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    Introduo Probabilidade

    Notas de Aula

    Leonardo T. Rolla

    Instituto de Matemtica Pura e Aplicada

    Rio de Janeiro

    14 de fevereiro de 2012

    c 2012 Leonardo T. Rolla. Texto publicado sob a Licena Creative Commons AtribuioCompartilhaIgual 3.0 Brasil. http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/br/deed.pt

    Este material parcialmente baseado no(s) seguinte(s) trabalho(s):

    Nei Rocha. Apostila Teoria das Probabilidades II, 2009.http://www.lce.esalq.usp.br/arquivos/aulas/2011/LCE5806/apos_RJ_ProbabilidadeII.pdf

    Trabalhos derivados devem ser distribudos junto com o cdigo-fonte, observando os termos desta

    Licena. Devem fazer atribuio ao presente material, bem como ao(s) trabalho(s) acima citado(s).

    Cdigo fonte: bzr branch http://www.impa.br/~leorolla/apostila-intr-prob/ Verso: Date: Tue 2012-02-14 15:28:12 -0200

    http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/br/deed.pthttp://www.lce.esalq.usp.br/arquivos/aulas/2011/LCE5806/apos_RJ_ProbabilidadeII.pdfhttp://www.lce.esalq.usp.br/arquivos/aulas/2011/LCE5806/apos_RJ_ProbabilidadeII.pdfhttp://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/br/deed.pt
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    Sumrio

    Apresentao v

    1 Definies Bsicas 1

    1.1 Espaos de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Probabilidade Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1.2.1 Definio de Probabilidade Condicional . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Regra do Produto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.3 Lei da Probabilidade Total. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.4 Frmula de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.3 Independncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.1 Eventos Independentes 2 a 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.2 Eventos Coletivamente Independentes. . . . . . . . . . . . . . 9

    1.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    2 Variveis Aleatrias 132.1 Definio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Funo de Distribuio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Tipos de Variveis Aleatrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    3 Vetores Aleatrios 213.1 Independncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    3.2 Funo de Distribuio Marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3 Tipos de Vetores Aleatrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.4 Mtodo do Jacobiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    4 Esperana Matemtica 294.1 Definio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    4.1.1 Propriedades da Esperana Matemtica. . . . . . . . . . . . . 304.2 Esperanas de Funes de Variveis Aleatrias . . . . . . . . . . . . . 31

    4.3 Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    iii

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    iv SUMRIO

    4.3.1 Propriedades da Varincia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.4 Esperanas de Funes de Vetores Aleatrios . . . . . . . . . . . . . . 334.5 Esperana Condicional dado um Evento de Probabilidade Positiva . . 354.6 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    5 Convergncia de Variveis Aleatrias 395.1 Lema de Borel-Cantelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.2 Tipos de Convergncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.3 Relao entre os Tipos de Convergncia. . . . . . . . . . . . . . . . . 445.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    6 Funo Geradora de Momentos e Funo Caracterstica 476.1 Funo Geradora de Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.2 Funo Caracterstica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.3 A Distribuio Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    7 Lei dos Grandes Nmeros e Teorema Central do Limite 577.1 Leis dos Grandes Nmeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577.2 Teorema Central do Limite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    8 Distribuio e Esperana Condicionais 618.1 Parties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618.2 Probabilidade Condicional dada uma Partio . . . . . . . . . . . . . 628.3 Esperana Condicional dada uma Partio . . . . . . . . . . . . . . . 638.4 Esperana Condicional dada uma-lgebra . . . . . . . . . . . . . . 668.5 Distribuio Condicional Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688.6 Esperana Condicional dada uma Varivel Aleatria. . . . . . . . . . 738.7 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

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    Apresentao

    Esta uma apostila feita a partir de notas de aula das disciplinas Probabilidadedomestrado em Cincias Atuariais da PUC-Rio ministrada em 2006 e Introduo Probabilidadeministrada no vero de 2012 no IMPA.

    Este no um livro-texto nem um livro para consulta. O texto aqui apresentado uma verso expandida do contedo que foi passado no quadro-negro, alm de listasde exerccios sugeridos. Durante os cursos ministrados, os principais livros-textoadotados foram o Barry James1 no IMPA e Magalhes2 na PUC-Rio. Alguns dosexerccios sugeridos so uma simples listagem de exerccios desses dois excelenteslivros.

    O nico pr-requisito formal o Clculo, e o curso no assume que os alunostenham qualquer tipo de conhecimento prvio em Probabilidade. Os alunos teroque aceitar como verdadeiros certos resultados que s sero justificados rigorosa-mente utilizando Anlise ou Teoria da Medida, o que no impede a compreensodos objetos probabilsticos estudados.3 No obstante, para um curso que tem entre17 a 20 aulas de 2 horas cada e sem pr-requisito formal, trata-se de uma introdu-o bastante ampla teoria da probabilidade, o que s foi possvel porque ambosos cursos foram dados para um conjunto de alunos extremamente motivados e comexcelente desenvoltura matemtica.

    Esta apostila est em construo. Para que este texto reflita melhor o contedoe a abordagem dos cursos mencionados, so necessrias diversas mudanas, prin-cipalmente nos primeiros quatro captulos. Agradeo ao Prof. Nei Rocha, que mepermitiu desenvolver esta apostila a partir do material que ele j havia compilado.

    Comentrios, crticas e correes so muito bem-vindos.

    Rio de Janeiro, fevereiro de 2012.

    1James, B. R. (2004). Probabilidade: Um curso em nvel intermedirio. Projeto Euclides.2Magalhes, M. N. (2004). Probabilidade e variveis aleatrias. IME-USP.3Da mesma forma, aprende-se Clculo antes de se fazer a demonstrao do seu teorema funda-

    mental. Da mesma forma, comum entre matemticos usar resultados baseados no Lema de Zorn

    sem ter entrado nos detalhes da sua demonstrao.

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    Captulo 1

    Definies Bsicas

    1.1 Espaos de Probabilidade

    Suponha que vamos realizar um experimento cujo resultado no pode ser preditode antemo. Entretanto, suponha que saibamos todos os possveis resultados detal experimento. Este conjunto de todos os resultados possveis, que denotaremospor , chamado de espao amostral do experimento. Assim, temos a seguintedefinio:

    Definio 1.1. O conjunto no-vazio de todos os resultados possveis de umdeterminado experimento chamado deespao amostral.

    Exemplo 1.2.Se o experimento consiste em lanar uma moeda, ento = {Ca,Co},onde Ca cara e Co coroa.

    Exemplo 1.3. Se o experimento consiste em lanar um dado e observar a facesuperior, ento = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.Exemplo 1.4. Se o experimento consiste em lanar duas moedas, ento ={(Ca,Ca), (Ca,Co), (Co,Ca), (Co,Co)}, onde o resultado (a, b) ocorre se aface da primeira moeda ae a face da segunda moeda b.

    Exemplo 1.5. Se o experimento consiste em lanar dois dados e observar as facessuperiores, ento

    =

    (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

    onde o resultado (i, j) ocorre se a face i aparece no primeiro dado e a face j no

    segundo dado.

    1

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    2 CAPTULO 1. DEFINIES BSICAS

    Exemplo 1.6. Se o experimento consiste em medir a vida til de um carro, entoum possvel espao amostral consiste de todos os nmeros reais no-negativos, isto, = [0,

    ).

    Definio 1.7. Qualquer subconjunto A do espao amostral , isto A , aoqual atribumos uma probabilidade, dito um evento aleatrio.

    Obviamente, como e os conjuntos e so eventos aleatrios.O conjunto vazio denominado evento impossvele o conjunto denominadoevento certo. Se o evento{} dito elementar(ou simples).

    Definio 1.8. Dois eventosAe B so ditosmutuamente exclusivosou incompat-veisse A B=.

    Observao 1.9. importante saber traduzir a notao de conjuntos para a lin-guagem de eventos: A B o evento A ou B; A B o evento A e B e Ac oevento no A.

    Definio 1.10. SejaAuma classe de subconjuntos de tendo as seguintes pro-priedades:

    (i) A;(ii) Se A Aento Ac A; (a classe fechada pela complementariedade)(iii) SeA1, A2, . . . , An

    Aento

    n

    i=1

    Ai

    A. (a classe fechada pela unio finita)

    Ento a classeAde subconjuntos de chamada uma lgebra.

    Exerccio 1.1. SejaAuma lgebra. Mostre que:(a) A;(b) se Ae B Aento A B A;(b) se A1, A2, . . . , An Aento n

    i=1Ai A.

    Definio 1.11. SejaAuma classe de subconjuntos de tendo as seguintes pro-priedades:

    (i) A;(ii) Se A Aento Ac A; (a classe fechada pela complementariedade)(iii) Se A1, A2, Aento

    i=1

    Ai A. (a classe fechada pela unio infinitaenumervel)

    Ento a classeAde subconjuntos de chamada uma -lgebra.

    Proposio 1.12. SejaAuma-lgebra de subconjuntos de. SeA1, A2, Aento

    i=1

    Ai A.

    Demonstrao. (Em aula.)

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    1.1. ESPAOS DE PROBABILIDADE 3

    Definio 1.13. Os membros deAso chamados (no contexto da teoria de Proba-bilidade) deeventos, ou subconjuntos de A-mensurveis, ou apenas subconjuntosmensurveis de se no houver confuso quanto -lgebra referente. O par (,

    A)

    dito ser um espao mensurvel.

    Exerccio 1.2. Seja = ReAa classe de todas as unies finitas de intervalos dotipo (, a], (b, c] e (d, ). Mostre que

    (a)A uma lgebra;(b)Ano uma -lgebra.

    Exerccio 1.3. Mostre que toda -lgebra uma lgebra, mas a recproca no verdadeira.

    Exerccio 1.4. Mostre, com exemplo, que seA eB so -lgebras,A B no necessariamente uma -lgebra.Exerccio 1.5.Mostre que se A e B so-lgebras, AB tambm uma-lgebra.Observao 1.14. Dada uma classeBde subconjuntos de , podemos construir amenor lgebra contendoB, da seguinte forma:

    (i) Formamos a classeB1 contendo ,, Ae Ac para todoA B;(ii) Formamos a classeB2 de intersees de elementos deB1;(iii) Formamos a classeB3 de unies finitas de elementos deB2.

    Claramente,B B1 B2 B3, e pode-se verificar facilmente queB3 umalgebra.Observao 1.15. Podemos construir (ainda que de forma abstrata) a menorlgebra contendo uma classeB de subconjuntos de , da seguinte forma: Con-sidere todas as lgebras contendoB. Denote-as (B), . O conjunto no-vazio, pois o conjunto de todos os subconjuntos de uma lgebra. Ento,a menor lgebra contendoB dada por

    (B) =

    (B)

    Exemplo 1.16. Seja ={1, 2, 3, 4, 5, 6}. (a) Construa a menor lgebra de sub-conjuntos de ; (b) Construa a menorlgebra contendo a classe de subconjuntosde dada por{{1, 2} , {1, 3, 4} , {3, 5}}; (c) Construa a menor lgebra contendotodos os subconjuntos de (esta lgebra chamada de conjunto das partes de, e denotada porP()).Definio 1.17. Algebra de Borel gerada pela coleo de conjuntos abertosde um espao topolgico. Os membros desta lgebra so chamadosBorelianos.

    As lgebras em Rd, d > 1, e R so geradas por intervalos nestes espaos e

    so denotadas porB(Rd

    ) =Bd

    eB=B1

    =B(R), respectivamente. Por exemplo, se

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    4 CAPTULO 1. DEFINIES BSICAS

    = R,B pode ser gerada por quaisquer dos intervalos (a, b), (a, b], [a, b) ou [a, b],isto ,

    B = {(a, b); a < b +}= {[a, b); < a < b +}= {[a, b]; < a < b

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    1.1. ESPAOS DE PROBABILIDADE 5

    4. SejamA eB A. SeA B, ento(a) P(B A) = P(B) P(A);(b) P(A) P(B).

    5. SejamA eB A. Ento P(A B) = P(A) + P(B) P(A B).6. Para qualquer seqncia de eventosA1, A2, . . . , An A,P

    i=1

    Ai

    i=1P(Ai)

    (desigualdade de Boole).

