g 1 Elemente Prob

CAPITOLUL I

ELEMENTE DE CALCULUL PROBABILITATILOR

1. Evenimente

Realizarea sistemului de conditii corespunzatoare unui criteriu se numeste

experienta sau experiment. Rezultatul experimentului poarta denumirea de eveniment.

O multime de evenimente care pot aparea ntr-un sir de experiente se numeste sistem

de evenimente. Un sistem de evenimente poate cuprinde totalitatea evenimentelor care

apar ntr-un sir de experiente dat sau numai o parte a acestora. Sistemul de evenimente

poate fi finit sau infinit dupa cum contine un numar finit sau infinit de evenimente.

Pentru a clarifica notiunea de evenimente se va considera ca exemplu problema zarului

n care o experienta consta n aruncarea unui zar avnd sase fete marcate cu puncte de

la 1 la 6. Un eveniment n cadrul acestei experiente este aparitia uneia din fetele

zarului. Se vor nota aceste evenimente cu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6,5,4,3,2,1 . Aceste evenimente se numesc evenimente elementare. Dar poate fi considerat ca eveniment si

aparitia a doua sau mai multe (maximum sase) fete, de exemplu ( ) ( )6,5,4,3,4,1 . Exista trei tipuri de evenimente relativ la orice experiment fixat: evenimentul

sigur, evenimentul imposibil si evenimentul aleator.

Se numeste eveniment sigur , evenimentul care are loc ntotdeauna ntr-o

experienta data. Acest eveniment se va nota cu E. De exemplu n cazul problemei

zarului ( )6,5,4,3,2,1E = . Evenimentul care consta n nerealizarea evenimentului A se numeste contrarul,

opusul sau complementul evenimentului A si se noteaza cu A .

De exemplu n cadrul problemei zarului, opusul evenimentului ( )4,2A = este

( )6,5,3,1A = ; daca A reprezinta evenimentul de a se fabrica o piesa conform

8 Elemente de calculul probabilitatilor 1 standardului de stat, atunci opusul lui A, adica A , este evenimentul de a se fabrica o

piesa rebut.

Contrarul evenimentului sigur se numeste eveniment imposibil si se noteaza cu

f=E .

Evenimentul aleator (ntmplator) este evenimentul care poate sa apara la

realizarea experimentului.

2. Operatii cu evenimente

Fiind date doua evenimente A si B din acelasi sistem de evenimente, se spune ca

evenimentul A implica evenimentul B daca realizarea lui A implica realizarea lui B. Se

noteaza BA . Si se mai spune ca evenimentul A este o parte a evenimentului B, sau

ca evenimentul A este inclus n evenimentul B.

De exemplu n cazul problemei zarului, evenimentul ( )4,2A = implica evenimentul ( )6,4,2,1B = , adica BA , fiindca odata cu realizarea lui A se realizeaza si B.

Daca din BA rezulta ca si AB , atunci cele doua evenimente A si B se

zic echivalente si se noteaza BA = .

Fiind date doua evenimente A si B din acelasi sistem de evenimente, se numeste

suma evenimentelor A si B evenimentul care se realizeaza daca se realizeaza cel putin

unul din evenimente. Se noteaza cu BA .

Suma evenimentelor are aceleasi proprietati ca si reuniunea multimilor.

n cazul problemei zarului suma evenimentelor ( )3,2A = si ( )4,3,1B = este evenimentul ( )4,3,2,1S = .

Fiind date doua evenimente A si B din acelasi sistem de evenimente, se numeste

produsul evenimentelor A si B evenimentul care se realizeaza atunci cnd

evenimentele A si B se realizeaza simultan. Se noteaza BA sau AB.

1.2 Operatii cu evenimente 9

Produsul evenimentelor are aceleasi proprietati ca si intersectia multimilor.

n cazul problemei zarului produsul evenimentelor ( )3,2A = si ( )4,3,1B = este evenimentul ( )3P = . Doua evenimente al caror produs este nul se numesc incompatibile sau disjuncte.

