Tema 4Primitiva i integrala Riemann. Aplicaii.Modulul 4.1 - Primitiva. AplicaiiNoiunea de primitiv s-a degajat din aplicaiile matematicii n situaii concrete, care const n determinarea modelului matematic al unui proces atunci cnd se d viteza de variaie a acestuia.Abstract, problema primitivei se formuleaz astfel: fiind dat funcia derivat ': R R F f I se cere s se determine funciile: R f I . Problema primitivelor este deci inversa problemei fundamentale a calculului diferenial, care dup cum s-a artat n alt capitol, const n determinarea derivatei unei funcii date. Derivarea este un operator care asociaz unei funcii date : R f I derivata sa ': R f I , n timp ce determinarea primitivelor (primitivizarea), adic inversa operaiei unare de derivare, este o funcie multivoc care asociaz unei funcii date ': ( ) F I F f R,mulimea funciilor f cu proprietatea 'f F care este infinit (dup una dintre consecinele teoremei Lagrange). Definiia 4.11] Fie IRinterval,f:IR. Se numete primitiv a funciei f peI, orice funcie F : I R derivabil pe I i cu proprietatea F ' = fpe I(F '(x) = f (x), x I).2] Operaia de determinare a unei primitive Fa luif pe intervalulIse numete operaie de integrare, notat prin simbolul( )f x dx.3]Funcia f : I R care admite cel puin o primitiv pe I se numete funcie cu primitive pe I i mulimea acestor funcii se va nota prin P(I). Teorema 4.1 (Proprieti generale ale primitivelor)Fie I R interval i f : I R, atunci au loc afirmaiile:(p1) Dac F este o primitiv a lui f pe I atunci pentru C R, funcia F + C este o primitiv a lui f pe I.(p2) Dou primitive oarecare F i G a lui f pe I difer printr-o constant.(p3) Primitiva general sau integrala nedefinit sau antiderivata unei funcii f este dat prin:( ) ( ) { ( )1 | :primitiv a lui; , R Rnotf x dx F C F I f C F x C + +x I (p4) Integrala nedefinit este inversa aplicaiei de difereniere:( ) ( ) ( )2 dF x F x C +( ) ( ) ( )3 d f x dx f x dx ] ].94 Demonstraie (p1) F este primitiv, deci F derivabil cu F' = f i avem: (F + C)' =F'+C'=F'=f, deunderezultF+ Cderivabilcu(F+ C)'=fF+C primitiv. (p2) Fie F, G : I R primitive ale lui f pe I, conform definiiei 1: F, G derivabile cu: F' = f, G' = fpe I F' = G' (F G )' = 0 F G = C, C R.(p4) Avem:( ) ( ) ( ) ( ) ( )'2 dF x F x dx f x dx F x C + i ( ) ( ) ( ) ( )'' 'd f x dx d F x C F x C dx F x C dx ] ]]] + + + ]]] ]( ) ( ) ( )'3 F x dx f x dx . Teorema 4.2 (Operaii algebrice cu primitive)Fie I R interval i f , g : I R cu f , g P(I), atunci au loc proprietile:(p5)( ), , R R d f df f C C + (p6)( ); R d f g df dg f g C C t t t + (p7) ( ) ( )d fg gdf fdg gdf fdg + + Demonstraie n ipoteza f, g difereniabile (derivabile) pe I, avem: ( ) ( ) ( ), , d f df d f g df dg d fg gdf fdg t t +i dup formula (2) se obin imediat proprietile (p5), (p6), (p7). Consecina 4.1Fief, gC1(I)din(p7)seobineformuladeintegrareprinpri, careesteo metod de calcul pentru primitive:( )4 fdg fg gdf Consecina 