    7. SejamA1, A2, . . . , An A. Ento

    P

    ni=1

    Ai

    =

    ni=1

    P(Ai) i

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    6 CAPTULO 1. DEFINIES BSICAS

    1.2 Probabilidade Condicional

    1.2.1 Definio de Probabilidade CondicionalDefinio 1.25.Seja (, A, P) um espao de probabilidade. SeB A eP(B)>0,a probabilidade condicional deAdado B definida por

    P(A|B) = P(A B)P(B)

    , A A. (1.1)

    Exerccio 1.6. Certo experimento consiste em lanar um dado equilibrado duasvezes, independentemente. Dado que os dois nmeros sejam diferentes, qual aprobabilidade condicional de

    (a) pelo menos um dos nmeros ser 6;(b) a soma dos nmeros ser 8?

    1.2.2 Regra do Produto

    Teorema 1.26. SejamA, B A comP(A)>0 eP(B)>0. Ento

    P(A B) = P(B).P(A| B)= P(A).P(B

    |A)

    Demonstrao. (Em aula.)

    Teorema 1.27. (a) P(A B C) = P(A).P(B| A).P(C| A B).(b) P(A1 A2 An) = P(A1).P(A2| A1).P(A3| A1 A2) P(An| A1

    A2 An1), para todo A1, A2, . . . , An A e para todo n= 2, 3, . . . .

    Demonstrao. (Em aula.)

    1.2.3 Lei da Probabilidade TotalDefinio 1.28. Seja (, F) um espao mensurvel. Uma partio de umafamlia de conjuntos A1, A2, . . . , Antais que

    (i) Ai Fpara todo i,(ii)

    ni=1

    Ai= ,

    (iii) Ai Aj= , para todo i =j .Ou seja, os conjuntos A1, A2, . . . , Anso disjuntos dois a dois e a sua unio o

    conjunto . Dizemos tambm que foi particionado pelos conjuntosA1, A2, . . . , An.

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    1.2. PROBABILIDADE CONDICIONAL 7

    Para todo evento B Atemos

    B= n

    i=1

    (Ai

    B) .

    Como osAiso disjuntos, ento osCi= AiBso disjuntos. Com isto podemosdemonstrar os seguintes teoremas:

    Teorema 1.29 (Teorema da Probabilidade Total). Seja(A1, A2, . . . ) uma par-tio de(, F). Para todo B F vale

    P(B) =

    i

    P(Ai).P(B| Ai). (1.2)

    Demonstrao. (Em aula.)

    1.2.4 Frmula de Bayes

    Teorema 1.30 (Frmula de Bayes). Se a seqncia (finita ou enumervel) deeventos aleatriosA1, A2, . . . formar uma partio de, ento

    P(Ai| B) = P(Ai)P(B| Ai)j

    P(Aj).P(B| Aj) . (1.3)

    Demonstrao. (Em aula.)

    Exerccio 1.7. Uma caixa contm 10 bolas das quais 6 so brancas e 4 vermelhas.Removem-se trs bolas sem observar suas cores. Determine:

    (a) a probabilidade de que uma quarta bola removida da caixa seja vermelha;(b) a probabilidade de que as trs bolas removidas sejam brancas, sabendo-se

    que pelo menos uma delas branca.

    Exerccio 1.8. Uma moeda lanada. Se ocorre cara, um dado lanado e o seuresultado registrado. Se ocorre coroa, dois dados so lanados e a soma dos pontos registrada. Qual a probabilidade de ser registrado o nmero 2?

    Exerccio 1.9.Num certo certo pas, todos os membros de comit legislativo ou socomunistas ou so republicanos. H trs comits. O comit 1 tem 5 comunistas, o

    comit 2 tem 2 comunistas e 4 republicanos, e o comit 3 consiste de 3 comunistas e

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    8 CAPTULO 1. DEFINIES BSICAS

    4 republicanos. Um comit selecionado aleatoriamente e uma pessoa selecionadaaleatoriamente deste comit.

    (a) Ache a probabilidade de que a pessoa selecionada seja comunista.(b) Dado que a pessoa selecionada comunista, qual a probabilidade de ela ter

    vindo do comit 1?

    Exerccio 1.10. So dadas duas urnas A e B. A urna A contm 1 bola azul e 1vermelha. A urna B contm 2 bolas vermelhas e 3 azuis. Uma bola extrada aoacaso de A e colocada em B. Uma bola ento extrada ao acaso de B. Pergunta-se:

    (a) Qual a probabilidade de se retirar uma bola vermelha de B?(b) Qual a probabilidade de ambas as bolas retiradas serem da mesma cor?

    Exerccio 1.11.Suponha que temos 4 cofres, cada um com dois compartimentos.

    Os cofres 1 e 2 tm um anel de brilhante num compartimento e um anel de esmeraldano outro. O cofre 3 tm dois anis de brilhante em seus compartimentos, e o cofre4 tm dois anis de esmeralda. Escolhe-se um cofre ao acaso, abre-se um dos com-partimentos ao acaso e encontra-se um anel de brilhantes. Calcule a probabilidadede que o outro compartimento contenha:

    (a) um anel de esmeralda;(b) um anel de brilhantes.

    1.3 Independncia1.3.1 Eventos Independentes 2 a 2

    Definio 1.31. Seja (, F, P) um espao de probabilidade. Os eventos alea-triosA, B F so independentesse

    P(A B) = P(A)P(B).

    Observao 1.32. Eventos de probabilidade 0 ou 1 so independentes de qualqueroutro.

    Teorema 1.33. A independente de si mesmo se e somente seP(A) = 0 ou1.

    Demonstrao. (Em aula.)

    Teorema 1.34. So equivalentes:

    1. A eB so independentes

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    1.3. INDEPENDNCIA 9

    2. A eBc so independentes

    3. Ac eB so independentes

    4. Ac eBc so independentesDemonstrao. Exerccio.

    Observao 1.35. Dois eventos disjuntos no podem ser independentes, a menosque um deles tenha probabilidade zero.

    Definio 1.36. Dada uma famlia de eventos aleatrios (Ai)iI, dizemos queos Aiso independentes dois a doisse

    P(Ai

    Aj) = P(Ai).P(Aj)

    para todo i, jI,i =j .

    1.3.2 Eventos Coletivamente Independentes

    Definio 1.37. (a) Os eventos aleatrios A1, . . . , An(n2) so chamados (cole-tiva ou estocasticamente) independentesse

    P(Ai1

    Ai2

    Aim) = P(Ai1).P(Ai2)

    P(Aim)

    para todo 1 i1< i2

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    10 CAPTULO 1. DEFINIES BSICAS

    1.4 Exerccios

    Exerccio 1.14.Considere o experimento resultante do lanamento de dois dadosonde se observa o mnimo entre suas faces. Construa um modelo probabilsticoassociado.

    Exerccio 1.15.Seja (, F, P) um espao de probabilidade. Considere uma seqn-cia de eventos aleatrios (An) emF. Defina o evento Bm: o primeiro evento aocorrer da seqncia (An) Am.

    1. Expresse Bmem funo dos An. Bm aleatrio? Por qu?

    2. Os eventos B1, B2, . . . , Bm, . . . so disjuntos?

    3. Quem o eventom=1 Bm?Exerccio 1.16. Considere um espao amostral e uma -lgebraFsobre . Se(Pn) uma seqncia de medidas de probabilidade sobre F, se (an) uma seqnciade nmeros reais no-negativos tal que

    n=1 an= 1 e se definirmos

    P(E) =

    n=1

    anPn(E), E F,

    entoPtambm uma medida de probabilidade sobreF. Mostre isso.

    Exerccio 1.17. A -lgebra gerada por uma classe de conjuntosC.SejaCuma classe de subconjuntos de . Prove que:1.C P().2. Dadas duas -lgebrasF eG, temos queF G uma -lgebra.3. Dada uma famlia qualquer de -lgebras{Fi}iI, ondeI qualquer conjunto

    de ndices no-vazio, temos que

    iIFi uma -lgebra.4. Considere a famlia de -lgebras{F P() : F -lgebra eC F}. Esta

    famlia no vazia.

    5. Defina (C) como sendo a interseo de todas as -lgebras do item anterior.Ento:

    (a) (C) uma -lgebra.(b)C (C).(c) DadaF -lgebra, seC F ento (C) F.

    6. No existe outra -lgebra satisfazendo as trs propriedades acima.

    Dizemos que(C), assim definida, a-lgebra gerada porC, oua menor-lgebra

    que contmC.

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    1.4. EXERCCIOS 11

    Exerccio 1.18. Prove as propriedades de (C) abaixo.1. SeC Dento (C) (D).

    2. SeA -lgebra ento (A) =A.3. Seja f : uma funo eC uma classe de subconjuntos de . Ento

    (f1C) = f1((C)).Exerccio 1.19.Prove que a frmula de Bayes valida (use a regra do produto ea lei da probabilidade total).

    Exerccio 1.20. Prove que cada um dos itens abaixo equivalente definio deAe B independentes:

    1. Ae Bc

    so independentes;2. Ac e B so independentes;

    3. Ac e Bc so independentes;

    4. P(A|B) = P(A);5. P(B|A) = P(B).

    Exerccio 1.21. Se P(A) = P(A|B) = 14e P(B|A) = 1

    2:

    1. Ae B so independentes?

    2. Ae B so mutuamente exclusivos?3. Calcule P(Ac|Bc).

    Exerccio 1.22. B. James. Captulo 1. Recomendados: 3, 4, 5, 7, 11, 16, 18, 22.

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    12 CAPTULO 1. DEFINIES BSICAS

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    Captulo 2

    Variveis Aleatrias

    2.1 Definio

    Na realizao de um fenmeno aleatrio, muitas vezes estamos interessados em umaou mais quantidades, que so dadas em funo do resultado do fenmeno. A essasquantidades damos o nome de variveis aleatrias. Informalmente, uma varivelaleatria um caracterstico numrico do experimento.

    Exemplo 2.1. Sortear 11 cartas do baralho e contar quantasdessas cartas so deespadas.

    Exemplo 2.2. Sortear dois nmeros entre 0 e 1 e considerar o menor deles.Exemplo 2.3. Joga-se um dado e observa-se a face superior. Nesse caso temos = {1, 2, 3, 4, 5, 6}e

    X() = .

    Entretanto, nem toda funo de em R traduz uma varivel aleatria. Paraque ela seja uma varivel aleatria, precisamos garantir que todo evento relacionado varivel aleatria possa ser mensurado. Da a definio seguinte:

    Definio 2.4. Uma varivel aleatria X em um espao de probabilidade(, A, P) uma funo real definida no espao tal que o conjunto[ : X() x] (daqui para frente escrito de forma simplificada [X x]) evento aleatrio para todo x R; isto ,

    X: R

    uma varivel aleatria se [X x] Apara todo x R.

    13

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    14 CAPTULO 2. VARIVEIS ALEATRIAS

    Exemplo 2.5. Sejam ={1, 2, 3, 4} eA ={, {1, 2}, {3, 4}, } e considere osconjuntosA = {1, 2}e B ={1, 3}. Ento 1A varivel aleatria em (, A), mas 1Bno .

    2.2 Funo de Distribuio

    Definio 2.6. A funo de distribuio (acumulada) da varivel aleatria X, re-presentada por FX, ou simplesmente porFquando no houver confuso, definidapor

    FX(x) = P(X x), x R. (2.1)Exerccio 2.1. Duas moedas honestas so lanadas. Seja a varivel Xque conta o

    nmero de caras observadas. Construa a funo de distribuio da varivel aleatriaXe represente-a graficamente.

    Exerccio 2.2. Seja um experimento que consiste em selecionar um ponto ao acasodo intervalo [a, b] coma < b. SejaXa varivel aleatria que representa a coordenadado ponto. Construa a funo de distribuio da varivel aleatria Xe represente-agraficamente.

    Proposio 2.7 (Propriedades da Funo de Distribuio). SeX uma varivelaleatria, sua funo de distribuio F satisfaz as seguintes propriedades:

    1. Se x1 x2 ento F(x1) F(x2); isto , F no-decrescente.2. Se xn y, ento F(xn) F(y); isto , F contnua direita.3. limx F(x) = 0 e limx+ F(x) = 1.

    Demonstrao. (Em aula.)

    Tendo em mente que FX(x) = P(X x), podemos observar que1. P(X > a) = 1 P(X a) = 1 FX(a)2. P(a < X

    b) = P(X

    b)

    P(X

    a) = FX(b)

    FX(a)

    3. P(X=a) = P(X a) P(X < a) = FX(a) FX(a). Ou seja, P(X=a) o tamanho do salto da funo de distribuio em x = a. Se a funo forcontnua no ponto x = a ento P(X= a) = 0.

    4. P(a < X < b) = P(a < X b) P(X= b)=P(X b) P(X a) P(X= b) = FX(b) FX(a) [FX(b) FX(b)]=FX(b) FX(a).

    5. P(a X < b) = P(a < X < b) + P(X=a)

    =FX(b) FX(a) + [FX(a) FX(a)] = FX(b) FX(a).