Deci conditia ca doua evenimente sa fie incompatibile este ca f= BA .

Fiind date evenimentele A si B acestea verifica relatiile lui De Morgan

BABA =

BABA = .

Daca avem o familie nevida de evenimente ( ) IiiA , unde I este o familie de indici cel mult numarabila, operatiile de suma si produs pot fi extinse si se noteaza

iIi A si iIi A .

Se pot extinde si formulele lui De Morgan

.AA

AA

iIi

iIi

iIiiIi

=

=

Se numeste, prin definitie, cmp de evenimente o multime de evenimente F care

ndeplineste urmatoarele conditii:

1. Evenimentul sigur E apartine multimii de evenimente F.

2. Oricare ar fi evenimentul A din multimea F, si opusul sau A apartine

multimii de evenimente F.

3. Suma a doua evenimente A si B care apartin lui F este tot un eveniment din F.

La aceste trei conditii se mai adauga o a patra conditie n cazul n care multimea

F contine o infinitate de evenimente si anume:

4. Suma unei infinitati numerabile de evenimente din F este tot un eveniment din

multimea F, adica oricare ar fi U

=

1iii FAFA .

10 Elemente de calculul probabilitatilor 1

3. Definitia notiunii de probabilitate

Daca, din motive de perfecta simetrie, se poate afirma ca unele evenimente au

aceeasi sansa de a se realiza, spunem ca evenimentele respective sunt egal posibile .

Definitia istorica a probabilitatilor

Sa consideram o experienta si un eveniment A corespunzator acestei experiente.

Sa repetam de n ori aceasta experienta, n conditii identice, si sa notam cu AK

numarul de realizari ale evenimentului A; AK se numeste frecventa absoluta a

evenimentului A.

Frecventa absoluta a evenimentului sigur n acest sir de experiente este egal cu

numarul probelor, adica nK E = , deoarece evenimentul sigur se realizeaza n fiecare

experienta a sirului de probe.

Raportul dintre frecventa absoluta a evenimentului A si numarul total de probe

se numeste frecventa relativa a evenimentului A si se noteaza

( )n

KKK

Af AE

An == .

Experientele practice efectuate au scos n evidenta faptul ca valoarea acestei

frecvente oscileaza n jurul unei valori constante ori de cte ori s-ar repeta sirul de

experiente n conditii identice. Aceasta constatare a determinat pe unii matematicieni

sa dea notiunii de probabilitate urmatoarea definitie :

Definitie. Se numeste probabilitatea evenimentului A si se noteaza cu ( )AP valoarea constanta n jurul careia oscileaza frecventa relativa a evenimentului A, daca

sirul de experiente se repeta n conditii identice.

O alta definitie a probabilitatii unui eveniment A poate fi

( ) ( ),AflimAP nn =

unde ( )Af n este frecventa aparitiei evenimentului A n n probe. Definitia clasica a probabilitatii

1.3 Definitia notiunii de probabilitate 11

Probabilitatea este raportul dintre numarul cazurilor favorabile si numarul tuturor

cazurilor posibile, n ipoteza ca toate cazurile sunt egal posibile .

Astfel, probabilitatea ca la o aruncare a zarului ideal sa apara fata 3 este 1/6.

Probabilitatea ca sa apara una din fetele cu un numar par de puncte este 3/6 = 1/2.

Definitia clasica a probabilitatii nu se poate aplica daca cazurile nu sunt egal

posibile.

Definitia geometrica a probabilitatii

Notnd cu ( )Em masura multimii care corespunde evenimentului sigur E si cu ( )Am masura multimii care corespunde evenimentului A, ( )EA , probabilitatea

realizarii evenimentului EA este data de raportul

( ) ( )( )EmAm

AP = .

Aplicatie . Sa se gaseasca probabilitatea ca un punct aruncat la ntmplare n

interiorul elipsei

01by

ax

2

2

2

2

=-+ ( )ba > ,

sa nimereasca n interiorul cercului 222 byx =+ .