4.2Dac f : IR, fP(I)cu F o primitiv oarecare a sa i ( ) , x u t t J este o schimbare de variabil cu u C1(J), atunci din formula de difereniere a funciilor compuse, avem:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 ' f x dx f u t du t f u t u t dt F u t C]]] + ]]] ,R C .DemonstraieFie ( ) ( ) ( ) ( )i F u f u du G t f u t dt] ] , atunci avem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' ' ' dF u t F u t u t dt f u t u t dt G t]]] ]]]( ) ( )F u t G t C] + ]i este valabil formula de integrare prin schimbare de variabil (5). Consecina 4.3Dindefiniiaprimitivei, proprietilesale(p4) dateprin(2) i (3) dinTabloulderivatelorunorfunciielementareseobineTabloulprimitivelorunorfunciielementare(din bibliografie: [6], [10], [11], [14], [16] i manualul de matematic pentru clasa a XII a).95Tabelul primitivelor uzuale{ 1; 11. 1ln ; 1Rxx dx Cx+ + +' ( )2 212. ln 02dx x aC ax a a x a + +( )2 21 13. arctg arcctg 0dx xC x C ax a a a a + + +( )2 22 24. ln 0dxx x a C ax a + + + +( )2 25. arcsin arccos 0dx x xC C aa aa x + + ( )16. 0, 1 ;lnx x x xa dx a C a a e dx e Ca + > + 7. sin cos ; cos sin xdx x C xdx x C + + 8. ln tg ; ln tgsin 2 cos 4 2dx x dx xC Cx x | ` + + + . , 9. tg ln cos ; ctg ln sin xdx x C xdx x C + + 2 210. ctg ; tgsin cosdx dxx C x Cx x + + ( ) ( )2 211. 1 ctg ctg ; 1 tg tg x dx x C x dx x C + + + + ( )22 2 2 212. arcsin 02 2x a xa x dx a x C aa + + ( )22 2 2 2 2 213. ln 02 2x ax a dx x a x x a C a t t t + t 14. sh ch ; ch sh2 2x x x xe e e exdx dx x C xdx dx x C + + + 2 215. th ; cthch shdx dxx C x Cx x + + 2 2sin cos16. sec ; coseccos sinx xdx x C dx x Cx x + + 96217. arcsec arccosec1dxx C x Cx x + +( )18. 2;1Nmm mdxx C m mm x + Observaii. 1. Pentru a testa dac F : I R este o primitiv a funciei f : I R pe I; se verific egalitatea: F '(x) = f (x), x I.2. Studiul primitivelor a fost efectuat i n liceu, de aceea vomface unele completri, n special prezentnd clasele de funcii reale de o variabil real a cror primitive se reduc, prin substituii convenabile, la primitive de funcii raionale.3. Problema existenei primitivelor, nseamn de fapt, pentru f : I R R determinarea familiei de funcii P(I). Rspunsul complet la aceast problem nu a fost dat nc. Se cunosc rspunsuri pariale.(i) Condiia necesar de existen a primitivelor luif:IReste ca fs posede proprietatea Darboux, deoarece n acest caz f este o derivat pe I (f = F ' pe I).(ii) Orice funcie continu f : I R posed primitive pe I, (condiie suficient) care se va demonstra n cadrul Integralei Riemann.(iii) Exist funcii discontinue care au primitive. Exemplu.