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    2.3. TIPOS DE VARIVEIS ALEATRIAS 15

    6. P(a Xb) = P(a < Xb) + P(X=a)=FX(b) FX(a) + [FX(a) FX(a)] = FX(b) FX(a).

    Exerccio 2.3. Um dado tendencioso tal que a probabilidade de um ponto proporcional ao prprio ponto. Seja Xa varivel aleatria que representa o nmeroobtido no lanamento do dado. Pede-se:

    (a) A funo de distribuio da varivel aleatria X, esboando o seu grfico.(b) A probabilidade de ocorrer 5, dado que ocorreu um nmero mpar?(c) A probabilidade de ocorrer um nmero par, dado que ocorreu um nmero

    menor do que 5?

    Exerccio 2.4. Seja F(x) a funo

    F(x) = 0, se x 1

    2

    Mostre que F de fato uma funo de distribuio e calcule:(a) P(X > 1

    8)

    (b) P( 18

    < X < 25)

    (c) P(X < 25| X > 1

    8)

    2.3 Tipos de Variveis Aleatrias

    Definio 2.8.Uma varivel aleatria X(assim como sua funo de distribuioFX) dita discretase existe um conjunto enumervel{x1, x2, x3, . . . } R talque

    n=1

    P(X= xn) = 1.

    Neste caso definimos afuno de probabilidadede uma varivel aleatria contnua

    como pX(x) = P(X=x).

    Note que, se X discreta assumindo valores em{x1, x2, x3, . . . }, temos P(X{x1, x2, . . . }) = 1 e P(X {x1, x2, . . . }) = 0. No tratamento de variveis aleatriasdiscretas, tudo pode ser feito em termos de somatrios. A funo de distribuio deuma varivel aleatria discreta dada por

    FX(x) =

    n:xnxP(X= xn) =

    n:xnxPX(xn).

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    16 CAPTULO 2. VARIVEIS ALEATRIAS

    Observao 2.9. Reciprocamente, dada p() satisfazendo

    p(x)

    0,

    x

    R (2.2)

    e xR

    p(x) = 1, (2.3)

    existe uma varivel aleatria com funo de probabilidade dada por p.

    Exerccio 2.5. A probabilidade de um indivduo acertar um alvo 2/3. Ele deveatirar at atingir o alvo pela primeira vez. SejaXa varivel aleatria que representao nmero de tentativas at que ele acerte o alvo. Pede-se:

    (a) A funo de probabilidade de X, mostrando que ela atende as propriedades

    (2.2) e (2.3).(b) A probabilidade de serem necessrios cinco tiros para que ele acerte o alvo.

    Exerccio 2.6. Seja X uma varivel aleatria com funo de probabilidadeP(X = x) = cx2, onde c uma constante e k = 1, 2, 3, 4, 5. Calcule F(x) eP(Xser mpar).

    Exerccio 2.7. Seja Xo nmero de caras obtidas em 4 lanamentos de uma mo-eda honesta. Construa a funo de probabilidade e a funo de distribuio de Xesboando os seus grficos.

    Definio 2.10.Uma varivel aleatriaXe sua funo de distribuio FXso ditascontnuasseP(X=a) = 0 para todo a R, ou seja, se FXfor contnua no sentidousual.

    Definio 2.11. Uma varivel aleatria X (assim como sua funo de distri-buio FX) dita absolutamente contnuase existe fX() 0 tal que

    FX(t) = t

    fX(s)ds.

    Neste caso, dizemos que fX a funo de densidade de probabilidade deX, ousimplesmente densidadede X.

    Observao 2.12. Pelo Teorema Fundamental do Clculo, observe que

    fX(x) =dFX(x)

    dx .

    Observao 2.13. Como FX(x) contnua, observe que

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    2.3. TIPOS DE VARIVEIS ALEATRIAS 17

    1. P(X= x) = FX(x) FX(x) = 0 para todo x R.2. P(a X b) = P(a < X b) = P(a X < b) = P(a < X < b) =

    bafX(x)dx.3. dFX(x) = fX(x)dx.

    Exerccio 2.8. Verifique que

    FZ(z) =

    0, z

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    18 CAPTULO 2. VARIVEIS ALEATRIAS

    Exerccio 2.11. Seja Xuma varivel com funo de distribuio

    FX(x) = 0, x < 214+ x+28 , 2 x 1) e P(X 4|X >0).(c) Decomponha Fnas partes discreta e absolutamente contnua.

    Exerccio 2.12. Mostre que se X uma varivel aleatria do tipo contnuo comfuno de densidade par, ou seja, simtrica em torno de x = 0, isto , fX(x) =fX(x), ento:

    (a) FX(x) = 1 FX(x);(b) FX(0) = 12 ;

    (c) P(x < X < x) = 2FX(x) 1, x >0;(d) P(X > x) = 1

    2 x0 fX(t)dt,x >0.

    Exerccio 2.13. Suponha que Xseja uma varivel aleatria com f.d.p. dada por

    fX(x) = 1

    2(1 + |x|)2 , < x <

    (a) Obtenha a funo de distribuio de X.(b) Ache P(1< X 1).

    Exerccio 2.14. Z uma varivel aleatria contnua com funo de densidade deprobabilidade

    fZ(z) =

    10e10z, z >00, z 0

    Obtenha a funo de distribuio de Ze esboce o seu grfico.

    2.4 Exerccios

    Exerccio 2.15. Prove as propriedades de uma funo de distribuio

    Exerccio 2.16. Prove que P(X=a) = 0 se e somente se FX contnua em a.

    Exerccio 2.17. Prove que (R, B), juntamente com PX, formam um espao deprobabilidade, i.e., prove que PX uma medida de probabilidade.

    Exerccio 2.18. Sep(n) = p(1 p)n1, n= 1, 2, 3, . . . , mostre que p() funo de

    probabilidade e determine a funo de distribuio acumulada.

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    2.4. EXERCCIOS 19

    Exerccio 2.19. Seja Xuma varivel aleatria definida em (, F, P). Considere oseguinte truncamentode X:

    Y =

    X, |X| A,A, X > A,

    A, X 0.Exerccio 2.22. Mostre que a funo de probabilidade do modelo de Poisson defato uma funo de probabilidade.

    Exerccio 2.23. Perda de memria do modelo geomtrico.

    1. Mostre que P(X m+n|X > n) =P(X m) para inteiros no-negativos,se Xsegue o modelo geomtrico.

    2. Se Xsegue o modelo geomtrico, prove que a distribuio de Xdado queX > n igual distribuio de X+ n.

    Exerccio 2.24. Mostre que a densidade do modelo uniforme contnuo de fatouma funo de densidade.

    Exerccio 2.25. Mostre que a distribuio do modelo exponencial de fato umadistribuio. Calcule a densidade associada.

    Exerccio 2.26. Perda de memria do modelo exponencial.

    1. Mostre que P(X > t+ s|X > s) = P(X > t) para t, s 0 se X temdistribuio exponencial.

    2. Mostre que a distribuio deXdado queX > s igual distribuio deX+s.

    Exerccio 2.27. B. James. Captulo 2. Recomendados: 1, 5, 6, 7, 9, 10, 13, 14.

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    20 CAPTULO 2. VARIVEIS ALEATRIAS

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    Captulo 3

    Vetores Aleatrios

    Definio 3.1. Um vetor X= (X1, . . . , X n) com Xi variveis aleatrias definidasno mesmo espao de probabilidade (, A, P) chamado vetor aleatriose

    X1(B) Apara todo B Bn.Definio 3.2. A funo de distribuio conjunta F = FX de um vetor aleatrioX definida por

    FX(x) = FX(x1, . . . , xn) = P(X1 x1, . . . , X n xn).

    Observao 3.3.{

    X1

    x1, . . . , X n

    xn}

    = n

    i=1{: Xi() xi} A.Proposio 3.4 (Propriedades da Funo de Distribuio Conjunta). SeX umvetor aleatrio em(, A, P), ento para qualquerx Rn, sua funo de distribuioF goza das seguintes propriedades:

    F1) F(x) no-decrescente em cada uma de suas coordenadas.

    F2) F(x) contnua direita em cada uma de suas coordenadas.

    F3) Se para algum j, xj , ento F(x)0 e, ainda, se para todo j, xj+, ento F(x) 1.

    F4) F(x) tal que para todo ai, bi R, ai < bi, 1 i n, temosP{a1< X1 b1, a2< X2 b2, . . . , an< Xn bn} 0.

    Demonstrao. (Em aula.)

    Observao 3.5. A propriedade F4 parece to bvia que poderamos questionar anecessidade de mencion-la. No caso unidimensional ela no necessria, mas nocaso multi-dimensional ela essencial, pois h funes que atendem as propriedadesF1, F2 e F3 que no so funes de distribuies de nenhum vetor aleatrio, conforme

    o exemplo abaixo.

    21

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    22 CAPTULO 3. VETORES ALEATRIOS

    Exemplo 3.6. Considere a seguinte funo:

    F(x, y) = 1, em S=

    {(x, y) : x

    0, y

    0 e x+ y

    1

    }0, caso contrrioEntoF(x, y) satisfaz F1, F2 e F3, mas P{0< X 1, 0< Y 1} =1

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    3.2. FUNO DE DISTRIBUIO MARGINAL 23

    A proposio a seguir nos fornece o critrio para independncia de variveis alea-trias a partir da funo de distribuio conjunta. Trata-se do critrio de fatorao.

    Proposio 3.10.So equivalentes:1. X1, X2, . . . , X n so independentes.

    2. FX(t) = FX1 (t1)FX2 (t2) FXn(tn) para todot Rn.3. FX pode ser escrita como FX(t) = F1(t1)F2(t2) Fn(tn) comF1, . . . , F n fun-

    es reais.

    Demonstrao. (Em aula.)

    3.2 Funo de Distribuio MarginalA partir da funo de distribuio conjunta, pode-se obter o comportamento decada varivel isoladamente. A funo de distribuio individualizada denominadafuno de distribuio marginale obtida da seguinte forma:

    FXk(xk) = limxii=k

    F(x)

    em que o limite aplicado em todas as coordenadas, exceto k.

    Demonstrao. (Em aula.)

    3.3 Tipos de Vetores Aleatrios

    Definio 3.11. Um vetor aleatrio X (assim como sua funo de distribui-oFX) ditodiscretose existem {x1, x2, . . . } tais queP(X {x1, x2, . . . }) = 1.Neste caso, a funo de probabilidade conjuntadeX dada por

    pX(x) = P(X=x) .

    Um vetor aleatrio X discreto se e somente se suas coordenadas X1, . . . , X n sodiscretas. Qualquer funo p() satisfazendo

    p(x) 0, x Rn

    e

    x p(x) = 1

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    24 CAPTULO 3. VETORES ALEATRIOS

    funo de probabilidade conjunta de algum vetor aleatrio X em algum espao(, F, P).

    A funo de probabilidade marginalde uma varivel, digamos Xk, obtida apartir da conjunta, somando-se os valores possveis em todas as coordenadas, excetoem k, isto ,

    pXk(xk) = P(Xk= xk) =n

    i=1i=k

    xi

    p(x).

    Exemplo 3.12. Duas moedas equilibradas so lanadas de forma independente edefinimos as variveis aleatrias X e Yda seguinte forma: X= nmero de carasnos dois lanamentos eY = funo indicadora de faces iguais nos dois lanamentos.Obtenha a funo de probabilidade conjunta deXe Y e as funes de probabilidade

    marginais de Xe de Y.

    Definio 3.13. Um vetor aleatrioX (assim como sua funo de distribuioFX) dito absolutamente contnuose existe fX() 0 tal que

    FX(t) = t1

    tn

    fX(s1, . . . , sn)dtn dt1.

    Neste caso, dizemos que fX a funo de densidade conjunta deX, ou simples-mente densidadedeX.

    Se um vetor aleatrio X absolutamente contnuo, ento suas coordenadasX1, . . . , X n so absolutamente contnuas (no vale a recproca!). Qualquer f() sa-tisfazendo

    f(x) 0, x Rn

    e Rn

    f(x)dnx= 1

    densidade de algum vetor aleatrio X.A densidade de uma varivel Xi chamada densidade marginal, e pode sercalculada por

    fXi= +

    +

    n1 vezes

    f(x1, . . . , xi, . . . , xndx1 dxn exceto xi

    .

    A funo de densidade conjunta fXpode ser calculada por

    fX(x) = n

    x1 xnFX(x1, . . . , xn).

