Carte Prob Mar 2015

7/18/2019 Carte Prob Mar 2015

http://slidepdf.com/reader/full/carte-prob-mar-2015 1/135

Cuprins

1



2 CUPRINS



Prefat, a

Abordarea s,tiint, ifica actuala a fenomenelor viet, ii cotidiene tot mai com-

plexe, impune o pregatire matematica superioara s, i riguroasa a celor chemat, i

sa se ocupe de analiza acestor fenomene.

Agent, ii economici, ıntreprinzatorii, as,teapta de la analis,tii economici, ıngeneral, de la specialis, tii ın diferite domenii de activitate, sa le explice anu-

mite aspecte din demersurile lor. Analiza s,tiint, ifica considera procesul econo-

mic ca fiind un proces evolutiv. Prin urmare, economistul teoritician trebuie

sa det, ina un instrument matematic adecvat care sa-i permita sa abordeze

s,tiint, ific fenomenele proceselor economice, tehnice s, i s,tiint, ifice ın continua

evolut, ie. Analiza economica matematica reprezinta aplicarea matematicii la

problemele analizei economice cu scopul de a gasi noi metode care sa conduca

la noi solut, ii. Astfel, economistul trebuie sa adapteze metodele matematice

la nevoile sale. Analiza economica matematica neoclasica s, i-a adoptat ca

instrumente calculul diferent, ial s, i integral, ecuat, iile s, i sistemele diferent, iale

s, i mai nou elemente de teoria stabilitat, ii s, i teoria bifurcat, iei.

Prezentul volum reprezinta cont, inutul matematic de baza privind not, iunile

de teoria probabilitat, ilor s, i de statistica matematica necesar unui viitor spe-

cialist chemat sa rezolve problemele lumii moderne aflate ıntr-o evolut, ie per-

manenta. In general, not, iunile prezentate sunt ınsot, ite de probleme complet

rezolvate.

Lucrarea se adreseaza student, ilor din primul an de la facultat, ile cu pro-

fil economic, tehnic, dar o pot utiliza cu folos s, i student, ii facultat, ilor de

matematica.

3



4 Prefat,˘ a

Autorul mult,umes,te, ın mod deosebit, celor care s, i-au adus contribut, ia

lor cu gandul, cu vorba sau cu fapta, la aparit, ia acestei lucrari.

AutorulPites, ti decembrie 2011



Capitolul 1

Camp de probabilitate

1.1 Experient, a. Proba. Eveniment

1.1. Experient,a. Orice realizare a unui complex de condit, ii bine pre-

cizate se numes, te experient , ˘ a . O experient, a ın care intervine ıntamplarea

se numes, te experient , ˘ a aleatoare. Aruncarea unui zar este o experient, a

aleatoare (aleatoare vine din latinescul “alea” care ınseamna zar). In loc de

experient, a aleatoare se mai spune s, i experiment aleator . Un experiment

aleator se caracterizeaza prin aceea ca:

nu are caracter determinist (adica ın condit, ii identice de realizare, rezultatele

experimentului pot fi diferite);

are un caracter statistic (adica exista o stabilitate a frecvent, elor rezultatelor -

cu cat numarul repetarilor experimentului cres,te, frecvent, a cu care se produce

un anume rezultat, se gases,te ın jurul unei valori, valoare ce reprezinta s,ansa

de realizare a sa).

Scopul teoriei probabilitat, ilor este de a dezvolta formalismul matematic

adaptat studiului experient, elor aleatoare.

1.2. Proba. Fiecare repetare (trecuta, prezenta sau viitoare) a unui

experiment aleator se numes, te prob˘ a . Rezultatul unei probe reprezintadoar unul din rezultatele posibile ale unei experient,e, de aceea ea nu tre-

buie confundata cu experient,a ınsas, i. Mult, imea Ω a eventualitat, ilor le-

gate de o experient, a aleatoare se numes, te spat , iu de select , ie, iar elemen-

5



6 Capitolul 1. Camp de probabilitate

tele acestei mult, imi se numesc cazuri posibile ale experient,ei aleatoare.

Pot fi experient, e aleatoare cu un numar finit de probe sau cu o infinitate

(numarabila sau nu) de probe. De exemplu: aruncarea unui zar este o

experient, a aleatoare cu un numar finit de probe; lovirea punctelor unei t, inte

plane sau alegerea la ıntamplare a unui numar natural, sunt experient,e alea-

toare cu o infinitate nenumarabila, respectiv numarabila de probe.

1.3. Eveniment. Orice situat, ie legata de o experient, a aleatoare, despre

care se poate spune cu certitudine ca s-a realizat sau nu se numes, te eveni-

ment (sau eveniment aleator ). Un eveniment se poate realiza din una

sau mai multe probe. Probele prin care se realizeaza un eveniment se numesc

cazuri favorabile realizarii sale. Evenimentul care se poate realiza dintr-o

singura proba se numes, te eveniment elementar sau eveniment sim-

plu . Celelalte evenimente se numesc evenimente compuse . Evenimentul

elementar are un singur caz favorabil pe cand evenimentul compus are cel

put, in doua cazuri favorabile.

Mult, imea tuturor evenimentelor legate de un experiment aleator o notam

cu S Ω s, i cu A, B,C, . . . notam elementele lui S Ω.

De aici reiese ca orice eveniment A al acestui experiment aleator este

o submult, ime a lui Ω. i.e. A ∈ P (Ω). Deci S Ω ⊆ P (Ω) (egalitate fiind

doar daca Ω este cel mult numarabila). Intr-o prima etapa vom considera

experient,e aleatoare cu Ω cel mult numarabila.

Fiecarei experient,e aleatoare E , i se asociaza ıntotdeauna doua eveni-

mente: evenimentul sigur (evenimentul care se realizeaza prin fiecare

dintre probele experient, ei E ), notat cu Ω, s, i evenimentul imposibil (i.e.

evenimentul care nu se realizeaza, ori care ar fi proba experient, ei E ) notat cu

∅. Aceste evenimente se numesc s, i evenimentele extreme ale experient,ei

E .1.4. Exemplu . In cazul experient,ei aruncarii unui zar (simetric sau nu),

spat, iul rezultatelor este Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6, iar mult, imea evenimentelor S Ω,

ca s, i alte not, iuni definite mai sus, sunt prezentate ın tabelul urmator:

1.5. Alte clase de evenimente legate de o experient, a aleatoare:



1.1. Experient, a. Proba. Eveniment 7

Nr.

Crt

Evenimentele Nr.eveni-

mente

Nr.caz.pos.Nr.caz.fav.

1 1, 2, . . . . . . .., 6 C 16 6 1

2

1, 2

,

1, 3

, . . . . . . .

5, 6

C 26 6 2

3 1, 2, 3, 1, 2, 4,., 4, 5, 6 C 36 6 3

4 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 5,.,3, 4, 5, 6 C 46 6 4

5 1, 2, 3, 4, 5, . . . , 2, 3, 4, 5, 6 C 56 6 5

6 1, 2, 3, 4, 5, 6 C 66 6 6

7 1 6 0

a) Evenimente contrare : Doua evenimente A, B ∈ S Ω se numesc contrare (sau

complementare) daca nerealizarea unuia implica realizarea celuilalt. Eveni-

mentul B se numes, te contrarul (complementarul) lui A (s, i invers). Contrarul

lui A se noteaza cu A (sau CA). Evenimentele A, B ∈ S Ω (cu S Ω din 1.4) cu

A = 2, 5, B = 1.3.4.6, sunt evenimente contrare.

b) Evenimente incompatibile : Doua sau mai multe evenimente se numesc

incompatibile (sau disjuncte) daca nu exista cazuri (probe) favorabile

realizarii simultane a lor.

c) Evenimente compatibile : Doua evenimente se numesc compatibile daca

exista cazuri (probe) prin care se realizeaza simultan.

1.6. Remarca. Orice doua evenimente contrare sunt incompatibile, in-

vers nu. Fie A, B,C ∈ S Ω (cu S Ω din 1.4) cu A = 1, 5, 6 , B = 2, 3, 4 s, i

C = 2, 4. Atunci: A s, i B sunt evenimente contrare; A s, i C sunt incompa-

tibile dar nu sunt contrare; B s, i C sunt compatibile.

1.7. Exemplu. Legat de experient, a aruncarii simultane a doua zaruri,

se pot da exemple pentru evenimentele definite mai sus. Propunem aceasta

ca exercit, iu.

1.2. Relat, ii ıntre evenimente

Fie E o experient, a aleatoare, Ω spat, iul de select, ie s, i S Ω = P (Ω) mult, imea

evenimentelor sale.




1.8. Definit,ie. Intre doua evenimente A, B ∈ S Ω poate exista:

a) relat, ia ”implic˘ a ”. - Spunem ca A ”implic˘ a ” B (s, i notam A ⊆ B ) atunci

cand orice realizare a lui A atrage dupa sine realizarea lui B. Se mai spune

ca B este implicat de A. Pentru orice eveniment X

∈ S Ω avem: X

⊆ X, Ø

⊆X, X ⊆ Ω.

b) relat, ia ”echivalent ” (sau ”‘egal ”). - Spunem ca A ”echivalent ” B ( s, i

notam A = B), daca A s, i B se implica reciproc (i.e. A ⊆ B s, i B ⊆ A).

1.9. Exemplu: Fie experient, a aruncarii unui zar s, i A, B ∈ SΩ.

Evenimentul A - ,,obt, inerea unui numar impar“ (i.e. A = 1,3,5) implic˘ a

evenimentul B - ,,obt, inerea unui numar divizor al lui 30“ (i.e. B = 1, 2, 3,

5, 6).

1.3. Operat,

ii cu evenimente

1.10. Definit,ie. Fie Ω s, i SΩ cu semnificat, iile din sect, iunea 1.2.

a) Operat, ia “sau ”: SΩ × SΩ → SΩ; (A, B) → A “sau” B, ∀ A, B ∈ SΩ

(notata s, i cu ,,∪“). Evenimentul A “sau ” B (notat A ∪ B) este evenimentul

a carui realizare consta ın realizarea a cel put, in unuia dintre

evenimentele A, B.

b) Operat, ia “s, i”: SΩ × SΩ → SΩ; (A, B) → A “s, i” B, ∀ A, B ∈ SΩ

(notata ,,

∩ “). Evenimentul A “s, i” B (notat A

∩ B) este evenimentul a carui

realizare consta ın realizarea simultana a evenimentelor A s, i B.

Cele doua operat, ii de mai sus se pot extinde la cazul unei familii de

evenimente Aii∈I , I cel mult numarabila. Deci putem consideraAi

i∈I

s, iAi

i∈I

,

cu semnificat, ia:

a)

i∈I

Ai - este evenimentul care consta ın realizarea cel put, in a unuia dintre

evenimentele Ai, i ∈ I ;

b)

i∈I

Ai- este evenimentul care consta ın realizarea simultana a tuturor eve-

nimentelor Ai ∀i ∈ I .c) Operat, ia “minus ”: S Ω → S Ω; (A, B) → A“minus ”B, ∀A, B ∈ S Ω, (no-

tata “\”). Evenimentul A “minus ” B (notat A\B) este evenimentul a carui

realizare consta ın realizarea evenimentului A s, i nerealizarea evenimentului



1.1. Experient, a. Proba. Eveniment 9

B. d) Operat, ia “non ”: S Ω → S Ω; A → non A, ∀A ∈ S Ω Evenimentul A

notat s, i A este evenimentul realizat de orice proba a experient, ei, care nu

realizeaza evenimentul A. A se mai numes, te s, i contrarul lui A sau opusul lui

A.

Doua evenimente A s, i B cu A ∩ B = ∅ sunt incompatibile sau disjuncte,

iar daca A ∩ B = ∅ sunt compatibile.

1.11. Propriet˘ at , ile reuniunii s, i intersect , iei de evenimente: Fie

A, B , C ∈ S Ω.

1 A ∪ B = B ∪ A 1’ A ∩ B = B ∩ A

2 A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C 2’ A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

3 A ⊂ A ∪ B; B ⊂ A ∪ B 3’ A ⊃ A ∩ B; B ⊃ A ∩ B4 A ∪ A = A; A ∪ Ω = Ω;

A ∪∅ = A; A ∪A = Ω

4’ A ∩ A = A; A ∩ Ω = A;

A ∩∅ = ∅; A ∩ A = ∅5 A ⊂ B ⇒ A ∪ B = B 5’ A ⊂ B ⇒ A ∩ B = A

6 A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 6’ A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩C)

7 A ∪ B = A ∩ B 7’ A ∩ B = A ∪ B

1.12. Observat, ie: 1. Un eveniment poate fi identificat cu mult, imea

probelor ce ıl realizeaza.

2. Din cele prezentate mai sus rezulta ca ıntre evenimente s, i mult, imi

avem urmatoarea dualitate de limbaj s, i urmatoarele relat, ii:

3. Mult, imea S Ω a evenimentelor, satisface condit, iile:

a) ∀A ∈ S Ω ⇒ A ∈ S Ωb) ∀A, B ∈ S Ω ⇒ A ∪ B ∈ S Ω

1.13. Definit,

ie: Fie o familie cel mult numarabila Aii∈I de eveni-mente. Spunem ca evenimentele Ai, i ∈ I sunt incompatibile ın ansam-

blul lor daca sunt incompatibile doua cate doua adica Ai ∩ A j = ∅, ∀i, j ∈I, i = j.




Limbajul evenimentelor Limbajul mult,imilor Notat

,ie

a) experient, a Mult, imea rezultatelor Ω

b) proba Element al mult, imii Ω ω ∈ Ω

c) evenimentul A A submult,ime al lui Ω A

∈ P (Ω)

d) evenimentul sigur Mult, imea totala a probelor Ω

e) evenimentul imposibil Mult, imea vida ∅f) contrarul evenimentului A Complementara mult, imii A A(CA)

g) A “implic˘ a ” B A inclus ın B A ⊂ B

h) A “sau ” B A reunit cu B A ∪ B

i) A “s, i” B A intersectat cu B A ∩ B

j) A, B incompatibile A, B disjuncte A ∩B = ∅k) A, B compatibile A, B nedisjuncte A ∩B = ∅

1.2 Camp de evenimente

1.14. Definit,ie: Perechea (Ω, S Ω), unde Ω s, i S Ω cu semnificat, iile de mai

sus, se numes, te camp de evenimente.

Daca mult, imea Ω a probelor unui experiment aleator este nenumarabila,

atunci S Ω nu se mai poate lua ca fiind P (Ω) s, i astfel definit, ia de mai sus nu

mai corespunde.

O definit, ie riguroasa a acestei not, iuni a fost data de A. Kolmogorov ın

1933 ıntr-un memoriu celebru prin care s-au pus bazele teoriei moderne a

probabilitat, ilor.

1.15. Definit,ie: Fie Ω = Ø. O colect, ie K de submult, imi ale lui

Ω(K ⊆ P (Ω)) cu:

i) (∀)A ∈ K ⇒ A ∈ K(K ınchisa la complementara)

ii) ∀(Ai)i∈I ⊂ K ⇒ i∈I

Ai ∈ K, I cel mult numarabila (K ınchisa la reuniune

cel mult numarabila) se numes, te:

corp de p˘ art , i dac˘ a I este finit˘ a s, iσ−corp de p˘ art , i sau corp borelian dac˘ a I este infinit˘ a

Perechea (Ω, K) se numes, te camp (σ - camp ) de evenimente sau

spat , iu probabilizabil dupa cum K este corp (sau σ - corp) de part, i. In



1.3. Not, iunea de probabilitate s, i camp de probabilitate 11

cele ce urmeaza vom folosi doar not, iunea de camp de evenimente, ınt,elegand

din context cand este finit sau infinit.

1.16. Observat,ie: 1˚. Orice σ - corp de part, i este un corp de part, i.

2˚. In orice corp de part, i avem: Ø, Ω

∈ K; A

−B

∈ K;

n

i=1 Ai

∈ K.

3˚. In orice σ - corp de part, i avem:

i∈I

Ai,

n≥1

k≥n

Ak,

n≥1

k≥n

Ak ∈ K.

1.17. Definit,ie. Un sistem de evenimente S = Ai ∈ K, i = 1, n se

numes, te sistem complet de evenimente daca S este o partit, ie a lui Ω.

Deci orice partit, ie S = Aii=1,n ⊂ K, a lui Ω se numes, te sistem com-

plet de evenimente sau desfacere a evenimentului Ω.

Din 1.17 avem ca: S este sistem complet de evenimente, daca s, i numai

daca exista unic i0 ∈ 1, 2, . . . , n astfel ıncat Ai0 se realizeaza. Deci ıntr-un

sistem complet de evenimente ıntodeauna se realizeaza unul s, i numai unuldin evenimentele sistemului.

1.3 Not, iunea de probabilitate s, i camp de

probabilitate

In acest paragraf vom cauta sa caracterizam gradul (s,ansa) de realizare

sau nerealizare a fiecarui eveniment A dintr-un camp de evenimente (Ω,

K),

printr-un numar pozitiv notat P (A) numit s, i probabilitatea evenimentului A

s, i apoi vom defini campul de probabilitate.

(a) Definit,ia statistica a probabilitat

,ii. Fie E o experient, a alea-

toare careia i se asociaza campul de evenimente (Ω, K) s, i fie A ∈ K. Daca

experient, a E se repeta de n ori, raportul:

f n(A) = numarul de realizari ale evenimentului A

n

se numes, te frecvent , a relativ˘ a a lui A, ın cele n repetari ale experimentu-lui. Frecvent,a relativa f n(A) variaza de la un set de repetari la altul (chiar

daca numarul repetarilor nu se modifica). Ea are un caracter empiric, ex-

perimental. Dar, atunci cand n cres, te f n(A) tinde sa se stabilizeze catre un




numar real, numit probabilitatea lui A s, i notat cu P (A).

Deci P (A) = limn→∞

f n(A). Daca (Ω, K) este camp finit de evenimente se

poate arata ca P (A ∪ B) = P (A) + P (B) daca A ∩ B = Ø s, i P (Ω) = I (se

t, ine seama de faptul ca f n(A

∪B) = f n(A) + f n(B) pentru A

∩B =

∅.

(b) Definit,ia clasica a probabilitat

,ii. Aceasta definit, ie presupune

ca evenimentele elementare sunt ın numar finit (i.e. (Ω, K) este un camp

finit de evenimente) s, i ca au s,anse egale de realizare. Atunci, P (A) =cardA

card Ω, ∀A ∈ K, altfel spus:

P (A) = numarul cazurilor favorabile evenimetului A

numarul cazurilor posibile

se numes, te probabilitatea evenimentului A.

1.18. Observat,ie: Aceasta definit, ie prezinta unele neajunsuri cum ar

fi:

- se aplica doar pentru campuri finite de evenimente;

- se aplica doar cand evenimentele elementare sunt egal posibile (de exem-

plu ın experient,a aruncarii unui zar nesimetric, fet,ele nu au s,anse egale de

aparit, ie, s, i nu se poate aplica).

(c) Definit,ia axiomatica a probabilitat

,ii.Aceasta definit, ie a fost data

de A.N.Kolmogorov ın 1933 cand s-a pus bazele axiomatice ale teoriei pro-

babilitat, ii. Aceasta axiomatizare a permis cuprinderea ıntr-o schema simpla,

atat a capitolelor clasice ale teoriei probabilitat, ilor cat s, i a capitolelor mo-

derne ale acestei teorii. Ea a legat ıntr-un mod simplu teoria probabilitat, ilor

de teoria masurii s, i de teoria funct, iilor de variabile reale, permit, and ın acest

fel folosirea metodelor moderne ale teoriei masurii ın teoria probabilitat, ilor.

1.19 Definit,ie .Fiind dat (Ω, K) un - c amp de evenimente, o funct, ie

P : K → [0, 1] cu proprietat, ile:

1˚. P (Ω) = 1;

2˚. P

i∈I

Ai

=

i∈I

P (Ai), I este cel mult numarabila s, i (Ai)i∈I ⊂ Kcu Ai ∩ A j = ∅, ∀i, j ∈ I , i = j (aditivitate cel mult numarabila) se numes, te

probabilitate pe K.




1.20. Observat,ii: a) Din felul cum este definita funct, ia P , se ınt,elege

ca seriai∈I

P (Ai) este convergenta.

b) O astfel de funct, ie P , nu este altceva decat o masura finita s, i pozitiva,

de masa totala egala cu 1, definita pe spat, iul masurabil (Ω,K

).

1.21. Definit,ie. Un triplet (Ω, K, P ) ın care:

i) Ω este o mult, ime abstracta reprezentand spat, iul de select, ie al unui

experiment aleator E ;ii) K este un corp borelian pe Ω (ın general K ⊆ P (Ω) s, i nu neaparat K =

P (Ω) reprezentand mult, imea evenimentelor asociate experient,ei aleatoare E ;iii) P este o probabilitate pe K, unde P (A) reprezinta s,ansa de realizare

a evenimentului A ∈ K,

se numes, te camp (sau σ - camp ) de probabilitate , dupa cum (Ω, K) estecamp (sau σ - camp) de evenimente. In loc de camp infinit de probabilitate

se mai spune s, i σ - camp de probabilitate sau camp borelian de proba-

bilitate. Peste tot, ın cele ce urmeaza, ın loc de σ - camp de probabilitate

vom spune camp de probabilitate s, i acolo unde este cazul vom zice camp fi-

nit de probabilitate. Campul finit de probabilitate mai este denumit s, i camp

Laplace.

Deci unui experiment aleator E , pentru modelarea matematica, i se aso-

ciaza un astfel de triplet (Ω, K, P ) care este un model probabilistic.1.22 Aplicat

,ii: 1o. O societate comerciala asigura transportul ıntre

localitat, ile A s, i B, conform cu schit,a:

unde P i, i = 1, 7 sunt poduri peste ape, iar C, D, E s, i F sunt localitat, i pe

traseele ce leaga localitat, ile A s, i B. Daca Ai este evenimentul ca podul P i sa

fie funct, ional, se cere sa se exprime cu ajutorul evenimentelor Ai, :




(c) C este evenimentul ca 2 furnizori sa nu-s, i onoreze contractul;

(d) D este evenimentul ca un furnizor sa nu-s, i onoreze contractul;

(e) E este evenimentul ca nici un furnizor sa nu-s, i onoreze contractul;

(f) F este evenimentul ca cel put, in 2 furnizori sa nu-s, i onoreze contractul;

(g) G este evenimentul ca cel put, in 3 furnizori sa nu-s, i onoreze contractul;

(h) H este evenimentul ca cel put, in 1 furnizor sa nu-s, i onoreze contractul;

3o. Legat de experient,a aruncarii a doua zaruri se cere:

(a) Sa se precizeze spat, iul de select, ie;

(b) Sa se determine probabilitatea evenimentului: 1) X 1 ce consta ın

obt, inerea sumei 5; 2) X 2 ce consta ın obt, inerea sumei 7 sau a sumei 11; 3)

X 3 ce consta ın obt, inerea sumei 6 sau a sumei 13; 4) X 4 ce consta ın a obt, ine

o suma divizibila cu 3; 5) X 5 ce consta ın a obt, ine o suma divizibila cu 2 s, i

5; Rezolvare. Acestei experient,e i se asociaza campul Laplace (Ω, K, P ) unde

Ω = (1, 1) , (1, 2) , . . . , (6, 6).

(a) Se constata ca X 1 = (1, 4) , (2, 3) , (3, 2) , (4, 1). Deci P (X 1) =card X 1card Ω

= 436

= 19

(b) Deaorece evenimentul X 2 = (1, 6) , (2, 5) , (3, 4) , (4, 3) , (5, 2) , (6, 1)∪(5, 6) , (6, 5) = (1, 6) , (2, 5) , (3, 4) , (4, 3) , (5, 2) , (6, 1) , (5, 6) , (6, 5) . re-

zulta P (X 2) = card X 2card Ω

= 836

= 29

(c) Se obt, ine

X 3 = (1, 5) , (2, 4) , (3, 3) , (4, 2) , (5, 1)∪φ = (1, 5) , (2, 4) , (3, 3) , (4, 2) , (5, 1) .

Rezulta P (X 3) = card X 3card Ω

= 536

.

(d) La aruncarea a doua zaruri suma obt, inuta S ∈ 2, 3, 4, 5, 6, · · · , 12,

iar 3/S ⇒ S ∈ 3, 6, 9, 12. Rezulta ca X 4 este alcatuit din cazurile ce au

suma 3, suma 6, suma 9 s, i suma 12. Deci

X 4 = (1, 2) , (2, 1) , (1, 5) , (2, 4) , (3, 3) , (4, 2) , (5, 1) , (3, 6) , (4, 5) , (5, 4) ,

(6, 3) , (6, 6)

.

Rezulta ca P (X 4) = card X 4

card Ω =

12

36 =

1

3.




(e) Daca suma este divizibila cu 2 s, i 5, atunci este divizibila cu 10 (10

este cel mai mic multiplu comun al lui 2 s, i 5). Rezulta ca 10 este singura

suma favorabila.

Deci X 5 =

(4, 6) , (5, 5) , (6, 4)

s, i avem P (X 5) = card X 5

card Ω = 3

36 = 112 .

4o. Se considera un zar obis,nuit z 1 s, i un zar z 2 marcat astfel: o fat, a cu

un punct, doua fet,e cu cate doua puncte s, i celelalte trei fet,e cu cate trei

puncte. Se arunca fiecare zar de cate doua ori. Pentru fiecare zar sa se afle

probabilitatea ca:

(a) cele doua rezultate sa coincida;

(b) suma punctelor la cele doua aruncari sa fie patru.

Rezolvare. Experient,ei precizate ın problema, pentru fiecare zar, i se

asociaza campul Laplace (Ω,

K, P ). In primul caz (cand se foloses,te zarul

z 1), elementele mult, imii Ω sunt precizate ın Tabelul 1 s, i ın celalalt caz (cand

se foloses, te zarul z 2) ın Tabelul 2.

f1 f2 f3 f4 f5 f6

f1 1,1 1,2 1, 3 1,4 1,5 1,6

f2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6

f3 3, 1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6

f4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6

f5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6f6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6

f1 f2 f3 f4 f5 f6

f1 1,1 1,2 1,2 1, 3 1, 3 1, 3

f2 2,1 2,2 2,2 2,3 2,3 2,3

f3 2,1 2,2 2,2 2,3 2,3 2,3

f4 3, 1 3,2 3,2 3,3 3,3 3,3

f5 3, 1 3,2 3,2 3,3 3,3 3,3f6 3, 1 3,2 3,2 3,3 3,3 3,3

Tabelul 1 Tabelul 2

Fie Ai s, i Bi, i = 1, 2 evenimentele corespunzatoare punctului (a) s, i res-

pectiv (b) pentru zarul z i. A1 cont, ine cazurile(1, 1), . . . , (6, 6) luate o singura

data; A2 cont, ine cazul(1, 1) o data, (2,2) de patru ori s, i (3,3) de noua ori; B1

cont, ine cazurile (3,1), (2,2) s, i (1,3) luate cate o data; B2 cont, ine cazul (2,2)

luat de patru ori s, i (1,3) s, i (3,1) luate de cate trei ori. Atunci avem:

(a). P(A1) = 636

= 16

; P(A2) = 1436

= 718

.(b). P(B1) = 336

= 112

; P(B2) =1036 = 5

18 .



Capitolul 2

Proprietat, i ale probabilitat, ilor.

2.1 Proprietat, i de baza ale probabilitat, ilor.Fie (Ω, K, P ) un camp de probabilitate.

2.1.Propozit,ie (propriet˘ at

,i de baz˘ a ale probabilit˘ at

,ilor ).Fie A, B ∈ K.

1˚. P

A

= 1 − P (A).

2˚. P (A \ B) = P (A) − P (A ∩ B);

3˚.P (Ø) = 0.

4˚.A ⊆ B ⇒ P (A) ≤ P (B);

5˚. P (A∪

B) = P (A) + P (B)−

P (A∩

B).

Demonstrat ,ie : 1˚. 1 = P (Ω) = P

A ∪ A

= P (A) + P

A ⇒ P

A

=

1 − P (A).

2˚. Pentru ca A = (A \ B) ∪ (A ∩ B) avem: P (A) = P (A − B) +

+ P (A ∩ B) s, i de aici P (A \ B) = P (A) − P (A ∩ B).

3˚. Se ia ın 2˚ B = A s, i avem: P (Ø) = P (A\A) = P (A)−P (A∩A) = 0.

4˚. B = A ∪ (B \ A) ⇒ P (B) = P (A) + P (B \ A). De aici, pentru ca

P (B − A) ≥ 0, rezulta ca P (B) ≥ P (A).

5˚. Evenimentul A ∪ B se descompune ın evenimente disjuncte, astfel:A ∪ B = (A \ B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B \ A)

De aici P (A ∪ B) = P (A \ B) + P (A ∩ B) + P (B \ A) = P (A) − P (A ∩B) + P (A ∩ B) + P (B) − P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).

17



18 Capitolul 2. Proprietat, i ale probabilitat, ilor.

2.2 Observat,ie: a)Din relat, ia 4˚ s, i implicat, ia ∅ ⊆ A ⊆ Ω, rezulta

0 ≤ P (A) ≤ 1.

b)Relat, ia de la 5˚ se mai scrie: P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (A ∪ B)

sau P (A

∩B) + P (A

∪B) = P (A) + P (B).

2.3. Lema: (a) Daca (An)n∈N ∗ este un s, ir ascendent din K, atunci

P

n∈N ∗

Bn

= lim

n→∞P (An).

(b) Daca (Bn)n∈N ∗ este un s, ir descendent din K, atunci P

n∈N ∗

Bn

=

limn→∞

P (Bn).

Demonstrat ,ie : (a) Din ipoteza avem: A1 ⊆ A2 ⊆ . . . ⊆ An ⊆ . . ..

Familia de evenimente E n = An − An−1n∈N ∗, A0 := Ø, este o fa-

milie de evenimente disjuncte doua cate doua s, i n∈N ∗ An = n∈N ∗ E n ⇒

P

n∈N ∗

An

= P

n∈N ∗

E n

=

n∈N ∗P (E n). Deoarece aceasta serie este

convergenta, s, irul sumelor part, iale (S n)n, S n =n

i=1

P (E i), fiind crescator s, i

marginit, este convergent. Dar S n =n

i=1

P (Ai − Ai−1) =n

i=1

[P (Ai) − P (Ai−1)] =

= P (A1) − P (A0) + P (A2) − P (A1) + ... + P (An) − P (An−1) =

= P (An)

−P (A0) = P (An).

Deci limn→∞

P (An) = limn→∞

S n =

n∈N ∗P (E i) = P

n∈N ∗

An

.

(b). Cum (Bn)n∈N ∗ este s, ir descendent, avem B1 ⊇ B2 ⊇ . . . ⊇ Bn ⊇ . . .

Rezulta ca s, irul evenimentelor contrare

Bn

n∈N ∗

este ascendent s, i conform

cu (a) avem:

P

n∈N ∗

Bn

= lim

n→∞P

Bn

⇔ P ∩Bn

= lim

n→∞P

Bn

⇔

⇔ 1 − P

n∈N ∗

Bn

= lim

n→∞[1 − P (Bn)] ⇔ P

n∈N ∗

Bn

= lim

n→∞P (Bn) .



2.2. Probabilitat, i condit, ionate s, i evenimente independente. 19

2.2 Probabilitat, i condit, ionate s, i evenimente

independente.

Fie (Ω,K

, P ) un camp de probabilitate s, i A, B ∈ K

cu P (B) = 0.

2.4. Definit,ie: Numarul P B(A) (sau P (A|B)) definit prin P B(A) =

P (A∩B)/P (B) se numes, te probabilitatea evenimentului A condit , ionat˘ a

de B sau probabilitatea lui A ın ipoteza c a a avut loc B sau ınca pro-

babilitatea evenimentului A, condit , ionat˘ a de evenimentul B.

2.5. Observat,ie: a) Mult, imea KB = E ∩ B|E ∈ K este corp borelian

pe B, iar P B : KB → [0, 1], P B(A) = P (A ∩ B)/P (B) este o probabilitate

pe KB (exercit, iu).

Tripletul (B,

KB, P B) se numes, te camp de probabilitate indus pe B

de campul de probabilitate dat (sau urma campului de probabilitate

dat pe B).

b) Daca P (A) = 0, atunci P B(A) · P (B) = P A(B) · P (A)(= P (A ∩ B)).

2.6. Definit,ie: Doua evenimente A, B ∈ K se numesc independente

daca realizarea unuia nu este condit, ionata de realizarea celuilalt. (i.e. P B(A) =

P (A) daca P (B) = 0 s, i P A(B) = P (B) daca P (A) = 0)). In caz contrar ele

se numesc dependente.

