţinem o bază

ortonormată } formată din vectorii ,,{ 321 eee ′′′=′B

−==′

21,0,

21

1

11 w

we ,

223,

222,

223

==′

2

22 w

we şi

−

==′111,

113,

111

3

33 w

we .

Stud

ent W

EB Cop

y

Observaţie. O simplificare considerabilă a calculului, care conduce la o bază ortogonală cu proprietăţi similare, şi în final la baza ortonormată , este următoarea: după ortogonalizare, deci după determinarea celor trei vectori ai bazei

, aceştia pot fi înlocuiţi prin multipli convenabili ai lor. Acest fapt nu influenţează rezultatul, deoarece au loc următoarele proprietăţi:

B ′′ B′

B′

1. R=∈∀∈∀>=<⇒>=< KV kvukvuvu n ,,,0,0, ;

2. R=∈∀∈∀= KV lkvukupr nlvv ,,,, ,uprkl adică, pe scurt, pentru un sistem ortogonal dat, orice alt sistem format din multipli nenuli ai vectorilor acestuia este tot ortogonal. În cazul nostru putem înlocui, spre exemplu, prin amplificările indicate:

−=→−−=

=→=

−=→−=

−⋅

⋅

−⋅

)1,3,1( )11/4;11/12;11/4(

)3,2,3( )2/3;1;2/3(

)1,0,1( )1,0,1(

3)4/11(3

222

1)1(1

ww

ww

ww

Observăm că sistemul B conduce la baza ortonormată

, ce satisface proprietăţile teoremei 8.1. } ,,{ 321 www=′′

},,{ 321 eee −−=′B

6.6. Considerând cazul infinit dimensional, generalizăm teorema 6.5 astfel:

Teoremă. Fie B={ , o mulţime finită sau infinită în spaţiul vectorial euclidian V şi fie L subspaţiul generat de primii k vectori ai acestei mulţimi.

,...}v v1 2 ⊂V( ,...,v vk1 )

Atunci există o mulţime B astfel încât: V⊂=′ ,...},{ 21 ww 1) vectorul w este ortogonal pe ,∀ ∈ k L v v vk( , ,..., )1 2 1− k N 2) ,∀ ∈ L L{ ,..., } { ,..., }w w v vk k1 1= k N 3) vectorii w w cu proprietăţile 1) şi 2) sunt unic determinaţi, abstracţie 1 2, ,... făcând de sens (de o posibilă amplificare cu -1). Observaţie Vectorii w w din teoremă sunt determinaţi recursiv prin relaţiile:

wk1 2, ,...,

1,1 ,,1

11111 −=−== ∑=

+++ krvprvwvwr

irwrr i

pentru . Din mulţimea ortogonală se poate obţine mulţimea

ortonormată

k ∈ N { , ,...}w w1 2

,...2

2,1

1w

w

w

w

, ai cărei vectori au proprietăţile 1) şi 2) din teoremă, şi

sunt unic determinaţi, abstracţie făcând de semn.

Stud

ent W

EB Cop

y

Exerciţiu. Fie V spaţiul vectorial euclidian al funcţiilor polinomiale reale definite pe intervalul [ , cu produsul scalar dat de , ]−11

V∈∀>=< ∫− wvdttwtvwv ,,)()(,1

1.

Aplicaţi procedeul Gram-Schmidt bazei canonice v t . VB ⊂= ∈Nnnv }{ , t nnn( ) ,= ∈ N

Soluţie. Aplicând acestei baze, procedeul Gram-Schmidt, obţinem baza

ortogonală B' formată din polinoamele Legendre, = ∈{ }wn n N

,...)1()!2(

!)(,...,53)(,

31)(,)(,1)( 23

32

210n

n

n

n tdtd

nntwtttwttwttwtw −=−=−===

#7. Probleme propuse 1. Fie mulţimea pe care definim operaţiile 3R (i) =+ yx , 3

332211 ,),,,( R∈∀+++ yxyxyxyx (ii) x y , x y x y x y x y+ = + + − ∀ ∈( , , ), ,1 1 2 2 3 3

3R (iii) (=kx , 3

31 ,),,0, RR ∈∀∈∀ xkkxkx (iv) (=kx . 3

321 ,),,, RR ∈∀∈∀ xkkxkxkx a) Formează un spaţiu vectorial real faţă de operaţiile (i) şi (iii)? 3R b) Dar faţă de (i) şi (iv) ? c) Dar faţă de (ii) şi (iv) ? R: a) nu; b) da; c) nu.

2. Determinaţi dacă mulţimile următoare reprezintă spaţii vectoriale cu operaţiile de adunare a vectorilor şi înmulţire cu scalari descrise alăturat

a) ( , ),,2 ⊗⊕= RV

∈∀∈∀⋅=⊗

⊕

.)()(),0()()()()(

22121121

22112121

RR λ,,yy, ,xx,xλ,xxλ|+|y,x+yx=,yy ,xx

b) ),},4][{( RRV ⋅+=∈= pgradXp .

c) ),},2][{][2 RRRV ⋅+≤∈≡= pgradXpX( .

d) ,),(:{),(( 2 fbaffbaC RV →== derivabilă de 2 ori, continuă }, , f ′′ ), R⋅+

∈λ∀∈∀∈∀λ=λ+=+

RV,,),,(),())(()()())((

gfbaxxfxfxgxfxgf

R: a) nu, b) nu, c) da, d) da. 3. a) Să se arate că mulţimea tuturor şirurilor convergente cu trermeni din K ( K ∈ { , }R C ) formează un spaţiu vectorial peste K relativ la adunarea a două şiruri şi înmulţirea dintre un număr şi un şir. b) Să se stabilească dacă mulţimea V a tuturor funcţiilor reale de clasă C pe

este spaţiu vectorial real în raport cu adunarea funcţiilor şi înmulţirea dintre un număr şi o funcţie, descrise prin

k

U R⊂ n

Stud

ent W

EB Cop

y

(

( )( ) ( ) ( )

)( ) ( ), , ,

f g x f x g x

kf x kf x k f g

+ = += ∀ ∈ ∀ R V∈

c) Arătaţi că mulţimea V a funcţiilor integrabile pe , este un spaţiu vectorial real în raport cu operaţiile descrise mai sus.

R∈< baba ],,[

R: b) da. 4. Fie V un spaţiu vectorial real. Pe definim operaţiile V V× ( , ) ( , ) ( , )u v x y u x v y+ = + + ( )( , ) ( , ),a ib u v au bv bu av a ib u v x y+ = − + ∀ + ∈ ∀C, , , , V∈ . Să se arate că este un spaţiu vectorial peste C (acest spaţiu se numeşte complexificatul lui V şi îl notăm cu C ).

V V×V

5. Să se verifice care dintre următoarele submulţimi W reprezintă subspaţii vectoriale în spaţiile vectoriale specificate :

a) 22121 }0),{( R⊂=−+= axxxxW ,

b) W , ][][ 42 XX RR ⊂=c) toate polinoamele cu coeficienţi reali în

nedeterminata X. ≡⊂= ][][3 XXW RR

d) ][}0)1()1(][{ XppXRp R⊂=−+∈=W

e) ][}1)0(][ XpXRp R⊂=∈{W = .

R. a) da , b) da, c) da, d) da, e) nu. 0=⇔ a 6. Să se stabilească dacă mulţimile ][][{ XqXpA nn RR ∈∃∈= , a.î. }),2()12()( R∈∀−+= xqxqxp

B p X p x p x xn= ∈ = + ∀ ∈{ [ ] ( ) ( ) ,R R3 72 }

]

sunt subspaţii vectoriale ale spaţiului vectorial R al polinoamelor cu coeficienţi reali, de grad cel mult n .

n X[

R: a) da, b) nu. 7. Considerăm subspaţiile vectoriale V (unde este o familie arbitrară de indici) ale spaţiului vectorial V .

Λ∈ii , Λ

Să se arate că este subspaţiu vectorial al lui V . iiV

Λ∈∩

8. Fie un interval real şi mulţimile: R⊂= ),( baIi) Mulţimea funcţiilor continue pe I ,

fIfIC R→= :{)(0 continuă pe I },

ii) Mulţimea funcţiilor diferenţiabile de clasă pe I ( ), kC *N∈kfIfIC k R→= :{)( derivabilă de k ori pe I, cu continuă pe I }, )(kf

iii) Mulţimea funcţiilor diferenţiabile de clasă pe I , ∞CfIfIC R→=∞ :{)( derivabilă de k ori pe I, }. N∈∀ k

Stud

ent W

EB Cop

y

Arătaţi că: a) C şi C formează spaţii vectoriale reale cu operaţiile )(),(0 ICI k )(I∞

.),())((),()())(( Ixxfxfxgxfxgf ∈∀λ=λ+=+ b) este subspaţiu vectorial în )(IC∞ N∈∀kIC k ),( ;c) este subspaţiu vectorial în )(IC k N∈≥∀ lkIC l ),( ;d) . )()( ICIC k

k N∈

∞ ∩=

9. Fie două familii de vectori. Arătaţi că: VSS ⊂′,a) ; )(SLS ⊂b) ; )()()( SLSLSLS ′⊂⇒′⊂c) Dacă S este subspaţiu vectorial al lui V, atunci ; SSL =)(d) ; WSL

WVWS

subsp.vec.

)(⊂⊂

= I

e) ; )()()( SLSLSSL ′+=′∪f) Dacă , atunci ; SS ′⊂ )()( SindSind ⇒′g) Dacă , atunci . SS ′⊂ )()( SdepSdep ′⇒

10. Să se cerceteze dacă vectorul este o combinaţie liniară a vectorilor u u

4)3,0,2,1( R∈−=vu31 2 1 2 1− = −, , ), ( , ,1 23 9 4 2 2 3 0= − − =( , , , ), ( , , ).

3R: da, v u . u u= − +1 23 2

11. Să se determine dacă următoarele familii de vectori sunt dependente sau independente liniar. În cazul dependenţei liniare indicaţi o relaţie de dependenţă .

a) v , 3321 )2,0,1(),1,1,1(),0,2,1( R∈−−=== vv

b) , ][][3,1,1 22

32

21 XXxxpxxpxp RR ⊂∈++=+−=+=

c) , unde )(exp,, 321 R∞∈=== CfshfchffffC ,:{)( RRR →≡∞ derivabilă de oricâte ori pe R },

d) , )(1111

,0000

,1011

,2001

24321 RMmmmm ∈

=

=

=

=

e) )(},cos)({ RN ∞⊂∈== CnxxffS nnn .

R. a) , b) , 321321 2},,,{ v v vvv vdep += pp pp p pdep 213321 2},,,{ += c) , f fff f fdep 213321 },,,{ += d) , e) ind . 00100},,,,{ 43214321 =⋅+⋅+⋅+⋅ mmmmmmm mdep S 12. Să se stabilească care dintre următoarele submulţimi ale spaţiului vectorial

sunt liniar dependente / liniar independente: C∞ ( )RS x x S e e ch x S e xe x ex x x x n x= = =− −{ ,cos ,cos }, ' { , , }, " { , ,..., }.1 2 2 1

R: dep(S): − ⋅ ; dep(S’): 1 1 ; ind(S”). − ⋅ + ⋅ =1 1 1 2 2 02cos cosx x 02⋅ + ⋅ − ⋅ =−e e xx x ch

Algebră liniară

31

Stud

ent W

EB Cop

y

13. Să se arate că familia de polinoame S = { este o mulţime liniar independentă, unde este spaţiul tuturor polinoamelor în nedeterminata , cu coeficienţi în corpul K..

, , ,..., ,...} [1 2X X X Xn ⊂ K ]][XK

X

14. Să se determine dacă următoarele familii de vectori reprezintă sau nu baze în spaţiile vectoriale indicate :

a) n

kkk nkee R⊂=≡

↑},1),0,...,0,1,0,...,0,0({ ,

b) )(},1;,1,)(,1;,1

Rnmnlmkjlikijij Mnjmie ×==⊂==δδ≡{ e ,

c) ][},0 XnkX nk R⊂={ ,

d) }0)({}sin, 2 =+′′=⊂ yaytfyatat{cos , unde . *R∈a

R. a) da, b) da, c) da, d) da. 15. Determinaţi dacă următoarele familii de vectori din determină baze. În caz afirmativ, determinaţi descompunerea vectorului v relativ la baza respectivă (coeficienţii vectorului v relativ la baza ).

4R

},,,{ 4321 vvvv=′Ba) v , ( ) ( ) ( ) ( ) )5,2,1,5(,1,1,0,0,0,0,2,0,1,0,1,1,0,0,1,1 4321

ttttt vvvv ===−==

b) , )1,1,2,1();1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1( 4321ttttt vvvvv =−−=−−=−−==

c) v . )1,0,0,0();1,1,1,0(),0,0,1,1(),1,3,1,2(),1,0,1,1( 4321ttttt vvvv =−−====

R. În toate cele trei cazuri, , deci cei 4 vectori sunt linear independenţi în spaţiul vectorial de dimensiune 4, ; prin urmare, baze.

0],,,det[ 4321 ≠vvvvR 4

a) Coeficienţii relativ la noua bază sunt [ . b) . c) t .

)2,2,3,2( ] tv =′B )4/1,4/1,4/1,4/5( −−t

)0,1,0,1( − 16. Aflaţi câte o bază a subspaţiului W, şi dimensiunea acestuia, unde:

a) , 4)})0,3,1,1(),1,0,2,1(),1,3,1,2(({ R⊂−−==== wvuLWb) , )3,5,1,2,4(),1,1,0,1,1(),1,3,1,0,2(({ 321 −=−=−== vvvLW

54 )})5,9,2,3,1( R⊂−−=v ,

c) ),1,3,5,4(),1,3,1,1(),1,3,1,2(({ −=−−=−== cbaLW4)})1,3,5,1( R⊂−=d ,

d) )(,,,;3,0

032 RR ×⊂

∈−=

== Mvuyxvuy

vuyx

AAW .

R. În cazurile a, b, c minorul care dă rangul matricii formate din coeficienţii vectorilor generatori (aşezaţi pe coloane, spre exemplu), determină o familie liniar independentă de generatori ai spaţiului W, deci o bază. a) . b) . c) . d) Rezolvăm sistemul (format dintr-o singură ecuaţie) iar generatorii soluţiilor sistemului sunt vectori linear independenţi; aceştia formează deci baza

},{ vu=WB},{ 21 vv=WB },{ ba=WB

BW =

−

1 0 00 0 0

0 0 11 0 0

0 0 30 1 0, , .


Stud

ent W

EB Cop

y

17. Dându-se subspaţiile W şi U generate respectiv de vectorii w , , , să se arate că

aceste subspaţii sunt suplimentare şi să se găsească descompunerea vectorului pe aceste subspaţii.

1 2 3115= ( , , , ))1,1,1,0(),2,5,1,1( 32 == ww

v = ( , , , )2 0 0 3

)2,6,2,5(),4,3,1,1(),2,3,1,2( 321 === uuu

R: v u . u w w= + + − + ∈ +( ) ( )1 2 1 2 U W

18. Fie S f o mulţime de funcţii. f f Cn= ⊂ ∞{ , ,..., } ( )1 2 RSe numeşte wronskianul funcţiilor , determinantul f f fn1 2, ,...,

w S f i nji( ) det[ ], ,( )= =−1 1 ,

unde am notat f f jj j( ) ,0 1= ∀ = n, . Să se arate că:

a) dacă dep(S) atunci w(S)=0 (echivalent, ); SSw ind0)( ⇒≠

b) reciproca proprietăţii a) nu este adevărată; 19. Se dau subspaţiile vectoriale U şi W ale lui . În situaţiile de mai jos, să se determine câte o bază în subspaţiile U , W , U , U şi să se verifice relaţia

3R∩W+ W

dim U + dim W = dim (U ) + dim (U ), W+ W∩

a) , )})1,1,0,1(),1,1,1,3(),2,1,2,1(({ 321 −−==−−== fffLU4

21 )})3,7,2,1(),5,6,5,2(({ R⊂−−−=−−== ggLW , b) , )})1,1,1,1(),0,1,2,1(({ 21 −=== ffLU

421 )})1,3,1,1(),1,0,1,2(({ R⊂−=−−== ggLW ,

c) , )})1,1,10(),0,0,1,1(({ 21 === ffLU4

21 )})0,1,1,0(),1,1,0,0(({ R⊂=== ggLW , d) }02),,{( =−+= zyxzyxU ,

3321 )})2,2,3(),0,0,1(),1,1,1(({ R⊂==== wwwLW ,

R. a) U , 3+2=3+2. },,{},,{, 12121 fgggg ====∩ +WUUW BBBWWb) , 2+2=1+3. c) U ; subspaţiile U şi W sunt suplementare; 2+2=0+4. d) ,

},,{},,{},,{)},4,3,2,5({ 1111 gfugufuu ===−−−== +∩ WUWUWU BBBB4

2121 },,{},,{},0{ R=+===∩ WUBBW WU ggff)},0,1,1(),1,0,2({ 21 vv =−=== VU BB },{ 21 ww

)}1,1,1({;},,,{ 3212 ===+= ∩+ wwwv WUWU BWUB R , 2+2=3+1.

20. Să se găsească o bază a sumei şi o bază a intersecţiei subspaţiilor vectoriale U= şi W = , unde L u u u({ , , })1 2 3 L w w w({ , , })1 2 3

).2,0,6(),0,1,0(),1,3,3();0,2,1(),1,1,1(),1,1,2(

321

321

==−=−==−=

wwwuuu

.

R. . };{},,{},,{ 12121 wBwwuu === ∩WUWU BB )(},,,{ 3221 R=+=+ WUWU wuuB

Algebră liniară

33

Stud

ent W

EB Cop

y

21. Să se completeze familia F de mai jos la o bază a spaţiului vectorial corespunzător . Verificaţi în prealabil liniar independenţa sistemului F a) 3

21 )}1,1,0(),1,1,1({ R⊂−=== vvF b) . ][}1,{ 3

32

21 XxpxxpF R⊂−=−==

R. a) B , b) B . )}0,0,1(,,{ 3213 == vvvR },,,{ 24

3321][3

xpxpppX ===R

22. Să se arate că dacă sunt subspaţii vectoriale în V, atunci are loc relaţia U .

VUUU ⊂321 ,,

321 )( UUU ∩+=321 )( UU ∩+

23. Arătaţi că , unde b arbitrar fixat, iar baa

C UU ⊕⊕=∈

)(]1,0[0

R]1,0[∈

]}1,0[,)(]1,0[{ 0 ∈∀=∈= xaxfCfaU , }0)(]1,0[{ 0 =∈= bfCfbU .

24. Fie un polinom fixat. Arătaţi că }0{\][0 Xp R∈

} divide ][{} grad][{][ 0 ppXpnpXpX RRR ∈⊕≤∈= .

25. Fie spaţiul vectorial real al polinoamelor în cos care au cel mult gradul 4. Să se scrie transformarea de coordonate care permite trecerea de la baza

la baza B şi să se găsească inversa acestei transformări.

V5

,cx x

x

,cos{ }B = 1 2 3 4,cos ,cos os ,cosx x 4

2

{ }′ = 1 2 3,cos ,cos ,cosx x x x

R: ', unde C ; matricea transformării inverse este

C

X CX=

X C'=

−−

−

=

800000400080200

0301010101

-1 iar . X−1

26. Să se arate că următoarele familii de vectori B si B sunt baze în spaţiul vectorial specificat şi să se determine matricea de trecere de la baza la B (notată

) şi coordonatele vectorului v (exprimat în baza canonică) relativ la baza

′ ′′B′ ′′

BB ′′′C B′

)7,3,1(;)}0,0,1(),0,1,1(),1,1,1({

)}0,1,1(),1,0,1(),1,0,1({ a)3

321

3321

−=⊂====′′

⊂=−===′

vgggfff

ttt

ttt

RBRB

2

1 2 3 22 2 2

1 2 3 2

b) { 1 , 1 , 1} [ ]

{ 1 , , 1 } [ ]; 1

q x q x q Xr x x r x r x X v x x

′ = = + = − = ⊂

′′ = = + + = = + ⊂ = − +

B RB R

R: a) ; [ . ],,[],,,[, 321321

1 gggCfffCCCC =′′=′′′′= −′′′BB )7,3,1(] 1 −⋅′= −

′tCv B

b) ; [ . 11 1 1 1 0 1

0 0 1 01 0 1 1

, 1 , 00 1

C C C C C−′ ′′

−

′ ′′ ′ ′′= = =

B B

)1,1,1(] 1 −⋅′= −′

tCv B


Stud

ent W

EB Cop

y

27. Fie spaţiul vectorial complex n -dimensional C şi fie trecerea în real a lui C . Ştiind că oricărui vector z din C îi corespunde vectorul ( din , să se stabilească vectorul din

care este asociat lui iz .

n

ib+2

RCibn +

n

n a ib a a n= +( , ,..., )1 1 2

)bn nR nC

n

, ,..., , , ,a a a b b1 2 1 2 ...,R nCR: ( . , ,..., , , ,..., )− − −b b b a a an n1 2 1 2

28. Să se arate că aplicaţiile definite prin formulele RRR →× ][][:)(, XX nn

a) >==<n

kn

n

k

kk

kk

n

kkk XXbqXapba

kqp

0 00

][,,!

1, R ,

sunt respectiv produse scalare. Pentru n , să se calculeze unghiul dintre polinoamele p şi q faţă de produsul scalar (1), respectiv (2), unde

≥ 2

p X q X X n= − + = − + ∈3 4 2 3 32 2, [R X ]. R: a) , b) . 6, >=< qp 0, >=< qp 29. Determinaţi dacă următoarele operaţii reprezintă produse scalare:

a) < 22211 ,,, R∈∀+>= yxyaxyxyx

b) . 221 ,,, C∈∀>=< vuvuvu

R: a) , b) nu. 0>⇔ ada 30. Să se verifice că următoarele operaţii determină produse scalare pe spaţiile vectoriale specificate:

a) < 3332211 ,,, R∈∀++>= yxyxyxyxyx

b) 22211 ,,, C∈∀+>=< yxyxyxyx

c) fbaffbaCgfdttgtfgfb

a,],[:{],[,,)()(, 0 R→=∈∀>= ∫< continuă }

d) ]1,1[][,,)()(, 022

1

1−⊂≡∈∀>=< ∫− CPXqpdttqtpqp R

][,

,, e)

22

2102

210

221100

Xxqxqqqxpxppp

qpqpqpqp

R∈++=++=∀

++>=<

f) , unde )(,),(, 2 RMBABATrBA t ∈∀>=<)()(,)( ,,1,11 Rnnjiijnn McCccCTr ∈=∀++= = KK

31. Folosind produsele scalare canonice din exerciţiul precedent, pentru fiecare din cazurile următoare să se calculeze:

♦ normele celor doi vectori; ♦ pentru punctele a, c, d, e, f, unghiul celor doi vectori;

Stud

ent W

EB Cop

y

♦ determinaţi dacă cei doi vectori sunt ortogonali; ♦ aflaţi proiecţia celui de-al doilea vector pe primul.

a) u . 3)1,3,1(),1,2,1( R∈−=−= vb) 2)2,1(),,1( C∈−=+= iviiu .c) . ]1,0[,;)(,)( 0Cgfexgexf xx ∈== −

d) . 221,1 Pxqxp ∈−=+=

e) . ][1,1 22 Xxqxp R∈−=+=

f) . )(1101

,1101

2 RMBA ∈

−

=

=

R. Temă: b,c,d,e,f. a) 4,,11,6 >=<== vuvu , deci u nu este ortogonal pe v;

[ ]

−=π∈=∠≡ϕ

32,

34,

32;,0

664arccos),( vprvu u .

32. Ortonormaţi următoarele familii de vectori folosind produsele scalare

canonice (sau cele indicate, după caz) ale spaţiilor vectoriale considerate:

a) , 3321 })1,0,0(,)1,0,1(),0,1,1({ R⊂==== vvvF

b) , unde ][ },1,1{ 22

32

21 xxxpxpxpF R⊂+=−=+==

]1,1[][,,)()(, 022

1

1

−⊂≡∈∀>=< ∫−

CPxqpdttqtpqp R

c) . 3321 i)}i,(0,(1,1,-i),i,0,1),(1{ C⊂==+== vvvF

R. Temă. b,c). a) În urma ortogonalizării (Gram-Schmidt) şi normării familiei F, rezultă baza ortonormată:

−=−==3

1,

3

1,

3

1,

6

2,

6

1,

6

1,0,

2

1,

2

1321 ggg .

33. Aflaţi o familie ortonormată de soluţii ale sistemului liniar

=−−+=+−−

0203

vzyxvzyx

.

R. Se rezolvă sistemul,se află o bază în spaţiul soluţiilor, se ortogonalizează şi apoi se normează această bază. Spre exemplu, o asemenea bază ortonormată este

)17,8,12,1(),1,2,0,1(498

1

6

121 =−= vv .

34. Completaţi următorul sistem de vectori la o bază ortogonală, verificând în prealabil că aceasta este formată din vectori ortogonali

321 })1,1,1(),1,1,2({ R⊂−−=−== vvF .