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    3.4. MTODO DO JACOBIANO 25

    Exemplo 3.14. SejaG Rn uma regio tal que Vol G >0, onde Vol G o volumen-dimensional de G. Dizemos queX = (X1, X2, . . . , X n) com funo de densidade

    fX(x1, . . . , xn) = 1Vol G , (x1, . . . , xn) G0, (x1, . . . , xn) / G

    uniformemente distribudo emG.

    Exerccio 3.1. Sejam trs variveis aleatrias X, Y e Zcom funo de densidadeconjunta dada por

    f(x , y, z ) =

    kxy2z, se 0< x 1, 0< y 1 e 0< z 20, caso contrrio

    Encontre o valor de ke ache a funo de densidade marginal de X.

    Critrio de independncia SeX discreta entoX1, . . . , X nso independentesse, e somente se,

    pX(x1, . . . , xn) = p1(x1) pn(xn) x1, . . . , xn R

    para funes reais p1, . . . , pn. Neste caso, uma outra decomposio possvel sempre

    pX(x1, . . . , xn) = pX1(x1) pXn(xn).SeX absolutamente contnua entoX1, . . . , X nso independentes se, e somente

    se,fX(x1, . . . , xn) = f1(x1) fn(xn) x1, . . . , xn R

    para funes reais f1, . . . , f n. Neste caso, uma outra decomposio possvel sempre

    fX(x1, . . . , xn) = fX1(x1) fXn(xn).

    3.4 Mtodo do Jacobiano

    Sejam G0 Rn e G Rn duas regies abertas e seja g : G0 G uma funobijetora onde

    g(x1, . . . , xn) = (g1(x1, x2, . . . , xn), . . . , gn(x1, x2, . . . , xn)) = (y1, . . . , yn).

    Ento existe a funo inversa h=g1 en G, onde

    x1= h1(y1, . . . , yn), . . . , xn= hn(y1, . . . , yn).

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    26 CAPTULO 3. VETORES ALEATRIOS

    Suponha tambm que existam as derivadas parciais

    xi

    yj=

    hi(y1, . . . , yn)

    yj, 1

    i, j

    n,

    e que elas sejam contnuas em G. Definimos o jacobiano J(x, y) pelo determinante

    J(x, y) =

    xiyj

    = det

    x1y1

    x1yn

    ... . . .

    ...xny1

    xnyn

    Pelo clculo de vrias variveis, sabemos que se o jacobiano for no-nulo para todoyG, ento

    . . .

    A

    f(x1 . . . , xn)dx1 . . . dxn=

    . . .

    g(A)

    f(h1(y1, . . . , yn) . . . , hn(y1, . . . , yn)) |J(x, y)| dy1 . . . d yn

    para qualquer f integrvel em A, onde A G0. Com isso, no contexto de probabili-dade, temos o seguinte teorema:

    Teorema 3.15. SejamY1, Y2, . . . , Y nvariveis aleatrias transformadas, isto , Yi=gi(X1, X2, . . . , X n)parai= 1, 2, . . . , n. Ento a densidade conjunta deY1, Y2, . . . , Y n

    fY(y1 . . . , yn) = fX(h1(y1, . . . , yn) . . . , hn(y1, . . . , yn)) |J(x, y)| , y G0, y / GondefX a funo de densidade conjunta deX.

    Demonstrao. (Em aula.)

    Exemplo 3.16. Sejam X e Yvariveis aleatrias independentes, cada uma comdistribuio exponencial com parmetro 1, mostre que Z= X+ Y e W = X

    Y so

    tambm independentes com densidades

    fZ(z) = zez, z >0

    0, z 0e

    fW(w) =

    1

    (w+1)2, w >0

    0, w 0 .

    Observao 3.17. Seja a funo g: Rn Rk com k < n. Ento g no bijetora.Ento para obtermos a distribuio de Y =g(X), basta:

    (a) Completar a transformao g atravs de variveis auxiliares convenientes:

    Yk+1= gk+1(X), . . . , Y n= gn(X).

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    3.5. EXERCCIOS 27

    (b) Obter a conjunta deY1, Y2, . . . , Y nusando o mtodo do jacobiano fY(y1 . . . , yn) =f(h1(y1, . . . , yn) . . . , hn(y1, . . . , yn)) |J(x, y)|.

    (c) Obter a marginal conjunta de Y1, Y2, . . . , Y kcomo

    . . .

    fY(y1 . . . , yn)dyk+1 . . . d yn.

    Exemplo 3.18. A funo de densidade conjunta de Xe Y dada por

    fX,Y(x, y) =13

    (x+ y)1(0,2](x)1(0,1](y).

    Mostre que a densidade de Z= X+ Y dada por

    fZ(z) =

    z2

    3, 0 z

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    28 CAPTULO 3. VETORES ALEATRIOS

    Exerccio 3.3. 1. Considere um vetor aleatrio (X, Y) absolutamente contnuocom distribuio uniforme em

    A= (x, y) R2 : 0 < y < x e x+ y

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    Captulo 4

    Esperana Matemtica

    4.1 Definio

    Definio 4.1. Seja Xuma varivel aleatria com funo de distribuio FX. Aesperana de X, denotada E(X), definida como

    E(X) =

    xdFX(x) (4.1)

    quando a integral est bem definida.

    Observao 4.2. (a)(x) = x contnua. A integral (4.1) de Riemann-Stieltjes.

    (b) A esperana est bem definida se pelo menos uma das integrais0 xdFX(x)ou0 xdFX(x) for finita.

    (c) Se ambas as integrais

    0 xdFX(x) e0 xdFX(x) forem finitas, dizemos que

    X integrvel, ou seja, X integrvel se

    E(|X|) =

    |x| dFX(x)< .

    (d) SeX uma varivel aleatria discreta tomando valores no conjunto {x1, x2, x3, . . . }e com funo de probabilidade p(xi) = P(X= xi), ento

    E(X) = i=1

    xip(xi).

    (e) SeX uma varivel aleatria contnua com funo de densidade de probabilidadefX(x), ento

    E(X) =

    xfX(x)dx

    (f) Se X tal que sua funo de distribuio se decompe F = Fd+Fac+Fs,ento

    E(X) =

    i=1xip(xi) +

    xfX(x)dx+

    xdFs(x).

    29

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    30 CAPTULO 4. ESPERANA MATEMTICA

    Exerccio 4.1. Um dado lanado sucessivamente, at que a face 6 ocorra pelaprimeira vez. SejaXa varivel que conta o nmero de lanamentos at a ocorrnciado primeiro 6. Calcule a esperana de X.

    Exerccio 4.2. Suponha que Xseja uma varivel aleatria com f.d.p. dada por

    f(x) =

    C(9 x2), 3 x 30, caso contrrio

    (a) Obtenha o valor de C.(b) Obtenha a esperana de X.(c) Ache P(|X| 1).

    4.1.1 Propriedades da Esperana Matemtica1. E(C) = C, onde C uma constante.

    2. Se a X b, ento a E(X) b.3. E(aX b) = aE(X) b.4. E[X E(X)] = 0.5. Se X Y, ento E(X) E(Y).6. SeX uma varivel aleatria tal que 0 |X| Y, ondeY varivel aleatria

    integrvel, entoX integrvel.

    Exerccio 4.3. Seja Xuma varivel aleatria simtrica em torno de , isto ,P{X +x}= P{X x}para todo x R. Mostre que se X integrvel,entoE(X) = .

    Observe pelo exerccio seguinte, que sem a hiptese de integrabilidade, o resul-tado no se verifica, pois:

    Exerccio 4.4. Seja Xuma varivel aleatria Cauchy com parmetros M e b, isto, a densidade de X dada por

    f(x) = b

    [b2 + (x

    M)2]

    para todo x R, b >0 e M R. Mostre que M ponto de simetria de X, masE(X) no existe.

    Exerccio 4.5. Sejam X e Y variveis aleatrias independentes com distribuiouniforme em [0, 1]. Sejam Z = min(X, Y) e W = max(X, Y). Calcule E(Z) eE(W).

    Proposio 4.3. (Desigualdade de Jensen) Seja uma funo convexa definida nareta. Se a varivel aleatriaX integrvel, ento

    E[(X)]

    [E(X)].

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    4.2. ESPERANAS DE FUNES DE VARIVEIS ALEATRIAS 31

    Demonstrao. (Em aula.)

    Observao 4.4. Se uma funo cncava, ento E[(X)]

    [E(X)]. (Mostre

    isso!)

    Exemplo 4.5. Pela desigualdade de Jensen, temos, por exemplo, que(a) E[|X|] |E(X)|.(b) E(X2) E2(X).(c) E|X|p (E|X|)p |EX|p. onde p 1.(d) E

    1X

    1

    EX.

    4.2 Esperanas de Funes de Variveis Aleat-

    rias

    Definio 4.6. Seja Xuma varivel aleatria e (x) uma funo real mensurvel.Ento a esperana da varivel aleatria Y =(X) dada por

    E(Y) =

    ydF(X)(y).

    A frmula acima nem sempre muito fcil de ser usada, pois devemos obtera distribuio de Ya partir da distribuio da varivel Xe s ento obter E(Y).

    No entanto possvel mostrar pela Teoria da Medida que a esperana da varivelaleatria Y =(X) dada por

    E(X) =

    ydF(X)(y) =

    (x)dFX(x),

    sendo que (X) ser integrvel em (, F, P) se e somente se for integrvel em(R, B, dFX). Assim,

    E[(X)] =

    i=1(xi)p(xi) (se X discreta)

    E[(X)] =

    (x)fX(x)dx (se X contnua)

    4.3 Momentos

    Definio 4.7. Seja Xuma varivel aleatria. Define-se ok-simo momento ordi-nrioda varivel aleatria X, mk, como

    mk= E(Xk) =

    xkdF

    X(x).

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    32 CAPTULO 4. ESPERANA MATEMTICA

    Assim,

    mk =

    i=1 xki P(X=xi) seX v.a.d.

    mk =

    xkfX(x)dx seX v.a.c.

    Definio 4.8.SejaXuma varivel aleatria. Define-se ok-simo momento centralda varivel aleatria X,Mk, como

    Mk=E[(X E(X))k].Assim,

    Mk =

    i=1[x

    i E(X)]k

    P(X=xi) seX v.a.d.

    Mk =

    [x E(X)]kfX(x)dx se X v.a.c.

    Definio 4.9. Seja X uma varivel aleatria. Define-se a varinciada varivelaleatria X, denotada por V Xou 2X, como

    V X=E[(X E(X))2].Observao 4.10. Observe que V X = E[(XE(X))2] = E[X2 2XE(X) +

    E

    2

    (X)] = E[X2

    ] 2E2

    (X) + E2

    (X) = E(X2

    ) E2

    (X).

    4.3.1 Propriedades da Varincia

    1. V C= 0, onde C uma constante.2. V(aX b) = a2V X.

    Definio 4.11. Define-se o desvio-padro da varivel aleatria X, denotado porDP(X) ou X, como

    DP(X) =

    V X.

    Observao 4.12. Pelas definies acima, vemos que

    m1 = E(X)

    M1 = 0

    M2 = V X=m2 m21.Proposio 4.13. (Desigualdade bsica de Markov) SejaXuma varivel aleatriano-negativa e seja >0 uma constante. Ento

    P(X

    )

    E(X)

    .

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    4.4. ESPERANAS DE FUNES DE VETORES ALEATRIOS 33

    Demonstrao. Em aula.

    Proposio 4.14. (Desigualdade de Markov) SejaXuma varivel aleatria qual-

    quer e seja >0 uma constante. Ento para todo t >0,

    P(|X| ) E|X|t

    t .

    Demonstrao. Em aula.

    Proposio 4.15. (Desigualdade Clssica de Chebyshev) SejaXuma varivel ale-atria integrvel e seja >0 uma constante. Ento

    P(|X E(X)| ) V X2

    .

    Demonstrao. Em aula.

    Exerccio 4.6. Suponha que Xseja uma varivel aleatria tal que P(X0) = 1e P(X10) = 1

    5. Mostre que E(X) 2.

    Exerccio 4.7. Suponha que X seja uma varivel aleatria tal que E(X) = 10,P(X7) = 0, 2 e P(X 13) = 0, 3. Prove que V X 9

    2.

    Proposio 4.16. SeZ 0eEZ= 0, entoP{Z= 0}= 1, ou seja, Z= 0quasecertamente.

    Demonstrao. Em aula.

    Observao 4.17. A proposio acima implica que, quando V X= 0, ento X constante quase certamente, poisP{X=EX}= 1.