Solutie. Cele doua domenii plane sunt prezentate n figura alaturata, cu ajutorul

programului Mathcad.

a 5 , b 3

12 Elemente de calculul probabilitatilor 1 Pentru determinarea probabilitatii se foloseste relatia

( ) ( )( ) .1ab

abb

EmAm

AP2

1.3 Definitia notiunii de probabilitate 13 Reprezentam pe axa 0x, prin intervalul [ ]1,0 momentul n care este posibila sosirea uneia dintre persoane si pe 0y prin intervalul [ ]1,0 momentul n care este posibila sosirea celei de-a doua persoane.

Evenimentul sosiri celor doua persoane n intervalul de o ora stabilit, care este

evenimentul sigur, este echivalent cu evenimentul ca un punct aruncat la ntmplare sa

nimereasca interiorul patratului de latura unitara. Evenimentul favorabil ntlnirii celor

doua persoane va fi multimea punctelor din interiorul patratului, pentru care

inegalitatile anterioare sunt verificate. Aceste puncte formeaza domeniul A, limitat de

cele doua drepte oblice. Acest lucru se poate observa n figura alaturata (program

Mathcad).

Folosind definitia probabilitatii geometrice rezulta

( ) ( )( ) 0

05595

94

11

21

32

32

21

EmAm

AP ==-=-

== ,

masura lui A calculndu-se prin scaderea ariilor celor doua triunghiuri dreptunghice

din aria patratului.

Deci probabilitatea ca cele doua persoane sa se ntlneasca este 55%.

Observatie: Pot exista mai multe probleme care conduc la aceasta rezolvare

geometrica, una dintre acestea este de exemplu urmatoarea:

Exemple. 1. n cadrul unei zile de 24 de ore se efectueaza doua procese de

productie de cte 8 ore, care nu au voie sa se desfasoare concomitent. Care este

14 Elemente de calculul probabilitatilor 1 probabilitatea ca fara sa se faca o planificare initiala, cele doua procese sa nu coincida

nici o clipa?

Solutie. ntruct 8 este a treia parte din 24, se ajunge la calcularea

complementarei unui eveniment A, pentru care probabilitatea se calculeaza cu formula

din problema ntlnirii (problema anterioara, obtinndu-se pentru ( ) 9/5AP = ), si deci

( ) %459/51AP =-= , de unde se vede ca riscul neplanificarii este foarte mare.

2. Problema acului sau problema lui Buffon.

Pe un plan orizontal pe care sunt trasate drepte paralele echidistante, se arunca

un ac a carui lungime este mai mica dect distanta dintre doua drepte consecutive. Se

cere probabilitatea evenimentului A care se realizeaza atunci cnd acul aruncat

intersecteaza una din drepte .

Solutie. Se noteaza cu l2 lungimea acului si cu 2a distanta dintre doua drepte

consecutive, deci avem conditia

a22


Evenimentul A este determinat de

pjj

0sinx0

:Al

de unde

=j= dxd)A(Aria A llll

2)cos(dsinddx0

00

sin

0

=j-=jj=j

p

pp j

.

Rezulta deci

p

=p

j=

a2

a

dxd)A(P )A(

l.

3. Paradoxul lui Bertrand

Fiind dat un cerc de raza R, se cere probabilitatea evenimentului S ca alegnd

la ntmplare o coarda, aceasta sa fie de lungime mai mare ca latura l3 a triunghiului

echilateral nscris n cerc.

Daca nu se precizeaza (n mod intentionat) conditiile n care se face alegerea

coardei, atunci exista mai multe posibilitati pentru aceasta si deci rezultatul depinde de

modul de alegere utilizat.

16 Elemente de calculul probabilitatilor 1 Se considera urmatoarele cazuri:

a) Din motive de simetrie se fixeaza o directie si se aleg coardele paralele cu

directia considerata.