R. . }{\))1,1,0((},,,{ 3321 0B =∈∀=′ vLvvvv

Stud

ent W

EB Cop

y

35. Fie spaţiul vectorial euclidian real V cu produsul scalar dat de = C0 0 4[ , ]

V∈∀>=< ∫ gfdxxgxfgf ,,)()(,4

0.

a) Să se scrie inegalitatea lui Cauchy-Schwarz pentru acest produs scalar. b) Să se calculeze d f g( , ) şi g , unde

f x g xx x

x x( ) , ( )

, [

, ( ,= =

∈− ∈

10 2

2 2

, ]

].4

)

R: a) ( ) ; ( )(f x g x x f x x g x x( ) ( )d ( )d ( )d 0

4

0

4

0

4∫ ∫ ∫≤2

2 2

b) d f . g g( , ) / ; /= =2 13 3 4 3

36. Determinaţi proiecţia ortogonală vprv W=′ a vectorului v pe subspaţiul W precum şi componenta sa ortogonală a vectorului relativ la subspaţiul W, în fiecare din următoarele cazuri:

⊥v

a) v ; 3

21 )}1,1,0(),0,1,0(({),2,0,1( R⊂==== wwLWb) , )(),1,1,1( SLWv =−= ; 3

321 )}2,2,3(),0,1,1(),2,0,1({ R⊂−==−== wwwS

c) v ; ][})1,1({,1 22

21 xxpxpLWxpnot

R⊂−=−==+==d) 3}0),,{(),1,1,1( R⊂=−+=−= zyxzyxWv ;

e) v . 421 )}0,3,1,1(),1,1,1,2(({),2,2,2,5( R⊂=−==−= wwLW

R. Temă: a,c. b) , 56/45) 5/45; (-23/45; ==′ vprv W

11/45)- 10/9;- (68/45; =′−=⊥ vvv . d) W ,, )}0,1,1(),1,0,1({( −= L)}1,2,1(),1,0,1({ 21, −−=== wwB Wortog , deci )0,0,0(

21=+=′ vprvprv ww

)1,1,1(, −==⊥ ⊥ vvWv . e) v . )4,1,1,2(,)(3,1,-1,-2 −===′ ⊥vvprW

37. Determinaţi complementul ortogonal W al subspaţiului vectorial W, unde W .

⊥

421 )}1,1,1,1(),0,0,1,1(({ R⊂−=== wwL

R. W . )}1,1,0,0(),0,2,1,1({( −−=⊥ L 38. Se dă familia de vectori B = { , din spaţiul vectorial euclidian canonic cu trei dimensiuni R

, }v v v1 2 3

1 22 0= =, ), (3, unde v v . v31 0 1 1 11 0− = −( , , , ), ( , , )

a) Arătaţi că B este o bază a spaţiului R3 . b) Să se ortonormeze baza B. R: b) Se obţine baza ortonormată

′′′=′

−=′

−=′=′

11

2,

22

3,

22

33,

11

3,

11

1,

11

12,0,

2

1,

2

11},,,{ 321 eeeeeeB .

Stud

ent W

EB Cop

y

39. Fie spaţiul vectorial euclidian V al funcţiilor polinomiale definite pe intervalul [ , cu produsul scalar definit prin aplicaţia ,−11]

∫−>=<1

1d)()(, xxqxpqp .

Ortogonalizând mulţimea S x x xn= { , , ,..., ,...}1 2 se obţine familia a polinoamelor Legendre. Să se afle primele cinci polinoame ale acestei familii.

S ′

R: Sxxxxxxxxx ′⊂

+−+−−−

215

910,

353

76,

53,

31,,1 352432 .

40. Fie V un spaţiu vectorial euclidean real şi doi vectori . Să se

verifice următoarele proprietăţi: V∈yx,

a) 222 yxyxyx +=+⇔⊥ ,

b) )()( yxyxyx −⊥+⇒= .

c) ( )2222 2 yxyxyx +=−++ .

41. Fie V un spaţiu vectorial euclidean complex şi doi vectori . Să se

verifice următoarele proprietăţi: V∈yx,

a) C∈∀+=+⇔⊥ babyaxbyaxyx ,,222 ,

b) 2222,4 iyxiiyxiyxyxyx −−++−−+>=< .

42. Fie V un spaţiu vectorial euclidean real şi o familie de

vectori. Să se arate că: V⊂},{ 1 nvv K

a) Dacă reprezintă familia obţinută din { în urma aplicării procesului de ortogonalizare Gram-Schmidt, atunci au loc relaţiile

V⊂},{ 1 nww K },1 nvv K

niwv ii ,1, =∀≥ ;

b) Au loc relaţiile şi ),(),( 11 nn wwGvvG KK = 2211 ),( nn vvvvG ⋅⋅≤ KK ,

unde prin njiji vv

,1,),(

=><nvv1 det),( =K

},1 nvv K

G am notat determinantul Gram al familiei

de vectori { . R. a) Pentru i , avem 1= 1111 wvw =⇒=

iWii vprw +=

v . Pentru i , se aplică teorema lui Pitagora vectorului sumă v , unde W .

2≥

, 1−iwK )( 1= wLb) Pentru prima relaţie, se demonstrează succesiv egalităţile

),(),,,(),,,(),,,( 1321321321 nnnn wwGvvwwGvvvwGvvvvG KKKKK ==== , folosind operaţii cu determinanţi şi expresiile care leagă cele două familii de vectori. Pentru a doua relaţie, aplicăm punctul a) şi prima relaţie, observând că

221111 )),,,,(det(),( nnnn wwwwwwdiagwwG ⋅⋅=><><= KKK .

Stud

ent W

EB Cop

y

CAPITOLUL 2

TRANSFORMĂRI LINIARE

#1.Transformări liniare 1.1. Definiţii. Fie V şi W două spaţii vectoriale peste corpul K.

a) Se numeşte transformare liniară de la V la W (sau încă, operator liniar sau morfism de spaţii vectoriale), o funcţie care satisface proprietăţile WV →:T

V,∈∀+=+ yxyTxTyxT ,),()()( (1) (2) VK ∈∀∈∀= xkxkTkxT ,),()(b) Se numeşte izomorfism de spaţii vectoriale, orice transformare liniară bijectivă. c) Se numeşte endomorfism al spaţiului liniar V,orice aplicaţie liniară VV →:T . d) Se numeşte automorfism al spaţiului liniar V,orice endomorfism bijectiv. e) Se numeşte formă liniară, o transformare liniară (unde este

considerat ca spaţiu vectorial cu o dimensiune peste K). KV →:T 1 KK =

Observaţie. Cele două condiţii, (1) şi (2), din definiţia unei transformări liniare sunt echivalente cu condiţia

. (3) VK ∈∀∈∀+=+ yxlkylTxkTlykxT ,,,),()() (Într-adevăr, dacă este liniară, atunci conform definiţiei avem WV →:T

VK ∈∀∈∀+=+=+ yxlkylTxkTlyTkxTlykxT ,,,),()()()()( . Reciproc, condiţia (3), pentru 1 implică (1), iar pentru implică (2). k l= = l = 0 Notaţii. ♦ Vom nota prin mulţimea tuturor transformărilor liniare definite pe V cu valori în W.

)( WV,L

♦ Vom nota prin mulţimea endomorfismelor spaţiului vectorial V . )( VEnd♦ Vom nota prin mulţimea automorfismelor spaţiului vectorial V . )( VAut♦ Uneori în loc de vom scrie, pe scurt, . )( xT Tx Exemple de transformări liniare.

1. Aplicaţia , unde a∈R, este liniară. axxTLT =∈ )(),,( RR2. Aplicaţia nulă, este transformare liniară. VWV ∈∀=∈ xxT,LT ,0)(),( 3. Aplicaţia de incluziune unde U este subspaţiu

vectorial în V (privit ca spaţiu vectorial cu structura indusă din V), este aplicaţie liniară. Ca un caz particular, aplicaţia identitate

UVU ∈∀=∈ xxxTLT ,)(,),( ,

VV ∈∀=∈ xxxJEndJ ,)(),( , este aplicaţie liniară.


Stud

ent W

EB Cop

y

4. Aplicaţia , unde matricea A∈M

nn

tmn xxxAxxTLT RRR ∈=∀=∈ ),,(,)(),,( 1 K

m×n(R) este dată, este o transformare liniară. Spre exemplu, pentru m=2, n=3, aplicaţia

)3,,2(),( ),,( 21212132 xxxxxxTLT +−=∈ RR

este de această formă,

)3,,2( ),( 212121

321

21

1310

02xxxxxxT t

xxx

xx

+−=

= =− ,

abstracţie făcând de transpunerea vectorului imagine. T este transformare liniară, deoarece avem

221212121

21212121

22112211

22112121

),(),,( ),,(),(

)3,,2()3,,2( ))(3),(),(2(

),()),(),((

R∈∀+=

=+−++−==++++−+=

=++=+

yyxxyyTxxT

yyyyxxxxyxyxyxyx

yxyxTyyxxT

.),(),,(

)3,,2( )3,,2(

),()),((

22121

2121

2121

2121

RR ∈∀∈∀=

=+−==+−=

==

xxkxxkT

xxxxkkxkxkxkx

kxkxTxxkT

,

5. Aplicaţia , este liniară. ),(,)()),,(),,(( 101 baCfffTbaCbaCLT ∈∀′=∈

6. Aplicaţia , este liniară. ],[,)()(),],,[( 00 baCfdttffTbaCLTb

a∈∀=∈ ∫R

7. Aplicaţia T , este liniară. )(,)()),(),(( KKK nmt

mnnm MAAATMML ××× ∈∀=∈

1.2. Teoremă. Orice transformare liniară are următoarele proprietăţi:

),( WVLT ∈

1) . 0)0( =T2) Dacă U este un subspaţiu vectorial al lui V, atunci T este un subspaţiu

vectorial al lui W. )(U

3) Dacă vectorii sunt liniar dependenţi, atunci şi vectorii x x xn1 2, ,..., ∈V sunt de asemenea liniar dependenţi. W∈)(),...,(),( 21 nxTxTxT4) Daţi fiind vectorii x x , dacă vectorii sunt

liniar independenţi, atunci şi vectorii sunt liniar independenţi. xn1 2, ,..., ∈V W∈)(),...,(),( 21 nxTxTxT

nxxx ,...,, 21

Demonstraţie. 1) Avem . 0)0()0()0()00()0( =⇒+=+= TTTTT2) Fie u şi k l . Atunci avem VU ∈∈== yxTyTvxT ,cu ),()(),( , , ∈ K

)()()()( UTlykxTylTxkTlvku ∈+=+=+ deci este un subspaţiu vectorial al lui W. 3) Aplicând transformarea T unei relaţii de dependenţă şi folosind proprietatea de liniaritate (3) a transformarii T, rezultă relaţia de dependenţă

)( UTk x k x k xn n1 1 2 2 0+ + + =... V

W0)(...)()( 2211 =+++ nn xTkxTkxTk .

Cap.II. Transformări liniare 40

Stud

ent W

EB Cop

y

4) Procedând ca în cazul 3., rezultă anularea coeficienţilor , deci independenţa vectorilor .

nkkk ,...,, 21

nxxx ,...,, 21

1.3. Observaţie. Dacă V şi W sunt două spaţii vectoriale peste corpul K, putem defini adunarea şi înmulţirea cu scalari pe mulţimea de transformări liniare , ca şi în cazul spaţiilor vectoriale care au funcţii drept vectori. Mai exact, pentru , avem

)( WV,LS,T KWV, ∈∈ kL ),(

∈∀=+=

.),())((),()())((VxxkSxkS

xTxSxS+T

În raport cu aceste operaţii mulţimea este un spaţiu vectorial peste corpul K. Spaţiul vectorial se numeşte dualul lui V , iar vectorii săi se numesc forme liniare definite pe V cu valori în corpul K.

)( WV,L)( KV, L

1.4. Teoremă. Fie şi W două spaţii vectoriale peste corpul K, fie

o bază a lui , iar w w o familie de vectori din W. Vn

VB = { , ,..., }e e en1 2 n wn1 2, ,...,

1) Există o unică transformare astfel încât ),( WVnLT ∈ niwe ii ,1,)( ==T . 2) Dacă avem ind{w w }, atunci această transformare este injectivă. wn1 2, ,...,

Demonstraţie. 1) Fie x x . Asocierea

defineşte o funcţie , cu proprietatea

ei ii

n

n= ∈=∑

1V

W→

WV ∈=→∈ ∑=

n

iii wxxTx

1)(

VnT: niwi ,1, ==eT i )( . Asocierea T este o transformare liniară, deoarece pentru

∑∑∑===

∈+=+∈∈==n

iniiin

n

iii

n

iii elykxlykxlkeyyexx

111

)(,,,, VKV ,

obţinem . ∑ ∑ ∑= = =

+=+=+=+n

i

n

i

n

iiiiiiii ylTxkTwylwxkwlykxlykxT

1 1 1

)()()()(

Pentru a verifica unicitatea transformării liniare T astfel determinate, fie satisfăcând de asemenea relaţiile )( W,VnLS ∈ niweS ii ,1,)( == .

Atunci, pentru orice x x , avem ei ii

n

n= ∈=∑

1V

)

∈

()()()()()( 1111

xTexTeTxeSxexSxSn

iii

n

iii

n

iii

n

iii ===== ∑∑∑∑

====

2) Fie . Folosind relaţiile x x e y y ei ii

n

i ii

n

n= == =∑ ∑

1 1, V niweT ii ,1,)( == şi liniar

independenţa vectorilor w w , avem wn1 2, ,...,

yxniyxwyxyTxT ii

n

iiii =⇒==⇒=−⇒= ∑

=

,1,0)()()( 1

.

Observaţii. 1. Compunerea a două transformări liniare, definită ca şi în cazul funcţiilor obişnuite, se numeşte înmulţire (produs) şi produce tot o transformare liniară. Evident compunerea nu este în general comutativă, dar este asociativă.


Stud

ent W

EB Cop

y

2. Fie A,B,C transformări liniare . Dacă au sens A+B, AC şi BC , atunci K∈∀ lklBCkACClBkA , ,)( +=+ ,

iar dacă au sens A+B, CA şi CB, atunci K∈∀ lklCBkCAlBkAC , )( ,+=+ .

3. Fie . Puterile naturale ale lui T se definesc inductiv: )( VEndT ∈1, 10 ≥== − nTTTJT nn, ,

unde J este transformarea identică. 4. Fie o transformare liniară bijectivă (inversabilă). Atunci inversa este tot o transformare liniară.

),( VULT ∈),( UVL 1T ∈−

Într-adevăr, pentru , obţinem 2211 , TvwTvw ==

21

11

21211

211

211 )( )( )( wlTwkTlvkvlvkvTTlTvkTvTlwkwT −−−−− +=+=+=+=+ .

5. Dacă şi sunt transformări liniare bijective, atunci

) )( WV,LS ∈,( VULT ∈

♦ este o transformare liniară bijectivă; ),( WULTS ∈o

♦ are loc relaţia . 111)( −−− = STTS oo

#2. Nucleul şi imaginea unei transformări liniare Fie V şi W două K -spaţii vectoriale şi ) . Vom studia în cele ce urmează

( WV,LT ∈

• mulţimea soluţiilor ecuaţiei şi V∈= xxT ,0)( • mulţimea valorilor transformării, })({ VW ∈∈= xxTy .

•0W →(T ) →

W V

Im T Ker T

2.1. Definiţii. a) Se numeşte nucleul transformării liniare , )( WV,LT ∈mulţimea { } VV ⊂=∈= 0)(, xTxxKerT .

b) Se numeşte imaginea lui V prin T (sau imaginea transformării liniare T),

mulţimea . WV ⊂= )(TT Im


Stud

ent W

EB Cop

y

2.2. Teoremă. Fie o transformare liniară. )( WV,L T ∈

1) Nucleul transformării T este un subspaţiu vectorial al lui V. 2) Imaginea lui V prin T este un subspaţiu vectorial al lui W. 3) Soluţia generală a ecuaţiei (pentru w arbitrar fixat în ImT⊂W),

este suma dintre soluţia generală a ecuaţiei şi o soluţie particulară a ecuaţiei .

wvT =)( 0)( =vT

wvT =)(

Demonstraţie. 1.Avem . Liniaritatea lui T implică 0)()(Ker, ==⇒∈ yTxTTyx,0)( =+ lykxT . ⇒∈∀ Klk, K∈∀∈+ lkKerTlykx ,,

2. Se aplică teorema 1.2, punctul 2, pentru U = V. 3. Se arată prin dublă incluziune că T−1(w)=KerT+{v0}, unde v0 este o soluţie arbitrară fixată a ecuaţiei . wvT =)( Exemplu. Pentru T obţinem )3,,2(),( , 212121

32 xxxxxxT +−=→ RR:)}0,0{()}0,0,0()3,,2(),{( 2121

221 ==+−∈= xxxxxxT RKer ,

==+−∈∃∈= )},,()3,,2(,),(),,{(Im 32121212

213

321 yyyxxxxxxyyyT RR

=

∈

+

==−−∈= RR 323232

3213

321 ,,,3

22}0223),,{( yyyyyyyyyyyy

{ } { }( ) .)1,0;3/2(),0,1;3/2(,)1,0;3/2()0,1;3/2( 33232 RR ⊂=∈+= Lyyyy

Se observă că T este injectivă (temă, verificaţi), dar nu este surjectivă. 2.3. Teoremă. Dacă este o transformare liniară, atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente.

)( WV,L T ∈

(i) T este injectivă. (ii) Aplicaţia T supusă restricţiei de codomeniu este inversabilă. )(: VV TT →

(iii) . }0{=KerT

Demonstraţie. Echivalenţa dintre (i) şi (ii) este evidentă. Arătăm că (i) este echivalentă cu (iii). Fie . Avem }0{=KerT

yxyxTyxyxTyTxTyTx T

=⇒=−⇒=∈−⇒⇒=−⇒=−⇒=0}0{Ker

0)(0)()()()(

deci T este injectivă, şi astfel (iii) ⇒ (i). Reciproc, presupunem (i), deci că T este injectivă. Atunci ceea ce implică

. Cum T , deci incluziunea inversa are loc, rezultă proprietatea (iii).

0)0()(0)( inj

=⇒=⇔=⇔∈ xTxTxTKerTxT

KerT∈⇒= 00)0(}0{Ker ⊂T

Observaţie. Nucleul şi imaginea unei transformări liniare nu determină transformarea liniară. Spre exemplu, orice automorfism are nucleul nul,

(fiind injectiv) iar imaginea sa este întregul spaţiu vectorial (fiind surjectiv).

)(VAut T ∈}0{ =KerT V=T Im


Stud

ent W

EB Cop

y

Definiţii. a) Dimensiunea nucleului lui T se numeşte defectul lui T. b) Dimensiunea imaginii lui V prin transformarea liniară T se numeşte rangul lui T. 2.4. Teoremă (teorema rangului pentru transformări liniare). Dacă V, W sunt spaţii vectoriale, spaţiul vectorial V este finit dimensional şi

, atunci şi spaţiul vectorial este finit dimensional şi are loc relaţia )( WV,L T ∈ TImVdimImdimKerdim =+ TT .

Deci suma dintre defectul şi rangul transformării T este egală cu dimensiunea domeniului. Demonstraţie. Fie n şi . Dacă , atunci

, deci T injectivă ⇒ aplicaţia este inversabilă, deci izomorfism de spaţii vectoriale ⇒ dim ImT = dim V, care este exact relaţia dorită, căci . Dacă , alegem o bază { în , pe care o extindem la o bază B = { a întregului spaţiu vectorial V.

Pentru orice există un x x astfel încât ; cum însă

, rezultă

= dimV}0{=T

0Ker =T

nTp ≤= Ker dim

p ≥ 1

, ,..., }e ep p n1+

ei i= ∈V1

p = 0

T→

}e

)(x

⇒= 0Ker dim T

y∈

)(...)( 1 == peTeT

Ker

dim

T Im

0=

)(: VVT

..., p TKer

T=

,e1

y

,...,

i

e e1n

=∑

∑∑=

++ ++==

==

n

innppiiii eTxeTxeTxexTxTy

111 )(...)()()(

n

1=i.

Deci generează pe . Aceşti vectori sunt liniar independenţi, deoarece avem , de unde

; deci

)(),...,( 1 np eTeT +

(1+p Tkek nnp Ker ...1 ∈+++

T Im)( =ne 0)...(0...) 111 =++⇒++ +++ nnppnp ekekTTke

Tek p 1+

0............ 11111111 =−−−++⇒++=++ ++++ ppnnppppnnpp ekekekekekekekek ; folosind liniar independenţa bazei din V rezultă k k . k kp p n1 1 0= = = = = =+... ...

Deci este bază în , spaţiul vectorial este finit

dimensional (cu dimensiunea n-p) şi avem relaţia: dim Im T = dim V − dim Ker T.

)}(),...,({ 1 np eTeT + T Im T Im

Exerciţiu. Determinaţi nucleul şi imaginea endomorfismului , 33: RR →T

),,(),363,242,2()( 321321321321 xxxxxxxxxxxxxxT =−+−+−+= . Soluţie. Pentru a determina nucleul, rezolvăm sistemul liniar ;

aceasta se reduce la ecuaţia , şi deci vectorii sunt de forma 0)( =xT

02 321 =−+ xxx Tx Ker ∈x x x x x x x= + = +( , , ) ( , , ) ( , ,1 2 1 2 1 22 1 0 1 0 1 2) .

Vectorii e şi e sunt liniar independenţi şi generează pe Ker T, deci aceştia determină o bază în . Spaţiul este generat de vectorii , linear dependenţi, din care extragem - folosind teorema privind rangul matricii unui sistem de vectori, baza , şi deci dim Im = 1. Dimensiunile nucleului şi imaginii satisfac relaţia din teoremă: (2+1=3).

1 1 0 1= ( , , )

()({ 1 =eT

({ == TwT

2 0 1 2= ( , , )TKer

)(),3,2 2 =eT

)}3,2,1(=

2dim =⇒ TKer,1()(),6,4,2( 3 −−=eT

Tdimdim +TKer

T Im

3dim R

)}3,2,1 −

)1eIm =T

BIm


Stud

ent W

EB Cop

y

2.5. Teoremă. Fie , . Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente.

)( WV,L T ∈ dim V = n

(i) T este injectivă. (ii) Dacă e e (p ≤ n) este o familie de vectori liniar independentă, p1 ,..., ∈V atunci şi familia de este liniar independentă. WV ⊂∈ )()(),...,( 1 TeTeT p

(iii) . nT =)(dim V (iv) Dacă { , este bază pentru V, atunci ste ..., }e en1 )}(),...,({ 1 neTeT e bază pentru )( VT . Demonstraţie. Demonstrăm echivalenţele ciclic: (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv) ⇒ (i). (i)⇒(ii). Fie T injectivă şi { astfel încât să avem ind(S). Atunci S e ep= 1 ,..., } V⊂

0)...(,1,,0)(...)( 1111 =++⇒=∈=++ ppipp ekekTpikeTkeTk K ,

deci, conform teoremei 2.3, 0...0... }0{Ker ... 11111 ===⇒=++⇒=∈++ ppppp kkekekTekek .

(ii)⇒(iii). Fie (ii) adevărată ∀ ≤ şi fie B={ o bază în V; deoarece ind{B}, pentru p = n rezultă ind , deci ; pe de altă parte din teorema 2.4 avem , deci , deci (iii).

p),...,( 1e

n≤

n ,..., }e en1

T dimn=)(V

)}({ neTT)V dim

n≥)(VT ( dim T

(iii)⇒(iv). Fie (iii) şi = o bază în V. Pentru orice există

astfel încât ; deci .

B { ,..., }e en1

== xTy )(

)(y VT∈

(),...,( 1 eTex x ei ii

n

= ∈=∑ V

1∑=

n

iii eTx

1)( )}){()( nTLT =V

Cum însă , rezultă că este o bază a lui T , deci (iv). (iv)⇒(i). Fie (iv), deci dim ImT = dim V = n; folosind relaţia din teorema 2.4 rezultă dim KerT=0, deci conform teoremei 2.3, T este injectivă, deci (i).

nT =)( dim V )}(),...,({ 1 neTeT )(V

Observaţie. Coloanele matricii sunt formate din coeficienţii vectorilor care generează subspaţiul ImT.

)](),...,([ 1 neTeT

2.6. Teoremă. Fie transformarea liniară T :Vn → Wn , între spaţii vectoriale de aceeaşi dimensiune. Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente: (i) T este injectivă; (ii) T este surjectivă; (iii) T este bijectivă. Demonstraţie. Evident (iii)⇒(i), (iii)⇒(ii). Arătăm (i)⇒(iii). T este injectivă ⇒

0 ; cu teorema 2.4, rezultă Dar , deci , adică T este şi surjectivă. Arătăm (ii)⇒(iii). T este surjectivă ⇒ deci ; cu teorema 2.4, rezultă , deci cu teorema 2.3, T este şi injectivă.

⇒= }0{Ker T

nW⊂TIm

Ker dim T

Ker dim =T

nT W= Im

nW=TIm , {Ker 0 =⇒ T

nT = Im dim .

nnT Vdim Im dim ==}0=


Stud

ent W

EB Cop

y

Observaţie. Teorema este aplicabilă şi în cazul particular al endomorfismelor pe spaţii vectoriale finit dimensionale. În acest caz, se observă că un endomorfism este bijectiv (deci este automorfism, deci inversabil) dacă şi numai dacă matricea sa relativ la o bază a spaţiului V este pătratică (deci W ) şi nesingulară. n nn V=

Exemplu. Fie transformarea liniară , 33: RR →T

3321133221 ),,(),,,()( R∈=+++= xxxxxxxxxxxT .

Vom arăta că această transformare este bijectivă, şi îi vom calcula inversa. Într-adevăr, T fiind endomorfism iar spaţiul vectorial fiind finit-

dimensional, este suficient să arătăm că T este injectivă. Ecuaţia este echivalentă cu sistemul liniar şi omogen

3R T 0)( =x

x x

x x

x x

x

x

x

x1 2

2 3

3 1

1

2

3

0

0

0

0

0

0

0

+ =+ =+ =

⇔===

⇔ = .