    4.4 Esperanas de Funes de Vetores Aleatrios

    Teorema 4.18. SejaX= (X1, X2, . . . , X n) um vetor aleatrio em(, A, P) e:Rn R mensurvel a Borel. Ento

    E(X) =

    ydF(X)(y) =

    . . .

    (x)dFX(x)

    onde a ltima integral uma integraln-dimensional de Stieltjes.Demonstrao. (Teoria da Medida)

    Observao 4.19. (i) SeX for discreto tomando valores em{x1, x2, . . . }temos

    E(X) =i=1

    (xi)pX(xi).

    (ii) SeX for contnuo com densidade fX(x) temos

    E(X) =

    . . .

    (x)fX(x)dx1 . . . dxn.

    (iii)E[1(X) + + n(X)] = E[1(X)] + + E[n(X)].

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    34 CAPTULO 4. ESPERANA MATEMTICA

    Proposio 4.20. SeX1, X2, . . . , X n so variveis aleatrias independentes e inte-grveis, ento X1X2 Xn integrvel e

    E[X1X2 Xn] = (EX1)(EX2) (EXn).Demonstrao. (Em aula.)

    O exemplo a seguir nos mostra que a recproca da proposio anterior no sempre verdadeira, isto , EX Y =EX.EYno implica Xe Y independentes.

    Exemplo 4.21. Sejam X e Y variveis aleatrias tomando valores1, 0, 1 comdistribuio conjunta dada por p(1, 1) = p(1, 1) = p(1, 1) = p(1, 1) =p(0, 0) = 1

    5. Ento EX Y = EX.EY, mas X e Y no so independentes, pois

    P(X= 0, Y = 0)

    =P(X= 0).P(Y= 0).

    Definio 4.22. A covarincia entre duas variveis aleatrias X e Y definidacomo

    Cov(X, Y) = E[(X EX) (Y EY)]= E[XY] E[X] E[Y]

    Duas variveis aleatrias X e Y so ditas no-correlacionadas se Cov(X, Y) = 0.Segue-se que variveis aleatrias independentes so no-correlacionadas, mas a re-cproca no necessariamente verdadeira.

    Observao 4.23. H certos casos em que no correlao implica em independn-cia. O caso mais importante o da Normal: SeXe Ypossuem distribuio conjuntanormal bivariada e so no-correlacionadas, ento= 0 e como vimos anteriormenteXe Y so independentes.

    Proposio 4.24.A varincia da varivel aleatriaY = ni=1

    Xi dada por

    V

    ni=1

    Xi

    =

    ni=1

    V [Xi] + 2i

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    4.5. CONDICIONANDO A EVENTO DE PROBABILIDADE POSITIVA 35

    Definio 4.27. Chama-se coeficiente de correlao entre X e Y , denotado porX,Y ou (X, Y), a correlao entre as sua variveis padronizadas, isto ,

    X,Y =Cov(X, Y)X.Y

    =EX EXX

    Y EYY

    .Exerccio 4.8. Mostre que (X, Y) = (aX+ b,cY+ d) para a >0 e c >0.

    A proposio seguinte nos informa que X,Yrepresenta a dependncia linear entreXe Y.

    Proposio 4.28. SejamX eYvariveis aleatrias com varincias finitas e posi-tivas. Ento:

    (i)1X,Y 1.(ii) X,Y = 1 se e somente seP{Y =aX+ b} = 1 para alguma >0 eb R.(iii) X,Y =1 se e somente seP{Y =aX+ b}= 1 para alguma 0. Definimos a distribuio condicional de Xdado o evento Apor

    P(X B| A) = P([X B] A)P(A)

    para B B, a -lgebra dos borelianos da reta. Os axiomas abaixo se verificamAxioma 1) P(X B| A) 0.Axioma 2) P(X R|A) = 1.Axioma 3) Se B1, B2, . . . so borelianos disjuntos dois a dois, ento P(X

    i=1Bi| A) =

    i=1

    P(X Bi| A).A funo de distribuio associada distribuio condicional chamada funo

    de distribuio condicional deXdado A:

    FX(x|

    A) = P(X

    x|

    A) =P([X x] A)

    P(A) , x

    R.

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    36 CAPTULO 4. ESPERANA MATEMTICA

    A esperana condicional de X dado A a esperana da distribuio condicionaldefinida por

    E(X| A) =

    xdFX(x|A)

    = E[X.1A]

    E[1A]

    = 1P(A)

    E[X.1A] ,

    se esta esperana existe.Observe, pelo Teorema da Probabilidade Total, que

    P(X B) =n P(An)P(X B| An), para todo B B.FX(x) =

    n

    P(An)P(X x|An)

    =

    n

    P(An)FX(x|An), para todo x R.

    E[X] =

    xdFX(x) =

    xd n P(An)FX(x|

    An)=

    n

    P(An)

    xdFX(x|An)

    =

    n

    P(An)E(X| An).

    Exemplo 4.30. Seja XU[1, 1] e sejam A1= [X 0] e A2= [X 2].

    4.6 Exerccios

    Exerccio 4.9. Calcular EX, onde:

    1. X b(n, p).2. X exp().3. X

    Geom(p).

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    4.6. EXERCCIOS 37

    Exerccio 4.10. 1. Prove que, seXassume valores em{0, 1, 2, 3, . . .}, ento

    EX=

    n=1 P(X n).Sugesto: escreva a frmula da esperana como um somatrio duplo de p(n)e troque a ordem da soma.

    2. Dada Xvarivel aleatria, mostre que

    n=1

    P(|X| n) E|X|

    n=0

    P(|X| n).

    Estabelea um critrio para determinar se X integrvel ou no.

    Dica:|X| |X| |X| + 1.Exerccio 4.11. Dada Xv.a., defina

    Y =

    X, X a,a, caso contrrio,onde a uma constante positiva. Mostre que E YEX.Exerccio 4.12. Mostre que X integrvel se, e somente se, E|X| < .Exerccio 4.13. Prove:

    1. Se E|X| = 0 ento P(X= 0) = 1.Dica:

    |X| 1

    n

    [X= 0] quando n .

    2. Se X ce EX= c, ento P(X= c) = 1.Exerccio 4.14. Prove as conseqncias da desigualdade de Cauchy-Schwarz paraa covarincia e o coeficiente de correlao.

    Exerccio 4.15. Prove que a covarincia e o coeficiente de correlao de duas va-

    riveis independentes so nulos.

    Exerccio 4.16. Prove que E|X| EX2.Exerccio 4.17. Sejam X1, . . . , X nvariveis aleatrias satisfazendo EX2i < i.

    1. Se Cov(Xi, Xj) = 0i =j , mostre que

    V

    ni=1

    Xi

    =

    ni=1

    V Xi.

    2. A frmula acima tambm vale se as variveis aleatrias forem independentes?

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    38 CAPTULO 4. ESPERANA MATEMTICA

    Exerccio 4.18. Calcular V X, onde:

    1. X Poisson().

    2. X exp().3. X b(n, p).

    Exerccio 4.19. Padronizao de X.Dada uma varivel aleatria X com EX2 0 e b R.3. Se Z a padronizao de Xe W a padronizao de Y, ento

    (Z, W) = Cov(Z, W) = E(ZW) = (X, Y).

    (Prove uma igualdade de cada vez.)

    Exerccio 4.20. Considere uma seqncia de variveis aleatrias X1, X2, X3, . . .i.i.d. com distribuio Bernoulli(p). Quantas realizaes so suficientes para que amdia amostral, dada por

    Xn() =1n

    nj=1

    Xn(),

    no difira de seu valor esperado ppor mais de 0,01, com probabilidade mnima de0,95? (Sugesto: Desigualdade de Chebyshev)

    Exerccio 4.21. Considere variveis aleatrias X1, X2, . . . eXdefinidas no espaode probabilidade (, F, P) tais que Xn() X() .

    1. Mostre que, se as Xn so uniformemente limitadas, ento X integrvel eEXn EX.

    2. Mostre quelimn E

    e|X| sen(Xn)

    = E

    e|X| sen(X)

    .

    Exerccio 4.22. B. James. Captulo 3. Recomendados: 5, 6, 19, 20ab, 21, 23, 26,28, 30, 36.

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    Captulo 5

    Convergncia de VariveisAleatrias

    Considere um experimento devidamente modelado por um espao de probabilidade(, F, P). Neste espao vamos considerar uma seqncia de variveis aleatriasX1, X2, X3, . . . . Em inmeras situaes tericas e prticas, uma pergunta natural qual o comportamento de longo prazo da seqncia (Xn)n. Dito de outra forma:quais as propriedades estatsticas de XN, sendo Nsuficientemente grande?

    Tratando-se de variveis aleatrias, o conceito de convergncia uma generali-zao do conceito de convergncia para nmeros reais. Entretanto, existem vriaspossveis formas de se fazer essa generalizao, e cada forma a mais natural em de-terminado contexto. No caso de variveis aleatrias degeneradas, todas as definiesso equivalentes convergncia de nmeros reais.

    Em B. James, as convergncias quase certa e em probabilidade so vistas naSeo 5.1, a convergncia em distribuio vista na Seo 6.2 e a convergnciaem mdia r no considerada. A referncia mais completa sobre convergncia Magalhes, Seo 6.2. Para o Lema de Borel-Cantelli recomenda-se a Seo 5.2 deB. James. Para uma reviso sobre convergncia de seqncias e sries de nmerosreais pode-se consultar o Captulo 1 de Rgo.1 Recomendam-se os exerccios listadosao final deste captulo.

    5.1 Lema de Borel-Cantelli

    Comeamos definindo o lim inf e o lim sup de uma seqncia de eventos.

    1 L. C. Rgo. Notas de Aula do Curso Probabilidade 4. 2010.

    http://www.de.ufpe.br/~leandro/AulasET5842010-1.pdf

    39

    http://www.de.ufpe.br/~leandro/AulasET5842010-1.pdfhttp://www.de.ufpe.br/~leandro/AulasET5842010-1.pdf
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    40 CAPTULO 5. CONVERGNCIA DE VARIVEIS ALEATRIAS

    Definio 5.1 (lim sup e lim inf de eventos). Dada uma seqncia de eventos

    aleatrios An, definimos o evento lim sup An, denotado por [An infinitas vezes]ou [Ani.v.], por

    limsupn

    An=

    n=1

    k=n

    Ak.

    Definimos o evento lim infAn, denotado por [Aneventualmente], por

    liminfn An=

    n=1

    k=n

    Ak.

    importante entender as seguintes interpretaes: limsup An o conjunto dos s tais que pertence a infinitos Ans. O evento limsup An significa An acontece infinitas vezes. liminfAn o conjunto dos s tais que pertence a todos osAns exceto uma

    quantidade finita deles. O evento liminfAnsignifica Anacontece para todo ngrande.De fato, lim sup An Fe liminfAn F. Vale tambm que

    liminfAn limsup Ane

    liminf(Acn) = (lim sup An)c.

    Exemplo 5.2. Exemplo: = R, An=

    (1/n, 1], nmpar,(1, 1/n], npar.Temos

    limsup An=

    n=1

    k=n

    Ak=

    n=1

    (1, 1] = (1, 1]e

    liminfAn= n=1

    k=n

    Ak= n=1

    {0} ={0}.

    Exerccio 5.1. Sejam um espao de probabilidade (, F, P) e uma seqncia deeventos aleatrios (An) emF.

    Mostre que, se (An) crescente, ento lim sup An = liminfAn =n=1An. Poroutro lado, se (An) decrescente, ento lim sup An= lim infAn=n=1An.Exerccio 5.2. Considere o espao de probabilidade (R2, B2, P), no qual P umaprobabilidade arbitrria. Se An ={(x, y) R2 : 0xn, 0y 1n}, encontre

    limsup Ane liminfAn.

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    5.1. LEMA DE BOREL-CANTELLI 41

    Exerccio 5.3. Considere a seqncia de intervalos

    An= (0, 2 + 1

    n), npar

    (0, 2 1n

    ), nmpar.

    Encontre o lim infAne o limsup An.

    Teorema 5.3(Lema de Borel-Cantelli). Seja(, F, P) um espao de probabili-dade e(An) uma seqncia de eventos aleatrios. Ento:

    1. Se

    n=1 P(An)< ento

    P(An infinitas vezes) = 0.

    2. Se

    n=1 P(An) = e os eventosAn so independentes, ento

    P(An infinitas vezes) = 1.

    Demonstrao. Feita em aula. Referncia: B. James, p. 201.

