Induc Secu

7/31/2019 Induc Secu

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________________________________________________________________

MMOODDEELLAACCIINN DDEE RREEDDEESSDDEE TTRRAANNSSMMIISSIINN DDEEEENNEERRGGAA EELLCCTTRRIICCAA

________________________________________________________________

LLEEOONNAARRDDOO CCAARRDDOONNAA CC..PPrrooffeessoorr AAssoocciiaaddoo

EESSCCUUEELLAA DDEE IINNGGEENNIIEERRAA EELLCCTTRRIICCAA YY MMEECCNNIICCAAUUNNIIVVEERRSSIIDDAADD NNAACCIIOONNAALL DDEE CCOOLLOOMMBBIIAA

SSEEDDEE MMEEDDEELLLLNNAAGGOOSSTTOO 22000044


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LEONARDO CARDONA C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

CONTENIDO

Pg.

1 INTRODUCCION .......................................................................................... 1

2 IMPEDANCIA SERIE DE UNA RED ....................................................... 5

2.1 RESISTENCIA DE LA LINEA................................................................... 6

2.2 INFLUENCIA DEL EFECTO SKIN EN LA RESISTENCIA................ 8

2.3 INFLUENCIA DEL SISTEMA DE RETORNO EN LARESISTENCIA.............................................................................................. 9

2.4 INDUCTANCIA DE LA LINEA DE TRANSMISION ......................... 10

2.5 INTENSIDAD DE CAMPO MAGNETICO H DEBIDO A LACORRIENTE DE UN SOLO CONDUCTOR ............................................ 12

2.6 CALCULO DEL FLUJO LIGADO TOTAL ............................................... 13

2.7 FLUJO LIGADO SOBRE UN CONDUCTOR DEBIDO A UNGRUPO DE CORRIENTES.......................................................................... 18

2.8 INDUCTANCIA DE UNA LINEA TRIFASICA CONSIDERANDOSUELO IDEAL............................................................................................. 20

2.9 MATRIZ DE REACTANCIAS INDUCTIVAS DE UNA REDTRIFASICA ................................................................................................. 24


3/83


2.10 INTERPRETACION DE LA MATRIZ DE INDUCTANCIAS ............ 26

2.11 INDUCTANCIAS PARA RED TRIFSICA TRANSPUESTA ........... 26

2.12 INDUCTANCIAS DE SECUENCIA PARA LINEA TRIFASICA...... 30

2.13 IMPEDANCIA SERIE DE UNA RED CON RETORNO PORTIERRA CONSIDERANDO SUELO REAL............................................ 35

2.14 APROXIMACION DE LEWIS PARA CALCULO DE IMPEDANCIASERIE A BAJA FRECUENCIA ................................................................ 38

2.15 LAS IMPEDANCIAS DE SECUENCIA CONSIDERANDO LAAPROXIMACION DE LEWIS ................................................................. 40

2.16 IMPEDANCIA DE UNA RED PARA CONDUCTORES EN HAZ ........ 41

2.17 IMPEDANCIA DE SECUENCIA CERO DE UNA RED TRIFSICADE UN CIRCUITO CON UN CABLE DE GUARDA.............................. 44

2.18 IMPEDANCIA DE SECUENCIA CERO DE UNA RED TRIFASICADE UN CIRCUITO CON DOS CABLES DE GUARDA......................... 45

2.19 IMPEDANCIA DE SECUENCIA CERO DE UNA RED TRIFASICADE DOS CIRCUITOS CON DOS CABLES DE GUARDA................... 47

3. CAPACITANCIA DE UNA RED............................................................... 50

3.1 DIFERENCIA DE POTENCIAL ENTRE DOS PUNTOS DEBIDO AUNA DISTRIBUCION LINEAL DE CARGA.......................................... 51

3.2 CAPACITANCIAS DE LINEA TRIFASICA ......................................... 54

3.3 INTERPRETACION FISICA DE LA MATRIZ DECAPACITANCIAS...................................................................................... 57


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3.4 CAPACITANCIA PARA UNA LINEA TRIFASICA CONTRANSPOSICION..................................................................................... 58

3.5 RADIO MEDIO GEOMETRICO Y DISTANCIA MEDIAGEOMETRICA............................................................................................. 62

3.6 CAPACITANCIAS DE SECUENCIA DE UNA RED TRIFASICATRANSPUESTA .......................................................................................... 64

4 REPRESENTACION CIRCUITAL DE LINEAS DETRANSMISION......................................................................................... 66

4.1 LINEAS DE TRANSMISION CORTAS................................................ 67

4.2 LINEAS DE TRANSMISION DE LONGITUD MEDIA...................... 71

4.3 LINEA DE TRANSMISION DE LONGITUD LARGA........................ 74

REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS ................................................................ 79


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INTRODUCCIN

Un sistema de transmisin de energa elctrica es una parte constitutiva

de un sistema de potencia elctrico que requiere de una modelacin

adecuada dependiendo del estudio que se est realizando. Estamodelacin depende de parmetros como la distancia, y la frecuencia del

fenmeno motivo de estudio.

Estas notas son el resultado de haber trabajado el tema de la modelacin

de lneas areas de alta tensin inicialmente en el curso de Transporte de

Energa y posteriormente en los cursos de Redes I y Redes II. Con la

utilizacin de herramientas modernas de simulacin como el programa

ATP/EMTP, que considera las redes como elementos polifsicos sin hacer

uso de las componentes simtricas, se hace necesario fortalecer el

concepto de impedancia generalizada de una red polifsica. Este concepto

se construye a partir de las expresiones de Carson y las simplificaciones

propuestas por Lewis para estudios a frecuencia industrial.

Las redes constituyen el elemento ms comn en un sistema elctrico de

potencia. Con fines de anlisis en estado estacionario y diseo delsistema elctrico se podra suponer conductores ideales si la red tuviera

una distancia muy pequea, pero la realidad es otra, ya que las redes se

construyen con el fin de transportar energa de las fuentes al usuario o

entre subestaciones con fines de interconexin.


6/83

Introduccin


2

Sobre una red aparecen cuatro fenmenos fsicos que no se puedenignorar dependiendo de la distancia y del voltaje de operacin. Estos

fenmenos fsicos son los siguientes:

Efecto resistivo, responsable del calentamiento del conductor y de

cada de tensin a lo largo del conductor. La resistencia depende del

tipo de material del cual est hecho. Este efecto es dominante sobre

los dems en redes de baja tensin, debido al calibre de los

conductores que se emplean en dichos niveles de tensin.

Efecto inductivo, debido a los enlaces de flujo que rodean al

conductor, creados por su propia corriente y por las corrientes de

los otros conductores. Este efecto se ignora generalmente en redes

de baja tensin donde el efecto resistivo es mayor que la reactancia

inductiva. Se empieza a considerar en redes donde los conductores

presentan una reactancia inductiva comparable con el la resistenciareactivo, como es el caso de las redes de distribucin. A medida que

aumenta el nivel de tensin, la resistencia de los conductores

empleados es mucho menor que la reactancia inductiva, como es el

caso de una lnea de 230 kV donde la relacin X1/R1 es del orden de

8 y para una lnea de 500 kV del orden de 14. En redes de alta

tensin el efecto inductivo es el limitante de las transferencias de

potencia activa.

Efecto capacitivo, debido a las corrientes de desplazamiento en

derivacin que se presentan entre conductores y entre estos y el

suelo. Estas corrientes de desplazamiento hace que los conductores

se carguen cuando son energizados, an con la lnea en vaco. La


7/83

Introduccin


3

capacitancia se desprecia normalmente para redes con longitud por

debajo de 80 km. El efecto capacitivo se empieza a tener en cuentaen redes de longitud mayor a 80 km ya que ste se acenta por

aumento de la corriente de desplazamiento. El efecto principal de la

capacitancia asociada a los conductores es el aumento de la tensin

en el extremo de carga en vaco. Este aumento de tensin depende

de la longitud de la red. Para redes por debajo de 80 km la

regulacin est por debajo de 0.5%, razn por la cual se considera

despreciable el efecto capacitivo. Cuando se trata de cables

aislados las consideraciones de longitud ya no son vlidas y el efectocapacitivo se debe considerar en casi todas las situaciones.

Efecto conductivo. Un cuarto efecto es el de conduccin de

corrientes de fuga debido a las caractersticas del aislamiento de la

red. Estas corrientes se presentan debido a la contaminacin del

medio ambiente que rodea al conductor. Este efecto normalmente se

ignora en lo que respecta al circuito que representa la red enfuncionamiento normal en estado estacionario. Las prdidas de

potencia activa que ocasionan estas corrientes si se tienen en cuenta

en la seleccin de conductores para lneas de alta tensin, cuando se

evalan las prdidas por efecto "corona".

Una vez que se ha tomado la decisin de disear y construir una nueva

red, se hace necesario un modelo que represente adecuadamente la red en

los diferentes estudios donde sta est involucrada. La modelacin paraestudios de estado estacionario de la red, se hace mediante un circuito en

forma general n-fsico.


8/83

Introduccin


4

El modelo circuital para una red de transmisin de energa se construye a

partir de las leyes de la Fsica que describen matemticamente losefectos fsicos anteriormente expuestos.

Las redes son del tipo trifsico de uno o varios circuitos. Es usual en

Colombia el utilizar cable de guarda como medio de apantallamiento contra

descargas atmosfricas, en redes areas, debido al alto nivel cerunico

que se presenta en la mayora de las regiones. El cable de guarda hace las

veces de conductor neutro al estar elctricamente en contacto con la

torre.

Para estudios transitorios rpidos, los modelos deben involucrar las

variables tiempo y desplazamiento, dando lugar a los modelos distribuidos

de onda viajera, los cuales manejan un concepto relativista, ya que un

evento que aparezca al inicio de la lnea necesita de un tiempo

determinado para propagarse, dado por la velocidad con que las ondas de

corriente y voltaje se desplazan a lo largo de la red.


