G. Chiorescu, Analiza matematic˘ a. Teorie si¸ probleme...

Definitie. Siruri marginite. Siruri monotone. Subsiruri ale unui sir. Siruri cu limita. Siruri convergente.

Bibliografie

G. Chiorescu, Analiza matematica. Teorie si probleme.Calcul diferential, Editura PIM, Iasi, 2006.R. Luca-Tudorache, Analiza matematica, EdituraTehnopress, Iasi, 2005.M. Nicolescu, N. Rosculet, S. Marcus, Analiza matematica,vol. I (Editia a IV-a), Editura Didactica si Pedagogica,Bucuresti, 1984.S. Chirita, Probleme de matematici superioare, EdituraDidactica si Pedagogica, Bucuresti, 1989.B. P. Demidovici, Culegere de probleme si exercitii deanaliza matematica, Editura Tehnica, Bucuresti, 1956.http://math.etc.tuiasi.ro/alazu/


Curs 1Siruri de numere reale


DefinitieSe numeste sir de numere reale o functie f : N R.

Pentru fiecare n N, valoarea functiei f n punctul n este xn,adica

xn = f (n) , n N.

x0, x1, x2, ... se numesc termenii sirului fxn se numeste termenul general al sirului f

Un sir cu termenul general xn se va nota prin (xn)n0 .

ObservatieDaca primii k termeni, x0, x1, ..., xk1, nu sunt definiti, atunci vomnota sirul prin (xn)nk .


Cum se poate defini un sir:

preciznd formula termenului general:

(1) xn = n, n 0;

(2) xn = 2n, n 0;

(3) xn =

{1, n par0, n impar.

(4) xn =n

n + 1, n 1.



definit prin intermediul unei recurente:

(1) Fie a, r R. Sirul (xn)n0 definit prin relatia derecurenta

xn+1 = xn + r , n 0,

x0 = a,

se numeste progresie aritmetica.Prin inductie matematica se obtine formula termenuluigeneral al sirului:

xn = a + nr , n 0.



(2) Fie b,q R. Sirul (xn)n0 definit prin relatia de recurenta

xn+1 = xnq, n 0,

x0 = b,

se numeste progresie geometrica.

Prin inductie matematica se obtine formula termenului generalal sirului:

xn = bqn, n 0.


Siruri marginite

DefinitieSpunem ca un sir de numere reale (xn)n0 este:(i) marginit inferior daca exista R astfel nct

xn,n N;

(ii) marginit superior daca exista R astfel nct

xn ,n N;

(iii) marginit daca exista , R astfel nct

xn ,n N.


ObservatieUn sir (xn)n0 este marginit daca si numai daca exista M > 0 astfelnct

|xn| M, n N.

Definitie

Spunem ca un sir de numere reale este nemarginit daca nu estemarginit.

Exemplu

(1) xn = (1)n , n N, este marginit;(2) xn = sin n, n N, este marginit;(3) xn = n, n N, este nemarginit;(4) xn = n, n N, este nemarginit;(5) xn = (1)n n, n N, este nemarginit.


Siruri monotone

DefinitieSpunem ca un sir (xn)n0 este:(i) crescator daca

xn xn+1, n N;

(i) strict crescator daca

xn < xn+1, n N;

(ii) descrescator daca

xn xn+1, n N;

(ii) strict descrescator daca

xn > xn+1, n N.


Siruri monotone

DefinitieUn sir (xn)n0 (strict) crescator sau (strict) descrescator se numestesir (strict) monoton.

ObservatieOrice sir strict monoton este monoton, nu si reciproc.


Cum studiem monotonia unui sir?

fie studiem semnul diferentei xn+1 xn:

(a) daca xn+1 xn 0 (xn+1 xn > 0), n N, atunci sirul(xn)n0 este crescator (respectiv strict crescator);

(b) daca xn+1 xn 0 (xn+1 xn < 0), n N, atunci sirul(xn)n0 este descrescator (respectiv strict descrescator).


Cum studiem monotonia unui sir?

fie comparam raportulxn+1xn

cu 1, daca (xn)n0 este un sir

cu termeni strict pozitivi:

(a) dacaxn+1xn 1 (xn+1

xn> 1), n N, atunci sirul (xn)n0

este crescator (respectiv strict crescator);

(b) dacaxn+1xn 1 (xn+1

xn< 1), n N, atunci sirul (xn)n0

este descrescator (respectiv strict descrescator).


