PROIECT DE ACTIVITATE DIDACTICĂ/ LECŢIE

I. DATE DE IDENTIFICARE:DATA: 18 martie 2008ŞCOALA: Colegiul Naţional Alexandru Papiu Ilarian, Tîrgu-MureşPROFESOR: Manuela PorfireanuCLASA: a IX-aARIA CURRICULARĂ: ŞtiinţeOBIECTUL: Matematică SUBIECTUL LECŢIEI: Ecuaţii trigonometriceTIPUL LECŢIEI: Predare-învăţareOBIECTIVE CURRICULARE:

FUNDAMENTALE: 1. să identifice date şi relaţii matematice şi să le coreleze in funcţie de

contextul în care sunt definite2. să prelucreze date de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse

în enunţuri matematice3. să exprime caracteristicile matematice, cantitative sau calitative ale unei

situaţii concrere şi a algoritmilor de prelucrare ale acestora4. să analizeze şi să interpreteze caracteristicile matematice a unei situaţii-

problemă5. să utilizeze algoritmii şi conceptele matematice pentru caracterizarea

locală sau globală a unei situaţii concrete OPERAŢIONALE(COMPETENŢE SPECIFICE):

1. să rezolve corect exerciţii utilizând formulele 2. să diferenţieze tipurile de ecuaţii trigonometrice 3. să utilizeze proprietăţile funcţiilor trigonometrice la rezolvarea ecuaţiilor

trigonometrice4. să rezolve corect cel puţin 3 exerciţii

METODE ŞI PROCEDEE DIDACTICE: exerciţiul, explicaţia, conversaţia, demonstraţiaMIJLOACE DE ÎNVĂŢĂMÂNT: manualul, tablaSTRATEGIA DIDACTICA: explicativ-exersativăEVALUARE: pe baza exerciţiilorNIVELUL DE PREGĂTIRE AL GRUPULUI ŢINTĂ: bunCONŢINUT INFORMATIV:

Ecuaţii trigonometriceDefiniţie: se numeşte ecuaţie trigonometrică o ecuaţie în care necunoscuta apare ca argument al uneia sau mai multor funcţii trigonometrice.Definiţie: un număr R se numeşte soluţie a ecuaţiei trigonometrice dacă înlocuind pe x cu se obţine o egalitate.Ecuaţii trigonometrice fundamentale

1. sinx=aEcuaţia are soluţii a .cosx=Există două puncte pe cercul trigonometric care au ordonata a:

1

M ( ,a)M2(- ,a)sinx =a x=arcsina x=arcsina x=arcsina+2k

, k Zsin( -x)=a -x=arcsina x= -arcsina x= -arcsina+2k

x=(-1)2k∙arcsina+2k , k Z x=(-1)karcsina+k , k Z

x=(-1)2k+1∙arcsina+(2k+1)

În concluzie: sinx=a x | k Z }

Exemplu:

Să se rezolve ecuaţia: sinx=

x=(-1)karcsin +k , k Z

x=(-1)k∙ +k , k Z

2. cosx=aEcuaţia are soluţii a [-1;1]sinx=Există două puncte pe cercul trigonometric de abscisă a:

M (a, )M2(a, - )

cosx=a x=arccosa x=arccosa + 2k , k Z cos(-x)=a x= -arccosa x=-arccosa + 2k

=> x= , k Z

În concluzie: cosx=a => x= , k Z Exemplu:

Să se rezolve ecuaţia: cosx=0x= , k Z

x= , k Z

sau: x= , k Z

x=(2k+1) , k Z

3. tgx=aEcuaţia are soluţii R.

2

tgx=a => x=arctga+k , k Z şi

Exemplu: Să se rezolve ecuaţia: tgx=1

tgx=1 x=arctg1+k = , k Z => x

4. ctgx=aEcuaţia are soluţii R.

ctgx=a => x=arcctga + k , k Z şi

Exemplu: Să se rezolve ecuaţia: ctgx=

x=arcctg( ) + k = -arctg = , k Z

x

Exerciţii

1. Să se rezolve ecuaţia următoare pe intervalul [- ; 3 ]: sinx=

x=(-1)k∙arcsin +k , k Z

x=(-1)k∙ +k , k Z

k=0: x= [- ; 3 ]

k=1: x= - + = [- ; 3 ]

k=2: x=

k=3: x=

k=4: x=

k=-1: x= -

x {

2. Să se rezolve ecuaţia: sin(x+ )=

x+ =(-1)k∙arcsin + k , k Z

x= (-1)k∙ , k Z

x=(-1)k+1∙ , k Z

3

3. Să se rezolve ecuaţia: sin2x= -2sin2x= -24. Să se rezolve ecuaţia: sin2x= -12x=(-1)k∙arcsin(-1)+k , k Z

x= , k Z

x= , k Z

5. Să se rezolve ecuaţia cos(2x+ )= - , unde x .

2x+ = , k Z

2x= , k Z

2x= , k Z

x= , k Z

I. x= , k Z

k=0: x=

k=1: x=

k= -1: x=

II. x= , k Z

k=0: x=

k=1: x=

k=2: x=

k=3: x=

k= -1: x=

=> x

4

BIBLIOGRAFIE:1. Ganga M., Manual de matematică pentru clasa a IX-a, profil M1, M2,