2.7. Observat,ie: Doua evenimente A, B

∈ K sunt independente daca s, i

numai daca P (A ∩ B) = P (A) · P (B). Aceasta observat, ie poate servi drept

definit, ie.

2.8. Definit,ie: Evenimentele Ai ∈ K, i = 1, n se numesc inde-

pendente ın totalitatea lor sau pe scurt independente, daca pen-

tru orice s, ir 1 ≤ ii < i2 < . . . < ir ≤ n avem: P (Ai1 ∩ Ai2 ∩ ...Air) =

P (Ai1) · P (Ai2) · ... · P (Air). Daca r = 2 spunem ca evenimentele Ai, i = 1.n

sunt dou˘ a cate dou˘ a (sau mutual ) independente.

2.9. Observat,ie: 1˚. Evenimentele Ai ∈ K, i = 1, n sunt indepen-

dente daca pentru orice s, ir 1 ≤ ii < i2 < . . . < ir ≤ n avem:

P (Bi1 ∩ Bi2 ∩ ... ∩ Bir) = P (Bi1) · P (Bi2) · ... · P (Bir),

unde Bik ∈

Aik , Aik

, k = 1, r.




2˚. Mutual independent, a nu implica independent, a, dar independent,a

implica mutual independent, a.

2.10. Exemple. 1o Legat de experient,a aruncarii unui zar se considera

evenimentele A =

1, 2, 3

, B =

2, 3, 4, 5, 6

, C =

1, 3

s, i D =

2, 3, 4,

5. Sa se cerceteze relat, ia de dependent, a a evenimentelor A, B, C s, i D.

Rezolvare : P (A) = 36 = 1

2 ; P (B) = 56 ; P B(A) = P (A∩B)

P (B) =26

56

= 2

5 .

Pentru ca P (A) = P B(A) ⇒ evenimentele A s, i B sunt dependente. Ana-

log P (C ) = 26

= 13

s, i P A(C ) = P (A∩C )P (A)

=26

12

= 2

3 ⇒A s, i C sunt

dependente;

P B(C ) = P (B∩C )P (B) =

16

56

= 1

5 ⇒B s, i C sunt dependente;

P (D) = 46

= 23

; P D(A) = P (A∩D)P (D)

=

26

46

= 1

2 ⇒P(A) = PD(A).

Deci A s, i D sunt independente.

2o Intr-un camp de probabilitate (Ω, K, P ) cu evenimentele elementare Ai

s, i P (Ai) = 14

, i = 1, 4 se considera evenimentele A = A1∪A2, B = A1∪A3,

C = A1∪A4. Se cere sa se studieze dependent,a evenimentelor A, B, C.

(a) a doua cate doua;

(b) ın totalitatea lor.

Rezolvare :(a)P (A) = P (A1 ∪ A2) = P (A1) + P (A2) = 14 + 1

4 = 12 . Analog

P (B) = 12

= P (C ). Pentru ca A ∩ B = B ∩ C = A ∩ C = A1 rezulta

P (A ∩

B) = P (B ∩

C ) = P (A ∩

C ) = P (A1) = 1

4. Deci A,B,C sunt

independente doua cate doua.

(b) Din ipoteza avem, pe de o parte P (A ∩ B ∩ C ) = P (A1) = 14 s, i pe de

alta parte P (A) · P (B) · P (C ) = 12 · 1

2 · 1

2 = 18 . Deci P (A ∩ B ∩ C ) = P (A) ·

P (B) · P (C ), de unde rezulta ca evenimentele A, B,C nu sunt independente

ın totalitate lor.

3o Daca A, B ∈ K, atunci urmatoarele afirmat, ii sunt echivalente:

(a)A s, i B independente; (b)A s, i B independente; (c)A si B independente.

Rezolvare. ˆIntr-adevar, cum A s, i B sunt independente,s implica P B (A) =

P (A) ⇔ P B

A

= P

A

. Deci A s, i B sunt evenimente independente.

De aici avem ca P A (B) = P (B) ⇔ P A

B

= P

B

, de unde rezulta ca

A s, i B sunt evenimente independente.



2.3. Formule clasice de probabilitate 21

2.3 Formule clasice de probabilitate

Fie (Ω, K, P ) un camp de probabilitate s, i (Ai)i=1,n ⊂ K.

2.11. Propozit,ie (Probabilitatea reuniunii de evenimente ): P

n

i=1 Ai =

ni=1

P (Ai) − 1≤i<j≤n

P (Ai ∩ A j ) + ...+(−1)n−1 · P

ni=1

Ai

.

Demonstrat ,ie. Procedam prin induct, ie completa dupa n:

Pentru n = 2: P(A1∪ A2) = P(A1) + P(A2) - P(A1∩ A2).

Presupunem formula adevarata pentru n = m, adica:

P

m

i=1

Ai

=

mi=1

P (Ai) − 1=i<j≤m

P (Ai ∩ A j )+

1=i<j<k≤m

P (Ai

∩A j

∩Ak) + ... + (

−1)m−1

·P

m

i=1 Ai .

Trecem acum la n = m + 1 s, i gasim: P

m+1i=1

Ai

=

= P

m

i=1

Ai

∪ Am+1

= P

m

i=1

Ai

+ P (Am+1)−P

m

i=1

Ai

∩ Am+1

=

=

m

i=1

P (Ai) −m

1=i<j

P (Ai ∩ A j)(−1)m−1 · P

m

i=1

Ai

+ P (Am+1) −

− m

i=1 P (Ai ∩ Am+1)−m

1=i<j

P (Ai ∩ A j ∩ Am+1)+

m1=i<j<k

P (Ai ∩ A j ∩ Ak ∩ Am+1)+... +(−1)m−1 · P m+1

i=1

Ai

=

m+1i=1

P (Ai)−

m+11=i<j

P (Ai ∩ A j ) +m+1

1=i<j<k

P (Ai ∩ A j ∩ A1) + ... + (−1)m · P

m+1i=1

Ai

Deci egalitatea este adevarata s, i pentru n = m + 1.

Prin urmare egalitatea este adevarata pentru ∀ n ∈ N∗.

Formula de mai sus este cunoscuta sub numele de formula lui Poin-

care.

2.12. Observat,ie: Daca evenimentele sunt incompatibile, atunci for-

mula lui Poincare se scrie:

P

ni=1

Ai

=

ni=1

P (Ai)(pentru ca orice intersect, ie este ∅ s, i P(∅) = 0).




P

ni=1

Ai

= 1 −

ni=1

[1 − P (Ai)].

2.13. Exemplu: O societate comerciala se compune din trei firme acaror probabilitate de a funct, iona fara ıntrerupere ıntr-un interval de timp

dat este egala cu 0,9, 0,8 s, i respectiv 0,7. Sa se determine:

(a) probabilitatea ca cel put, in o firma sa funct, ioneze;

(b) probabilitatea ca societatea sa funct, ioneze;

(c) probabilitatea ca doua firme sa nu funct, ioneze;

(d) probabilitatea ca societatea sa nu funct, ioneze;

(e) probabilitatea ca o firma sa nu funct, ioneze.

Rezolvare : (a) Notam Ai evenimentul ca firma i sa funct, ioneze i = 1, 3..Atunci evenimentul A la punctul (a) va fi A = A1 ∪ A2 ∪ A3. Pentru ca

evenimentul Ai i = 1, 3 sunt independente s, i compatibile rezulta:

P(A) = (A1 ∪ A2 ∪ A3 )= 1 −3

i=1

(1 − P (Ai)) =1- (1 - 0,9) · (1 − 0,8)

· (1 - 0,7) = 0,994. Analog se rezolva punctele (b), (c), (d) s, i (e). (Exercit, iu).

2.14. Propozit,ie. (probabilitatea unei intersect

,ii de evenimente )

Daca evenimentele Ai ∈ K, i = 1, n sunt astfel ıncat P

ri=1

Ai

= 0, r =

1, n−

1, atunci:

P n

i=1

Ai

= P (A1) · P A1(A2) · P A1∩A2(A3)...P A1∩A2∩...∩An−1(An).

Demonstrat ,ie : Cum

ni=1

Ai ⊆k

i=1

Ai, ∀k = 1, n , rezulta P

ki=1

Ai

= 0.

Prin urmare putem scrie: P (A1) = P (A1)

P A1(A2) = P (A1∩A2)P (A1)

P A1∩A2(A3) = P (A1∩A2∩A3)P (A1∩A2 )

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

P A1∩A2∩...∩An−1(An) = P (A1∩A2∩...∩An)

P (A1∩A2∩...∩An)

Inmult, ind aceste egalitat, i membru cu membru, se obt, ine relat, ia:




P (A1)·P A1(A2)·P A1∩A2(A3)...P A1∩A2...∩An−1(An) = P (A1∩A2∩...∩An) care

este chiar formula anunt,ata. In mod riguros aici trebuie utilizata induct, ia.

2.15. Observat,ie: Daca evenimentele Ai ∈ K, i = 1, n sunt indepen-

dente, atunci se obt, ine formula: P n

i=1 Ai = P (A1)·

P (A2)·

...·

P (An).

Formula obt, inuta la acest punct se mai numes, te formula de ınmult , ire

a probabilit˘ at , ilor .

2.16. Propozit,ie. (inegalitatea lui Boole ). Fie (Ai)i=1,n

⊂ K. Atunci

are loc inegalitatea:

P

ni=1

Ai

≥ 1 −

ni=1

P

Ai

, ∀n ∈ N∗.

Demonstrat ,ie . Procedam prin induct, ie completa.

Pentru n = 2 avem:

P(A1 ∩ A2) = P(A1) + P(A2) - P(A1 ∪ A2) ≥ P(A1) + P(A2) -1= 1 − P (A1) − P (A2) (P(A1 ∪ A2) ≤ 1)

Deci inegalitatea se verifica pentru n = 2.

Presupunem ca inegalitatea este adevarata pentru n = k, i.e.

P

ki=1

A1

≥ 1 −

ki=1

P

Ai

s, i trebuie sa aratam ca ea este adevarata

pentru n = k + 1, i.e.

P

k+1i=1

A1

≥ 1 −

k+1i=1

P

Ai

Intr-adevar:

P k+1i=1

Ai = P k

i>1

Ai + P (Ak+1) − P k

i=1

Ai ∪ Ak+1

≥

≥ 1 −k

i=1

P ( Ai) + P (Ak+1) − 1 ≥ 1 −k+1i=1

P ( Ai) s, i de aici rezulta ca

inegalitatea lui Boole este adevarata.

2.17. Observat,ie. Din inegalitatea lui Boole rezulta ca

max

0, 1 −

ni=1

P

Ai

reprezinta o margine inferioara pentru P

ni=1

Ai

.

Si, pentru can

i=1Ai ⊆ Ai, ∀i = 1, n, rezulta ca P

n

i=1Ai

.

2.18. Aplicat,

ie. O firma funct, ioneaza normal daca satisface simultancondit, iile C1, C2 s, i C3. Stiind ca aceste condit, ii sunt ındeplinite cu probabi-

litat, ile 23 , 56 respectiv 8

9 , sa se precizeze ıntre ce limite se gases, te probabilitatea

ca firma sa funct, ioneze normal.




Rezolvare . Fie Ai evenimentul ca firma sa ındeplineasca condit, ia Ci, i =

1, 3. Cum P (A1) = 23 , P (A2) = 5

6 s, i P (A3) = 89 avem: 1 −

3i=1

P

Ai

= 7

18 .

Conform cu 2.17, probabilitatea cautata se afla ın intervalul

718

, 23

.

2.19. Propozit,

ie. ( Formula probabilit˘ at ,

ii totale. Formula lui Bayes.)Daca (H i) ,i=1,n ⊂ K este un sistem complet de evenimente pe (Ω,K ), atunci

pentru ∀ A ∈ K avem:

1) P (A) =n

i=1

P (H i) · P (A/H i),( formula probabilit˘ at ,ii totale );

2) P A(H i) = P (H i)·P H i(A)ni=1

P (H i)·P H i (A); ∀ i = 1, n ( formula lui Bayes sau

probabilitatea ipotezelor ).

Demonstrat ,ie : 1) (H i) ,i=1,nfiind sistem complet de evenimente rezulta

Ω =

ni=1 H i. Atunci avem: A = A ∩ Ω = A ∩

ni=1 H i =

ni=1 (A ∩ H i).

Cum evenimentele A ∩ Hi, i = 1, n sunt incompatibile, (i.e. A ∩ Hi) ∩(A ∩ Hi) = Ø , i = j= 1, n) rezulta P (A) =

ni=1

P (A ∩ H i) =n

i=1

P (H i) · P H i (A).

2) P(A) · PA(Hi) = P(Hi) · P H i(A) (= P(A ∩ Hi)) ⇒

⇒ P A(H i) = P (H i) · P H i(A)

P (A) ⇒ P A(H i) =

P (H i) · P H i(A)n

i=1P (H i) · P H i(A)

, ∀i = 1,n..

2.20. Remarca: Egalitatea A =n

i=1

(A ∩ H i) precum s, i incompatibi-

litatea evenimentelor A ∩ Hi, i = 1, n exprima faptul ca evenimentul A se

realizeaza simultan cu unul din evenimentele Hi, i = 1, n, numite variante de

realizare sau cauze (ipoteze) de realizare ale evenimentului A.

Formula probabilitat, ii totale reduce calcularea probabilitat, ii evenimentu-

lui A la calcularea probabilitat, ii fiecarei cauze (i.e. a lui P(Hi), i = 1, n) s, i a

probabilitat, ii lui A ın fiecare varianta (i.e. a lui P(A/Hi), i = 1, n).

Probabilitat, ile P (H i), i = 1, n se numesc probabilit˘ at , i apriori .Formula lui Bayes permite gasirea probabilitat, ii lui Hi condit, ionata de

realizarea evenimentului A, i.e. a probabilitat, ii cauzei (ipotezei) ce a dus la

aparit, ia evenimentului A. Stiind ca A s-a realizat, PA(Hi) reprezinta, de ase-




menea, probabilitatea ca evenimentul A sa fi aparut din cauza evenimentului

Hi,i = 1, n.

Probabilitat, ile PA(Hi), i = 1, n se numesc probabilit˘ at , i aposterior i.

Comparand probabilitat, ile PA(Hi) s, i P(Hi) se observa cum realizarea lui

A modifica probabilitatea lui Hi.

Relat, ia care reprezinta formula lui Bayes se mai numes, te s, i probabilita-

tea ipotezelor deoarece cu ajutorul ei se calculeaza probabilitat, ile ipoteze-

lor H1, . . . , Hn (numite s, i cauze de aparit, ie) unic posibile s, i incompatibile care

se fac asupra unui eveniment X. Aceste probabilitat, i se pot calcula ınainte

de efectuarea experient,ei.

Pe baza aparit, iei evenimentului X se poate stabili cum trebuie modifi-

cate probabilitat, ile ipotezelor P(Hi), i = 1, n. Pentru aceasta este necesara

calcularea probabilitat, ii condit, ionate P(Hi/ X) ∀ i = 1, n.

Fie Ei un experiment aleator descris de campul de probabilitate (Ωi, Ki,

Pi) s, i E experimentul aleator ce consta din efectuarea unuia din experimentele

aleatoare Ei. i = 1, m.

2.21. Propozit,ie. Tripletul (Ω,K, P) unde:

(a) Ω =m

i=1

Ωi,

(b) K = A ∈ P (Ω) | A ∩ Ωi ∈ Ki, ∀ i = 1, m,

(c) P (A) =

mi=1 αiP i (A ∩ Ωi) ,∀ A ∈ K s, i αi > 0 cu

mi=1 αi = 1,

este un camp de probabilitate ce descrie experimentul E.

Demonstrat ,ie. Deoarece Ω ∩ Ωi = Ωi ∈ Ki, ∀i = 1, m, rezulta

K = Ø . Daca A ∈ K, atunci deoarece A ∈ K, A ∩ Ωi = Ωi\(Ωi ∩ A) ∈ K,

∀i = 1, m. Pentru orice (An)n ⊂ K,

n≥1

An

∩ Ωi =

n≥1

(An ∩ Ωi) ∈ K,

∀i = 1, m s, i rezultan

An ∈ K. Prin urmare K este corp borelian pe Ω.

Acum aratam ca P este o probabilitate pe K . Intr-adevar

P(Ω) =m

i=1 αiP i(Ω ∩

Ωi) =m

i=1 αiP i(Ωi) =m

i=1 αi = 1 s, i daca (An)n

⊂K este

o familie de evenimente disjuncte doua cate doua, atunci:

P

n

An

=

mi=1

αiP i

n

An

∩ Ωi

=

mi=1

αiP i

n

(An ∩ Ωi)

=




=m

i=1

αi

n

P i(An ∩ Ωi) =

n

mi=1

αiP i(An ∩ Ωi) =

n

P (An).

Astfel propozit, ia este demonstrata.

2.22. Remarca. 1˚. Daca Ωi este cel mult numarabila pentru orice

i = 1, m, se poate lua K = P (Ω).2˚. Orice eveniment elementar din Ωi, ∀ i = 1, m este eveniment ele-

mentar ın Ω. Un eveniment A are loc ın experimentul E daca el are loc

ıntr-unul din experimentele Ei (i.e. ∀ A ∈ K ⇒ ∃ i ∈ 1, . . . , m astfel

ıncat (A ∈ K.i ).Ωi ∈ K , ∀ i = 1, m.

3˚. (Ωi)i=1,m este un sistem complet de evenimente ın Ω.Deci Ω j repre-

zinta evenimentul din K ce consta din efectuarea experimentului E j .

Deoarece, P(Ω j ) : =m

i=1αiP i(Ω j ∩ Ωi) =

m

i=1αiδ ij = α j

rezulta ca α j este probabilitatea de a se efectua experimentul E j.

4˚. Pentru ∀ A ∈ K j , j ∈ 1, 2,...,n arbitrar fixat, avem: P (A) =

α jP j (A)

=

mi=1

αiP i (A ∩ Ωi) , unde(A ∩ Ωi) ∩ (A ∩ Ω j ) = ∅, ∀i = j

. Rezulta

ca α jP j este restrict, ia lui P la K j s, i ca ın campul de probabilitate (Ω, K, P )

evenimentele elementare nu mai sunt egal probabile des, i ın campul de pro-

babilitate (Ω j , K j, P j), j = 1, n, evenimentele elementare sunt egal probabile.

5˚. Pentru ∀ A ∈ K, P(A | Ω j ) = P j(A ∩ Ω j), ∀ j = 1, n. Deci

relat, ia (c) din 2.21 este P(A)=n

j=1 P (Ω j)P (A

|Ω j ) ,

∀A

∈K (i.e. formula pro-

babilitat, ii totale).

2.23. Aplicat,ii. 1˚. Se considera m urne cu aspect identic s, i ımpart, ite

ın n grupe. Grupa G j cont, ine r j urne, iar ın fiecare urna a grupei se gasesc

a j bile albe s, i b j bile negre, j = 1, n.Extragand, la ıntamplare, o bila dintr-o

urna se cere:

(1) Care este probabilitatea ca bila extrasa sa fie alba?

(2) Stiind ca bila extrasa este alba, care este probabilitatea ca ea sa

provina dintr-o urna a grupei Gi?

Rezolvare. (1) Fie E j experimentul extragerii bilei dintr-o urna a grupei

G j, j = 1, n s, i E experimentul extragerii unei bile.

Notam Ai mult, imea bilelor urnei Ui, i = 1, m s, i cu Ω j mult, imea bilelor




grupei G j, j = 1, n. Atunci: Ω j = AS j−1+1 ∪ ... ∪ AS j , unde s j = j

i=1

ri, j =

1, n , s0 = 0 .

Consideram (Ω j , K j, P j ) campul de probabilitate Laplace atas,at experi-

mentului E j, j = 1, n. Experimentului E ıi asociem campul de probabilitate(Ω,K, P) unde Ω =

n j=1

Ω j , K = P (Ω), iar probabilitatea P se determina ca

ın 2.21, constantele α j, j = 1, n urmeaza a fi determinate.

In campul de probabilitate (Ω,K, P), Ai este evenimentul extragerii unei

bile din urna Ui, i = 1, m (i.e. Ai este evenimentul ce consta ın alegerea

urnei Ui), iar Ω j este evenimentul extragerii unei bile din grupa G j, j = 1, n.

Familiile de evenimente (Ai)i=1,m s, i (Ai)i=S j−1+1,S jsunt sisteme complete de

evenimente ın (Ω,K, P), respectiv (Ω j , K j , P j),

∀ j = 1,n.

Astfel avem:m

i=1

P (Ai) = 1 s, irj

i=1

P jAS j−1+1 = 1, j = 1, n.

Pentru ca urnele sunt identice ca aspect avem :

P(A1) = .. . = P(Am) s, i P j(AS j−1+1) = ... = P j (AS j), ∀ j = 1,n

i.e.ın fiecare camp de probabilitate precizat, urnele au aceleas, i s,anse de a

fi alese. Deci P (Ai) = 1m

, ∀ i = 1, m s, i P j(Ai) = 1rj

, ∀i = s j−1 + 1, s j s, i

j = 1, n. Conform cu 2.21, 4˚, rezulta α j = rj

m, ∀ j = 1, n. Fie X eveni-

mentul ca bila extrasa sa fie alba. Atunci: P(X) : =n

j=1α j P j(X ∩ Ω j ) =

n j=1

rjm

S ji=S j−1+1

P j(X ∩ Ai)=

=n

j=1

S ji=S j−1+1

rjm

P j(Ai)P j(X |Ai) =n

j=1

S ji=S j−1+1

rjm · 1

rj· aj

aj+bj=

n j=1

rjm · aj

aj+bj.(2)

Conform formulei lui Bayes,

P(Ω j | X) = P (Ωj)·P (X |Ωj)

P (X ) =

P (Ωj)·P j(A∩Ωj)P (X )

=

rjm· ajaj+bj

nj=1

rjm· ajaj+bj

.

Remarc˘ a. Pentru calcularea lui P(X) se poate folosi s, i formula probabi-

litat, ii totale, i.e.:

P (X ) = n j=1

P (Ω j)P (X |Ω j) .

Si pentru ca:

P (X |Ω j ) = P j(X ∩ Ω j) = ... = ajaj+bj

= P j (B j), ∀ j = 1, n avem:




P (X ) =n

j=1

P (Ω j)P j(B j). unde B j ∈K este evenimentul de a obt, ine o bila

alba dintr-o urna a grupei G j.

Caz particular: Se considera 5 urne ımpart, ite ın grupe astfel: grupa G1

formata din doua urne, ın care fiecare urna cont, ine 3 bile albe s, i 4 bile negre;grupa G2 formata dintr-o singura urna cu 2 bile negre; grupa G3 formata din

doua urne, ın care fiecare urna cont, ine 10 bile albe s, i 2 bile negre. Se cere:

(1) Care este probabilitatea ca dintr-o urna luata la ıntamplare sa extra-

gem o bila alba?

(2) Stiind ca am extras o bila alba, care este probabilitatea ca bila sa fie

dintr-o urna a grupei G3?

Rezolvare. Fie E j experimentul extragerii bilei dintr-o urna a grupei G j,

j = 1, 3 s, i E evenimentul extragerii unei bile. Fie de asemenea Ai mult, imeabilelor urnei Ui, i = 1, 5 s, i Ω j mult, imea bilelor grupei G j , j = 1, 3. Atunci

Ω1 = A1 ∪ A2, Ω2 = A3, Ω3 = A4 ∪ A5; r1 = 2, r2 = 1, r3 =2.

Consideram (Ω j , K j, P j) campul de probabilitate Laplace atas,at experi-

mentului E j , j = 1, 3 s, i (Ω,K,P) campul Laplace asociat experi-mentului E,

unde Ω =

Ω j, s, i K = P (Ω) iar P este definita ca ın 2.21.

(1) Fie X evenimentul ca bila extrasa sa fie alba s, i B j ∈ K j, este eveni-

mentul definit ca ın 2.23. Atunci:

P (X ) =3 j=1 P (Ω j)

·P j (B j) =P(Ω1)

·P1(B1) + P(Ω2)

·P2(B2) + P(Ω3)

·P3(B3)

= 25 · 3

7 + 1

5 · 0

7 + 2

5 · 10

12 = 6

35 + 1

3 = 53

105.

(2) Se aplica formula lui Bayes s, i avem:

P(Ω3 | X) = P (H 3)·P (X |Ω3)

P (X ) =

25· 1012

53105

= 3553

.

2˚. Trei firme F1, F2, F3 aduc spre vanzare la un magazin 200, 500

s, i respectiv 300 bucat, i din acelas, i produs. Produsul respecta termenul de

garant, ie cu probabilitat, ile: 0,96, 0,95 s, i respectiv 0,98. Se cere:

(a) probabilitatea ca un cumparator sa cumpere un produs care sa sedefecteze ın termenul de garant, ie.

(b) probabilitatea ca produsul ce nu respecta termenul de garant, ie sa

provina de la firma Fi, i = 1, 3.



2.4. Scheme clasice de probabilitate 29

Rezolvare . Fie E j experimentul cumpararii unui produs de la firma F j, j =

1, 3 s, i E experimentul cumpararii unui produs. Fie Ω j mult, imea produselor de

la firma F j. Consideram (Ω j, K j , P j ) campul Laplace atas,at experimentului

E j , j = 1, 3 s, i (Ω,K, P) campul Laplace atas,at experimentului E unde Ω =Ω j , K = P (Ω) iar P este definita ca ın 2.21.

Fie H j evenimentul ca produsul cumparat sa provina de la firma F j s, i

X evenimentul ca produsul cumparat sa nu respecte termenul de garant, ie.

(a) Pentru ca P (H 1) = 2001000

= 15

; P (H 2) = 5001000

= 12

s, i P (H 3) = 3001000

= 310

,

P (X |H 1) = 1 − 0, 96 = 0, 04; P (X |H 2) = 0, 05; P (X |H 3) = 0, 02 s, i folosind

formula probabilitat, ii totale avem:

P (X ) =3

j=1P (H j) · P (X |H j) =

1

5 · 4

100 +

1

2 · 5

100 +

3

10 · 2

100 = 0,039

(b)Folosind formula lui Bayes, se obt, in probabilitat, ile cerute :

P (H 1|X ) = P (H 1) · P (X |H 1)

P (X ) =

8

39; P (H 2|X ) =

25

39; P (H 3|X ) =

6

39;

2.4 Scheme clasice de probabilitate

Sub aceasta denumire sunt considerate unele probleme speciale din teoria

probabilitat, ilor care constituie modele de rezolvare pentru o clasa mare de

alte probleme.

2.4.1 Schema lui Poisson (sau schema binomiala gene-

ralizata)

Fie (Ω,K, P) un camp de probabilitate s, i evenimentele independente

Ai ∈ K, cu P(Ai) = pi,i = 1, n. Probabilitatea de a se realiza doar k

din cele n evenimente este egala cu coeficientul lui xk din polinomul:

r(x) = (p1x + q1) · (p2x + q2) · . . . · (pnx + qn); qi = 1 - pi, = P Ai,i =1, n.

Modelul matematic al schemei lui Poisson poate fi prezentat de n urne U1,

U2, . . . , Un ın fiecare gasindu-se bile albe s, i bile negre ın proport, ii cunoscute.




Din urna Ui se extrage o bila alba cu probabilitatea pi. Atunci probabilitatea

de a obt, ine k bile albe s, i n - k bile negre, cand din fiecare urna se extrage

cate o bila este coeficientul lui xk din polinomul:

r(x) = (p1x + q1)

·(p2x + q2)

·. . .

·(pnx + qn), unde: qi = 1 - pi, i = 1, n.

2.24.Aplicat,ie: Se dau 3 urne Ui, i = 1, 3. U1 cont, ine 2 bile albe s, i 3

bile negre, U2 cont, ine 4 bile albe s, i o bila neagra iar U3 cont, ine 3 bile albe

s, i 2 bile negre. Care este probabilitatea ca extragand cate o bila din fiecare

urna sa obt, inem 2 bile albe s, i una neagra?

Rezolvare : Fie (Ω,K, P) un camp de probabilitate asociat experimentului

precizat ın problema s, i Ai este evenimentul ca bila extrasa din urna Ui, sa fie

alba, i=1, 3. Evident ca evenimentele (Ai)i=1,n sunt independente. Problema

cere probabilitatea realizarii a 2 din cele 3 evenimente. Suntem ın cazul

schemei lui Poison cu n = 3, k = 2.

p1 = P (A1) = 25 ; p2 = P (A2) = 4

5 ; p3 = P (A3) = 35 . Conform cu

schema lui Poisson probabilitatea cautata va fi coeficientul lui x2 din dezvol-

tarea polinomului:

r(x) =25 · x + 3

5

· 45 · x + 1

5

· 35 · x + 2

5

;raspuns 58

125 .

2.4.2 Schema lui Bernoulli (sau schema binomiala).

Fie (Ω,K, P) un camp de probabilitate asociat unui experiment aleatorξ s, i A ∈ K cu P(A) = p.Probabilitatea ca ın n repetari ale experimentului

ξ , evenimentul A sa se realizeze de k ori s, i de n-k ori sa nu se realizeze este

coeficientul lui xk din dezvoltarea binomului (px + q)n, q = 1 - p, adica este

egal cu C kn pkq n−k. Modelul matematic al schemei lui Bernoulli poate fi dat

de o urna ın care se gasesc bile albe s, i bile negre ın proport, ie cunoscuta.

Probabilitatea de a obt, ine k bile albe din n extrageri dintr-o urna, punand

de fiecare data bila extrasa ınapoi, este P n,k = C kn pk · q n−k, unde p este

probabilitatea obt, inerii unei bile albe la o extragere s, i q = 1 - p. Deoarecebila extrasa se pune, de fiecare data ınapoi, aceasta schema se mai numes, te

s, i schema bilei ıntoarse.

2.25. Observat , ie: 1) Cele n extrageri dintr-o urna, cu revenirea bilei,




sunt echivalente cu n extrageri din n urne cu acelas, i cont, inut. Prin urmare

aceasta schema este un caz particular al schemei lui Poisson (U 1 ≡ U 2 ≡. . . ≡ U n ≡ U ; p1 = p2 = . . . = pn = p; s, i q 1 = q 2 = . . . = q n = q = 1 − p).

2) Consideram probabilitat, ile ce apar ın schema lui Bernoulli ca o funct, ie

de k, adica f(k) = C kn pk · q n−k, k ∈ 0, 1, 2, . . . , n s, i reprezentand-o grafic

obt, inem o schit, a de forma:

Din calcul, ca s, i de pe acest grafic se observa ca:

−probabilitat, ile combinat, iilor (de k bile albe s, i n - k bile negre) au valorimici la ınceputul s, i sfars, itul dezvoltarii binomului.

- probabilitat, ile cresc atingand ıntr-un punct oarecare al dezvoltarii, va-

loarea maxima, care corespunde num˘ arului celui mai probabil sau combinat ,iei

celei mai probabile apoi descres ,te.

Spre exemplu o urna ın care se gasesc 2 bile albe s, i 3 negre. Se fac 7

extrageri. Probabilitat, ile de a obt, ine respectiv 0, 1, 2, ..., 7 bile albe sunt

egale cu:

C

0

7 p

0

q

7

; C

1

7 pq

6

; C

2

7 p

2

q

5

; C

3

7 p

3

q

4

; C

4

7 p

4

q

3

; C

5

7 p

5

q

2

; C

6

7 p

6

q

1

; C

7

7 p

7

q

0

unde p = 25

s, i q = 35

.

Comparand acest exemplu cu figura de mai sus (sau facand calculele)

se gases, te ca extragerea a 3 - 4 bile albe din 7 extrageri are probabilitate

maxima.

3) Se observa ca:n

k=0

P n;k =n

k=0

f(k) = 1.

2.26. Aplicat,ie: Se arunca doua zaruri de 15 ori. Care este probabili-

tatea sa apara de 4 ori suma 7.

Rezolvare : Probabilitatea ca la o aruncare sa apara suma 7 este

1

6 (sunt6 cazuri favrabile: (1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2); (6,1) s, i 36 cazuri posibile.

Deci: p = 16

s, i q = 56

, n = 15, k = 4.

r(x) =16 · x + 5

6

15,raspuns C 415

16

4 · 56

11.




2.4.3 Schema lui Bernoulli cu mai multe stari (schema

multinomiala).

Modelul matematic al schemei multinomiale este dat de o urna U ce

cont, ine bi bile de culoare Ci. Daca pi este probabilitatea ca din urna sa fie

extrasa o bila de culoare Ci, i = 1, n, atunci probabilitatea ca din s extrageri

sa obt, inem ri bile de culoare C i, i = 1, n(s = r1 + r2 + . . . + rn) este:

P s;r1,r2,...,rn = s!

r1!r2!...,rn! pr11 , pr2

2 , ..., prnn ,

s, i se numes, te formula polinomial˘ a a probabilit˘ at , ii corespunzatoare unei

n stari. Probabilitat, ile p1, p2, . . . , pn verifica relat, ia p1 + p2 + . . . + pn = 1.