Fie PQ diametrul perpendicular pe directia aleasa si coardele AB si CD

perpendiculare pe PQ, la distanta R/2 de O. Coardele sunt de lungime l3. Orice coarda

ce intersecteaza diametrul pe intervalul EF va fi de lungime mai mare ca l3.

Deci

P(S)=masPQmasEF

= 21

.

b) Din motive de simetrie se fixeaza un punct P pe cerc si se aleg coarde ce

trec prin P.

Fie TT tangenta n P la cerc si coardele PB, PC cu lungimea l3. Orice coarda

PM ce intersecteaza cercul pe arcul

BC este de lungime mai mare ca l3. Deci

.31

'TPTmas

BPCmas)S(P

^

^

==


c) Se considera un cerc concentric cu cel dat de raza .2/R O coarda AB

tangenta la cercul de raza 2/R este de lungime l3. O coarda MN al carei mijloc Q

apartine interiorului cercului de raza .2/R este de lungime mai mare ca l3.

Prin urmare, alegerea unei coarde corespunde la fixarea unui punct, mijlocul

coardei, n cercul considerat. Daca acest punct apartine cercului de raza 2R

, atunci are

loc evenimentul S. Deci

.41

R2R

)S(P2

2

=p

p

=

Observatie. Din neprecizarea modului de alegere a coardelor s-a ajuns la

rezultate diferite, care corespund de fapt la trei probleme diferite.

Definitiile date notiunii de probabilitate n decursul anilor, desi nu sunt

cuprinzatoare n suficienta masura, au scos n evidenta o importanta constatare, aceea

ca probabilitatea este o functie de eveniment, care masoara realizarea acestuia . Pentru a

da un caracter nchegat teoriei probabilitatii este necesara nsa o axiomatizare a ei, care

a fost facuta de Kolmogorov n 1931.

Definitia axiomatica a probabilitatii

Fiind dat un cmp de evenimente F, se numeste probabilitatea definita pe acest

18 Elemente de calculul probabilitatilor 1 cmp de evenimente o functie reala nenegativa ( ) 0AP , definita pentru orice eveniment A al cmpului de evenimente F, care satisface urmatoarele axiome:

1. Probabilitatea evenimentului sigur este egala cu 1, adica ( ) 1EP = . 2. Probabilitatea sumei a doua evenimente incompatibile din F este egala cu

suma probabilitatilor acestor evenimente, adica daca FB,A si

f= BA )B(P)A(P)BA(P += .

In cazul n care cmpul de evenimente este infinit se mai adauga urmatoarea

axioma:

3. Probabilitatea unei reuniuni numerabile de evenimente, incompatibile doua

cte doua din F, este egala cu suma probabilitatilor acestora, adica

( )=

=

= 1ii

1ii APAP U , pentru FA i si f= ji AA , ( )ji .

Pornind de la aceasta definitie axiomatica a probabilitatii se pot demonstra

urmatoarele proprietati ale functiei de probabilitate :

1. Probabilitatea complementului evenimentului A, adica a lui A , este egala cu

( )AP1)A(P -= .

Evenimentul A si contrarul sau A satisfac relatiile

EAA = si f= AA , deci

( ) ( ) ( )EPAPAP =+ care rezulta n urma aplicarii axiomei a doua, evenimentele fiind disjuncte.

Conform primei axiome ( ) 1EP = , deci

( ) ( ) 1APAP =+ de unde rezulta ca ( ) ( )AP1AP -= .

2. Probabilitatea evenimentului imposibil este nula

( ) 0P =f .

1.4 Sistem complet de evenimente 19

3. Daca evenimentul A implica evenimentul B, adica BA , atunci are loc

relatia

( ) ( )BPAP , si probabilitatea diferentei AB - este egala cu diferenta probabilitatilor

( ) ( ) ( )APBPABP -=- . 4. Probabilitatea oricarui eveniment A din cmpul de evenimente F pe care s-a

definit functia de probabilitate este cuprinsa ntre 0 si 1.