9/83


IMPEDANCIA SERIE DE UNA REDAREA

La cada de voltaje lo largo de un conductor que transporta una corriente

alterna se debe a dos fenmenos fsicos: efecto resistivo propio del

conductor y el efecto de la autoinduccin motivado por la presencia decampo magntico variable en el tiempo que rodea al conductor. Las lneas de

campo magntico son ocasionadas por la propia corriente y por corrientes

de lneas paralelas vecinas, para el caso de lneas con varios conductores.

Una red est formada en general por nconductores acoplados entre si.

Este acoplamiento es tanto resistivo como inductivo.

En la obtencin de la impedancia serie de una red trifsica area se vaseguir la siguiente metodologa:

Clculo de la resistencia AC del conductor incluyendo algunos efectos

como la temperatura y el retorno por tierra.

Planteamiento de la ecuacin bsica para el flujo ligado sobre un

conductor, creado por su propia corriente.

Determinacin del flujo ligado sobre un conductor debido a un grupo

de varias corrientes.


10/83

Impedancia serie de una red area 6


Con la generalizacin anterior se particulariza para una red trifsica

de un conductor por fase. Se considera el caso de suelo ideal

(perfectamente conductor).

Se le da una interpretacin a la matriz de reactancias inductivas, para

el caso de red trifsica.

Se determinan las inductancias de secuencia, haciendo las

consideraciones de red completamente transpuesta.

Se hacen las correcciones a las expresiones de impedancia serie

obtenidas para suelo ideal, al considerar las caractersticas de suelo

real. Se plantean las expresiones de Carson y se considera finalmente

una solucin prctica a 60 hz, que es la aproximacin de Lewis.

Se plantea el caso de una fase constituida por un grupo de

conductores formando un haz.

Se considera el efecto que tienen los cables de guarda sobre la

impedancia de secuencia cero de una red trifsica.

2.1 RESISTENCIA DE LA LINEA

Los conductores que normalmente se utilizan en lneas areas son dealuminio y alma de acero reforzado (ACSR), conductor totalmente de

aluminio (AAC), conductor totalmente de aleacin de aluminio (AAAC),

conductor de aluminio reforzado (ACAR). Estos conductores de estos


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materiales ofrecen buenas caractersticas a la traccin mecnica (caso del

ACSR), buena conductividad y adems poseen poco peso.

Para determinar el efecto resistivo de los conductores se puede hacer por

clculos o por mediciones. En primera instancia parece sencillo el clculo de

la resistencia de un conductor, pero hay varios factores que complican dicho

clculo. Estos factores son los siguientes: la temperatura, efecto skin

(pelicular), la forma espiral de los hilos que componen el conductor

(espiralizacin), la frecuencia de la corriente, la tierra como sistema de

retorno.

El valor de la resistencia efectiva se puede obtener a partir de la medicin

de prdida de potencia y del valor efectivo de la corriente. El valor de la

resistencia obtenido de esta manera sera:

I

conductorelenpotenciadeprdidas=R

2(2.1)

La resistencia DC de un conductor de material uniforme se puede calcular

como:

A

l=RDC (2.2)

donde,

RDC = resistencia DC del conductor en .A = rea de la seccin transversal del conductor, en m

l = longitud del conductor, en m.

= resistividad del material del conductor, en .m

2.83 x 10-8.m para el aluminio a 20 C.


12/83



La resistividad del material del conductor vara en forma aproximadamente

lineal con la temperatura. Esta variacin se puede calcular con la siguiente

expresin:

T+T

T+T=01

0212 (2.3)

donde,

T2,T1 son las temperaturas en C correspondientes a lasresistividades 2 y 1 respectivamente.

T0 es una constante que puede tomar los siguientes valores,

234.5 para cobre recocido de 100% de conductividad,

241 para cobre estirado en fro de 97.3% de conductividad,

228 para aluminio estirado en fro de 61% de conductividad.

2.2 INFLUENCIA DEL EFECTO SKIN EN LA RESISTENCIA

La resistencia tambin se ve afectada por el efecto skin (pelicular o

superficial). Este consiste en la tendencia que tiene la corriente alterna a

concentrarse en la superficie del conductor, efecto que se incrementa con

la frecuencia. La resistencia se ve incrementada con este efecto ya que

disminuye al rea efectiva del conductor para transportar la corriente. El

clculo del incremento de la resistencia debido al efecto skin es complejo,

dando lugar a ecuaciones tipo Bessel. Para efectos prcticos la correccin

por este efecto se va a considerar al tomar el valor de resistencia a la

corriente alterna de las tablas que suministran los fabricantes. Este valor


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se da para la frecuencia de trabajo del conductor, a una temperatura

determinada y para diferentes valores de corriente (pequeas y 75% de la

corriente nominal).

2.3 INFLUENCIA DEL SISTEMA DE RETORNO EN LARESISTENCIA.

Cuando el sistema de retorno de una corriente es un conductor fsico o una

tierra de caractersticas ideales (=0.0), la resistencia total sersimplemente la suma de las dos resistencias de los respectivos conductores,

el de fase y el de retorno. Cuando el sistema de retorno lo constituye la

tierra fsica la resistencia total est dada por las correcciones de Carson:

R+R=R ACTOTAL (2.4)

donde R es una serie infinita,

...

fh10.10-

8f10.8=R 4-3

44-

(2.5)

donde,

h es la altura del conductor con respecto a la superficie del suelo en

m.

f es la frecuencia de la corriente en hz. es la resistividad del suelo en .m.

Para clculos a 60 hz. una solucin que se considera prctica es considerar

nicamente el primer trmino de la serie. Para este caso la correccin sera


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un trmino constante que es independiente de la altura del conductor. En lo

sucesivo a este trmino constante de correccin por retorno por tierra se

le llamar Rn, y su valor ser:

Km0.0592=Rn

(2.6)

2.4 INDUCTANCIA DE LA LINEA DE TRANSMISION

La fuerza electromotriz (FEM) inducida a lo largo de un conductor, de

acuerdo a la Ley de Faraday de la Induccin, se calcula de la manera

siguiente:

B.dSdt

d-=

dt

d-=E.dl=FEM=e

SL (2.7)

De acuerdo a la anterior ecuacin, la fuerza electromotriz est definida

como la integral de lnea del campo elctrico. Igualmente se puede evaluar lafem como la variacin del flujo ligado con respecto al tiempo. El signo

menos se introduce de acuerdo a la Ley de Lenz, para definir el sentido de

la diferencia de potencial que se opone a la corriente que produjo la cada

de tensin.

La relacin entre el flujo ligado, la inductancia y la corriente, se puede

obtener a partir de la siguiente ecuacin:

dt

d=

dt

dN=

dt

diL=v=e

(2.8)

De donde se puede establecer:


15/83



iL= (2.9)

Donde, corresponde al flujo ligado.

De la ecuacin 2.8 se puede establecer que el flujo ligado es igual al flujo

magntico multiplicado por el factor N. Este factor N tiene un significado

un poco diferente al que normalmente tiene en una bobina, por ejemplo,

(donde corresponde al nmero de vueltas). Para el caso de puntos

exteriores a un conductor, N tiene un valor de uno (1.0) y para puntos

interiores N corresponde a la fraccin de corriente total que es rodeadapor un diferencial de flujo.

La anterior ecuacin (teorema del flujo ligado) nos dice que existe una

relacin directa entre el flujo ligado y la corriente. El flujo ligado total

sobre un conductor es el resultado del flujo ligado interno del conductor y

el flujo ligado externo al conductor.

La Ley de Ampere permite calcular la fuerza magnetomotriz (FMM), en

amperios-vuelta alrededor de una trayectoria cerrada:

I=H.dl=FMM encerrada (2.10)

donde,

H = Intensidad de campo magntico, A/m

l = Distancia a travs del paso de integracin, m

I = Corriente encerrada por la trayectoria de integracin, A.

Si se escoge una trayectoria de integracin adecuada, la integral cerrada se

puede evaluar de manera fcil. Ver Figura 2.1.


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FIGURA 2.1 Lneas de intensidad de campo magntico Hx creadas por una corriente

2.5 INTENSIDAD DE CAMPO MAGNETICO H DEBIDO A LACORRIENTE DE UN SOLO CONDUCTOR

En puntos interiores del conductor, es decir para valores de x r, se tiene:

Ir

x=I 2

2

encerrada (2.11)

Ir

x=.dlH 2

2

x (2.12)

En la trayectoria escogida de integracin Hx tiene un valor constante,

Ir

x=Hx2 2

2

x (2.13)


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De lo anterior se deduce que para puntos interiores, la intensidad de campo

magntico se puede evaluar,

Ir2

x=H 2x

(2.14)

Para puntos exteriores, lo nico que cambia en la evaluacin de la ecuacin

2.10 es la corriente encerrada por la trayectoria de integracin, que en este

caso ya corresponde a la totalidad de la corriente I.

x2

I=HI=.dlH xx

(2.15)

El campo Hx para puntos interiores y exteriores se ilustra en la Figura 2.1,

donde se observa que para valores de x r la intensidad de campo

magntico vara linealmente con la distancia al centro del conductor y para

valores de x > r, el campo decrece y lo hace de manera inversa al incremento

de x.

2.6 CALCULO DEL FLUJO LIGADO TOTAL

Tal como qued establecido en la ecuacin 2.9 para calcular la inductancia

de un conductor en el espacio (sin efecto del suelo), hay que evaluar el flujo

ligado total que produce la corriente que circula por el conductor. En la

Figura 2.2 se ilustra este flujo ligado total hasta un punto exterior que esta una distancia D del centro del conductor.