    Exemplo 5.4.Considere a seqncia de infinitos sorteios independentes e uniformesde um nmero (xn) entre 0 e 1.

    1. P(xn [0, 1/n] para infinitos ns) = 1.2. P(xn [0, 1/n2] para infinitos ns) = 0.

    Caso os eventos An no sejam independentes, podemos ter P(Ani.v.) = 0 semque necessariamente tenhamos

    n P(An)

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    42 CAPTULO 5. CONVERGNCIA DE VARIVEIS ALEATRIAS

    e portanto

    P

    n=k

    An

    inf

    mkP(Am).

    Como (n=kAn)k uma seqncia crescente de eventos, temos que

    P(lim infn An) = P

    k=0

    n=k

    An

    = lim

    kP

    n=k

    An

    lim

    kinfnk

    P(An).

    O ltimo termo igual a lim infn P(An), o que termina a prova.

    Corolrio 5.6. SeP(An i.v.) = 0 ento P(An) 0.Demonstrao. Aplicando o Teorema5.5 para a seqncia (Acn)ntemos que

    limsupn P(An) = 1 liminfn P(Acn) 1 P(liminfn Acn) = P(limsupn An) = 0,donde segue o resultado.

    5.2 Tipos de Convergncia

    Sejam X e{Xn}n1 variveis aleatrias definidas num mesmo espao de probabili-dade (, A, P).

    Definio 5.7. Dizemos que Xn converge em probabilidade paraX, denotado

    por XnP

    X, se para todo >0P{|Xn X| } 0, quando n .

    Exemplo 5.8. Sejam X1, X2, . . . v.a.s independentes, tais que P(Xn= 1) = 1n e

    P(Xn= 0) = 1 1n . Mostre que Xn P 0.Exemplo 5.9. Sejam X1, X2, . . . v.a.s independentes, identicamente distribudascom distribuio exp(1). Defina

    Yn= Xnln n

    para n >1. Mostre que YnP 0.

    Definio 5.10. Dizemos que Xn converge quase certamente paraX, denotadopor Xn

    q.c.X, seP{Xn X, quando n } = 1,

    ou seja, o evento A0= {: Xn() X()} de probabilidade 1.

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    5.2. TIPOS DE CONVERGNCIA 43

    Observao 5.11. Observe que a convergncia quase certa uma convergnciapontual num conjunto de medida 1, ou seja, Xn() X() para quase todo ,exceto aqueles dentro de um conjunto de medida nula. Por outro lado convergnciaem probabilidade no diz respeito convergncia pontual, ela apenas afirma quepara valores grandes de n as variveis Xn e X so aproximadamente iguais comprobabilidade bem alta.

    Exemplo 5.12.Seja = [0, 1]. Um ponto selecionado aleatoriamente do intervalo[0, 1] e seja a sequncia de variveis aleatrias dada por

    Xn() = + n.

    Mostre que Xnq.c. X com X U[0, 1]. Observe tambm queXn(1)X(1). Mas

    P{ :Xn() X(), quando n } = 0.Proposio 5.13.Xn q.c.Xse, e somente se,

    P|Xn X| i.v.

    = 0 >0.

    Exerccio 5.4. Prove a proposio acima.

    Definio 5.14. Dizemos que Xn converge paraX emLp, que denotamos porXn

    LpX, selimnE{|Xn X|

    p}= 0.

    Quando p= 2, a convergncia dita em mdia quadrtica.

    Exemplo 5.15. Sejam X1, X2, . . . v.a.s independentes, tais que P(Xn= 1) = 1n e

    P(Xn= 0) = 1 1n . Mostre que XnLp 0, para todo p.

    Definio 5.16. Sejam{Xn; n 1} e Xvariveis aleatrias com funes dedistribuio{Fn; n 1} e F, respectivamente. Dizemos que Xn converge emdistribuio paraX, que denotamos por Xn

    d X, se para todo ponto xem queF contnua, tivermos lim

    n Fn(x) = F(x).

    Exemplo 5.17. Seja{Xn; n 1}uma seqncia de v.a. independentes com distri-buio uniforme em (0, b),b >0. Defina Yn= max(X1, X2, . . . , X n) eY =b. Entoverifique que Yn

    dY.Exemplo 5.18. Seja Xn= 1n para n1 e X= 0. Mostre que Xn d X, emboralimn Fn(0) = 0= 1 =F(0). Mas como 0 no ponto de continuidade de F, isto

    no problema.

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    44 CAPTULO 5. CONVERGNCIA DE VARIVEIS ALEATRIAS

    5.3 Relao entre os Tipos de Convergncia

    Proposio 5.19.SeXnq.c.

    X ento XnP

    X.Demonstrao. Para qualquer >0, pela Proposio5.13temos que

    P(|Xn X| i.v.) = 0,logo segue do Corolrio5.6que P(|Xn X| ) 0, ou seja, Xn P X.Proposio 5.20. Se Xn

    P X ento existe uma subseqncia nk tal queXnk

    q.c. X.Idia da prova. ComoP(|XnX| ) 0 pode-se tomar uma subseqncia nktalque

    kP(|XnkX| )

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    5.4. EXERCCIOS 45

    q.c.

    P

    subseqncia

    caso dominado

    d

    constante

    Lp+s Lp

    Figura 5.1: Diagrama de implicaes entre os tipos de convergncia.

    5.4 Exerccios

    Exerccio 5.5. B. James. Captulo 5. Recomendados: 5, 6, 7, 9, 10.

    Exerccio 5.6. Seja (An)numa seqncia de eventos em (IAn)n a seqncia de va-riveis aleatrias indicadoras das ocorrncias dos eventos correspondentes. Encontreuma condio sobre as probabilidades P(An) para que IAn

    P 0.Exerccio 5.7. Considere o espao de probabilidade ([0, 1], B, P) comPdado pelamedida de comprimento, e a seqncia de variveis aleatrias (Xn)ndadas por

    Xn() = n, w < 1n ,

    0, w 1n

    .

    Verifique respectivamente se Xnd X, Xn P X, Xn q.c. X, Xn L2 X, Xn L1 X,

    para alguma varivel aleatriaX.

    Exerccio 5.8. Seja (Xn)n uma seqncia de variveis aleatrias independentescom distribuio uniforme em [0, 1], e Yn = max{X1, . . . , X n}. Encontre a funode distribuio deYne o limite em distribuio desta seqncia.

    Exerccio 5.9. Sejam (Xn)n variveis aleatrias tais que

    n=1

    P|Xn| >

    <

    para qualquer >0. Mostre queXn

    q.c. 0.Mostre que tambm vale a recproca no caso de as Xn serem independentes.

    Exerccio 5.10. Sejam Xn, n N, variveis aleatrias independentes tais queXn Bernoulli(pn). Estude as condies sobre (pn) para que:

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    46 CAPTULO 5. CONVERGNCIA DE VARIVEIS ALEATRIAS

    1. XnP 0.

    2. Xnq.c.0.

    Exerccio 5.11. Seja (Xn)numa seqncia i.i.d. Mostre que

    Xnn

    q.c.0

    se e somente se E|X1| < .Exerccio 5.12. Seja (Xn)numa seqncia i.i.d. Mostre que

    Xnn

    q.c.0

    se e somente se E|X1|2

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    Captulo 6

    Funo Geradora de Momentos eFuno Caracterstica

    A funo geradora de momentos e a funo caracterstica esto entre os exemplosmais importantes de transformadas. A idia geral de transformada mapear certosobjetos em objetos de outro tipo e outras propriedades, onde certas anlises sopossivelmente mais fceis, o que ficar claro nos exemplos seguintes. A funogeradora de momentos a instncia daTransformada de Laplacede uma distribuioem R, e a funo caracterstica a Transformada de Fourier.

    A funo caracterstica e o Teorema da Continuidade so vistos nas Sees 6.1e 6.2 de B. James. A funo geradora de momentos vista nesta apostila, e oleitor mais interessado pode consultar a Seo 5.4 de Magalhes. Recomendam-seos exerccios listados ao final deste captulo.

    6.1 Funo Geradora de Momentos

    Definio 6.1. Seja Xuma varivel aleatria. Define-se a funo geradora demomentosMX(t) de X, como

    MX(t) = E[etX],

    desde que a esperana seja finita para todo tem algum intervalo [b, b]. Casocontrrio dizemos que Xno possui funo geradora de momentos.

    47

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    48 CAPTULO 6. TRANSFORMADAS

    Assim,

    MX(t) =

    i=1 etxiP(X= xi) se X v.a.d.MX(t) =

    etxfX(x)dx se X v.a.c.

    Exerccio 6.1. Seja Xa varivel aleatria que conta o nmero de lanamentos deuma moeda honesta at que ocorra a primeira cara. Ache a funo geradora demomentos de X.

    Exerccio 6.2. Se Xtem funo geradora de momentos MX(t) e se Y = aX+ b,entoMY(t) = ebtMX(at).

    Proposio 6.2. SeX tem funo geradora de momentosMX(t), ento

    dk

    dtkMX(t)

    t=0

    =E[Xk].

    Exerccio 6.3. No Exerccio6.1,use a funo geradora de momentos para calcularEXe V X.

    Proposio 6.3 (Unicidade). A funo geradora de momentos define de formaunvoca a distribuio da varivel aleatria, ou seja, dadaM(t) existe apenas umafuno de distribuio F(x) que a gera.

    Teorema 6.4 (Variveis Aleatrias Independentes). Sejam X1, X2, . . . , X n v.a.sindependentes e parai = 1, 2, . . . , n, sejaMXi(t) a funo geradora de momentos deXi. SejaY =X1+ X2+ + Xn, ento para todo valor de t tal queMXi(t) existeparai= 1, 2, . . . , n, temos

    MY(t) =

    n

    i=1 MXi(t).Demonstrao. (Em aula.)

    Exemplo 6.5. Suponha um experimento realizado uma nica vez tendo probabi-lidade p de sucesso e q= 1 p de fracasso. Denote a varivel aleatriaX= 0 sefracasso ocorre e X= 1 se sucesso ocorre. Ento a varivel aleatria X dita terdistribuio de Bernoullicom parmetro p, representado por X Bernoulli(p), esua funo de probabilidade dada por

    P(X= x) = px

    (1 p)1

    x

    , x= 0, 1.

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    6.1. FUNO GERADORA DE MOMENTOS 49

    Assim se XBernoulli(p), ento

    MX(t) = pet + q,

    EX = p,

    V X = pq.

    Exemplo 6.6.Sejamnensaios independentes de Bernoulli, cada um tendo a mesmaprobabilidade pde sucesso e q= 1 pde fracasso. Seja Xa varivel aleatria queconta o nmero de sucessos nas n realizaes. A varivel aleatria X dita terdistribuio Binomial com parmetros n e p, denotado por X b(n, p), e suafuno de probabilidade dada por

    P(X= x) = nxpxqnx, x= 0, 1, 2, 3, . . . , n.

    (a) Se X b(n, p), ento

    MX(t) = (pet + q)n,

    EX = np,

    V X = npq.

    (b) Se Xi

    Bernoulli(p), para i= 1, 2, . . . , n, independentes, ento X= X1+X2+ + Xn b(n, p).

    (c) Se Xib(ni, p), para i= 1, 2, . . . , k, independentes, ento X= X1+X2+ + Xkb(ki=1 ni, p).Exemplo 6.7. Sejam ensaios sucessivos e independentes de Bernoulli, cada umtendo a mesma probabilidade p de sucesso eq= 1 pde fracasso. SejaXa varivelaleatria que conta o nmero de realizaes at que o primeiro sucesso ocorra. Avarivel aleatria X dita ter distribuio Geomtricacom parmetro p, denotadopor X Geo(p), e sua funo de probabilidade dada por

    P(X=x) = qx1p, x= 1, 2, 3, 4, . . .

    Assim, se X Geo(p), ento

    MX(t) = pet

    1 qet , para t

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    50 CAPTULO 6. TRANSFORMADAS

    Exemplo 6.8. Denotemos por Poisson() a distribuio de Poisson com parmetro.

    (a) Se X

    Poisson(), ento

    MX(t) = e(et1),

    EX = ,

    V X = .

    (b) Se Xi Poisson(i), para i = 1, 2, . . . , n, independentes, ento X= X1+X2+ + Xn Poisson(ni=1 i).

    6.2 Funo CaractersticaDo ponto de vista terico, a funo caracterstica bem mais robusta e funcional quea funo geradora de momentos: est definida para qualquer distribuio; sempredetermina a distribuio; determina tambm a convergncia em distribuio; nobastasse, ainda gera momentos.