Demonstratia se bazeaza pe relatia cunoscuta

EA f .

Aplicnd functia de probabilitate acestei relatii se obtine conform proprietatii 3

( ) ( ) ( )EPAPP f . ntruct ( ) 0P =f si ( ) 1EP = , rezulta imediat

( ) 1AP0 . 5. Probabilitatea sumei a doua evenimente arbitrare din F este data de formula

( ) ( ) ( ) ( )BAPBPAPBAP -+= . Aceasta formula poate fi generalizata si pentru o suma de trei evenimente

arbitrare n felul urmator:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ---++= CAPBAPCPBPAPCBAP ( ) ( )CBAPCBP +- .

Relatia se poate generaliza si pentru o suma de n evenimente.

4. Sistem complet de evenimente

Fie evenimentul sigur E din cmpul F si sistemul de evenimente

{ }n21 E,,E,ES K= care ndeplinesc conditiile :


1. Suma tuturor evenimentelor sistemului este evenimentul sigur

Un

1ii EE

== ,

2. Evenimentele sunt incompatibile doua cte doua

n,,2,1j,i,ji,EE ji K=f= .

n aceste conditii se spune ca sistemul S este un sistem complet de evenimente.

Fiecare eveniment iE al unui sistem complet de evenimente se numeste eveniment

elementar. Deoarece sistemul de evenimente elementare determina prin suma tuturor

evenimentelor ei evenimentul sigur al cmpului F, rezulta ca orice eveniment A al

cmpului de evenimente F este o reuniune de evenimente elementare, adica

Uk

1iiEA

== , nk .

De aici rezulta ca orice eveniment A din cmpul de evenimente F satisface, n

raport cu orice eveniment elementar iE , una si numai una din urmatoarele doua relatii:

AE i sau f= AE i .

Un exemplu de sistem complet de evenimente este sistemul

}{ )6(),5(),4(),3(),2(),1( din problema zarulu i. Se constata ca evenimentele acestui sistem sunt incompatibile doua cte doua, ca reuniunea lor este evenimentul sigur si ca

orice eveniment din cmpul de evenimente al problemei zarului este o suma de astfel

de evenimente elementare.

Definitie. Se numeste cmp de probabilitate un triplet ( )P,K,W , unde W este spatiul evenimentelor, K este multimea partilor luiW si P o probabilitate definita pe K.

5. Probabilitati conditionate

Fie evenimentele A si B, realizarea evenimentului A fiind conditionata de

realizarea evenimentului B; se va nota cu B|A . Probabilitatea realizarii evenimentului

1.5 Probabilitati conditionate 21 A conditionata de evenimentul B se numeste probabilitate conditionata si se noteaza cu

( )B|AP sau ( )APB . Deoarece conditionarea evenimentelor nu este o proprietate reciproca, adica

B|A nu este echivalent cu A|B , n general

( ) ( )A|BPB|AP . Se stabileste o formula pentru probabilitatea conditionata a evenimentului A de

catre evenimentul B n modul urmator : se efectueaza un sir de n experiente n care

evenimentul B apare de BK ori. Evenimentul A fiind conditionat de evenimentul B,

apare numai atunci cnd apare si evenimentul B, deci numarul de aparitii al

evenimentului A coincide cu numarul de aparitii simultane ale lui A si B, care este

ABK . Atunci, folosind definitia clasica a probabilitatii, se poate scrie

B

AB

KK

)B|A(P = .

mpartind numaratorul si numitorul cu n, se obtine

( ) ( )( )BPABP

n/Kn/K

B|APB

AB == ,

pentru ( ) 0BP . Analog se deduce ca

( ) ( )( )APABP

A|BP = ,

daca ( ) 0AP . Aplicatie . ntr-o urna se gasesc 4 bile albe si 6 bile negre. Se extrag succesiv

doua bile . Care este probabilitatea ca cea de a doua bila extrasa sa fie alba, prima bila

extrasa fiind neagra ?

