functii trigonometrice
-
Upload
ionut-stoica -
Category
Documents
-
view
300 -
download
3
description
Transcript of functii trigonometrice
cos x=xM
A
B
A’
B’
M(xM, yM)
O
sin x=yM
x
I II
III IV
[OM]=1
FUNCŢII TRIGONOMETRICE
Fie cercul trigonometric C(O,1)=M, {M( ) /[ ] 1}Mx y OM şi punctul M( xM , yM) situat pe
cerc.
1. FUNCŢIA SINUS
Definiţie: Se numeşte funcţie sinus , funcţia sin : [ 1.1], sin Mx R x y .
Graficul funcţiei sinus :
Proprietăţi:
1. Intersecţia graficului cu
axele de coordonate 0, , , ( ,0)f kG Ox y x k k Z A k
0,0,00arcsin0: OxOyG f
2. Paritate Impară sin(-x)= - sin(x) x R
3. Periodicitate Da, T= 2 , sin( 2 ) sin , ,x k x x R k Z
4. Simetria graficului În raport cu originea
5. Monotonia funcţiei Strict crescătoare pe 2 , 2
2 2k k
,
Strict descrescătoare pe 3
2 , 2 ,2 2
k k k Z
,
6. Mărginire
Valori extreme
- funcţie mărginită
1 sin 1x , x R
7. Convexitate şi
concavitate - Concavă pe [2 ,(2 1) ]k k
- Convexă pe [(2 1) ,2 ],k k k Z
8. Semnul funcţiei sin x <0 pe intervalul [(2 1) ,2 ],k k k Z
sin x >0 pe intervalul [2 ,(2 1) ]k k
9. Bijectivitatea pe intervalul [ , ]
2 2
10. Funcţia inversă
sin(arcsin x)= x, 1,1x
arcsin(sin x)= x,
2,
2
x
2. FUNCŢIA COSINUS
Definiţie: Se numeşte funcţie cosinus , funcţia cos : [ 1.1], cos Mx R x x .
Graficul funcţiei cosinus :
Proprietăţi:
1. Intersecţia graficului cu
axele de coordonate (2 1)
0, (2 1) , , ( ,0)2 2
f k
kG Ox y x k k Z A
0, arccos0 1, (0,1)fG Oy x C
2. Paritate Pară cos(-x)= cos(x) x R
3. Periodicitate Da, T= 2 , cos( 2 ) cos , ,x k x x R k Z
4. Simetria graficului În raport cu axa Oy
5. Monotonia funcţiei Strict crescătoare pe 2 ,2k k ,
Strict descrescătoare pe 2 , 2 ,k k k Z ,
6. Mărginire
Valori extreme
- funcţie mărginită
1 cos 1x , x R
7. Convexitate şi
concavitate - Concavă pe 3
2 , 2 ,2 2
k k k Z
- Convexă pe 2 , 22 2
k k
8. Semnul funcţiei cos x <0 pe intervalul
32 , 2 ,
2 2k k k Z
cos x >0 pe intervalul 2 , 22 2
k k
9. Bijectivitatea pe intervalul [0, ]
10. Funcţia inversă
cos(arccos x)= x, 1,1x
arccos(cos x)= x, ,0x
3. FUNCŢIA TANGENTĂ
Definiţie: Se numeşte funcţie tangentă, funcţia (2 1)
: \ ,2
ktgx R R k Z
,
sin
cos
xtgx
x .
Graficul funcţiei tangentă :
Proprietăţi:
1. Intersecţia graficului cu
axele de coordonate 0, , , ( ,0)f kG Ox y x k k Z A k
0, 0 0, (0,0)fG Oy x tg O
2. Paritate Impară; tg(-x)= - tg(x), x R
3. Periodicitate Da, T= , ( ) , ,tg x k tgx x R k Z
4. Simetria graficului În raport cu originea
5. Monotonia funcţiei Strict crescătoare pe ,
2 2k k
6. Mărginire
Valori extreme
- funcţie nemărginită:
7. Convexitate şi concavitate - convexă pentru , ,
2k k k Z
- concavă pentru , ,2
k k k Z
8. Semnul funcţiei - tg x < 0, pentru , ,
2k k k Z
- tg x >0, pentru , ,2
k k k Z
9. Bijectivitatea pe intervalul ,
2 2
10. Funcţia inversă : ( , )
2 2arctgx R
tg(arctgx)= x, x R
arctg(tgx)= x,
2,
2
x
4. FUNCŢIA COTANGENTĂ
Definiţie: Se numeşte funcţie cotangentă, funcţia : \ ,ctgx R k R k Z ,cos
sin
xctgx
x .