    Entretanto, uma desvantagem faz com que, na prtica, muitos prefiram trabalharcom a funo geradora de momentos: a funo caracterstica envolve a manipulaode nmeros complexos.1

    Definio 6.9. Uma varivel aleatria complexa X uma funo X : Ctal que X = X1+ iX2, onde (X1, X2) um vetor aleatrio real. Se X1 e X2 sointegrveis, definimos EX= EX1+ iEX2 C.

    A integrao de funes complexas em domnios reais pode ser feita, para todosos fins prticos, como no caso real. Por exemplo, X= g(Y) = g1(Y) +ig2(Y), Yv.a., define uma varivel aleatria complexa, cuja esperana pode ser calculada porEX=

    + g1(y)dF(y) + i

    + g2(y)dF(y).

    Lembramos ainda a frmula de Euler:

    eix = cos(x) + i sen(x)

    1 Registro aqui um comentrio. A compreenso e manipulao de funes caractersticas no

    requer conhecimentos de clculo em uma varivelcomplexa. Isso porque as integrais so calculadas

    em dxparax R e no em dzpara caminhos C. Mais precisamente, baF(x)dx= F(b)F(a)

    mesmo que F e F sejam funes complexas. As nicas situaes em que teramos que sair de Re

    usar argumentos tpicos de variveis complexas, em particularfdz = 0, seriam na obteno da

    funo caracterstica da Normal e da distribuio de Cauchy. Cumpre porm ressaltar que usamos

    abundantemente

    nzn

    n! = ez, (eg) = geg, e (1 + zn

    n)n ez se zn z, mas para fins prticos

    manipulamos o i como um nmero qualquer.

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    6.2. FUNO CARACTERSTICA 51

    Definio 6.10. A funo caractersticade uma varivel aleatriaX, denotada

    por X, a funo X: R Cdefinida comoX(t) = EeitX =Ecos(tX) + iEsen(tX), t R.

    Exemplo 6.11. Se X U[a, b], entoX(t) = E[eitX] = E[cos(tX)] + iE[sen(tX)]

    = ba

    cos(tx) 1

    b adx+ i ba

    sen(tx) 1

    b adx

    = 1

    t(b a)sen(tx)b

    a i

    t(b a)cos(tx)b

    a

    = 1

    t(b a)[sen(tb) sen(ta) i cos(tb) + i cos(ta)]

    =ieitb + ieita

    t(b a) =eitb eita

    it(b a).

    Ou, mas rpido:

    X(t) = ba

    eitx 1

    b adx= 1b a

    1it

    eitx

    b

    a

    =

    eitb eitait(b a).

    Exemplo 6.12. Se X Poisson(), ento:X(t) = E[eitX] =

    n=0

    eitnen

    n! =e

    n=0

    (eit)n

    n! =eee

    it =e(eit1).

    Proposio 6.13.Propriedades da funo caracterstica:

    1.|(t)| (0) = 1.2. uniformemente contnua emR.

    3. Sea, b R, ento aX+b(t) = eitbX(at).4. SeX eY so independentes, ento X+Y(t) = X(t)Y(t).

    5. X tambm gera momentos:

    dn

    dtnX(t)

    t=0

    =inE(Xn), seE|X|n < .

    6. SeE|X|n < , ento

    X(t) = (0) + (0)t + (0)t2

    2+ (0)

    t3

    6+ + (n) t

    n

    n!+ rn(t)

    = 1 + i(EX)t EX2

    2 t2 iEX

    3

    6 t3 + + in EX

    n

    n! tn + rn(t),

    onde o resto rn(t) pequeno: rn(t)

    tn t0 0.

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    52 CAPTULO 6. TRANSFORMADAS

    Exemplo 6.14. Poisson (Feito em aula.)

    Proposio 6.15(Unicidade). SeX(t) = Y(t) t R, ento X Y.Exemplo 6.16. Soma de Poissons independentes Poisson. (Feito em aula.)

    Convergncia em distribuio O Teorema de Continuidade relaciona conver-gncia de funes caractersticas com convergncia em distribuio.

    Teorema 6.17 (Teorema da Continuidade (Paul Lvy)). Seja (Xn)n umaseqncia de variveis aleatrias e (n)n a seqncia das funes caractersti-cas correspondentes. Se

    n(t) (t) t R,

    e contnua em t= 0, ento

    Xnd X,

    ondeX uma varivel aleatria tal queX=.

    Exemplo 6.18. Binomial converge a Poisson. (Feito em aula.)

    6.3 A Distribuio Normal

    Denotamos por a funo de distribuio acumulada de uma normal padro

    (t) = FN(t) = P(N t) = t

    ex2/2

    2

    dx.

    Em geral, a soluo de problemas numricos envolvendo a distribuio normal incluia consulta de uma tabela de valores de ((t); t

    0) com os valores det apropriados

    veja a Tabela6.1. Para t

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    6.4. EXERCCIOS 53

    Exerccio 6.6. Sejam X1, X2, X2, . . . independentes, Sn = X1+ X2+ +Xn eSn= X1+X2++Xnn Mostre as seguintes propriedades:

    (a) Se X N

    (, 2), ento Z= X N

    (0, 1).(b) Assim, se X N(, 2), ento

    mX(t) = et+122t2

    E(X) =

    V X = 2.

    (c) Se Xi N(i, 2i ), ento Sn N(n

    i=1 i,n

    i=1 2i).

    (d) Se Xi N(, 2), ento Sn N(n, n2).(e) Se Xi

    N(, 2), ento Sn

    N(,

    2

    n).

    Exerccio 6.7. A distribuio dos comprimentos dos elos da corrente de bicicleta normal, com mdia 2 cm e varincia 0, 01 cm2. Para que uma corrente se ajuste bicicleta, deve ter comprimento total entre 58 e 61 cm. Qual a probabilidade deuma corrente com 30 elos no se ajustar bicicleta?

    Exerccio 6.8. As duraes de gravidez tm distribuio normal com mdia de 268dias e desvio-padro de 15 dias.

    (a) Selecionada aleatoriamente uma mulher grvida, determine a probabilidadede que a durao de sua gravidez seja inferior a 260 dias.

    (b) Se 25 mulheres escolhidas aleatoriamente so submetidas a uma dieta especiala partir do dia em que engravidam, determine a probabilidade de os prazos dedurao de suas gravidezes terem mdia inferior a 260 dias (admitindo-se que adieta no produza efeito).

    (c) Se as 25 mulheres tm realmente mdia inferior a 260 dias, h razo depreocupao para os mdicos de pr-natal? Justifique adequadamente.

    Exerccio 6.9. O peso de uma determinada fruta uma varivel aleatria comdistribuio normal com mdia de 200 gramas e desvio-padro de 50 gramas. De-termine a probabilidade de um lote contendo 100 unidades dessa fruta pesar maisque 21 kg.

    Exerccio 6.10. Um elevador pode suportar uma carga de 10 pessoas ou um pesototal de 1750 libras. Assumindo que apenas homens tomam o elevador e que seuspesos so normalmente distribudos com mdia 165 libras e desvio-padro de 10libras, qual a probabilidade de que o peso limite seja excedido para um grupo de 10homens escolhidos aleatoriamente?

    Exerccio 6.11.Se XU[a, b], calculeMX(t). Use a funo geradora de momentos

    para calcular EXe V X.

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    54 CAPTULO 6. TRANSFORMADAS

    Exerccio 6.12.As cinco primeiras repeties de um experimento custam R$ 10 , 00cada. Todas as repeties subseqentes custam R$ 5, 00 cada. Suponha que oexperimento seja repetido at que o primeiro sucesso ocorra. Se a probabilidade desucesso de uma repetio igual a 0, 9, e se as repeties so independentes, qual custo esperado da operao?

    Exerccio 6.13. Se Xexp(), calcule MX(t). Use a funo geradora de momen-tos para calcular EXe V X.

    Exerccio 6.14. Seja Yuma varivel aleatria contnua com funo de densidadede probabilidade dada por

    fY(y) = yey, se y >0

    0, caso contrrio

    Ache a funo geradora de momentos de Ye use-a para calcular EY e V Y.

    Exerccio 6.15. Se X N(0, 1), calcule X(t).Voc pode usar o seguinte fato, da teoria do clculo em uma varivel complexa: +

    e(w+ci)

    2

    dw= +

    ew2

    dw

    para qualquer c R.

    Exerccio 6.16. Se X N(, 2), calcule X(t).Exerccio 6.17. B. James. Captulo 6. Recomendados: 1, 2, 3, 4, 7, 9, 13a, 14, 17,18, 21, 29.

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    56 CAPTULO 6. TRANSFORMADAS

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    Captulo 7

    Lei dos Grandes Nmeros eTeorema Central do Limite

    A referncia para os assuntos deste captulo so os Captulos 5 e 7 do B. James.Porm faremos aqui uma exposio simplificada desses assuntos, enquanto o livro-texto os trata com um nvel de profundidade que est fora dos objetivos deste curso.Recomendam-se os exerccios listados ao final deste captulo.

    7.1 Leis dos Grandes Nmeros

    Sejam X1, X2, . . . v.a.s integrveis em (, A, P) e S1, S2, . . . suas somas parciaisdadas por

    Sn= X1+ X2+ + Xn.

    Definio 7.1. X1, X2, . . . satisfazem a Lei Fraca dos Grandes Nmerosse paratodo >0 temos

    PSn ESn

    n

    0, quando n ,

    ou seja, seSn ESn

    nP0.

    Definio 7.2. X1, X2, . . . satisfazem a Lei Forte dos Grandes Nmerosse paratodo >0 temos

    P

    limn

    Sn ESnn

    = 0

    = 1 ,

    ou seja, seSn ESn

    n

    q.c.

    0.

    57

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    58 CAPTULO 7. LEI DOS GDES NMEROS E TEO CENTRAL DO LIMITE

    Teorema 7.3(Lei Fraca de Chebyshev). SejamX1, X2, . . . v.a.s no-correlacionadasdois a dois com varincias finitas e uniformemente limitadas (isto , existecfinito,

    tal que para todo nV Xn < c). EntoX1, X2, . . . satisfazem a Lei Fraca dos Grandes

    Nmeros:Sn ESn

    nP 0.

    Demonstrao. Exerccio. Basta usar a segunda desigualdade de Chebyshev.

    Corolrio 7.4(Lei dos Grandes Nmeros de Bernoulli). Considere uma seqnciade ensaios binomiais independentes tendo a mesma probabilidade p de sucesso em

    cada ensaio. SeSn o nmero de sucessos nos primeiros n ensaios, ento

    Snn

    P p.

    Teorema 7.5 (Lei Fraca de Khintchine). Sejam X1, X2, . . . v.a.s independentes,identicamente distribudas e integrveis, com mdia. EntoX1, X2, . . . satisfazem

    a Lei Fraca dos Grandes Nmeros:

    Snn

    P .Demonstrao. Utilizamos o Teorema de Paul Lvy. Primeiramente, como as Xnso i.i.d., temos

    Snn

    (t) =

    X1

    tn

    n=1 + i

    t

    n + r1

    tn

    n,

    onde r1() tal que r1(w)w 0 quando w 0. Segue que Snn (t) eit quandon , para todo t R. Pelo Teorema6.17, Sn

    n

    d e, como constante, isso o mesmo que Sn

    n

    P.Teorema 7.6 (Primeira Lei Forte de Kolmogorov). SejamX1, X2, . . . v.a.s inde-pendentes e integrveis, e suponha que

    n=1

    V Xnn2

    < .

    Ento X1, X2, . . . satisfazem a Lei Forte dos Grandes Nmeros:

    SnnE Sn

    n

    q.c.0.Demonstrao. (Eu aula, se houver tempo.)

    Teorema 7.7 (Lei Forte de Kolmogorov). SejamX1, X2, . . . v.a.s independentes,identicamente distribudas e integrveis, comEXn= . Ento X1, X2, . . . satisfa-zem a Lei Forte dos Grandes Nmeros:

    Snn

    q.c..Demonstrao. (Em aula.)

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    7.2. TEOREMA CENTRAL DO LIMITE 59

    7.2 Teorema Central do Limite

    Teorema 7.8 (Teorema Central do Limite para variveis aleatrias i.i.d.). Seja{Xn; n 1} uma seqncia de v.a.s i.i.d., com mdia comume varincia comum2, onde0 < 2

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    60 CAPTULO 7. LEI DOS GDES NMEROS E TEO CENTRAL DO LIMITE

    7.3 Exerccios

    Observao 7.11. As questes sobre a Lei Forte dos Grandes Nmeros, por trata-rem de eventos que devem acontecer com probabilidade 1, em geral envolvem o usodo Lema de Borel-Cantelli.