Solutie . Se noteaza cu A evenimentul extragerii unei bile albe si cu B

evenimentul extragerii unei bile negre. Atunci evenimentul de a se extrage o bila alba

dupa una neagra va fi B|A , deoarece evenimentul A este conditionat de evenimentul

22 Elemente de calculul probabilitatilor 1 B. Vom aplica formula anterioara. n aceasta formula AB nseamna evenimentul de a

extrage o bila alba si una neagra din cele doua extrageri. Cazurile favorabile acestui

eveniment sunt n numar de 24AA 1614 = , iar cazurile posibile 90A

210 = .

Astfel ( ) 26,09024

ABP @= .

Probabilitatea evenimentului B este

( ) 6,0106

BP == ,

deci

( ) ( )( )

% 4494

BPABP

B|AP @== .

Din formula probabilitatii conditionate se deduce imediat relatia

( ) ( ) ( )BPB|APABP = , iar din relatia lui ( )A|BP rezulta la fel

( ) ( ) ( )APA|BPABP = . Formulele anterioare poarta denumirea de legea de nmultire a probabilitatilor, si

ele stabilesc urmatoarea regula :

Probabilitatea producerii simultane a doua evenimente oarecare este egala cu

produsul dintre probabilitatea unuia dintre evenimente si probabilitatea conditionata a

celuilalt eveniment, calculata n ipoteza ca primul eveniment a avut loc.

Legea de nmultire se generalizeaza pentru cazul a trei evenimente prin relatia

( ) ( ) ( ) ( )BA|CPA|BPAPCBAP = . Aceeasi lege se scrie pentru n evenimente sub forma

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1n21n213121n21 AAA|APAA|APA|APAPAAAP -= KKK . Prin definitie, doua evenimente oarecare A si B se zic probabilistic sau stohastic

independente daca probabilitatea produsului lor este egala cu produsul probabilitatilor

lor, adica

1.5 Probabilitati conditionate 23

( ) ( ) ( )BPAPABP = . Se constata ca definitia este justificata, deoarece n acest caz probabilitatea

conditionata a oricaruia dintre cele doua evenimente de catre celalalt eveniment este

probabilitatea simpla, neconditionata a primului eveniment. Deci n acest caz nici unul

din cele doua evenimente nu depinde de celalalt.

ntr-adevar,

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )APBP

BPAPBP

ABPB|AP =

==

si

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )BPAP

BPAPAP

ABPA|BP =

== .

Pentru ca trei evenimente sa fie independente este necesar ca ele sa fie

independente doua cte doua, adica trebuie sa fie satisfacute relatiile

( ) ( ) ( )BPAPABP = , ( ) ( ) ( )CPBPBCP = , ( ) ( ) ( )APCPCAP = .

Conditia necesara enuntata nu este nsa si suficienta.

Trei evenimente independente doua cte doua vor fi si independente numai daca

mai satisfac si egalitatea

( ) ( ) ( ) ( )CPBPAPABCP = . Exemplu. Se considera un tetraedru regulat omogen avnd fetele una alba, una

rosie, una neagra si a patra n toate cele trei culori. Aruncnd tetraedru pe o masa, el se

aseaza pe una din fete. Ne intereseaza culoarea acestei fete.

Solutie. Notam evenimentele n felul urmator:

1A aparitia culorii albe, 2A aparitia culorii rosii , 3A aparitia culorii negre.

Avem astfel probabilitatile

2/1)A(P)A(P)A(P 321 === .

24 Elemente de calculul probabilitatilor 1 Atunci

)A(P)A(P)A(P)A(P)A(P)A(P

4/1)AA(P)AA(P)AA(P

323121

323121

======

iar probabilitatea

8/1)A(P)A(P)A(P4/1)AAA(P 321321 ==

si deci evenimentele sunt independente doua cte doua, dar nu si toate trei.