2.27. Aplicat, ie: Se arunca un zar de 5 ori. Care este probabilitatea ca

de 2 ori sa obt, inem fat,a cu un punct s, i de 2 ori fat,a cu 2 puncte s, i o data

nici una din aceste 2 fet,e?

Avem: s = 5; r1 = 2; r2 = 2; r3 = 1; p1 = 16

; p2 = 16

; p3 = 46

= 23

s, i

P s;r1,r2,r3 = 5!2! ·2! ·1! ·

16

2 · 16

2 · 23

1= 5

324 .

2.4.4 Schema bilei neıntoarse (schema hipergeometri-

ca)

Se considera o urna cont, inand A bile albe s, i B bile negre. Din aceasta

urna se fac n extrageri succesive, fara a se pune bilele ınapoi ın urna. Se

pune problema sa se calculeze probabilitatea P ca din cele n bile extrase, a

sa fie albe s, i b sa fie negre (a + b = n).

Pentru rezolvare se aplica definit, ia clasica a probabilitat, ii. Deoarece

numarul cazurilor posibile va fi C a+bA+Bs, i numarul cazurilor favorabile este

C aA ·

C bB

avem ca : P = C aA·C bB

C a+bA+B. In general se considera o urna ın care

sunt Ni bile de culoarea Ci, i = 1, k. Atunci probabilitatea ca ın n extrageri

succesive, sa obt, inem ni bile de culoare Ci, i = 1, k(n1 + n2 + ... + nk = n),

fara sa se puna bila ınapoi este:




P =C n1

N 1 · C n2

N 2 · ... · C nkN k

C n1+n2+...+nkN 1+N 2+...+N k

.

2.28. Aplicat,ie: 1˚. La un magazin au fost aduse spre vanzare 10

mas, ini din care 4 nu funct, ioneaza. Care este probabilitatea ca din 5 mas, ini,luate la ıntamplare, 2 sa fie defecte?

Suntem ın cadrul schemei bilei neıntoarse A = 4; B = 6; a = 2; b = 3,

n=5. Probabilitatea cautata este: C 24 ·C 36

C 410= 10

21.

2˚. Dintr-un lot de 100 de mas, ini, 7 s-au vandut ın prima zi. Stiind ca

45 provin de la firma F1, 37 de la firma F2 s, i restul de la firma F3, se cere:

(a) probabilitatea ca din cele 7 mas, ini 4 sa fie de la firma F1;

(b) probabilitatea ca cel put, in 3 sa nu fie de la firma F3;

(c)probabilitatea ca 3 mas, ini sa fie de la firma F1, o mas, ina de la firmaF2 s, i 2 mas, ini de la firma F3.

Rezolvare . (a) Fie (Ω,K, P) campul Laplace asociat experimentului pre-

cizat ın problema. Daca A este evenimentul ca din cele 7 mas, ini vandute ın

prima zi, 4 sa fie de la firma F1, atunci P(A) se calculeaza cu schema bilei

nerevenite unde A = 45, B = 55, a = 4 s, i b = 3. Deci: P (A) = C aAC BB

C a+bA+B=

C 445C 355C 7100

.

(b) Fie B evenimentul ca cel put, in 4 mas, ini sa fie de la firma F3. In

acest caz este mai us,or sa se calculeze probabilitatea evenimentului B (care

este evenimentul ca cel mult 3 mas, ini sa fie de la firma F3). Daca Con-sideram Ai evenimentul ca de la firma F3 sa fie i mas, ini, i = 1, 3, atunci

B= A1 ∪ A2 ∪ A3 s, i Ai, i = 1, 3 disjuncte doua cate doua. Rezulta,

conform cu schema bilei nerevenite (A = 45, B = 55, a = i, b = 7 - i) c a:

P (B) =3

i=1

P (Ai) =3

i=1

C i45C 7−i55

C 7100, P (B) = 1−P (B) . (c) Se aplica schema bilei

nerevenite cu trei culori (n1 = 3, n2 = 1, n2 = 2, N1 = 45, N2 = 37 s, i N3 =

18) s, i avem ca probabilitatea avuta este: p = C 345·C 137·C 218

C 7100.

2.4.5 Schema lui Pascal (geometrica)

Modelul matematic al acestei scheme este dat de o urna U ın care se

gasesc bile albe s, i bile negre (ın proport, ii cunoscute) din care se fac extrageri




ıntamplatoare, cu revenirea bilei, pana cand se obt, ine o bila alba. Probabili-

tatea ca la extragerea k (k ≥ 1) sa se obt, ina prima bila alba este p · qk−1(p este

probabilitatea obt, inerii bilei albe s, i q = 1 - p). Intr-adevar, fie A evenimentul

ca la extragerea k sa apara prima bila alba s, i Bi evenimentul ca la extragerea

i, i = 1, k − 1sa se obt, ina o bila neagra. Deoarece structura urnei este aceeas, i

ınaintea oricarei extrageri, evenimentele Bi, i = 1, k − 1sunt independente.

P(A) = P(B1 ∩ . . . ∩ Bk−1 ∩ Bk) = P(B1) . . .P(Bk−1 · P (Bk) = p ·qk−1.

2.28. Aplicat,ie. Din cele 15 firme ale unei societat, i comerciale, 5

sunt banuite de evaziune fiscala. Stiind ca la fiecare intervent, ie a garzii

financiare se controleaza doar o firma, sa se gaseasca probabilitatea ca la a

s,asea intervent, ie sa se depisteze o firma ın culpa.

Rezolvare . Fie A evenimentul ca la a s,asea intervent, ie sa se gaseasca o

firma cu evaziune fiscala s, i Bi evenimentul ca la intervent, ia i,i = 1, 6 sa se

gaseasca o firma ce funct, ioneaza legal. Atunci avem: A = B1 ∩ B2 ∩B3 ∩ B4 ∩ B5 ∩B6.

Si cum q = P (Bi) = 1015

= 23

s, i p = 1 − q = 13

rezulta: P (A) = 13

23

6−1=

13

23

5.



Capitolul 3

Variabile aleatoare

3.1 Definit, ia variabilei aleatoare

In viat,a de toate zilele ıntalnim frecvent marimi care iau valori ce se

schimba sub influent,a unor factori ıntamplatori. As,a sunt, de exemplu,

numarul zilelor dintr-un an ın care cade ploaia ıntr-o anumita regiune, timpul

de funct, ionare al unui dispozitiv fara defect, iuni, masa unui anumit fruct luat

dintr-o anumita recolta etc.

Marimile care iau valori ıntamplatoare sunt legate de anumite experient, e

aleatoare, iar fiecare valoare pe care o iau este ın funct, ie de rezultatul experient,ei.

Pentru modelarea matematica a conceptului de marime aleatoare consi-deram un camp de evenimente (Ω, K ).

3.1. Definit,ie: O aplicat, ie X : Ω →R cu proprietatea ca

∀t ∈ R, At = ω ∈ Ω|X (ω) < t ∈ K (3.1)

se numes, te variabil˘ a aleatoare (unidimensional˘ a). Mult, imea At se mai

noteaza cu (X < t). X (ω) se numes, te valoare a variabilei aleatoare X.

3.2 Observat,ii. (1) Deoarece pentru ∀t ∈ R, X (ω) < t ⇔ X (ω) ∈

(−∞, t) ⇔ ω ∈ X −1(−∞, t), rezulta ca At = X −1((−∞, t)), ∀t ∈ R s, i astfel

relat, ia ?? se poate scrie s, i sub forma :

∀t ∈ R X −1((−∞, t)) ∈ K (3.2)

35



36 Capitolul 3. Variabile aleatoare

(2) Variabila aleatoare este o marime legata de o experient, a aleatoare,

care ia valori ıntamplatoare ın funct, ie de rezultatul experient, ei. Prin urmare

o variabila aleatoare este o corespondent, a ıntre mult, imea rezultatelor posibile

Ω ale experient, ei aleatoare s, i mult, imea numerelor reale.

(3) Fiecarei variabile aleatoare X i se asociaza familia de evenimente

(At)t∈R, cu At definit mai sus. Deci X → (At)t∈R.

3.3.Exemple. (1) Se considera experimentul ce consta din aruncarea

unui zar, caruia i se asociaza campul de evenimente (Ω, K), Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6s, i K = P (Ω). Sa se arate ca funct, ia X : Ω → R, X (i) = i, i = 1, 6 este o

variabila aleatoare. Intr-adevar pentru ∀ t ∈ R avem:

At = ω ∈ Ω/X (ω) < t =

Ø ∈ K , t ≤ 1

1

∈ K , 1 < t

≤ 2

1, 2 ∈ K, 2 < t ≤ 3

1, 2, 3 ∈ K, 3 < t ≤ 4

1, 2, 3, 4 ∈ K, 4 < t ≤ 5

1, 2, 3, 4, 5 ∈ K, 5 < t ≤ 6

Ω ∈ K, 6 < t

.

(2) Legat de acelas, i experiment s, i acelas, i camp de evenimente(Ω, K) ca

ın exemplul (1), funct, ia Y : Ω → R, Y (i) = 7 − i, i = 1, 6 este o variabila

aleatoare. Intr-adevar pentru ∀t ∈ R avem:

Bt = ω ∈ Ω/Y (ω) < t =

Ø ∈ K, t ≤ 1

6 ∈ K, 1 < t ≤ 2

5, 6 ∈ K, 2 < t ≤ 3

4, 5, 6 ∈ K, 3 < t ≤ 4

3, 4, 5, 6 ∈ K, 4 < t ≤ 5

2, 3, 4, 5, 6 ∈ K, 5 < t ≤ 6

Ω ∈ K, 6 < t

.

(3) (Ω, K ) un camp de evenimente s, i a ∈ R. Funct, ia X : Ω → R, X (ω) =

a, ∀ω ∈ Ω este variabila aleatoare.

Intr-adevar At = ω ∈ Ω jX (ω) < t =

∅ ∈ K, t ≤ a

Ω ∈ K, a < t.

Funct, ia X definita mai sus este o variabila aleatoare constanta. Mult, imea



3.1. Definit, ia variabilei aleatoare 37

acestor variabile aleatoare este izomorfa cu R.

Deci orice constanta ”a” poate fi considerata ca o variabila aleatoare.

(4) Fiind dat un camp de probabilitate (Ω, K), oricarui eveniment E ∈ Kıi corespunde o variabila aleatoare X E : Ω

→R, X (ω) = χE (ω),

∀ω ∈ Ω. Intr-adevar, pentru ca At =

Ø, t ≤ 0

E, 0 < t ≤ 1

Ω, 1 < t

rezulta ca At ∈

K, ∀t ∈ R.

3.4.Exercit,iu. Acelas, i enunt, ca ın Exemplul 3.3, 1 pentru: (a)X (i) =

2i − 1, (b)X (i) = 2i+13

, (c)X (i) = 5i2−2i+13

.

3.5.Propozit,ie. Fie (Ω, K) un cˆ amp de evenimente s

,i aplicat

,ia X : Ω →

R. Atunci urm˘ atoarele afirmat ,ii sunt echivalente :

(1)X este variabil˘ a aleatoare ;

(2)∀a ∈ R, A2 = ω | X (ω) ≤ a ∈ K;

(3)∀b ∈ R, A3 = ω | X (ω) > b ∈ K;

(4)∀b ∈ R, A4 = ω | X (ω) ≥ b ∈ K(5)∀I interval finit ın R. A5 = ω | X (ω) ∈ I ∈ K ;

Demonstrat ,ie : (1)⇒(2). Din (1) rezulta ca: ∀a ∈ R,

Bn =

ω|X(ω) < a + 1n

∈ K, ∀n ∈ N*. De aici s, i din A2 = ω/x(ω) ≤a

= n

≥1 ω

|X(ω)

< a + 1

n rezulta A2

∈ K, adica (2).

(2)⇒(1). Din (2) avem ca ∀a ∈ R avem

ω|X(ω) < a − 1n

∈ K, ∀n ∈N*. s, i pentru ca A1 = ω/x(ω) < a =

n≥1

ω|X(ω) < a − 1

n

rezulta ca

A1 ∈ K. Deci X este variabila aleatoare pe (Ω, K).

(2)⇒(3). evident, caci A3 = A2 ∈ K pentru a = b.

(3)⇒(4). evident, caci A4 = A1 ∈ KFie I = (a, b). Atunci A5 = ω | X (ω) ≤ bnω | X (ω) ≥ a = A1 \ A3 ∈

K.

Daca I ∈

[a, b), (a, b], [a, b]

se procedeaza analog. Deci

(1)⇒(5).

In general, pe acelas, i camp de evenimente (Ω, K) se pot defini mai multe

variabile aleatoare care se raporteaza ıntre ele conform cu urmatoarea propozit, ie.




3.6. Propozit,ie: Pentru orice doua variabile aleatoare X, Y pe campul

de evenimente (Ω, K ) avem:

(1) ω | X (ω) < Y (ω) ∈ K;

(2)

ω

| X (ω)

≤ Y (ω)

∈ K;

(3) ω | X (ω) = Y (ω) ∈ K.

Demonstrat ,ie : (1) Daca rnn ≥ 1 este s, irul numerelor rat, ionale atunci,

pentru ca mult, imea Q este densa ın R (adica, ıntre orice doua numere reale

se afla un numar rat, ional) avem:

ω | X (ω) < Y (ω) =

n≥1 (ω|X(ω) < rn < Y(ω))

Dar ω | X (ω) < rn < Y (ω) = ω | X (ω) < rn ∩ ω | rn < Y (ω).

X este variabila aleatoare s, i ω | rn < Y (ω) = ω|Y (ω) ≤ rn ∈ K rezulta

(1).

(2) ω | X (ω) ≤ Y (ω) = ω|X(ω) > Y(ω) ∈ K.

(3) ω | X (ω) = Y (ω) = ωjX (ω) ≤ Y (ω)nω | X (ω) < Y (ω) ∈ K.

3.7. Remarca. Daca se ia ın 3.6. (3), Y (ω) = a, a ∈ R, arbitrar fixat

se obt, ine ca X : Ω → R, X (ω) = a, ∀ω ∈ Ω este variabila aleatoare, i.e.

ω | X (ω) = a ∈ K (rezultatul din 3.4. (3)).

Fie (Ω, K) un camp de evenimente s, i variabilele aleatoare X i : Ω → R, i =

1, n.

3.8. Definit,ie. O aplicat, ie X : Ω → Rn, unde X (ω) = (X 1(ω), . . . ,

X n(ω)), ∀ ω ∈ Ω, se numes, te variabil˘ a aleatoare n dimensional˘ a sau

vector aleator n dimensional . Variabilele aleatoare X 1, X n se numesc,

ın acest caz, variabile aleatoare marginale .

In acest curs vom considera n = 2. Atunci X 1 s, i X 2 sunt variabilele

aleatoare marginale.

In cele ce urmeaza vom nota V (Ω, K) = X : Ω → R | X variabila

aleatoare .

3.2 Tipuri de variabile aleatoare

Fie X o variabila aleatoare (nu conteaza dimensiunea) pe campul de eve-

nimente (Ω, K).



3.2. Tipuri de variabile aleatoare 39

3.9. Definit,ie: Spunem ca X este variabil˘ a aleatoare discret˘ a daca

ImX este cel mult numarabila. Daca ImX este finita, lui X i se mai spune

variabil˘ a aleatoare simpl˘ a . Spunem ca X este variabil˘ a aleatoare

continu˘ a daca ImX este un interval din R finit sau infinit.

Remarc˘ a: Aceasta definit, ie a variabilei aleatoare continue cat s, i definit, ia

3.27 este data pentru X ca vairabila aleatoare s, i nu ca funct, ie (unde domeniul

de definit, ie Ω trebuie sa fie ınzestrat cu o topologie, ceea ce aici nu este

cazul). Ment, ionam, de asemenea, ca mult, imea variabilelor aleatoare discrete

s, i continue nu epuizeaza toate variabilele aleatoare definite pe un camp de

probabilitate.

In general la o variabila aleatoare discreta ne intereseaza sa cunoas,tem

probabilitatea ca variabila aleatoare sa ia o valoare bine determinata, pe

cand la o variabila aleatoare continua intereseaza cunoas, terea probabilitat, ii

ca variabila sa ia valori cuprinse ıntr-un interval.

3.10. Lema. Fie (Ω, K) un cˆ amp de evenimente. Atunci orice X ∈V (Ω, K) discret˘ a determin˘ a pe Ω un sisten complet de evenimente evenimente

din K.

Demonstrat ,ie. Fie I o mult, ime cel mult numarabila s, i X ∈ V (Ω, K)

discreta cu X (Ω) = xi ∈ R | i ∈ I .

Daca notam Ωi = X −1(

xi

), i

∈ I , atunci :

(a) ∀i ∈ I , Ωi ∈ K ,

(b) Ωi ∩ Ω j = ∅, i , j ∈ I cu i = j ,

(c)

i∈I Ωi = Ω.

Intr-adevar, conform 3.7, Ωi ∈ K, ∀i ∈ I , i.e. (a). Daca pentru i = j∃ω ∈Ωi ∩ Ω j , atunci X (ω) = xi = x j = X (ω). Rezulta contradict, ie s, i deci (b).

Evident ca

i∈I Ωi ⊆ Ω. Daca ω ∈ Ω, ∃ j ∈ I astfel ıncat X (ω) = x j i.e.

ω ∈ X −1(x j) ⊂ Ω j ⊂

i∈I Ωi .Rezulta Ω ⊆

i∈I Ωi. Deci (c)

Repartit,

ia unei variabile aleatoare discrete. Fie (Ω, K, P ) un campde probabilitate. Pentru a da o variabila aleatoare discreta nu este suficient

a enumera toate valorile sale posibile, deoarece mai multe variabile aleatoare

pot lua o aceeas, i valoare ınsa probabilitat, ile de a lua o aceeas, i valoare sunt




diferite de la o variabila la alta. De aceea o variabila aleatoare discreta X,

se da prezentand valorile sale xi, xi ∈ I, s, i odata cu acestea probabilitat, ile

pi, i ∈ I, corespunzatoare (pi este probabilitatea ca variabila aleatoare X sa

ia valori xi, adica pi = P(X = xi), i

∈ I). Mult, imea ale carei elemente sunt

perechile ordonate (xi, pi), i ∈ I, defines, te repartit ,ia variabilei aleatore X.

De obicei repartit, ia lui X se scrie sub forma unui tablou cu doua linii, ın

care prima linie cont, ine toate valorile posibile iar a doua linie probabilitat, ile

corespunzatoare, astfel:

X :

x1 x2 ... xn ...

p1 p2 ... pn ...

pe scurt X :

xi

pi

i ∈ I

Tinand seama de 3.10 gasim ca X =

i∈I xiχΩi, unde (Ωi)i∈I este un

sistem complet de evenimente al lui Ω, s, i ca S = (X = xi)/i ∈ I este

un sistem complet de evenimente. Prin urmare i∈I pi = 1. Deci ıntr-unexperiment, o variabila aleatoare ia una s, i numai una din valorile sale posibile.

In cazul unei variabile aleatoare discrete X, relat, ia ?? devine: ∀i ∈ I, Ai =

ω ∈ Ω/X (ω) = xi ∈ K (1′′)

Uneori pentru o varaibila aleatoare discreta, ın loc de Ai dat de (1′′) vom

scrie pe scurt (X = xi), i ∈ I .

Observat ,ii : (1). Pentru ∀a ∈ R, vom nota a :

a

1

. De aice rezulta ca

∀a ∈ R se poate identifica cu variabila aleatoare a : a

1

.

(2). Oricarui eveniment A ∈ K, P (A) = p, i se poate asocia variabila

aleatoare X , care ia valorile 0 s, i 1, atunci cand A este un es,ec, respectiv un

succes. Deci se poate scrie: A −→ X :

0 1

q p

, unde q = 1 − p.

3.3 Variabile aleatoare independente

Fie (Ω, K, P ) un camp de probabilitate. Deoarece variabilele aleatoare

se definesc folosind evenimentele, are sens conceptul de independent, a folosit

pentru acestea. Fie X → (Ax)x∈R s, i Y → (By)y∈R.



3.3. Variabile aleatoare independente 41

3.11. Definit,ie. Spunem ca variabilele aleatoare X, Y : Ω → R sunt

independente daca ∀x, y ∈ R, evenimentele Ax, By sunt independente.

Din 2.7 rezulta ca variabilele aleatoare X s, i Y sunt independente daca

P ((X < x) ∩ (Y < y)) = P (X < x). P (Y < y), ∀x, y ∈ R. (3.3)

In loc de P ((X < x)∩(Y < y)) se scrie pe scurt P (X < x, Y < y). Astfel

putem spune ca variabilele aleatoare

X :

xi

pi

i = 1, m

s, i Y :

y j

q j

j = 1, n

sunt independente daca

P (X = xi, Y = y j) = P (X = xi).P (Y = yj), ∀i = 1, m, ∀ j = 1, n(3′)

(i.e. daca evenimentele (X = xi) s, i (Y = y j) sunt independente, ∀i =1, m, j = 1, n).

Not, iunea de independent, a a doua variabile aleatoare se extinde la o fa-

milie F = (X i)i∈I cel mult numarabila de variabile aleatoare pe (Ω, K, P ).

3.12. Definit,ie. Daca mult, imea I = 1, 2, .. . , r (i.e. este finita), spu-

nem ca variabilele aleatoare ale familiei F sunt independente daca P (X 1 <

x1, . . . , X r < xr) = P (X 1 < x1) . . . P (X r < xr), ∀xi ∈ R, i = 1, r.

Daca I este numarabila spunem ca familia de variabile aleatoare F este

o familie de variabile aleatoare independente r cate r daca oricare r variabilealeatoare din F sunt independente.

De regula mult, imea familiilor de variabile aleatoare independente r cate r

se noteaza cu (SK ) dupa init, ialele matematicienilor H. Steinhaus s, i M. Kac

care au introdus acest tip de independent, a.

Spunem ca variabilele aleatoare (X i)i∈I sunt mutual independente

daca variabilele aleatoare X i s, i X j sunt independente, ∀i = j, i, j ∈ I .

Observat ,ie. (SK ) - independente implica mutual independente. Reci-

proca nu este adevarata.Exemplu. Legat de un experiment aleator E se considera un camp de

probabilitate (Ω, K, P ) s, i A ∈ K. Se repeta experimentul E de n ori. La

repetarea j, j = 1, n, evenimentului A i se asociaza variabila aleatoare Y j :




0 1

q p

, q = 1 − p. Aratat, i ca variabilele aleatoare Y 1, Y 2, · · · , Y n sunt

mutual independente.

3.4 Variabile aleatoare bidimensionale

Fie Z : Ω → R2, Z = (X, Y ) o variabila aleatoare bidimensionala discreta

definita pe campul de probabilitate (Ω, K , P ) ale carei componente X s, i Y

au repartit, iile X :

xi

pi

i ∈ I

s, i Y :

y j

q j

j ∈ J

.

3.13.Lema. Daca (Ω′i)i∈I s, i (Ω′′

j ) j∈J sunt partit, iile evenimentului sigur

corespunzator lui X s, i respectiv Y , atunci (Ωij = Ω′i∩Ω′′

j )(i,j)∈I ×J este partit, ia

lui Ω corespunzatoare lui Z .Demonstrt

,ie. Conform cu 3.10. Ω′

i = ω ∈ Ω | X (ω) = xi, i ∈ I s, i

Ω′′ j = ω ∈ Ω | Y (ω) = y j, j ∈ J . Se observa ca Ωij = ω ∈ Ω | X (ω) = xi

s, i Y (ω) = y j, s, i pentru ca Ω′i, Ω′′

j ∈ K rezulta Ωij ∈ K, ∀(i, j) ∈ I × J .

Deci trebuie sa aratam ca: (a) Ωij ∩ Ωkℓ = ∅, daca i = k sau j = ℓ.

Tinand seama ca pentru i = k, Ω’i ∩ Ω’k = ∅, avem: Ωij ∩ Ωkℓ =

(Ω′i ∩ Ω′′ j ) ∩ (Ω′k ∩ Ω′′

ℓ ) = (Ω′i ∩ Ω′

k) ∩ (Ω′′ j ∩ Ω′′

ℓ ) = ∅ ∩ (Ω′′ j ∩ Ω′′

ℓ ) = ∅

(b) i,j

Ωij = Ω. Intr-adevar i,j

Ωij = i,j

(Ω′i Ω′′

j ) = i j (Ω′i Ω′′

j ) =

i

Ω′

i

j

Ω′′ j

=

i

(Ω′i

Ω) =

i

Ω′i = Ω

3.14. Lema. Daca pi. = P (Ω′i), p.j = P (Ω′′ j) s, i pij = P (Ωij), ∀(i, j) ∈I × J, atunci avem:

(a) j

pij = pi., ∀i ∈ I ;

(b)

i

pij = p. j, ∀ j ∈ J ;

(c) i,j

pij = 1.

Demonstrat ,ie . (a) Pentru ca Ω′

i = Ω′i ∩ Ω = Ω′

i ∩∪ jΩ′′

j

= ∪ j(Ω′

i ∩ Ω′′ j ) =

∪ j Ωij rezulta pi. = P (Ω′i) = P (∪ j Ωij) =

j

P (Ωij) = j

pij.

Analog se obt, ine (b).



3.4. Variabile aleatoare bidimensionale 43

(c) 1 =

i

pi. =

i

j

pij.

Deoarece X s, i Y sunt variabile aleatoare discrete, rezulta ca Z (Ω) =

z ij = (xi, y j) | (i, j) ∈ I × J este o mult, ime cel mult numarabila, i.e. Z

este o variabila aleatoare discreta s, i avem:

Z :

z ij

pij

(i,j)∈I ×J

sau Z :

(xi, y j)

pij

(i,j)∈I ×J

Aceasta este o repartit, ie bidimensionala. Repartit, ia lui Z este repartit, ia

comuna a lui X s, i Y.

Daca X s, i Y sunt variabile aleatoare independente, pij = pi.qj, ∀(i, j) ∈I × J s, i repartit, ia lui Z are forma

Z : (xi, y j)

pi · q j

(i, j) ∈ I × J .

In cazul cand I = 1, . . . , m s, i J = 1, . . . , n (i.e. X, Y sunt variabile

aleatoare simple) repartit, ia lui Z se poate scrie sub forma urmatorului tabel:

X \Y y1 y2 . . . y j . . . yn P (X = xi)

x1 p11 p12 . . . . . . . . . p1n p1.

x2 p21 p22 . . . . . . . . . p2n p2.

... ...

... ...

... ...

... ...

xi pi1 pi2 . . . pij . . . pin pn. = j pij

... ...

... ...

... ...

... ...

xm pm1 pm2 . . . . . . . . . pmn pm.

P (Y = y j) p.1 p.2 . p.j = j

pij . pn

Repartit , ii marginale. Evenimentele

Ω′i

i=1,m

,

Ω′′ j

j=1,n

se numesc

evenimente marginale ale lui Z; probabilitat, ile ( pi.)i=1,m , ( p. j ) j=1,n

se nu-

mesc probabilit˘ at ,i marginale ale lui Z; repartit, iile componentelor vectorului

bidimensional Z se scriu:

X :

x1 x2 ..... xm

p1. p2. ..... pm.

, Y :

y1 y2 ..... yn

p.1 p.2 ..... p.n

(3.4)




s, i se numesc repartit ,ii marginale ale lui Z corespunzatoare lui X, respectiv

Y.

Deci daca se cunoas,te repartit, ia vectorului aleator Z = (X, Y ), atunci

se pot determina repartit, iile marginale ale lui Z corespunzatoare fiecariei

componente. Reciproca nu este adevarata decat daca variabilele aleatoare X

s, i Y sunt independente.

In acest ultim caz avem: pij = P (X = xi, Y = y j ) = P (X = xi) · P (Y =

y j) = pi.p. j , i = 1, m; j = 1, n.

Repartit , ii condit , ionate. Fie j ∈ J astfel ıncat P (Y = y j) = 0. Atunci

P (X = xi |Y = y j ) = P (X =xi,Y =yj)

P (Y =yj) = pij

p.j, ∀ i = 1, m

Probabilitat, iele p(xi |y j ) = P (X = xi |Y = y j ), i = 1, m , j = 1, n se numesc

probabilitat, i condit, ionate. Deoarecem

i=1

P (X = xi

|Y = y j ) = 1, se poate

considera v.a. notata X |Y = y j cu repartit, ia

X |Y = y j :

x1 x2

p1j p.j

p2j p.j

... xm

... pmj p.j

textsau X |Y = y j :

xi

pij p.j

i=1,m

(3.5)

Aceasta repartit, ie se numes, te repartit ,ia lui X condit

,ionat˘ a de Y = yj . Analog

se defines, te v.a. Y

|X = xi (daca P (X = xi)

= 0 cu repartit, ia: Y

|X = xi y1 y2

P i1 pi.

P i2 pi.

... yn

... P in pi.

sau Y |X = xi :

yi

pij pi.

i=1,n

(5’) numita reprtit ,ia

luiY condit ,ionat˘ a de X = xi.

3.15. Exemple. (1) Pe campul de probabilitate (Ω, K, P ) se considera

variabilele aleatoare simple s, i independente:

X :

−1 0

13

23

, Y :

0 1 316

13

12

.

Sa se scrie repartit, ia variabilei aleatoare bidimensionale Z = (X, Y ).

Rezolvare. Din cele prezentate mai sus rezulta ca Z are repartit, ia:

Z :

(−1, 0) (−1, 1) (−1, 3) (0, 0) (0, 1) (0, 3)

118

19

16

19

29

13

sau sub forma de tabel:




3.5 Operat, ii cu variabile aleatoare

In general operat, iile cu variabile aleatoare provin din operat, iile cu funct, ii.

Aceste operat, ii conduc la variabile aleatoare noi.

3.16. Teorema. Daca X, Y sunt variabile aleatoare pe campul de pro-babilitate (Ω, K, P ), atunci avem:

(1.)a + X, a · X, ∀a ∈ R;

(2.)|X |, X n, n ≥ 2, 1X

, 0 /∈ I mX ;

(3.)X ∗ Y, ∗ ∈ +, −, ·, :

(4.) max(X, Y ), min(X, Y );

sunt variabile aleatoare pe campul de probabilitate (Ω, K, P ).

Demonstrat ,ie . (1) Daca a = 0, atunci Z = aX este o variabila aleatoare

(Z = 0 este variabila aleatoare constanta).Fie acum a = 0 s, i m ∈ R. Atunci:

ω/(a·X )(ω) < m = ω/a·X (ω) < m =

w/X (w) < m

a ∈ K, a > 0;

ω/X (ω) > ma ∈ K, a < 0.

Rezulta ω|(aX )(ω) < m ∈ K, ∀m ∈ R.

Deci a · X este variabila aleatoare, ∀a ∈ R.

(2) w/(X + a)(w) < m = w/X (w) < m − a ∈ K, (∀)m ∈ R.

Deoarece

ω

|(X + a)(ω) < m

∈ K,

∀m

∈ R, rezulta ca X + a este

variabila aleatoare.

(3) ω/|X |(ω) < m = ω/|X (ω)| < m = ω ∈ K, m ≤ 0;

ω| − n√ m < X (ω) < n

√ m ∈ K, m > 0.

(3.5 sau ω/ − m < X (ω) < m = ω/X (ω) ≥ −m ∩ ω/X (ω) < m ∈K).

Deci pentru ∀ m ∈ R ω | |X|(ω) < m ∈ K. Rezulta ca |X| aste variabila

aleatoare.

(4) Daca n este par, atunci

ω | X n(ω) < m =

∅ ∈ K, m ≤ 0

ω |− n√ m < X (ω) < n

√ m ∈ K, m > 0

s, i daca n

este impar, atunci ω | X n(ω) < m = ω | X (ω) < n√

m ∈ K.



3.5. Operat, ii cu variabile aleatoare 47

In ambele cazuri ω|X n(ω) < m ∈ K, ∀m ∈ R. Rezulta ca X n este

variabila aleatoare, ∀n ≥ 2, n ∈ N.

(5)

ω| 1X

(ω) < m

=

=

ω|X (ω)ω|X (ω) > 1m ∈ K, m < 0

ω|X (ω) < 0 ∈ K, m = 0

ω|X (ω) < 0ω|X (ω) > 0ω|X (ω) > 1

m

∈ K, m > 0

.