Deci , T injectivă. Conform teoremei 2.6, T rezultă bijectivă, deci inversabilă. Putem determina acest lucru altfel, folosind observaţia de mai sus, şi constatarea (verificaţi !) că matricea transformării este nesingulară,

}0{Ker =T

.02det,][101110011

≠=

== ATA B

Se observă că surjectivitatea transformării T asigură existenţa unei soluţii pentru sistemul , iar injectivitatea asigură unicitatea acestei soluţii. Pentru a determina transformarea inversă rezolvăm ecuaţia , unde

, echivalentă cu sistemul liniar

yxT =)(

y y, )33R

yxT =)( y y= ( ,1 2 ∈

x x y

x x y

x x y

x y y y

x y y y

x y y y

1 2 1

2 3 2

3 1 3

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

2

2

2

+ =+ =+ =

⇔= − += + −= − + +

( )

( )

( )

/

/

/

,

deci . ( )2/)(,2/)(,2/)()( 3213213211 yyyyyyyyyxT ++−−++−=−

#3. Matricea unei transformări liniare Fie şi două K -spaţii vectoriale de dimensiune n respectiv m, şi fie

o transformare liniară. Dacă B={ , este o bază fixată a lui , iar B’={ este o bază fixată a lui W , atunci avem descompunerile

Vn

mW Wm

,...,

),( LT Vn∈ Vn ,w w

,..., }v v vn1 2

m}wm1 2

njwtvTm

iiijj ,1,)(

1== ∑

=

. (1)

Coeficienţii njmiijt

,1,,1)(

== definesc o matrice unică )()(

,1,,1Knmnjmiij MtA ×==

∈= cu

elemente din K. Vectorii imagine determină unic transformarea liniară T,

şi prin urmare, considerând fixate bazele B şi B ', matricea A determină unic transformarea liniară T.

mjvT W∈)(


Stud

ent W

EB Cop

y

Definiţie. Matricea A ai cărei coeficienţi sunt daţi de relaţia (1) se numeşte matricea asociată transformării liniare T în raport cu perechea de baze considerate. Notaţii. Vom scrie ., sau, atunci când bazele B şi B' se subânţeleg,

. Dacă T este endomorfism al spaţiului şi B’ = B, notăm sau, atunci când baza B se subânţelege, .

BB, ′= ][TA

A =][TA = Vn B][TA =

][T

3.1. Teoremă. Dacă are imaginea , atunci au

loc relaţiile dintre coeficienţii vectorului x şi cei ai vectorului imagine :

x x j jj

n

==∑

1e ∑

=

==m

iii wyyxT

1)(

y=T )(x

y t x ii ij ji

n

= ==∑

11, ,m

∈

∑=1

. (2)

Notând relaţia (2) se rescrie matriceal X x x x Y y y ytn

tm= =( , ,..., ), ( , ,..., )1 2 1 2

Y . (3) AX=

Demonstraţie. Fie . Aplicând acestei egalităţi transformarea T şi

folosind relaţiile (2), rezultă

x x vj jj

n

==∑

1V

∑ ∑∑ ∑= == =

=

==

n

j

m

ii

n

jjij

n

j

m

iiijjjj wxtwtxvTxxT

1 11 1)()( .

Cu notaţiile din enunţ avem deci, din unicitatea descompunerii

relativ la baza B’, obţinem

∑=

=m

iii wyxT

1

,)(

. y t x ii ij ij

n

= ==∑

11, ,m

)

Observaţii. 1. Fie mulţimea tuturor transformărilor liniare de la

la şi mulţimea tuturor matricelor de tipul m cu elemente din K. Fixăm bazele B în şi B’ în . Funcţia care asociază fiecărei transformări lineare T matricea sa relativ la bazele fixate,

),( mnL WV

W

Vn Wm )( KnmM ×

V

n×

n m

(),( : KB, nmmnB ML ×′ →µ WV

definită prin BB,BB, ′′ ==µ ][)( TAT

este un izomorfism de spaţii vectoriale. Drept consecinţă, spaţiul vectorial are dimensiunea mn, egală cu cea a spaţiului vectorial .

),( mnL WV

)( KnmM ×

2. Izomorfismul µ are proprietăţile:

♦ [ , dacă compunerea ST are sens; ]][[] TSST =♦ Endomorfismul este inversabil dacă şi numai dacă matricea [

este matrice inversabilă şi, în acest caz, [ . nnS VV →: ]S

11 ][] −− = SS


Stud

ent W

EB Cop

y

Fie în cele ce urmează un K -spaţiu vectorial n-dimensional şi

un endomorfism. Fixând baze diferite în , endomorfismului T i se asociază matrice pătratice diferite. Relaţia dintre aceste matrici este dată de următoarea

Vn

)( nEndT V∈ Vn

3.2. Teoremă. Matricele A şi , pătratice de ordinul n, cu elemente din K, reprezintă aceeaşi transformare liniară relativ la bazele dacă şi numai dacă există o matrice nesingulară C astfel încât are loc relaţia

A′)( nEndT V∈ nVBB ⊂′.

A C AC'= −1 . (4) În acest caz, matricea C este exact matricea de trecere de la baza veche B la

baza nouă B' unde BB ′=′= ][, ][ TATA . Demonstraţie. Fie B={ şi B'={ , două baze în , iar

matricea de trecere de la prima bază la a doua, adică

, ,..., }e e en1 2 ,..., }′ ′ ′e e e1 2 3 Vn

C cij= [ ] ′ = ==∑ ej ij ii

n

,1

e c . Fie j 1 n,

]nnT VV →: o transformare liniară. Fie matricea lui T relativ la prima bază B, adică au loc relaţiile

A aij= [

∑=

==n

iiijj njeaeT

1

,1,) ( ,

şi matricea lui T relativ la a doua bază B', adică A a ij' [ '= ]

∑=

=′′=′n

iiijj njeaeT

1,1,) ( .

Ţinând cont de relaţiile de mai sus, imaginile vectorilor din a doua bază admit următoarele expresii

∑ ∑∑ ∑= == =

′=

′=′′=′n

ik

n

k

n

iijki

n

i

n

kkkiijiijj eacecaeaeT

1 11 1,) ( ∑

=1

∑ ∑ ∑ ∑∑∑= = = ==

=

==

=′

n

i

n

ik

n

k

n

iijki

n

kkkiijiijij ecaeaceTceTeT

1 1 1 11)()

n

1=iijc( ,

din care, prin egalarea coeficienţilor descompunerilor relativ la baza B, obţinem

, c a a cki ij ki iji

n

i

n

' ===∑∑

11

sau, în scriere matriceală, CA , de unde rezultă . AC'= A C AC'= −1

Exemplu. Se dau endomorfismele , )(, 3

21 REndTT ∈)23,81520,55()( 3213213211 xxxxxxxxxxT +−+−−−= ,

33213213212 ),,(),555,0,101010()( R∈=∀+−+−= xxxxxxxxxxxT .

Să se afle matricea sumei celor două endomorfisme relativ la baza 21 TTT +=3

321 )}2,2,1(),1,4,3(),1,3,2({ R⊂====′ vvvB . Soluţie. Prin sumarea celor două expresii analitice, obţinem

).678,81520,51115()()()()()(

321321321

2121

xxxxxxxxxxTxTxTTxT

+−+−+−==+=+=


Stud

ent W

EB Cop

y

Rezultă că imaginea bazei canonice B = {e e } e1 2 31 0 0 0 1 0 0 0 1= = =( , , ), ( , , ), ( , , ),

a spaţiului vectorial prin T este R 3

)6,8,5()( ),7,15,11()( ),8,20,15()( 321 =−−−== eTeTeT , deci matricea lui relativ la această bază este 21 TTT +=

===

−−−

6788152051115

)](),(),([][ 321 BB eTeTeTTA .

Matricea de trecere de la baza canonică B la baza }3,1,{ ==′ iviB este

C v v v= = =

[ ' ] [ , , ]B B B1 2 3

2 3 13 4 21 1 2

,

deci rezultă conform teoremei 3.2 că matricea transformării , relativ la baza B' este

21 TTT +=

===′ −

′

300020000

1][ ACCTA B .

Se poate verifica uşor (temă) că avem , unde . 21 AAA ′+′=′ BB TATA ′′ =′=′ ][ ,][ 2211

Definiţie. Două matrici se numesc asemenea dacă există o matrice nesingulară )C astfel încât să aibă loc relaţia .

)(, KnnMBA ×∈(KnnM ×∈ B C AC= −1

Observaţii. 1. Asemănarea matricelor este o relaţie de echivalenţă pe spaţiul vectorial . Fiecare clasă de echivalenţă corespunde unui endomorfism

şi conţine toate matricile asociate endomorfismului T relativ la bazele spaţiului vectorial .

)(KnnM ×

)nV

V

(EndT ∈

n

2. Matricile asemenea au următoarele proprietăţi: ♦ Deoarece C este nesingulară, matricele şi A au acelaşi rang; acest număr se mai numeşte rangul endomorfismului T şi este asociat clasei de asemănare a matricii A.

B C AC= −1

♦ Deoarece , toate matricele unei clase de echivalenţă au acelaşi determinant. Astfel, putem defini determinantul unui endomorfism al spaţiului , ca fiind determinantul matricei asociate endomorfismului relativ la o bază dată.

ACACB det)det(det)det(det 1 =⋅⋅= −

Vn

#4. Endomorfisme particulare Fie V un K-spaţiu vectorial şi mulţimea endomorfismelor lui V. Observăm că mulţimea End se poate structura simultan ca:

End ( )V( )V

♦ spaţiu vectorial peste corpul K , relativ la adunarea endomorfismelor şi înmulţirea dintre un scalar şi un endomorfism;

♦ inel, relativ la adunarea şi compunerea endomorfismelor.


Stud

ent W

EB Cop

y

4.1. Definiţii. Fie V un K-spaţiu vectorial. Endomorfismul se numeşte

)( VEndT ∈

a) automorfism, dacă este bijectiv; b) proiecţie, dacă satisface relaţia ; TT =2 c) involuţie (sau structură produs) dacă unde este

transformarea identitate; JT =2 , )( VEndJ ∈

d) structură complexă, dacă JT −=2 ; e) endomorfism nilpotent de indice p, dacă ( p ), unde O este

morfismul nul; O=pT ≥ 2

f) structură tangentă, dacă T este un endomorfism nilpotent de indice doi şi de rang maxim.

Observaţie. Automorfismele ale spaţiului vectorial V formează o submulţime în , notată şi prin . Această submulţime nu reprezintă un subspaţiu al spaţiului vectorial , deoarece adunarea nu este operaţie internă, dar formează grup relativ la compunerea automorfismelor, numit grupul liniar general.

)(VAut)(VGL

( )VEnd ( )V

End

Exemplu. Orice structură aproape produs este automorfism. )( VEndT ∈Într-adevăr fixând o bază în V, matricea asociată transformării T este nesingulară:

0]det[1])(det[]det[]det[][][][][ 22222 ≠⇒=⇒=⇒=⇒=⇒= TTJTJTJTJT , deci folosind 3.1-observaţia 2, rezultă T inversabilă, deci automorfism.

4.2. Teoremă. Pentru orice proiecţie , are loc descompunerea )( VEndT ∈

TT ImKer ⊕=V .

KerT

T ↓

v

u

w

ImT

J-T ←

Demonstraţie. Fie . Notând TvTv Im)(, ∈∈VV∈−= )(vTvw , avem

0)()())( 2 =− vTvTv =()( −= TvTwT

Im u vT ∃⇒∈

u

, adică . Deci . Tw Ker ∈ TT ImKer +=VPe de altă parte, pentru u , rezultă TT ImKer ∩∈

)(= vTu,V∈ ; dar u , uvTvTTuTT ==⇒∈ )())(()(=0Ker =deci . }0{ImKer =∩ TT

Observaţii. 1. Numele de proiecţie provine din interpretarea geometrică a relaţiei

TT ImKer ⊕=V . Dat fiind vectorul v , sunt unic determinaţi termenii descompunerii v w : ∈ V = +♦ - vector de-a lungul căruia se face proiecţia - satisface relaţia , Tw Ker ∈ 0)( =wT♦ - rezultatul proiecţiei - satisface relaţia . Tu Im ∈ uvT =)(

Deci (vezi figura), T proiectează vectorul v pe subspaţiul de-a lungul subspaţiului

∈ V T Im TKer .


Stud

ent W

EB Cop

y

2. Dacă T este o proiecţie, atunci şi este o proiecţie, unde J este transformarea identică a spaţiului vectorial V. În plus au loc relaţiile

T J −

TTJTTJ KerKer =−=− )Im( ,Im)( , de unde rezultă KerTKerTTT

JTJ JT =−= )(, ImIm .

Corolar. Dacă piTi ,1, =→ VV: sunt proiecţii astfel încât au loc relaţiile

şi 1

JTp

ii =∑

=

,,1,, pjijiTT ji =≠∀= 0,

atunci are loc descompunerea . pTT Im...Im 1 ⊕⊕=V

Exemplu. În spaţiul V , proiecţiile 3R=

3321332211 ),,(),,0,0()(),0,,0()(),0,0,()( R∈=∀=== xxxxxxTxxTxxT ,

conduc la descompunerea în sumă directă )})1,0,0({()})0,1,0({()})0,0,1({(3 LLL ⊕⊕=R .

4.3. Teoremă. Dacă este un endomorfism nilpotent de indice p şi astfel încât , atunci vectorii { sunt liniar independenţi.

)( VEndT ∈0)( 0

1 ≠− xpx0 0∈V \ { } T )}(),...,(, 01

00 xTxTx p−

Demonstraţie. Considerăm relaţia 1,0,,0)(1

10 −=∈=∑

−

=

pikxTk i

p

i

ii K

p −0

)(),..., 01

0 xT p−

. Aplicând

succesiv acestei egalităţi endomorfismul T de 1 ori şi folosind proprietăţile , rezultă ; folosind din nou relaţiile obţinute, rezultă

, deci vectorii sunt liniar independenţi. OT p = ,

k1 = =...

OxT p ≠− )( 01

k p 1 0=−

k0 =

(, xT0x

Observaţie. Fie cu proprietăţile din teoremă şi L(S) acoperirea liniară a mulţimii . Atunci se poate arăta [UDR] că există un subspaţiu , invariant faţă de T, astfel încât are loc descompunerea în sumă directă V = .

x0 0∈V \ { }

),...,( 00 TxT, )}({= 01 xxS p−

VL S( )

U ⊂U ⊕

4.4. Teoremă. Pentru orice endomorfism , există două subspaţii vectoriale , invariante faţă de T astfel încât

)( nEndT V∈U,W V⊂ n

1) V = U Wn ⊕ , 2) restricţia este nilpotentă, U/ T 3) restricţia este inversabilă, dacă U/ T W ≠ { }0 . Exemple. 1. Endomorfismul definit prin matricea )( 3REndT ∈

−−−=

121332574

][T

este un endomorfism nilpotent de indice 3, deoarece [ ] (temă, verificaţi). 3T = OAlgebră liniară 51

Stud

ent W

EB Cop

y

2. Endomorfismul dat de derivarea funcţiilor polinomiale de grad cel mult n, ][,)(]),[( XpppDXEndD nn RR ∈∀′=∈ ,

unde ′ este derivata polinomului p, este un endomorfism nilpotent de indice n 1, deoarece derivata de ordinul n 1 a unui polinom p (care are gradul cel mult n) este polinomul nul.

p ++

4.5. Teoremă. Un spaţiu vectorial real finit dimensional V admite o structură complexă dacă şi numai dacă dimensiunea sa este pară. Exemplu. Spaţiul vectorial real admite structura complexă n2R

)( 2nEndT R∈ , T . nnnnn xxxxxxxx 2

21121 ),,(),,,,,,()( R∈=∀−−= + KKK

Se constată uşor că are loc relaţia (temă, verificaţi) [ . nIT 22] −=

#5. Transformări liniare pe spaţii euclidiene 5.1. Definiţii. Fie V şi W două spaţii vectoriale euclidiene complexe. Vom nota în acelaşi mod produsele scalare (şi normele induse de acestea) ale celor două spaţii. a) Fie → o transformare liniară. Transformarea liniară , definită prin relaţia

WV:T VW →∗: T

VW ∈∀∈∀>>=<< ∗ y,xyxTTyx ,,, se numeşte adjuncta transformării liniare T . b) Un endomorfism se numeşte hermitian dacă )( VEndT ∈ ∗= TT .

. c) Un endomorfism se numeşte antihermitian dacă )( VEndT ∈ ∗−= TT 5.2. Teoremă. Endomorfismul este hermitian dacă şi numai dacă produsul scalar este real .

)( VEndT ∈∀ ∈x V>< Txx,

Demonstraţie. Dacă , atunci ∗= TT ><>=>=<< TxxxTxTxx ,,,

V∈∀>∈ x,R (bara înseamnând

conjugare complexă), deci . Reciproc, dacă este real,

atunci

< Txx, >< Txx,

V∈−>⇒<<>=< ∗TTxxTxx )(,, . ∀>= xx ,0=<>< ∗∗ xTxxxT ,,=>Tx,Notând şi înlocuind pe x cu , (α ∈∗−TS=T yx α+ ∈C, y V arbitrare ), rezultă 2Re( 0,= ∀ ∈C

, < Sxy V∈, )x Syα < >0>= yx,

α . Înlocuind şi în relaţia obţinută, obţinem ,∀ . Punând rezultă .

1α =Sx

iα =⇔∈∀x,0 VSxy = ∗⇔= T=TS 0=

Exemplu. Arătăm că următorul endomorfism este hermitian )( 2CEndT ∈

2212121 ),(),3)1(,)1(2()( C∈=∀+−++= xxxxxixixxT .

Într-adevăr, folosind proprietăţile produsului scalar complex, obţinem =+−+++>= 221121 )3)1(())1(2(, xxxixxixxTx<

=+−+++ 222112

21 3)1()1(2 xxxixxix=

Stud

ent W

EB Cop

y

= + . + + + +2 1 1 31

2

2 1 2 1 2

2x i x x i x x( ) (( ) ) x

Deoarece ∀ avem C∈z R∈+ zz , rezultă . 2, ,Tx x x< >∈ ∀ ∈R C 5.3. Teoremă. Fie endomorfismele hermitiene şi scalarul )( VEndT,S ∈ R∈k . 1. Endomorfismul este hermitian. SkT + 2. Dacă este inversabil, atunci şi endomorfismul este hermitian. T 1 −T 3. Endomorfismul este hermitian dacă şi numai dacă . TS STTS =

Demonstraţie. Prima afirmaţie rezultă din proprietăţile şi , iar a doua rezultă din ( .

∗∗∗ STT+S +=)( ∗∗ = kTkT )( 11 )() −∗∗− = TT

3. Folosind relaţia , au loc echivalenţele: este hermitian ⇔ .

STTSTS =∗∗∗ =)(ST

TS TSTS(TS) =⇔=∗

5.4. Definiţie. Se numeşte transformare (liniară) unitară, o transformare liniară

care păstrează produsul scalar, adică ),( WVLT ∈V∈∀>>=<< yxyxTyTx ,,,, .

Teoremă. 1) O transformare liniară este unitară dacă şi numai dacă păstrează norma, adică

),( WVLT ∈

V∈∀xxTx ,= .

2) Orice transformare unitară T este injectivă. WV →:

Demonstraţie. 1) Dacă este unitară, atunci < în

particular pentru

T V∈∀>>=< yxyxTyTx ,,,, ;

y x= avem adică ,,, >>=<< xxTxTx 22 = xTx şi deci xTx = .

Reciproc, dacă presupunem că are loc relaţia V∈∀xxTx ,= , folosind egalitatea

4/}{, 2222 iyxiiyxiyxyxyx −−++−−+=><

rezultă [ ] ><=−−++−−+>=< yxiyxTiiyxTiyxTyxTTyTx ,4/)()()()(, 2222 .

2) Fie transformare unitară. Folosind proprietăţile normei euclidiene şi proprietatea de la punctul anterior, avem

T 000 =⇔==⇔=⇔∈ xxTxTxTKerx ; rezultă

, deci este injectivă.

}0Ker T {= T

Observaţii. 1. Din teoremă rezultă uşor faptul că orice endomorfism unitar

pe un spaţiu euclidian complex finit dimensional, este izomorfism. )( nEndT V∈

2. Condiţia ca un endomorfism să fie unitar, < , este echivalentă cu , unde J este transformarea identică pe V .

T V∈∀>>=< yxyxTyTx ,,,,

nJTTTT = ∗∗ =

Stud

ent W

EB Cop

y

5.6. Definiţii. Presupunem că V şi W sunt spaţii euclidiene complexe n-dimensionale şi că în fiecare s-a fixat o bază ortonormată. Relativ la aceste baze, ataşăm transformării liniare matricea asociată A. ),( WVLT ∈

a) Matricea AA t=∗ ataşată lui se numeşte adjuncta matricei A. ∗T b) Dacă AA t= , atunci matricea pătratică A se numeşte hermitică. c) Dacă AA t−= , atunci matricea pătratică A se numeşte antihermitică. d) Dacă IAAt = , (I fiind matricea unitate), atunci matricea A se numeşte unitară.

Teoremă. Un endomorfism este hermitian dacă şi numai dacă matricea sa relativ la o bază ortonormată este hermitică.

)( nEnd V∈T

Demonstraţie. Fie B={ o baza ortonormată şi ,..., }e en1 ⊂Vn njiijtTA,1,

)(][=

== B

i

matricea lui relativ la aceasta. " . Fie hermitian. Înmulţind scalar cu e relaţia

, care dă descompunerea vectorilor din imaginea bazei, obţinem

T

ke

"⇒ T

∑=

=n

kkjj teT

1

∑=

>=<>=<n

kijikkjij teeteTe

1

,, ;

analog rezultă (temă, verificaţi) . Deci avem ∗∗ >=< ijij teeT ,

jijiijijij teeTeTeeeTt =><>=>=<< ∗∗ ,,,= ,

şi cum rezultă AA =∗ t adică tij ji= AA t= . " . Fie "⇐ AA t= ; atunci

>=<>=<>=>=< ∑∑∑∑====

n

kjjkkjk

n

kjjkj

n

kkk

n

jjj eeTxxeTexxexexTxx

1,1,11),()(,,, <

∑∑==

><=⋅=⋅n

kjkjkj

n

kjjkkj Txxtxxtxx

1,1,, .

adică şi deci este hermitian. R∈>< Txx, T

În continuare prezentăm un exemplu care arată că pentru verificarea hermiticităţii folosind matricea asociată transformării relativ la o bază, este esenţial ca baza să fie ortonormată.

Exemplu. Fie endomorfismul , a cărui matrice relativ la baza

este . Deoarece

)( 2CEndT ∈

−=′

3201

A221 )}1,1(),0,1({ C⊂===′ vvB AA ′≠

−=′

3201

22 )}1,0(),0, C⊂=e

2 C1

1011 −

=

t

matricea A’ nu este hermitică şi totuşi endomorfismul este hermitian. Arătăm că matricea lui relativ la baza canonică a spaţiului (bază ortonormată relativ la produsul scalar canonic al spaţiului vectorial !) este

hermitică. Din relaţiile , obţinem matricea de trecere C de

la baza B’ la B. Rezultă că matricea lui relativ la baza canonică va fi

T =BT

v e1 1,

1 1({ =e

v2= = e e1 2+

T

ACACA t=

=′= −

12211 (deci matrice hermitică), ceea ce probează afirmaţia.

Stud

ent W

EB Cop

y

Observaţii. Analog cu teorema de mai sus, putem arăta că:

1. Un endomorfism este unitar dacă şi numai dacă matricea lui în raport cu o bază ortonormată a spaţiului este unitară.

)( nEndT V∈

2. Un endomorfism este antihermitic dacă şi numai dacă matricea lui în raport cu o bază ortonormată a spaţiului este antihermitică.

)( nEndT V∈

Exemplu. Arătaţi că endomorfismul , 22: CC →T

]2,0[),,(),cossin,sincos()( 212121 π∈α=α+αα−α= xxxxxxxxT este un endomorfism unitar.

Soluţie. Matricea endomorfismului relativ la baza canonică ortonormată

B={e } este . Această matrice este unitară,

căci şi deci .

T

αα

10

e1 21 0 0 1= =( , ), ( , )

α−

αα=∗

cossinsincos

A

αα−

==cossinsincos

][ BTA

IAA =

=∗

01

α

5.7. În cele ce urmează, presupunem că V şi W sunt două spaţii vectoriale euclidiene reale, ale căror produse scalare (respectiv norme asociate) le notăm la fel. Fie o transformare liniară. ),( WVLT ∈ Definiţii. a) Transformarea liniară definită prin relaţia VW →∗: T

VW ∈∀∈∀>>=<< ∗ yxxyTTyx ,,,, se numeşte transpusa transformării liniare T . b) Un endomorfism se numeşte simetric dacă . )( VEndT ∈ ∗TT = c) Un endomorfism se numeşte antisimetric dacă . )( VEndT ∈ ∗TT -= d) Transformarea liniară se numeşte ortogonală dacă păstrează

produsul scalar, deci dacă satisface relaţia < ),( WVLT ∈

V∈∀>>=< yxyxTyTx ,,,, . Observaţii. 1. Păstrarea produsului scalar este echivalentă cu conservarea normei, adică ) este transformare ortogonală dacă şi numai dacă satisface relaţia (temă, verificaţi):

( VEndT ∈V∈∀= xxTx , .

2. Dacă spaţiile vectoriale V şi W sunt finit dimensionale şi dacă în fiecare s-a fixat o bază ortonormată, atunci transformării i se ataşează matricea A, iar transpusei , matricea At . Prin urmare, relativ la o bază ortonormată

WV →: T∗T

♦ unui endomorfism simetric îi corespunde o matrice simetrică, ♦ unui endomorfism antisimetric îi corespunde o matrice antisimetrică, ♦ unui endomorfism ortogonal îi corespunde o matrice ortogonală.