( )1sin ; 0,: ,0 ; 0RR Rx xf f xxx 'discontinu n x0= 0 are o primitivF:R RdefinitprinformulaF=GHundeG:R Rcu ( )2cos ; 0,0 ; 0R x x x xG xx 'iH:RRcare este oprimitiv a funciei continue : R R cu ( )12 cos ; 0,0 ; 0x x xxxx 'R .Avem:( ) ( ) ( )' ' ' F x G x H x unde( )1 12 cos sin , 0,'0 , 0R x x xG xx xx+ 'i( )12 cos , 0,'0 , 0R x x xH xxx ' deci( ) ( )' , R F x f x x i F este o primitiv a lui fpe R.4. Metodele de calcul pentru primitive sunt:97Tabelul primitivelor imediate ale unor funcii elementare, Metoda transformrilor algebricei trigonometrice, Metodaintegrrii prinpri, Metodaintegrrii prin formule de recuren dup nNi Metoda substituiei care se regsesc n consecina 1, consecina2, consecina 3 i n bibliografie ([6], [10], [11], [14], [16]).5. Vom prezenta clase de funcii reale de o variabil real ale cror primitive sunt exprimabile prin combinaii liniare finite de funcii elementare.Primitive de funcii raionaleFie f:D RRcu ( )( )( )[ ]00cu ,P xf x P Q XQ x Ri cu grP0 grQ atunci ( )( )( )( )( )[ ]00 0cu , ,P x P xp x p P Q XQ x Q x + Ri grP 0 substituia este:2ax bx c x a t + + t i pentru cazul 2 222( 2 0); 2 ;2 ( 2 )t c at bt c aax bx c x a t x b t a dx dtb t a b t a + + + + ( )22 22 2 22,22 , ( )cuo funcie raional n 2 2 ( 2 )3 3RR R Rat bt c aax bx c x ax bx c dxb t at c at bt c a at bt c adt t dt tb t a b t a b t a + + + + + ] + + ] ] 9932. Dac c > 0 substituia este:2ax bx c xt c + + ti pentru cazul22 22 2 22( 0); 2 ;( )t c b t c bt a cax bx c xt c x a t dx dta t a t ++ + + ( )22 222 22 2 2 2,22 ;( )( )cu o funcie raional n 4 4RRR Rt c bt a cax bx c x ax bx c dxa tt c b t c bt a c t c bt a cdta t a t a tt dt t ++ + + + ] + + ] ]33. Dac a < 0 i c < 0, iar = b2 4ac< 0 ax2+ bx + c < 0,xRi 2ax bx c + + C. Dac = b2 4ac > 0 ax2 + bx + c =a (x -x1)(x- - x2), x1, x2 R i x1 x2.Avem: 2 21 2 11( )( )( ) ( )( )x xax bx c a x x x x x x ax x+ + i atunci:2 211( ), , ( )( )R Rx xx ax bx c dx x x x a dxx x ] ]+ + ] ] ] este de tip 2 i se face substituia:22 2 1 2 1 2 2 11 2 2 2 212 ( ); ;1 (1 ) 1x x t x x t x x x xt x dx dt x xx x t t t + + + +( )22 1 2 2 1 1 22 2 2 22 ( ), ;1 1 (1 )( )cu o funcie raional n 5 5R RR Rt x x x x t x xx ax bx c dx t a dtt t tt dt t ] + + + ]+ + + ] 4. ( )pm nx a bx dx +integrale binome cua,bR*,m,n,pQi notm 1 1 11 1 1 2 2 22 2 2, ,unde, ,i, ,m n pm n p m n p m n pm n p ZN*. Teorema 4.3 (P. L. Cebev)Primitivele pentru( )pm nx a bx dx +se pot exprima prin combinaii finite de funciielementare numai n urmtoarele trei cazuri:41. p Z; 42. 1 mn+Z; 43. 1 mpn++ Z. Demonstraie. 41. Dac p Z, avem:(i) p = 0 ( )11( 1)1mpm n mxx a bx dx x dx C mm+ + + + .(ii)p >0 ( )120 01nk m p ppm n k p k k nk m k p k kp pk kxx a bx dx C a b x dx C a b Cnk m+ + + + ++ + 100(iii) p < 0 ( )( )1 12 2( , , ) Rm nmpm n m npnxx a bx dx dx x x x dxa bx+ + de tip 1. i notnd n = c.m.m.m.c. {m2, n2} prin substituia xn = t 1nx t ;( )( )1161 1( )cu o funcie raional n.6R Rmpm nnpnx a bx dx t dt t dt tna bx++ + 42. p Zi 1 mn+Z, atunci 11mn+ Ziprin substituia xn = t avem:( ) ( )111mppm nnx a bx dx t a bt dtn++ + din care prin o nou substituie:22 2 21 2,pp p p np z aa bt z a bx z t dt z dzb b+ + se obine rezultatul final:( ) ( )21 211111 271 1( ) Rmm pnppp p m nnp z ax a bx dx t a bt dt z dz z dzn n b b+++ | ` + + . , R7o