Graficul funcţiei cotangentă :
Proprietăţi:
1. Intersecţia graficului cu
axele de coordonate (2 1)
0, (2 1) , , ( ,0)2 2
f k
kG Ox y x k k Z A
fG Oy x
2. Paritate Impară; ctg(-x)= - ctg(x), x R
3. Periodicitate Da, T= , ( ) , ,ctg x k ctgx x R k Z
4. Simetria graficului În raport cu originea
5. Monotonia funcţiei Strict descrescătoare pe ,( 1)k k
6. Mărginire
Valori extreme
- funcţie nemărginită:
7. Convexitate şi concavitate - convexă pentru , ,
2k k k Z
- concavă pentru , ,2
k k k Z
8. Semnul funcţiei - ctg x < 0, pentru , ,
2k k k Z
- ctg x >0, pentru , ,2
k k k Z
9. Bijectivitatea pe (0, )
10. Funcţia inversă : (0, )arcctgx R
ctg(arcctgx)= x, x R
arcctg(ctgx)= x,
FUNCTII TRIGONOMETRICE INVERSE
1. FUNCŢIA ARCSINUS
Tabel de valori:
Graficul funcţiei arcsinus :
Proprietăţi:
1. Intersecţia graficului cu
axele de coordonate 0,0,00: OxyOxG f
0,0,00arcsin0: OxOyG f
2. Paritate Impară arcsin(-x)= - arcsin(x) [ 1,1]x
3. Simetria graficului În raport cu originea
4. Monotonia funcţiei Strict crescătoare pe [-1,1]
5. Mărginire
Valori extreme
- funcţie mărginită
1,1,2
arcsin2
xx
6. Convexitate şi
concavitate
- Concavă pe [-1,0]
- Convexă pe [0,1]
7. Semnul funcţiei arcsin x <0 pe intervalul [-1,0)
arcsin x >0 pe intervalul (0,1]
8. Bijectivitatea Da
9. Funcţia inversă xxff sin,1,1
2,
2:
sin(arcsin x)= x, 1,1x
arcsin(sin x)= x,
2,
2
x
2. FUNCŢIA ARCCOSINUS
Tabel de valori:
Graficul funcţiei arcosinus:
Proprietăţi:
1. Intersecţia graficului cu
axele de coordonate 0,1,10: AxyOxG f
2,0,
20:
CyxOyG f
2. Paritate Nu arccos(-x)= - arccos(x), [ 1,1]x
3. Simetria graficului
În raport cu punctul
2,0
C
1,1,
2
arccosarccos
2
x
xx
4. Monotonia funcţiei Strict descrescătoare pe [-1,1]
5. Mărginire
Valori extreme
- funcţie mărginită
1,1,arccos0 xx 6. Convexitate şi
concavitate
- Convexă pe [-1,0]
- Concavă pe [0,1]
7. Semnul funcţiei arccos x>0 [ 1,1]x
8. Bijectivitatea Da
9. Funcţia inversă xxff cos,1,1,0:
cos(arccos x)= x, 1,1x
arccos(cos x)= x, ,0x
2. FUNCŢIA ARCTANGENTĂ
: ( , )2 2
arctgx R
Tabel de valori:
Graficul funcţiei arctangentă :
Proprietăţi:
1. Intersecţia graficului cu
axele de coordonate 0,0,00: OxyOxG f
0,0,000: OarctgxOyG f
2. Paritate Impară; arctg(-x)= - arctg(x), x R
3. Simetria graficului În raport cu originea
4. Monotonia funcţiei Strict crescătoare pe R
5. Mărginire
Valori extreme
- funcţie mărginită:
Rxarctgx ,
22
6. Convexitate şi concavitate - convexă pentru ( ,0)x
- concavă pentru (0, )x
7. Semnul funcţiei - arctg x < 0, dacă ( ,0)x
- arctg x >0, dacă (0, )x
8. Bijectivitatea Da
9. Funcţia inversă tgxxfRf
,
2,
2:
tg(arctgx)= x, x R
arctg(tgx)= x,
2,
2
x
4. FUNCŢIA ARCCOTANGENTĂ
: (0, )arcctgx R
Tabel de valori:
1
0
Graficul funcţiei arccotangentă :
Proprietăţi:
1. Intersecţia graficului cu
axele de coordonate fyOxG f Im0:
,
Graficul nu taie axa Ox
2,0,
200:
CarcctgxOyG f
2. Paritate Nu ; arcctg(-x)= - arcctg(x) x R
3. Simetria graficului
În raport cu punctul
2,0
C
Rx
xx
,
2
arccosarccos
2
4. Monotonia funcţiei Strict descrescătoare pe R
5. Mărginire
Valori extreme
funcţie mărginită:
Rxarcctgx ,0 6. Convexitate şi concavitate - concavă pentru ( ,0)x
- convexă pentru (0, )x
7. Semnul funcţiei - arcctg x >0, dacă x R
8. Bijectivitatea Da
9. Funcţia inversă ctgxxfRf ,,0: ctg(arcctgx)= x, x R
arcctg(ctgx)= x, ,0x