Rezulta ca ω 1

X

(ω)< m ∈ K, ∀ m ∈ R. Deci 1

X este variabila alea-

toare.

(6) Pentru orice m ∈ R ω / (X − Y) (ω) < m = ω / X(ω) < Y(ω)

+ m ∈ K (se aplica punctul (2) s, i apoi teorema 3.6.). Deci X − Y este

variabila aleatoare.

Din X + Y = X − (−Y ) s, i respectiv X · Y = 14 [(X + Y )2 − (X − Y )2]

rezulta ca X + Y s, i respectiv X · Y sunt variabile aleatoare;

(7) Deoarece X Y

= 1Y ·X , rezulta X

Y este variabila aleatoare, daca 0 /∈ ImY.

(8) Pentru ∀ m ∈ R avem ω / max (X, Y)( ω) < m = ω / X(ω) <

m ∩ ∩ ω / Y(ω) < m ∈ K.

Deci max(X, Y ) este variabila aleatoare. Acest lucru, rezulta mai direct

din relat, ia max(X, Y ) = X +Y + |X −Y |2

. Pentru ca min (X, Y ) = −max(−X, −Y )

rezulta min(X, Y ) este variabila aleatoare (la fel s, i folosind relat, ia min(X, Y ) =

12 [X + Y − |X − Y |].

3.17. Observat,ie. Fie X, Y variabile aleatoare pe (Ω, K , P ) astfel

ıncat:

X :

xi

pi

i ∈ I

s, i Y :

y j

q j

j ∈ J

.

Atunci repartit ,iile variabilelor aleatoare a + X, a · X, X k, 1

X , X ± Y , X · Y

s, i X

Y sunt: a · X :

a · xi

pi

i ∈ I

; X + a :

a + xi

pi

i ∈ I

; X k :

x

k

i

pi

i ∈ I

; 1X : 1

xi

pi

i ∈ I

, cu 0 /∈ ImX, ∀i ∈ I ; X ±Y : xi ± y jpij

(i, j) ∈ I x J

;

X .Y :

xiy j

pij

(i, j) ∈ I xJ

; X Y

:

xiy j

pij

(i, j) ∈ I x J

0 /∈ I mY unde:



3.6. Funct, ia de repartit, ie. Densitate de repartit, ie 49

⇒ Z3 :

−3 −1 0 2 6

435

135

2535

135

435

.

(d) X Y

= 1Y · X . Deoarece 0 ∈ ImY = 0, 1, 3, rezulta ca nu se poate

calcula 1Y

s, i deci nici X Y

.

2. Cu notat, iile din Exemplul din pag.42, sa se arate ca Y =n

j=1 Y j : k

pk

k = 0, n

, unde pk = pkq n−k.

3.6 Funct, ia de repartit, ie.

Densitate de repartit, ie

3.6.1 Definit,ii s

,i proprietat

,i imediate

Fie (Ω, K, P ) un camp de probabilitat, i s, i X o variabila aleatoare pe acest

camp.

3.19. Definit,ie. Funct, ia F : R → [0, 1] definita prin relat, ia

F (t) = P (X < t), ∀t ∈ R

se numes, te funct , ie de repartit , ie a variabilei aleatoare X .

Se observa ca valoarea funct, iei de repartit, iei ın t este probabilitatea eve-

nimentului At = ω ∈ Ω | X(ω) < t notat pe scurt (X < t). DeoareceAt ∈ K s, i funct, ia F se defines, te cu ajutorul unei probabilitat, i, rezulta ca

funct, ia F este bine definita.

3.20. Observat,ie. Din definit, ia de mai sus avem ca:

(a)P (X ≤ t) = F (t) + P (X = t); (b)P (X ≥ t) = 1 − F (t).

Intr-adevar: (a)P (X ≤ t) = P ((X < t) ∪ (X = t)) = P (X < t) + P (X =

t) = F (t) + P (X = t). (b)P (X ≥ t) = P (X < t) = 1 − P (X < t) = 1 − F (t).

3.21. Propozit,ie . Daca X este o variabila absoluta pe (Ω, K, P ) cu

funct, ia de repartit, ie F , atunci ∀a, b ∈ R, a < b avem:1.P (a ≤ X < b) = F (b) − F (a)

2.P (a < X < b) = F (b) − F (a) − P (X = a)

3.P (a < X ≤ b) = F (b) − F (a) + P (X = b) − P (X = a)




4.P (a ≤ X ≤ b) = F (b) − F (a) + P (X = b). Demonstrat ,ie .1. (a ≤

X < b) = (X < b) − (X < a) s, i cum (X < a) ⊂ (X < b) avem: P (a ≤X < b) = P [(X < b) − (X − a)] = P (X < b) − P ((X < b) ∩ (X < a)) =

P (X < b)

−P (X < a) = F (b)

−F (a). 2

. (a < X < b) = (X < b)

− (X

≤ a) s, i (X ≤ a) ⊂ (X < b). De aici ca mai sus avem: P(a < X < b) =

P(X < b) − P(X ≤ a) = P(X < b) − P(X < a)− P(X = a) = = F (b) −F (a) − P(X = a). 3. (a < X ≤ b) = (X ≤ b) − (X ≤ a) s, i (X ≤ a) ⊂(X ≤ b). De aici P(a < X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X ≤ a) = P(X < b) +

P(X = b) − P(X < a)− P(X = a) = F (b) − F (a) + P(X = b) − P(X =

a). 4. (a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X < a) s, i (X < a) ⊂ (X ≤ b). De

aici P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X < a) = F (b) + P(X = b) − F (a)

3.22. Lema. Daca a ≤

X ≤

b, atunci F(t) = 0, t ≤ a

1, t > b. Demonstrat

,ie .

Daca t ≤ a, atunci evenimentul (X < t) = ∅ (deoarece (X < t) ⊂ (X <

a) = ∅). Deci pentru t ≤ a, F (t) = P(X < t) = P(∅) = 0. Daca t > b,

atunci evenimentul (X < t) = Ω (deoarece Ω = (X ≤ b) ⊂ (X < t)). Deci

pentru t > b, F (t) = P(X < t) = P(Ω) = 1. 3.23. Observat,ie. O alta

demonstrat, ie pentru lema de mai sus este urmatoarea: F (t) = P(X < t) =

1 − P(X ≥ t) = 1 − P[(X > t) ∪ (X = t)] = = 1 − P(X > t) − P(X = t) =

1 − 1 − 0, t ≤ a

1 − 0 − 0, t > b

= 0, t ≤ a

1, t > b

. 3.24. Consecint,a. Fie X variabila

aleatoare pe campul de probabilitate (Ω,K, P) s, i F funct, ia sa de repartit, ie.

Cum X (ω) ∈ R, ∀ ω ∈ Ω, ∃ a, b ∈ R astfel ancat a < X < b. Conform 3.22

deoarece F(t )=0, ∀ t ≤ 0 ⇒ limx→−∞

F(x) = 0 s, i analog rezulta limx→∞

F(x) = 1.

3.25. Propozit,ie. (propriet˘ at

,i de caracterizare a funct

,iei de repartit

,ie ).

Funct, ia de repartit, ie a oricarei variabile aleatoare X are proprietat, ile:

(a)∀t1, t2 ∈ R, t1 < t2 ⇒ F (t1) ≤ F (t2)(F este crescatoare);

(b)F (+∞) := limt→∞

F(t) = 1; F (−∞) = limt→−∞

F(t) = 0;

(c)F (t−

0) = F (t)(F este o funct, ie continua la stanga).

Demonstrat ,ie .(a) t1< t2 ⇒(X < t1)⊂(X < t2) ⇒ P(X < t1) ≤ P(X <

t2) ⇔ ⇔ F (t1) ≤ F (t2)

(b) F (+∞): = limt→∞

F(t) = 1; F (−∞): = limt→−∞

F(t) = 0 (vezi 3.24)




(c) F (t -0) : = limn→∞

F(tn), oricare ar fi s, irul (tn)n ⊂ R convergent

crescator catre t. (i.e. tn ↑ t). Fiind dat un astfel de s, ir consideram s, irul

de evenimente (Bn)n, Bn = ω | tn ≤ X(ω) < t ∀ n ≥ 0. Evident ca

(Bn)n

⊂ K s, i P (Bn) = F (t)

−F (tn),

∀n

≥ 0 (vezi 3.21). pentru ca

∩Bn =

∅s, i s, irul (Bn)n este descendent avem (vezi 2.3):

0 = P

n≥0 Bn

= lim

n→∞P (B) = F (t) − lim

n→∞F (tn) = F(t) - F(t-0).

Deci F (t - 0) = F (t) ∀ t ∈ R i.e. Funct, ia F este continua la stanga ın ∀t ∈ R.

3.26. Remarca. Orice funct, ie cu proprietat, ile (a), (b) s, i (c) este o

funct, ie de repartit, ie a unei variabile aleatoare definita pe un anumit camp de

probabilitate. Altfel spus daca o funct, ie F : R → R+ verifica proprietat, ile

(a), (b) s, i (c), atunci exista un camp de probabilitate (Ω,K, P) s, i o variabila

aleatoare X : Ω → R a carei funct, ie de repartit, ie este F (de aceea le spunem

proprietat, i de caracterizare a funct, iilor de repartit, ie).

Deci proprietat, ile (a), (b) s, i (c) sunt necesare s, i suficiente pentru ca o

funct, ie f sa fie funct, ia de repartit, ie a unei variabile aleatoare definita pe un

anumit camp de probabilitate.

Doua variabile aleatoare distincte pot avea aceeas, i funct, ie de repartit, ie.

Deci din punct de vedere statistic ele pot fi considerate identice.

Acum vom da o definit, ie mai precisa a variabilei aleatoare continue.

3.27. Definit,ie. O variabila aleatoare se numes, te continu˘ a daca

funct, ia sa de repartit, ie este continua.

3.28. Lema. Fie F funct, ia de repartit, ie a unei variabile aleatoare X.

Daca X este variabila aleatoare continua atunci:

(1) ∀ t0 ∈ R arbitrar fixat P(X = t0) = 0

(2) P(a ≤ X < b) = P(a < X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b) =

F (b) − F (a).

Demonstrat ,ie . (1) Variabila aleatoare X fiind continua, funct, ia sa de

repartit, ie este continua s, i avem:

P(X = t0) = limt→t0

P(t0 ≤ X < t) = limt→t0

(F (t) − F (t0)) = 0.

(2) Se t, ine seama ın 3.21 de punctul (1) de mai sus s, i se obt, ine relat, ia de




la (2).

Din 3.28 se observa ca pentru o variabila aleatoare continua nu prezinta

interes probabilitatea ca ea sa ia o valoare data, dar are sens sa se puna

problema determinarii probabilitat, ii ca variabila aleatoare sa ia valori ıntr-

un interval dat. De asemenea trebuie sa ret, inem ca daca P (X = t0) = 0

nu ınseamna ca evenimentul X = t0 este imposibil, deoarece ın urma unei

experient,e, variabila aleatoare ia una dintre valorile sale posibile s, i printre

acestea se afla s, i t0.

3.29. Observat,ie. Daca F este funct, ia de repartit, ie a unei varibile

aleatoare X pe (Ω, K , P ) atunci

F (t + 0) = F (t) + P(X = t), (∀) t ∈ R.

Proprietat, ile demonstrate mai sus ne permit sa descriem graficul funct, iei

de repartit, ie.

Graficul este cont, inut ın fas, ia din plan marginita de dreptele y = 0 s, i y =

1. Are discontinuitat, i de spet,a I-a s, i mult, imea lor este cel mult numarabila.

Graficul are o alura crescatoare, ca ın schit,ele:

Graficul funct, iei de repartit, ie a unei variabile aleatoare discreta este for-

mat din segmente paralele cu Ox (fig.1). Graficul din fig. 2 este al unei

funct, ii de repartit, ie discontinua doar ın x0. Daca o variabila aleatoare este

continua atunci graficul funct, iei sale de repartit, ie este continuu (fig. 3).

3.30. Exercit,ii. 1 Sa se scrie funct, ia de repartit, ie pentru variabila

aleatoare

X :

2 3 5

0, 2 0, 3 0, 5




s, i sa se reprezinte grafic.

Rezolvare . Daca X:

t1 t2 ... tn

p1 p2 ... pn

atunci F (t) := P (X < t) =

ti<t P (X = ti).

Deci funct, ia de repartit, ie a unei variabile aleatoare discrete, calculata ın

punctul t0 este egala cu suma probabilitat, ilor cu care variabila aleatoare ia

valorile mai mici decat t0.

Astfel avem:

F(t) =

0 t ≤ t1

p1 t1 < t ≤ t2

p1 + p2 t2 < t ≤ t3

p1 + p2 + p3 t3 < t ≤ t4...

...

p1 + p2 + ... + pn−1 tn−1 < t ≤ tn

1 t > tn

De aici avem:

F(t) =

0 t ≤ 2

0, 2 2 < t ≤ 30, 5 3 < t ≤ 5

1 5 < t

Fig.4

2. Fie (Ω,K, P) un camp de probabilitate unde Ω = a, b, c, K = P(Ω)

iar P : K → [0, 1] prin P(a) = 27 , P(b) = 1

7 s, i P(c) = 47 s, i aplicat, ia X :

Ω → R prin X(a) = -2, X(b) = 5, X(c) = 2. Se cere:

(1) sa se arate ca X este o variabila aleatoare;

(2) sa se scrie repartit, ia variabilei aleatoare X;

(3) sa se determine F (t), ∀ t ∈ R;

(4) sa se calculeze F (-5), F (-1), F (2), F (3) s, i F (7).

Rezolvare . (1) Pentru orice t ∈ R




At = ω | X(ω) < t =

∅, dac t ≤ −2

a , dac −2 < t ≤ 2

a, c ,

Ω,

dac

dac

2 < t ≤ 5

5 < t

Rezulta ca At ∈ K, ∀t ∈ R, i.e. X este variabila aleatoare .

(2 Consideram evenimentele:

Ω1 = ω | X(ω) = −2 = aΩ2 = ω | X(ω) = 2 = cΩ3 = ω | X(ω) = 5 = b

Aceste evenimente constituie un sistem complet de evenimente pe Ω. Si

cum P(Ω1) = 27 , P(Ω2) = 4

7 s, i P(Ω3) = 17 rezulta ca tabloul de repartit, ie al

variabilei aleatoare X este X : −2 2 5

27

47

17

(3) F (t) =

0, dac t ≤ −227

, dac − 2 < t ≤ 227 + 1

7 , dac 2 < t ≤ 5

1, dac 5 < t

(4) Pentru ca: −5 ∈ (−∞, −2], F (−5) = 0; −1,2 ∈ (−2, 2], F (−1) =

F (2) = 27

; 3 ∈ (2, 5], F (3) = 37

; 7 ∈ (5, +∞), F (7) = 1.

3.31.Definit,ie. Fie X o variabila aleatoare cu funct, ia de repartit, ie F .

Spunem ca X are densitate de repartit , ie daca exista o aplicat, ie f : R →[0, +∞) integrabila, astfel ıncat:

F(t) =

t

−∞f(x) dx

Funct, ia f se numes, te densitatea de repartit , ie a variabilei aleatoare

X. Propriet˘ at , i ale densit˘ at , ii de repartit , ie.

1. f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ R;

2. +∞−∞ f(x)dx = 13.Daca F este derivabila pe R, atunci f = F’ (i.e. F este o primitiva a

lui f ).

4.Daca f este densitatea de repartit, ie a variabilei aleatoare continue X




∈ (a, b), atunci

P (a ≤ X < b) = b

a f(x) dx (= F (b) − F (a))

Aceste proprietat, i rezulta din definit, ia densitat, ii de repartit, ie s, i din pro-

prietat, ile funct, iei de repartit, ie. Proprietat, ile 3

s, i 4

caracterizeaza o den-

sitate de repartit, ie, ın sensul ca daca o funct, ie f satisface relat, iile 3 s, i 4,

atunci exista variabile aleatoare care au pe f drept densitate de repartit, ie.

In loc de densitate de repartit, ie se mai spune densitate de probabili-

tate.

3.32. Observat,ii. 1. Din cele de mai sus se poate spune ca pentru x0

fixat F (x0) este aria subgraficului funct, iei f de la −∞ la x0. Si la fel P(a ≤X < b) este tot o arie.

2. Daca variabila aleatoare continua X are densitate de repartit, ie f , se

va scrie: X :

x

f(x)

x∈

R

.

3. Daca F este funct, ia de repartit, ie a unei variabile aleatoare cu densi-

tatea de repartit, ie funct, ie para, atunci

F(t) + F(-t) = 1, ∀ t ∈R (7)

Exercit,ii. 1 Funct, ia de repartit, ie a unei variabile aleatoare continue

X este:

F(x) =

2a + 5, x ≤ 0

bx2 + 23x, 0 < x

≤ 1

3c − 1, x > 1

unde a, b, c ∈ R. Se cere sa se determine constantele a, b, c s, i P(0,25 ≤ X

≤ 0,5).




Rezolvare . Deoarece limx→−∞

F(x) = 0 s, i limx→∞

F(x) = 1,rezulta a = − 52

s, i

respectiv c = 23

. Iar F continua conduce la b = 13

.

P(0,25≤X≤0,5) = F (0,5)−F (0,25) =13 ·

12

2

+ 23 · 1

2 − 1

3 ·

14

2 − 2

3 · 1

4 = 17144

2

. Fie funct, ia f : R →

R,

f(x) =

k sin x, x ∈ [0, π]

0, x ∈ R\ [0, π]

a) Sa se determine k ∈ R astfel ıncat f sa fie densitatea de repartit, ie a

unei variabile aleatoare continue X.

b) Sa se calculeze F

π4

, F−π

4

, F5π4

unde F este funct, ia de repartit, ie

a lui X.

c) Sa se calculeze

P

0 ≤ X < π4

, P

0 ≤ X < π

4

x > π6

, P(X < 0) s, i P

X > π

2

π4 ≤ X ≤ 5π

4

.

Rezolvare . a) Se s,tie ca f este densitate de repartit, ie daca:

(1) f (x) ≥ 0 (∀) x ∈ R ⇒ k sin x ≥ 0 (∀) x ∈ [0, π ] ⇒ k ≥ 0.

(2)

+∞−∞

f(x)dx = 1 ⇒ π

0

k sin xdx = 1 ⇒ −k cos x

π

0= 1 ⇒ 2k = 1 ⇒ k =

1

2.

Astfel rezulta

f(x) =

12 sin x, x ∈ [0, π]

0, x ∈ R\ [0, π]

este densitatea de repartit, ie a unei variabile aleatoare continue X.

b) F(x) = x−∞ f(t)dt =

0−∞ f(t)dt +

x0

f(t)dt = x0

f(t)dt = x0

12 sin t dt =

= 12

(1 − cos x).Daca x > π, atunci

F (x) = 1 (f(x) = 0 pentru x > π s, i

x

−∞ f(x)dx =

+∞−∞ f(x)dx = 1

.

Daca x ≤ 0, atunci F (x) = 0, x ≤ 0 ( f (x) = 0 pentru x ≤ 0).

Deci F(x) =

12

(1 − cos x), x ∈ (0, π]

1, π < x.F (x) =

0, x ≤ 012

(1 − cos x), x ∈ (0, π]

1, π < x




=

0, t−23 ≤ 0

t−23

2

, 0 < t−23 ≤ 1

1, 1 <

t

−2

3

⇒ F1(t) =

0, t ≤ 2

t−23

2

, 2 < t ≤ 5

1, t > 5

.

Fie F 2 funct, ia de repartit, ie a variabilei aleatoare X2. Atunci:

F 2(t) = P(X2 < t) =

P (∅), t ≤ 0

P −√

t < X <√

t

, t > 0

=

0, t ≤ 0

t − 0, 0 < t ≤ 1

1 − 0, 1 < t

⇒ F2(t) =

0, t ≤ 0

t, 0 < t ≤ 1

1, 1 < t

.

Fie F 3 funct, ia de repartit, ie a variabilei aleatoare X3. Atunci:

F 3(t) = P (X 3 < t) =P

X < 3√

t

=

0, 3√ t ≤ 03√

t2, 0 < 3√

t ≤ 1

1, 1 < 3√

t

=

0, t ≤ 0

t23 , 0 < t ≤ 1

1, 1, < t

.

Fie F 4 funct, ia de repartit, ie a variabilei aleatoare eX . Atunci:

F 4(t) = P (eX < t) =

P (∅), t ≤ 0

P (X < ln t), t > 0=

0, t ≤ 0

F(ln t), t > 0=

=

0, t ≤ 0, t ≤ 1

0, ln t ≤ 0, t ≤ 1

(ln t)2, 0 < ln t ≤ 11, 1 < ln t

=

0, t ≤ 1

ln2 t, 1 < t ≤

e

1, e < t

.

3.6.2 Cvantile s,i mode ale unei variabile aleatoare

Fie (Ω, K, P) un camp de probabilitate s, i X o variabila aleatoare cu

funct, ia de repartit, ie F .

3.34. Definit,ie. Fie q ∈ N cu q ≥ 2. Numerele finite ci(X ), i = 1, q − 1

cu : 1)P (X ≤ ci(X )) ≥ i

q

2)P (ci(X ) ≤ X ) ≥ 1 − iq

(8) se numesc q - cvantile ale variabilei aleatoare X.

3.35. Lema. Condit, iile (8) sunt echivalente cu:




F (ci(X )) ≤ iq

s, i F (ci(X ) + 0) ≥ iq

(9)

Demonstrat ,ie. Pe de o parte P(X ≥ ci(X)) = 1 − P(ci(X)) = 1 − F (ci(X))

s, i atunci: P (X ≥ ci(X )) ≥ q−iq ⇔ 1 − F (ci(X )) ≥ q−i

q ⇔ F (ci(X )) ≤ i

q

Pe de alta parte

P(X ≤ ci(X)) = P(X < ci(X)) + P(X = ci(X)) = F (ci(X) + 0)

s, i atunci: P (X ≤ ci(X )) ≥ iq ⇔ F (ci(X ) + 0) ≥ i

q, ceea ce trebuia demon-

strat.

In general q − cvantilele nu sunt unic determinate. Daca ınsa funct, ia

de repartit, ie este continua s, i strict crescatoare, atunci q − cvantilele sunt

determinate ın mod unic ca solut, ii ale ecuat, iilor

F (x) = iq

, 1 ≤ i ≤ q − 1. (10)

3.36. Observat,ii. Daca F este continua atunci condit, iile (9) devin

F (ci(X))= iq

(11)

adica q − cvantilele sunt solut, ii ale ecuat, iilor (10).

3.37. Cazuri particulare de q − cavantile: 1. Mediana : Orice

2 − cvantila unei variabilei aleatoare X se numes, te median˘ a a variabilei

aleatoare X. Altfel spus, orice numar finit µ(X) = ci(X), i = 1, 2 − 1 pentru

care

P(X ≥ µ(X)) ≥ 12 ≤ P(X ≤ µ(X)) (8’)

sau sub forma echivalentaF (µ(X)) ≤ 1

2 s, i F (µ(X) + 0) ≥ 12 (9’)

Mediana unei variabile aleatoare este unic determinata daca funct, ia sa

de repartit, ie F este continua s, i strict crescatoare. In acest caz mediana este

solut, ia ecuat, iei F(x) = 12

(are solut, ie unica F fiind injectiva).

2. 4 − cvantilele se numesc cvartile (i.e. q = 4)

3. 10 − cvantilele se numesc decile (i.e. q = 10)

4. 100 − cvantilele se numesc centile (i.e. q = 100)

3.38. Exemple. Sa se determine mediana variabilei aleatoare X curepartit, ia:

X :

x

f(x)

x∈R

, f(x) =

112

(2x + 1) , x ∈ [0, 3]

0 , x /∈ [0, 3]




Rezolvare . Se rezolva ecuat, ia F (µ) = 12

. Si cum:

F(µ) = µ

−∞

f(x)dx = µ

0

1

12(2x + 1)dx =

1

12 µ2 + µ , µ ∈ [0, 3]

avem: µ2 + µ − 6 = 0, cu solut, ia µ = 2 ∈ [0, 3].

3.39. Definit,ie. Fie X o variabila aleatoarea cu densitatea de repartit, ie

f . Orice punct de maxim al funct, iei f se numes, te mod sau modal˘ a a

variabilei aleatoare X. O variabila aleatoare continua X poate avea una sau

mai multe modale s, i se numes, te unimodal˘ a, bimodal˘ a sau multimodal˘ a ,

dupa cum admite un mod , doua moduri, respectiv mai multe moduri.

Daca X este variabila aleatoare de tip discret, atunci punctul sau modal

se numes, te valoarea cea mai probabil˘ a .3.40. Exemplu. Daca

X :

−1 0 3 4 5

18

28

38

18

18

atunci modul lui X este m0 = 3.

3.6.3 Funct,ii de repartit

,ie bidimensionale

Fie X, Y variabile aleatoare unidimensionale pe campul de probabilitate

(Ω, K, P).3.41. Definit

,ie. Funct, ia F : R2→ [0, 1] definita prin

F (s, t) = P(X < s, Y < t), ∀ (s, t) ∈ R2 (12) se numes, te funct , ia de

repartit , ie a variabilei aleatoare bidimensionale Z = (X, Y).

3.42. Observat,ie. 1. Valoarea funct, iei de repartit, ie a variabilei alea-

toare bidimensionala Z = (X, Y), ıntr-un punct (s, t) ∈ R, este probabilitatea

evenimentului Ast = ω ∈ Ω | X(ω) < s s, i Y(ω) < t (notat s, i (X < s, Y <

t)). Evident ca Ast ∈ K s, i rezulta ca F este bine definita de relat, ia (12).

2. Daca t = ∞, (Y < t) = Ω s, i (X < s, Y < t) = (X < s). deci F (s,∞) este funct, ia de repartit, ie a variabilei aleatoare X ın punctul s s, i o notam

F x(s). Funct, ia F x : R → [0, 1] se numes, te funct , ie de repartit , ie mar-

ginal˘ a a lui Z corespunz˘ atoare lui X . Analog F y : R → [0, 1], F y(t)




= F (∞, t) este funct, ia de repartit, ie a variabilei aleatoare Y ın punctul t s, i

se numes, te funct , ia de repartit , ie marginal˘ a a lui Z corespunz˘ atoare

lui Y .

3

. Geometric egalitatea (12) se poate interpreta astfel: F (s, t) este

probabilitatea ca punctul de coordonate X s, i Y sa se gaseasca ın domeniul

has,urat din figura de mai jos:

3.43. Propozit,ie. Funct, ia de repartit, ie F (s, t) a unei variabile aleatoare

bidimensionale Z=(X,Y) are urmatoarele proprietat, i caracteristice:

1. (a) F este crescatoare ın raport cu fiecare argument;

2. (b) F (s, t) = 0 ⇔ s = −∞ sau t = −∞F (s, t) = 1 ⇔ s = t = +∞;

(c) F este continua la stanga ın raport cu fiecare argument;

(d) F (t1, t2) − F (s1, t2) − F (t1, s2) + F (s1, s2) ≥ 0

∀(s1, s2), (t1, t2) ∈ R2 cu si < ti, i = 1, 2

(e) P (s1 < X < s2, Y < t) = F (s2, t) − F (s1, t)P (X < s, t1 < Y < t2) =F (s, t2) − F (s, t1)

3.44. Remarca. 1. Orice funct, ie de repartit, ie 2 - dimensionala verifica

proprietat, ile (a), (b), (c) s, i (d) s, i o funct, ie G : R2 → [0, 1] care verifica

proprietat, ile (a), (b), (c) s, i (d) este funct, ia de repartit, ie a unei variabile

aleatoare bidimensionale.

2. Funct, ia F X : R → [0, 1], FX j(s) = F (t1, ..., tn) unde tj = s s, i ti

= ∞, ∀ i = 1, n, i = j (i.e. FX j(s) = (∞, ∞, . . . , ∞, s, ∞, . . . , ∞), s

fiind pe locul j) se numes, te funct , ie de repartit , ie marginal˘ a a lui Z ,corespunzatoare variabilei aleatoare Xj.

3. Folosind 3.42, 3 se poate spune ca expresia din membrul stang al

proprietat, ii (d) reprezinta probabilitatea ca punctul de coordonate X s, i Y sa




se gaseasca ın dreptunghiul has,urat din fig. 6.

3.45. Definit,ie. Se numes, te densitate de repartit , ie (densitate de

probabilitate) a variabilei aleatoare bidimensionale continue Z = (X, Y) cu

funct, ia de repartit, ie F (s, t), o funct, ie ρ :R2

→ [0, +

∞) astfel ıncat F (s, t)

= s−∞

t−∞ ρ(x, y)dxdy (13)

3.46. Propozit,ie. Densitatea de repartit, ie ρ are urmatoarele pro-

prietat, i:

(1) ρ(x,y) ≥ 0, ∀ (x,y) ∈ R2;

(2)

+∞−∞

+∞−∞

ρ(x, y)dxdy = 1;

ρ(x, y) =

∂ 2F(x, y)

∂ x∂ y . (3.6)

Demonstrat ,ie. (1) rezulta din definit, ia lui ρ.

(2) Rezulta din 3.43 punctul (b).

(3) Se deriveaza expresia lui F din (13).

Proprietat, ile (1) s, i (2) sunt proprietat, i de caracterizare a densitat, ii de

repartit, ie bidimensionala.

Daca variabila aleatoare bidimensionala Z = (X,Y) este continua s, i are

densitatea de repartit, ie ρ(x,y),atunci corespondent,a (x, y)

ρ(x, y) (x, y) ∈ R2

se numes, te repartit , ia (continu˘ a) a lui Z.

Precizam fara demonstrat, ie urmatorul rezultat.

3.47. Teorema. Probabilitatea ca punctul de coordonate X s, i Y sa se

gaseasca ın domaniul plan M este:

P[(X,Y) ∈ M] = M

ρ(x, y)dxdy. (14)

3.48. Densitat,i de repartit

,ie marginale. Daca se cunoas,te densi-

tatea de probabilitate ρ(x,y) a vectorului aleator Z = (X,Y) se pot deter-

mina densitat, ile de repartit, ie ale componentelor lui Z numite densit˘ at , i derepartit , ie marginale ale lui Z .

Intr-adevar, conform cu (13) avem:

F (s, t) = s−∞

t−∞ ρ(x, y)dxdy




de unde, obt, inem repartit, iile marginale

FX(s) = F(s, + ∞) =

x−∞

+∞−∞

ρ(x, y)dxdy (3.7)

FY(t) = F( + ∞, t) =

y−∞

+∞−∞

ρ(x, y)dxdy

Mai departe avem:

f (s) = F X(s) ⇒ f (x)= +∞−∞ ρ(x, y)dy

= lim

y→+∞∂ F∂x

(16)

g (t) = F Y(t) ⇒ g (y)= +∞−∞ ρ(x, y)dx

= lim

y→+∞∂ F∂y

.

Deoarece

+∞−∞ f(x)dx =

+∞−∞

+∞−∞ ρ(x, y)dxdy = 1 s, i f (x) ≥ 0, ∀ x ∈ R,

rezulta ca f este densitatea de repartit, ie a variabilei aleatoare X. Analog searata g (y) este densitatea de repartit, ie a variabilei aleatoare Y.

Din (14) s, i (13) rezulta ca:

F x(s) =

s

−∞f (u)d u i F y(t) =

t

−∞f (v)dv(15′)

3.49. Densitat,i de repartit

,ie condit

,ionate. Notat, iile fiind cele de

mai sus, spunem ca raportul notat ϕ(x|y), dintre densitatea de repartit, ie a lui

Z = (X,Y) s, i densitatea de repartit, ie a componentei Y se numes, te densitatea

de repartit , ie a componentei X condit , ionat˘ a de evenimentul Y = y

notata X|Y=y. Deci: φ(x |y) = ρ(x,y)g(y)

sau φ(x |y) = ρ(x,y) +∞−∞ ρ(x,y)dx

. Analog

ψ(y|x) = ρ(x,y)f(x)

sau ψ(y|x)= ρ(x,y) +∞−∞ ρ(x,y)dy

.

se numes, te densitatea de repartit , ie a componentei Y condit , ionat˘ a

de evenimentul X = x, notata Y|X=x.

Deoarece ϕ(x|y) ≥ 0, +∞−∞ φ(x |y)dx = 1 s, i ψ(y|x) ≥ 0,

+∞−∞ ψ(y |x)dy = 1

rezulta ca cele doua funct, ii sunt densitat, i de repartit, ie pentru vriabila alea-

toare X|Y= y s, i respectiv Y|X = x.Remarc˘ a . ϕ(x|y) s, i f (x) sunt densitat, i de repartit, ie ale lui X, dar prima

este condit, ionata de evenimentul (Y = y) pe cand cea de a doua este inde-

pendenta de valoarea pe care o ia Y.