Exemplu(1) Sirul xn = 2n + 1, n 0, este strict crescator.(2) Sirul xn =

1n, n 1, este strict descrescator.

(3) Sirul xn =(1)n

n, n 1, nu este monoton.


Legatura ntre monotonia si marginirea unui sir

Exista siruri marginite, care nu sunt monotone.De exemplu, sirul xn = (1)n , n 0.

Exista siruri care sunt monotone, dar nu sunt marginite.De exemplu, sirul xn = 2n + 1, n 0.Totusi,(a) daca sirul (xn)n0 este crescator, adica

x0 x1 x2 ... xn ...,atunci x0 xn, n N, deci (xn)n0 este marginit inferiorx0;

(b) daca sirul (xn)n0 este descrescator, adica

x0 x1 x2 ... xn ...,atunci x0 xn, n N, deci (xn)n0 este marginit superiorde x0.


Limita unui sir numeric

DefinitieFie x R fixat. Se numeste vecinatate a punctului x orice multimeV R care contine un interval deschis centrat n x , adica exista > 0 astfel nct (x , x + ) V .

Notam V (x) = {V R, V vecinatate pentru x} .


Consideram multimea

R = R {,+}

cu relatia de ordine (care prelungeste relatia de ordine din R):

< +, < x , x < +, pentru orice x R.

DefinitieV este vecinatate pentru + daca exista R astfel nct(,+] V .

V este vecinatate pentru daca exista R astfel nct[,b) V .


Definitie

Fie (xn)n0 un sir de numere reale si x R.Spunem ca (xn)n0 are limita x daca orice vecinatate a lui x continetoti termenii sirului, exceptnd, eventual, un numar finit de termeni.Cu alte cuvinte, x este limita sirului (xn)n0 daca:

V V (x) nV N a.i. xn V , n nV

.

Notam:lim

nxn = x sau xn x .


Definitie(i) Spunem ca sirul (xn)n0 este convergent daca are limita finita.

Daca x R si limn

xn = x , atunci spunem ca sirul (xn)n0 esteconvergent la x .

(ii) Sirurile care nu au limita si cele care au limita + sau senumesc divergente.


Exemple(1) Orice sir constant este convergent.

(2) Sirul xn =1n, n 1, este convergent la 0.

(3) Sirul xn = n2, n 0, este divergent (are limita +).

Observatiexn x R xn x 0.


Proprietati ale sirurilor convergente

Teorema (unicitatea limitei)Daca un sir de numere reale are limita, atunci aceasta esteunica.

TeoremaPrin adaugarea sau prin eliminarea unui numar finit de termeni:

(i) un sir convergent ramne convergent la aceeasi limita;(ii) un sir divergent ramne divergent.


Subsiruri ale unui sir

DefinitieFie (xn)n0 un sir de numere reale si (nk )k0 un sir strict crescator denumere naturale

n0 < n1 < n2 < ... < nk < ...

Sirul (xnk )k0 (cu termenii xn0 , xn1 , xn2 , ..., xnk , ...) se numestesubsir al sirului (xn)n0 .

ExempluLund nk = 2k , k 0, se obtine subsirul (x2k )k0 al termenilor derang par si pentru nk = 2k + 1, k 0, se obtine subsirul (x2k+1)k0al termenilor de rang impar.Fie sirul

xn = (1)n n, n 0


ExempluFie sirul

xn = sinn2, n 0.

Determinati subsirurile (x4k )k0 , (x4k+1)k0 , (x4k+2)k0 ,(x4k+3)k0.


Proprietati ale subsirurilor

Proprietatile de monotonie si marginire se transmit de la un sircatre subsirurile sale. La fel proprietatea unui sir de a avealimita.

TeoremaFie (xn)n0 un sir de numere reale. Daca (xn)n0 are limitax R, atunci orice subsir (xnk )k0 al sau are, de asemenea,limita x .

Prin urmare, orice subsir al unui sir convergent este si elconvergent.


CorolarDaca un sir are doua subsiruri convergente la limite diferite,atunci sirul nu are limita.

Exemplu

Sirul xn = (1)n , n 0, nu are limita.

Exemplu

Sirul xn = sinn2, n 0, nu are limita.

Definitie. Siruri marginite. Siruri monotone. Subsiruri ale unui sir.Siruri cu limita. Siruri convergente.

G. Chiorescu, Analiza matematic˘ a. Teorie si¸ probleme...

Documents

Transcript of G. Chiorescu, Analiza matematic˘ a. Teorie si¸ probleme...