3. Transformările simetrice / antisimetrice/ ortogonale au proprietăţi analoage proprietăţilor transformărilor hermitiene / antihermitiene / unitare.

Stud

ent W

EB Cop

y

#6. Izometrii S-a văzut că transformările ortogonale ale unui spaţiu vectorial euclidian real V păstrează distanţa euclidiană şi au drept punct fix originea (duc vectorul nul în vectorul nul, fiind transformări liniare). Vom introduce o altă funcţie pe V care păstrează distanţa euclidiană, dar nu este lineară. 6.1. Definiţie. Funcţia definită prin :aT →V V

V∈∀+= xaxxTa ,)( , unde este un vector arbitrar fixat, se numeşte translaţia de vector a. V∈a Teoremă. Au loc următoarele proprietăţi: 1) T ; V∈∀+ baTTTT baabba ,,== oo

2) T ; VJ=0

3) ∀ este transformare inversabilă, şi avem , aTa V,∈ V∈∀= −− aTT aa ,)( 1

unde prin am notat transformarea identică a spaţiului vectorial V. VJ Demonstraţie. 1) Translaţiile comută; într-adevăr, avem

( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b a a b b b aT T x T x b x a b T x b x a T x a T T x++ + + = + + = +o o= = = = , V∈∀ ba, . 2) . Prin calcul direct se obţine: )(0)(0 xJxxxT ==+=

3) T . V∈∀=−+===+−= −− xxTTaaxxJxaaxxT aaaa ),()()()()( oo

Observaţie. Rezultă că produsul (compunerea) defineşte pe mulţimea Tr(V) a tuturor translaţiilor lui V o structură de grup comutativ (Tr(V), ° ) numit grupul translaţiilor. Acest grup este izomorf cu grupul abelian aditiv (V,+), prin izomorfismul VVV ∈∀=ϕ→ϕ aTaTr a ,)(),(: . 6.3. Teoremă. Orice translaţie T T păstrează distanţa euclidiană, adică satisface relaţia:

,a a∈V=

VyxyxdyTxTd ∈∀= ,),,())(),(( .

Demonstraţie. V∈∀=−=+−+= yxyxdxyaxayyTxTd ,),,()()())(),(( . Definiţie. O funcţie surjectivă care păstrează distanţa euclidiană, adică VV →:F

V∈∀= yxyxdyFxFd ,),,())(),(( , se numeşte izometrie. Notăm mulţimea izometriilor spaţiului vectorial V prin Iz(V). Observaţii. 1. Orice izometrie este injectivă (temă, verificaţi) şi deci bijectivă. 2. Transformările ortogonale şi translaţiile sunt izometrii. 3. Compunerea a două izometrii este o izometrie. 4. Izometriile unui spaţiu vectorial V formează grup cu compunerea, (Iz(V), °).


Stud

ent W

EB Cop

y

5. Grupul transformărilor ortogonale (O(V), °) ale spaţiului vectorial V şi grupul translaţiilor (Tr(V),°) sunt subgrupuri ale grupului izometriilor (Iz(V), °).

6.4. Teoremă. O izometrie cu proprietatea ste o transformare ortogonală.

R →: V V 0)0( =R e

Deci izometriile care păstrează originea sunt exact transformările ortogonale. Demonstraţie. Izometria R păstrează norma, deoarece avem:

V∈∀=−====−= xxRxRxRdxRRdxdxx ,)(0)())(,0())(),0((),0(0 . Utilizând acest rezultat rezultă că R păstrează produsul scalar:

⇔−=−⇔= xyxRyRyxdyRxRd )()(),())(),(( < >⇔−−>=<−− xyxyxRyRxRyR ,)()(),()(

V∈∀>>=<< yxyxyRxR ,,,)(),( şi deci este o transformare liniară, deoarece

>=<>=<>=>=<<⇒>>=<< )(),(,,)(),(,)(),( yRxRkyxkykxyRkxRyxyRxR R∈∀∈∀>=−>⇒<=< k,yRyRxkRkxRyRxkR V)(,0)(),()()(),( .

Înlocuind şi folosind pozitivitatea produsului scalar, rezultă )()()( xkRkxRyR −=,0)()( =− xkRkxR

deci R este omogenă. Pe de altă parte avem >=<+>>=<<+>>=<+>=<+< )(),()(),(,,,)(),( zRyRzRxRzyzxzyxzRyxRVV =∈=∀>=−−+>⇒<+=< )()(,0)(),()()()(),()( RuzRzRyRxRyxRzRyRxR

Deci , deci R este aditivă. Fiind liniară şi păstrând produsul scalar, R este ortogonală.

0)()()( =−−+ yRxRyxR

6.5. Teoremă. Dacă J este o izometrie, atunci există o translaţie

şi o transformare ortogonală O astfel încât . V∈aTT a ,= OTJ oa= Deci orice izometrie este compunere dintre o transformare ortogonală şi o translaţie. Demonstraţie. Fie T translaţia prin vectorul şi translaţia prin . Funcţia este o izometrie care păstrează pe 0. Conform teoremei 6.5, izometria este o transformare ortogonală O . Deci sau .

V∈aTa ,=T 1 −

JT o1 −

)0( Ja = 1 −T

T )0( Ja −=−

OTJ o=

JoOJ =o1−

Observaţii. 1. Presupunem . Dacă B={ , este o bază ortonormată şi O este o transformare ortogonală pe V, atunci şi B'={ este o bază ortonormată. Reciproc, dacă în V sunt date două baze ortonormate B şi B', atunci există o singură transformare ortogonală O care duce B în B'; matricea acesteia relativ la baza B este [ .

dimV = n

BB ]'

..., }e en1

O )}(),...,( 1 neOe

B [] =O

2. Fie ({ )}, Im( ) { , 0}KerT L a T v v a= = <

⇒= ][][] IOO t 1]det[ ±=O[det O

>= o izometrie pe spaţiul n-

dimensional V. Avem [ . Dacă , atunci J se numeşte izometrie pozitivă (congruenţă), iar dacă 1 , atunci J se numeşte izometrie negativă.

1][det +=O−] =

Stud

ent W

EB Cop

y

Exemplu. Fie locul geometric al punctelor din plan care raportate la reperul cartezian Ox

),,( zyxMyz verifică ecuaţia

.01162842),,( 222 =+−+−−+= zyxzyxzyxg Determinăm ecuaţia verificată de coordonatele ( , , )′ ′ ′x y z ale acestor puncte faţă de reperul O x′ ′ ′ ′y z

,2(′O obţinut din cel iniţial printr-o translaţie ce duce originea

O(0,0,0) în punctul , deci având vectorul de translaţie )2,1 −−)2,1,2(),,( ''' −−=−−−= OOOOOO zzyyxxa .

Deoarece formulele care dau translaţia sunt înlocuind în ecuaţia dată găsim ecuaţia locului geometric relativ la reperul translatat,

,2,1,2 −′=−′=+′= zzyyxx

.0842 222 =+′−′+′ zyx

#7. Probleme propuse 1. Să se studieze care din funcţiile definite prin 3 T →R R: 3

≠

a) 3 ( ) , , fixatT x a a= ∈R b)T axx +=)( c) ( ) ,T x xλ λ= ∈R d) ),,(),,,()( 321

2321 xxxxxxxxT ==

e) ),,()( 213 xxxxT = f) 3 1 2 ( ) ( , , ), , 0T x x x x k k k= + ∈R g) )874,33,32()( 321321321 xxxxxxxxxxT +++−−+=sunt transformări liniare. R. a) da , b) da , c) da, d) nu, e) da, f) nu, g) da. 0=⇔ a 0=⇔ a 2. Să se determine dacă urmă toarele aplicaţ ii sunt sau nu transformă ri liniare:

a) 22121

22

22 ),(),,()(,: RRR ∈=∀+=→ xxvxxxvTT

b) . ][,)()(],[][: 2

1

032 xpdttpxpxppTxxT RRR ∈∀+−=→ ∫ R. nu (T nu este nici aditivă, nici omogenă); b) da. 3. a) Fie spaţiul vectorial real al polinoamelor de grad ≤ . Să se arate că funcţia

][XnR n

[ ] [ ]n nT X →R R: X ( ) (2 3) 2 '( ) (10),T p x p x p x p x= + − − ∀ ∈R, este o transformare liniară.

b) Fie spaţiul vectorial al funcţiilor continue pe intervalul [a,b], fbaffba R,C=V 0 →= ],[:{],[ continuă}.

Să se arate că transformarea ce asociază fiecărei funcţii primitiva acesteia,

P:V V→ , , ∫ ∈∀==x

abaxdttfxggfP ],[)(,)()( ,)(

este o transformare liniară.


Stud

ent W

EB Cop

y

4. Pe spaţiul vectorial real al funcţiilor polinomiale de grad cel mult n, se defineşte funcţia T

nP

nn PP →: ,1

0( ( )) ( ) , ,nT p x x tp t dt p P x= ∀ ∈∫ R∀ ∈ .

Să se arate că T este o transformare liniară şi să se determine şi . TKer T Im

R. 0, 0,

Ker 0 , Im ({ })2

k kk

k n k n

aT p a x T L x

k= =

= = = = + ∑ ∑

R6

.

5. În se consideră vectorii . 3R )2,0,1(),1,2,1(),1,2,3( 321 =−=−= vvv a) Să se arate că există o singură formă liniară T astfel încât 3: →R

T . )(,0)(,8)( 321 ==−= vTvTv b) Să se determine o bază a subspaţiului . TKer R. a) T , b) . )4,1,2(,,)( −=>=< aavv )}1,4,0(),0,2,1{( −= LTKer 6. Fie funcţia , 33: VV →T =×= aavvT ,)( vector fixat, nenul . a) Să se arate că T este o transformare liniară. b) Să se găsească şi Im şi să se arate că Ker . TKer T 3Im V=⊕ TT R. b) }0,{Im)},({ >=<== avvTaLKerT . 7. Se dau urmă toarele transformă ri: a) ∈ EndT . 3

32112213 ),,(),26,0,3()(),( RR ∈=∀−−= xxxxxxxxxT

b) :T R . ][,)(2)(],[][ 2

1

012 xpdttpxppTxx RR ∈∀−′=→ ∫ c) 3: RT . 3

321313212 ),,(),()(, RR ∈=∀++−=→ xxxxxx,xxxxT

d) :T R . ][),0()()(],[][ 221

0

332 xpppxdttpxpTxx RR ∈∀+′−=→ ∫

În fiecare din cele patru cazuri să se determine urmă toarele chestiuni: 1. Verificaţ i că transformarea T este liniară ; 2. Determinaţ i nucleul transformă rii liniare T ( Ker T ); 3. Determinaţ i imaginea transformă rii liniare T ( Im T ); 4. Aflaţ i matricea transformă rii liniare 3 relativ la bazele canonice ale domeniului Dom T ş i codomeniului Codom T; 5. Determinaţ i dacă transformarea T este injectivă sau surjectivă ; 6. Verificaţ i relaţ ia: dim Ker T + dim Im T = dim Dom T. R. Temă: b,c,d. a) , T nu

este injectivă ( 0 ), nici surjectivă ( ); [ , 2+1=3.

( ) ( ){ }( ) )})2,0,1(({,1,0,0,0,1,3 21 −===== vLImTvvLKerT

≠ 3R≠ImT

=

−

−

062000031

]TKerT

b) 22

{1, , },{1, }

0201111 32

({3 11}); Im ({ ,2 ( / 2)});[ ]x x x

KerT L x T L x x T −− = + = − − =

][1 xImT R=

.

T nu este injectivă, dar este surjectivă ( ); 1+2=3.

Stud

ent W

EB Cop

y

8. Se dau transformările liniare: a) ∈ EndT . 3

3213221313 ),,(),2,,2()(),( RR ∈=∀−−−= xxxxxxxxxxxT

b) ∈ EndT . 3321133221

3 ),,(),,,()(),( RR ∈=∀+++= xxxxxxxxxxxTPentru fiecare dintre cele două transformări, determinaţi: ♦ şi . Sunt şi subspaţii suplementare în R ? KerT ImT KerT ImT 3

♦ Este T injectivă ? Dar surjectivă ? Dacă T este inversabilă, determinaţi inversa acesteia.

R. Temă b). a) ; nucleul şi imaginea formează subspaţii suplementare în , deoarece ,

; T nu este nici injectivă, nici surjectivă (deci nu este inversabilă).

)})1,1,0(),0,1,1({()}),1,2,2(({ 1 −=== LImΤvLKerΤ3R ∩KerΤ }0{=ImΤ

3R=+ ImΤKerΤ 9. Să se determine matricea asociată transformării liniare, în raport cu bazele canonice ale spaţiilor, în cazurile

a) C →T : . CC ∈∀

−

−=× x

xixxix

xTM ,)(),(22

b) R 33213121

33 ),,(),,)1(,()(,: RC ∈=−+−=→ xxxxixxixixxTT c) . AATMMT t=→ ×× )(),()(: 2222 KK

R. a) , unde e [ . },,,{ 22211211)(22

eeeeM =× CB ;)( 2,1, =δδ= lkljkiij )1,,1,(] iiT t −−=

b) [ ; c) .

=

−−−

ii

iT

0001100

]

==×

1000001001000001

][},,,,{ 22211211)(22TeeeeM RB

10. Arătaţi că în spaţiul vectorial real V al funcţiilor reale, fiecare dintre mulţimile

2 2{cos ,sin }, { sin 5 , cos5 }, {3,1 ,1 2 }x xS x x S e x e x S x x e′ ′′= = = − − x+ este liniar independentă şi generează un subspaţiu W finit dimensional. Utilizând mulţimile date ca baze pentru subspaţiul W, să se găsească în fiecare caz matricea ataşată operatorului de derivare . WW →: D

R. [ .

=

=

= −

−−−

− ′′′

100100110

2552

0110

][][,] SSS DDD

11. Să se determine matricele transformărilor liniare în raport cu baza formată din vectorii v cunoscând că matricele acestora în raport cu baza canonică a spaţiului sunt respectiv

33: RR →T)1,1,1(),3,1,2(),3,2,1( 321 === vv

3 R


Stud

ent W

EB Cop

y

=

=

=

−−−

−−−−−−

−422633211

622622321

000001023

321 c) ; b) ; )a AAA .

R. , unde . ACCA 1−=′ },,{],,,[ 321321 AAAAvvvC ∈=

12. Fie V un spaţiu vectorial real, C complexificatul său şi un endomorfism. Funcţia definită prin sau altfel scris

se numeşte complexificatul endomorfismului T .

V VV →: TVV CCC →:T ),(),( TvTuvuT =C

,)( iTvTuivuT +=+C

a) Să se arate că este o transformare liniară care satisface proprietăţile: TC

; TSTS CCC ++ =)( TSST CCC =)( ;R∈= kTkkT ,CC )( ; , dacă T este inversabilă. )()( 11 −− = TT CC

b) Fie o transformare liniară. Prin reprezentarea reală a

transformării T înţelegem transformarea liniară reală care coincide punctual cu T , unde sunt trecerile în real ale spaţiilor şi .

mnT CC →:

nCR ,

mnT CC RRR →: nCmCR

]

mCSe dă transformarea liniară

33: CC →T , T . 332133121 ),,(),,,()( C∈=∀++= xxxxixxxixxx

Să se determine matricea reprezentării reale a lui T în baza { , unde },, 321 vvv)2,2,1(),,0,0(),1,,0( 321 −=== viviv .

R. b) Trecerea în real a spaţiului vectorial complex este dată de identificarea 63

3322113

332211 ),,,,,(),,( RCC R ≡∈≡∈+++ yxyxyxiyxiyxiyx . Matricea A a reprezentării reale a lui T relativ la baza canonică (vechea bază) a lui

, este . Noua bază este

.

63 RCR ≡

1,0,0(1 −≡tiv

=

−

−

010000100000100010010001000110001001

A

,0,0,0,0(2),1,0,0,0,0,0( −≡≡ tivt

,)0,1,1,0,0,0(1{ tv ≡=′B

)}2,0,2,0,1,0(3 −≡tiv),0,2,0,2,0,1(3),0,12),1,0,0, −≡tvv

Matricea A' a reprezentării reale a lui T relativ la noua bază din este dată de relaţia , cu matricea de trecere

,

B′ 63 RCR ≡ACCA 1−=′

)(6 R],,,,,[ 332211 MivvivvivvC ∈=

13. Fie endomorfismul care transformă vectorii

în vectorii .

33: RR →T)1,1,1(

),1,0,0(1 =v)),1,1,0( 32 == vv ),1,2,1(1 =w 4,1,7(),2,1,3( 32 −== ww

Să se determine matricea lui (transpusa lui T ), în baza ortonormată ∗T )1,0,0(),0,1,0(),0,0,1( 321 === eee .

R. [ . [*][;],,][,,[][],,[],,][ 1321321321321 TTvvvwwwTwwwvvvT t==⇒= −


Stud

ent W

EB Cop

y

14. Să se determine adjuncta (transpusa) T a transformării liniare *

3321231

23 ),,(),32()(,: RRR ∈=∀−=→ xxxxx,xxxTT .

R. T . [ ] [TtTyyyyyyy ==∈=∀−=

− 023001

*;2)2,1(),12,23,1()(* R ]

15. Să se arate că transformările liniare asociate matricelor

=

−−−−−−

12812211421

271827

1A şi sunt proiecţii. 2

1 0 00 0 00 0 1

A =

R. Se verifică faptul că pătratul fiecărei matrici asociate este ea însăşi. 16. Fie spaţiul vectorial al vectorilor legaţi în originea O, identificat cu mulţimea punctelor din plan , şi fie transformarea liniară definită prin

2 V2E 22: VV →T

→→→→

== cbTbaT )(,)( , unde punctele sunt necoliniare, iar un punct oarecare din plan. Să se determine punctul C astfel încât

)0(),(),(rrr ObBaA )(cC r

a) T să fie o proiecţie; b) T să fie o structură complexă.

R. a) , deci . b) ,

care are loc doar dacă

bccTbTbT

aTaT rrrrr

rr

==⇔

=

=)(

)()(

)()(2

2

BC =

−=

−=⇔

−=

−=

bcT

ac

bbT

aaTrr

rr

rr

rr

)()(

)(2

2

OAOC −= .

17. Arătaţi că matricile următoare sunt nilpotente de ordinele doi (în cazul a) şi respectiv trei (în cazurile b,c):

=

=

=

−

000300020

000100010

)c;)b;0010

)a AAA .

R. a) ; b), c) . 22 OA = 3

3 OA =

18. Fie endomorfismul definit prin matricea [ în

baza canonică a spaţiului vectorial . Să se găsească matricile hermitiene astfel încât să aibă loc relaţia .

22: CC →T

)( 22 CEnd∈

−

+=

iii

T31

1]

2

2 C,1 TT 1 iTTT +=

R: .

−−

+=

−

+=

12/)1(2/)1(1

][,32/)1(

2/)1(1][ 21 i

iT

ii

T


Stud

ent W

EB Cop

y

19. Să se arate că endomorfismul definit prin matricea

(considerată relativ la baza canonică a lui ) este ortogonal.

33: RR →T

=

θθ

θθ−

sin0cos010

cos0sinA 3 R

R. . 3IAAt =

20. Să se arate că transformările liniare de mai jos au proprietăţile specificate (spaţiile euclidiene considerate sunt înzestrate cu produsele scalare canonice). a) EndT ∈ , ( )(,)()),(( 22 RR MAAATM t ∈∀= , ( ))< >= ⋅A B Tr A Bt

este involuţie ) simetrică . ( 2 IdT = ))(,),(( >>=<< BTABAT b) EndT ∈ , unde T f . )(V ( ) ',f f= ∀ ∈V

),(],[:{ baCfbaf ∞∈→= RV , f continuă pe [ , , , ]a b }),()( )()( N∈∀= kbfaf ks

kd

este antisimetrică ( < ), unde ><−>= )(,),( gTfgfT ∫>=>=< yxyxyTxT

d) Transformarea ∈ EndT este transformare liniară

hermitică ( ).

[ ]

=

+−23

34),( 2

iiTC

>)(, vT>=<< ),( uvuT

21. Fie matricea . Să se determine o matrice unitară

U astfel încât matricea U să fie triunghiulară.

)(111

22 C×∈+−+

= M

iiiA

AU1−

R. Dacă , din condiţia

=

dcbaU 2IUU t = (deci Ut=−1U ) şi anularea

coeficientului din stânga jos al matricii

=

zyxAUU

0t , rezultă sistemul:

0)1)(()(;0,1,1 2222 =+++−=+=+=+ idbcdibadbcadcba ;

obţinem

=

11

21

ii

U , care produce U .

=−

2011 i

AU

22. Să se determine izometria ştiind că duce punctele ,

respectiv în punctele .

22: RR →J,1(1 −=B

)0,1(1 =A)3−)1,2(),0,2( 32 == AA ,0(),3,1(),2 32 =−= BB

R. Relaţia formală şi

condiţiile impuse

0,1, 2222 =χδ+αβ=δ+β=χ+α

δχβα

+

=

yx

ba

yx

J

3,1,) =∀= iBA ii(J , conduc la expresia analitică a transformării,

−

−+

−

=

yx

yx

J0110

11

.

Stud

ent W

EB Cop

y

Capitolul 3

VECTORI ŞI VALORI PROPRII

#1. Vectori şi valori proprii

Definiţii. Fie V un K-spaţiu vectorial şi un endomorfism. )( VEndT∈a) Se numeşte vector propriu al endomorfismului un vector nenul

, astfel încât există cu proprietatea T

}0{\V∈x λ ∈ KxTx λ= .

Scalarul se numeşte în acest caz valoarea proprie a lui T corespunzătoare vectorului propriu x.

λ

b) Se numeşte spectrul endomorfismului T, şi se notează cu σ , mulţimea tuturor valorilor proprii ale endomorfismului.

)(T

Observaţii. 1. Ecuaţia este echivalentă cu

, unde I este endomorfismul identitate. 0, ≠λ= xx Tx

0),( ≠λ−∈ xTx IKer

2. În particular pentru o transformare liniară neinjectivă, vectorii nenuli din sunt vectori proprii ai lui T ataşaţi valorii proprii zero. TKer

3. Dacă un vector este vector propriu al lui T , atunci pentru fiecare , vectorul kx este propriu.

}0{\V∈x}0{\K∈k

1.1 Teoremă. Dacă V este un K -spaţiu vectorial şi , atunci )( VEndT∈

1) Fiecărui vector propriu al lui T îi corespunde o singură valoare proprie . )(Tσ∈λ

2) Vectorii proprii ce corespund la valori proprii distincte sunt liniar independenţi. 3) Fie λ o valoare proprie a endomorfismului T. Mulţimea

} ,{ VS ∈λ==λ xxxTx

este un subspaţiu vectorial al lui V, invariant faţă de T, adică are loc incluziunea λλ ⊆ SS )( T .

Subspaţiul poate fi finit sau infinit dimensional şi se numeşte subspaţiul propriu ataşat valorii proprii .

λS

λ Demonstraţie. 1) Fie x un vector propriu asociat valorii proprii , deci

. Dacă ar exista o altă valoare proprie astfel încât , atunci am avea , dar deoarece ,

rezultă .

λ0, ≠λ= xxTx

, ≠λ′= xxxTλ′=λ

′ ∈λ K00 ⇔λ′=λ xx )( =λ′−λ x 0≠x

2) Fie vectorii proprii ai endomorfismului T, corespunzători valorilor proprii distincte . Efectuăm după . Pentru 1, vectorul propriu este

pxx ,...,1

,...,1λ )(Tp σ∈λ p ∈ N p =

Cap.III. Vectori şi valori proprii

64

Stud

ent W

EB Cop

y

diferit de vectorul nul, deci se constituie într-un sistem (de un singur vector) liniar independent. Fie proprietatea adevărată pentru vectori. Aplicând T relaţiei p −1

k xp+

1−λ −p

k k

λ=y

2 , λS

x2λ=

(Knn×

+

++

(.............

...)...

2

2

a

xx

k x k x k xp p p1 1 2 2 1 1 0+ + + =− −... (*) rezultă şi deci, folosind linearitatea endomorfismului T şi faptul că sunt vectori proprii ai lui T , obţinem k

0)...( 11 =++ pp xkxkT,..., 1 pxx .0111 =λ++λ ppp xkx K

Scăzând relaţia (*) amplificată cu , avem pλ

0)(...)( 11111 =λ++λ−λ −− pppp xkxk care, folosind ipoteza de inducţie, implică . Din (*) rezultă

şi, cum rezultă şi k , deci ind . kp1 2 1 0= = = =−...

},,{ 1 pxx Kk xp p = 0 0≠px p = 0

3) Pentru orice şi k l avem ∈yx, λS , ∈ K

⇒+λ+λ=+=+ )()()()( lykxlxkylTxkTlykxT ,λ∈+ Slykx deci este subspaţiu vectorial în V . Dacă , atunci Tx , adică .

λS

( Tλ∈ Sx λ∈λ= Sx

λλ ⊆ SS ) 1.2. Teoremă. Subspaţiile proprii corespunzătoare la valori proprii distincte , sunt disjuncte (deci au în comun doar vectorul nul).

1λS

2121 ),(, λ≠λσ∈λλ A Demonstraţie. Fie λ . Dacă prin absurd ar exista

, ar rezulta şi , deci , absurd. Rezultă .