18/83



FLUJO LIGADO EXTERNO

FLUJO LIGADO INTERNO

SUPERFICIE DEL CONDUCTOR

D

r

FIGURA 2.2 Flujo ligado total debido a una corriente

Para la evaluacin del flujo ligado interno, se realiza la integracin en una

trayectoria radial desde x=0 hasta x=r, y tomando un diferencial de rea

como se ilustra en la Figura 2.3.


19/83



dAHx

dx

FIGURA 2.3 Trayectoria para clculo de flujo ligado interno

Para la evaluacin del correspondiente flujo ligado externo se realiza la

respectiva integracin desde x=r hasta un punto externo a una distancia

genrica D y tomando un diferencial de rea como el que se ilustra en la

Figura 2.4.


20/83



LINEAS DE CAMPO MAGNETICO

dA

CORRIENT

EI

x dx

l

E

H

CONDUCTOR

Hx

FIGURA 2.4 Trayectoria de integracin para clculo de flujo ligado externo

Las ecuaciones bsicas para obtener el flujo ligado total seran:

dN=d (2.16)

B.dA=d (2.17)donde,

B = Densidad de flujo magntico

El diferencial se toma por cada unidad de longitud, es decir,

dx=l

l.dx=dA (2.18)

De las ecuaciones 2.16, 2.17, 2.18 y adems recordando la relacin queexiste entre la intensidad de campo magntico H y la densidad de campo

magntico B (B=H), un diferencial de flujo ligado en cualquier punto se

puede evaluar como:


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dxHN=d (2.19)

Haciendo la correspondiente integracin se obtiene la expresin para el

flujo ligado interno:

8

I=interno (2.20)

Para el flujo ligado externo, se obtiene:

r

D

2

I=externo ln

(2.21)

El flujo ligado total, ser entonces:

r

D+

2

I= 4

1total ln

(2.22)

Como el flujo ligado interno resulta independiente del radio del conductor,

la ecuacin 2.22 se puede expresar de manera que se elimine el flujo ligado

interno y quede expresado el flujo ligado total en funcin de un radio

ficticio (r'), que representa un conductor sin flujo interno,

r

D

2

I=total

ln

(2.23)

donde,er.=r 4

1- (2.24)

Segn la ecuacin 2.23 la inductancia de un conductor cilndrico, sera:


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r

D

2=L

ln

(2.25)

2.7 FLUJO LIGADO SOBRE UN CONDUCTOR DEBIDO A UN GRUPODE CORRIENTES

Sobre un conductor adems de su propia corriente, tambin tienen

influencia las corrientes de conductores vecinos. Estos ltimos crean

enlaces de flujo que rodean al conductor sobre el que se desea calcular el

flujo ligado total. Ver Figura 2.5

D12

D2P

D1PPUNTO P

I1

I2

CREADO POR LA CORRIENTE I1

FLUJO LIGADO SOBRE EL CONDUCTOR 1

CREADO POR LA CORRIENTE I2

FLUJO LIGADO SOBRE EL CONDUCTOR 1

FIGURA 2.5 Flujo ligado debido a un grupo de conductores


23/83



Para el clculo del flujo ligado total sobre un conductor debido a un grupo

de corrientes, se puede utilizar la ecuacin 2.23 para la evaluacin del flujo

ligado total debido a su propia corriente. El clculo del flujo ligado sobre el

conductor debido a otras corrientes, se puede hacer con la ecuacin 2.21,

pero evaluado desde una distancia D1 hasta una distancia D2 al centro del

conductor:

1

2ln

D

D

2

I=externo

(2.26)

Tal como se ilustra en la Figura 2.5, solamente se va a considerar un grupo

de dos corrientes actuando sobre un conductor y a partir del resultado se

hace la correspondiente generalizacin.

12111 += (2.27)

D

D

2

I+

r

D

2

I=12

2P2

1

1P11 lnln

(2.28)

Haciendo la siguiente descomposicin,

D

1I+

r

1I+DI+DI

2=

122

112P21P11 lnlnlnln

(2.29)

Como la suma de corrientes debe ser cero, se puede expresar I2 en funcin

de I1. Agrupando trminos la ecuacin 2.29 se puede expresar de lasiguiente manera:

D

DI+D

1I+

r

1I

2=

2P

1P1

122

111 lnlnln

(2.30)


24/83



En la ecuacin anterior el ltimo trmino tiende a cero, cuando se evala el

flujo ligado hasta un punto P muy alejado. La ecuacin 2.30 queda reducida

a:

D

1I+

r

1I

2=

122

111 lnln

(2.31)

Generalizando la anterior ecuacin,

D

1I+...+

r

1I+...+

D

1I+

D

1I

2=

inn

ii

i22

i11i lnlnlnln

(2.32)

La anterior ecuacin corresponde al flujo ligado por unidad de longitud

sobre un conductor genrico i (i ), debido a un grupo de n corrientes.

2.8 INDUCTANCIA DE UNA LINEA TRIFASICA CONSIDERANDOSUELO IDEAL

Inicialmente se va a considerar el caso de una lnea monofsica, que

transporta una corriente I, y se encuentra sobre un suelo ideal

(conductividad infinita). Sobre la superficie del terreno ideal, el campo

magntico, creado por la corriente del conductor, es tangente. Ver Figura2.6.


25/83



CORRIENTE IMAGEN

CORRIENTE I

LINEASDECAMPOMAGNETICO

FIGURA 2.6 Corriente sobre un suelo perfectamente conductor

Para cumplir con la anterior condicin de borde, el suelo se puede

reemplazar por una corriente imagen situada a una distancia 2h del

conductor que transporta la corriente y con una direccin contraria.

Para una red trifsica se puede aplicar el mismo recurso de las corrientes

imgenes. Ver Figura 2.7.


26/83



Haa' Hbb' Hcc'

a

b

c

a'

b'

c'

Dab

Dac

Dbc

Hab'

Hbc'

Ia

Ib

Ic

-Ia

-Ib

-Ic

FIGURA 2.7 Lnea trifsica y corrientes imgenes

Para calcular el flujo ligado sobre los conductores a,b,c, se utiliza laecuacin 2.32 incluyendo la contribucin de las corrientes imgenes. El flujo

ligado sobre el conductor a, sera:

H

1I-

H

1I-

H

1I-

D

1I+

D

1I+

r

1I

2=

cac

bab

aaa

acc

abb

aaa lnlnlnlnlnln

(2.33)

La ecuacin 2.33 se puede utilizar para evaluar el flujo ligado para las dos

fases restantes. El resultado se puede expresar matricialmente:


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I

I

I

r

H

D

H

D

H

D

H

r

H

D

H

D

HD

Hr

H

2

=

c

b

a

c

cc

cb

bc

ca

ac

bc

cb

b

bb

ba

ab

ac

ca

ab

ba

a

aa

c

b

a

lnlnln

lnlnln

lnlnln

(2.34)

I

I

I

LLL

LLL

LLL

=

c

b

a

cccbca

bcbbba

acabaa

c

b

a

(2.35)

La anterior ecuacin tiene la misma forma de la ecuacin 2.9 ( iL= ).

Se concluye que la matriz de inductancias para una lnea trifsica sobre

suelo ideal, es la siguiente:


28/83



r

H

D

H

D

H

D

H

r

H

D

H

D

HD

Hr

H

2

=

c

cc

cb

bc

ca

ac

bc

cb

b

bb

ba

ab

ac

ca

ab

ba

a

aa

abcL

lnlnln

lnlnln

lnlnln

(2.36)

La ecuacin 2.35 escrita en forma compacta,

IL abc.abc=abc (2.37)

La correspondiente generalizacin de un elemento de la matriz de

inductancias para una lnea de n conductores sera:

r

H2

=Li

iiii

ln

(2.38)

jiparaDH

2=L

ij

jiij

ln (2.39)

La permeabilidad magntica para el aire se toma igual a la del vaco. Este

valor corresponde a:

Km

mH0,2=

2

m

H10x4== 7-0

(2.40)

2.9 MATRIZ DE REACTANCIAS INDUCTIVAS DE UNA REDTRIFASICA


29/83



La ecuacin 2.37 puede llevarse a una ecuacin fasorial que relacione las

cadas de potencial con las corrientes,

j w=Vdt

(t)d=V(t) (2.41)

La ecuacin 2.34 se puede convertir en una relacin entre las diferencias de

potencial en los conductores y las corrientes de lnea,

I

I

I

r

H

D

H

D

H

D

H

r

H

D

H

D

HD

Hr

H

2

wj=

V

V

V

c

b

a

c

cc

cb

bc

ca

ac

bc

cb

b

bb

ba

ab

ac

ca

ab

ba

a

aa

c

b

a

lnlnln

lnlnln

lnlnln

(2.42)

I

I

I

XXX

XXX

XXX

j=

V

V

V

c

b

a

cccbca

bcbbba

acabaa

c

b

a

(2.43)

Las diferencias de potencial y corrientes en las dos ecuaciones anteriores

son variables fasoriales. La ecuacin 2.42 en forma compacta:

I.X=V abcabcabc (2.44)


30/83



2.10 INTERPRETACION DE LA MATRIZ DE INDUCTANCIAS

La interpretacin de cada uno de los trminos de la matriz de inductancias

para una lnea trifsica se ilustra en la Figura 2.8.

a'

b'

c'c

Laa

Lbb

Lcc

Lab

Lbc

Lac

Ia

Ib

Ic

Laa Lab Lac

Lba Lbb Lbc

Lca

Lcb

Lcc

FIGURA 2.8 Circuito inductivo para lnea trifsica

Los trminos de la diagonal principal corresponden a las inductancias propias

de cada fase o de cada conductor, para el caso de un conductor por fase.

Los trminos fuera de la diagonal principal corresponden a las inductancias

mutuas entre fases.