6. Legea probabilitatii totale si formula lui Bayes.

Fie un cmp de evenimente F, care contine un sistem complet de evenimente

{ }n21 B,,B,B K . Oricare ar fi evenimentul A din cmpul F are loc formula

( ) ( ) ( ) ==

n

1iii BPB|APAP , (1)

numita legea probabilitatii totale.

Formula lui Bayes

Fiind dat un cmp de evenimente F, care contine un sistem complet de

evenimente cu evenimentele elementare { }n21 B,,B,B K , dintre care cel putin unul are probabilitatea nenula si un eveniment oarecare A din F de probabilitate strict

pozitiva, are loc urmatoarea formula, numita formula lui Bayes sau formula

probabilitatii cauzei

( ) ( )

=

=

n

1iii

kkK

)P(B)BP(A

)P(BBAPA|BP . (2)

n deducerea acestei formule se porneste de la legea de nmultire, dupa care sunt

satisfacute egalitatile

( ) ( ) ( )APA|BP)P(B)BP(AABP Kkkk == , iar din ultima egalitate se deduce relatia

1.7 Inegalitatea lui Boole 25

( ) ( ))A(P

)P(BBAPA|BP kkK

=

=

= n

1iii

kk

)B(P)B|A(P

)B(P)B|A(P. (3)

Aplicatie . Pentru construirea unor agregate, aceeasi piesa provine de la doua

ateliere. Primul atelier produce 40% din necesarul pieselor, dintre care 85% corespund

normelor de fabricatie iar al doilea atelier produce 60% din necesarul pieselor dintre

care 90% ndeplinesc conditiile cerute de normele de fabricatie. Se cere:

a) sa se calculeze probabilitatea ca o piesa sa corespunda normelor de fabricatie ;

b) sa se calculeze probabilitatea ca aceasta piesa sa provina de la primul atelie r.

Solutie: a) Notnd cu A evenimentul ca piesa sa corespunda normelor de fabricatie

iar cu A 1 si A 2 evenimentul ca piesa sa provina de la primul atelier, respectiv al

doilea, avem

( ) ( )21 AAAAA = , de unde

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 88,090,060,085,040,0APA|APAPA|APAP 2211 =+=+= b) Avem

( ) 386,088,0

85,04,0P(A)

(A))PP(AAP 1A11A =

== .

7. Inegalitatea lui Boole

Daca evenimentele A1 si A2 sunt independente,

( ) ( ) ( )2121 APAPAAP = . Daca nu avem informatii asupra independentei celor doua evenimente, vom

cauta o margine inferioara pentru probabilitatea ( )21 AAP si anume ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1APAPAAPAPAPAAP 21212121 -+-+= .

Asemanator, pentru trei evenimente 1A , 2A , 3A , avem


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2APAPAP1AAPAPAAAP 321321321 -++-+ , si n general , prin inductie matematica, se arata ca

( ) ( ) ( ) ( )1nAPAPAAP n1n1 --++ KK . Exemple . 1. Pentru ca o piesa fabricata n serie sa corespunda standardului

trebuie sa ndeplineasca conditiile A, B, C, despre care nu stim daca sunt independente.

S-a ntocmit o statistica asupra unui numar mare de piese si s-a stabilit ca 95%

ndeplinesc conditia A, 90% conditia B, iar 92% conditia C. Se cere probabilitatea ca o

piesa sa corespunda standardului.

Solutie . Fie ( ) ( ) ( )CP,BP,AP probabilitatile ca o piesa sa ndeplineasca, respectiv conditiile A, B, C. Adoptam ca probabilitati ale acestor evenimente

frecventele obtinute statistic

( ) 95,0AP = , ( ) 9,0BP = , ( ) 92,0CP = . Daca A, B, C sunt evenimente independente atunci

( ) ( ) ( ) ( ) 7866,0CPBPAPCBAP == . Daca A, B, C nu sunt independente, conform inegalitatii lui Boole avem

( ) 77,0292,09,095,0CBAP =-++ .

g 1 Elemente Prob

Documents

Transcript of g 1 Elemente Prob