2121 ),(, λ≠λσ∈λ AxTx 1 λ= Tx

}0{2=λ

}0{\ 21 λλ∈ SS Ix

1λS

2121 0)( λ=λ⇒=λ−λ x SI

#2. Polinom caracteristic al unui endomorfism

Definiţie. Fie o matrice pătratică de ordinul

n şi fie un vector coloană cu coeficienţi în corpul

. Dacă există un scalar λ ∈ astfel încât să aibă loc relaţia

)

1

111

nnn

n

Maa

aaA ∈

=

L

MOM

L

1 ( ) \ {0}nX M ×= ∈ K

K

1

n

x

x

M

},{ CR∈KAX X= λ , (1)

atunci X se numeşte vector propriu al matricii A, iar λ se numeşte valoare proprie a matricii A şi notăm . Ecuaţia matriceală (1) se rescrie ( şi este echivalentă cu sistemul liniar (numit sistem caracteristic al matricii A)

)(Aσ∈λ )A I X− λ 0=

=λ−++

=+λ−+=++λ−

0)....................................

0(0)(

2211

222121

112111

nnnnn

nn

nn

xxaxa

xaaxaxaaxa

. (1')

Algebră liniară

65

Stud

ent W

EB Cop

y

Fiind un sistem omogen, acesta are soluţii nebanale doar în cazul în care scalarul satisface ecuaţia algebrică

λ

00)det()(

21

22212

11211

=

λ−

λ−λ−

⇔=λ−=λ

nnnn

n

n

not

A

aaa

aaaaaa

IAP

K

MOMM

K

K

. (2)

2.1. Definiţii. a) Se numeşte polinomul caracteristic al matricei , polinomul A

)det()( IAPA λ−=λ . b) Ecuaţia (2) este o ecuaţie algebrică de grad n în necunoscuta λ , şi se

numeşte ecuaţia caracteristică a matricei A. Observaţii. 1. Valorile proprii ale matricei A sunt soluţiile din K ale ecuaţiei caracteristice (2); mulţimea acestora formează spectrul matricii A, care se va nota prin

. Dacă notăm prin ( )Aσ ( )Aσ mulţimea rădăcinilor complexe ale polinomului caracteristic al matricii A, se observă că avem ( ) ( )A Aσ σ= ∩ K .

2. Fie A o matrice pătratică reală de ordinul n şi ecuaţia ei caracteristică. Deoarece nu orice ecuaţie algebrică admite soluţii în R, dar admite soluţii în C, uneori valorile proprii ale lui A se definesc ca fiind elemente din C. În acest caz vectorii proprii corespunzători aparţin complexificatului lui notat C .

0)det( =λ− IA

nR nR Teoremă. 1) Fie )()(

,1,Knnnjiij MaA ×=

∈= . Polinomul caracteristic al

matricei A are expresia ))1(...()1()( 2

21

1 nnnnnnP δ−+−λδ+λδ−λ−=λ −− , unde

♦ ( )∑ ∑≤<≤ ≤≤

− =δ=δ−=δ=δnkj nj

njjnjkkjkkjj AaaaaaAr1 1

121 ,det), ,,, m( T K

♦ se numeşte urma matricii A, nnij aaaaTr +++= K2211) (♦ ) este minorul obţinut din matricea A prin eliminarea liniei şi coloanei a i-a, ( jjam

♦ nkk ,1, =δ reprezintă suma minorilor principali de ordinul k ai matricei A I− λ .

2) Matricele A şi au acelaşi polinom caracteristic. tA

3) Două matrice asemenea au acelaşi polinom caracteristic. Demonstraţie. 1) Vom da demonstraţia pentru matricele de ordinul doi sau trei; obţinem prin calcul direct

22112

2221

1211 T,det) T()( aaArAAraa

aaP +=+λ−λ=

λ−λ−

=λ ;

iar pentru ordinul trei

,det) T()( 23

333231

232221

131211

AJAraaa

aaaaaa

P +λ−λ+λ−=λ−

λ−λ−

=λ


66

Stud

ent W

EB Cop

y

unde am folosit notaţiile

3332

2322

3331

1311

2221

1211332211 ,T

aaaa

aaaa

aaaa

JaaaAr ++=++= .

2) . )()det()(det)det()( λ=λ−=λ−=λ−=λ Att

A tPIAIAIAP

3) Fie A şi două matrice asemenea, adică , unde C este o matrice nesingulară. Atunci

'A ACCA 1' −=

=λ−=λ−=λ−=λ −− ])(det[)det()'det()( 11' CIACIACCIAPA

)()det(det)det()det( 1 λ=λ−=λ−= −APIACIAC

Pentru o matrice A reală (deci A coincide cu conjugata ei A ) şi simetrică ( ) putem da următoarea AA t=

2.3. Teoremă. Valorile proprii ale unei matrice reale şi simetrice sunt reale.

Demonstraţie. Conjugând relaţia (1) , rezultă (2) AX X= λ AX X= λ . În (1) înmulţim la stânga cu t X , iar în (2) înmulţim la stânga cu . Relaţia implică

t X A At=t tX AX XAX= şi deci obţinem ( ) . Cum vectorul X este nenul,

avem λ λ− t =X X 0

R∈λ⇒λ=λ⇒≠ 0XXt . Exemple. 1. Aflaţi valorile şi vectorii proprii pentru matricea

=

−−−

−−

3112111224201202

A .

Soluţie. Polinomul caracteristic are drept rădăcini valorile proprii ale matricii A, Sistemul caracteristic (1) se scrie , şi este echivalent cu sistemul (1')

4)2()det()( −λ=λ−=λ IAPA

.2432 =λ=λ=λ=1λ

)4,,,(,2 321 xxxxXXAX t==

=+−−=−

0202

4321

43

xxxxxx

Obţinem . şi notând şi soluţia se scrie 34312 2,2 xxxxx =+= ax =1 bx =3

R∈==+== babxbxbaxax ,,2,,2, 4321 . Rezultă , deci valorii proprii λ îi corespund doi vectori proprii liniar independenţi

)2,1,1,0()0,0,2,1()2,,2,( ttt babbbaaX +=+= 2=

)0,0,2,1(1tv = şi , )2,1,1,0(2

tv =bază a subspaţiului propriu . Se observă că . ),( 211

vvLS =λ4dim42dim

1R=<=λS

2. Aflaţi valorile şi vectorii proprii pentru matricea .

=

−−−−

363033066

A

Algebră liniară

67

Stud

ent W

EB Cop

y

Soluţie. Polinomul caracteristic este . Din ecuaţia caracteristică (2) rezultă valorile proprii , iar din sistemul caracteristic (1'), vectorii proprii liniar independenti

2)3()( −λλ−=λP0,3 32 =λ=λ1 =λ

)1,1,1(),1,0,0(),0,1,2( 321 −−==−= ttt vvv . Observaţii. 1. Fie un spaţiu vectorial finit dimensional peste corpul K şi

un endomorfism. Fie x un vector propriu al lui T şi valoarea proprie asociată. Atunci x şi satisfac relaţia . Fixăm o bază în V şi notăm cu A

matricea ataşată endomorfismului T şi cu X matricea coloană ataşată vectorului x. Relaţia Tx este echivalentă cu ecuaţia matriceală

Vn

nnT VV →:

=

λλ xTx λ= n

xλ AX X= λ .

2. Fie polinomul caracteristic al matricei A. Din cele de mai sus se vede că, dacă există, valorile proprii ale endomorfismului T sunt rădăcinile lui în K, iar vectorii proprii ai lui T sunt soluţiile ecuaţiei matriceale

)det()( IAPA λ−=λ

)(λAP( )A I X− =λ 0.

De asemenea, teorema 2.2 arată că polinomul )det()( IAPA λ−=λ

este invariant faţă de o schimbare a bazei din V , adică coeficienţii lui depind de endomorfismul T şi nu de reprezentarea matriceală particulară A a lui T. În consecinţă, nedepinzând efectiv de A, numărul det se numeşte determinantul lui T, numărul Tr A se numeşte urma lui T, etc; putem în concluzie da următoarea

n )(λAP

A

2.4. Definiţie. Fie un endomorfism şi A matricea asociată acestuia în raport cu o bază fixată a spaţiului vectorial V . Atunci polinomul

)( nEndT V∈

n

)det()()( IAPP A λ−≡λ=λ se numeşte polinomul caracteristic al endomorfismului T. Observaţii. 1. Endomorfismul are cel mult n valori proprii distincte. Dacă T are exact n valori proprii distincte, atunci vectorii corespunzători determină o bază a lui V şi matricea A ataşată lui T în raport cu această bază este o matrice diagonală având pe diagonală valorile proprii ale lui T.

nnT VV →:

n

2. Fie V un spaţiu vectorial real n-dimensional şi un endomorfism. Notăm cu complexificatul spaţiului vectorial V şi cu complexificatul endomorfismului T. Cum T şi au aceeaşi reprezentare matriceală, valorile proprii ale lui sunt exact valorile proprii complexe

n nnT VV →:

n nVC T C

T C

T C (Aσ ) ale matricei reale asociată lui T, privită ca matrice complexă.

Având în vedere acest lucru, se observă că valorile proprii ale unui endomorfism real T (care formează spectrul ( ) al lui T) sunt valorile proprii reale Tσ

( ) ( )T Tσ σ= ∩ R , unde ( )Tσ este spectrul endomorfismului complexificat . T C


68

Stud

ent W

EB Cop

y

Exemplu. Aflaţi valorile şi vectorii proprii ai endomorfismului

descris de matricea .

)( 3REndT ∈

=

−−

010120002

A

Soluţie. Polinomul caracteristic al endomorfismului T este )2()1()( 2 −λ+λ−=λP ,

valorile proprii sunt λ ; doi vectori proprii asociaţi sunt (temă, verificaţi):

1,2 321 −=λ=λ=

)1,1,0(),0,0,1( 21 == vv .

#3. Forma diagonală a unui endomorfism Dat fiind un endomorfism , s-a văzut că matricea depinde de alegerea bazei . Apare natural întrebarea dacă există o bază în V relativ la care matricea endomorfismului să aibă o formă cât mai simplă (canonică), spre exemplu cu un număr cât mai mare de coeficienţi nuli exceptând diagonala. Cu ajutorul valorilor şi vectorilor proprii ai endomorfismului T vom realiza acest lucru în cele ce urmează.

)( nEndT V∈ B][TA =

nnV B⊂

3.1. Definiţie. Un endomorfism se numeşte diagonalizabil dacă există o bază } astfel încât matricea lui relativ la această bază să fie o matrice diagonală (cu toţi coeficienţii din afara diagonalei, nuli).

)( nEndT V∈,...,{ 1 nee=B B][TA =

Matricele din clasa de asemănare a matricii A care corespunde endomorfismului diagonalizabil T relativ la baza , se numesc matrice diagonalizabile (asociate endomorfismului T).

nV⊂B

3.2. Teoremă. Un endomorfism este diagonalizabil dacă şi numai dacă există o bază a spaţiului formată din vectorii proprii ai endomorfismului.

)( nEndT V∈ Vn

Demonstraţie. Dacă T este diagonalizabil, atunci există o bază a spaţiului faţă de care matricea lui T este diagonală, deci este de forma

},...,{ 1 nee=B

=

nna

aa

A

K

MOMM

K

K

00

0000

22

11

.

Deci au loc relaţiile nieaTe iiii ,1, == , adică vectorii nii ,1, =e sunt vectori proprii ai

endomorfismului T, asociaţi respectiv valorilor proprii niaii ,1, = .

Algebră liniară

69

Stud

ent W

EB Cop

y

Reciproc, dacă }B este o bază în V , formată din vectori

proprii ai lui T, adică au loc relaţiile

,...,,{' 21 nvvv= n

nivii ,1, =λTvi = , atunci matricea lui T relativ la această bază este

==

λ

λλ

n

TD

K

MOMM

K

K

00

020001

'][ B ,

unde scalarii λ nu sunt neapărat distincţi. i

3.3. Definiţii. Fie λ o valoare proprie a endomorfismului T. )(Tσ∈

a) Se numeşte multiplicitate algebrică a valorii proprii şi o notăm prin , ordinul de multiplicitate al valorii proprii λ ca rădăcină a polinomului

caracteristic asociat endomorfismului T.

λ( )am λ

b) Se numeşte multiplicitate geometrică a valorii proprii şi o notăm prin , dimensiunea subspaţiului vectorial asociat valorii proprii .

λ( )gm λ λS λ

Teoremă. Dimensiunea unui subspaţiu propriu al endomorfismului

este cel mult egală cu ordinul de multiplicitate al valorii proprii corespunzătoare subspaţiului .

0 λS

)( nEndT V∈)(0 Aσ∈λ

0 λS

Deci multiplicitatea geometrică a unei valori proprii este totdeauna cel mult egală cu cea algebrică. Demonstraţie. Fie λ o valoare proprie multiplă de ordinul m şi subspaţiul propriu corespunzător. Avem ; fie o bază în subspaţiul propriu . Distingem următoarele cazuri:

0

0λ

0 λS

}penp ≤=λ0 dim S ,...,,{ 21 ee=B

S

♦ Dacă , atunci ordinul de multiplicitate al valorii proprii λ este n, căci relativ la această bază matricea transformării liniare este diagonală

np = 0

nnPTA )()1()(][ 0

000

000000

λ−λ−=λ⇒

==

λ

λλ

K

MOMM

K

K

B .

♦ Dacă , completăm această bază până la o bază în V de forma np < n

},...,;,...,{ 11 npp eeee +=B .

Ţinând cont că vectorii piei ,1, = sunt vectori proprii asociaţi valorii proprii λ , au loc descompunerile

0

∑=

+===λ=n

kkkjjii npjeaeTpieeT

10 ,1,)(;,1,)( .

Matricea lui T faţă de baza B va fi deci


70

Stud

ent W

EB Cop

y

==

+

+λ

+λ+λ

nnanpa

pnappa

napanapa

TA

KK

MOMOMM

KK

MMMOMM

KK

KK

10000

10000

21200

0111000

][ B ,

şi deci polinomul caracteristic al lui T are forma

λ−+

λ−+=λλλ−λ=λ−=λ

nnanpa

pnappa

QQIAP p

K

MOM

K

1

1)(),()()det()( 0 .

Deoarece , rezultă că ordinul m al valorii proprii este cel puţin p, deci .

)(|)( 0 λλ−λ Pp

mp ≤ 3.4. Teoremă. Fie endomorfismul . Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente:

)( nEndT V∈

(i) T este diagonalizabil; (ii) polinomul caracteristic al endomorfismului T are cele n rădăcini în

corpul K şi dimensiunea fiecărui subspaţiu propriu este egală cu ordinul de multiplicitate al valorii proprii corespunzătoare (pe scurt, ( )Tσ ⊂ K şi

, ) . )(Tσ∈λ∀ ( ) ( )a gm mλ λ=

Demonstraţie. Fie diagonalizabil, deci există o bază în

, formată din vectori proprii pentru T, faţă de care matricea lui T este diagonală. Descompunem polinomul caracteristic P deci

)( nEndT V∈ },...,{ 1 nee=B

p

mp( ) ,λ λ−Vn

m m( ) ( ) ( ) ...λ λ λ λ λ= − −1 21 2

pi ,1=i ,λ sunt valorile proprii ale lui T de multiplicităţi m care satisfac relaţia i

m nii

p

==∑ .1

Fără a afecta generalitatea, admitem că primii m vectori din baza { , corespund lui λ , următorii lui λ etc. În concluzie, vectorii e aparţin subspaţiului propriu corespunzător valorii proprii λ , ceea ce înseamnă că numărul lor m este cel mult egal cu . Pe de altă parte, conform teoremei 3.3, avem În concluzie . Analog, rezultă

1 ..., }e en1

em11

m≤

m2 2

dim=

1 ,...,

1λS 1

1

1λ

1λS

1dim λS.dim 1S 1m

pimS iλi,2,dim == .

Reciproc, fie pimS iλi,1,dim == . Considerăm familia de vectori din V n

∑=

++ ==−

n

iimmmmm nmeeeeee

pp1

111 },,...,,...,,...,,,...,{1211

B ,

Algebră liniară

71

Stud

ent W

EB Cop

y

aleasă astfel încât primii m vectori să constituie o bază în , următorii să constituie o bază în , etc. Prin inducţie după p , se poate arăta că B este bază în V . Relativ la această bază, matricea endomorfismului are forma următoare

1 1λS

nV:

m2

2λS

n nT V→

==

λ

λλ

λ

λλ

p

Op

p

O

TA

...000............0...00...000000

01...00............0...10

00...01

][

M

M

KKOKK

M

M

B

deci o matrice diagonală. Prin urmare endomorfismul T este diagonalizabil. Corolar. Dacă ) este diagonalizabil, atunci are loc descompunerea EndT nV( ∈

pSSSn λλλ ⊕⊕⊕= ...

21V .

Fie un K-spaţiu vectorial, iar un endomorfism al acestuia. Pentru a obţine forma diagonală a lui T, putem da următorul algoritm.

nV )EndT nV( ∈

Algoritm de diagonalizare. 1. Fixăm o bază oarecare şi determinăm matricea nVB ⊂

njiijaTA,1,

)(][=

== B a endomorfismului T în această bază.

2. Aflăm valorile proprii ale endomorfismului, soluţiile în corpul K ale ecuaţiei . Dacă , atunci algoritmul stopează, iar endomorfismul T nu este diagonalizabil.

0)( =λAP K⊄σ )(T

3. Dacă şi este format din valori proprii distincte cu ordinele de multiplicitate respectiv m calculăm rangul fiecărei

matrice

K⊂σ )(T p p n( ≤mp1,..., ,

)λλ1 ,..., p

pj ,1=IA j ,λ− . Dacă avem pjmArang j ,1,( =λ−

λ− IA j

nIj ) −=

0) =X, adică spaţiul

vectorial al soluţiilor sistemului omogen ( satisface condiţia

pjmS jj,1,dim ==λ

atunci (cf. teoremei 3.4) endomorfismul T este diagonalizabil şi se trece la pasul 4; altfel T nu este diagonalizabil, şi algoritmul stopează. 4. Se rezolvă cele p sisteme omogene

pjXIA j ,1,0)( ==λ− ,


72

Stud

ent W

EB Cop

y

ale căror soluţii formează subspaţiile proprii pjSj

,1, =λ . Astfel obţinem practic câte

o bază formată din vectori proprii, pentru fiecare subspaţiu propriu jB jm

p,1jSj, =λ .

5. Reunim cele p baze ale subspaţiilor proprii, formând o bază spaţiului vectorialpBBBB ∪∪∪= K21' a nV .

6. Relativ la această bază matricea este matrice diagonală, şi are pe diagonală valorile proprii λ λ fiecare dintre acestea apărând de un număr de ori egal cu ordinul său de multiplicitate.

'B '][' BTAD ==λ... ; ,...,p λ1 1,..., ; ,p

11 3

7. Construim matricea diagonalizatoare (matricea modală) C, matricea de trecere de la baza B la B , C . ' BB ]'[=

8. Verificăm corectitudinea calculelor, testând relaţia sub forma echivalentă .

ACCD 1−=ACCD =

Exemple. 1. Determinaţi dacă endomorfismul , definit prin matricea asociată relativ la baza canonică

)( 3REndT ∈

=

−−−

321352572

A

este diagonalizabil sau nu. Soluţie. Obţinem prin calcul polinomul caracteristic, o

singură valoare proprie distinctă, , rădăcină triplă a polinomului caracteristic (m ). Avem

;)2()( 3−λ=λP21 =λ

1 3=

31dim0332rang)2(rang 11 1

1213325-7-4-

=≠=⇒=−=−≠=

=− λ mSmnIA .

Deci endomorfismul T nu este diagonalizabil. 2. Diagonalizaţi endomorfismul a cărui expresie analitică este )( 4REndT ∈

4432143143241 ),,,(),32,2,,()( R∈=∀+−−−−+−= xxxxxxxxxxxxxxT .

Soluţie. În raport cu baza canonică a lui , matricea lui T este R 4

=

−−−

−−

32012100

00101001

A .

Obţinem polinomul caracteristic )4()1)(2()det()( 2 −λ+λ+λ=λ−=λ IAP

şi valorile proprii . Ordinele de multiplicitate ale valorilor proprii sunt respectiv m m .

4,1,2 4321 =λ−=λ=λ−=λm1 2 31 2= =, , =

Deoarece , prin rezolvarea sistemului omogen obţinem vectorul propriu generator .

rang( )A I n m− = = − = − =λ1 13 4

,0)2( =+ XIA )1,2,0,1(1 −= tv

Algebră liniară

73

Stud

ent W

EB Cop

y

Analog, deci , iar vectorii proprii

corespunzători sunt .

rang( )A I n m− = = − = −λ2 22 4

1,0,2(),0,0,1,0( 32tt vv ==

2 2 dim2=λS

)0,Obţinem , deci vectorul propriu corespunzător valorii

proprii λ este v . 34 3)(rang mnIA −==λ−

6 )5,2,0,1(4 −= t4 =

Deci baza B a spaţiului relativ la care matricea endomorfismului T este diagonală, este . În concluzie endomorfismul T este diagonalizabil, cu matricea diagonalizatoare C şi matricea diagonală D date respectiv de

'B

4 R}4v,,,{' 321 vvv=

==−

−

50012102

00101201

],,,[ 4321 vvvvC , .

==−

−−

−

4000010000100002

1ACCD

#4. Forma canonică Jordan Fie un K-spaţiu vectorial şi un endomorfism al acestuia. Matricea A a lui T depinde de alegerea bazei în . Condiţiile în care matricea A se poate diagonaliza au fost date în teoremele 3.2 şi 3.4. În cazul în care aceste condiţii nu sunt toate satisfăcute, deci când diagonalizarea nu este posibilă, se poate testa dacă endomorfismul admite o formă canonică mai generală, numită forma Jordan.

Vn )( nEndT V∈Vn

4.1.Definiţii. a) Fie . Se numeşte celulă Jordan de ordinul m ataşată scalarului , şi se notează prin , matricea

λ ∈ K

mJλ

)()(

00100

01001

Kmxmm MJ ∈

=λ

λ

λλ

KK

KK

MM

K

KK

Spre exemplu, avem următoarele celule Jordan

)()1( 333

100110011

CxMiJi

ii

∈

=+

++

+,

)(3013

)3( 222 RxMJ ∈

= , şi . )()7()7( 111 RxMJ ∈=

b) Endomorfismul T se numeşte jordanizabil dacă există o bază în faţă de care matricea endomorfismului să fie de forma

)( nEnd V∈Vn

=

pJ

JJ

J

K

MOMM

K

K

00

020001


74

Stud

ent W

EB Cop

y

(forma canonică Jordan), unde J sunt celule Jordan ataşate valorilor proprii λ , i i

pi ,1= ale endomorfismului T. O celulă Jordan de ordinul s ataşată unei valori proprii multiplă de ordinul corespunde vectorilor liniar independenţi care satisfac următoarele relaţii

)(Tσ∈λ

see ,...,2sm ≥ e ,1

+λ=

+λ=λ=

− .

,

1

122

11

ss eeTe

eeTeeTe

s

K

După cum se observă din prima ecuaţie, vectorul e este propriu; vectorii se numesc vectori principali.

1 see ,...,2

Observaţii. 1. Există endomorfisme ale spaţiilor vectoriale reale care nu admit formă Jordan, şi anume acelea pentru care corpul K este R (deci K nu este corp algebric închis) iar ecuaţia caracteristică nu are toate cele n rădăcini în R ( ). Spre exemplu, endomorfismul T , RK =⊄σ )(T )( 2REnd∈

22112 ),(),,()( R∈=∀−= xxxxxxT ,

are drept valori proprii numerele complexe imaginare . R∉± i

2. Endomorfismele spaţiilor complexe admit totdeauna la forma Jordan, deoarece orice ecuaţie algebrică de gradul n cu coeficienţi complecşi are toate cele n rădăcini în corpul . CK =

3. Forma diagonală a unui endomorfism diagonalizabil este un caz particular de formă canonică Jordan, anume cazul când toate celulele Jordan sunt de ordinul unu.

4. Forma canonică Jordan asociată unui endomorfism dat nu este unic determinată. Doar numărul celulelor Jordan (care este egal cu numărul maximal de vectori proprii liniar independenţi ai lui T) precum şi structura internă a celulelor Jordan sunt unice. Ceea ce nu este unic determinat este ordinea celulelor Jordan pe "diagonala" matricii canonice Jordan. Această ordine depinde de ordinea vectorilor din baza B - formată din vectori proprii şi princpali ai endomorfismului T. '

5. Se poate arăta că pentru un un endomorfism T al K-spaţiului vectorial , ce are valorile proprii distincte λ de multiplicităţi respectiv

(∑ ), există p subspaţii vectoriale

)( nEnd V∈λ p Vn

pm,

1 ,...,

mm ,, 21 K=

=p

kk nm

1pjj ,1, =⊂VV , astfel încât

sunt satisfăcute următoarele proprietăţi: ♦ pjm jj ,1, ==Vdim ; ♦ subspaţiile V sunt invariante faţă de T; j

Algebră liniară

75

Stud

ent W

EB Cop

y

♦ pjINjj mjj ,1,/ =λ+=VT , cu endomorfism nilpotent de ordin cel mult ; jN jm

♦ are loc descompunerea în sumă directă

pn VVVV 21 ⊕⊕⊕= K .

Pe baza acestui rezultat, se poate demonstra următoarea teoremă: Teorema Jordan. Fie un K-spaţiu vectorial n-dimensional. Dacă endomorfismul are valorile proprii în corpul K, atunci există o bază în

(numită bază Jordan) faţă de care matricea lui T are forma Jordan..

Vn)( nEndT V∈

Vn Algoritm pentru găsirea unei baze Jordan

1. Se fixează o bază în şi se determină matricea A ataşată endomorfismului

. Vn

)( nEndT V∈2. Prin rezolvarea ecuaţiei caracteristice ; se determină

valorile proprii distincte λ , multiple de ordinul respectiv 0)det()( =λ−≡λ IAPA

j pjm j ,1, = . Algoritmul

continuă doar dacă pj ,1, ∈∀Kj ∈λ (sau, echivalent, ), altfel

endomorfismul nu este jordanizabil.