2.11 INDUCTANCIAS PARA RED TRIFSICA TRANSPUESTA

En una red trifsica cuando los conductores no tienen una disposicin

geomtrica equiltera, las inductancias propias no son exactamente iguales


31/83



entre si. Similarmente sucede con las inductancias mutuas. El balance de las

tres fases puede lograrse, intercambiando la posicin de los conductores a

intervalos regulares a lo largo de la lnea. Para el caso de una lnea trifsica

de un solo circuito, la lnea se divide en tres tramos, tal como se ilustra en la

Figura 2.9.

a

b

c

Laa

Lbb

Lcc

Lab

Lbc

Lac Lac

Lbc

Lab

Lcc

Lbb Lac

Lbc

Lab

Lcc

Lbb

I1

I2

I3

TRAMO #1 TRAMO #2 TRAMO #3

FIGURA 2.9 Ciclos de transposicin

En la Figura 2.9 las posiciones geomtricas se representan por las letras a,b

y c.

Para el primer tramo, la relacin entre voltajes y corrientes es:

I

I

I

LLL

LLL

LLL

=

3

2

1

cccbca

bcbbba

acabaa

3

2

1

(2.45)

Para el segundo tramo,


32/83



I

I

I

LLL

LLL

LLL

=

1

3

2

cccbca

bcbbba

acabaa

1

3

2

(2.46)

Para el tercer tramo,

I

I

I

LLL

LLL

LLL

=

2

1

3

cccbca

bcbbba

acabaa

2

1

3

(2.47)

El flujo ligado por unidad de longitud sobre cada conductor para toda la

longitud de la lnea se puede evaluar como el promedio de los flujo ligados

que tiene cada conductor en los tres tramos.

I

I

I

3L+L+L

3L+L+L

3L+L+L

3L+L+L

3L+L+L

3L+L+L

3L+L+L

3L+L+L

3L+L+L

=

3

2

1

ccbbaaacbacbabbcca

caabbcccbbaacbacba

bacbacbccaabccbbaa

3

2

1

(2.48)

Se observa en la matriz de inductancias para lnea transpuesta que los

trminos de la diagonal principal son iguales entre si, lo mismo que las


33/83



inductancias mutuas. Teniendo en cuenta las anteriores consideraciones, la

matriz de inductancias tiene la siguiente forma,

LLL

LLL

LLL

=abc

SMM

MSM

MMS

L (2.49)

La nueva ecuacin matricial de los flujos ligados en funcin de las corrientes

de lnea sera,

I

I

I

LLL

LLL

LLL

=

c

b

a

SMM

MSM

MMS

c

b

a

(2.50)

Las expresiones para LS y LM son las siguientes,

3cba

3ccbbaa

Sr.r.r

H.H.H2

=L

ln

(2.51)

3bcacab

3cbcaba

MD.D.D

H.H.H2

=L

ln

(2.52)

Al trmino 3 bcacab D.D.D se le denomina distancia media geomtrica entre

fases o DMG .

Al trmino 3 cba r.r.r se le denomina el radio medio geomtrico de la red o

MGR , que para el caso de conductores iguales es equivalente al radio medio

geomtrico del conductor (0,7788*r para conductor macizo).


34/83



2.12 INDUCTANCIAS DE SECUENCIA PARA LINEA TRIFASICA

Tal como se indic en el circuito equivalente inductivo de una lnea trifsica,

ste constituye un sistema acoplado. Un circuito magntico con acoples

dificulta mucho los clculos que se hagan sobre el sistema de potencia.

Si la lnea es completamente transpuesta o se puede asumir como tal, la

transformacin de componentes simtricas ofrece una alternativa muy

atractiva con el fin de simplificar el circuito inductivo. La realidad es la de

que muy pocas lneas son completamente transpuestas, pero se puedeasumir para poder utilizar de manera sencilla la transformacin de

componentes simtricas.

Definiendo los flujos ligados sobre las fases y las corrientes de lnea en

funcin de los flujos ligados de secuencia y de las corrientes de secuencia,

012abc .T= (2.53)

I.T=I 012abc (2.54)

Reemplazando las ecuaciones 2.53 y 2.54 en la ecuacin 2.50,

I.T.L=T. 012abc012 (2.55)

Premultiplicando por T-1 1 en ambos miembros de la ecuacin anterior,

I.T.L.T= 012abc-1

012 (2.56)L 012


35/83



aa1

aa

1

111

LLLLLL

LLL

aa1a

a1

111

=

2

2

SMM

MSM

MMS

2

2

3

1

L012

(2.57)

L-L00

0L-L0

00L2+L

=

MS

MS

MS

L012 (2.58)

La ecuacin 2.58 corresponde a la matriz de inductancias de secuencia. Lamatriz es completamente diagonal, lo cual indica que en el dominio de las

componentes de secuencia existen tres circuitos inductivos independientes.

Ver Figura 2.10.

La ecuacin 2.56 quedara como,

I

I

I

L00

0L000L

=

2

1

0

2

1

0

2

1

0

(2.59)


36/83



a'

b'

c'

a

b

c

Ia

Ib

Ic

L0

L 1

L2

0 0

0

0 0

0

L0

L 1

L2

I0

I1

I2

LS LM

LS

LS

LM

LMLM

LM LM

LS

LS

LS

LM

LM

LM

FIGURA 2.10 Inductancias de secuencia

La inductancia de secuencia positiva y negativa para una lnea trifsica,

sera:

3cba

3cbcaba

3bcacab

3ccbbaa

21r.r.r.H.H.H

D.D.D.H.H.H2

=L=L ln

(2.60)

Para una lnea, la anterior ecuacin se puede aproximar a:

KmmH

3cba

3bcacab

21 MGR

DMG0,2=

MGR

DMG

2=

r.r.r

D.D.D2

=L=L

lnlnln

(2.61)

La inductancia de secuencia cero sera:

3cba

3bcacab

2

3cbcaba

23

ccbbaa

0

r.r.r.D.D.D

H.H.H.H.H.H

2=L ln

(2.62)

Haciendo un ordenamiento de la ecuacin anterior,


37/83



3cba

3bcacab

2

9 2

cb

2

ca

2

baccbbaa

3

0

r.r.r.D.D.DH.H.HH.H.H

2=L ln (2.63)

Matemticamente una distancia media geomtrica (DMG ) entre un grupo

de elementos de un conjunto con otro grupo de elementos de otro conjunto,

se define como la raz n-sima de todas las distancias posibles, entre cada

uno de los elementos del primer conjunto con los elementos del segundo

conjunto. En la Figura 2.11 se observan las distancias posibles entre unconjunto de 2 elementos y otro conjunto de 5 elementos.

c

d

e

fg

a

b

FIGURA 2.11 Distancias posibles entre conjuntos de 2 y 5 elementos

Para el caso ilustrado la DMG est definida como:

10bgbfbebdbcagafaeadac D.D.D.D.D.D.D.D.D.D=DMG (2.64)

El concepto de DMG se puede aplicar tambin a ms de dos conjuntos de

elementos. Para el caso de tres conjuntos unitarios, como es el caso de una

lnea trifsica de un conductor por fase, la distancia media geomtrica

corresponde a la raz cbica de las distancias entre elementos.


38/83



Haciendo uso del concepto de la distancia media geomtrica, la ecuacin

2.63 puede ser escrita de la siguiente manera:

DMG.MGRDe

2=L 2

3

0

ln

(2.65)

donde,

De es la distancia media geomtrica entre las corrientes de los

conductores de fase y sus respectivas imgenes.

DMG es la distancia media geomtrica entre fases.

MGR corresponde al radio medio geomtrico. Dato que

normalmente se obtiene de las tablas de fabricantes de

conductores.

Una interpretacin, acerca de una red trifsica con retorno por tierra, que

se puede hacer a partir de la expresin de la inductancia de secuencia cero,sera la de una red equivalente que tiene como sistema de retorno un

conductor ficticio situado a una distancia igual a De . Ver Figura 2.12


39/83



Haa' Hbb' Hcc'

a

b

c

a'

b'

c'

Dab

Dac

Dbc

Hab'

Hbc'

Ia

Ib

Ic

-Ia

-Ib

-Ic

Ic

Ib

Ia

Dbc

Dac

Dab c

b

a

DeDe

De

CONDUCTOR FICTICIO

DE RETORNO

FIGURA 2.12 Lnea trifsica con conductor de retorno equivalente

2.13 IMPEDANCIA SERIE DE UNA RED CON RETORNO POR TIERRA

CONSIDERANDO SUELO REAL

Hasta ahora se ha considerado el suelo con unas caractersiticas ideales, es

decir de una conductividad infinita. Partiendo del hecho de que no es

posible resolver el problema teniendo en cuenta las caractersticas

desiguales de la superficie del suelo, y capas con diferentes resistividades,

Carson estudi el problema considerando la tierra como un plano slido

semi-infinito y homogneo. Las soluciones que obtuvo Carson son

correcciones a las que se han obtenido considerando suelo ideal.

Las expresiones de impedancia serie desarrolladas por Carson para un

conductor genrico i son las siguientes:


40/83



Para la impedancia propia del conductor,

Kmiii

iiiiiii X+

r

H2

wj+R+Rac=Z

ln

(2.66)

Para las impedancias mutuas,

Kmijij

jiijij X+

D

H2

wj+R=Z

ln

(2.67)

donde,Raci Resistencia AC del conductor en /Km

ri Radio corregido del conductor i . RMG de tablas de

fabricante.

H ii Distancia del conductor i a su imagen

Hji Distancia del conductor i a la imagen del conductor j

Dij Distancia del conductor i al conductor j

Las anteriores definiciones se pueden observar en la Figura 2.13


41/83



i

j

j

i

Hij

Dij

Hii

Xij

FIGURA 2.13 Geometra de torre para dos conductores genricos

Las correciones en la impedancia mutua Rij , Xij dependen del ngulo

ilustrado en la Figura 2.13, de la distancia entre el conductor i y la imagendel conductor j , adems de depender de la resistividad y de la frecuencia.