3.50. Teorema. Fie Z = (X,Y) vriabila aleatoare bidimensionala. urmatoarele

afirmat, ii:

1) Variabilele aleatoare X s, i Y sunt independente,

2) Funct, ia de repartit, ie a lui Z este egala cu produsul funct, iilor de repartit, ii

marginale (i.e. F Z = F X · F Y ),

3) Densitatea de repartit, ie a lui Z este egala cu produsul densitat, ilor de

repartit, ie marginale ( i.e. ρ(x, y) = f (x) · g(y)),

sunt echivalente.

3.7 Caracteristici numerice ale variabilelor alea-

toare

3.7.1 Momente

Fie (Ω, K , P ) un camp de probabilitate, X ∈ V (Ω, K ) s, i F funct, ia

sa de repartit, ie. Daca variabila aleatoare X este discreta consideram X : xi

pi

i ∈ I

, iar daca X este continua cu densitatea de repartit, ie f consi-

deram X :

x

f(x)

x ∈ R

.

3.52. Definit,ie. Spunem ca numarul Mk(X ) = +∞−∞

xkdF(x) daca

integrala Rieman-Stieltjes care-l defines, te este convergenta) se numes, te mo-

mentul (init , ial) de ordin k , k ∈ N* al variabilei aleatoare X.

Rezulta:

M k(X ) =

i∈I x

ki pi, ın cazul discret +∞

−∞ xkf(x)dx, ın cazul continuu. (3.8)

3.53. Definit,ie. Momentul (init, ial) de ordin 1 al variabilei aleatoare X,

se numes, te media variabilei aleatoare X s, i se noteaza M(X).

Deci pentru orice variabilei aleatoare X avem:

M (X ) =

i∈I xipi, ın cazul discret +∞

−∞ xf(x)dx, ın cazul continuu. (3.9)



3.7. Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare 65

3.54. Definit,ie. Se numes, te momentul (init , ial) absolut de ordin

r numarul M r(X ) = +∞−∞ |x|r dF(x) (daca integrala din membrul doi este

convergenta), r ∈ R∗+.Rezulta:

M r(X ) = i∈I |xi|

r

pi, ın cazul discret +∞−∞ |xr| f(x)dx, ın cazul continuu

. (3.10)

3.55. Definit,ie. Variabila aleatoare ξ : Ω → R, ξ (ω) = X(ω) − M(X),

∀ω ∈ Ω se numes, te abaterea lui X fat , ˘ a de medie .

Numarul M C k (X )= Mk(X − M(X)) se numes,te momentul centrat de

ordin k , k ∈ N*.

Pentru momentul centrat de ordin k, k ∈ N*, al unei variabile aleatoare

X,avem relat, iile:

M ck(X ) =

i∈I (xi−M (X ))k pi, ın cazul discret +∞

−∞ (x − M (X ))k f(x)dx, ın cazul continuu. (3.11)

3.56. Definit,ie. Se numes,te dispersia unei variabile aleatoare X,

s, i se noteaza D2(X) (sau cu X2) numarul D2(X) = M C 2 (X ) (i.e. D2(X) =

M2[(X − M(X))2]). Numarul D(X) (notat s, i cu X) se numes, te abaterea

medie p˘ atratic˘ a a lui X.

Rezulta ca, pentru calculul dispersiei variabilei aleatoare X, avem relat, iile:

D2(X) = i∈I (xi − M (X ))

2

pi, ın cazul discret +∞−∞ (x − M (X ))2 f (x) dx, ın cazul continuu

(22)

Vom nota σX =

D2 (X ) (= D (X )) .

Dispersia sau abaterea mediei patratica este o caracteristica importanta

a unei variabile aleatoare, indicand intensitatea ımpras,tierii valorilor sale ın

jurul mediei.

Cu ajutorul momentelor centrate de ordin 2, 3 s, i 4 (cand acestea exista)

se definesc asimetria s, i excesul unei variabile aleatoare X prin

γ 1(X ) = M C 3 (X )

(M C 2 (X ))3 (23)

s, i respectiv

γ 2(X ) = M C 4 (X )

(M C 2 (X ))2 − 3. (24)

Seriile care apar ın formulele de mai sus se presupun convergente.




3.57. Observat,ii. Pentru o variabila aleatoare X avem:

1. Mn(X) = M(Xn).

2. D2(X) = M([X − M(X)]2) (i.e. dispersia unei variabile aleatoare este

media patratelor abaterilor).

3. Intre momentele init, iale s, i cele centrate au loc relat, iile:

M C n (X ) =

ni=0(−1)iC 0nM n−1(X )M i1(X ), n ∈ N∗ s, i

M n(X ) =n

i=0

C inM n−i(X )M i1(X ), n ∈ N∗. (3.12)

3.7.2 Proprietat,i ale mediei unei variabile aleatoare

Fie (Ω, K , P ) un camp de probabilitate.

3.58. Propozit,ie.

(m1) M(a) = a, ∀ a ∈ R

(m2) M(aX + b) = aM(X) + b, a, b ∈ R, ∀ X ∈ V (Ω,K)

(m3) (a) M(X + Y) = M(X) + M(Y), ∀ X, Y ∈ V (Ω,K) (b) M (n

k=1 akX k) =nk=1 akM (X k), ∀ ak ∈ R s, i Xk ∈ V (Ω,K), k = 1, n.

(m4) (a) Daca X s, i Y ∈ V (Ω,K) sunt variabile aleatoare independente,

atunci M(X . Y) = M(X) . M(Y)

(b) Daca Xi

∈ V (Ω,K), i = 1, n sunt variabile aleatoare independente

atunci M (ni=1 X i) = n

i=1 M (X i).

(m5) M(X . Y) ≤ M (X 2) · M (Y 2), ∀ X, Y ∈ V (Ω,K) (Inegalitatea lui

Schwartz).

Demonstrat ,ie . Vom prezenta demonstrat, iile pentru variabilele aleatoare

discrete.

(m1) a :

a

1

⇒ M(a) : = a . 1 = a.

(m2) Fie X : xi

pi i ∈ I

. Atunci aX + b : axi + b

pi i ∈ I ⇒⇒ M(aX + b) =

i∈I (axi + b) pi = a

i∈I xi pi + b

i∈I pi = aM (X ) + b.

(m3) (a) Fie Y :

y j

q j

s, i X ca la (m2). Atunci X +Y :

xi + y j

pij

(i, j) ∈ I × J

.




Folosind 3.14 avem: M (X + Y ) =

i∈I

j∈J (xi+y j) pij =

i∈I xi

j∈J pij+

j∈J y j

i∈I pij =

=

i∈I xi pi. +

j∈J y j p. j = M(X) + M(Y).

(b) Se foloses,te (a) s, i metoda induct, iei.

(m4) (a) X . Y :

xiy j

pij

(i, j) ∈ I × J

, unde pij = piqj (X s, i Y fiind

independente).

M(X,.,Y)=

i∈I

j∈J xiy j pij =

i∈I

j∈J xiy j piq j =

i∈I xi pi

j∈J y jq j=

M(X) . M(Y).

(b) Se foloses, te (a) s, i metoda induct, iei.

(m5) Consideram variabila aleatoare T = (X − αY)2 unde α ∈ R s, i

deoarece T ≥ 0, ∀ α ∈ R ⇒ M(T) ≥ 0, ∀ α ∈ R.

Deci M[(X − αY)2] ≥ 0, ∀ α ∈ R ⇔ M(X2) − 2αM(XY) + α2M(Y2) ≥0, ∀ α ∈ R ⇔ [M(X . Y)]2 ≤ M(X2) . M(Y2) ⇒ c. c .t. d.

3.7.3 Covariat,ia s

,i coeficientul de corelat

,ie a doua va-

riabile aleatoare

Fie X, Y ∈ V (Ω, K ).

3.59. Definit,ie. Se numes, te covariant , ˘ a (sau corelat , ie) a variabilelor

aleatoare X s, i Y, valoarea:

cov(X, Y) = M[(X − M(X)) . (Y − M(Y)]. (26)

3.60. Lema. (proprietat, i ale covariant,ei).

(c1) cov(X, Y) = cov(Y, X)

(c2) cov(αX, β Y) = αβ cov(X,Y)

(c3) cov(X, Y) = M(XY) − M(X) . M(Y)

Demonstrat ,ie. (c1) Rezulta din (26).

(c2) cov(αX, β Y) = M[(αX − M(αX))(β Y − M(β Y))] == M[(αX − αM(X)) (β Y − β M(Y))] = αβ M[(X − M(X)) .

. (Y − M(Y))] = αβ cov(X, Y).

(c3) cov(X, Y) : = M[(X − M(X)) . (Y − M(Y))] =




= M[XY − X . M(Y) − M(X)Y + M(X) . M(Y)] =

= M(XY) −M

X · M (Y )

∈R

− M

M (X )

∈R

·Y

+ M

M (X )

∈R

· M (Y )

∈R

=

= M(XY) − M(X) . M(Y) − M(X) . M(Y) + M(X) . M(Y) =

= M(XY) − M(X) . M(Y).

3.61. Definit,ie. Se numes, te coeficient de corelat , ie al variabilelor

aleatoare X s, i Y raportul:

r(X, Y) : = cov(X,Y )D(X )·D(Y )

= cov(X,Y )

σ(X )·σ(Y )

. (27)

3.62. Observat,ie. Daca X :

xi

pi

i = 1, n

, Y :

yi

q j

j = 1, n

atunci

r(X, Y ) =

i

j (xi − M (X )) · (y j − M (Y )) pij

D(X )D(Y ) (27′)

unde pij are semnificat, ia din 3.17.

3.63. Lema. Daca r(X,Y) este coeficientul de corelat, ie al variabilelor

aleatoare X s, i Y, atunci avem:

1) |r(X, Y)|≤ 1

2) |r(X, Y)|= 1 ⇔ ıntre X s, i Y exista o relat, ie liniara.

Demonstrat ,ie. 1) cov(X,Y) = M[(X

− M(X)) . (Y

− M(Y))

(m5)≤ M [Y − M (Y ))2] =

D2(X ) · D2(Y )= σ(X) . σ(Y) s, i de aici

|r(X, Y)|≤ 1.

2. Presupunem Y = αX + β . Atunci

r(X, Y ) = M [(X − M (X )) (Y − M (Y ))]

σ(X ) · σ(Y ) =

= M [(X − M (X )) (αX + β − M (αX + β ))]

σ(X ) · σ(αX + β ) =

= M [(X − M (X )) (αX + β − αM (X ) − β )]

σ(X ) · |σ| σ(X ) =

= α|α|

M [(X −M (X ))2]σ2(X )

= α|α|

σ2(X )σ2(X )

= α|α| ⇒ |r(X< Y)| = 1.




(b) Se procedeaza prin induct, ie s, i se foloses, te (a).

3.67. Aplicat,ie Sa se calculeze media s, i dispersia variabilei aleatoare Z

= 3X + 2Y, s,tiind ca X s, i Y sunt variabile aleatoare independente s, i

X : −1 0 3 5

213

113

513

513, Y : 1 5 9

17

27

47.

Rezolvare. Se calculeaza mai ıntai mediile s, i dispersiile lui X s, i Y.

M (X ) = −1 · 2

13 + 0 · 1

13 + 3 · 5

13 + 5 · 5

13 =

1

13(−2 + 15 + 25) =

38

13

M (Y ) = 1 · 1

7 + 5 · 2

7 + 9 · 4

7 =

1

7(1 + 10 + 36) =

47

7 .

Pentru ca X2 : 0 1 9 25113

213

513

513

s, i Y2 : 1 25 8117

27

47

avem:

M(X2)=...= 17213 s, i M(Y2)=. . . =375

7 .

Rezulta: D2(X) = M(X2) − M2(X) = 17213

− 382

132 = 792

169;

D2(Y ) = 375

7 − 472

72 =

416

49 .

Acum:

M(Z) = M(3X + 2Y) = 3M(X) + 2M(Y) = 3 · 3813 + 2 · 47

7 = 22, 1978

D2(Z) = D2(3X + 2Y) = 32D2(X) + 22 D2 (Y) = 76,1365

3.7.5 Inegalitatea lui Cebas,ev

Media unei variabile aleatoare este acea valoare ın jurul careia se grupeaza

valorile sale. Inegalitatea lui Cebas,ev da informat, ii asupra probabilitat, ii cu

care valorile se grupeaza ın jurul mediei.

3.68. Teorema.Fie (Ω,K, P) un camp de probabilitate s, i X ∈ V (Ω,K)

cu media s, i dispersia finite. Atunci pentru ∀ a > 0, avem:

sP(|X − M(X)| < a) ≥ 1 − D2(X )

a2 (inegalitatea lui Cebas,ev). (28)Demonstrat

,ie. a) Cazul 1: X variabila aleatoare discreta. Deci

X :

xi

pi

i ∈ I

.




Pentru ca valorile lui X se gasesc ın jurul mediei M(X), (∃) i ∈ I astfel

ıncat |xi − M(X)| ≥ a s, i/sau |xi − M(X)| < a. De aceea vom nota I1 = i

∈ I | |xi − M(X)| ≥ a s, i I2 = i ∈ I | |xi − M(X)| < a. Evident ca I1 ∪I2 = I s, i I1

∩ I2 =

∅. Atunci:

P(|X − M(X)| < a) =

i∈I 2 pi (*) D2(X )=

i∈I (xi − M (X ))2 pi =

i∈I 1(xi − M (X ))2 pi+

i∈I 2

(xi − M (X ))2 pi ≥ ≥ i∈I 1

(xi − M (X ))2 pi ≥i∈I 1

a2 pi = a2

i∈I 1 pi.

Si pentru ca

i∈I pi = 1 ⇔ i∈I 1

pi +

i∈I 2 pi = 1 ⇒

i∈I pi = 1 −i∈I 2

pi.

Rezulta D2(X ) = a2

1 −i∈I 2

pi

. Deci, D2(x)

a2 ≥ 1 −

i∈I 2 pi (**)

Din (*) s, i (**) avem ca D2(X )a2

≥ 1 − P(|X − M(X)|<a) ⇒ c. c. t. d.

b) Cazul 2. X variabila aleatoare continua. Deci X : x

f(x)

x ∈ R

s, i notam (pentru simplificarea scrierii) m = M(X). Rezulta:

D2(X ) =

+∞−∞

(x−m)2f(x)dx =

m−a

−∞(x−a)2f(x)dx+

m+a

m−a

(x−a)2f(x)dx+

+

+∞m+a

(x − a)2f(x)dx ≥ m−a

−∞(x − m)2f(x)dx +

+∞m+a

(x − m)2f(x)dx ≥

≥ m−a

−∞ a2f(x)dx+ −∞m+a

a2f(x) = a2 m−a

−∞ f(x)dx + +∞m+a

f(x)dx =(pentru

ca X este variabila aleatoare continua m−a

−∞ f(x)dx =P(X < m − a) = P(X ≤m − a)) = a2(P(X ≤ m − a) + P(X ≥ m + a)) = a2[P(X − m ≤ −a) +

P(X − m ≥ a)] = = a2P[(X − m ≤ −a) ∪(X − m ≥ a)] = a2P( |X − m| ≥a) ⇒

⇒ D2(X )a2

≥ P( |X − m| ≥ a).

Deci P(|X − M(X)| ≥ a) ≤ D2(X )a2

, ∀ a ≥ 0 (28’)

Deoarece P( | X − M (X)| ≥ a) =P

|X − M (X )| < a

=1−P(|X −

M(X)|<a) rezulta c. c. t. d.Inegalitatea (28’) este alta forma a inegalitat, ii lui Cebas,ev.

3.69. Observat,ie. Inegalitatea lui Cebas, ev sub forma (28) ((28’)) da

o margine inferioar˘ a (superioar˘ a) a probabilit˘ at , ii ca abaterile ın




modul, ale variabilei aleatoare X de la medie, sa fie mai mici (mari) decat

un numar dat.

3.70. Aplicat,ii. 1. O variabila aleatoare X are M(X) = 80 s, i M2(X) =

6416. Sa se scrie o limita inferioara a probabilitat, ii: P(40 < X < 120).

Rezolvare. Scazand media M(X) ın 40 < X < 120 se obt, ine 40 − 80

< X−M(X) < 120 − 80 ⇔ −40 < X − M(X) < 40 ⇔ |X − M(X)| < 40.

Conform cu inegalitatea lui Cebas,ev

P(|X − M(X)| < 40) ≥ 1 − D2(X )402

.

Dar D2(X) = M2(X) − M2(X) = 6416 − 802 = 16. Deci

P(|X − M(X) < 40) ≥ 1 − 1642·102 = 1 − 1

100 = 0, 99. Rezulta 0,99 este

marginea inferioara cautata.

2. Fie X o variabila aleatoare astfel ıncat

X : −2 1 5

314

514

37

.

Sa se determine o margine inferioara pentru probabilitatea ca abaterea

lui X de la media sa (i.e. X − M(X)), sa ia valori ın intervalul (−5, 5).

Rezolvare. Se aplica inegalitatea lui Cebas,ev

P(|X − M(X)|< a) ≥ 1 − D2(X )a2

.

Din ipoteza avem X − M(X) ∈ (−5, 5). De unde −5 < X − M(X) < 5

⇔ |X − M(X)| < 5. Rezulta a = 5.

Tot din ipoteza avem: M (X ) = −2 · 314 + 1 · 514 + 5 · 37 = 2914 s, i pentru ca

X2 :

1 4 25514

314

614

, rezulta M (X 2) = 5

14 + 1214 + 25·6

14 = 16714 .

D2(X) = M(X2) − M2(X) = 16714

− 292

142 = 1497196 = 7, 637.

Marginea inferioara este 1 − D2(X )a2

= 1 − 125

· 1497196

= 34034900

= 0, 694.

3.7.6 Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoarebidimensionale

Fie (Ω,K, P) un camp de probabilitate s, i Z = (X, Y) o variabila aleatoare

bidimensionala, unde X s, i Y sunt variabile aleatoare unidimensionale.

Consideram ca repartit, ia variabilei aleatoare Z este:




(1) Z :

(xi, y j

pij

(i, j) ∈ I × J

,daca Z este variabila aleatoare discreta s, i

(2) Z :

(x, y)

ρ (x, y)

(x, y)

∈ R2

, daca Z este variabila aleatoare continua

cu densitatea de repartit, ie ρ(x,y).

3.71. Definit,ie. Media variabilei aleatoare produs Xs . Yt se numes, te

momentul (init , ial) de ordinul s ın raport cu prima component˘ a

s, i de ordinul t ın raport cu a doua component˘ a (sau pe scurt, mo-

mentul init , ial de ordinul s + t ) al lui Z s, i se noteaza Mst(Z), s, t ∈N.

Deci avem:

M st(Z ) =i∈I j∈J

xtiyt

j pij, dac˘ a Z este v.a. discret

+∞ −∞

+∞ −∞

xsytρ(x, y)dxdy, dac˘ a Z este v.a. continu. (3.13)

Cazuri particulare. Pentru s ∈ N* s, i t = 0 obt, inem:

M so(Z ) =

i∈I

j∈J

xsi pij =

i∈I

xsi

j∈J

pij =i∈I

xsi pio = M (X s)

+∞ −∞

+∞ −∞

xsyρ(x, y)dxdy =+∞ −∞

xs

+∞ −∞

ρ(x, y)dy

dx =

+∞ −∞

xsf(x)dx = M (X s).

(3.14)

Analog pentru s = 0 s, i t ∈ N* se obt, ine Mot= M(Yt).3.72. Definit

,ie. Media variabilei aleatoare (X − M1o)s (Y − Mo1)t

se numes, te momentul centrat de ordinul s ın raport cu X s, i de

ordinul t ın raport cu Y (pe scurt, momentul centrat de ordinul

s+t ) al lui Z s, i ıl notam M C st (Z ).

Prin urmare putem scrie:

M C st (Z ) =

i∈I

j∈J

(xi − M 1o)s(y j − M o1)t pij, daca Z este v.a. discret,

+∞

−∞

+∞

−∞(x

−M 1o)s(y

−M o1)tρ(x, y)dxdy, daca Z este v.a. continu.

(3.15)

Cazuri particulare. Sa consideram acum toate momentele centrate de

ordin s + t = 2.




Pentru s = 2 s, i t = 0 se obt, ine:

M c2o(Z ) =

i∈I

j∈J

(xi − M 1o)2 pij =i∈I

(xi − M 1o)2 j∈J

pij

+∞

−∞

+∞

−∞

(x − M 1o)2ρ(x, y)dxdy =+∞

−∞

(x − M 1o)2

+∞

−∞

ρ(x, y)dy

dx

rezulta

M c20 (Z ) =

i∈I

(xi − M 1o)2 pi· = D(X )

+∞ −∞

(x − M 1o)2f(x)dx = D(X )(3.16)

Deci, pentru varibila aleatoare Z fie ca este discreta, fie ca este Z continua

se obt, ine M C 20(Z) = D(X).

Pentru s = 0 s, i t = 2 se obt, ine analog M C 20(Z) = D(Y).

Pentru s = 1 s, i t = 1 gasim:

M C 11(Z ) =

i∈I

j∈J

(xi − M 10)(y j − M 01) pij = M [(X − M 10) (Y − M 01)]

+∞ −∞

+∞ −∞

(x − M 10)(y − M 01)ρ(x, y)dxdy = M [(X − M 10) (Y − M 01)]

(3.17)

Rezulta ca pentru variabila aleatoare Z = (X, Y), discreta sau continua,

avem M c11(Z) = Cov(X, Y).

Tinand seama de repartit, ia condit, ionata a unei variabile aleatoare de o

alta variabila aleatoare (vezi 3.15’ s, i 3.49) se pot defini, pentru componentele

X s, i Y ale lui Z, medii condit, ionate, momente init, iale condit, ionate, dispersii

condit, ionate.

3.73. Definit,ie. Daca pentru variabila aleatoare discreta Z, exista p(xi |

y j), atunci numarul

M s (X |Y = y j) =i∈I

xsi p (xi|y j)

= 1

p· j

i∈I xsi pij

(3.18)

se numes, te momentul init , ial de ordin r al lui X condit , ionat de (Y =

y j), ∀ j ∈ J De aici se obt, ine:

(1) M(X | Y = yj) = M1(X | Y = yj) - media lui X condit, ionata de (Y

= yj), ∀ j ∈ J.




(2) D2(X | Y = yj) = M2(X | Y = yj) − M2(X | Y = yj) - dispersia lui

X condit, ionata de (Y = yj), ∀ j ∈ J.

Analog, daca ∃ p(yj | xi) se defines, te momentul init , ial de ordinul s

al lui Y condit , ionat de (X = xi).

Ms(Y | X = xi) =

j∈J

ys j p (y j |xi )

= 1

pi•

j∈J

ys j pij

(35)

s, i apoi media lui Y condit , ionat˘ a de (X = xi)

M(Y | X = xi) = M1(Y | X = xi) (36)

s, i dispersia lui Y condit , ionat˘ a de (X = xi)

D2(Y | X = xi) = M2(Y | X = xi) − M2(Y | X = xi) ∀ i ∈ I. (37)

Daca Z este variabila aleatoare continua atunci momentul de ordinul s al

lui X condit, ionat de (Y = y) este:

Ms(X|Y = y) = +∞ −∞

xsφ(x |y)dx

= 1g(y)

+∞ −∞

xrρ(x, y)dx

, ∀ y ∈ R, (34’)

cand exista ϕ(x|y) s, i momentul de ordinul s al lui Y condit, ionat de (X = x)

Ms(Y|X =x) = +∞−∞ ysψ(x |y)dx

= 1

f(x)

+∞−∞ ysρ(x, y)dy

, ∀ x ∈ R, (35’)

cand exista ψ(y|x).

Mediile s, i depresiile condit, ionate se definesc dupa aceleas, i formule ca ın

cazul discret.

3.74. Definit,ie. Variabila aleatoare notata M(X|Y) cu repartit, ia

M(X|Y) : M (X |Y = y j)

p· j

j ∈ I ın cazul discret

s, i (38)

M(X|Y) :

M (X |Y = y)

g(y)

y ∈ R

ın cazul continuu

se numes, te media lui X condit , ionat˘ a de Y .

Analog avem ca variabila aleatoare notata M(Y|X) cu repartit, ia

M(Y|X) :

M (Y |X = xi)

pi·

i ∈ I

ın cazul discret

s, i (38’)

M(Y|X) :

M (Y |X = x)

f(x)

x ∈ R

ın cazul continuu

se numes, te media lui Y condit , ionat˘ a de X .




3.75. Propozit,ie. Cu notat, iile de mai sus, avem:

1. (1) ()M(M(X|Y)) = M(X) s, i M(M(Y|X)) = M(Y)

2. (2) ()M(X . Y) = M(X . M(Y|X)) = M(Y . M(X

|Y)).

Demonstrat ,ie. (1) Vom considera cazul continuu. Tinand seama de (34’)

avem:

M(M(X|Y))= +∞−∞ M (X |Y = y) · g(y)dy =

+∞−∞

1g(y)

+∞−∞ xρ(x, y)dx

·

g(y) =

=

+∞−∞

x

+∞−∞

ρ(x, y)dy

dx =

+∞−∞

xf(x)dx = M (X ).

Analog se arata cealalta egalitate de la (1).

M(XY)= +∞−∞

+∞−∞ xyρ(x, y)dxdy =

+∞−∞ x

1f(x)

+∞−∞ yρ(x, y)dy

f(x)dx =

=

+∞−∞

xM (Y |X = x)f(x)dx = M (X · M (Y |X )).

Se gases, te analog M(XY) = M(Y . M(X|Y))

3.76. Definit,ie. Variabila aleatoare M(X|Y) se numes, te regresia va-

riabilei aleatoare X ın raport cu variabila aleatoare Y .

Variabila aleatoare M(Y|X) se numes, te regresia variabilei aleatoare

Y ın raport cu variabila X .Din 3.74. rezulta ca variabila aleatoare M (X | Y ) este aplicat, ia

y −→ M (X | Y = y), ∀y ∈ R.

Daca notam RX aceasta aplicat, ie, se poate spune ca regresia variabilei

aleatoare X ın raport cu variabila aleatoare Y este funct, ie RX : R → R cu

RX(y) = M(X|Y = y), ∀ y ∈ R. (39)

Analog spunem ca funct, ia RY : R → R cu

RY(x) = M(Y|X = x), ∀ x ∈ R (39’)

se numes, te regresia lui Y ın raport cu X.Graficul lui RX(y) se numes, te curba de regresie a lui X ın raport

cu Y , iar graficul funct, iei RY(x) se numes,te curba de regresie a lui Y

ın raport cu X .




3.77. Definit,ie. Daca RX (y) s, i RY (x) are forma:

(1) RX (y) = ay + b, ∀y ∈ R

(2) RY (x) = αx + β, ∈ x ∈ R Spunem ca regresia dintre X s, i Y este

liniar˘ a .

3.78. Observat,ie. (1) RX (y) = ay + b, ∀ y∈R ⇔ M(X|Y) = aY + b,

(??) RY (x) = αx + β , ∀ x ∈ R ⇔ M(Y|X) αX + β

Intr-adevar, (1) ⇔ M(X|Y = y) = ay + b,∀ y∈R ⇔ M(X|Y) = aY + b

Pentru (2) se procedeaza ca la (1).

3.79. Propozit,ie. Daca regresia dintre X s, i Y este liniara, atunci:

(1) RX(y) = r(X, Y ) σX σY

(y − M o1) + M 1o, ∀ y ∈ R

(2) RY(x) = r(X, Y ) σY σX

(x − M 1o) + M o1, ∀ x ∈ R.

Demonstrat ,ie . (1) Regresia fiind liniara, conform cu 3.78, avem:

M(X|Y) = aY + b. (40)

Aplicand operatorul de medie s, i t, inand seama de 3.75, obt, inem:

M(X) = aM(Y) + b (41)

Din scaderea ultimelor doua relat, ii gasim:

M(X|Y) − M(X) = α(Y − M(Y)) (*)

Dupa ce se ınmult,es, te cu Y aceasta relat, ie, se aplica operatorului de medie

s, i avem:

M(Y . M(X|Y))

− M(X) . M(Y)=α(M(Y2)

− M2(Y)).

Tinand seama de 3.75 obt, inem:

M(XY) − M(X) . M(Y) = α(M(Y2) − M2(Y)).

Rezulta: α = cov(X,Y )

σ2Y

= r(X,Y )·σX ·σY σ2Y

= r(X, Y ) σXσY

Relat, ia (*) se mai scrie (vezi 3,78):

M(X|Y = y) − M1o = α(y − Mo1), ∀ y ∈ R.

(2) Se procedeaza ca la punctul (1).

3.80. Observat,ii. 1. Punctul de coordonate (M1o, Mo1) ∈ R2 se

gases,te pe fiecare din dreptele de regresie.2 Daca variabilele aleatoare sunt necorelate (i.e. r (X,Y) = 0), dreptele

de regresie (i.e. RX(y) = M1o s, i RY(x) = Mo1) sunt paralele cu axele de

coordonate (prima cu axa ordonatelor s, i a doua cu axa absciselor).




3.8 Funct, ia caracteristicaa unei variabile aleatoare

3.8.1 Definit,ia funct

,iei caracteristice

Not, iunea de funct, ie caracteristica asociata unei variabile aleatoare este un

instrument de studiu us,or de folosit deoarece conduce la calcule mai simple

fat, a de cele obis,nuite prin metoda momentelor s, i are aplicat, ii ın studiul

proceselor stochastice.

Fie (Ω, K , P ) un camp de probabilitate s, i X, Y doua variabile aleatoare

reale, C mult, imea numerelor complexe s, i i2 = −1.

3.82. Definit, ie. Aplicat, ia ξ : Ω → C, de forma ξ = X + iY se numes, te

variabil˘ a aleatoare complex˘ a .

3.83. Exemplu. Fie t ∈ R s, i variabilele aleatoare cos (tX) s, i sin (tX).

Atunci ξ = costX + isintX (= eitX ) este o variabila aleatoare complexa.

De aici rezulta ca oricarei variabile aleatoare reale X ıi corespunde o

variabila aleatoare complexa eitX .

3.84. Definit,ie. Fie F funct, ia de repartit, ie a variabilei aleatoare X.

Funct, ia F ϕX : R → C, definita prin

ϕX (t) = M (eitX ) = R eitxdF(x) (42)

se numes, te funct , ia caracteristic˘ a a variabilei aleatoare X .

Daca X este variabila aleatoare discreta , X :

x j

p j

j ∈ I

, atunci

e itX :

eitxj

p j

j ∈ I

. De aici conform definit, iei φX (t) =

j∈I eitxj p j este

funct, ia caracteristica asociata lui X.

Daca X este variabila aleatoare continua cu densitatea de repartit, ie ρ(x),

X : x

ρ(x)

x ∈ R

, atunci eitX : e

itx

ρ(x)

x ∈ R

.

De aici conform definit, iei, funct, ia caracteristica a variabilei aleatoare va

fi:



3.8. Funct, ia caracteristica a unei variabile aleatoare 79

ϕX (t) =

+∞−∞

eitxρ(x)dx.

Deci, daca X este variabila aleatoare reala, atunci:

ϕX (t) =

j∈I

eitxj p j, daca X este v.a. discret+∞ −∞

eitxρ(x)dx, daca X este v.a. continu.(43)

3.8.2 Proprietat,i imediate ale funct

,iilor caracteristice

3.85. Propozit,ie. Fie X o variabila aleatoare, Mn(X) momentul init, ial

de ordin n al lui X s, i ϕX funct, ia caracteristica a lui X. Atunci avem:

(1) ϕX(0) = 1

(2) |ϕX(t)| ≤ 1

(3) ϕaX+b(t) = e itbϕX(at), a, b ∈ R

(4) ϕX(−t) =ϕX (t)

(5) Daca (∃) Mn(X), (∀) n ∈ N, atunci :

(a) ϕX(t) =

n≥0in

n!M n(X )tn s, i

(b) ϕ(n)X (0) = inM n(X ) sau M n(X ) = 1

inϕ(n)X (0)

(6) Daca (X j ) j=1,n

sunt variabile aleatoare independente, atunci:

ϕnj=1 X j(t) =

n j=1

ϕX j(t).

Demonstrat ,ie.(1) Daca X:

x j

p j

j ∈ I

,

ϕX (0) =

j∈I

ei·0xj p j =

j∈I

p j = 1.