∑=

p

jjm

1= n

3. Se Află vectorii proprii liniar independenţi corespunzători fiecărei valori proprii . jλ

4. Se calculează numărul de celule Jordan, pentru fiecare valoare proprie distinctă în parte, număr egal cu dim . jλ )(rangdim IAS jnj

λ−−=λ V

5. Se rezolvă sistemul ( ) , pentru fiecare A I Xj

mj− λ 0= pj ,1= .

Pentru pj ,1∈ fixat, soluţiile vectori nenuli generează subspaţiul . Practic, se

determină întâi forma vectorilor proprii v ce generează prin rezolvarea sistemului j

Sλ

jSλ

0)( =λ− vIA j .

Distingem cazurile: ♦ , caz în care se determină o bază a subspaţiului formată

din vectori proprii (soluţiile fundamentale ale sistemului de mai sus). jmS

j=λdim

jmjB jj

S V=λ

♦ , caz în care avem jmSj≤λdim jj jj

SS VV ≠⊂ λλ , .

În acest caz se determină forma generală v a vectorilor proprii din , se calculează

numărul de vectori principali asociaţi, şi se află aceşti vectori,

rezolvând succesiv sistemele liniare

jSλ

jSm j λ− dim

12 )(,,)( −=λ−=λ− ss wwIAvwIA K . La fiecare sistem în parte se verifică compatibilitatea acestuia, şi ţinând cont şi de condiţiile sistemelor anterioare se obţin informaţii relativ la vectorul propriu generic v


76

Stud

ent W

EB Cop

y

căruia i se asociază aceşti vectori principali; apoi, în caz că acesta sistemul este compatibil, se rezolvă. Se determină în acest mod un număr de seturi de vectori, ce conţin

fiecare câte un vector propriu v din baza spaţiului şi vectori principali asociaţi

acestuia (în cazul în care sistemele ce produc vectori principali asociaţi lui v sunt compatibile).

jSn j λ= dim

jSλ

Familia ordonată a acestor seturi corespunde la o familie de celule Jordan aşezate pe diagonala matricii formei canonice Jordan, şi determină o bază în subspaţiul invariant asociat valorii proprii λ .

jn jn

jB

jV j

6. Se reunesc cele p baze ale subspaţiilor invariante , formând o bază jV

pBBBB ∪∪∪= K21' a spaţiului vectorial nV .

7. Relativ la această bază ' matricea este matrice în formă canonică Jordan, şi are pe diagonală celulele Jordan asociate valorilor proprii

, dispuse în ordinea în care apar în baza B seturile de vectori (formate din

căte un vector propriu urmat, eventual, de vectorii principali asociaţi (daca aceştia există).

B '][' BTAJ ==

'pλλ ,...,1

Celulele Jordan au ordinul egal cu numarul de vectori din setul corespunzător, şi conţin valoarea proprie ataşată setului de vectori.

8. Se construieşte matricea jordanizatoare C, adică matricea C de trecere de la baza B la B .

BB ]'[='

9. Se verifică corectitudinea calculelor, testând relaţia ACCJ 1−=

sub forma echivalentă . ACCJ =

Exemplu. Să se afle forma canonică Jordan a endomorfismului T , )( 4REnd∈)617,7,24,2()( 432143212121 xxxxxxxxxxxxxT −−−−+++−−+= ,

44321 ),,,( R∈=∀ xxxxx .

Soluţia I. Matricea endomorfismului T relativ la baza canonică a spaţiului vectorial este 4R

=

−−−−

−−

11617111700240012

A .

Ecuaţia caracteristică 0 are soluţia multiplă de ordin . Avem ra

4 =λ λ==λ 01 41 =mng( )A I− =λ 2 , deci numărul celulelor Jordan este egal cu

224dim)(rang =−==λ−− λSIAn . Ordinele celor două celule Jordan pot fi: ambele de ordin 2, sau una de ordin 3 şi cealaltă de ordin 1.

Algebră liniară

77

Stud

ent W

EB Cop

y

Determinăm situaţia în care ne aflăm, folosind indicele de nilpotenţă al restricţiei ; pentru aceasta aflăm subspaţiul . Deoarece

11/1 VIdTN λ−= V4

1 )(Ker IdT λ−=V

442

2

11617111700240012

)( xOIA =

−−−−

−−=λ− ,

obţinem,

41

4

32

)(

)()()(

R=V=V=λ−=

=λ−=λ−⊂λ−=λ

IdT

IdTIdTIdTS

Ker

KerKerKer

unde am notat prin Id transformarea idantică a spaţiului vectorial . Rezultă că indicele de nilpotenţă h al restricţiei este egal cu 2.

4R1 N

Deoarece şi , rezultă că numărul celulelor Jordan de tip hxh=2x2 este egal cu

4)(Ker dim 2 =λ− IT 2dim)(Ker dim ==λ− λSIT

224)(Ker dim)(Ker dim 2 =−=λ−−λ− JTJT .

Prin urmare forma Jordan este , unde .

=

2001

JJJ

=

λ

λ==

0010

01

21 JJ

Soluţia II. Deoarece , rezultă că valorii proprii îi corespund doi vectori proprii liniar independenţi pe care-i determinăm rezolvând sistemul omogen dublu nedeterminat

2dim2)(rang =⇒=λ− λSIA0=λ

=−−−−=+++

=−−=+

⇔==λ−

.061707

02402

),,,(,0)(

4321

4321

21

21

4321

xxxxxxxx

xxxx

xxxxvvIA t

Notând obţinem , deci soluţia generală a sistemului are forma , sau .

x a x3 4= =, b

)

d

5/)(2,5/)( 21 baxbax +=+−=

( )bababa ,,5/)(2,5/) ++ ba −≠v t (−= 0≠bDeci există maximum doi vectori proprii liniar independenţi. Deoarece diferenţa dintre multiplicitatea algebrică şi cea geometrică a valorii proprii este , vom determina 2 vectori principali, precum si vectorii proprii cărora aceştia le corespund. Fie un vector principal; acesta satisface sistemul neomogen

224 =−( 43212 ,,, uuuuw t=

=−−−−=++++=−−

+−=+

⇔=λ−

.6177

5/)(2245/)(2

)(

4321

4321

21

21

2

buuuuauuuubauu

bauu

vwIA

Notând obţinem soluţia sistemului (care este compatibil nedeterminat , verificaţi !),

u c u3 4= =,R∈∀ ba,

++−−−−+

= dcdcbadcbawt

,,25

1010717,25

5562

.


78

Stud

ent W

EB Cop

y

Deoarece condiţiile de compatibilitate Rouche sunt identic satisfăcute, rezultă că fiecăruia dintre vectorii proprii liniar independenţi ai unei baze a subspaţiului , i se ataşează un vector principal.

λS

Alegând , obţinem vectorul propriu v , şi alegând se obţine vectorul principal ataşat vectorului propriu v .

a = 7

= = −7 1, ,

1

b = −17

c d= =7

)17,7,4,2(1 −−=)0,0,0,1(1 =wa b 0

6Alegând se găseşte vectorul propriu ; pentru , găsim vectorul principal care se ataşează lui

.

a b= = −1,

d= = 0

)6,1,2,1(2 −−=v)0,a b c= = −1 6, ,

2v0,1,0(2 =w

S-au obţinut seturile de vectori { şi , care prin reuniune determină baza Jordan B . Corespunzător celor două seturi, avem două celule Jordan de ordin 2 fiecare (numarul de vectori din fiecare set). Relativ la baza matricea Jordan a endomorfismului T şi matricea de trecere la noua bază sunt respectiv

}, 11 wv4R⊂

},{ 22 wv

2211 },,,{'= wvwv

'B

==

0000100000000010

'][ BTJ , C ;

==

−−

−−

06017010712040112

],;,[ 2211 wvwv

acestea satisfac relaţia (CJ=AC) (temă, verificaţi !). JACC =−1

#5. Spectrul endomorfismelor în spaţii euclidiene

Fie V un K-spaţiu vectorial euclidian şi un endomorfism al acestuia. Dacă )λ iar x este un vector propriu ataşat lui λ , atunci are loc relaţia

)(VEndT∈(Tσ∈

><><

=λxxxTx

,, .

Într-adevăr, avem < şi cum , prin împărţire la ><λ>=λ>=< xxxxxTx ,,, 0≠x

0, 2 ≠>=< xxx , rezultă afirmaţia.

5.1. Teoremă. Dacă este un endomorfism hermitic al spaţiului euclidian complex V , atunci:

)(VEndT∈

1) Valorile proprii ale lui T sunt reale. 2) La valori proprii distincte ale lui T corespund vectori proprii ortogonali.

3) Dacă n , atunci T admite exact n vectori proprii ortogonali doi câte doi (deci este diagonalizabil).

=Vdim

Demonstraţie. Din ipoteză T hermitic, deci Vom demonstra proprietăţile 1) şi 2). 1) Prin calcul direct obţinem

V∈∀>>=<< yxyTxTyx ,,,, .

Algebră liniară

79

Stud

ent W

EB Cop

y

R∈λ⇒λ=><><

=><><

=><><

=λxxxTx

xxTxx

xxxTx

,,

,,

,, .

2) Fie λ valori proprii ale lui T şi vectori proprii corespunzători. Atunci avem

21 λ≠ V, ∈21 vv

, ><λ>=λ>=<< 21121121 ,,, vvvvvTv ><λ>=<λ>=λ>=<>=<< 2122122212121 ,,,,, vvvvvvTvvvTv . Prin scădere rezultă ; dar întrucât λ , avem

, deci cei doi vectori proprii sunt ortogonali.

0

T a

,)( 2121 >=<λ−λ vv 21 λ≠0, 21 >=< vv

Observaţii. 1. Pentru un endomorfism antihermitic valorile proprii sunt pur imaginare sau nule; vectorii proprii corespunzători au aceleaşi proprietăţi ca şi în cazul hermitic. 2. Pe spaţiile euclidiene reale, valorile proprii ale unui endomorfism simetric sunt reale, iar valorile proprii reale ale unui endomorfism antisimetric sunt nule. Dacă este un spaţiu euclidian real n- dimensional, iar este simetric, atunci T posedă n vectori proprii care constituie o bază ortogonală a lui . Această proprietate nu este adevărată pentru un endomorfism antisimetric.

Vn )( VEndT∈Vn

Corolar. Fie un K-spaţiu vectorial n-dimensional, iar T un

endomorfism simetric (pentru cazul K=R), sau hermitic (pentru cazul K=C). nV )( nVEnd∈

Atunci există o bază ortonormată astfel încât matricea [ endomorfismului T relativ la baza este matrice diagonală (deci endomorfismul T este diagonalizabil).

nV⊂'B ']B

'B

Exemplu. Arătaţi că endomorfismul T al spaţiului vectorial euclidian complex dat prin matricea A este hermitic, apoi diagonalizaţi, unde

)( 3CEnd∈3 C

)(4000303

3 CMii

A ∈

−= .

Soluţie. T este endomorfism hermitic, deoarece baza canonică 3

321 )}1,0,0(),0,1,0(),0,0,1({ CB ⊂==== eee este ortonormată, iar matricea asociată endomorfismului relativ la această bază

este matrice hermitică (satisface relaţia B][TA = AA t= ). Determinăm o bază faţă de care matricea endomorfismului să aibă forma diagonală. Valorile

proprii sunt reale: λ λ , iar vectorii proprii corespunzători sunt pentru λ = şi , pentru λ = , şi sunt ortogonali

doi câte doi. Normând vectorii proprii obţinem baza ortonormată

3CB ⊂′

0,,1(1 = ivλ1 2 32= = =,

) 4 v4

1,0,0(), 2 =v )0,1,(3 i= 2

=

==

=== 23

3

32

1

11 ,0,

21,

2,0,

2,

21' vui

vv

uivv

uB .


80

Stud

ent W

EB Cop

y

Matricea de trecere de la baza canonică la baza şi matricea diagonală asociată sunt deci

'B

−=10002/12/02/2/1

ii

C , .

=== −

400020004

1'][ ACCD BA

5.2. Teoremă. Fie V un spaţiu euclidian complex/real şi un

endomorfism unitar (pentru K=C), sau ortogonal (pentru K=R). Atunci: V)(EndT∈

1) Dacă aparţin corpului K, valorile proprii ale lui T au modulul 1. 2) La valori proprii distincte ale lui T corespund vectori proprii ortogonali. 3) Dacă V este spaţiu vectorial complex n-dimensional, atunci T posedă n vectori proprii ortogonali doi câte doi. Demonstraţie. Demonstrăm proprietăţile 1) şi 2). 1) Fie T un morfism unitar, λ ∈ o valoare proprie a acestuia, şi un vector propriu corespunzător lui λ . Rezultă relaţiile

C}0{\V∈x

,,,,,,,

>>=<<><λλ>=λλ>=<<

xxxTxTxxxxxTxT

unde λ este conjugatul complex al lui λ . Prin scădere rezultă 0,)1( >=<−λλ xx . Deoarece < , rezultă 0, >≠xx λλ sau − =1 0 λ 2 =1, adică λ =1. 2) Fie valorile proprii λ şi vectori proprii asociaţi respectiv celor două valori proprii. Atunci

λ1 ≠ 2 2x x1 ,

>>=<< 2121 ,, xxxTxT şi ><λλ>=λλ>=<< 2121221121 ,,, xxxxxTxT . Prin scăderea acestor relaţii, rezultă

0,)1( 2121 >=<−λλ xx . Deoarece valorile proprii au modulul unu şi sunt distincte, rezultă 0121 ≠−λλ , deci , şi deci vectorii şi sunt ortogonali. 0, 21 >=< xx x1 x2

Exemplu. Să se aplice teorema de mai sus endomorfismului T dat

prin matricea .

)( 3REnd∈

})12{(\,cos0sin

010sin0cos

π+∈

=

∈−

−ktA

ktt

tt

ZR U

Soluţie. Matricea A a endomorfismului relativ la baza canonică este matrice ortogonală (A A ), iar baza canonică este ortonormată relativ la produsul scalar canonic (temă, verificaţi); deci endomorfismul T este ortogonal.

It =

Verificăm că valorile proprii ale endomorfismului au modulul egal cu unitatea şi că vectorii proprii (cu coeficienţi complecşi) corespunzători sunt ortogonali. Valorile proprii ale lui , adică soluţiile ecuaţiei det( , sunt

33: RR CCC →T

TC 0) =λ− IAtittit sincos,sincos,1 321 −=λ+=λ−=λ .

Algebră liniară

81

Stud

ent W

EB Cop

y

Se observă că 1321 =λ=λ=λ . Vectorii proprii corespunzători sunt, după normare

3321 )1,0,(

21),1,0,(

21),0,1,0( C∈=−== ivivv .

Se verifică usor relaţiile de ortogonalitate în 3C0,,0,,0, 133221 >=<>=<>=< vvvvvv ,

deci este o bază ortonormată (verificaţi !) complexă, relativ la care transformarea liniară este diagonalizabilă, cu matricea diagonală asociată

3321 },,{' CB ⊂= vvv

)( 3RCEndT∈C

==

−+

−

tittitTD

sincos000sincos0001

'][ BC .

Se mai observă că deşi T nu este diagonalizabilă ca endomorfism al spaţiului (deoarece ), putem ataşa vectorilor v şi vectorii reali (care nu sunt vectori proprii pentru endomorfismul T):

3RR⊄σ )(T 2 3v

)0,0,1(2

1)Im()Im();1,0,0(2

1)Re()Re( 323322 −=−===== vvuvvu ,

iar aceştia verifică condiţiile de ortogonalitate 0,,0,,0, 323121 >=<>=<>=< uuuvuv ,

deci am obţinut baza ortogonală care nu este formată din vectori proprii, produsă de baza ortogonală din C .

3321 },,{ RB ⊂=′′ uuv

,,{' 321 vvv=B } 3

#6. Polinoame de matrice. Funcţii de matrice Fie End∈ un endomorfism al K -spaţiului vectorial n-dimensional şi

)( nVT Vn))( ijaA = (

,1,Knnnji

M ×=∈ matricea acestuia relativ la o bază a lui . Vn

6.1. Definiţie. Oricărui polinom cu coeficienţi din corpul K,

][)( 011

1 tatatatatQ mm

mm K∈++++= −

− K , îi putem asocia polinomul de endomorfisme

)()( 011

1 nm

mm

m EndJaTaTaTaTQ V∈++++= −− K ,

şi polinomul de matrice , )()( 01

11 Knn

mm

mm MIaAaAaAaAQ ×

−− ∈++++= K

unde este endomorfismul identic, iar este matricea identitate de ordinul n .

)( nEndJ V∈ )(KnnMI ×∈

Observaţie. Studiul polinoamelor de endomorfisme se reduce la studiul polinoamelor de matrice; puterile de matrice se pot calcula relativ uşor, făcând uz de forma canonică a matricilor respective, după cum urmează:

Cap.III. Vectori şi valori proprii 82 ♦ dacă matricea A este similară cu o matrice diagonală D, atunci

Stud

ent W

EB Cop

y

11221 ,,, −−− === CCDACCDACDCA mmK ; ♦ dacă matricea A este similară cu o matrice Jordan J, atunci

11221 ,,, −−− === CCJACCJACJCA mmK .

6.2. Teorema Cayley-Hamilton. Fie o matrice şi polinomul caracteristic al matricii A. Atunci are loc relaţia , unde O este matricea

nulă de ordinul n.

)(KnnMA ×∈OAP =)(

AP

n n

Demonstraţie. Pentru o matrice arbitrară )C , are loc relaţia (KnnM ×∈

ICCC )(det=⋅ + , (*) unde C este reciproca matricii C. Fie şi polinomul său caracteristic. Considerând , unde I este matricea unitate de ordinul n, egalitatea ( devine

+ )(KnnMA ×∈Iλ

P A( ) det( )λ = − IλAC −=

)∗IPIAIA )())(( λ=λ−λ− + . (**)

Prin construcţie este o matrice de polinoame de grad n 1, deci are forma +λ− )( IA −

02

21

1)( BBBIA nn

nn ++λ+λ=λ− −

−−

−+ K ,

unde , )(M KnniB ×∈ 1,0 −= ni . Fie polinomul caracteristic al matricii A:

nkaaaaP kn

nn

n ,0,,)( 01

1 ∈∀∈++λ+λ=λ −− KK ;

atunci egalitatea ( se rescrie )∗∗IaaaBBBBIA n

nn

nn

nn

n )())(( 01

1012

21

1 ++λ+λ=+λ++λ+λλ− −−

−−

−− KK ,

sau, grupând după puterile lui λ , =+λ−++λ−+λ− −

−−− 0011

211 )()()( ABBABBABB nnn

nn K

IaIaIa nn 01 )()( +λ++λ= K

Prin identificare obţinem relaţiile IaABIaBABIaBABIaB nnnn 0010112101 ,,,, ==−=−=− −−−− K .

Amplificând aceste relaţii la stânga respectiv cu şi apoi adunându-le membru cu membru, obţinem

IAAA nn ,,,, 1 K−

=++++= −

− IaAaAaAaAP nnnn

11

10)( K 0002

12

111 =++−+−+−= −

−−

−−− ABABBABABABA n

nn

nn

nn

n K

Corolar. Dacă este un endomorfism, iar este polinomul său caracteristic, atunci are loc egalitatea de polinoame de endomorfisme

.

)( nVEndT∈ )(λP

OTP =)( Exemple. 1. Calculaţi polinomul de matrice , unde )(AQ

496)( 23 −+−= ttttQ , . )(211121112

33 RxMA ∈

=

Algebră liniară

83

Stud

ent W

EB Cop

y

Soluţie. Polinomul caracteristic al matricei A este )496()4()1()det()( 232 −λ+λ−λ−=−λ−λ=λ−=λ IAPA

şi deci, în baza teoremei Cayley-Hamilton avem ; făcând uz de aceasta, prin calcul direct rezultă Q

OAPA =)( OAPA A =−= )()( .

2. Se dă matricea . Calculaţi matricea inversă folosind

teorema Cayley-Hamilton.

=

200120012

A A−1

Soluţie. Polinomul caracteristic al matricii este

3)2()( λ−=λAP . Se observă că termenul liber al polinomului (care este egal cu determinantul matricii) este 8, deci nenul, şi prin urmare matricea A este inversabilă. Aplicând teorema Cayley-Hamilton, avem , adică 0)( =APA

081260)2( 233 =−+−⇔=− IAAAIA , sau încă,

IAIAAIAAA =⋅+−≡+−⋅ 8/)126(8/)126( 22 de unde, prin amplificare cu , rezultă 1−A

−

−=+−=−

2/1004/12/10

8/14/12/18/)126( 21 IAAA .

6.3. Teoremă. Fie o matrice de ordin n. Atunci orice polinom în A de grad cel puţin n, poate fi exprimat printr-un polinom de gradul n 1.

)(KnnMA ×∈

− Demonstraţie. Polinomul caracteristic ataşat matricei A este

))1(()1()( 11 n

nnnnP δ−++λδ−λ−=λ − K ; aplicând teorema Cayley-Hamilton, rezultă că puterea maximă a matricii A în

are expresia nA

)(AP.)1( 11

1 IAA nnnn δ−+−δ= +− K

Observaţii. 1. Se observă că prin recurenţă toate puterile ale matricii A de ordin n se exprimă cu ajutorul puterilor .

A pn p+ ∈, NIAAn ,,,1 K−

2. Fie un K - spaţiu vectorial şi o serie de puteri

Această serie are sens pentru (spre exemplu numere reale, numere complexe, matrice pătratice, funcţii, polinoame, endomorfisme etc.) dacă putem defini puterea

. În cele ce urmează vom presupune cunoscute rezultatele din analiza matematică privind convergenţa seriilor de puteri.

V K∈= ∑ mm

mm atatf ,)( .

V∈t

t m

Cap.III. Vectori şi valori proprii 84

Stud

ent W

EB Cop

y

6.4. Definiţii. Fie un endomorfism arbitrar şi A matricea pătratică de ordinul n asociată lui T relativ la o bază din V .

)( nVEndT∈

n

a) Se numeşte serie de matrice, iar suma acesteia se numeşte funcţie de matrice, o serie de forma

N∈∀∈∑∞

=

maAa mm

m ,,0

Km .

b) Se numeşte serie de endomorfism, iar suma acesteia se numeşte funcţie de endomorfism, o serie de forma

N∈∀∈∑∞

=

maTa mm

m ,,0

Km .

Observaţii. 1. Pe spaţ iile finit dimensionale, studiul seriilor de endomorfisme se reduce la studiul seriilor de matrice.

2. Conform consecinţei teoremei Cayley-Hamilton, funcţia de matrice se reduce la un polinom Q A de gradul n 1 în A, unde n este

ordinul matricei A. Dacă este convergentă, atunci coeficienţ ii polinomului

sunt serii convergente.

m

mm AaAf ∑

∈

=N

)(

Q A( )

( ) −

a Amm

m∑

3. În cazul când A admite valorile proprii distincte, λ , polinomul de gradul n 1 ataşat seriei ∑ se poate scrie în forma Lagrange

nλ,,1 K

− a Amm

m

)()())(()()())(()(

)(1 111

111j

n

j njjjjjj

njj fIAIAIAIA

Af λλ−λλ−λλ−λλ−λ

λ−λ−λ−λ−= ∑

= +−

+−

KK

KK,

sau sub forma

f A Z fj jj

n

( ) ( )==∑ λ1

, (1)

unde nu depind de funcţia f şi deci pot fi determinate prin particularizarea funcţiei f. În cazul valorilor proprii multiple se arată că

)(Knnj MZ ×∈

∑∑=

−

=

λ=p

k

m

jk

jkj

k

fZAf1

1

0

)( )()( ,

unde sunt valorile derivatei de ordinul j a lui f, iar Z sunt matrice independente de funcţia f.

f j( ) (.) kj n n∈ ×M ( )K

4. În particular putem defini următoarele funcţii de matrice

∑∑∑∞

=

∞

=

+∞

=

−=+

−==0

2

0

12

0 )!2()1(cos,

)!12()1(sin,

! m

mm

m

mm

m

mA

mAA

mAA

mAe .

Seriile din membrul drept având raza de convergenţ ă . Funcţia de matrice e se numeşte matricea exponenţială. Deseori, în loc de e vom utiliza funcţia de matrice

(de exemplu, în teoria sistemelor diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi).

∞ A

A

e tAt , ∈ R

Algebră liniară

85

Stud

ent W

EB Cop

y

Exemplu. Calculaţi funcţia de matrice e , unde . At

= −

400130

322A

Soluţie. Valorile proprii distincte ale matricii A sunt

4,3,2 321 =λ=λ=λ ; prin înlocuire în relaţia (1) obţinem

321 )4()3()2()( ZfZfZfAf ++= . (2) Matricele Z j nu depind de f ; le aflăm particularizând funcţia f succesiv: j , , ,= 1 2 3

32122

321

321

1694)()(

543)(1)(321)(1)(

ZZZAAfzzf

ZZZIAAfzzfZZZIAAfzzf

++=≡⇒=

++=+≡⇒+=⋅+⋅+⋅=−≡⇒−=

de unde obţinem sistemul matriceal

=++

+=++−=++

2321

321

321

1694

54332

AZZZ

IAZZZIAZZZ

,

care admite soluţia

)65(21,86),127(

21 2

32

22

1 IAAZIAAZIAAZ +−=−+−=+−= .

Pentru , prin înlocuirea funcţiei f şi a soluţiei în relaţia (2), obţinem

f A eAt( ) = 321 ,, ZZZ

])65()86(2)127[(21 423222 tttAt eIAAeIAAeIAAe +−+−+−++−= .

#7. Probleme propuse

1. Fie V spaţiul vectorial al funcţiilor reale de clasă pe intervalul deschis . Aflaţi valorile proprii şi vectorii proprii ai endomorfismului

C∞

( , )0 1)1,0(),()(),(: ∈∀′==→ xxfxxgfTgT V,V .