    Exerccio 7.1. Seja (Xn)numa seqncia de variveis aleatrias i.i.d. com E X41 0

    A funo de distribuio condicional de Xdado Y =y

    FX(x|Y =y) = P{X x|Y =y} .

    Caso de X e Y independentes

    Se X e Y so independentes, o condicionamento em Y = y no afeta emnada a varivel X. Neste caso temos

    P(X B|Y =y) = P(X B).

    Exerccio 8.6. Verifique que esse candidato satisfaz a Definio8.24.

    Caso de X e Y possurem densidade conjunta

    SeXe Ytm funo de densidade conjunta fX,Y(x, y), a funo de densidade

    condicional de Xdado Y =y dada por

    fX(x|Y =y) = fX,Y(x, y)fY(y)

    para todo ytal que fY(y)>0.

    Neste caso a funo de distribuio condicional de Xdado Y =y

    FX(x

    |Y =y) = P

    {X

    x

    |Y =y

    }=

    x

    fX(t

    |Y =y)dt.

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    70 CAPTULO 8. DISTRIBUIO E ESPERANA CONDICIONAIS

    Exemplo 8.26. Sejam Xe Y com densidade conjunta

    fX,Y

    (x, y) = 6xy(2 x y), 0< x

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    8.5. DISTRIBUIO CONDICIONAL REGULAR 71

    Princpio da preservao das chances relativas

    O princpio da preservao das chances relativas diz que, dada a ocorrnciade um evento, os resultados possveis dentro desse evento mantm as mesmaschances relativas que possuam antes.

    Exemplo 8.28. X N(0, 1) eY =X2. Qual a distribuio condicional deXdadoque Y =y?

    Como P(Y >0) = 1, basta considerar valoresy >0. Sabendo que Y =y temosduas alternativas: X= y ou X=y. Como fX(y) = fX(y), esses dois valorescontinuam tendo a mesma chance quando condicionamos a Y =y . Definimos ento

    P(X= y |Y =y) = P(X=y|Y =y) = 1

    2 .Vamos verificar que esse candidato satisfaz a Definio 8.24. Se s < t

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    72 CAPTULO 8. DISTRIBUIO E ESPERANA CONDICIONAIS

    Exemplo 8.30. Sejam Xe Y com densidade conjunta

    fX,Y(x, y) = (1 + 2x 2y), x, y [0, 1]0, caso contrrio.Queremos calcular P(X+ Y z|Y =y).

    Pelo Princpio da Substituio temos que P(X+ Y z| Y = y) = P(Xz y| Y =y). Calculemos ento a distribuio condicional de X.

    Como X e Ypossuem densidade conjunta temos fY(y) =+ fX,Y(x, y)dx =1

    0(1 + 2x 2y)dx= 2 2y, 0< y

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    8.6. ESPERANA CONDICIONAL DADA UMA VARIVEL ALEATRIA 73

    8.6 Esperana Condicional dada uma Varivel Ale-

    atria

    Dada Xintegrvel, definimos E(X|Y =y) como

    E[X|Y =y ] =

    xdF(x|Y =y) .

    Teorema 8.31. SeX integrvel ento E(X|Y =y) finita para todo y A, paraalgumA tal queP(Y A) = 1.

    Definindo (y) = E(X|Y =y), temos que E(X|Y) = (Y), de forma que pode-mos obter uma verso palpvel de E(X

    |G),

    G= (Y). A esperana condicional

    E(X|Y)() = (Y()), sendo um caso particular de esperana condicional dadauma -lgebra, satisfaz todas as propriedades enunciadas na Proposio8.21.

    Proposio 8.32. Os seguintes resultados envolvendo esperanas condicionais severificam:

    (a) E[X] = E(X|Y =y) dFY(y).

    (b) P(X B) = P(X B| Y =y)dFY(y), para todo B B.(c) FX(x) =

    FX(x|Y =y) dFY(y).

    Observao 8.33. Para qualquer funo gtal que g(X) integrvel, definimos

    E[g(X)|Y =y ] =

    g(x)dFX(x|y) .

    Exemplo 8.34. Se Xe Y so independentes, ento FX(x|Y =y) = FX(x) e

    E[X|Y =y ] =

    xdF(x|Y =y) =

    E(X|Y =y) dFY(y) = E[X] .

    Assim,(y) = EX

    y

    R eE(X

    |Y) = (Y) = EX, isto ,E(X

    |Y) uma varivel

    aleatria constante, igual a E X.

    Exemplo 8.35. Se X U[0, 2] e Y = max{X, 1}. Temos que Y assume valoresem [1, 2]. Tomando y em (1, 2], temos que [Y = y] = [X= y] e, pelo Princpio daSubstituio, E[X|Y = y] = y. Tomando y = 1, temos que [Y= 1] = [X 1].Assim,

    FX(x|Y= 1) =FX(x|X1) = P(Xx, X 1)P(X 1) =

    x/21/2

    =x, 0 x 1,0, x 1.

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    74 CAPTULO 8. DISTRIBUIO E ESPERANA CONDICIONAIS

    Logo,fX(x|Y= 1) = ddxFX(x|Y= 1) = I[0,1](x) e

    E(X|Y= 1) =

    1

    0

    xfX(x|Y= 1)dx=

    1

    2.

    Portanto,

    E(X|Y) =

    12

    , Y = 1

    Y, 1< Y 2.Exemplo 8.36. O Jogador I lana uma moeda honesta n vezes, obtendo k caras,onde 0K n. Depois o Jogador II lana a moeda k vezes, obtendo j coroas.Seja X o nmero j de coroas obtidas pelo Jogador II. Queremos calcular EX.(Poderamos fazer algum esforo neste caso nem sempre isso possvel para

    mostrar que Xb(n,1

    4 ) e portanto EX= n

    4 , mas estamos interessados apenas emsaber EX.)SejaYo nmero de caras obtidas pelo Jogador I. claro queX|Y =k b(k, 1

    2,

    logo E(X|Y =k) = k2. Assim, E(X|Y) = Y

    2. Calculamos ento

    EX=E[E(X|Y)] = E

    Y

    2

    =

    12

    EY =12

    n

    2=

    n

    4,

    uma vez que Y b(n, 12

    ).

    Exemplo 8.37. No Exemplo8.26, vamos cacular E[X|Y] e E[X].Substituindo a densidade obtida temos

    E[X|Y =y ] = +

    xfX(x | Y =y)dx= 1

    0

    6x2(2 x y)4 3y dx=

    5 4y8 6y .

    EntoE[X| Y] = 54Y86Y e

    E[X] = E[E[X|Y]] = 1

    0

    5 4y8 6y (4y 3y

    2)dy=1512

    812

    = 712

    .

    Exerccio 8.8. No Exemplo8.27,vamos calcular E

    eX/2|Y

    e E

    eX/2|Y = 1

    .

    Substituindo a densidade condicional obtida, temosE[e

    X2 |Y =y ] =

    0

    ex2 yexydx=y

    0

    e(12y)xdx.

    Se y 12a integral vale +. Se y > 1

    2la integral vale y

    y 12

    . Assim,

    EeX/2|Y

    =

    +, Y 1

    2,

    yy 1

    2

    , y > 12

    ,

    e EeX/2|Y = 1= 1

    2

    .

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    8.6. ESPERANA CONDICIONAL DADA UMA VARIVEL ALEATRIA 75

    Exemplo 8.38. SejaX U[0, 1]. SeX= x, ento uma moeda com probabilidadexde sair cara lanada nvezes independentemente. SejaY a v.a. que representao nmero de caras obtidas.

    Temos que Y|X=x b(n, x) e X U(0, 1) Se y0, 1, . . . , nento:

    P(Y =y) = 1

    0P(Y =y|X=x)fX(x)dx=

    10

    n

    y

    xy(1 x)nydx.

    Portanto

    E[Y] =n

    y=0

    yP(Y =y) =n

    y=0

    10

    y

    n

    y

    xy(1 x)nydx

    = 1

    0 xn

    n

    y=0n

    1

    y 1xy1(1 x)nydx= 1

    0xn(x+ 1 x)n1dx= n

    10

    xdx=n

    2.

    Por outro lado,E[Y| X=x] = nx, ou seja,E[Y| X] = nX, logo

    E[E[Y| X]] = E[nX] = n2

    .

    Exerccio 8.9. Sejam X e Yv.a.s independentes tais que X U[0, 2] e YU[

    1, 1].

    (a) Calcule E[X|X+ Y 2].(b) Calcule E[X|X+ Y].(c) Calcule E[X|X+ Y= 2].

    Exerccio 8.10.SejaX1, X2, . . . .uma seqncia de variveis aleatrias independen-tes e identicamente distribudas e sejaNuma varivel aleatria inteira e no-negativa

    independente da seqncia X1, X2, . . . . Seja Y = Ni=1

    Xi. Mostre que

    E[Y] = E[N] E[X] .

    Exerccio 8.11.SejamY1, Y2, . . . , Y nvariveis aleatrias no-negativas i.i.d. Mostreque

    E[Y1+ Y2+ + Yk|Y1+ Y2+ + Yn= y] = kn

    y, k= 1, 2, . . . , n .

    Exerccio 8.12. Um nmero no-negativo X escolhido com densidade fX(x) =xex para x > 0. Se X = x, um nmero Y escolhido no intervalo [0, x]. AcheP(X+ Y

    2).

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    76 CAPTULO 8. DISTRIBUIO E ESPERANA CONDICIONAIS

    8.7 Exerccios

    Exerccio 8.13.ConsidereXe Y i.i.d. Bernoulli(p). CalculeE(X+Y|Y) e escreva

    essa varivel aleatria como uma funo da v.a. Y, de duas formas diferentes:

    (a) usando P(X+ Y = k|Y), que para k= 1 j foi calculado no Exemplo 8.9, eaplicando a definio de esperana condicional dada uma partio.

    (b) usando a linearidade da esperana condicional, a independncia entre X e Ye o fato de que Y DY-mensurvel.

    Exerccio 8.14. Dadas X e Y i.i.d. assumindo finitos valores{0, . . . , n}, mostreque

    E(X|X+ Y) = E(Y|X+ Y) =X+ Y

    2 .Sugesto: para obter a primeira igualdade, escreva a definio de esperana

    condicionada partioDX+Y , desenvolva essa expresso para depois usar a in-dependncia e o fato de X e Y terem mesma distribuio. Para obter a segundaigualdade, some os dois lados da primeira igualdade.

    Exerccio 8.15. A varincia condicionada a uma partio definida de forma an-loga varincia de uma varivel aleatria:

    V(X

    |D) = E [X

    E(X

    |D)]2D

    .

    Mostre queV(X|D) = E

    X2|D

    [E(X|D)]2 .

    Sugesto: desenvolva a definio dada acima de forma semelhante ao que se fazpara mostrar que V X=E X2 (EX)2. Em algum momento voc vai ter que usaro fato de que E(X|D) uma varivel aleatriaD-mensurvel.Exerccio 8.16. Se X uma varivel aleatria limitada definida em (, F, P) eD uma partio de (, F), mostre que

    V X= E[V(X|D)] + V[E(X|D)].Sugesto: desenvolva o lado direito usando o Exerccio8.15.

    Exerccio 8.17.SeXe Y so variveis aleatrias limitadas e definidas em (, F, P)eG F uma -lgebra, ento mostre que

    E[ X E(Y|G) ] = E[ Y E(X|G) ] .

    Dica: sabemos que essas esperanas podem ser calculadas da seguinte forma: pri-meiro calcula-se E(

    |G) e depois E(

    ), isto , E[E(Z

    |G)] = EZ.

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    8.7. EXERCCIOS 77

    Exerccio 8.18. Sejam Xe Yvariveis aleatrias em (, F, P) eG Fuma -lgebra. Se

    E(Y2|G) = X2, E(Y|G) = X,mostre queX=Yquase certamente, isto , P(X= Y) = 1.

    Sugesto: calcule E[(X Y)2] em duas etapas e justifique por que X G-mensurvel.

    Exerccio 8.19. A varincia condicionada a uma -lgebra definida de formaanloga varincia de uma varivel aleatria integrvel:

    V(X|G) = E

    [X E(X|G)]2G

    .

    Se X uma varivel aleatria limitada definida em (, F, P) eG F uma -lgebra, mostre que

    V X=E[V(X|G)] + V[E(X|G)].Exerccio 8.20. B. James. Captulo 4. Recomendados: 1, 9, 15, 16b, 32, 40.