Daca X este variabila aleatoare continua cu densitatea de repartit, ie ρ(x),

atunci:

ϕX (0) =+∞ −∞

ei·0·xρ(x)dx+∞ −∞

ρ(x)dx = 1

(2) |ϕX (t)| =+∞ −∞

eitxρ(x)dx

≤+∞ −∞

|eitxρ(x)| dx =+∞ −∞

|eitx| ρ(x)dx =




=+∞ −∞

ρ(x)dx = 1

ϕaX +b(t) =

+∞

−∞

eit(ax+b)ρ(x)dx = eitb

+∞

−∞

ei(at)xρ(x)dx = eitb

·ϕX (at) (3.19)

ϕX (−t) =

+∞ −∞

ei(−t)xρ(x)dx =

+∞ −∞

ei(t)xρ(x)dx =

+∞ −∞

eitxρ(x)dx = ρx(t)

(3.20)

(5) (a) Cum e z =

n≥0zn

n!, pentru z = itx avem:

e itx =

n≥0(itx)n

n! =

n≥0

intnxn

n! .

De aici rezulta ca:

ϕX (t) = +∞ −∞

n≥0

intnxn

n!

ρ(x)dx =(seria de funct, ii de sub semnul integra-

lei, fiind uniform convergenta pe R, ınsumarea comuta cu integrala)

=n≥0

intn

n!

+∞ −∞

xnρ(x)dx =n≥0

in

n!M n(X )tn

(b) Daca notam an =

n≥0in

n!M n(X ), atunci funct, ia caracteristica va fi:

ϕX (t) = n≥0

antn

de unde se obt, ine ca an = 1n!

ϕ(n)(0),(∀) n ≥ 0.

Atunci rezulta: M n(X ) = n!in

an = n!in · 1

n!ϕ(n)(0) ⇒ c. c. t. d.

(6) ϕ nj=1

X j(t)=M

e

itn1

X j

= M

n j=1 eitX j

ind. v.a.

=n

j=1 M

eitX j

=n j=1 φX j(t).

3.86. Aplicat,ii: 1. Fie X o variabila aleatoare cu repartit, ia:

X : −2 0 213

13

13

.

Folosind funct, ia caracteristica sa se determine M (X ) s, i D2(X ).

Rezolvare. Conform definit, iei



3.8. Funct, ia caracteristica a unei variabile aleatoare 81

ϕ(t) = M (eitx) = e−i2t · 1

3 + ei·0·t · 1

3 + ei2t · 1

3 =

= 13(cos 2t − i sin 2t + 1 + cos 2t + i sin 2t) = 1

3(2 cos 2t +1).

De aici: ϕ’ (t) = −4

3 sin 2t s, i ϕ”(t) = −8

3 cos 2t. Acum rezulta:M(X) = 1

iϕ’ (0); M (X 2) = M 2(X ) = 1

i2ϕ”(0) = −1 · −8

3 · 1 = 8

3 s, i

D2(X ) = M (X 2) − M 2(X ) = 83 − 02 = 8

3.

2. Densitatea de repartit, ie a unei variabile aleatoare continua X este:

ρ(x) =

0 ,dac |x| > 2

12

1 − |x|

2

,dac |x| ≤ 2

.

Sa se determine funct, ia caracteristica a lui X.

Rezolvare. Din definit, ie avem: ϕ(t) = M(e itX) =

+∞−∞ eitx · ρ(x)dx =

1

2 2−2 1 − |x|2 e

itx

dx =

1

2 0−2 1 +

x

2 e

itx

dx+

1

2 20 1 − x

2 e

itx

dx=(ın prima integrala facem schimbarea x = −y s, i obt, inem)

= 1

2

2 0

1 − x

2

e−itxdx+

1

2

2 0

1 − x

2

eitxdx =

1

2

2 0

1 − x

2

e−itx + e−itx

dx =

= 12

2 0

1 − x

2

. 2 cos tx dx = (folosim integrarea prin part, i; u = 1 − x

2 ⇒

u′ = −12

dx; v’ = cos tx ⇒ v = 1t sin tx).

=

1 − x

2

1

t sin tx

2

0+

1

2t

20

sin txdx = 1

2t

−1

t cos tx

2

0=

1

2t2(1−cos2t).

Rezulta ϕ(t) = sin2 tt2

.

3.87. Propozit,ie. Funct, ia caracteristica ϕ a oricarei variabile aleatoare

X este uniform continua pe R.

Demonstrat ,ie. Din (43) rezulta ca ϕX (t) =

R

eitxdF(x), unde F (x) este

funct, ia de repartit, ie a variabilei aleatoare X. Pentru ∀ t1, t2 ∈ R, avem:|ϕ(t2) − ϕ(t1)| =

R(eit2x − eit1x)dF(x)

≤ R

|(eit2x −eit1x)| dF(x) =

dar |eit2x − eit1x| ≤ |eit1x| · ei(t2−t1)x − 1 = 2

sin (t2−t1)x

2

=2

|x|<a

sin t2−t12

x dF(x) + 2

|x|≥a

sin t2−t12

x dF(x),∀ a ∈ (0, ∞)




Majorand pe sin t2−t12 xın doua moduri

cu |t2−t1|

2 |x| i cu 1

obt, inem:

| ϕ(t2) − ϕ(t1) |≤| t2 − t1 | |x|<a

|x| dF(x) + 2 |x|≥a

dF(x) ≤| t2 − t1 |.a

|x|<a

dF(x) + 2

|x|≥a

dF(x)=

=

| t2

−t1

| a . P (

|X

| < a) + 2 P(

|X

| ≥ a)

≤≤ | t2 − t1 | a . 1 + 2P(|X| ≥ a), ∀ a ∈ (0, +∞).

Fie ǫ > 0 s, i alegem pe a astfel ıncat P(|X|) ≥ a) < ε4 .

De ındata ce | t2 − t1 |< ε2a

, avem: | ϕ(t2) − ϕ(t1) |< ǫ.

Am vazut (ın 3.84) ca fiind data funct, ia de repartit, ie F a unei variabile

aleatoare se poate construi funct, ia caracteristica corespunzatoare.

Teorema care urmeaza prezinta rezultatul reciproc.

Prezentam fara demonstrat, ie teorema:

3.88. Teorema (de inversiune). Fie ϕ s, i F funct, ia caracteristica s, i

respectiv funct, ia de repartit, ie a variabilei aleatoare X. Atunci daca a, b(a < b)

sunt puncte de continuitate ale lui F , avem:

F (b) − F (a) = limr→∞

1

2π

r

−r

e−ita − e−itb

it ϕ(t)dt

Pentru funct, ia de repartit, ie normalizata aceasta relat, ie are loc pentru

orice puncte a, b ∈ R, cu a < b.

3.89. Teorema (unicitate). Fie funct, ia de repartit, ie F a variabilei

aleatoare X este ın mod unic determinata de funct, ia sa caracteristica ϕ(t).Demonstrat

,ie . Fie x s, i a, cu x > a puncte de continuitate ale lui F .

Conform cu 3.88 avem:

F (x) = F (a) + limr→∞

1

2π

r

−r

e−ita − e−itx

it ϕ(t)dt

Deoarece lima→−∞

F (a) = 0, rezulta:

F (x) = lima→−∞

limr→∞

12π

r−r

e−ita−e−itx

it · φ(t)dtsau

F (x) = lima→−∞

12π ∞−∞ e−ita−e−itx

it

· φ(t)dt

(a → −∞ pe mult, imea punctelor de continuitate ale lui F ).



Capitolul 4

Legi de probabilitate clasice

O lege de probabilitate se caracterizeaza prin faptul ca oricarei valori pe

care o ia a variabila aleatoare i se asociaza o probabilitate corespunzatoare

s, i numai una.

Pentru considerente practice, ın teoria probabilitat, ilor se studiaza cateva

legi de probabilitate clasice, ıntalnite mai frecvent ın rezolvarea diferitelor

probleme.

4.1 Repartit, ii discrete

4.1.1 Repartit,ia binomiala

Repartit, ia binomiala (numita s, i legea lui Bernoulli ) serves, te la studiul

multor fenomene statistice. Aceasta repartit, ie intervine ın cazul fenomenelor

ce constau din repetarea independenta a unui experiment aleator. Legat de

acest experiment se considera un eveniment A care se produce cu probabilita-

tea p (prin convent, ie numit succes, iar A es, ec) s, i se cere pk, probabilitatea

ca evenimentul A sa se produca doar de k ori ın cele n repetari ale experi-

mentului.

Astfel evenimentului A i se asociaza variabila aleatoare

83



84 Capitolul 4. Legi de probabilitate clasice

X :

k

pk

k = 0, n

. (1)

Daca pentru fiecare j, j = 1, n, definim variabila aleatoare Y j care ia

valorile 1 sau 0 ( i.e. Y j :

1 0

p q

, q = 1 − p), dupa cum la repetarea de

rang j se realizeaza evenimentul A sau evenimentul A, atunci:

X = Y 1 + Y 2 + ... + Y n, (2)

Y 1, Y 2,...,Y n fiind variabile aleatoare independente.

In definirea acestei repartit, ii avem ın vedere schema lui Bernoulli. Aceasta

schema este realizata de o succesiune de extrageri independente dintr-o urna

care cont, ine bile albe s, i bile negre ın cantitat, i cunoscute.Conform schemei

lui Bernoulli se cunoas, te ca pk = C kn pkq n−k.

4.1. Definit,ie. Spunem ca variabila aleatoare X are repartit , ia bi-

nomial˘ a (sau ca X este o variabila aleatoare binomiala) de parametri n s, i

p(n ∈ N∗, 0 < p < 1) daca P (X = k) = P n(k), unde

P n(k) = pk, k = 0, n , q = 1 − p. (3)

Vom nota cu B(n, p) mult, imea variabilelor aleatoare binomiale sau ber-

nuliene de parametrii n s, i p.

Din 4.1. rezulta ca X ∼ B(n, p) daca s, i numai daca X are repartit, ia (1)

unde pk este dat de (3).Folosind relat, ia (1) gasim ca funct, ia de repartit, ie a variabilei aleatoare

X ∼ B(n, p) este: F (x) = 0 daca x ≤ 0, F (x) = 1 daca x > n s, i

F (x) =m

k=0

C kn pkq n−k, x ∈ (m, m + 1] , m = 0, n − 1 (4.1)

4.2. Teorema. Daca X ∼ B(n, p) (i.e este o variabila aleatoare bino-

miala de parametrii n s, i p), atunci:

1˚. ϕ(t) = ( peit

+ q )n

, t ∈ R este funct, ia caracteristica a lui X ;2˚. M (X ) = np;

3˚. D2(X ) = npq ;

4˚. (n + 1) p − 1 ≤ k0 ≤ (n + 1) p, k0 fiind dominanta.



4.1. Repartit, ii discrete 85

Demonstrat ,ie. 1˚. Pentru ca X ∼ B(n, p),

X :

k

pk

k = 0, n

.

eitX

: eitk

pk

k = 0, n .

ϕ(t) = M (eitX ) =n

k=0

eikt · pk =n

k=0

eiktC kn pkq n−k =

=n

k=0

C kn(eit p)kq n−k = ( peit + q )n;

2˚. Se calculeaza ϕ′(t) = npieit( peit + q )n−1 s, i ϕ′′(t) = npi2eit( peit +

q )n−1 + n(n − 1) p2i2e2it( peit + q )n−2. De aici se gases,te mai ıntai ϕ′(0) = npi

s, i ϕ′′(0) = np(np + q )i2. Apoi folosind formula momentelor avem M (X ) =1iϕ′(0) = np s, i

3˚.D2(X ) = M (X 2)−M 2(X ) = 1i2 ϕ′′(0)−n2 p2 = np(np+q )−n2 p2 = npq.

4˚. k0 fiind dominanta, avem: P (k0 − 1) ≤ P (k0) ≥ P (k0 + 1) ⇔

⇔ C k0−1n pk0−1q n−k0+1 ≤ C k0n pk0q n−k0 ≥ C k0+1n pk0+1q n−k0−1 ⇔

⇔ n!

(k0 − 1)!(n − k0 + 1) pk0−1q n−k0+1 ≤ n!

k!(n − k0)! pk0q n−k0 ≥

≥ n!

(k0 + 1)!(n − k0 − 1)! pk0+1q n−k0−1 ⇔ q 2

(n − k0 + 1)(n − k0) ≤

≤ pq

(n − k0)k0≥ p2

k0(k0 + 1) ⇔

q

n−k0+1 ≤ p

k0 p

k0+1 ≤ q

n−k0

⇔

⇔

k0q ≤ np − k0 p + p

pn − pk0 ≤ k0q + q ⇔

k0 ≤ (n + 1) p

(n + 1) p − 1 ≤ k0

⇒ c. c. t. d.

Observat ,

ie. (p + q)k

= Pn(0) + Pn(1) + ... + Pn(k); k = 1, n.Pentru ca p + q = 1 ⇒ Pn(k) = 1 - [Pn(0) + Pn(1) + ... + Pn(k - 1).

Aceasta ultima relat, ie permite calcularea iterativa a probabilitat, ii Pn(k),

de aparit, ie a unui eveniment de cel put, in k ori, k = 0,n.




4.3. Remarca. Daca X este o variabila aleatoare cu funct, ia caracteris-

tica ϕ(t) =( pe it + q)n, atunci X ∼ B(n, p).

4.4. Propozit,ie. Fie X i ∼ B(ni, p), i = 1, r, variabila aleatoare inde-

pendenta. Atunci:r

i=1 X i ∼

B r

i=1 ni, p.

Demonstrat ,ie. Deoarece variabilele aleatoare (X i)

i = 1, nsunt inde-

pendente, atunci funct, ia caracteristica a variabilei aleatoarer

i=1

X i este: ϕX i(t) =

ri=1

ϕX i(t). Si pentru ca ϕX i(t) = ( peit + q )ni, ∀ i = 1, r, rezulta ca: ϕ r

i=1X i

(t) =

( peit + q )

ri=1

ni.Conform cu 4.3. avem ca

n

i=1X i ∼ B

r

i=1ni, p

.

4.5. Observat,ie. Pentru variabilele aleatoare Y

j, ment, ionate la ınceputul

acestei sect, iuni avem Y j ∼ B (1, p), j = 1, n s, i conform 4.4. Y ∼ B (n, p) cu

Y dat de (2).

4.1.2 Repartit,ia Poisson

In cazul repartit, iei binomiale de parametri n s, i p, daca numarul ,,n“ al

probelor este foarte mare iar p este mic, p fiind probabilitatea de realizare

a unui eveniment A, atunci evenimentul A este un eveniment rar , iar

legea de repartit, ie a variabilei aleatoare ce caracterizeaza evenimentul A, se

numes, te legea evenimentelor rare (sau legea lui Poisson ). In aceasta

situat, ie formula (3) este incomoda ın calcule. De aceea pentru Pn(k) se alege

o aproximare. Pentru aceasta notam np = λ (= constanta) s, i avem:

P n(k) = n(n − 1)...(n − k + 1)

k! · pk(1 − p)n−k

p=λn=

=

n(n

−1)...(n

−k + 1)

k! · λ

nk

· 1 − λ

nn−k

=

= λk

k! · n(n − 1)...(n − k + 1)

nk ·

1 − λ

n

n−k

→ λk

k!e−λ.



4.1. Repartit, ii discrete 87

4.6. Definit,ie. 1˚. Repartit, ia determinata de probabilitat, ile

P k = λk

k!e−λ, k ∈ N (5)

se numes, te repartit , ia Poisson de parametru λ > 0.

2˚. O variabila aleatoare X cu repartit, ia

X :

k

pk

k∈N

, pk

= λk

k!e−λ, k ∈ N (6)

se numes, te variabil˘ a aleatoare Poisson sau variabil˘ a aleatoare poa-

ssonian˘ a .

Se observa ca P k > 0s, i P k = e−k λk

k!

−e−λ

·eλ = 1. Deci repartit, ia

lui X este bine definita.

Repartit, ia lui Poisson, ın afara de faptul ca este strans legata de distribut, ia

binomiala, joaca un rol important ın studiul fenomenelor.

4.7. Teorema. Daca X este o variabila aleatoare Poisson de parametru

λ, atunci avem:

1) ϕX (t) = eλ(eit−1), ∀ t ∈ R;

2) M(X) = λ;

3) D2(X) = λ.

Demonstrat ,ie. 1) ϕX (t) = M(eitX ) =

∞k=0

eikt · pk =∞

k=0

eikt · e−λ · λk

k! =

= e−λ∞

k=0

(λ·eit)k

k! = e−λ · eλℓit = eλ(eit−1),c. c. t. d.

2) M (X ) = 1iφ′X (0) = 1

i

λieiteλ(eit−1)

t = 0

= 1i · λi = λ.

3) M (X 2) = 1i2

ϕ′′X (0) = 1

i2

λi2eit · eλ(eit−1) + λ2i2eit2eλ(eit−1)

t=0

= λ + λ2

D2(X) = M(X2) - M2(X) = λ + λ2 − λ2 = λ.

Legea lui Poisson poate fi considerata ca limita catre care tinde legea bino-miala, cand probabilitatea p este foarte mica s, i numarul de probe (repetit, ii)

n este foarte mare.In general legea lui Piosson se aplica daca sunt satisfacute

condit, iile n ≤ 50 s, i p ≥ 0,1.




Vom nota p0(λ) mult, imea variabilelor aleatoare cu repartit, ie Poisson de

parametru λ.

4.8. Propozit,ie. Daca X j ∈ p0(λ j ), j = 1, n sunt variabile aleatoare

independente atunci

n j=1 X j ∼ p0

n j=1λ j.

Demonstrat ,ie. Notam S n =

n j=1

X j s, i determinam funct, ia caracteristica a

variabilei aleatoare S n. Deci: φS n(t) =n

j=1

eλj(eit−1) = e(eit−1)n

j=1

λ j.

Astfel propozit, ia este demonstrata.

4.1.3 Distribut,ia geometrica

4.9. Definit,

ie. 1˚. Fie A un eveniment legat de experimentul aleatorE s, i k numarul de repetari ale experimentului considerat, pana la prima

realizare a lui A. Daca p este probabilitatea de realizare a lui A s, i q = 1 − p,

atunci repartit, ia determinata de probabilitat, ile

Pk = pq k−1, k ∈N

se numes, te repartit , ie geometric˘ a .

2˚. O variabila aleatoare

X :

k

pk

k ∈ N

, pk = pq k−1 (7)

se numes, te variabil˘ a aleatoare repartizat˘ a geometric.

4.10. Aplicat,ie. Daca X este o variabila aleatoare repartizata geome-

tric, atunci sa se calculeze:

a) ϕX funct, ia caracteristica a lui X ;

b) M (X ) s, i D2(X ).

Rezolvare.a)ϕX (t) := M (eitX ) = ∞k=0

eikt pk = ∞k=0

eikt pq k−1 = pq

∞k=0

(eitq )k =

(|eitq | = |q | = q < 1 ⇒∞

k=0

(eitq )k este o serie convergenta )



4.2. Repartit, ii continue 89

= p

q · 1

1−eitq,deci ϕX (t) = p

q · 1

1−qeit, t ∈ R.

b) φ′X =

pq · −(−qeit)‘

(1−qeit)2 = p

q · qieit

(1−qeit)2 = ipeit

(1−qeit)2 ⇒ (φ)′X (0) = ip

(1−q)2 = i

p

φ′′X (t) = i2 peit(1 − qeit)2 − 2(−iqeit)(1 − qeit) · ipeit

(1 − qeit)4 =

= i2 peit − i2 pqe2it + 2ipqe2it

(1 − qeit)3 =

i2 peit(1 + qeit)

(1 − qeit)3 ⇒

⇒ φ′′f (0) = i2 p(1+q)

(1−q)3 = i2(2− p)

p2 . De aici avem :

M (X ) = 1

i · φ′X (0) =

1

i · ip

(1 − q )2 =

p

p2 =

1

p;

M (X 2) = 1i2 · φ′′X (0) = 1

i2 · i2(2 − p)

p2 = 2 − p

p2

D2(X ) = M (X 2) − M 2(X ) = 2 − p

p2 − 1

p2 =

2 − p − 1

p2 =

1 − p

p2 =

q

p2

4.2 Repartit, ii continue

4.2.1 Distribut, ia (repartit, ia) uniforma continua

Este una din cele mai simple legi de probabilitate continue.

4.11. Definit,ie. Se spune ca o variabila aleatoare X este uniform

repartizat˘ a pe [a, b] (X este uniform˘ a pe [a, b]) daca admite densitatea

de probabilitate:

ρ(x) =

1b−a

,

0,

daca x ∈ [a, b]

daca x

∈ R

\[a, b]

(8)

4.12. Observat,ie. 1˚. X ia valori, ın intervalul [a, b], cu probabilitat, i

egale s, i nu poate lua valori ın afara intervalului.

2˚. Valoarea A = 1b−a

, rezulta din condit, ia de normare:




+∞ −∞

ρ(x)dx = 1 ⇔a

−∞

ρ(x)dx+

b a

ρ(x)dx+

+∞ b

ρ(x)dx = 1 ⇔b

a

ρ(x)dx = 1 ⇒

ρ(x)=A⇒b

a

Adx = 1 ⇒ A = 1

b − a.

4.13. Problema. Daca X este o variabila aleatoare uniform repartizata

atunci:

1˚. F (t) =

0 , daca t ≤ at−ab−a

, daca a < t ≤ b

1 , daca t > b

; 2˚. M (X ) = a+b2

;

3˚. D2(X ) = b−a2√ 32 = (a−

b)2

12 ; 4˚. φ(t) = 1it(b−a) · (eibt − eiat).

Rezolvare. 1˚. F(t)def =

t −∞

ρ(x)dx =

0, t ≤ at

a

ρ (x) dx, a < t ≤ b

b a

ρ (x) dx +t

b

ρ (x) dx, b < t

=

t a

ρ(x)dx = 1

b − a · x

t

a=

t − a

b − a

s, i de aici avem ca:

F(t) =

0 , daca t ≤ at−ab−a

, daca a < t ≤ b

1 , daca t > b

2˚. M (X ) =+∞ −∞

xρ(x)dx =b

a

x · 1b−a

· dx = 1b−a

· x2

2

b

a= b2−a2

2(b−a) = a+b

2

3˚. D2(X ) = M (X 2) − M 2(X ) =+∞

−∞

x2ρ(x)dx − a+b2

2=

=

b a

x2 · 1

b − adx −

a + b

2

2

= 1

b − a

x3

3

b

a−

a + b

2

2

=




= b3 − a3

b − a

1

3 − (a + b)2

4 =

4(a2 + ab + b2) − 3(a2 + 2ab + b2)

12 =

(a − b)2

12

Aceasta lege de probabilitate este ıntalnita mai des ın teoria erorilor s, i acompunerii acestora.

4.2.2 Repartit,ia exponent

,iala

4.14.Definit,ie. Se spune ca o variabila aleatoare X este repartizat˘ a

exponent , ial de parametru λ > 0 daca densitatea de probabilitate a sa

este:

ρ(x) =

0 , x ≤ 0

λe−λx , x > 0(4.2)

Vom nota e (λ)mult, imea variabilelor aleatoare repartizate exponent, ial de

parametru λ.

4.15. Propozit,ie. Daca X ∈ e (λ), atunci avem:

1˚. ϕ(t)= λλ−it

; 2˚. M(f) = 1λ

; 3˚. D2(f) = 1λ2 .

Demonstrat ,ie : 1˚. ϕ(t) = M(eiXt) =

+∞

−∞

eixtρ(x)dx =+∞

−∞

eixt · λe−λxdx =

= λ∞ 0

eixt−λxdx = λit−λ

e−(λ−it)x)

∞0

= λ

it−λ(e−∞ − e0) = λ

λ−it.

2˚.M (X ) = 1iφ′(0) = 1

iiλ

(λ−it)2

t = 0= 1

λ

φ′(t) = iλ

(λ−it)2

.

3˚. D2 (X ) = M (X 2)−M 2 (X ) = 1i2·φ′′(0)− 1

λ2 = 1i2·−iλ2(−2)

(λ−it3

t = 0− 1

λ2 =

= 1

λ2 − 1

λ2 =

1

λ2.

4.2.3 Repartit,ia gama

4.16. Definit,ie. Repartit, ia definita prin densitatea de probabilitate




ρ(x) =

0 , x ≤ 0

1Γ(α)

xα−1e−x , x > 0(4.3)

se numes, te repartit , ia gama, de parametru α, unde x ¿ 0, α ¿ 0.

Vom nota γ (α) mult, imea tuturor variabilelor aleatoare a caror densitate

de probabilitate este data de (??).

4.17. Propozit,ie. Daca X ∈ γ (α), atunci:

(1) ϕX (t) = (1 - it)−α; (2) M(X) = α; (3) D2(X) = α.

Demonstrat ,ie . (1) ϕX (t) = M(eitX ) = 1

Γ(α)

∞ 0

eitxxα−1e−xdx =

= 1

Γ(α)

∞

0∞

n=0(itx)n

n!

xα−1e−xdx = 1

Γ(α)

∞

n=0(it)n

n!

∞

0 xn+α−1e−xdx =

= 1

Γ(α)

∞n=0

(it)n

n! Γ(n + α) = 1 +

1

Γ(α)

∞n=1

(it)n

n! α(α + 1)...(α + n − 1)Γ(α) =

= 1 +∞

n=1

α(α + 1)...(α + n − 1)

n! (it)n = (1 − it)−α.

(2) M (X ) = 1iφ′(0) = 1

i(−α)(−i) = α.

(3) M (X 2) = 1i2 φ′(0) = α(α + 1)Rezulta: D2(X) = M(X2) - M2(X) = α(α + 1) - α2 = α.

4.18. Remarca. In loc ρ(x) dat de (??) se pate considera

ρ(x) =

0 , x ≤ 0

1Γ(α)βα

xα−1e−xβ , x > 0

(4.4)

In acest caz se gases, te: 1˚. ϕX (t) = (1 - iβ t)−α; 2˚. M(X) = αβ ;

3˚. D2(X) = αβ 2 s, i ın loc de γ (α), vom avea γ (α,β ) i.e repartit, ia gama

data de (10,

) are doi parametri.4.19. Propozit

,ie. Daca variabilele aleatoare X j ∈ γ (α j), j = 1, n s, i

sunt independente, atunci S n =n

j=1

X j ∈ γ

n

j=1

α j

.




Demonstrat ,ie . Notam S n =

n j=1

X j. Din independent,a variabilelor alea-

toare X j , j = 1, n obt, inem: φS n(t) =n

j=1

φX j(t) =n

j=1

(1 − it)−αj = (1 −

it)−

n

j=1

αj

.

Rezultan

j=1

X j ∈ γ

n

j=1

α j

.

4.2.4 Repartit,ia normala

Este legea de repartit, ie cea mai importanta din teoria probabilitat, ilor,

fiind denumita s, i legea Gauss .

4.20. Definit,ie. Repartit, ia definita prin densitatea de probabilitate

ρ(x) = 1

σ√

2πe−

(x−m)22σ2 , ∀x ∈ R (11)

se numes, te repartit , ia normal˘ a de parametri , m s, i σ, (σ > 0).

Vom nota N(m,σ) mult, imea variabilelor aleatoare cu densitatea de pro-

babilitate data de (11).

4.21. Propozit,ie. Daca X ∼ N (m, σ), atunci:

(1) M (X ) = m;

(2) D2(X ) = σ2.

Demonstrat ,ie. (1) M (X ) =

+∞ −∞

xρ(x)dx = 1σ√ 2π

+∞ −∞

xe−12(x−mσ )

2

dx.

Facand schimbarea de variabila t = x−mσ

se obt, ine:

M (X ) = 1√ 2π

+∞ −∞

(m + tσ)e−12

t2dt = σ√ 2π

+∞ −∞

te−t2

2 dt + m√ 2π

+∞ −∞

e−t2

2 dt.

Prima integrala este zero, iar a doua se cunoas, te ca este egala cu√

2π.

Deci M (X ) = m.

(2) Pentru calcularea dispersiei folosim definit, ia. Deci:

D

2

(X ) =

+∞ −∞ (x − m)

2

ρ(x)dx =

1

σ√ 2π

+∞ −∞ (x − m)

2

e

− (x−m)22σ2

dx =

= 2σ√ 2π

+∞ 0

(x − m)2e−(x−m)2

2σ2 dx.

Prin schimbarea de variabila t = (x−m)2

2σ2 se gases, te:




D2(X ) = 2σ2

√ π

∞ 0

t12 e−tdt =

2σ2

√ π · Γ

3

2

=

2σ2

√ π · 1

2Γ

1

2

= σ2.

4.22. Remarca. Graficul funct, iei ρ(x), x ∈ R are forma unui clopot

(uneori numit ,,clopotul lui Gauss“ ) s, i este simetric fat, a de dreapta x =

m. Punctul x0 = m este punctul de maxim

ρ(m) = 1σ√ 2π

, iar punctele

x1 = m − σ s, i x2 = m + σ sunt puncte de inflexiune pentru graficul funct, iei

ρ(x). Pentru σ mic graficul este t,uguiat, iar pentru σ mare graficul este

aplatizat.

Pentru x ∋ (m − 3σ, m + 3σ) funct, ia ρ(x) are valori neglijabile. De aceea

intereseaza doar cazul x ∈ (m−3σ, m+3σ). Aceasta convent, ie este cunoscuta

sub numele de regula celor 3σ.

4.23. Definit,ie. Pentru m = 0 s, i σ = 1 se obt, ine o forma particu-

lara a repartit, iei normale numita repartit , ia normal˘ a normat˘ a . Daca

X ∼ N (0, 1), atunci X se numes, te normal distribuit˘ a s, i normat˘ a (sauvariabila aleatoare normal˘ a standard ). Densitatea de repartit, ie a unei

variabile aleatoare X ∼ N (0, 1) este ρ(x) = 1√ 2π

e−12

x2, ∀x ∈ R

4.24. Exercit,iu. Sa se arate ca

∀X ∈ N(m,σ) ⇒ X −mσ

∈ N (0, 1) .

Rezolvare. M ( X −mσ

) = 1σ

(M (X ) − m) = 1σ

(M (X ) − m) = 1σ

m − m = 0

D2(X − m

σ ) =

1

σ

2

D2(x − m) = 1

σ

2

D2(X ) = 1

σ

2

σ2 = 1.

4.25. Propozit,ie. Fie X ∼ N (0, 1) s, i Y ∼ N (m, σ). Atunci:

(a) M n(X ) =

(2k − 1)M 2k−2(X ) , n = 2k,

0 , n = 2k − 1, ∀k ∈ N∗, ∀n ∈ N,




(b) P (a ≤ X < b) = Φ

b−mσ

− Φ

a−mσ

.

Valorile funct, iei lui Laplace sunt prezentate ın tabele.

4.27. Aplicat,ie. Daca X ∼ N (3, 2), sa se afle P (1 < X < 5).

Rezolvare. P (1 < X < 5) = Φ 5−32 −Φ 1−32 = 2

·Φ(1).

4.28. Propozit,ie. Daca variabilele aleatoare X j ∼ N (m j , σ j), j = 1, n

sunt independente, atunci variabilele aleatoare S n =n

j=1

X j ∈ N

n

j=1

m j ,n

j=1

σ j

.

Demonstrat ,ie. Variabilele aleatoare X j , j = 1, n fiind independente avem

ca φS n(t) =n

j=1

φX j(t) =n

j=1

eimjt− 12

t2σ2j = e

itnj=1

mj− 12

t2nj=1

σj

.

Astfel rezulta ca S n =n

j=1

X j ∈ N

n

j=1

m j ,n

j=1

σ j

.

4.2.5 Repartit,ia hi - patrat (χ2)

Aceasta repartit, ie este un caz particular al repartit, iei gama cu doi para-

metri (γ (α, β )). Se obt, ine din aceasta pentru α = n2

s, i β = 12σ2 .

4.29. Definit,ie. Spunem ca o variabila aleatoare X este reparti-

zat˘ a χ2 (sau are repartit , ia χ2) de parametrii n s, i σ¨ (s, i scriem X

∈ χ2(n,σ)) daca:

ρ(t) = 0 , t < 0

1

2n2 σΓ(n2 )

· tn2−1 · e−

t2σ2 , t ≥ 0, σ > 0, n ∈ N ∗

(4.5)

Daca X ∈ χ2(n,σ), prin particularizari din γ (α,β ), se obt, inem:

M(X) = nσ2; D2(X) = 2nσ2; σ(X) = σ2√

2n; ϕX (t) = (1 − 2itσ2)−n2 .

Generarea de variabile aleatoare cu repartit,ia χ2

4.30. Teorema. Daca X ∈ N(0, 1), atunci ξ = X2 ∈ χ2(1, 1).

Demonstrat ,ie. Vom arata ca densitatea de repartit, ie a lui ξ este:

ρξ(t) = 0 , t ≤ 0

1√ 2Γ( 1

2)t−

12 e−t2 , t > 0

.