R: ( ) ; ( ), { ( ) , (0,1)}T T S f f x x xλσ λ σ λ= ∀ ∈ = = ∀ ∈R .

2. Diagonalizaţi matricea A. Formulări echivalente :

♦ să se determine o bază formată din vectori proprii ai transformării liniare T a cărei matrice asociată relativ la baza canonică este A, T ; ATEnd =∈ BR ][),( 3

♦ să se determine o bază în care transformarea T are matricea asociata diagonală; ♦ să se afle valorile proprii şi vectorii proprii ai transformării liniare T ai matricei A.

a) , b) , c) ,

=

−−−−

444174147

A

=

−−−−

163053064

A

=

−100002023

A


Stud

ent W

EB Cop

y

d) , e) , f)

=

−−−

422633211

A

=

−−− 122020021

A

=

−−−

221342573

A

R. a) σ(A)={3,3,12}, b) σ (A)={1,1,-2}, c) σ (A)={-1,-1,4}, d) σ (A)={2,0,0}, e) σ (A)={-1 ,1, 2}. Vectorii proprii - temă a,c,d,f . b) B ,

.

)}1,1,1(),1,0,0(),0,1,2({ 321 −==−==′ ttt vvv

−=′

200010001

B

=

−−=′= ][,

110101102

][ BB TDC

e) B , C . )}2,1,2(3),1,0,1(2),1,0,0(1{ −=−===′ tvtvtv

−=

−−=

200010001

,211

100210

D

3. Să se determine polinomul caracteristic al matricei Frobenius

=

−

01000000

0001121

K

K

MMOMM

K

K nn pppp

A , unde . R∈npp K,1

R. . )()1()()( 12

22

21

11

nnnnnnn

A pppppP +λ+λ++λ+λ−+λ−=λ −−−−− K

4. Fie V spaţiul vectorial al funcţiilor reale de clasă pe intervalul deschis

. Aflaţi valorile proprii şi vectorii proprii ai endomorfismului C∞

( , )0 1)1,0(),()(),(: ∈∀′==→ xxfxxgfTg,T VV .

R: )}1,0(,)({),(;)( ∈∀λ==σ∈λ∀=σ λ xxxffSTT R .

5. Să se studieze dacă matricea poate fi diagonalizată. În

caz afirmativ aflaţi matricea modală (diagonalizatoare) C.

=

−−62012200

00201002

A

R. Da. .

=

==λ=λ=λ=σ−

−

51002201

00101102

7000010000200002

,},7,1,2{)( 432,1 CDA

6. Date fiind matricile care satisfac relaţia pentru

un scalar , să se arate că polinoamele caracteristice ale acestora satisfac relaţia )(, RnnMBA ×∈ nbIAB −=

R∈b)()( bPP AB +λ=λ .


Stud

ent W

EB Cop

y

7. Dată fiind matricea inversabilă ) , să se arate că între polinomul caracteristic al matricii A şi cel al matricii inverse există relaţia

(RnnMA ×∈1−A

λ

⋅λ−=λ−

1det

1)()(1 An

AP

AP .

8. Arătaţi că dacă v este vector propriu al matricii A asociat valorii proprii iar C este o matrice nesingulară, atunci vectorul este vector propriu pentru matricea similară , asociat aceleiaşi valori proprii.

λvC 1−

ACC 1−

9. Se dă matricea a transformării relativ la baza

canonică B. Să se determine forma canonică Jordan a matricii A în fiecare din cazurile următoare. Formulări echivalente:

B][ΤA = )( 3REndΤ ∈

♦ să se determine forma canonică Jordan a transformării liniare T a cărei matrice relativ la baza canonică este A;

♦ să se determine o bază formată din vectori proprii şi eventual principali ai endomorfismului T, relativ la care matricea asociată lui T are forma canonică Jordan.

a) , b) , c) ,

=

−−−

9142691331

A

= −

200044010

A

=

−−−−

201335212

A

d) , e) .

=

−−−−−−

3111131111511115

A

=

−−−

121332574

A

R. Temă: c) ,d) ,e). a) σ ;

=== =

−− 100000010

1212109239

,],,[},1,0,0{)( 21 JvpvCA

b) .

===σ =

200020012

100012001

;],,[},2,2,2{)( 21 JvpvCA

10. Aflaţi o bază ortonormată în faţă de care matricea endomorfismului T să fie diagonală, unde . Justificaţi de ce este posibil acest lucru.

3R)( 3REndT ∈

a) . 3321321321321 ),,(),24,242,42()( R∈=∀−−−−−−+−= xxxxxxxxxxxxxxT

b) [ .

==

−100002023

] AT

R. a) ,

==

−−−−−−−

124242421

][TA1/ 5 4 / 3 5

/ 5 2 / 3 5

5 / 3 5

5 0 0 2/30 5 0 2 1/30 0 4 0 2/3

,D C−

− −−

= =

;


Stud

ent W

EB Cop

y

deoarece A este matrice simetrică, transformarea T este diagonalizabilă; vectorii bazei ortonormate căutate sunt coloanele matricii modale C. b) A este matrice simetrică, deci diagonalizabilă; se obţine:

=′−−=σ

−0,

5

1,

5

2,,0,

5

2,

5

1)1,0,0(},4,1,1{)( BA .

11. Să se verifice următoarele afirmaţii:

a) Matricea este hermitică (

=

−

4000303

ii

A At=A ). Transformarea liniară

asociată T este diagonalizabilă; determinaţi o bază ortonormată în C formată din vectori proprii ai transformării T.

)3C(End∈ 3

b) Matricea este unitară (

=

−

−

100001010

A AAIA tt =⇔= −1A ), iar

transformarea liniară asociată T este unitară şi orice valoare proprie a sa are modulul egal cu unu .

)3C(End∈

12. a) Să se determine valorile proprii şi vectorii proprii şi apoi să se

diagonalizeze matricea ortogonală . )(3

cos0sin010

sin0cosCMA ∈

=

θθ

θθ−

b) matricea simetrică . )(3

021200100

RMA ∈

=

−−−−

R. a) Matricea transformării este diagonală, , relativ la baza

diagonalizatoare B ;

−=

100010001

D

(sin),0,1,0( 3 θ=v )}1cos,0,),1cos,0,(sin{ 21 −θ=+θθ==′ vv

b) 1 2 3

0 0 0

0 5 0

0 0 5

{ ( 2,1,0), ( 1, 2, 5), ( 1, 2, 5)},v v v D−

′ = = − = − − = − − − =

B .

13. Fie V un spaţiu euclidian complex şi un endomorfism hermitian. Să se arate că e , reprezintă un endomorfism unitar.

VV →: T1, 2 −=iiT

R. Notând şi folosind relaţiile ][],[ iTeBTA == AAeB tiA == , , rezultă

IeeeeeeeBB OAAiiAAiiAAiiAAitt ttt

====== −+−−− )()( .

Algebră liniară

89

Stud

ent W

EB Cop

y

14. Se dau următoarele matrici diagonalizabile

.

−

−=

−−−−=

402000201

c) ,42-263-321-1

= b) ,163053064

)a AAA

Să se calculeze şi , folosind relaţia existentă între matricea A şi forma sa canonică diagonală D, , unde C este matricea de trecere de la baza canonică la noua bază, relativ la care se realizează forma diagonală.

1999AD

AeC 1− AC=

R. Temă b, c. a) C , de unde rezultă 1,2-00

010001

, 110101

102−==

−−

−=

CDCAD

1200

01e0001e

;119992-00010001

119991999 −−

=−=−=

C

eCAeCCCCDA .

15. Folosind teorema Cayley – Hamilton pentru matricile următoare

a) ; b) , să se determine:

−=

2021

A

−

−=

110012121

A

♦ polinomul de matrice , unde ; )(AQ 2)( 24 +−= tttQ ♦ dacă matricea A este inversabilă; în caz afirmativ să se calculeze inversa acesteia.

R. Temă b). a)

.

−=−=⇒=+−⇒+λ−λ=λ

140242

1012)(02323)( 2222 IAAQIAAPA

Cum are termenul liber nenul, A este inversabilă; din relaţia dată de teoremă,

rezultă

AP

=+−=−⇒=+−2/10

1122

3

2

11222

3

2

1IAAIIAA .

16. Folosind teorema Cayley – Hamilton aflaţi şi pentru matricile 1−A nA

a) ; b) .

−

−=

1101

A

=

210020003

A

R. a) ; 1 12 2 1

( 1) 0( 1) ( 1)

2 , ( 1) ( 1) (1 )n

n n nn nn

A A I A nA n I− +−

−

− −

= − − = − + − − =

b) )167(121

321 IAAA +−=− , .

=

− nn

n

n

n

nA

220020003

1


Stud

ent W

EB Cop

y

Capitolul 4

FORME BILINIARE ŞI PĂTRATICE

#1. Forme biliniare. Forme pătratice 1.1. Definiţii. Fie V un K-spaţiu vectorial, unde . },{ CR∈K

a) Se numeşte formă liniară, o funcţie liniară ω . :V K→b) Se numeşte formă biliniară sau tensor covariant de ordinul doi pe spaţiul

vectorial V o funcţie liniară în fiecare variabilă, adică satisfăcând următoarele proprietăţi

KVV →×:A

K.V ∈∀∈∀+=++=+

lkzyxzxlyxklzkyxzylzxkzlykx

,,,,),,(),(),( ),,(),(),(

AAAAAA

Notăm prin mulţimea tuturor formelor biliniare definite pe V. Adunarea formelor biliniare şi înmulţirea acestora cu scalari pot fi definite ca în cazul funcţiilor, determinând pe o structură de spaţiu vectorial peste corpul K.

)( KV,B

B )( KV,

Exemplu. Produsul scalar definit pe un spaţiu vectorial real este o formă biliniară. Spre deosebire de acesta, produsul scalar definit pe un spaţiu vectorial complex, nu este o formă biliniară deoarece, în general putem determina

, astfel încât să avem C∈∈ lkzyx ,,,, V

><+><>≠<+><>=<+>>=<+< zxlyxkzxlyxklzxkyxlzkyx ,,,,,,, .

1.2. Definiţii. a) Forma biliniară se numeşte simetrică dacă A V∈∀= yxxyyx ,),,(),( AA .

b) Forma biliniară se numeşte antisimetrică dacă A V∈∀−= yxxyyx ,),,(),( AA .

Fie un spaţiu vectorial n-dimensional peste corpul K , o bază în acest spaţiu şi o formă biliniară pe . Expresia formei

biliniare calculată pe vectorii ste

nV },,{ 1 nee K=B)( KV,B∈A

n

iiexx = ∑

=1

Vn

nj

n

jji eyy V∈= ∑

=1, e

∑∑∑∑= ===

=

=

n

ijij

n

jij

n

jji

n

ii eeyxeyexyx

1 111),(,),( AAA , (1)

deci forma biliniară pe A Vn este unic determinată dacă se cunosc cele n valori ale ei

2

n,jiee ji 1,),,( =A pe vectorii bazei B . },,{ 1 nee K=

Relaţia (1) se poate rescrie, notând njieea jiij ,1,),,( == A ,

∑∑= =

=n

ij

n

jiij yxayx

1 1),( A . (2)

Algebră liniară

91

Stud

ent W

EB Cop

y

Expresia din membrul drept se numeşte expresia analitică a formei biliniare faţă de baza considerată B. Matricea (A = de elemente se numeşte matricea formei biliniare în raport cu baza . Notăm . Dacă introducem matricele coloan•

)() ,...,1, Knnnjiij Ma ×= ∈

A

),( jiij eea A=

B][A=AB),(1 K×∈ nn M)(

== jj

t y),()( 1,1K×=

∈= nnjjt MxX

,1Y formate din

coeficienţii vectorilor x •i y, atunci expresia analitică (2) a formei biliniare poate fi scrisă sub forma matriceală

YAXyx t=),( A . (3) Observaţie. Aplicaţia care asociază fiecărei forme biliniare matricea ei în raport cu o bază dată a spaţiului este un izomorfism între spaţiul vectorial şi spaţiul vectorial . Drept urmare

KVV →× nn:A Vn

))( K,VnB ( KnnM ×2)(dim)(dim nMB nnn == × KK,V .

Teoremă. O formă biliniară este simetrică / antisimetrică dacă şi numai dacă matricea formei într-o bază arbitrară fixat• a spaţiului este simetrică/antisimetrică.

)( K,VnB∈A

nV

Demonstraţie. Admitem că este o formă simetrică; dacă este matricea formei într-o bază , avem

A = {

njiijaA ,...,1,)( ==

nnee V⊂},,1 KB

jiijjiij aeeeea == ),(),( AA=

deci . Reciproc, admitem că există o bază a spaţiului astfel încât matricea este simetrică. Atunci ∀

A t= A nnee V⊂= },,{ 1 KB∈xnjiijaA ,...,1,)( == y, V avem

. ),()(),( yxXAYAYXXAYxy ttttt AA ====

1.3. Teoremă. Dacă )()(]'[,1,

Knnnjiij McC ×=∈== BB

nV⊂} },,{' 1 nee ′′= K

este matricea de

trecere de la baza B la baza B din , iar nee= ,,{ 1 K Vn

njiijnjiij aAaA,1,',1,

)'(][',)(][==

==== BB AA

sunt respectiv matricele unei forme biliniare faţă de cele două baze, atunci are loc relaţia

)( K,VnB∈A

.' CACA t=

Demonstraţie. Fie descompunerile a doi vectori

arbitrari relativ la baza . Notând

n

n

jjj

n

iii yxeyyexx V∈′′=′′= ∑∑

==

,,,11

},,{' 1 nee ′′= KB njjt

njjt yYxX

,1,1)(,)(

==′=′′=′ şi

njiijaA,1,

)'('=

= , unde njieea jiij ,1,),,(' =′′= A

YAXyx t ′′= '),( A

YCACXYCAXC ttt ′′=′′= )()()(

este matricea formei biliniare faţă

de baza B , atunci . Pe de altă parte, matricele coloană X,Y şi ale lui x şi y relativ la cele două baze satisfac relaţiile ′, deci

avem . Rezultă

A

CY

'

yx,′X Y, ′ X CX Y= ′ =,

XAYt=)( A

Cap.IV. Forme biliniare şi pătratice 92

Stud

ent W

EB Cop

y

nn

ttt MYXYCACXYBX RR ≡∈′′∀′′=′′ × )(,,)( 1 , de unde, prin identificare obţinem .' CACA t=

1.4. Definiţii. Fie şi matricea formei biliniare relativ la o bază B .

)( K,VnB∈A B][A=A A

nV⊂a) Dacă A este nesingulară/singulară, atunci forma biliniară se numeşte

nedegenerată/degenerată. Rangul matricei A se numeşte rangul formei biliniare . A

Ab) Fie o formă biliniară simetrică. Mulţimea )( KV,B∈A

},0),({ VV ∈∀=∈= yyxx AAKer se numeşte nucleul formei biliniare . A Observaţie. este un subspaţiu vectorial al lui V. AKerÎntr-adevăr, pentru avem . Pentru

, rezultă . AKer, ∈vu

+ ,(), wvlw AV∈∀== wwvwu ,0),( ,0),( AA

A Ker0),( ∈+⇒=+ lvkuwlvkuk l, ∈ K ⇔= 0)( ukA A Teoremă (teorema rangului). Fie o formă biliniară. Atunci are loc relaţia

)( K,VnB∈A

. )Ker dim(rang AA −= n 1.5. Definiţie. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K •i o formă biliniară simetrică. Funcţia determină unic funcţia

)( KV,B∈AK , A V →:Q

V∈∀= xxxxQ ),,()( A ,

care se numeşte formă pătratică (asociată formei biliniare ). A Observaţie. Cunoaşterea formei pătratice Q permite recuperarea formei biliniare simetrice . Într-adevăr, relaţiile A

V∈∀++==+++=++=+

yxyyyxxxyyxyyxxxyxyxyxQ

,),,(),(2),( ),(),(),(),(),()(

AAAAAAAA

şi proprietatea de simetrie implic• V∈∀= yxxyyx ,),,(),( AA

V∈∀−−+= yxyQxQyxQyx ,)},()()({21),( A .

Forma biliniară simetrică asociat• formei pătratice Q se numeşte forma polară sau forma dedublată a formei pătratice Q .

A

Exemplu. Forma pătratică corespunzătoare produsului scalar real (care este o

formă biliniară simetrică) este pătratul normei euclidiene:

V∈∀>==< xxxxxQ ,,)( 2 .

Algebră liniară

93

Stud

ent W

EB Cop

y

Fie un spaţiu vectorial n-dimensional. este o bază în ,

atunci pentru orice vector , forma pătratică Q are expresia analitică

Vn },,,{ 21 neee K=B Vn

ni

n

iiexx V∈= ∑

=1

XAXxxaxxxQ tji

n

i

n

jij === ∑∑

= =1 1),()( A ,

unde ),,,(,,1,),,( 21 nt

jiij xxxXnjieea K==A= .

Deducem că matricea şi rangul formei pătratice Q coincid respectiv cu cele ale formei biliniare simetrice asociate lui Q. Putem deci scrie A

AQAQ rang rang rang;][][ ==== AA BB .

1.6. Definiţii. a) Fie o formă biliniară simetrică şi Q forma pătratică asociată.

)( KV,B∈A

a) Vectorii se numesc ortogonali în raport cu (sau în raport cu forma pătratică Q) dacă .

V∈yx,( xA

A0), =y

b) Fie un subspaţiu vectorial al lui V. Mulţimea VU ⊂ },0),({ U V ∈∀=∈=⊥ xyxyU A

se numeşte complementul ortogonal al lui U în V faţă de . A Teoremă. Fie o formă biliniară simetrică. Atunci : )( KV,B∈A

1) este subspaţiu vectorial al lui V; U ⊥

2) dacă { este o bază în U, atunci dacă şi numai dacă },,, 21 puuu K y ∈ ⊥U

0),(),(),( 21 ==== yuyuyu pAAA K ;

3) dacă dim , avem inegalitatea V = ndim dim dimU U+ ≥⊥ V .

Aceasta devine egalitate d.n.d. forma biliniară este nedegenerată. A4) pentru orice subspaţiu U al spaţiului vectorial V, dacă UA este restricţia

formei biliniare la U şi V este finit-dimensional, atunci are loc descompunerea în sumă directă dacă şi numai dacă

A⊥⊕= UUV UA este

nedegenerată. Demonstraţie. Demonstrăm proprietăţile 1),2) şi 4). 1) Fie y y , adică aceşti vectori satisfac relaţiile . Pentru k l avem

sau . Deci ky .

1 2, ∈ ⊥U,

ly1 2+ ∈ ⊥U0),(,0),( 2211 == yxyx AA

0),( 21 =+ lykyxA∈ R

0),(),( 21 =+ yxlyxk AA

2) Fie ; atunci ; în particular y∈ ⊥U U∈∀= xyx ,0),(A piyui ,1,0),( ==A

deoarece pi ,1=ui ,∈U . Reciproc, din cele p relaţii şi faptul că ,

folosind bilinearitatea formei rezultă , adică y .

∑=

∈=p

iiiuxx

1U

∈ ⊥UA ,( yxA 0),()1

== ∑=

yux i

p

iiA

4) Fie restricţia UA este nedegenerată, deci singurul vector din U ortogonal pe

toţi vectorii din U este vectorul nul, deci . Cum este nedegenerată, }0{=⊥UU I ACap.IV. Forme biliniare şi pătratice 94

Stud

ent W

EB Cop

y

avem ; deci . Reciproc, dacă rezultă aşa încât

dim dim dimU U+ =⊥

}0{=⊥UU I

V U U V⊕ =⊥ VUU =⊕ ⊥ , UA

)( xQ3R

este nedegenerată.

22

21 4 xxx +−=

213 02 =− xx

22 ,2 xyx =−

)(y =

=U

U⊥

{ 3∈y R=U23U )( yyQ =

)0,1,2(),1,0,0( 21 == uuA

),( =yxA2,0 213 =−= yyy

A

R∈a,0U

∈A.0),( == xxA

∈A

ee= ,,{ 21B

13 ixx ±=

Exemplu. Arătaţi că forma pătratică

23

este nedegenerată pe spaţiul V= , dar restricţia acesteia la subspaţiul 3}{ RR ⊂∈x

este degenerată având rangul egal cu unitatea. Aflaţi complementul ortogonal relativ la Q al subspaţiului vectorial U. Soluţie. Efectuăm schimbarea de coordonate sugerată de ecuaţia subspaţiului U,

33211 , xyxy == . În noile coordonate, forma pătratică devine Q , iar subspaţiul U este descris prin

2321

21 4 yyyy ++

}01 =y . Se observă că restricţia formei pătratice la

acest subspaţiu, are rangul unu.

Pentru a obţine complementul ortogonal , considerăm o bază în U formată din vectorii şi impunem condiţiile

U⊥

,0),(,0),( 21 == yuyu A care determină forma vectorilor y din subspaţiul , unde forma polară asociată lui Q, obţinută prin dedublare are expresia

⊥U

3332211 ,,4 R∈∀+− yxyxyxyx .

Rezultă 0 cu soluţia generală , deci === yayay ,2, 3213)})0,2,1({(})0,2,({ RR ⊂=∈=⊥ Laaa .

1.7. Definiţie. Un vector x se numeşte izotrop în raport cu o formă biliniară simetrică ) (sau în raport cu forma pătratică asociată Q) dacă

Observăm că vectorul nul 0 al spaţiului este totdeauna izotrop.

∈V( KV,B

)( xQ Exemplu. Se dă forma biliniară

33311

3 ,,),( ,),( CCC ∈∀+= yxyxyxyxB A . Forma pătratică asociată este . Din rezultă , deci vectorii izotropi ai formei sunt şi cu .

23

21)( xxxQ +=),,( 121 ixxx (

0)( =xQ), 1ix− x, 21 xx C∈21 , x

1.8. Definiţie. Fie o formă biliniară simetrică. Se numeşte bază ortogonală în raport cu forma biliniară (sau în raport cu forma pătratică asociată Q), o bază cu proprietatea

)( K,VnB∈A

nne V⊂}A

,K

njijiee ji ,1,,,0),( =≠∀=A , adică vectorii acesteia sunt ortogonali doi câte doi relativ la forma . A


Stud

ent W

EB Cop

y

Observaţie. În raport cu o bază ortogonală matricea formei este diagonală

(temă, verificaţi),

==

nna

aa

A

K

OMM

K

K

0000000

22

11

][ BA .

Atunci, notând niaiii ,1, ==a , expresiile analitice ale formei biliniare şi ale formei pătratice asociate Q devin expresii canonice, fiind de forma

A

∑∑==

==n

iiiii

n

ii xaxQyxayx

1

2

1.)(,),( A

#2. Reducerea formelor pătratice la expresia canonică

Fie un K-spaţiu vectorial, şi fie o formă pătratică pe V exprimată prin matricea simetrică relativ la o bază fixată a spaţiului V , şi având expresia analitică

Vn },{ CR∈K

B][Qn

A = },,{ 1 nee K=B

n

),,(,,)( 111 nt

nnnt xxXexexvXAXvQ KK =∈++=∀= V .

O schimbare a bazei în V induce schimbarea de coordonate 'BB a n

XCXXX ′=,'a , unde este matricea de schimbare de bază. Deci relativ la noile coordonate expresia analitică a formei pătratice Q este ' , iar matricea asociată

BB ]'[=C'')( XAXvQ t=

CACQA t== '][' B , este tot o matrice simetrică (!). Prin urmare matricea unei forme pătratice relativ la o bază poate fi în particular matrice diagonală, dar nu poate fi niciodată matrice Jordan cu celule de ordin mai mare decât 1. În cele ce urmează, vom prezenta trei metode de obţinere a unei baze relativ la care matricea a formei pătratice Q este diagonală, deci relativ la care forma pătratică Q are o expresie canonică.

'B'A

2.1. Teoremă (metoda Gauss). Dacă este o formă pătratică, atunci există o bază în V care este ortogonală în raport cu Q (deci relativ la care Q are o expresie canonică).

KV →nQ:

n

Demonstraţie. Inducţie după dimensiunea n a spaţiului vectorial. .Fie o bază a spaţiului V şi expresia analitică asociată formei Q relativ la această bază,

},,{ 1 nee K=B

n

nnnji

n

i

n

jij exexvxxavQ V∈++=∀= ∑∑

= =

K111 1

,)(


Stud

ent W

EB Cop

y

Dacă niaii ,1,0 ==0

iar Q nu este identic nulă, atunci există cel puţin un element cu iaij ≠ j≠ ; atunci, prin transformarea de coordonate

∈′=

′−′=

′+′=

}{\1 i,j,nk,kxkx

jxixjxjxixix

expresia formei pătratice devine ,în care cel puţin unul din

elementele diagonale

ji

n

jiij xxavQ ′′′= ∑

=1,)(

niaii ,1, =′ este nenul, căci x x . x xi j′ − ′2 2i j =

Notăm cu baza lui V faţă de care coordonatele lui x sunt . Admiţând că i , matricea de trecere de la baza B la este

}',,'{ 11 nffF K=j<

n

nixi ,,1, K=′ 1F

1

1 0 0 0 00 1 0 0 0

0 0 1 1 0

0 0 1 1 0

0 0 0 0 1

i

j

C

i j

← =

− ←

↑ ↑

L L L

L L L

M M O M L M L M

L L L

M M L M O M L M

L L L

M M L M L M O M

L L L

Fără a micşora generalitatea, putem admite că a ; atunci putem scrie ′ ≠11 0

ji

n

jiijk

kk xxaxxaxavQ ′′′+′′′+′′= ∑∑

≠= 1,1

21

2111 2)( .