Para el caso de las correcciones en la impedancia propia se utilizan las

mismas expresiones para las correcciones en la impedancia mutua haciendo

el ngulo igual a 0 y la distancia Hji en la distancia del conductor a su

imagen, es decir en 2*h. Las correcciones para impedancias mutuas son:

Km

4-

ii .P10w.4=.P22.w.=R

(2.68)

Km4-

ij .Q10w.4=.Q2

2.w.=X

(2.69)


42/83



En las dos ecuaciones anteriores w corresponde a la frecuencia angular

(rad/seg) y los trminos P y Q a valores adimensionales cuyas expresiones

son las siguientes:

...4.1536

k-245

3.k+2.sen.16k+

k

2+0,6728*2.

16k+k.

23

1-

8=P

432

2

coscos

lncoscos

(2.70)

...1,0895+k

2.

384

4.k-.sen4384

.k-

245

3.k

+2.64

k

-.k.23

1

+k

2

+0,0386-=Q44

32

2

1

ln

cos

cos

coscosln

(2.71)

donde,

f.H.102.81x=k ji

3- (2.72)

H

Xsen=

ji

ij1-

(2.73)

Las ecuaciones para P y Q corresponden a los primeros trminos de una

serie infinita. Los trminos que se han indicado en las ecuaciones 2.70 y 2.71

dan una buena precisin para todos los clculos que se hagan a baja

frecuencia.

2.14 APROXIMACIN DE LEWIS PARA CLCULO DE IMPEDANCIASERIE A BAJA FRECUENCIA

Una aproximacin que se considera prctica para clculos a baja frecuencia

es la denominada aproximacin de Lewis. Esta aproximacin considera


43/83



solamente el primer trmino en la serie de P para el clculo de R . Para el

clculo de la correccin X considera los dos primeros trminos para Q .

Las ecuaciones 2.66 y 2.67 considerando la aproximacin de Lewis

quedaran:

Km

k

2+0,0386-x2+

r

H2

wj+

8.10.w4+Rac=Z 2

1

i

ii4-iii

lnln

(2.74)

Reemplazando el valor de kde acuerdo a la ecuacin 2.72, se llega a lasiguiente expresin:

r

f658,86

2

wj+wx10x+Rac=Z

i

4-21

iii

ln (2.75)

Rn

Para una frecuencia industrial de 60 hz y definiendo,

hzenf

m.enparam

f658,86=De

(2.76)

Km

r

De0,0754j+0.0592+Rac=Z

iiii

ln (2.77)

Para las impedancias mutuas,

Km

D

De0,0754j+0,0592=

D

De

2

wj+Rn=Z

ijijij

lnln

(2.78)


44/83



2.15 LAS IMPEDANCIAS DE SECUENCIA CONSIDERANDO LAAPROXIMACION DE LEWIS

Para una red trifsica la matriz de impedancias serie Zabc tendra la

siguiente forma:

r

De

D

De

D

De

D

De

r

De

D

De

D

De

D

De

r

De

w

jRnRacRnRn

RnRnRacRn

RnRnRnRac

=

ccbca

bcbba

acaba

c

b

a

abc

Z

+

++

+

lnlnln

lnlnln

lnlnln

2

(2.79)

Si la lnea es completamente transpuesta o se considera como tal, la matriz

de impedancias tendr la forma:

ZZZ

ZZZ

ZZZ

=

SMM

MSM

MMS

abcZ (2.80)

donde,

MGR

De

2

wj+Rn+Rac=ZS

ln

(2.81)

DMG

De

2

w

j+Rn=ZM ln

(2.82)

Las impedancias de secuencia de acuerdo a la aproximacin de Lewis seran:


45/83



MGR

DMG

2

wj+Rac=Z2=Z1

ln

(2.83)

DMGMGxRDe

2

wj+Rn3+Rac=Z0

2

3

ln

(2.84)

Si se comparan las ecuaciones anteriores, con las ecuaciones 2.61 y 2.65 se

concluye que la impedancia de secuencia positiva no se ve afectada por el

sistema de retorno, es decir que las consideraciones que se hagan del suelo

(ideal o no), no afecta el resultado. La impedancia de secuencia cero, por el

contrario, si se ve afectada por el sistema de retorno. La variacin de laimpedancia de secuencia cero, teniendo en cuenta la influencia de un suelo

real, se ve reflejada en la modificacin de la distancia De. En este caso,esta distancia ya no corresponde a la distancia media geomtrica entre las

corrientes de conductores y sus correspondientes imgenes, sino que se

evala a partir de la ecuacin 2.76. Lo anterior sera equivalente a

considerar una lnea con un conductor ficticio de retorno, situado a una

distancia de los conductores de fase igual a metrosf/658,86=De .

2.16 IMPEDANCIA DE UNA RED PARA CONDUCTORES EN HAZ

Los conductores en haz se pueden manejar matemticamente como

conductores independientes, y luego mediante un proceso de reduccin,

considerando que estn en paralelo, se reduce la lnea a una de tipo

equivalente de un conductor por fase. Un mtodo simple consiste en reducirel haz a un conductor equivalente antes de empezar cualquier clculo.


46/83



Para la determinacin del equivalente para un haz de conductores,

consideremos, por ejemplo una fase formada por un haz de tres

conductores (Ver Figura 2.14).

IT

I1 I2 I3

FIGURA 2.14 Haz de tres conductores

La relacin entre las cadas de voltaje a lo largo de los tres conductores y

las respectivas corrientes de lnea est dada por la siguiente ecuacin:

I

I

I

ZZZ

ZZZ

ZZZ

=

V

V

V

3

1

1

333231

232221

131211

3

2

1

(2.85)

Suponiendo que las tres corrientes son iguales entre si, la diferencia de

potencial ( V ) se puede calcular como el promedio de las tres diferenciasde potencial sobre los tres conductores,

Ix9

Z+Z+Z+Z+Z+Z+Z+Z+Z=3

V+V+V=V T333231232221131211321 (2.86)


47/83



Utilizando las ecuaciones 2.75 y 2.78 para expresar cada trmino Zij ,

IxD.D.D.D.D.D.r.r.r

De

2

wj+Rn+

3

Rac=V T

9323123211312

321

ln

(2.87)

Segn la ecuacin anterior el radio equivalente para representar el haz de

tres conductores sera:

9323123211312 D.D.D.D.D.D.rrr=MGR 321 .. (2.88)

El radio equivalente ( MGR ) para diferentes configuraciones de haz de

conductores se ilustran en la Figura 2.15.

d

d

d

d

r

Ar

d.r=MGR 3 2d.r=MGR 4 3d.r1,0905=MGR n 1-nArn=MGR

FIGURA 2.15 Diferentes tipos de haz de conductores

En la Figura 2.15 la expresin para el MGR del haz de cinco conductores es

general, o sea que se puede aplicar a cualquier tipo de haz con la condicin

que el radio A est definido.


48/83



2.17 IMPEDANCIA DE SECUENCIA CERO DE UNA RED TRIFSICADE UN CIRCUITO CON UN CABLE DE GUARDA

Cuando una lnea tiene cables de guarda aterrizados, el retorno por tierra

se ve afectado por la presencia de estos conductores. El efecto de los

conductores de guarda es ofrecer un camino alterno para la circulacin de

corrientes de secuencia cero y por eso nicamente afecta la impedancia de

secuencia cero.

Para determinar la expresin correspondiente consideremos todos losacoples que estn presentes entre las fases y el cable de guarda. Ver Figura

2.16.

El circuito trifsico se alimenta con una fuente de voltaje de secuencia

cero. Para obtener la impedancia de secuencia cero (Z0 ) basta con

determinar la relacin I/V 00 .

Zm

Zfg

Zg

Io

Igo

Vo

+

-

Zs

Zs

Zs

Io

Io

FIGURA 2.16 Lnea trifsica de un circuito y un cable de guarda


49/83



La diferencia de potencial en las fases es igual a V0 y se puede evaluar en

una de las tres ramas,

I.Z-I.Z2+I.Z=V 0gfg0M0s0 (2.89)

En la rama correspondiente al cable de guarda,

Z

I.Z3=Ig

0fg0g (2.90)

Reemplazando 2.90 en 2.89 se obtiene la relacin para la impedancia de

secuencia cero,

ZgZ3-Z=

Z

Z3-)Z2+Z(=Z2fg

0g

2fg

MS0E (2.91)

2.18 IMPEDANCIA DE SECUENCIA CERO DE UNA RED TRIFASICADE UN CIRCUITO CON DOS CABLES DE GUARDA

En la Figura 2.17 se observa los acoples de impedancias que se presentan

entre las tres fases de un circuito y los dos cables de guarda.


50/83



Zm

Zg

Io

Igo

Vo

+

-

Zs

Zs

Zs

Io

Io

IgoZgZgg

Zfg

Zfg

FIGURA 2.17 Lnea trifsica de un circuito y dos cables de guarda

La ecuacin de voltajes sobre una malla correspondiente a una de las fases,

I.Z2-I)Z2+Z(=V 0gfg0M00 (2.92)

La ecuacin de voltajes sobre uno de los cables de guarda,

IZ+Z

Z3=I_I.Z-I.Z3=Z.I 0ggg

fg0g0ggg0fgg0g (2.93)

La impedancia de secuencia cero ser entonces,

Z+ZZ6-Z=

Z+ZgZ6-)Z2+Z(=Z

ggg

2fg0

gg

2fgMS0E (2.94)

2.19 IMPEDANCIA DE SECUENCIA CERO DE UNA RED TRIFASICADE DOS CIRCUITOS CON DOS CABLES DE GUARDA


51/83



Una lnea trifsica de dos circuitos con dos cables de guarda y los acoples

de impedancia se observa en la Figura 2.18.