funcie raional n z deoarece 11mn+ Z i p1 + p2 1 Z.43. Dac1,mpn+Zi1 mpn++ Zsereprezintintegralabinomsubforma: ( )p pn npm n m n m npn na bx a bxx a bx dx x x dx x dxx x+| ` | ` + ++ . , . , i prima substituie: xn = t 1nx t ; 11nndx t dtnconduce la:( )111pmp pm nna btx a bx dx t dtn t++ + | `+ . , ; a doua substituie:( )22 2 22 21220 ,( )p np p pp p nap z a bt a bx az t t z b dt dzt x z b z b + + ( )1 22111 28( ) Rmpn pp p m npap ax a bx dx z dz z dzn z b++ + | ` + . , cu 11mpn++ Z, p1 + p2 1 Z i R8 o funcie raional n z.Integrarea funciilor raionale n sin xi cos x1. Calculul integralei( ) sin , cos R x x dxncazul general cux(- , )seface printr-o schimbare de variabil: 222 , ,2 1x dttg t x arctgt dxt +( ) ( )2 22 2 2 2 22 1 2 1sin , cos sin , cos 2 ,1 1 1 1 11R R Rt t t t dtx x x x dx t dtt t t t t ] ]+ + + + + ] cuR1o funcie raional n t.1012. DacR(sinx, cosx) este o funcie impar n cosx, avem: ( )2 2sin , cos (sin , cos ) cos R x x dx f x x xdx i prin substituia: sin x= t, cos x dx = dt se obine: ( )2 2sin , cos (sin , cos ) cos R x x dx f x x xdx ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2,1 sin , cos ,12R R f t t dt x x dx f t t dt t dt cu cuR2o funcie raional n t.3. DacR(sinx, cosx) este o funcie impar n sinx, avem: ( )2 2sin , cos (sin , cos ) sin R x x dx g x x xdx i prin substituia: cos x= t,-sin x dx = dt rezult: ( )2 2sin , cos (sin , cos )( sin ) R x x dx g x x xdx ( ) ( )2 21 ,3R g t t dt t dt cu cu R3 o funcie raional n t.4. DacR(sinx, cosx) este o funcie par n sinxi cosx, avem ( )2 2sin , cos (sin , cos ) R x x dx h x x dx i prin substituia: 2, ,1dttgx t x arctgt dxt +22 22 21sin , cos1 1tx xt t + + se obine rezultatul final:( ) ( ) ( )22 2 2 22 2 21sin , cos sin , cos ,1 1 14R Rt dtx x dx h x x dx h t dtt t t ] ]+ + + ] cu R4 o funcie raional n t.Integrarea funciilor raionale n exponenialePrimitivele de forma: ( )1,..., Rpr ax r axe e dxcua 0,aRir1, ,rpQ, iar ,ii i iimr m nn *Z,Nii=1,,psevanota =c.m.m.m.c.{n1,,np}iprin substituia eax = t, t >0 ln,t dtx dxa a t se obine:( ) ( )( )1 1,..., ,...,1R R Rp pr ax r r ax r dte e dx t t t dta t cuR1o funcie raional nt, deoarece r1, , rp Z.Integrale de forma ( ) ( )nP x f x dxFiePnR[X]ifeste una dintre funciile elementare , , ln , log , arcsin , arccos , ,x xae a x x x x arctg xarcctg xetc.. Integrala se calculeaz prin metoda integrrii prin pri cu scopul de a reduce treptat cu cte o unitate gradul plinomului Pn : gr Pn = n (nN). se ntlnesc urmtoarele cazuri: 1. 1( ) ( ) ' ( ) ( ) ( )x x x x xn n n n nP x e dx e P x P x e dx e P x Q x e dx ( )1 1'i gr 1n n nQ P Q n 2. 1 1( ) ln ( ) ln ( ) ( )n n n ndxP x xdx Q x x Q x Q x dxx+ + %unde( )( ) 1 1( ) cu gr 1n n nQ x P x dx Q n+ + + i ( )nQ x% polinom cu gr nQ%= n.3. 