Adăugăm şi scădem termenii necesari pentru a obţine pătratul formei liniare ,1212111 nn xaxaxa ′′++′′+′′ K

în expresia formei pătratice Q; rezultă

,)(1)( 2,

21212111

11ji

n

jiijnn xxaxaxaxa

avQ ′′′′+′′++′′+′′

′= ∑

=

K

unde nu conţine pe ′. Fie baza din V faţă de

care coordonatele şi ale vectorului v să satisfacă egalităţile

′′ ′ ′=∑a x xiji j

n

i j,

,2

x1 }'',,'',''{ 212 nfffF K= n

'x ''x

=′=

′′++′′+′′=

.,2,''

'' 122121111

njxx

xaxaxax

jj

nK

Stud

ent W

EB Cop

y

Matricea de trecere de la baza la noua bază este 1F 2F

′′

−′′

−′

−

=

100

010

1

11

1

11

12

11

2

K

MOMM

K

Kaa

aa

an

C .

În raport cu baza , expresia formei pătratice devine 2F

.1)( 2,

21

11ji

n

jiij xxax

avQ ′′′′′′+′′

′= ∑

=

Suma din membrul drept al expresiei este o formă pătratică în

1 variabile, deci poate fi tratată prin procedeul de mai sus, analog cu forma Q.

j

n

jiiij xxaxQ ′′′′′′= ∑

=2,)(~

n−În concluzie, după încă cel mult paşi obţinem o bază B în

, ortogonală faţă de Q . Relativ la această bază, forma pătratică Q se reduce la expresia canonică: o sumă de pătrate de forme liniare independente în coordonatele , iar relativ la coordonatele asociate bazei , o sumă algebrică de pătrate.

1−n

p =

}',,'{' 1 nee K=

'B

Vn

nQ ≤ rang),,( 1 nxx K

Exemple. 1. Folosind metoda Gauss, aflaţi expresia canonică şi baza în care se realizează aceasta, pentru forma pătratică

33213121

3 ),,(,2)(: RRR ∈≡+=→ xxxvxxxxvQQ , ,

Soluţie. Se observă că avem 3,1,0 == iii

x x x x2 2 1= ′ − ′,

=

011

1C

a şi , deci efectuăm schimbarea de coordonate x x , căreia îi este asociată

(prin relaţia ' ) matricea de trecere . Vectorii noii baze

au coeficienţii daţi de coloanele acestei matrici; relativ la expresia formei pătratice Q este,

0112 ≠=ax x3 3= ′,

100101

1 1 2= ′ + ′

−

}, 332 ee =′

1 XCX =

, 221 ee =′+

1F{ 111 eeeeF −=′=

. ( ) 2332

22

2313231

22

21 222)( xxxxxxxxxxxxvQ ′−′′+′−′+′=′′+′′+′−′=

Ţinând cont de expresia din paranteză, efectuăm schimbarea de coordonate 3322311 ,, xxxxxxx ′=′′′=′′′+′=′′ .

Trecerea la noile coordonate ( se realizează prin intermediul relaţiei , cu matricea de trecere

),, 321 xxx ′′′′′′

XCX ′′=′ 2

−=

=

−

100010101

100010101 1

2C ;

aceste coordonate corespund noii baze ; relativ la , forma Q are expresia analitică .

},,{ 31322112 eeeeeeeF ′+′−=′′′=′′′=′′=2

12

3322

22

1 (2) xxxxxxxv −′′=′′−′′′′+′′−′′=2F 232 )( xQ ′′−′′

Ţinând cont de paranteza din membrul drept, efectuăm schimbarea de coordonate 1 1 2 2 3 3 3 3, ,x x x x x x x X C X′′′ ′′ ′′′ ′′ ′′ ′′′ ′′ ′′ ′′′= = − = ⇔ =

de unde obţinem matricea de trecere C ataşată acestei schimbări, 3


Stud

ent W

EB Cop

y

=

−=

−

100110001

100110

001 1

3C

Coloanele acesteia furnizează noua bază, B , relativ la care obţinem prin înlocuire expresia formei Q, .

},,{' 32322113 eeeeeeeF ′′+′′=′′′′′=′′′′′=′′′==2

22

1)( xxvQ ′′′−′′′=Această expresie reprezintă o expresie canonică a formei pătratice Q, fiind o sumă algebrică de pătrate. Matriceal, are loc relaţia de unde rezultă matricea C de trecere de la baza naturală (iniţială) a spaţiului

1 2 3X C C C X CX′′′ ′′′= ≡

321][ CCC=′= BB 3R)}1,0,0(),0,1,0(),0,0,1({ 321 ==== eeeB

la baza descrisă mai sus, relativ la care Q are o expresie canonică. 3' F=B

2. Folosind metoda Gauss, aflaţi expresia canonică şi baza în care se realizează aceasta, pentru forma pătratică

3 2 2 2 33 2 1 1 2 1 3 2 3 1 2 3: , ( ) 4 6 9 12 10 2 , ( , , )Q Q v x x x x x x x x x x x x x→ = + + + − − ∀ =R R R∈ ,

exprimată analitic în baza canonică a lui . 3 R

Soluţie. Fie . Restrîngând succesiv pătratele ce conţin variabilele în expresia lui Q, obţinem

31 1 2 2 3 3v x e x e x e= + + ∈ R

32 , xx1 ,x

2 2 2 2 21 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3

2 2 21 2 3 2 2 3 3

1 36 25 20 ( ) (9 6 5 ) 6 4 29 9 9 31 14 11(9 6 5 ) 29 3 9

Q x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x

= + − − − + + + −

= + − + + + =

=

22 2

1 2 3 2 3 3 31 1 7 49(9 6 5 ) 29 2 3 18

x x x x x x x = + − + − − + =

2119

22 2 2

1 2 3 2 3 3 1 21 1 7 3 1 1(9 6 5 ) 2 ,9 2 3 2 9 2

x x x x x x y y y = + − + − − = + −

2 23

32

x3

−

unde am notat , iar sunt coordonatele vectorului v relativ la baza B ortogonală relativ la forma pătratică Q, în care expresia formei este canonică. Ţinând cont de formulele de schimbare de coordonate de mai sus, obţinem matricea de trecere de la baza canonică

la baza ,

y x x x y x x y1 1 2 3 2 2 3 39 6 5 2= + − = − =, ,

},,{ 321 eee ′′′=′

)}1,0,0(),0,1,0( 32 == eeB B′

1 2 3( , , )y y y

),0,0,1({ 1 == e1

9 6 5 1/ 9 1/ 3 2 / 90 2 7 / 3 0 1/ 2 7 / 60 0 1 0 0 1

[ ]C

−− −

− = ′≡ =

BB .

Examinând coloanele acestei matrici, rezultă că baza este formată din vectorii B′

1 1 2 1 2 3 1 2 31 1 1 2 7, ,9 3 2 9 6

e e e e e e e e e ′ ′ ′ ′= = = − + = − + +

B ,

iar matricea formei Q relativ la această bază este . '

1/ 9 0 0' [ ] 0 1/ 2 0

0 0 3/ 2BA Q

= = −


Stud

ent W

EB Cop

y

2.2. Teoremă (metoda Jacobi). Fie o formă pătratică şi KV →nQ :

njijaA,1,1

)(=

= matricea ei relativ la baza a lui V . Dacă determinanţii },, neK{ 1e=B n

Aaaaa

a n det,,,2221

12112111 =∆=∆=∆ K

sunt toţi nenuli, atunci există o bază faţă de care expresia formei pătratice Q devine

nnee V⊂′′′ },,{= 1 KB

,)( 2

1

1i

n

i i

i xvQ ′∆∆

= ∑=

− (*)

unde ( sunt coordonatele lui x în baza şi am notat ∆ . ),,1 nxx ′′ K B′ 0 1=

Demonstraţie. Căutăm vectorii e de forma ne′′ ,,1 K

+++=′

+=′=′

nnnnnn ececece

ececeece

K

KKKKKKKKK

2211

2221212

1111

aşa încât să avem

niee

nijee

ii

ji

,1,1),(

,1,0),(

==′

≤<≤=′

A

A

unde este polara formei pătratice Q . Scrise dezvoltat, aceste condiţii devin A

=+++≡′

=+++≡′

=+++≡′=+++≡′

−−−−

.1),( 0),(

..............................................................0),(

0),(

2211

12,121,111

22222112

11221111

iiiiiiiiii

iiiiiiiiii

iiiiii

iiiiii

acacaceeacacacee

acacaceeacacacee

K

K

K

K

A

A

AA

Pentru fixat, sistemul linear neomogen obţinut constă din i ecuaţii cu i necunoscute ; acest sistem are soluţie unică, deoarece prin ipoteză determinantul sistemului este chiar ∆ . Regula lui Cramer produce soluţiile sistemului deci baza este perfect determinată de relaţiile

},,1{ ni K∈,{ 1ic K }, iic

,{ 1e′i ≠ 0

}, ne′K

1 2

21 22 2

1 2

1' ,

k

kk

i

k k kk

e e ea a a

e k

a a a

= =∆

L

L

L M O M

L

1, n .

Pentru a afla expresia formei pătratice în această bază, constatăm întâi că matricea lui Q în baza este matricea ai cărei coeficienţi sunt B′ A′

njieeceeceec

ececeeea

jijjijij

jjjjijiij

,1,),,(),(),(

),(),(

2211

11

=′++′+′=

=++′=′′=′

AAA

AA

K

K

Stud

ent W

EB Cop

y

Dar, prin construcţie, pentru 0),( =′ ji eeA j i< , deci pentru 0=′ija j i< . De asemenea, datorită simetriei formei biliniare rezultă 0 şi pentru A =′ija j i> . Deci

pentru i0=′ija j≠ , iar pentru j i= avem

.,1,),(),(),(

),(),(

111,11

11

niceeceeceec

ececeeea

i

iiiiiiiiiiiii

iiiiiiiii

=∆∆

==′+′++′=

=++′=′′=′

−−− AAA

AA

K

K

Deci în baza forma pătratică are o expresie canonică, B′2

1

1

1,)( i

n

i i

in

jijiij xxxbxQ ′

∆∆

=′′= ∑∑=

−

=

,

iar matricea asociată acesteia este

∆∆

∆∆=′==′

−

=′

nn

njijaQA

1

10

,,1,1

0

0/)(][

K

MOM

K

KB . �

Exemplu. Folosind metoda Jacobi, aflaţi expresia canonică şi baza în care se realizează aceasta, pentru forma pătratică

3321313221

23

22

21 ),,(,16887)( R∈=−−−++= xxxxxxxxxxxxxxQ .

Soluţie. Matricea formei pătratice relativ la baza canonică a spaţiului este 3 R

=

−−−−−−

148474841

A .

Minorii principali { ai acesteia sunt 3,2,1} =∆ ii

729det,97441

,1 32111 −==∆−=−

−=∆==∆ Aa .

Folosind formula (*), rezultă expresia canonică a formei pătratice, 2 2

1 21 1 ( )9 81

Q x x x x′ ′= − + 23′ ,

Prin dedublare obţinem forma biliniară asociată

1 1 2 2 3 31 1( , )9 81

x y x y x y x y′ ′ ′ ′ ′ ′= − +A .

Noua bază } se obţine rezolvând succesiv sistemele ce furnizează coeficienţii descompunerii vectorilor relativ la baza iniţială, după cum urmează:

,,{ 321 eee ′′′=′B

321 ,, eee ′′′

111111 11),(; eeaeeeae =′⇒=⋅=′⋅=′ A ;

21222

12212 9

194

174),(041),(

; eeebaee

baeeebeae +−=′⇒

=+−=′=−⋅=′

⋅+⋅=′AA

;

Stud

ent W

EB Cop

y

3 1

3 1 2 3 3 2 3 1 2

3 3

( , ) 1 4 8 08 4 1; ( , ) 4 7 4 081 81 81

( , ) 8 4 1

e e a b ce a e b e c e e e a b c e e e e

e e a b c

′ = ⋅ − − =′ ′ ′= ⋅ + ⋅ + ⋅ = − + − = ⇒ = − − + ′ = − − + =

A

A

A3

deci în final obţinem }811

814

818,

91

94,{ 321321211 eeeeeeeee +−−=′+−=′=′=′B , cu

matricea de trecere de la baza canonică la noua bază B ' de coeficienţi

−−−

=81/10081/49/1081/89/41

C .

2.3. Teoremă (Metoda valorilor proprii). Fie un spaţiu vectorial real euclidian şi o formă pătratică reală. Atunci există o bază ortonormată

a spaţiului vectorial relativ la care expresia canonică a formei este

VnRV →nQ :

},, ne′K,{ 21 ee ′′=′B Vn

∑=

′⋅λ=n

iii xvQ

1

2 ,)(

unde sunt valorile proprii ale matricei formei pătratice relativ la o bază ortonormată B (fiecare valoare proprie fiind inclusă în sumă de attea ori cτ multiplicitatea sa), iar sunt coordonatele vectorului v relativ la baza .

nλλλ ,,, 21 K

),,( 1 nxx ′′ K B′

Demonstraie. Fie A matricea asociată lui Q într-o bază iniţială B a lui . Ca matrice reală şi simetrică, matricea are n valori proprii reale

(unele pot fi egale) şi se poate diagonaliza. Baza formată din vectori proprii ortonormaţi ai matricei A determină matricea diagonalizatoare C care este ortogonală ) . Q are relativ la această bază o expresie canonică deoarece matricea ei relativ la această bază este

VnB][QA =

nλλ ,,1 K },,{ 1 nee ′′=′ KB

( 1−= CCt

λ

λλ

==== −′

n

tCACACCQD

K

MOMM

K

K

00

0000

][ 2

1

1B . �

Exemplu. Folosind metoda valorilor proprii, aflaţi expresia canonică şi baza în care se realizează aceasta, pentru forma pătratică din exemplul anterior,

,),,(,81687)( 3321323121

23

22

21 R∈≡−−−++= xxxvxxxxxxxxxvQ

exprimată relativ la baza canonică a lui , 3 R

Soluţie. Matricea asociată formei pătratice relativ la baza canonică )}1,0,0(),0,1,0(),0,0,1({ 321 ==== eeeB ,

este ortonormată faţă de produsul scalar canonic, şi are coeficienţii


Stud

ent W

EB Cop

y

=

−−−−−−

148474841

A .

Valorile proprii ale acestei matrici sunt λ (temă – verificaţi !), iar vectorii proprii ortonormaţi corespunzători valorilor proprii sunt

9,9 321 =λ=λ−=

−

=′−=′=′53

4,

532

,535

3,5

1,

52

,02,32

,31

,32

1 eee ,

deci matricea de trecere la noua bază B este },,{ 321 eee ′′′=′

⋅=′′′= −

−

43522655052

53],,[ 321 eeeC

Efectuând schimbarea de coordonate asociată schimbării de bază, rezultă expresia canonică a formei pătratice Q,

X CX= ′

23

22

21 999)( xxxvQ ′+′+′−= .

Comparaţia celor trei metode

1) Metoda Gauss reprezintă un algoritm elementar de aducere la forma canonică, dar nu furnizează direct noua bază, ci schimbarea de coordonate pe baza căreia se determină noua bază. 2) Metoda Jacobi este utilă când se cere determinarea rapidă a formei canonice (de exemplu în aprecierea naturii punctelor de extrem ale unei funcţii reale), fără a fi interesaţi şi de baza corespunzătoare (care se obţine printr-un calcul mai laborios). Metoda prezintă dezavantajul că presupune neanularea tuturor minorilor { . nii ,,1} K=∆

3) Metoda vectorilor proprii este eficace, producând o formă canonică şi o bază canonică ortonormată faţă de produsul scalar preexistent. Dezavantajul acestei metode este că include calculul rădăcinilor polinomului caracteristic al matricii asociate formei pătratice, rădăcini care pot fi iraţionale (şi deci aflarea lor necesitând tehnici de calcul de analiză numerică).

#3. Signatura unei forme pătratice reale

Există formele pătratice reale care iau totdeauna valori pozitive (cum ar fi, spre exemplu, pătratul unei norme ce provine dintr-un produs scalar); în cele ce urmează vom detalia noţiunile ce conduc la stabilirea semnului valorilor pe care le poate lua o formă pătratică.

3.1. Definiţii. a) O formă pătratică se numeşte pozitiv / negativ R→V: Q semidefinită dacă / , pentru orice v . 0)( ≥vQ 0)( ≤vQ V∈ b) Forma pătratică Q se numeşte pozitiv definită / negativ definită dacă

/ , pentru orice . 0)( >vQ 0)( <vQ }0{\V∈v

Stud

ent W

EB Cop

y

c) Dacă există aşa încât şi aşa încât spunem că forma pătratică Q este nedefinită.

V∈v 0)( >vQ V∈w 0)( <wQ

d) O formă biliniară simetrică se numeşte pozitiv definită (respectiv negativ definită, pozitiv semidefinită, negativ semidefinită) dacă forma pătratică asociată Q are proprietatea corespunzătoare.

),( RVB∈A

Exemplu. Produsul scalar definit pe un spaţiu vectorial real este o formă biliniară simetrică şi pozitiv definită. Reducerea la expresia canonică prin metoda lui Jacobi permite obţinerea unei condiţii necesare şi suficiente pentru ca o formă pătratică să fie pozitiv definită (respectiv, negativ definită), după cum rezultă din următoarea

R→nQ V:

Teoremă (criteriul lui Sylvester, teorema inerţiei).

Se dă forma pătratică . Dacă sunt îndeplinite condiţiile teoremei Jacobi, atunci au loc următoarele afirmaţii:

R→nQ V:

1) Q este pozitiv definită dacă şi numai dacă nii ,1,0 =>∆ ;

2) Q este negativ definită dacă şi numai dacă nkkk ,1,0)1( =>∆− .

3.2. Definiţie. Fie o expresie canonică a formei pătratice

. Se numeşte signatura formei pătratice Q tripletul de numere reale , în care:

2

1)( i

n

ii xavQ ∑

=

=

R→nQ V: ( , , )p q d

p = numărul de coeficienţi din setul { care sunt strict pozitivi, numit indicele pozitiv de inerţie al lui Q;

},,1 naa K

q = numărul de coeficienţi strict negativi, numit indicele negativ de inerţie al lui Q; d n p q= − +( )= numărul de coeficienţi nuli.

Teoremă (legea de inerţie, Sylvester). Signatura unei forme pătratice Q este aceeaşi în orice expresie canonică a lui Q. Observaţii. 1. Legea de inerţie arată că urmând oricare din cele 3 metode de obţinere a expresiei canonice (care poate să difere), signatura formei pătratice (dedusă din expresia canonică obţinută) este totdeauna aceeaşi.

2. Dată fiind o formă pătratică şi matricea A asociată acesteia relativ la o bază a spaţiului , Q este pozitiv definită dacă şi numai dacă oricare din următoarele condiţii este îndeplinită.

R→nQ V:

nV

• forma pătratică Q are signatura ( , , , )n 0 0

• determinanţii nii ,1, =∆ calculaţi conform metodei Jacobi sunt strict pozitivi, • valorile proprii ale matricei A sunt strict pozitive.

Stud

ent W

EB Cop

y

#4. Probleme propuse

1. Se dă aplicaţia , ),( 3 RRB∈A3

321321331221 ),,(),,,(,322),( R∈==∀−+= yyyyxxxxyxyxyxyxA Să se determine următoarele : 1. Arătaţi că A este formă biliniară. 2. Arătaţi că A este formă biliniară simetrică. 3. Determinaţi matricea relativ la baza canonică B. B][A=A4. Aflaţi forma pătratică Q asociată formei bilineare simetrice A. 5. Verificaţi relaţiile . 3,][,][,)(,),( RBB ∈∀==∀== yx,yYxXXAXxQXAYyx ttA6. Determinaţi matricea , relativ la baza B′=′ ][AA

1 2 3{ ' (1,1,0), ' (1,0,1, ), ' (0,1,1)}e e e′ = = = =B .

R. Matricea formei pătratice date este , expresia analitică este

−=

300002020

A

2321 34)( xxxxQ −= ,

cu matricea de schimbare la noua bază C, iar matricea formei pătratice relativ la baza

B' de la punctul 6, A', unde , şi .

=′=

110101011

][ BBC

−−−−==′

312132

224CACA t

2. Se dă funcţia , ),( 4 RRB∈A

+−+−+−= 144113311221),( yxyxyxyxyxyxyxA 4

344324422332 ,, R∈∀−+−+−+ yxyxyxyxyxyxyx

1. Să se arate că este o formă biliniară antisimetrică. A2. Să se determine matricea corespunzătoare formei biliniare relativ la baza A

)}1,1,0,1(),1,0,1,1(),1,1,1,0(),0,1,1,1({' 4321 =′=′=′=′= eeeeB .

R: .

===′

== ′

−−−−−

−

1110101101111101

0111101111011110

,][,][ CCACAA tBB AA

3. Fie spaţiul vectorial al funcţiilor polinomiale reale de grad cel mult doi şi fie produsul scalar

2P

2

1

0

1

022 ,,)()(),(,: PwvdtdsswtvwvPP ∫ ∫ ∈∀=→× AA R .


Stud

ent W

EB Cop

y

1) Să se arate că este o formă biliniară simetrică pozitiv semidefinită, dar nu este pozitiv definită.

A

2) Să se determine matricea formei biliniare relativ la baza canonică a spaţiului , B şi relativ la baza .

A,1 t2P },,1{ 2tt= },1{ 2 tt −−=′B

R: .

===′

== −

−

′

100110

011

9/16/13/16/14/12/13/12/11

,][,][ CCACAA tBB AA

4. Determinaţi valoarea parametrului astfel ca vectorii şi

să fie ortogonali în raport cu forma pătratică R∈λ )1,1(−=x

),2( λ=y2221

21

2 2)(,: xxxxxQQ +−=→ RR

R: . 202

1111

)1,1( =λ⇒=

λ−−

−

5. Se dau următoarele forme pătratice: a) Q ; 32 ),,(,32)( R∈=∀+−= cbavcbcacvb) . 42 ),,,(,32)( R∈=∀++−= vzyxwxvvzvxywQ

1) Determinaţi forma polară asociată formei pătratice Q prin dedublare. A2) Aflaţi matricea formei pătratice Q relativ la baza naturală. R. . Temă a). Soluţia la punctul b):

314414434431221 ,),(

232)(

21)(

21),( R∈∀++++−+= yxyxyxyxyxyxyxyxyxA ,

==

−−

22/102/32/1000

0002/12/302/10

][][ AQ .

6. Se dau următoarele forme pătratice

a) 3 2 2 21: , ( ) 8 16 7 8 , ( , , )2

v x xy xz y yz z v x y z→ = − − + − + ∀ = ∈R R R3Q Q ;

b) ; [ ]

=→

−−−−−−

324262423

,: 3 QQ RR

c) Q ; 3321

2332

2231

21 ),,(,546)( R∈=∀−+++−= xxxxxxxxxxxx

d) . 322 ),,(,2)( R∈=∀−−+= zyxvzyzyxyvQDeterminaţi expresia canonică a acestor forme pătratice folosind metoda Gauss.

R. Temă a, b, c. d) ),,(][,,331)( 3222 zyxvvzyxv ′′′=∈∀′−′−′= ′BRQ ,

11

1006/13/10

001

100010

2/123

100011011

][

−−

=′= −

−−−BBC .


Stud

ent W

EB Cop

y

7. Determinaţi expresia canonică a formelor pătratice din exerciţiul precedent folosind metoda Jacobi şi metoda valorilor proprii.

R. Temă a, c, d. Soluţie la punctul b) Prin metoda Jacobi, [ ] .

Prin metoda valorilor proprii,

=

−′

7/100014/30003/1

BQ

[ ] [ ] [ ]

=

=′′′=′ −−

−

′

007

3/23/503/153/25/23/253/45/1

,,, 321 BBBB Qeee

− 200700

.

8. Utilizând metoda Gauss, metoda lui Jacobi şi respectiv metoda valorilor proprii, să se aducă la expresii canonice forma pătratică , RR →3: Q

33213121

23

22

21 ),,(,44465)( R∈≡∀−−++= xxxvxxxxxxxvQ

şi să se verifice teorema de inerţie, determinând în fiecare caz signatura formei pătratice. R: Matricile asociate expresiei canonice în urma aplicării celor trei metode sunt, respectiv:

800050002

40/1300026/50005/1

13/4000026/50005/1

,, ;

signatura este (3,0,0), deci forma pătratică este pozitiv definită.

9. Să se scrie forma pătratică corespunzătoare matricii ,

să se găsească expresia canonică şi să se verifice teorema de inerţie.

=

−−

−−

1101111001111011

A

R. Expresia analitică a formei pătratice este

433241212

42

32

22

1 2222)( xxxxxxxxxxxxvQ +−−++++= , ; 44321 ),,,( R∈≡∀ xxxxv

obţinem expresiile canonice, după cum urmează: prin metoda Gauss, 2

42

32

22

1 8221)( xxxxvQ ′+′+′−′= ;

prin metoda valorilor proprii, . 24

23

22

21 3)( xxxxvQ ′−′+′+′=

Metoda Jacobi nu se poate aplica (deoarece ); signatura formei Q este (3,1,0). 02 =∆ 10. Să se arate că dacă sunt matrice pozitiv definite, atunci matricea este pozitiv definită.

njiijnjiij hg ,,1,,,1, )(,)( KK ==

,)1()( +−= tthgttf ijijij ]1,0[,))(( ,,1, ∈=tf njiij K


ALGEBRĂ LINIARĂ GEOMETRIE ANALITICĂ - adrianmanea.xyz · de algebră liniară (structuri...

Documents

Transcript of ALGEBRĂ LINIARĂ GEOMETRIE ANALITICĂ - adrianmanea.xyz · de algebră liniară (structuri...