Zm

Zg

Io

Igo

Vo

+

-

Zs

Zs

Zs

Io

Io

IgoZgZgg

Zfg

Zfg

Zs

Zs

Zs

Zp

Zfg

SEGUNDO

CIRCUITO

PRIMER

CIRCUITO

FIGURA 2.18 Lnea trifsica de dos circuitos y dos cables de guarda

Para este caso existe acople de secuencia cero entre los dos circuitos

trifsicos. Para el caso de que no existieran los cables de guarda o

estuvieran aislados, este acople sera deZ.3 P .

La ecuacin de voltajes sobre una fase del primer circuito sera:

0I.Z2-I)Z2+Z(=V gfgOMS0 (2.95)


52/83



La ecuacin de voltajes sobre uno de los cables de guarda,

IZ+Z

Z3=0II.Z=0I.Z-I.Z3 0ggg

fgggogggg0fg _ (2.96)

La impedancia de secuencia cero para cada circuito sera entonces:

Z+Z

Z6-Z=Z+Zg

Z6-)Z2+Z(=Zggg

2fg

0gg

2fg

MS0E (2.97)

El voltaje que aparece inducido sobre el circuito abierto sera,

I.Z+Z

Z6-Z3=IZ2-I.Z3=V 0ggg

2fg

P0gfg0Pind

(2.98)

Se concluye entonces que el acople de secuencia cero entre circuitos sera,

Z+Z

Z6-Z=Z+Z

Z6-Z3=Zggg

2fgM

0ggg

2fg

PM0E

(2.99)

La red de secuencia cero para esta configuracin de lnea se ilustra en la

Figura 2.19.


53/83



Z0EM

Z0E

Z0E

REFERECIA DE SEC. CERO FIGURA 2.19 Red de secuencia cero para lnea doble circuito y dos cables de guarda

La red de la Figura 2.19 es general para una red trifsica, que tenga hasta

dos circuitos.


54/83


CAPACITANCIA DE UNA RED AREA

Una red formada por un solo conductor tiene las caractersticas de un

condensador donde una placa es un cilindro metlico y la otra placa es lasuperficie del terreno (Ver Figura 3.1)

++

++++++

++++

FIGURA 3.1 Configuracin cilindro plano de una red

Cuando la red tiene una distancia considerable, el efecto capacitivo trae

como consecuencia un nivel de voltaje en vaco, en el extremo de carga,

superior al nivel de voltaje de la fuente. (Figura 1.1)

La capacitancia de la red normalmente no se considera para distanciascortas (d


55/83

Capacitancia de una red area 51


empieza a ser considerable, hasta el punto que las redes de mayor nivel de

voltaje, deben ser compensadas mediante reactores.

Para llegar a un modelo capacitivo de una red trifsica se van a seguir los

siguientes pasos:

Como una red trifsica est formada por una serie de conductores,

cada uno de stos se considera como portador de una carga lineal

uniformemente distribuida. Se plantea una expresin general paracalcular la diferencia de potencial entre dos puntos en el espacio

debido a una distribucin lineal de carga.

Aplicando la metodologa de las cargas imgenes, una red trifsica

sobre un suelo conductor se considera equivalente, a un sistema

compuesto de las cargas reales de los conductores de fase y sus

respectivas imgenes de carga. Se plantea para una red trifsica de un

conductor por fase la relacin entre voltajes inducidos y las cargas delos mismos. Las capacitancias asociadas a una red aparecen expresadas

desde el punto de vista matricial.

Se plantea una interpretacin fsica de la matriz de capacitancias de

una red.

Se calculan las capacitancias de secuencia para una red sin considerarel efecto de los cables de guarda y suponiendo que hay transposicin

completa.


56/83



3.1 DIFERENCIA DE POTENCIAL ENTRE DOS PUNTOS DEBIDO AUNA DISTRIBUCIN LINEAL DE CARGA

Considerando un tramo de conductor (Figura 3.2) de longitud l.

x

l

dA

Q

Dx ds

SUPERFICIE GAUSSIA

FIGURA 3.2 Superficie gaussiana rodeando un conductor cargado

La superficie gaussiana alrededor de un tramo de conductor tiene las

siguiente caractersticas:

El flujo elctrico en las caras circulares es cero porque no hay lneas

de campo en esta direccin.

En la superficie cilndrica la densidad de flujo elctrico (Dx ) es

constante. Esto permite evaluar con facilidad la ecuacin de la Ley de

Gauss.

l.q=Q=q=D.dA= encerradaerficieE sup (3.1)

donde,

E = Flujo elctrico


57/83



D = Densidad de flujo elctrico, C/m

q = Carga lineal por unidad de longitud, Q/m

Sobre la superficie cilndrica la densidad de flujo elctrico es constante y

ser igual a:

x2

q=Dx

(3.2)

El campo elctrico en la superficie gaussiana depende de la permitividad

elctrica del medio (aire),

. Esta permitividad o constante dielctrica sepuede asumir aproximadamente como la del vaco ( mF-9

361

0 10x= ).

V/mx2

q=Ex

(3.3)

La diferencia de potencial en el aire debido a una distribucin lineal de

carga se puede evaluar a partir de la ecuacin 3.3 y recordando que el

campo elctrico se calcula como el gradiente del potencial multiplicado por(-1).

En la Figura 3.3 se observa la trayectoria seguida en la integracin del

campo elctrico para evaluar la diferencia de potencial entre los puntos P1 y

P2.


58/83



P1

P2

D1

D2

FIGURA 3.3 Trayectoria de integracin para el campo elctrico

2

1

2

1 2.

D

D

D

D12 dx

x

q=dxE=v

(3.4)

DD

12 12

2

q=v ln

(3.5)

3.2 CAPACITANCIAS DE LINEA TRIFASICA

Para determinar la capacitancia de una red trifsica, hay que considerar el

efecto del suelo.

FIGURA 3.4 Lneas de campo elctrico para conductor sobre una superficie planametlica


59/83



Sobre la superficie del suelo el campo elctrico es perpendicular. La

distribucin de cargas sobre la superficie del suelo se puede reemplazar por

una carga imagen. Ver Figura 3.4.

Una red trifsica formada de un conductor por fase sobre un suelo

conductor es equivalente al sistema de cargas y cargas imgenes que

aparece en la Figura 3.5.

Haa' Hbb' Hcc'

a

b

c

a'

b'

c'

Dab

Dac

Dbc

Hab'

Hbc'

qa

qb

qc

-qa

-qb

-qc

FIGURA 3.5 Conductores cargados e imgenes de carga para red trifsica

La ecuacin 3.5 permite calcular la diferencia de potencial entre cada

conductor y su imagen debido a la superposicin de las seis cargas (qa, qb,

qc, -qa, -qb, -qc)

H

Dq-H

Dq-H

rq-D

Hq+D

Hq+r

Hq2

1=V

ca

acc

ba

abb

aa

aa

ac

cac

ab

bab

a

aaaaa lnlnlnlnlnln

(3.6)


60/83



D

Hq+D

Hq+r

Hq2

1==V

ac

cac

ab

bab

a

aaa2

Van

aa lnlnln

(3.7)

Igualmente se puede evaluar Vbn y Vcn

Expresando en forma matricial,

c

b

a

c

cc

cb

bc

ca

ac

bc

cb

b

bb

ba

ab

ac

ca

ab

ba

a

aa

cn

bn

an

q

q

q

r

H

D

H

D

H

D

H

r

H

D

H

D

HD

Hr

H

2

1=

V

V

V

lnlnln

lnlnln

lnlnln

(3.8)

qq

q

PPP

PPP

PPP

=VV

V

c

b

a

cccbca

bcbbba

acabaa

cn

bn

an

(3.9)

La ecuacin 3.9 escrita en forma compacta,

abc.

abc=

abcQPV (3.10)

La matriz Pabc se denomina de coeficientes capacitivos de Maxwell.

De la ecuacin 3.10 se concluye la forma de calcular la matriz de

capacitancias,


61/83



PC 1-abc=abc (3.11)

3.3 INTERPRETACION FISICA DE LA MATRIZ DECAPACITANCIAS

Para comprender con mayor facilidad el significado fsico de la matriz de

capacidades es conveniente llevar la ecuacin (8) al dominio fasorial y en vez

de cargas, determinar la ecuacin matricial para corrientes capacitivas.

qj w=Idt

dq=i r

r

(3.12)

La correspondiente ecuacin matricial para las corrientes fasoriales de

desplazamiento (corrientes capacitivas), sera:

[ ]

VCj w

I abcabc=

abc

rr

(3.13)

Para un sistema circuital genrico la ecuacin anterior tiene la forma:

[ ]VYI =rr

(3.14)

donde,

I Vector de corrientes de inyeccin nodales

Y Matriz de admitancias nodal

V Vector de voltajes nodales

Los elementos de la matriz tienen significados bien definidos:


62/83



Los elementos de la diagonal principal, se determinan como la sumatoria de

las admitancias de las ramas que estn conectadas al nodo respectivo.

Los elementos fuera de la diagonal principal, se determinan como el inverso

negativo de la admitancia de conexin de los nodos correpondientes a la fila

y columna respectiva.

Si el circuito es completamente capacitivo, los elementos de la matriz ][Y

seran susceptancias capacitivas. Las relaciones entre matriz y circuito

sern como se ilustra en la Figura 3.6.