11 12( )( ) arcsin ( ) arcsincu( ) ( )1nn n n nQ xP x xdx Q x x dx Q x P x dxx++ + 102 polinom de gradul ( n+ 1); se elimin radicalul din ultima integral prin una dintre substituiile lui Euler. De asemenea, n unele cazuri sunt convenabile substituiile trigonometricex= sint(x= cost); dx= costdt(dx= -sintdt); 2 21 1 sin | cos | x t t ; ( )2 21 1 cos | sin | x t t iseobineintegralauneifunciiraionalensinti cost.4.11 1 2( )( ) ( ) ( ) ( )1Rnn n nQ xP x arctgxdx Q x arctgx dx Q x arctgx x dxx++ + + cuR ofuncie raional n x i1( ) ( )n nQ x P x dx+ polinom.5. 11 1( ) ( ) ' ( ) ( ) ( )ln ln ln lnx xx x xn n n n na aP x a dx P x P x a dx P x Q x a dxa a a a 1(gr ( ) 1)nQ x n .6. Integraleelipticen cazul ( ), ( ) Rnx P x dxgr Pn= n 3, primitivele nu se pot exprima, n general, prin combinaii finite de funcii elementare i aceast clas de integrale se numesc integrale eliptice. Integralele eliptice pot fi reprezentate sub una dintre formele:1. 2 212( , ) (0 1)1 sin1 1 sin(0, ) ; (1, ) ln| cos | 2 1 sin 21 sindtI k t kk tdt dt t tI t t c I t C tg ut tt '+ | ` + + . , 2. 2 22 21 3( , ) 1 sin (0 1)(0, ) ; (1, ) 1 sin | cos | sinE k t k tdt kE t t c E t k tdt t dt t C ' + + Funciile I(k, t),E(k, t) se numesc funcii eliptice; integralele de acest tip apar n calculul lungimii unui arc de elips din plan.7. Integrale care nu se exprim prin combinaii liniare finite de funcii elementare: sin xdxx(sinusul integral); cos xdxx (cosinusul integral); lndxx(logaritmul integral); xedxx(exponenialul integral); 2xe dx(integrala lui Poisson); 2 2cosisin x dx x dx (integralele lui Fresnel) i integralele eliptice( ), ( ) Rnx P x dx gr Pn = n 3. Aplicaii.1. 2 22 2( 1) 11 1x xdx dx x arctgx Cx x+ ++ + 2. 2 22 2 2 2 2 2cos 2 cos sincos sin cos sin sin cosx x x dx dxdx dx ctgx tgx cx x x x x x + 103 ( )22220; -41 1 23.22 42 41 2ln ; 0 prin substituia evident,2 22; 022 2; 0a b acbd xdx ab a abxxa aa aax b bC x t dx dta ax bCax bax barctg Cdxax bx c| `+ . , | ` | `+ + . ,. ,+ + > + + + + '++ + < + +[ ]( )2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 22 2 2 2 2222224. sin cos cos, , sin , cos , ,2 21 cos 2 sin 2 sin cos2 2 4 2 4sin 1 sin arcsin 12 4 2 2arcsin2a x dx a a t a tdt a tdtx a a x a t dx a tdt ta a a a at dt t t C t t t Ca a a x a x xt t t C Ca a aa x xa xa a ] ] ] + + + + + + + + + + 2C ]+ ] ]5. 2dxax bx c + +cu a 0 i I R a. . ax2+bx + c >0 xI2 222 4dx dxax bx cba xa a+ + | `+ . , i apar dou cazuri a>0 i a 0 2 2221 2221 22 21ln ; dac0 (se ia semnul +)2 2 41 1ln ; dac0 (se ia semnul -)2bd xdx aaax bx cbxa ab bx x Ca a aabx ax bx c Caa a| `+ . , + +| ` | `+ . ,. ,] | `] + + + + > ] . , ] ' ]+ + + + + < ] ] mII. a < 0>0 i avem104 32 2231 1 22arcsin22 21 2arcsinbbd xxdx aaCa aax bx cbxaa aax bCa| `++ . , + + +| ` | ` + . ,. ,+ + 22 2222sinsin (cos ) 1 cos 1 126. ln lnsin sin cos 1 2 cos 1 22cos21ln ln2 2 2xdx xdx d x xC Cxx x x xx xtg C tg C + + + + + ( )22227. '11 (1 ) 1ln(1 )2 1 2xarctgxdx x arctgxdx xarctgx dxxd xxarctgx xarctgx x Cx ++ + ++ 22 2 2 2 2 22 22 22 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 222 2 2 2 2 28. ( ) 'ln( )ln( )2 