Din ξ = X 2, rezulta ca F ξ(t) = P (ξ < t) = P (X 2 < t) = P −√

t < X <√

t

=




= F X

√ t − F X

−√ t

. De aici avem ca densitatea de probabilitate a

lui ξ este:

ρξ(t) = F ′ξ(t) = 12√

tF ′X

√ t

+ 12√

tF ′X

−√ t

= 12√

t

ρX

√ t

+ ρX

−√ t

=

= 1

2√ t 1

√ 2π

e−t2 + 1

√ 2π

e−t2 = 1

2√ 2πt

2e−t2 = 1

√ 2√ πt−12 e−t2 .

Variabila aleatoare ξ ∈ χ2 (1.1). Rezulta ca funct, ia caracteristica a lui ξ

este ϕξ(t) = (1 − 2it)−12 . (ın expresia lui ϕX (t), se σ = n = 1).

4.31. Teorema. Daca X j ∼ N (0, 1), j = 1, n sunt variabile aleatoare

independente, atunci variabila aleatoare ξ = X 21 + X 22 + ... + X 2n ∈ χ2(n, 1).

Demonstrat ,ie. Conform cu 4.30, funct, ia caracteristica a luiX 2 j va fi ϕ j(t)

=(1 − 2it)− 12 , ∀ j = 1, n. Atunci funct, ia caracteristica a lui ξ va fi ϕξ(t) =

ϕ1(t) · ϕ2(t) · ... · ϕn(t) = (1 − 2it)−n2 , adica funct, ia caracteristica a unei

variabile aleatoare χ2(n, 1).

4.32. Definit,ie. Numarul ,,n“ de variabile aleatoare independente care

genereaza pe ξ se numes, te num˘ arul gradelor de libertate ale lui ξ . In

acest caz scriem ξ ∈ χ2n, adica ξ urmeaza legea χ2 cu n grade de libertate.

h2α,nDaca α este aria has,urata din figura alaturata, atunci numarul h2

α,ncu

proprietatea P

χ2n > h2

α,n

= α se numes, te α − cuantila superioara a unei

variabile aleatoare repartizata χ2n. Valorile lui α se gasesc ın tabele.

4.2.6 Repartit,ia student cu n grade de libertate S(n)

4.33. Definit,ie. Spunem ca variabila aleatoare urmeaza repartit , ia

student cu n grade de liberate (n ∈ N∗) daca are densitatea de repartit, ie.

ρ(t) = 1

√ nBn2

, 12

·1 + t2

n−n+1

2

, t ∈ R. (13)

Vom nota cu S (n) mult, imea variabilelor aleatoare a caror densitate de

probabilitate este data de (??) (i.e. S (n) este mult, imea variabilelor aleatoare




port, iunii has,urate din figura alaturata. Valorile lui α se gasesc in tabelele

calculate pentru diferite grade de libertate.

4.2.7 Repartit,ia Snedecor si repartit

,ia Fisher

4.38. Definit,ie. Spunem ca variabila aleatoare X urmeaza repartit , ia

Snedecor daca are densitatea de repartit, ie

ρ (t) = n1

n2

n12 · 1B

n1

2 , n2

2

· tn12 −1 ·1 + n1

n2t−n1+n2

2 , t ≥ 0 (4.7)

unde n1, n2 ∈ N s, i fiecare reprezinta numarul gradelor de libertate ale lui

X.

4.39. Exercit,iu. Sa se verifice ca funct, ia data de (??) este densitatea

de repartit, ie a unei variabile aleatoare.

Vom nota cu F(n1,n2) mult, imea variabilelor aleatoare a caror densitate

de repartit, ie este data de (??).

4.40. Propozit, ie. Daca X ∈F(n1,n2), atunciM(X ) = n2

n2−2 , n2 > 2; (b) M(X 2) = n2

2

n1· n1+2(n2−2)(n2−4) , n2 > 4

Demonstrat , ie. Vom calcula mai ıntai M(X r), r¿0.

M(X r) =

n1

n2

n12 · 1

B(n12 ,n22 )

·+∞ 0

xrxn 12 −1

1 + n1

n2x−n 1+n2

2dx

In integrala de mai sus se face schimbarea de variabila y = n1

n2x s, i obt, inem

∞

0 xr+n12 −1

1 + n1

n2x

−n 1+n22

dx =∞

0 n2

n1r+n 12 −1

· yr+n12 −1 (1 + y)r+

n12 −1 · n2

n1dy =

=

n2

n1

r+n 12

·∞ 0

yr+n 12 −1 (1 + y)−

n 1+n22 dy =

n2

n1

r+n 12

· B

r + n1

2 , −r +

n2

2




Si astfel rezulta (??).

4.43. Definit,ie. Repartit, ia cu densitatea de repartit, ie data de (??) se

numes, te repartit , ia z a lui Fisher, F α;n1,n2.

4.44. Remarca. Daca X

∈ F (n1, n2), variabila aleatoare X se mai

noteaza s, i prin F n1,n2, iar α-cuantila superioara a lui X se noteaza F α;n1,n2s, i

se determina din condit, ia P (X > F α;n1,n2) = α.

Numarul α reprezinta aria port, iunii has,urate din figura alaturata. Valo-

rile lui α corespunzatoare diferitelor grade de libertate se gasesc in tabele.4.45. Aplicat

,ii. 1o. Profitul unei firme se realizeaza ca urmare a act, iunii

factorilor U = 2X − 5Y s, i V = 3X + Y , cu X ∼ N (4, 1) s, i Y ∼ B(5;0, 2)

factori independent, i. Sa se determine: a) D2(U ) s, i D2(V ); b) r(U, V ); c)

P (2 < X < 6); d) o limita inferioara pentru P (−3 < Y < 5).

Rezolvare:

a) D2(U ) = D2(2X-5Y)=2 2D2(X ) + 25D2(Y )=4·1+25·5·0,2·0,8=24

D2(V)=9 ·D 2(X ) + D2(Y ) =9·1+0,8=9,8.

Pentru dispersia lui Y s-a folosit formula D2

(Y)=npq ;b) Deoarece r(U, V ) = M (UV )−M (U )·M (V )

σ(U )·σ(V ) s, i pentru ca

U ·V =(2X -5Y )(3X + Y )=6X 2-13XY -5Y 2, M (Y )=np=5·0,2=1,

M (U, V ) =M(6X 2-13XY -5Y 2)= 6M (X2)-13M (XY)-5M(Y2),

M (X 2) = M 2(X )+D2(X )=16+1=17,

M (Y 2) =1+0,8=1,8 s, i M(XY)=M(X)·M(Y)=4·1=4 rezulta

M(UV)= 6•17-13·4-5·1,8=102-52-9,

M (U ) =2M (X )-5M (Y )=2·4-5=3,

M (V )=3M (X ) + M (Y )=13 s, i ın final r(U, V ) = 12√ 14,7 .

c) Conform cu 4.25 avem

P (2 < X < 6) = Φ6−41

− Φ2−41

= 2Φ(2) = 2 · 0, 47725 = 0, 95450;




d) Folosind inegalitatea lui Cebas,ev obt, inem

P (−3 < Y < 5) = P (|Y − 1| < 4) ≥ 1 − D2(Y )42

= 1 − 0,816

= 0, 95

4.2.8 Repartit, ia normala bidimensionalaAceasta repartit, ie are aplicat, ii importante ın analiza regresiei s, i corelat, iei.

4.46. Definit,ie. O variabila aleatoare bidimensionala X = (X 1, X 2)

urmeaza repartit , ia normal˘ a bidimensional˘ a de parametri m1, m2, σ1, σ2

s, i r, daca:

ρ (x1, x2) = 12πσ1σ2

√ 1−r2

e− 1

2(1−r2)

x1−m1σ1

2−2r(x1−m1)(x2−m2)σ1σ2

+x2−m2σ2

2,(17)

∀(x1, x2)

∈R2 ,unde m1, m2

∈R, σ1 > 0, σ2 > 0 s, i r

∈ (

−1, 1).

4.47. Exercit,iu. (1) Sa se arate ca ρ (x1, x2) este o densitate de

repartit, ie;

(2) Sa se calculeze densitat, ile de repartit, ie marginala ale lui X s, i cav(X 1, X 2).

Rezolvare: (1) Deoarece ρ (x1, x2) ≥0 ∀ (x1, x2) ∈ R2, ramane sa aratam

ca R2

ρ (x1, x2)dx1dx2 = 1. Dar

I = R2

ρ (x1, x2)dx1dx2 =

= 1

2πσ

1σ2

√ 1−

r2

+∞

−∞

+∞

−∞e− 1

2(1−r2)

x1−m1σ1

2−2r(x1−m1)(x2−m2)σ1σ2

+x2−m2σ2

2

Se face schimbarea de variabile

xi = σiti + mi, i = 1, 2 (4.9)

cu iacobianul

D(x1,x2)D(t1,t2)

=

∂x1

∂t1

∂x1

∂t2∂x2

∂t1

∂x2

∂t2

=

σ1 0

0 σ2

= σ1σ2 > 0 s, i astfel se obt, ine

I = 12π√ 1−r2

+∞ −∞

+∞ −∞

e− 1

2(1−r2)(t21−2rt1t2+t22)dt1dt2 = (t21 − 2rt1t2 + t22) =

= (t1 − rt2)2 + (1 − r2) t22 = 12π

+∞

−∞ 1√

1−r2

+∞

−∞e−

1

2 t1−rt2√ 1−r2

2

−t222 dt1

dt2 =

= 12π

+∞ −∞

e−t222

1√ 1−r2

+∞ −∞

e− 1

2

t1−rt2√ 1−r2

2

dt1

dt2




In integrala interioara se face schimbarea de variabila z = t1−rt2√ 1−r2

(19)

s, i gasim I = 12π

+∞ −∞

e−t222

+∞ −∞

e−12

z2dz

dt2 = 1

2π

+∞ −∞

e−t222 · √

2πdt2 = 1

(2) Cele doua densitat, i marginale sunt date de relat, iile

f (s) =+

∞ −∞

g (s, x2)dx2 s, i g (t) =+

∞ −∞

g (x1, t) dx1

Astfel avem:

f (s) = 1

2πσ1σ2

√ 1 − r2

+∞ −∞

e− 1

2(1−r2)

s−m1σ1

2−2r(s−m1)(x2−m1)σ1σ2

+x2−m2σ2

2dx2 =

= 1

2πσ1σ2√ 1 − r2e− 1

2s−m1σ1

2+∞

−∞

e− 1

2(1−r2)rs−m1σ1

−x2−m2σ2

2

dx2

Se face schimbarea de variabila z = 1√ 1−r2

r s−m

σ1− x2−m2

σ2

s, i obt, inem

f (s) = −1

2πσ1

e− 1

2

s−m1σ1

2 +∞ −∞

e−z2

2 dz = 1

σ1

√ 2π

e− 1

2

s−m1σ1

2

Analog se obt, ine g (t) = 1σ2

√ 2π

e− 1

2

t−m2σ2

2

Rezulta ca repartit, iile marginale ale lui X sunt repartit, ii normale s, i deciX i ∈ N (mi, σi) , i = 1, 2.

Sa calculam acum pe cov (X 1, X 2) .

cov (X 1, X 2) = M [(X 1 − m1) (X 2 − m2)] =

+∞ −∞

+∞ −∞

(x1 − m1) (x2 − m2) ρ (x1, x2) dx1dx2

Se face schimbarea de variabila (??) s, i gasim

cov (X 1, X 2) = 1

2πσ1σ2

√ 1 − r2

+∞ −∞

+∞ −∞

σ1σ2t1t2 · e− 1

2(1−r2)(t21−2rt1t2+t22)·σ1σ2dt1dt2 =




Daca notam mx2,x1 = M (X 2|X 1 = x1) avem relat, ia

mx2,x1 − m2 = ρσ2

σ1(x1 − m1) (4.10)

numita ecuat , ia dreptei de regresie a lui X 2 ın raport cu X 1.

Analog se gases, te relat, ia

mx1,x2 − m1 = ρσ1

σ2(x2 − m1) (4.11)

numita ecuat , ia dreptei de regresie a luiX 1 ın raport cu X 2.

Din cele de mai sus rezulta ca regresia dintre X 1 s, i X 2 este liniara.



Capitolul 5

Siruri de variabile aleatoare

Deoarece variabila aleatoare este o funct, ie, rezulta ca s, irurile de v.a. sunt

s, iruri de funct, ii. Modelarea unor experimente aleatoare influent,ate de un

numar mare de factori impune folosirea s, irurilor de v.a. definite pe acelas, i

camp de probabilitate.

5.1 Tipuri de convergent, a pentru s, iruri de

variabile aleatoare

Fie (Ω, K, P ) un camp de probabilitate s, i fie (X n)n ⊂ V (Ω, K),

X ∈ V (Ω, K), F n (t) = P (X n < t) , ∀n ∈ N s, i F (t) = P (X < t).

5.1. Definit,ie. Spunem ca s, irul de variabile aleatoare (X n)n converge

aproape sigur catre v.a. X (s, i scriem X na.s.

n→∞X ) daca P (w |X n (w) −→ X (w)) =

1 sau P

w lim

n→∞X n (w) = X (w)

= 1 (1)


ın probabilitate (sau converge slab ) catre v.a. X (s, i scriem X nP

n→∞X )

daca ∀ε > 0 avem

limn→∞

P (w ||X n (ω) − X (w) |> ε ) = 0 (5.1)

sau echivalent

107



108 Capitolul 5. Siruri de variabile aleatoare

limn→∞

P (w ||X n (w) ≤ ε ) = 1 (5.2)


tare ın probabilitate catre v.a. X (s, i scriem X nt.p

n→∞X ) daca ∀ε > 0 s, i∀η > 0, ∃n0 = n (ε, η) ∈ N. astfel ıncat

P

∪n≥n0

w ||X n (w) − X (w) |≥ ε

< η (5.3)

sau echivalent

P

∩n≥n0

w ||X n (w) − X (w) |< ε

> η. (5.4)

5.4. Definit,ie. Spunem ca s, irul de variabile aleatoare (X n)

n

converge

ın medie de ordin r catre variabila aleatoare X (s, i scriem X nM

n→εX ) daca

exista M r (X n) , ∀n ∈ N s, i M r(X ). astfel ıncat limn→∞

M r(|X n − X |) = 0 (4).

5.5. Definit,ie. Spunem ca s, irul de v.a. (X n)n converge ın repartit , ie

(sau ın sens Bernoulli ) catre X (s, i scriem X nr

n→∞X daca limn→∞

F n (t) =

F (t) (5) ∀t ∈ R, punct de continuitate al lui F .

Prezentam fara demonstrat, ie urmatorul rezultat.

5.6. Teorema. Cu notat, iile de mai sus avem:

(1) X na.s.

n→∞

X

⇔ X n

t.pn→∞

X ; X nP

n→∞

X

⇒ X n

rn→∞

X x=t X nP

n→∞

X

(??) X nt.P

n→∞X ⇒ X nP

n→∞X ; X nM

n→∞X ⇒ X nP

n→∞X

De aici se observa ca cel mai slab tip de convergent, a este convergent,a ın

repartit, ie s, i ca aceasta convergent, a implica doar convergent, a ın probabilitate

atunci cand limita s, irului este o constanta.

5.2 Legea numerelor mari.

Fie (Ω,

K, P ) un camp de probabilitate s, i (X n)n

⊂ v (Ω,

K) , un s, ir de

v.a. Legea numerelor mari se refera la o colect, ie de teoreme ce prives, te

convergent,a aproape sigura s, i convergent,a ın probabilitate a s, irului de v.a.

(Y n)n ⊂ v (Ω, K) asociat s, irului (X n)n ⊂ v (Ω, K), cu Y n = 1bn

nk=1

X k − an(6),



5.2. Legea numerelor mari. 109

unde (an)n ⊂ R s, i (bn)n ⊂ R∗+, cu bn → +∞. Cel mai adesea se ia bn = n s, i

an = 1n

nk=1

M (X n).

In general, ın loc de relat, ia (6) se ia Y n = f n (X 1, X 2, · · · , X n) → an (6’)

unde f n : Rn

→ R este o aplicat, ie masurabila Borel s, i simetrica ın variabilelesale.

Daca f n (x1, · · · , xn) = 1bn

ni=1

xi se obt, ine (6).

5.7. Definit,ie. Daca exista un s, ir (an)n ⊂ R astfel ıncat 10. Y n

P 0

(20. Y na.s 0), atunci spunem ca s, irul de variabile aleatoare (X n)n urmeaza

legea slab˘ a a numerelor mari (legea tare a numerelor mari).

5.8. Observat,ii. Daca ın (6) se ia bn = n s, i an = 1

n

nk=1

M (X k) atunci

Definit, ia 5.7 devine: 10 s, irul de v.a. (X n) urmeaza legea slaba a numerelor

mari daca:

Y n = 1

n

nk=1

[X k − M (X k)] P −→ 0 (5.5)

20. s, irul de v.a. (X n) urmeaza legea tare a numerelor mari daca: Y n =n

k=1

[X k − M (X k)] a.s−→ 0 (7’)

40. Din (??) s, i (7’) rezulta ca legea numerelor mari spune ca s, irul

mediilor aritmetice a abaterilor de la medie a unui s, ir de variabile aleatoaretinde la zero ın probabilitate respectiv aproape sigur.

Teoremele ce au ın vedere legea numerelor mari sunt clasificate ın:

- teoreme slabe, daca privesc convergent, a ın probabilitate;

- teoreme tari, daca privesc convergent, a aproape sigura.

In definit, iile de mai sus s-a presupus ca M (X k) ∈ R, ∀k ≥ 0.

5.9 Teorema (Markov). Fie (X n)n ⊂ v (Ω, K)) un s, ir de v.a. pentru

care limn→∞

1n2 D2

n

k=1X k = 0 (8), atunci s, irul (X n)n urmeaza legea slaba a

numerelor mari.

Demonstrat ,ie . Aplicand inegalitatea lui Cebas,ev variabilei aleatoare Y n =

1n

nk=1

[X k − M (X k)] rezulta ca pentru ∀ε > 0 avem:




P (|Y n − M (Y n)| ≥ ε) ≤ D2 (Y n)

ε2 =

1

ε2n2D2

nk=1

X k

cum M (Y n) = 0, obt, inem ca limn→∞P (|Y n − 0| ≥ ε) = 0.Conform cu 5.2 s, i 5.7 rezulta afirmat, ia teoremei.

5.10 Corolar. Fie (X n)n≥1 un s, ir de v.a mutual independente astfel

ıncat limn→∞

1n2

nk=1

D2 (X k) = 0 (9), atunci s, irul (X n)n≥1 urmeaza legea slaba a

numerelor mari. Intr-adevar din cauza independent, ei, condit, ia (9) se trans-

forma ın condit, ia (8) s, i apoi se t, ine seama de 5.9.

5.11. Corolar (Cebas, ev). Fie (X n)n≥1 un s, ir de variabile aleatoare

mutual independente pentru care D2X n este finita, ∀n ≥ 1. s, irul (X n)n≥1

urmeaza legea slaba a numerelor mari.

Demonstrat ,ie . Deoarece dispersiile termenilor s, irului sunt finite, ∃A ∈ R

astfel ıncat avem D2 (X n) ≤ A < ∞ ∀n ≥ 1. Atunci 1n2

nk=1

D2 (X k) ≤ 1n2

nk=1

A = An

rezulta (9) s, i apoi folosind corolarul 5.10, obt, inem ceea ce trebuia demonstrat.

5.12. Teorema (Poisson). Fie S n numarul succeselor unui eveniment

A ın n probe independente ale unui experiment aleator s, i pk probabilitatea

lui A ın proba de ordin k, k ∈ N∗.

Atunci pentru ∀

ε > 0 avem limn→∞

P S n

n − 1

n

n

k=1 pk < ε = 1 (10)

Demonstrat ,ie . Fie X k :

1 0

pk 1 − pk

variabila aleatoare asociata eve-

nimentului A ın proba k. Atunci S n =n

k=1

X k (deoarece, X k ia valoarea

1 sau 0 dupa cum A este succes sau es,ec), M (X k) = pk s, i D2 (X k) =

pk (1 − pk) (pentru ca X k ∈ B (1, pk)).

Deoarece variabilele aleatoare X k, k = 1, n, sunt independente (probele

fiind independente) s, i cu dispersiile egal marginite pk (1

− pk)

≤ 14 ,

∀k =

1, n rezulta, ın baza lui 5.11 ca t, irul de v.a. (X k)k∈|N∗ urmeaza legea slaba a

numerelor mari. Deci S nn − 1

n

pk = 1

n

nk=1

[X k − M (X k)] P −→ 0 ceea ce este

echivalent cu (10), ın baza lui 5.1.2.



5.3. Teoreme limita centrala 111

5.13 Teorema (Bernoulli). Frecvent,a relativa de realizare a unui

eveniment A, echiprobabil ın fiecare din cele n probe independente ale unui

experiment aleator, converge ın probabilitate catre probabilitatea lui A.

Demonstrat ,ie . Fie p = P (A). Observam ca ın fiecare proba a ex-

perimentului, probabilitatea lui A este aceeas, i. Deci daca luam ın (10)

pk = p, ∀k = 1, n obt, inem S nn − p

p−→ 0, cnd n → ∞.

Tinand seama ca S nn

reprezinta frecvent, a de realizare a lui A ın cele n

experimente rezulta imediat concluzia dorita.

5.14. Remarca. 1o. Teorema 5.13 se putea formula pe scurt astfel:

Frecvent,a relativa converge ın probabilitate catre probabilitate-

2o. In aceste formulari ce t, in de teorema lui Bernoulli, cuvantul probabi-

litate a fost folosit cu doua sensuri complet diferite.

3o. Teoremele prezentate ın aceasta sect, iune sunt legi slabe al numerelor

mari, fiecare dintre ele pun ın evident, a convergent, a ın probabilitate a unui

t, ir de forma (6). Pentru teorema (5.9) exista o varianta care reprezinta o

lege tare a numerelor mari. Folosind aceasta varianta a teoremei lui Markov

se demonstreaza, pentru teorema lui Poisson, o concluzie mai tare t, i anume:

P

lim

n→∞

S nn − 1

n

nk=1

pk

= 0

= 1

iar pentru teorema lui Bernoulli se demonstreaza ca P

limn→∞

S nn − p 1

n

= 0

=

1 i.e. frecvent,a relativa converge aproape sigur catre probabilitate. Acest re-

zultat este datorat lui E. Borel.

Rezulta ca aceste variante ale teoremei din Sect, iunea 5.2. se numesc legi

tari ale numerelor mari.

5.3 Teoreme limita centrala

Multe procese din s,tiint,ele naturii, tehnologie s, i economie sunt descrise ın

ipoteza ca sunt influent,ate de un numar mare de factori aleatori independent, i,

care fiecare ın parte modifica foarte put, in procesul. In general, numai suma




efectelor lor este observata.

Teoria probabilitat, ilor a stabilit teoreme limita ce cont, in reguli care des-

criu comportarea acestor sume.

Teoremele care stabilesc condit, ii ın care o variabila aleatoare, obt, inuta ca

suma a unui numar de variabile aleatoare care au o influent, a mica, sa aibe

o funct, ie de repartit, ie foarte apropiata de cea normala, sunt cunoscute sub

denumirea de teoreme limit˘ a central˘ a .

Prin urmare teoremele limita centrala, sunt forme calitative ale legilor

numerelor mari, ele conducand direct la funct, ia de repartit, ie normala. De

aceea repartit, ia normala are o important, a deosebita ın teoria probabilitat, ilor.

Fie (Ω, K, P ) un camp de probabilitate s, i (X n)n ⊂ v (Ω, K) un s, ir de

variabile aleatoare independente cu M (X k) == mk s, i D2(X k) = σ2k, X k

∼N (mk, σ2k), mk, σk ∈ R, ∀k ∈ N∗ s, i M (X k) = mk s, i D2(X k) = σ2

k, mk, σk ∈R, ∀k ∈ N∗ . Consideram S n =

nk=1

X k, ∀n ∈ |NN ∗. Atunci

M (S n) = M

nk=1

X k

=

nk=1

M (X k) =n

k=1

mnotk = m∗

n,

D2 (S n) = D2

nk=1

X k

=

nk=1

D2 (X k) =n

k=1

σ2k not

=σ∗2n

Pentru s, irul de variabile aleatoare normate (Y n)n , Y n = S n−mnσ∗n ∀n ∈ |NN∗,

consideram F n (t) = P (Y n < t), funct, ia de reparttit, ie a v.a. Y n, n ∈ N∗ s, i

v.a.Y ∼ N (0, 1) cu F (x) = P (y < t) = 1√ 2π

x −∞

e−12

t2dt.

Teoremele limita centrala stabilesc condit, iile ın care s, irul (Y n)n converge

ın repartit, ie catre Y (i.e. ın ce condit, ii limn→∞

F n(x) = F (x), ∀x ∈ R, x punct

de continuitate a lui F . Prezentam fara demonstrat, ie doua teoreme limita

centrala.

5.15 Teorema (Leapunov ). Daca pentru s, irul de variabile aleatoare

(X k)k independente, exista M |X k − mk|3 , k ∈ N s, i daca

limn→∞

nk=1

M (|X k−mk|3)1/3

nk=1

σ2k

1/2 = 0 atunci, limn→∞

F (x) = F (x) , ∀x ∈ R.



5.3. Teoreme limita centrala 113

5.16 Teorema (Moivre - Laplace). Daca (X k)k, este un s, ir de v.a.

independente s, i identic repartizate cu repartit, ia.

X k : 0 1

q p , p + q = 1, p ≥

0, q ≥

0

atunci s, irul (Y n)n , corespunzator s, irului (X k)k converge ın repartit, ie catre

Y.

In esent, a Teorema 5.16 afirma ca repartit, ia limita a lui Y n este repartit, ia

normal normata.

5.17. Remarca. 10. Deoarece S n ∼ B (n, p), rezulta ca repartit, ia limita

a repartit, iei binomiale este repartit, ia normala de parametrii np s, i √

npq .

20. Pentru n suficient de mare n ≥ 100 are loc aproximarea:

P (a ≤ S n ≤ b) ≈ θ

b − np√

npq − θ

a − np√

npq

unde Φ este funct, ia integrala a lui Laplace.



Capitolul 6

Elemente de statistica

matematica

Statistica matematica este una dintre ramurile moderne ale matematicii s, i

se ocupa ın principal cu gruparea s, i prelucrarea datelor observate asupra unor

fenomene din lumea reala, (e.g. date economice, sociale, tehnice) precum

s, i cu interpretarea rezultatelor s, i eventual cu specificarea unor previziuni

asupra fenomenelor observate. Statistica matematica foloses, te not, iunile s, i

rezultatele teoriei probalitat, ilor. In cadrul teoriei probalitat, ilor variabilele

aleatoare se presupun definite, ın cadrul statisticii acestea nu se cunosc.

6.1 Concepte fundamentale ale statisticii

Orice cercetare statistica are drept punct de plecare o colectivitate sau

populat, ie (de exemplu : populat, ia student, ilor dintr-o universitate, populat, ia

umana a unei regiuni, mult, imea elementelor ce caracterizeaza un fenomen

economic etc.) alcatuita din elemente sau indivizi ce au caracteristici comune

s, i care se diferent, iaza doar prin valori sau atribute pe care aceste caracte-ristici le iau. Caracteristicile unei populat, ii pot fi cantitative daca se pot

masura (de exemplu: greutatea, ınalt, imea etc.) s, i/sau calitative daca nu

se pot masura (de exemplu: starea civila, culoarea pielii etc.), dar li se poat

115



116 Capitolul 6. Elemente de statistica matematica

atribuii anumite calificative. Vom nota populat, ia sau colectivitatea prin Ω

iar prin ω vom desemna un individ (element) al populat, iei Ω numit unitate

statistic˘ a .

Pentru studierea unei populat, ii se considera un model matematic caruia

i se asociaza un camp de probabilitate (Ω, K, P ) unde Ω este mult, imea indi-

vizilor acelei populat, ii, K un corp borelian pe Ω s, i P o probabilitate pe K .

Cuplul (Ω, K ) se numes,te populat , ie statistic˘ a . O caracteristica (fie canti-

tativa, fie calitativa) a unei populat, ii statistice se asimileaza cu o variabila

aleatoare X definita pe campul de probabilitate (Ω, K, P ). Aceasta variabila

aleatoare poarta numele de variabil˘ a aleatoare asociat˘ a populat , iei (sau

caracteristic˘ a sub cercetare sau ınca variabil˘ a teoretic˘ a ). Legea de

repartit, ie a variabilei aleatoare X poate fi data fie prin funct, ia de frecvent, a,

fie prin funct, ia de repartit, ie F (x) sau ınca prin densitatea de repartit, ie f (x).

Aceste funct, ii descriu repartit, ia valorilor lui X ın populat, ie. Atat f (x) cat s, i

F (x) se numesc legi de repartit , ie teoretice .De regula legile de repartit, ie

teoretice cont, in unul sau mai mult, i parametri cu diferite interpretari proba-

bilistice cum ar fi media, dispersia etc. Astfel ın loc de f (x) s, i F (x) vom

avea f (x; θ1, θ2, . . . , θn) respectiv F (x; θ1, θ2, . . . , θn).

Alte not, iuni specifice statisticii le vom defini ın sect, iunile urmatoare.

6.2 Elemente de teoria select, iei

6.2.1 Not,iuni de baza legate de teoria select

,iei

Fie (Ω, K) o populat, ie statistica. In practica se poate examina numai un

numar finit de indivizi din populat, ia supusa cercetarii.

O submult, ime Ω1 ⊂ Ω se numes, te select , ie sau sondaj . Daca select, ia

are un numar finit de elemente se numes, te es, antion . Cardinalul mult, imiielementelor unui es,antion (sau unei select, ii) se numes, te volumul es, antionului

( sau select , iei ).

O select, ie trebuie sa ındeplineasca urmatoarele condit, ii de baza :



6.2. Elemente de teoria select, iei 117

(a) sa fie independent˘ a , adica selectarea unui individ din populat, ie sa

nu fie legata de alegerea unui alt individ;

(b) sa fie ıntampl˘ atoare ( aleatoare), adica fiecare individ sa aiba aceeas, i

s,ansa de a fi selectat;

(c) sa fie reprezentativ˘ a , adica select, ia sa reprezinte populat, ia ( altfel

spus, populat, ia sa se regaseasca ın select, ie ).

Select, ia poate fi repetata (cu ıntoarcere sau bernoulian˘ a ) sau nerepe-

tata ( f˘ ar˘ a ıntoarcere ). O select, ie se numes, te repetat˘ a daca individul se-

lectat este reintrodus ın colectivitatea generala s, i participa la o noua select, ie,

s, i nerepetat˘ a (fara ıntoarcere), daca individul nu mai este reintrodus ın co-

lectivitatea generala.

O select, ie bernouliana de volum n din populat, ia Ω poate fi definita caun element ω1,ω2, . . . , ωn al produsului cartezian Ω × Ω × . . . × Ω

(

notat= Ω(n)

iar cuplul (Ω(n), K(n)) se numes,te spat , iul select , iilor berno-

uliene de volum n . Cand n este infinit, atunci perechea (Ω(∞),K(∞)) se

numes, te spat , iul select , iilor bernouliene de volum infinit .

Fie es,antionul E=ω1, ω2, . . . , ωn obt, inut prin select, ie bernouliana din

populat, ia Ω. De aici pentru variabila aleatoare X, corespunzatoare unei ca-

racteristici C, se obt, in valorile (de observat, ie) x1, x2, . . . , xn. Consideram

acum populat, ia Ω∗ a es,antioanelor de volum n, care se pot forma cu elemen-tele populat, iei Ω s, i fie E∗= ω∗

1, ω∗2, . . . , ω∗

n un es,antion de volum n obt, inut

din populat, ia Ω∗ prin select, ie bernouliana. Caracteristica C a populat, iei Ω

se ment, ine s, i ın populat, ia Ω∗, unde este descrisa de vectorul aleator (X1, X2,

. . . , Xn) ın care X j, j = 1, n (ca s, i X ) este valoarea caracteristicii C a ele-

mentului ce apare pe locul j ın es,antionul considerat. Deci X1, X2, . . . , Xnapare ca o select, ie asupra caracteristicii C sau ca o select, ie asupra variabilei

aleatoare X.

6.1. Definit,ie. Spunem ca

X1, X

2, . . . , X

n este o select

,

ie berno-

ulian˘ a de volum n asupra variabilei aleatoare X daca X1, X2, . . . , Xnsunt

independente s, i identic repartizate ca s, i X.