Caa Cab Cac

Cba Cbb Cbc

Cca Ccb Ccc

a b c

-Cac

-Cab -Cbc

Caa+Cab+Cac

Cba+Cbb+Cbc

Cca+Ccb+Ccc

FIGURA 3.6 Relacin entre matriz Cabc y circuito capacitivo

3.4 CAPACITANCIA PARA UNA LINEA TRIFASICA CONTRANSPOSICION

Cuando una red, debido a la disposicin asimtrica de las fases y a una granlongitud, pierde la caracterstica de ser trifsica balanceada.


63/83



La transposicin de fases es una accin remedial, esta consiste en que cada

fase ocupe las tres posiciones geomtricas posibles de las disposicin que se

tenga. Realmente la transposicin se hace sobre muy pocas reds.

POSICION a

POSICION b

POSICION c

TRAMO #1 TRAMO #2 TRAMO #3

1

2

3 1

1

2

2

3

3

FIGURA 3.7 Transposicin de una red trifsica

En la Figura 3.7 las letras a,b,c representan la disposicin geomtrica de los

conductores y los nmeros 1,2,3 los respectivos conductores en la red.

La matriz [ ]abcP que depende de la geometra de la red, va a ser la misma en

los tres tramos.

Para el primer tramo, la relacin entre voltajes y cargas es:

q

q

q

PPP

PPP

PPP

=

V

V

V

3

2

1

cccbca

bcbbba

acabaa

3

2

1

(3.15)

Para el segundo tramo,

q

q

q

PPP

PPP

PPP

=

V

V

V

1

3

2

cccbca

bcbbba

acabaa

1

3

2

(3.16)

Para el tercer tramo,


64/83



q

q

q

PPP

PPP

PPP

=

V

V

V

2

1

3

cccbca

bcbbba

acabaa

2

1

3

(3.17)

El voltaje sobre los conductores 1,2,3 se puede evaluar como el promedio de

los respectivos voltajes en los tres tramos.

q

q

q

3P+P+P

3P+P+P

3P+P+P

3P+P+P

3P+P+P

3P+P+P

3P+P+P

3P+P+P

3P+P+P

=

V

V

V

3

2

1

ccbbaaacbacbabbcca

caabbcccbbaacbacba

bacbacbccaabccbbaa

3

2

1

(3.18)

La matriz [ ]abcP de la ecuacin 3.18 presenta las siguientes caractersticas:

Los elementos de la diagonal principal son iguales entre si y se evaluan

como el promedio aritmtico de los elementos de la matriz [ ]abcP de la

red sin transposicin.

Los elementos fuera de la diagonal principal son iguales entre si y se

evalan como el promedio aritmtico de los elementos de la matriz[ ]abcP diferentes a la diagonal principal.

La matriz resultante presenta la siguiente forma genrica,


65/83



PPP

PPP

PPP

=

SMM

MSM

MMS

abcP (3.19)

La relacin matricial entre los voltajes y las cargas presenta para red

transpuesta la siguiente forma,

q

q

q

PPP

PPP

PPP

=

V

V

V

c

b

a

SMM

MSM

MMS

c

b

a

(3.20)

Los trminos PS y PM son los siguientes,

3cba

3ccbbaa

Sr.r.r

H.H.H2

1=P

ln

(3.21)

3

bcacab

3cbcaba

M

D.D.D

H.H.H

2

1=P

ln

(3.22)

Al trmino 3 bcacab D.D.D , al igual como se hizo con la inductancia, se le

denomina distancia media geomtrica entre fases o DMG y el trmino3

cba r.r.r para una red de conductores iguales es equivalente al radio fsico.


66/83



3.5 RADIO MEDIO GEOMETRICO Y DISTANCIA MEDIAGEOMETRICA PARA CONDUCTORES EN HAZ

d

h

r

FIGURA 3.8 Conductores en haz

Cuando en una red aparecen haces de conductores (caso de la lnea de 500

kV) la representacin matricial de todos los conductores dara lugar a

matrices de un orden elevado. Una manera de simplificar el problema es

reducir el haz de conductores a un conductor equivalente.

Con fines de demostracin consideremos una red monofsica de dosconductores en haz. Ver Figura 3.8.

r Re

FIGURA 3.9 Conductor equivalente desde el punto de vista capacitivo


67/83



Aplicando la ecuacin 3.9 a la anterior red formada por dos conductores,

q

q

PP

PP=

V

V

2

1

2221

1211

2

1

(3.23)

Suponiendo que los dos voltajes son iguales ( V=V=V 21 ) y las cargas

tambin son iguales ( q=q=q 21 ) y calculando el voltaje como el promedio del

resultante en los dos conductores, resulta la siguiente relacin entre el

voltaje y la carga:

q.RMG

aaH

2

1=q.

.rD.Dr.H.H.H.H

2

1=V

42112

422122111 lnln

(3.24)

De acuerdo a la ecuacin anterior el radio equivalente para representar un

haz de dos conductores para clculo de capacitancias, sera:

r.d=RMG (3.25)

La expresin generalizada para clculo del radio equivalente de un haz de nconductores tiene la misma forma que para clculo de inductancias (Ver

Figura 2.15). La nica diferencia consiste en el radio que se considera. Para

clculo de inductancias se toma el MGR que es el radio corregido al

considerar el flujo interno. Para clculo de capacitancias se toma el radioexterior del conductor.

El radio equivalente para conductores en haz en clculo de capacitancias

tiene la siguiente forma:


68/83



A

FIGURA 3.10 Haz de conductores genrico

n 1-n Arn=RMG (3.26)

3.6 CAPACITANCIAS DE SECUENCIA DE UNA RED TRIFASICATRANSPUESTA

En la interpretacin fsica de la matriz de capacitancias que aparece en la

Figura 3.6 se observa que desde el punto de vista capacitivo los tres

conductores de fase estn acoplados.

Una herramienta matemtica de permite desacoplar en tres circuitos

capacitivos independientes desacoplados es la transformacin en

componentes simtricas.

012abc.VT=V (3.27)

012abc Q.T=Q (3.28)


69/83



Reemplazando las ecuaciones 3.27 y 3.28 en la ecuacin 3.20, finalmente

resulta una ecuacin matricial donde las variables en el dominio de las

componentes de secuencia estn desacopladas,

q

q

q

P-P00

0P-P0

00P2+P

=

V

V

V

2

1

0

MS

MS

MS

2

1

0

(3.29)

Haciendo el mismo desarrollo que se hizo para las inductancias de secuencia,

se llega a las expresiones para las capacitancias de secuencia.

KmnF

21

RMG

DMG55,55

=

RMG

DMG

2=C=C

lnln

(3.30)

3ln

3

1

ln

DMG.RMG

De

2

DMG.RMGDe

2=C

22

30

= (3.31)

donde,

De Es la distancia media geomtrica entre las cargas de los

conductores y sus respectivas imgenes. Corresponde a la

misma distancia que se defini para inductancia con suelo ideal.

DMG Es la distancia media geomtrica entre fases. Igual a la

definicin hecha para inductancias.

RMG Corresponde al radio medio geomtrico. Para una fase

compuesta por un solo conductor equivale al radio fsico del

respectivo conductor.


70/83


REPRESENTACION CIRCUITAL DE LINEAS DETRANSMISION

En los dos captulos anteriores se han obtenido las matrices Zabc y Yabc por

unidad de longitud, lo mismo que las matrices Z012 y Y012 en el dominio de las

componentes simtricas. Una primera aproximacin para representar

circuitalmente una lnea, sera la de una conexin en cascada del elemento

que se obtuvo para representar la lnea por unidad de longitud. Esta

representacin se observa en la Figura 4.1.

TRAMO DE 1 Km

[R] [X][C]

FIGURA 4.1 Representacin de lnea trifsica con elementos acoplados en cascada

La representacin circuital de la Figura 4.1 se puede reducir a tres circuitos

monofsicos, si se hace una descomposicin en redes de secuencia. Un

circuito monofsico para cualquiera de las tres secuencias se ilustra en la

Figura 4.2.


71/83

Representacin circuital de lneas de transmisin areas 67


FIGURA 4.2 Circuito monofsico de una lnea

La representacin circuital de la Figura 4.2 se considera general para

cualquier lnea y se hace mediante parmetros uniformemente distribuidos.

Dependiendo de la longitud de la lnea, esta se suele clasificar en tres tipos:

Lnea corta de menos de 80 Km de longitud.

Lnea media entre 80 y 240 Km de longitud.

Lnea larga de ms de 240 Km.

Para casos donde no se requiera mucha precisin lneas hasta de 300 Km se

podran considerar como de longitud media.

La longitud de las lneas depende bsicamente del nivel de tensin al cual

deben transmitir potencia. Un criterio prctico, pero no generalizado, es el

de que una lnea debe tener como mnimo 1 Kv por cada Km de longitud.

4.1 LINEAS DE TRANSMISION CORTAS

Para una lnea de transmisin corta se puede considerar despreciable el

efecto capacitivo. Para este caso solo se tendra resistencia e inductancia

por unidad de longitud y para toda la longitud de la lnea bastara con


72/83



multiplicar por la distancia los parmetros obtenidos por unidad de longitud.

El circuito equivalente para lnea corta se observa en la Figura 4.3.

V S V R

I RI SR X

V S V R

I RI SR X

P R Q R

CARGA

FIGURA 4.3 Cuircuito equivalente monofsico para lnea corta

En el circuito anterior R y X representan la resistencia y reactancia total

de la lnea. Para este caso la corriente de la fuente y de la carga son las

mismas. VS y VR corresponden a los voltajes de la fuente y de la carga

respectivamente.

La regulacin de una lnea de transmisin y en general para cualesquierpunto de una red se define como el porcentaje de variacin de la magnitud

del voltaje en vaco (sin carga) con respecto a la magnitud del voltaje a

plena carga y para un determinado factor de potencia de la carga.