2xa x dx x a x dx x a x dxx ax a dxx a x dx a x a xx a x aa x dx a x x a Cx aa x dx a x x x a C+ + + ++ + + + + + + + + + + + + + + + + ( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 221 1 12 2 2 2 2 2'2 21 12 2 2 21 22 20 1 1 2 2 29.1 122 21 2 1; 1221 1;n n n n nn n n n n nn n ndx x a xdxn I dx x a Ix a x a x axI a I x dx a I Inn x a n x ax nI I na nn x adxI x C I arctg Cx a a a+ + ++ +++ + + + + ] ] + + ]+ + ]]] + ]+ ] ' + ++ N,1052 2 22 2122 2120 1 1 210. ( 1 1)cos( )cu211sin; ln | cos |cosn n nn nnnn nnn ndxI tg xdx tg x tg x dx tg x Ixtg xtg xd tgx I I nntg xI InxI x C I tgxdx dx x Cx + ' + + 22 2 2 2 222 22 2 22 2 13 1 3 4 211. ln | 2 |( 2)( 1) 2 ( 1) 13 1 1 14 ln( 1) 22 1 1 2 2(caz particular din 10.)( 1)x x x xdx dx xx x x x xxarctgx x arctgx Cx xdxIx ] + + + + + + ] + + + ] ]+ + + + ]+ + ]+ 2223 2 23 323222( 2)1 1 2 2 2( 1)12.2 ( 1)2 21 4 6 4 1 1 3 34 ( 1) 4 4 ( 1)1 ( 1) ( 1) 1 1 1 1ln | 1|4 4 ( 1) 4 4 4 11 1 cu substituiile :8 ( 1)22 2 ;2t tx t t tdx dtt tx x xt t t t tdt dt dtt tt t t tdt tt tCttx x t x x++ + + + ++ + ++ + + + + + + ++ + + + + + + + + +++ + 2222 22 22222 2 ( 2); ; 1 ;( 1) ( 1) 2( 1)2 22 2 ; 2 22( 1)1 1 1( 2 2) ln | 1 2 2 |4 42 22 3 2 2 28( 1 2 2)t t t tdx dt xt t tt tx x x t x xtxdx x x x x x xx x xx x xCx x x+ + + + + + ++ ++ + + + + ++ + + + + + + + + + + ++ + + ++ + + +106( )1213 1 1 3 42 43 43 3 4 3 3 2 43 43 4 2 3 36 3 7 4 7 4 4 4 3 3113. 1111 122 11341 ( 1) ; 4( 1) 31( 1) 12 ( 1)12 12 1212 (1 ) 3 (1 )7 4 7xdx x x dxxmp x tnx t x t dx t t dtxdx t t t t dtxt t dt t t C x x C | ` + + . , ++ + + ] ] + + + + Z;ZModulul 4.2 - Integrala Riemann. Aplicaii.Noiuneadeintegralaaprut dinnevoiapracticdeadeterminaarii i volume ale unor figuri din plan i corpuri din spaiu, ct i multe consideraii din fizic. Bazele calculului integral i aplicaiilesale n geometrie, mecanic i fizic aufost dezvoltatensecolul al XVIII leanlucrrilelui Newtoni Leibniz. Definiiariguroasaconceptului deintegrala fost datpeste unsecol n lucrrilelui Cauchyi Darbouxpentruclasafunciilor continuepeuninterval compact din R. Extinderea integralei pentru funcii discontinue a fost realizat de Riemann i Lebesgue, care au formulat condiii necesare i suficiente de integrabilitate pentru funcii reale de o variabil real.Unele probleme speciale din teoria integrabilitii au fost elaborate de Stieltjes i Lebesgue care au generalizat conceptul de integral pentru cazul mulimilor abstracte.n teoria general a integralei se pun astfel problemele:Se definete o anumit schem S (un procedeuS), prin care putem asocia unor anumitefuncii dateunnumr real, ngeneral, binedeterminat. Aintegrao funcie f: [a,b]R (a,bR,a< b) relativ la schema S, nseamn a determina numrul real S(f) asociat lui f, cu ajutorul schemei precizate S. n mod natural apar urmtoarele probleme:I. Care este relaia dintre tipurile de integral considerate ?II. S se determine clase ct mai ample de funcii