Editura Mathpress, 2001.2. Schneider Gh.A., Culegere de probleme de trigonometrie pentru clasele

IX-X, Editura Hyperion, 2003.3. Jinga I., Istrate Elena, Manual de pedagogie ediţia a II-a, Editura ALL,

2006.

5

II. DESFĂŞURAREA PROPRIU-ZISĂ A ACTIVITĂŢII/ LECŢIEIEtapele lecţiei/ Timp

Activitatea profesorului Activitatea elevilor Observaţii

Moment organizatoric/ 2min

Reactualizarea cunoştinţelor/ 3min

Verificarea temei/3min

Solicit pregătirea caietului de teme şi de clasă.Strig catalogul, trec absenţii. Îi intreb: „Ce am avut de pregătit pentru astăzi?”

„Care sunt funcţiile trigonometrice inverse şi cum se definesc?”

„Ce temă am avut pentru astăzi?”

„Cât este rezultatul calculului arcsin(-1)?”

Îşi scot caietul de teme. Elevul de serviciu imi spune absenţii(dacă sunt).Răspuns: Pentru astăzi am avut de pregătit lecţia „Funcţiile trigonometrice inverse”.

Inversa funcţiei sinus se numeşte arcsinus notată cu

arcsin:[-1;1] , definită prin arcsinx=y

astfel încât x=siny.Inversa funcţiei cosinus se numeşte arccosinus notată cuarccos:[-1;1] , definită prin arccosx=y astfel încât x=cosy.Inversa funcţiei tangentă se numeşte arctangentă notată cu

arctg:R , definită prin arctgx=y astfel

încât x=tgy.Inversa funcţiei cotangentă se numeşte arccotangentă notată cu arcctg:[-1;1] , definită prin arcctgx=y astfel încât x=ctgy.

Exerciţiile 1 şi din manual de la pagina 428.

arcsin(-1) = - arcsin1 = -

6

Anunţarea temei/ 1min

Comunicarea de noi cunoştinţe/ 25min

„Ora trecută am studiat funcţiile trigonometrice inverse. Astăzi vom începe să studiem un nou capitol care se numeşte Ecuaţii trigonometrice, iar din acest capitol vom studia mai întâi Ecuaţiile trigonometrice fundamentale.” Scriu titlul capitotului:

Ecuaţii trigonometriceDefiniţie: se numeşte ecuaţie trigonometrică o ecuaţie în care necunoscuta apare ca argument al uneia sau mai multor funcţii trigonometrice.Definiţie: un număr R se numeşte soluţie a ecuaţiei trigonometrice dacă înlocuind pe x cu se obţine o egalitate.Ecuaţii trigonometrice fundamentale

1. sinx=aEcuaţia are soluţii a .cosx=Există două puncte pe cercul trigonometric care au ordonata a:M ( ,a)M2(- ,a) sinx =a x=arcsina sin( -x)=a -x=arcsina x=arcsina x= -arcsina x=arcsina+2k , k

Scriu titlul in caiet.Ecuaţii trigonometrice

Definiţie: se numeşte ecuaţie trigonometrică o ecuaţie în care necunoscuta apare ca argument al uneia sau mai multor funcţii trigonometrice.Definiţie: un număr R se numeşte soluţie a ecuaţiei trigonometrice dacă înlocuind pe x cu se obţine o egalitate.

Ecuaţii trigonometrice fundamentale1. sinx=a

Ecuaţia are soluţii a .cosx=Există două puncte pe cercul trigonometric care au ordonata a:M ( ,a)M2(- ,a) sinx =a x=arcsina sin( -x)=a -x=arcsina x=arcsina x= -arcsina x=arcsina+2k , k Z x= -arcsina+2k

7

Z x= -arcsina+2k x=(-1)2k∙arcsina+2k

, k Z x=(-1)2k+1∙arcsina+(2k+1)

x=(-1)karcsina+k , k Z

În concluzie: sinx=a x | kZ }

Exemplu:

Să se rezolve ecuaţia: sinx=

x=(-1)karcsin +k , k Z

x=(-1)k∙ +k , k Z

2. cosx=aEcuaţia are soluţii a [-1;1]sinx=Există două puncte pe cercul trigonometric de abscisă a:

M (a, ) M2(a, - ) cosx=a x=arccosa

cos(-x)=a x= -arccosa

x=arccosa + 2k , k Z x=-arccosa + 2k

În concluzie: cosx=a => x=, k Z

Exemplu: Să se rezolve ecuaţia: cosx=0

x=(-1)2k∙arcsina+2k ,k Z

x=(-1)2k+1∙arcsina+(2k+1)

x=(-1)karcsina+k , k Z

În concluzie: sinx=a x | k Z } Exemplu:

Să se rezolve ecuaţia: sinx=

x=(-1)karcsin +k , k Z

x=(-1)k∙ +k , k Z

2. cosx=aEcuaţia are soluţii a [-1;1]sinx=Există două puncte pe cercul trigonometric de abscisă a: M (a, ) M2(a, - ) cosx=a x=arccosa

cos(-x)=a x= -arccosa

x=arccosa + 2k , k Z x=-arccosa + 2k

În concluzie: cosx=a => x= , k ZExemplu: Să se rezolve ecuaţia: cosx=0x= , k Z

8

x= , k Z

x= , k Z

sau:

x= , k Z

x=(2k+1)

, k Z

3. tgx=aEcuaţia are soluţii R.tgx=a => x=arctga+k , k Z şi

Exemplu: Să se rezolve ecuaţia: tgx=1

tgx=1 x=arctg1+k = , k

Z => x

4. ctgx=aEcuaţia are soluţii R.

ctgx=a => x=arcctga + k , k Z şi

Exemplu: Să se rezolve ecuaţia: ctgx=x=arcctg( ) + k = -arctg

= , k Z

=> x

“Acum vom rezolva nişte exerciţii

x= , k Z

sau: x= , k Z

x=(2k+1) , k Z

3. tgx=aEcuaţia are soluţii R.

tgx=a => x=arctga+k , k Z şi

Exemplu: Să se rezolve ecuaţia: tgx=1

tgx=1 x=arctg1+k = , k Z => x

4. ctgx=aEcuaţia are soluţii R.

ctgx=a => x=arcctga + k , k Z şi

Exemplu: Să se rezolve ecuaţia: ctgx=x=arcctg( ) + k = -arctg =

, k Z

4. x

9

Fixarea cunoştinţelor/8min

pe caiet, fiecare va lucra individual .”Scriu exerciţiile pe tablă.

Exerciţii1. Să se rezolve ecuaţia

următoare pe

intervalul [- ; 3 ]: sinx=

2. Să se rezolve

ecuaţia: sin(x+ )=

3. Să se rezolve ecuaţia: sin2x= -2

4. Să se rezolve ecuaţia: sin2x= -1

5. Să se rezolve ecuaţia

cos(2x+ )= - , unde x

.

Scriu exerciţiile în caiet şi le rezolvă. Exerciţii

1. Să se rezolve ecuaţia următoare pe

intervalul [- ; 3 ]: sinx=

x=(-1)k∙arcsin +k , k Z

x=(-1)k∙ +k , k Z

k=0: x= [- ; 3 ]

k=1: x= - + = [- ; 3 ]

k=2: x=

k=3: x=

k=4: x=

k=-1: x= -

=> x {

2. Să se rezolve ecuaţia: sin(x+ )=

x+ =(-1)k∙arcsin + k , k Z

x= (-1)k∙ , k Z

x=(-1)k+1∙ , k Z

3. Să se rezolve ecuaţia: sin2x= -2sin2x= -2

10

4. Să se rezolve ecuaţia: sin2x= -12x=(-1)k∙arcsin(-1)+k , k Z

x= , k Z

x= , k Z

5. Să se rezolve ecuaţia

cos(2x+ )= - , unde x .

2x+ = , k Z

2x= , k Z

2x= , k Z

x= , k Z

I.

x= , k Z

k=0: x=

k=1: x=

k= -1: x=

II. x=

, k Z

k=0: x=

11

Verific rezultatele prin sondaj, numesc 5 elevi care să scrie rezultatele corecte la tablă.

Le spun că au rezolvat corect exerciţiile, că mi-a plăcut cum au

k=1: x=

k=2: x=

k=3: x=

k= -1: x=

=> x

Îşi verifică rezultatele cu cele de la tablă şi îşi corectează eventualele greşeli.

Îşi notează tema în caiete.

12

Asigurarea feed-back-ului/ 5min

Încheierea activităţii/ 3min

răspuns la întrebări, că au fost foarte atenţi .Le dau tema de casă: de învăţat, de rezolvat din manual, pagina 428, exerciţiul 3, din culegerea SCHNEIDER, pagina 27, exerciţiul 6.1, notez tema pe tablă, explic exerciţiile care sunt de un nivel de dificultate mai mare.

13