100%V

V-V=nRegulaci%

cargaplenaR,

cargaplenaR,vacoR, (4.1)

Para el circuito correspondiente a la Figura 4.3, la regulacin por definicinsera:

100%V

V-V=RegR

RS (4.2)


73/83



Para lnea corta la regulacin se puede calcular haciendo una serie de

suposiciones. En la Figura 4.4 se observa el diagrama fasorial de voltajes y

corriente para este tipo de lnea. Se ha supuesto una carga del tipo R-L, es

decir con un factor de potencia en atraso.

V R

V S

I.R

I.X

I

V R

V S

I.R

I.X

I

FIGURA 4.4 Diagrama fasorial de voltajes y corriente para lnea corta

El ngulo de desfase entre el voltaje VS y VR es muy pequeo para lnea

corta, se puede suponer entonces que la magnitud del voltaje de la fuente

es igual a su proyeccin sobre el eje horizontal. Con estas consideraciones larelacin entre los voltajes de la fuente y la carga sera:

)X.+(R..I+VV RS coscos (4.3)

donde,

es el ngulo de desfase entre la corriente y el voltaje en la

carga.

La regulacin de voltaje quedara expresada como:

100%V

)X.sen+(R.cosI=Reg

R

(4.4)


74/83



100%cos.V

)X.sen+(R.cosP

=Reg 2R

R

(4.5)donde,

PR es la potencia trifsica de carga.

En la ecuacin 4.5, el voltaje VR depende de la potencia PR . Una buena

aproximacin es considerar el voltaje de la carga como aproximadamente el

voltaje nominal de operacin de la lnea. Con estas consideraciones la

regulacin se puede expresar con la siguiente expresin:

100%cosV

)X.sen+(R.cosP=Reg2

R

(4.6)

donde,

V es el voltaje de lnea nominal de operacin.

La ecuacin 4.6 corresponde a la manera clsica de clculo de regulacin.

Una mejora en el clculo de regulacin sera expresar el voltaje de la cargaen funcin de la propia potencia de carga ( )P(f=V RR ). Del circuito que se

ilustra en la Figura 4.3 y tomando como referencia de voltaje a VR :

Xj+RV-V.V=jQ+P

RS

*

RRR (4.7)

V--VV=X)j-).(RQj+P( 2RSRRR (4.8)

-V.V=)PX.-Q(R.j+)V+QX.+P(R. SRRR2RRR (4.9)


75/83



En la ecuacin 4.9 se puede eliminar el ngulo al tomar magnitud de las

expresiones fasoriales en ambos miembros y luego elevar al cuadrado. El

resultado es la siguiente ecuacin:

( ) ( ) ( ) 0=Q+P.X+R+VV-)QX.+P2(R.+V 2R2R222R2SRR4R (4.10)

La solucin para VR sera:

B-2

A

+2

A

-=V

2

R

(4.11)donde,

V-)QX.+P2(R.=A 2SRR (4.12)

)Q+P).(X+R(=B2R

2R

22 (4.13)

De esta manera el clculo de regulacin se puede evaluar a partir de la

ecuacin 4.2.

4.2 LINEAS DE TRANSMISION DE LONGITUD MEDIA

En la lnea de longitud media ya es necesario considerar el efecto

capacitivo. La representacin circuital para este tipo de lnea se hace

mediante un circuito PI nominal. Este circuito PI est constituido por la

impedancia serie y por el efecto capacitivo distribuido en dos partes iguales

en los extremos de la lnea. Este circuito se observa en la Figura 4.5.


76/83



V S V R

I RI SR X

V S V R

I RI SR X

P R Q R

CARGAY/2Y/2

FIGURA 4.5 Circuito PI nominal de una lnea de longitud media

Los parmetros en el circuito PI nominal para lnes de longitud media se

obtienen multiplicando los parmetros por unidad de longitud por la

distancia total de la lnea.

Para el clculo de regulacin, el voltaje de vaco en la carga ya no es el

voltaje de la fuente, como sucede con la lnea de longitud corta, sin una

fraccin de la magnitud del voltaje de la fuente. Esta fraccin es mayor que

uno para una lnea de longitud media.

V.)X.Y/2-(1+)(R.Y/2

1=0V S22R (4.14)

En la Figura 4.6 se observa el diagrama fasorial de voltaje y corriente para

una lnea de longitud media en vaco.


77/83



V S

I S

V S

I S R X

Y/2 Y/2 V R 0

V S

0V R

Io.X

Io.R

I 0I0

FIGURRA 4.6 Diagrama fasorial de voltaje y corriente para lnea en vaco de longitud

media

En una lnea de este tipo se cumple que RX , razn por la cual el voltajede vaco en la carga puede ser mayor que el voltaje de la fuente.

El voltaje VR a plena carga (VR ) se puede calcular a partir de una expresin

que relacione dicho voltaje con la potencia en la carga,

.Y/2Vj-

Xj+RV-V.V=Qj+P R

RS

*

RRR

(4.15)

V--VV=X)J-.Y/2).(RVj-Qj+P( 2RSR2

RRR (4.16)

( ) ( ) -V.V=VR.Y/2.-)PX.-Q(R.j+VX.Y/2)-(1+)QX.+P(R. SR2RRR2RRR (4.17)

Eliminando de la ecuacin anterior el ngulo se llega a la siguiente

ecuacin:

0=C+VB.+VA. 2R4

R (4.18)

donde,

)X.Y/2-(1+)(R.Y/2=A 22 (4.19)


78/83



V-).(R.Y/2)QX.-Q(R.2+X.Y/2)-).(1QX.+P(R.2=B 2SRRRR (4.20)

)Q+P).(X+R(=C2R

2R

22 (4.21)

La solucin para VR ser:

A

C-

2A

B+

2A

B-=V

2

R

(4.22)

4.3 LINEA DE TRANSMISION DE LONGITUD LARGA

Cuando la lnea de transmisin tiene una distancia considerable (lnea larga)

ya no es muy preciso el considerar que los parmetros estn concentrados,

sino distribudos uniformemente a todo lo largo de la misma.

Para determinar un circuito que represente adecuadamente este tipo de

lnea, hay que resolver las ecuaciones diferenciales, planteadas en un

diferencial de longitud de lnea.

Las ecuaciones diferenciales se van a plantear a partir de las definiciones

hechas en el circuito de la Figura 4.7.


79/83



V(x)

X

Vs

x=dx=0

y . x

I R

VR

I S z . xI (x) I (x + x)

V (x + x)

FIGURA 4.7 Diferencial circuital de lnea

Los parmetros z y y corresponden a la impedancia serie y admitancia

shunt por unidad de longitud. El voltaje y la corriente en cualesquier punto

de la lnea depende de dos variables independientes, la longitud y el tiempo.

Para eliminar la dependencia del tiempo, las ecuaciones se van a plantear en

el dominio de los fasores, es decir que todas las variables involucradas son

fasores.

x.I(x)z.-V(x)=x)+V(x (4.23)

La ecuacin anterior se puede organizar como:

z.I(x)-=x

V(x)-x)+V(x

(4.24)

Tomando limite cuando 0x , se obtiene:

z.I(x)-=dx

V(x)d (4.25)


80/83



y.V(x)-=x

I(x)-x)+I(xx.V(x)y.-I(x)=x)+I(x

(4.26)

y.V(x)-=dx

I(x)d (4.27)

Derivando la ecuacin 4.25 y 4.27 con respecto a x se obtienen las

repectivas ecuaciones diferenciales para el voltaje y para la corriente.

z.y.V(x)=dx

V(x)d2

2

(4.28)

z.y.I(x)=dx

I(x)d2

2

(4.29)

Las ecuaciones par el voltaje V(x) y para la corriente I(x) se pueden

resolver utilizando cualquier mtodo de solucin de ecuaciones

diferenciales. Utilizando por ejemplo el mtodo de la Transformada de

Laplace (LLLL).

( )z.y.V(x)_=dx

V(x)d_2

2

(4.30)

V(s)yz=dx

0)=dV(x-0)=V(xs-V(s)s2 (4.31)

Iz-Vs=y)z-sV(s)( SS2 (4.32)

Izyz-s

1-V

yz-s

s=V(s) S2S2 (4.33)


81/83



Obteniendo la Transformada Inversa de Laplace (LLLL----1111) a la anterior

ecuacin, se obtiene la solucin para el voltaje fasorial en cualquier punto dela lnea,

( ) ( ).xyz.SenhIz/y-.xyz.V=V(x) SS Cosh (4.34)

Definiendo,

j wC

j wL+R

=y

z

=Z=ticaCaractersImpedancia c (4.35)

yz==nPropagacideConstante (4.36)

Para x=d la ecuacin 4.34 se convierte en:

( ) ( ).d.SenhIZ-.d.V=V ScSR Cosh (4.37)

Siguiendo el mismo proceso se obtiene la solucin para la corriente IR ,

( ) ( ).dSenhZ

V-.d.I=Ic

SSR Cosh (4.38)

Las ecuaciones 4.37 y 4.38 en forma matricial,

I

V

.d

Z

.dSenh-

.dSenhZ-.d

=

I

V

S

S

c

c

R

R

Cosh

Cosh

(4.39)


82/83



Mediante un proceso de sntesis de circuitos se determina el circuito

equivalente que cumpla con el sistema de ecuaciones formuladas en la

ecuacin 4.39. Es circuito equivalente es un circuito PI como el de la Figura

4.5, con la diferencia en la forma de evaluar Z y Y/2 .

).dSenh(.Z=Z c (4.40)

).dSenh(.Z

1-).d(=Y/2

c

Cosh (4.41)


83/83

Referencias bibliogrficas 79

Referencias bibliogrficas

1. ELECTRIC POWER RESEARCH INSTITUTE, EPRI. TransmisionLine Reference Book 345 kv and above, Palo Alto California. SegundaEdicin, 1992.

2. WESTINHOUSE CORPORATION. Electrical Transmission andDistribut

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