integrabile.III. S se indice metode, procedee pentru calculul integralelor cnd funcia de integrat are o form ct mai general sau o form particular remarcabil (funcii raionale, funcii iraionale etc).IV. S se precizeze metodele de calcul aproximativ al integralelor care s fie nsoite de o formul de evaluare a erorilor de calcul.107Definiia integralei Riemann. Clase de funcii integrabile.Fie a, b R cu a < b i f : [a, b]R. O divizare a intervalului [a, b], notat , este o mulime finit de puncte ={a = x0 < x1 < ...< xi-1 > < < Demonstraiase face pe etape folosind definiiile, teoremele i consecinele prezentate anterior, urmnd schemaI. (i) (ii);II. (iv) (iii);III. (iii) (ii);IV. (ii) (iii); V. (iv) (i); VI. (iii) (iv)i se gsete n bibliografie ([9], [6], [10], [11], [16]). Consecina 4.7.O funcie mrginitf : [a, b]R este integrabil Riemann, dac i numai dac, feste integrabil Darboux i cele dou integrale coincid:( ) ( ) ( )notb b ba a aI f x dx f x dx f x dx I I R DR. Teorema 4.6 (Condiie suficient de integrabilitate)Dac f : [a, b] R este funcie monoton, atunci f este integrabil pe [a, b]. Demonstraie.Presupunem fmonoton cresctoare i neconstant. >0 fixat, considerm D([a, b]) a. . ( )( ) ( ) f b f a< . Pentru[xi-1,xi] cu i{1, 2, ...,n}, avem:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] [ ] [ ]1111( ) ( ) i atunci ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )ni i i i i i iini iiM f m f f x f x S f s f s f M f m f xf x f x f b f a f b f af b f a ] ] < feste integrabil dup condiia (iii) din teorema lui Darboux. Teorema 4.7. (Condiia suficient de integrabilitate)Dac f : [a, b] R este funcie continu, atunci f este integrabil.111 Demonstraie f continu pe [a, b] f este uniform continu pe [a, b] (Teorema Cantor) ifeste mrginit i i atinge marginile pe [a,b] (Teorema lui Weierstrass). Fie >0 fixat ifuniform continu pe [a,b]def >0, ( ) independent de xa. .x, y[a,b] cu |x- y|< | ( ) ( ) | f x f yb a b, avem ( ) ( )b aa bf x dx f x dx .3. Reciprocaafirmaieif,gR[a,b] f+gR[a,b]ngeneral, nueste adevrat.Exemplu:[ ]( ) [ ] [ ]1; 1;, :cu( ) ig( ) cu, ,1; 1; avem f +g ( ) 0, i , pentru ,RRx xf g f x x f g a bx xx x f g a b a b / ' ' + Q QR RR- Q R- QR R.4. Mulimea de funcii integrabile R[a, b] are structura algebric de spaiu liniar n raportcuoperaiileuzualedenmulirei adunarecuscalarirealipentrufuncii reale de o variabil real. Teorema 4.10 (Proprietatea de aditivitate n raport cu intervalul)Funcia f : [a, b]Reste integrabil pe [a, b] dac i numai dac, c (a, b) funciile 1 2[ , ]i[ , ] f f a c f f c b sunt integrabile i are loc formula: ( )3b c ba a cfdx fdx fdx + o. Demonstraiase obine folosind teorema de caracterizare cu iruri de diviziuni cu irul normelor tinznd la zero (teorema 4.4). Consecinta 4.9 Dac I R este interval i f : [a, b] R este o funcie continu,atunci a, b, c I, are loc relaia( )3b c ba a cfdx fdx fdx + o. Demonstraie.Dac a< b< cavem (3) dup teorema 2. Dac a