Variabilele aleatoare X1, X2, . . . , Xn se numesc variabilele aleatoare




O select, ie realizata asupra variabilei X conduce la frecvent,ele absolute ni

, i = 1, k corespunzatoare respectiv intervalelor [αi−1 , αi), i = 1, k − 1, [αk−1, αk ]. Astfel se obt, ine o variabila aleatoare de select, ie X∗ a carei repartit, ie

, ın cazul unei select, ii de volum n ,

X∗ : [α0, α1) [α1, α2) · · · [αk−1, αk]

f 1 f 2 · · · f k

(3)

unde f j are aceeas, i semnificat, ie ca mai sus.Repartit, ia lui X se mai numes, te

s, i repartit , ie empiric˘ a sau repartit , ie statistic˘ a a lui X

Consideram graficele :

Graficul din fig.1 reprezinta repartit, ia empirica a lui X∗ data de (2) s, i este

construit din perechile de puncte (x j ,f j), j = 1, k. In fig.2 graficul reprezinta

repartit, ia lui X∗data de (3). Acest grafic este construit din dreptunghiuri

avand ca baza intervalele partit, iei lui [a , b] s, i ınalt, imea f jh

, h este lungimea

intervalului. Frecvent,a relativa a unui interval reprezinta aria dreptunghiului

respectiv. Graficul din fig.2 se numes, te histograma select , iei . Daca f (x)este densitatea de repartit, ie a variabilei aleatoare X atunci :

f j ≈ p j = P (αi−1 ≤ X < αi) =

αi αi−1

f(x)dx (6.1)

Cand n → ∞ , f ja.s−→ p j s, i curba y = f (x) va acoperii ın ıntregime

histograma repartit, iei variabilei de select, ie X∗. Rezulta ca pentru un volum

mare al select, iei, conturul superior al histogramei da o imagine statisticasuficient de exacta a graficului densitat, ii de repartit, ie.

Fie acum F funct, ia de repartit, ie a variabilei aleatoare X. Aceasta este o

funct, ie de repartit, ie teoretica.




6.3.Definit,ie. Funct, ia F n*: R → [0 , 1] , definita prin :

F n*(x) = nxn

, ∀ x ∈ R (5)

se numes, te funct , ia empiric˘ a (statistic˘ a ) de repartit , ie a variabilei alea-

toare X , obt, inuta prin valorile de select, ie x1, . . . , xn , unde nx este frecvent,a

absoluta a valorilor x j strict mai mici ca x.

Rezulta ca funct, ia empirica de repartit, ie a variabilei aleatoare X este

funct, ia de repartit, ie a variabilei aleatoare statistice X∗.Daca X∗ are repartit, ia

(2), atunci F ∗n (x) = P(X∗¡ x). Deci,

F ∗n (x) =

xj<x

f j (5′)

sau, scris desfas,urat, F ∗n (x) este :

F ∗n (x) =

0 x ≤ x1

f 1 x1 < x ≤ x2

f 1 + f 2 x2 < x ≤ x3

... ...

f 1 + f 2 + ... + f k xk−1 < x ≤ xk

1 xk

< x

(6.2)

s, i are graficul:

Daca X∗ are repartit, ia (3) , atunci funct, ia de repartit, ie a select, iei F ∗n (x)

se defines, te prin:




F∗n(x) =

0 , x ≤ α0 = a

f 1x−α0

h , α0 < x ≤ α1

f 1 + f 2x−α1

h , α1 < x

≤ α2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·k−1 j=1

f j + f kx−αk−1

h , αk−1 < x ≤ αk

k j=1

f j = 1 , b = αk < x

(6.3)

Funct, ia de repartit, ie empirica se bucura de toate proprietat, ile unei funct, ii

de repartit, ie.

6.5.Teorema. Cu notat, iile de mai sus avem:

P

limn→∞

supx∈R

|F ∗n (x) − F (x)| = 0

= 1 (7)

Aceasta teorema , considerata de unii teorema fundamentala a statisticii

matematice, furnizeaza justificarea teoretica a folosirii metodei select, iei.

6.2.3 Momente de select,ie

Pentru repartit, ia unei select, ii se pot calcula toate valorile tipice specifice

repartit, iei teoretice. Aceste valori tipice se numesc valori tipice de select, ie

sau valori tipice empirice.

F ieX 1, X 2, . . . , X n o select, ie aleatoare (bernouliana) de volum n asu-

pra variabilei aleatoare X .

6.6. Definit,ie. Orice funct, ie de argumentele aleatoare X1, X2, . . . , Xn

se numes, te statistic˘ a. Se noteaza prin tn = tn (X1, X2, . . . , Xn).

Orice statistica tn este o variabila aleatoare. Cele mai cunoscute statistici

sunt momentele de select , ie.

6.7.Definit, ie. Variabilele aleatoare

M ∗r = 1n

n j=1

X r j , M c∗r = 1n

n j=1

(X j − M ∗1 )r (6.4)




se numesc momentul de select , ie de ordin r s, i respectiv momentul

centrat de select , ie de ordin r ale caracteristicii X.

M ∗1 (notat uneori X se numes,te media de selct , ie iar M c∗2 se numes, te

dispersia de select , ie.

6.8. Remarca. Daca se foloses, te repartit, ia empirica a lui X data de (2)

avem :

M ∗r = M r(X ∗) s, i M c∗r = M cr (X ∗) (9)

6.9. Teorema. Cu notat, iile de mai sus avem

M (M ∗r ) = M (X r);

D2(M ∗r

) = 1

nD2(X r). (6.5)

Demonstrat ,ie. (a)M (M ∗r ) = M ( 1

n

n j=1

X r j ) = 1n

n j=1

M (X r j ) = 1n · nM (X r) =

M (X r)

(b.)D2(M ∗r ) = D2( 1n

n j=1

X r j ) = 1n2

n j=1

D2(X r j ) =

= 1

n2

n j=1

[M 2(X r j ) − M 2(X r j )] = 1

n2n[M 2(X r) − M 2(X r)] =

=

1

n D2

(X r

)

6.10. Observat,ii. 1) Relat, iile (??) se pot scrie s, i sub forma :

M (M ∗r ) = M r(X ); D2(M ∗r ) = 1

n[M 2r(X ) − M 2(X )] (6.6)

2)M ( X ) = M (X );D2x( X ) = 1n

D2(X ) (10′′)(se obt, in din (10′) pentru r = 1).

3) Se poate arata ca

M (D2( X )) = n − 1n

D2(X ) ;

D2(D2( X )) = (n − 1)2

n3 M 4(X ) − (n − 1)(n − 3)

n3 σ4 ;




M (S 2n) = σ2 s, i D2(S 2n) = 1n

[M 4(X ) − n−3n−1σ4]

unde S 2n este dispersia modificat˘ a de select , ie.

S 2n = 1

n−1n

j=1

X j − X 2

.

6.2.4 Select,ii dintr-o populat

,ie normala

Fie ( Ω, K) o populat, ie statistica s, i o select, ie X1, . . . , Xn asupra unei

caracteristici X a acestei populat, ii . Dispersia σ2 ( =D2(X )) se poate evalua

prin dispersia de select, ie S 2n. Pentru S 2n se folosesc formulele:

S 2n = 1

n

n

j=1(X j − M (X ))2;

S 2n = 1

n

j=1n

X j − X 2

; (6.7)

S 2n = 1

n − 1

j=1n

X j − X 2

;

6.11. Teorema. Daca X 1, . . . , X n este o select, ie aleatoare de volum n

asupra unei caracteristici X ∈ N (m, σ) a unei populat, ii Ω, atunci X ∈N (m, σ

√ n).

Demonstrat ,ie. Din ipoteza rezulta ca X1, . . . , Xn sunt independente s, i

X j ∈ N (m, σ) , ∀ j =1, . . . , n.

Atunci:

ϕX (t) = ϕ 1n

j=1n

X j(t) =

j=1n

ϕX j(1n

t) =

j=1nei tn

m−t2 σ2

2n2 = eitm−t2 σ2

2n

Conform teoremei 4.25, aceasta este funct, ia caracteristica a unei variabile

aleatoare normale N (m, σ√ n

).

6.12. Consecint,a. Cu notat, iile de mai sus avem ca statistica

Z =X − M (X )

σ√ n

∼ N (0, 1) (12)

Demonstrat ,ie. Pe baza lui 6.11. s, i 3.85 avem :




ϕZ (t) = ϕ√ nσ

X n−√ nσ

M (X )(t) = e−it

√ nσ

M (X )ϕX n(√

n

σ t) = e−it

√ nσ

M (X )

ei(

√ n

σ t)M (X )− n

σ2 t

2 σ2

2n = e−t2

2 . Deci Z ∼ N (0, 1).6.13. Teorema. Fie Ω1 s, i Ω2 doua populat, ii s, i X o caracteristica a lor.

Daca X i1, . . . , X ini este o select, ie aleatoare de volum ni asupra caracteristicii

X ∈ N (mi, σi) a populat, iei Ωi, i= 1, 2 , atunci pentru statistica X 1− X 2

avem .

Am notat X i = 1ni

j=1ni

X ij

Demonstrat ,ie . Folosind proprietat, ile funct, iei caracteristice avem:

ϕX 1n1

−X 2n2

(t) = ϕX 1n1(t)

·ϕ(

−1) X 2n2

(t) = eitm1−t2

σ212n1

·e−itm2−t2

σ222n2 =

= eit(m1−m2)− t22

σ21n1

+σ22n2

2

. Deci X 1n1 − X 2n2 ∈ N

(m1 − m2) ,

σ21

n1+

σ22

n2

6.3 Elemente de teoria estimat, iei

6.3.1 Not,iuni fundamentale

In toate aplicat, iile statisticii matematice (din economie, tehnica, etc.)

este necesar sa cunoas,tem legea care modeleaza matematic evolut, ia fenome-nului studiat, adica legea de repartit, ie a variabilei aleatoare care cuantifica

caracteristica X, a fenomenului, luata spre cercetare. In acest sens exista

doua posibilitat, i:

(a) fie se cunoas, te forma generala a repartit, iei teoretice s, i urmeaza deter-

minarea parametrilor repartit, iei; aceasta operat, ie se face pe baza unei select, ii

aleatoare X1, X2, ..., Xn, s, i se numes, te estimarea parametrilor ;

(b) fie nu se cunoas, te repartit, ia teoretica s, i se verifica diverse ipoteze asu-

pra parametrilor acestei repartit, ii (numite ipoteze parametrice) sau asupraformei funct, iei (ipoteze de concordant, a sau neparametrica).

Estimarea parametrilor se realizeaza cu ajutorul unor statistici tn (X1,

X2, ..., Xn). Daca f (xi,θ) este densitatea de repartit, ie a variabilei aleatoare



6.3. Elemente de teoria estimat, iei 125

X trebuie sa estimam parametrul θ. Pentru aceasta vom utiliza o statistica

tn construita special pentru a gasi un estimator θ∗ al lui θ. Daca populat, ia

Ω este infinita atunci exista o infinitate de estimatori θ∗ pentru parametrul

teoretic θ (deoarece exista o infinitate de statistici care se pot construi din

populat, ia Ω). Urmeaza sa fie ales cel mai ,,potrivit“ dintre estimatori.

6.14. Definit,ie. Fie θ∗ = tn(X1, X2, ..., Xn) o estimat, ie a parametrului

teoretic θ. Diferent,a θ∗ − θ se numes,te eroare de estimat,ie (s, i este o

variabila aleatoare) iar diferent,a h(n) = M (θ∗) − θ este o funct, ie numerica

de volumul de select, ie s, i eventual de θ s, i se numes, te deplasare a estimat, iei

s, i h(n)−→n→∞

0. Funct, ia h(n) reprezinta o eroare sistematica a procesului de

estimare.

Estimat, ia θ∗ a lui θ se numes, te estimat , ie nedeplasat˘ a daca h(n) =

0 (i.e. M(θ∗) = θ), iar daca h(n) = 0 (i.e. M(θ∗) = θ), θ∗ se numes, te

estimat , ie deplasat˘ a a parametrului teoretic θ. In plus, daca h(n) ¡ 0 (h(n)

¿ 0) spunem ca estimat, ia θ∗ este negativ deplasat a (respectiv pozitiv

deplasat˘ a ).

6.15. Exemple. 1˚. Cu notat, iile de mai sus sa se arate ca statistica

X ∗ = 1n

j=1n

X j(= tn(X 1, X 2,...,X n)) este o estimat, ie nedeplasata pentru

media variabilei aleatoare X .

Rezolvare . Se arata ca M (X ∗n) = M (X )(= m). Intr-adevar:

M ( X ) = 1n

j=1n

M (X j )) = 1n

j=1n

M (X ) = 1n

n · M (X ) = M(X).

2 . Sa se arate ca frecvent, a relativa knn

este o estimat, ie nedeplasata a

probabilitat, ii p, de aparit, ie a unui eveniment ın cazul repartit, iei binomiale.

Rezolvare . Pentru ∀ n, kn ∈ B(n,p) (kn :

j

p j

k=0,n

este variabila

aleatoare numita frecvent, a absoluta a succeselor unui eveniment s, i 1

nkn :

1n j

p j

k=0,n

este variabila aleatoare numita frecvent, a relativa a succeselor

unui eveniment), atunci:

M

kn

n

=

1

nM (kn) =

1

n · n · p = p.




6.16. Definit,ie. Spunem ca θ∗ = tn(X1, X2, ..., Xn) este o estimat , ie

absolut corect˘ a a parametrului teoretic θ daca:

M (θ∗) = θs, i limn→∞

D∗(θ∗) = 0 (15)

Spunem ca θ∗ este o estimat , ie corect˘ a pentru θ daca

M(θ∗) = θ + h(n), h(n)−→n→∞

0s, i

limn→∞

D2(θ∗) = 0 (6.8)

6.17. Exemple. 1˚. Momentul de select, ie de ordin r, M ∗r este o

estimat, ie absolut corecta pentru momentul teoretic de ordin r, Mr(X). Intr-

adevar:

M (M ∗r ) = M r(X )

D2(M ∗r ) = M r(X 2) − M 2r (X )

nn→∞−→ 0 (6.9)

Pentru r = 1 ın (??) gasim ca X este o estimat, ie absolut corecta pentru

M (X ), oricare ar fi repartit, ia variabilei aleatoare X, pentru care exista M (X )

s, i D2(X .

2˚. Dispersia de select, ie corectata s2

n este o estimat, ie absolut corectapentru dispersia σ2. Intr-adevar

M (s2n) = σ2s, iD2(s2n) =

2

n − 1σ4 −→

n→∞0 (18)

3˚. In select, ii dintr-o populat, ie normala, N(m,σ) dispersia de select, ie

necorectata tn = 1n

j=1n

X j − X ∗2 este o estimat, ie corecta pentru σ2. Intr-

adevar:

M (tn) = σ2 − σ2

n s, iD

2(tn) = 2(n − 1)n2

· σ4 −→n→∞

0 (19)

Dintre mai multe estimat, ii nedeplasate pentru acelas, i parametru θ se

alege cea cu dispersia cea mai mica, deoarece valorile estimatorului θ∗ =




tn(X1, X2, ..., Xn) se vor grupa mai bine ın jurul valorii θ (= M(θ∗)). Deci

se pune problema unei estimat, ii nedeplasate de dispersie minima.

6.18. Definit,ie. Estimatorul nedeplasat θ∗ = tn(X1, X2, ..., Xn), al

parametrului θ, este estimator de dispersie minim˘ a daca oricare ar fi

θ∗∗ estimator al lui θ avem

D2(θ∗) ≤ D2(θ∗∗).

In general, gasirea unui estimator nedeplasat de minima dispersie se

construies, te folosind inegalitatea lui Rao-Cramer cunoscuta s, i sub numele

de teorema dispersiei pe care o prezentam fara demonstrat, ie.

6.19. Teorema (Rao-Cramer). Daca θ∗ = tn(X1, X2, ..., Xn) este

estimat, ie absolut corecta a lui θ din repartit, ia teoretica f (x; θ), a variabilei

aleatoare X (discreta sau continua) atunci:

D2(θ∗) ≥ 1

nA(θ) (6.10)

unde

A(θ) = M

∂ ln f(X ; θ)

∂θ

2

= −M

∂ 2 lnf(X ; θ)

∂θ2

(6.11)

s, i reprezinta cantitatea de informat, ie pe o observat, ie.

6.20. Definit,ie. Raportul en(θ∗) =

1nA(θ)

D2(θ∗) se numes, te eficient , a esti-

matorului θ∗ al lui θ s, i en(θ∗) ∈ [0, 1]. Un estimator θ∗ pentru care

(a) en(θ∗) = 1 se numes, te estimat , ie eficient˘ a ;

(b) limn→∞

en(θ∗) = 1 se numes, te estimat , ie asimptotic eficient˘ a .

6.21. Observat,ii. 1˚. Orice estimator eficient transforma inegalitatea

(??) ın egalitate.

2˚. Inegalitatea Rao-Cramer arata ca 1nA(θ)

este o margine inferioara

a dispersiei D2(θ∗). Aceasta margine este atinsa daca θ∗ este un estimator

eficient al lui θ.

6.22. Aplicat,ie. 1˚. Sa se arate ca statistica tn(X 1,...,X n) = 1

n

n j=1

X j (= X ∗)

este o estimat, ie eficienta pentru parametrul m al repartit, iei normale N (m, σ).




Rezolvare . Facand calculele se gases, te M (X ∗n) = m s, i D2(X ∗n) = σ2

n . Din

densitatea de repartit, ie normala f (X ; m, σ) = 1σ√ 2π

e−(X−m)2

2σ2 , m ∈ R, σ ∈ (0,

+∞) se obt, ine prin logaritmare succesiv:

ln f (X ; m, σ) = − ln

σ√ 2π− (X − m)2

2σ2

∂ ln f (X ;m,σ)∂m

= X −mσ2 s, i A(m) = M

∂lnf (X ;m,σ)

∂m

2 = M

X −m

σ2

2 =

1σ4 M

(X − m)2

=

= 1

σ4M (X 2 − 2mX + m2) =

1

σ4

M (X 2) − m2

=

1

σ4 · σ2 =

1

σ2.

Pentru ca D2

(X ∗n) = σ2

n = 1

nA(m) , rezulta ca X ∗n este un estimator eficientpentru parametrul m.

2˚. Sa se arate ca estimatorul θ∗, dat de statistica tn(X1, X2, ..., Xn) ==1n

n j=1

X j (= X ∗n) este estimat, ie eficienta pentru parametrul θ al repartit, iei

Poisson data prin

P (X = x; θ) = e−θ · θx

x!,x ∈ N.

Rezolvare . Pentru o repartit, ie Poisson D2(θ∗) = D2(X )n

= θn

.

Dupa logaritmarea densitat, ii de repartit, ie se obt, ine:

ln P(X = x; θ) = -θ + x ln θ − ln (x!)

∂ ln P (X = x; θ)

∂θ = −1 + x · 1

θ

A(θ) = M

X

θ − 1

2

= 1

θM (X 2) − 2

θM (X ) + 1

Pentru ca M(X) = θ = D2(X), rezulta M(X2) = D2(X) + M2(X), avem:

A(θ) = 1θ2

(θ + θ2) − 1θ · θ + 1 = 1 + θ

θ − 2 + 1 = 1

θ.

Deoarece D2(θ∗) = θn

= 1nA(θ)

, rezulta ca θ∗ este o estimat, ie eficienta

pentru θ.




6.3.2 Metode de estimare a parametrilor

In sect, iunea anterioara s-au prezentat diferite tipuri de estimatori pentru

parametrii teoretici. Deci daca avem un estimator putem preciza, conform

clasificarii date, ca este sau nu potrivit sa fie folosit ca estimator. Ramaneacum sa punem ın evident, a metode de obt, inere a unor estimatori. In cele ce

urmeaza vom prezenta doua astfel de metode: metoda momentelor s, i metoda

verosimilitat, ii maxime.

6.3.2.1. Metoda momentelor

Din 6.17, 1˚, rezulta ca momentele de select, ie de ordinul r sunt estimat, ii

absolut corecte ale momentelor teoretice de ordin r. Deci momentul teoretic

poate fi ınlocuit de momentul de select, ie.

Fie X1, X2, ..., Xn select, ie aleatoare de volum n asupra unei caracteristici

unidimensionale X a unei populat, ii. Fie, de asemenea, legea de repartit, ie a

lui X data de densitatea de repartit, ie f (x, θ1, ..., θk) (daca aceasta exista)

sau de probabilitatea P(X = x, θ1, θ2, ..., θk) daca X este variabila aleatoare

discreta.

Daca exista Mr(X | θ1, θ2, ..., θk) cu r ≥ k consideram sistemul de

ecuat, ii:

Mr(X | θ1, θ2, ..., θk) = M∗r, r = 1, k (22)unde parametrii θ1, θ2, ..., θk sunt necunoscutele, iar M∗

r este dat de (??).

Slut, ia sistemului (22), daca exista, are forma:

θ∗r = θ∗r (M∗1, ..., M∗

k), r = 1, k (23)

s, i reprezinta estimat, iile parametrilor θ1, ..., θk.

Din (23) se observa ca ın locul primelor k momente de select, ie pot fi

oricare alte k momente, care sa permita rezolvarea cat mai simpla a sistemului

(22).

6.23. Aplicat,

ie. Caracteristica X a unei populat, ii Ω are o repartit, ie:(a)uniforma

f (x; θ1, θ2) =

1

–01− –02 , x ∈ (–01, –02)

0 , ın rest




(b)beta

f (x; θ1, θ2) =

1

B( –01, –02) · x –01−1(1 − x) –02−1, x ∈ (0, 1), –01 > 0, –02 > 0

0, ın rest

(c) normala

f (x; m, σ) = 1σ√ 2π

e− (x−m)2

2σ2 , x ∈ R.

Folosind metoda momentelor sa se estimeze parametrii θ1, θ2.

Rezolvare. Consideram X1, X2, ..., Xn o select, ie aleatoare asupra carac-

teristicii X s, i calculam M∗r , r = 1, 2.

(a) Deoarece M 1 (X | –01, –02) = –01+ –022 s, i M 2 ( X | –01, –02) =

–021+ –01 –02+ –0223

sistemul (22) are forma:

–01 + –02 = 2M ∗1

–021 + –01 –02 + –022 = 3M ∗2 (6.12)

Solut, ia acestui sistem este:

–0∗1 = M 21 −

3 (M ∗2 − M ∗21 )

–0∗2 = M 21 +

3 (M ∗2 − M ∗21 )

s, i pentru ca (vezi (??) s, i (??)M∗

2 − M∗21 = D2(X∗) = 1

n

n j=1

X j − X n

2= n−1

n s2

rezulta:

–0∗1 = X n − s

3(n − 1)

n

–0∗2 = X n − s 3(n − 1)

n

In (??) ecuat, ia a doua se poate ınlocui cu:

D2(X ∗) = 112(–01 − –02)2(= M∗

2 − M∗21 )

Astfel sistemul (??) se poate ınlocui cu unul mai simplu:




–01 + –02 = 2M ∗1 –01 − –02 = 2

3 (M ∗2 − M ∗21 )

(6.13)

(b) Vom folosi M∗1 s, i D2(X∗) (=M∗

2 - M∗21 ) care se exprima cu M∗

1 s, i M∗2.

Pentru ca M ( X | p, q ) = p p+q

s, i D2 ( X | p, q ) = pq( p+q)2( p+q+1)

sistemul (22)

are forma:

–01

–01+ –02 = M ∗1 –01 –02

( –01+ –02)2( –01+ –02+1) = M ∗2 − M ∗21

Daca s2 este dispersia de select, ie necorectata avem:

–01 –01+ –02 = M ∗1

–01 –02θ21

M ∗2

1 · θ1M ∗1+1

= s2 s, i apoi

–02

–01 = M ∗1 − 1

(–01 + M ∗1 ) –01 –02 =

M ∗21s2

de unde se obt, ine: –01 =

M ∗21 (M ∗1−1)s2

− M ∗1 –02 = 1

s2M ∗1 (M ∗1 − 1) (M ∗21 − M ∗1 − s2)

(c) Se cunoas, te ca:

M1(X|m ,σ) = m s, i

M2(X|m ,σ) = m2 + σ2

Deoarece primele doua momente au expresii simple consideram sistemul: m = M ∗1

m2 + σ2 = M ∗2Si se obt, ine imediat solut, ia m = M∗

1 s, i σ =

M ∗2 − M ∗21 .

6.3.2.2. Metoda verosimilitat,ii maxime

Aceasta metoda este una dintre cele mai vechi s, i totodata una dintre cele

mai importante metode de estimare.

6.24. Definit,ie. Daca X1, X2, ..., Xn este o select, ie aleatoare asupra

unei variabile aleatoare X cu densitatea de repartit, ie f (x; θ), θ ∈ I ⊂ R s, i

x = (x1, x2, . . . , xn) ∈Rn este o valoare de select, ie, atunci funct, ia

V : Rn× I → R, V(x; θ) = V(x1, x2, ..., xn; θ) =n

i=1

f(xi; –0) (25)




se numes, te:

- funct , ia de verosimilitate, atunci cand este considerata ca funct, ie

de θ ;

- probabilitate de select , ie, atunci cand este considerata funct, ie de x1,

x2, ..., xn cu θ fixat.

6.25. Definit,ie. Estimatorul θ∗ = θ∗(x1, x2, ..., xn) se numes, te estimat , ie

de verosimilitate maxim˘ a pentru θ, daca θ∗ este un punct de maxim pen-

tru funct, ia de verosimilitate.

Deoarece funct, ia V(x; θ) s, i ln V(x; θ) sunt simultan crescatoare sau des-

crescatoare, vom folosi ın locul lui V(x,θ) pe ln V(x,θ) care conduce la calcule

mai simple. Funct, ia ln V(x,θ) se numes, te funct , ie de log-verosimilitate

sau simplu funct , ie de verosimilitate.

Prin urmare vom determina estimatorul θ∗ ca solut, ie a ecuat, iei

∂ ln V (x1,...,xn; –0)

∂ –0 = 0 (6.14)

numita ecuat , ie de verosimilitate maxim˘ a .

Daca repartit, ia unidimensionala are forma f (x;θ1, ..., θk) (i.e. depinde de

mai mult, i parametri) atunci estimat , iile de verosimilitate maxim˘ a θ∗1,

..., θ∗k se obt, in ca solut, ii ale sistemului

∂ ln V (x1,...,xn; –01,... –0k)∂ –0i

= 0, i = 1, k (6.15)

6.26. Remarca. 1˚. In general o solut, ie θ∗ a ecuat, ie (??) depinde de

x1, x2, ..., xn, i.e. θ∗ = θ∗(x1, ..., xn). Vom elimina valorile θ care nu depind

de x1, ..., xn s, i vom considera ca estimat, ii ale lui θ numai pe cele care depind

de x1, x2, ..., xn.

2˚. Funct, ia V(x;θ) se presupune ca este pozitiva s, i diferent, iabila.

3˚. Deoarece θ∗ = (θ∗1, ..., θ∗k) este punct de maxim rezulta ca matricea

hesiana ∂ 2 ln V ∂ –0i∂ –0j

i, j = 1, k

estre negativ definita.

4˚. In cazul unui singur parametru θ, estimat, ia de verosimilitate maxima

este consistenta s, i asimptotic normala s, i eficienta.




M(θ∗) = 0 s, i D2(θ∗) = 1

nM

∂l ln f (x; –0∂ –0

2

Orice estimat, ie eficienta se obt, ine ca solut, ie a ecuat, iei de verosimilitate.

5˚. Metoda verosimilitat, i maxime consta ın aceea ca pentru o valoare

de select, ie x1, x2, ..., xn data cea mai buna estimat, ie pentru parametrulθ corespunde acelei valori a lui θ pentru care funct, ia de verosimilitate este

maxima. In esent, a prin metoda verosimilitat, ii maxime se determina acea

estimat, ie a lui θ pentru care valoarea select, iei x1, x2, ..., xn de care dispunem,

este cea mai probabila, adica pentru orice alte valori ale parametrului θ

probabilitatea de a obt, ine o valoare de select, ie care sa coincida cu cea de

care dispunem, ar fi mai mica.

6.27. Aplicat,ii. Sa se estimeze prin metoda verosimilitat, ii maxime,

parametrul θ al repartit, iilor:(a) f (x;θ) = θ(1 - θ)x, θ ∈ (0, 1) s, i x ∈ N.

(b) f (x;θ) = x –0e−x2

2 –0 , x ¿ 0, θ ¿ 0.

(c) f (x;p,q) = 1B( p,q)

x p−1(1 − x)q−1, θ = (p,q), p, q ¿ 0 s, i x ∈ (0, 1).

(d) f (x; m,σ) = 1σ√ 2π

e−12(x−m)2σ2 , θ = (m, σ) ∈ R × R∗

+, x ∈ R.

Rezolvare . Fiind repartit, ii unidimensionale consideram ca sunt atribu-

ite unei caracteristici X a unei populat, ii statistice, asupra carei s-a facut

select, ia aleatoare X1, X2, ..., Xn s, i fie x1, x2, ..., xn o valoare de select, ie

corespunzatoare.

(a) Funct, ia de verosimilitate se scrie:

V(x1, ..., xn; θ) =n

i=1

f (xi; –0) = –0n · (1 − –0)

ni=1

xi

Notam cu y =n

i=1

xis, i avem ecuat, ia de verosimilitate

∂ ln(–0n(1 − –0)y)

∂ –0 = 0.

Rezulta: ∂ ∂ –0 (n ln –0 + y ln(1

− –0)) = 0

⇔ n –0 −

y1

− –0 = 0

⇔ n(1 - θ) - yθ = 0

⇔ –0 = n

n + y =

1

1 + x.

Deci,




–0∗ = 1

1 + X n, X n =

1

n

n j=1

X j.

(b) Funct, ia de verosimilitate este:

V(x1, ..., xn; θ) =n

i=1

f (xi; –0) = x1x2...xn –0n ℓ

− 12 –0ni=1

x2i.

Notam y = x1, ..., xn s, i z =n

i=1

x2i s, i ecuat, ia de verosimilitate este:

∂ ln

y –0n · e−

12 –0z

∂ –0 = 0.

De aici avem:

∂ ∂ –0

ln y − n ln –0 − 12–0

z = 0 ⇔ −n –0

+ 12–02

z = 0 ⇒ –0 = z 2n

= 12n

ni=1

x2i .

Rezulta ca un estimator θ∗ al lui θ are forma:

–0∗ = 1

2n

ni=1

X 2i .

(c) Consideram ecuat, ia de verosimilitate: V (x1, . . . , xn; θ1, θ2) =

ni=1

f(xi; –01, –02) = 1Bn(–01, –02)

· (x1 · ... · xn) –01−1 · [(1 − x1)...(1 − xn)] –02−1

Notand A = 1Bn( –01, –02) , y = x1 · x2 · ... xn s, i z = (1 - x1) .... (1 - xn),

avem sistemul de verosimilitate maxima:

∂ ln(Ay –01−1·z –02−1)∂ –01 = 0

∂ ln(Ay –01−1·z –02−1)∂ –02 = 0

.

De aici se obt, ine succesiv:

∂ ∂ –01 [ln A + (–01 − 1)ln y + (–02 − 1)ln z ] = 0

∂ ∂ –02 [ln A + (–01 − 1)ln y + (–02 − 1)ln z ] = 0

⇔

–01 = 1

–02 = 1.




Deoarece solut, iile nu depinde de x1, x2, ..., xn, rezulta ca solut, ia gasita

nu poate fi considerata estimator pentru cei doi parametri.

(d) Funct, ia de verosimilitate este:

V(x1, ..., xn; θ1,θ2) =

ni=1 f(xi; –01, –02) = A ·

1

–0n2 · ℓ

− 12 –022

·n

i=1(xi− –01)2

,

unde A =

1√ 2π

n

.

Consideram sistemul de verosimilitate:

∂ ∂ –01 ln

A 1

–0n2· ℓ

− 1

2 –022·ni=1

(xi− –01)2

= 0

∂ ∂ –02 ln

A 1

–0n2· ℓ

− 1

2 –022·ni=1

(xi− –01)2

= 0

s, i avem:

(xi − –01)2 = 0

−n + 1 –022

ni=1

(xi − –01)2 = 0 ⇔

–01 = 1n

ni=1

xi (= x)

–02 = 1n

ni=1

(xi − x)2.

Aratam ca (θ1, θ2) realizeaza un maxim pentru funct, ia L (x; θ1, θ2) =

ln V (x; θ1, θ2). Se calculeaza hesiana ın (θ1, θ2) s, i gasim:

H (–01, –02) =∂ 2L∂ –021

∂ 2L∂ –01∂ –02

∂L ∂2

L

.

Carte Prob Mar 2015

Documents

Transcript of Carte Prob Mar 2015