www.matematicon.ro

www.matematicon.ro

Functii – definitie, proprietati, grafic, functii elementare

A. Definitii, proprietatile functiilor

1. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui element xX facem sa-i corespunda un singur element yY.

Vom nota y = f(x) sau f: XY sau XfY.

x – se numeste variabila sau argument, y – se numeste valoarea functiei, X – se numeste multimea de definitie Y – se numeste multimea valorilor functiei. 2. Daca XR si YR vom spune ca f(x) este functie reala de variabila reala. 3. Daca X 1 este o submultime a lui X (X 1 X) functia f1 (x) definita pe X 1 si egala cu f(x) pe aceasta submultime (f1 (x) = f(x) ( ) xX 1 ) se numeste restrictia lui f(x) la X 1 . Invers, f(x) se numeste prelungirea lui f 1 (x) pe X. 4. Spunem ca functia f: XY este strict descrescatoare daca ( ) x 1 , x 2 A, x 1 x 2 avem

21

21

xx)x(f)x(f

< 0.

5. Spunem ca functia f: XY este strict crescatoare daca ( ) x 1 , x 2 A, x 1 x 2 avem

21

21

xx)x(f)x(f

> 0.

6. Spunem ca functia f: XY este injectiva daca este verificata una din urmatoarele conditii:

a) ( ) x 1 , x 2 X, x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) sau b) ( ) x 1 , x 2 X, astfel incat f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2 sau c) ( ) y Y ecuatia f(x) = y are cel mult o solutie in X.

Cele trei conditii sunt echivalente. In rezolvarea exercitiilor poate fi folosita oricare din ele.

7. Spunem ca functia f: XY este surjectiva daca este satisfacuta una din urmatoarele conditii:

a) ( ) y Y, ( ) xX astfel incat f(x) = y sau b) ( ) y Y ecuatia f(x) = y are cel putin o solutie in X. c) f(X) = Y

8. O functie f: XY este bijectiva daca este injectiva si surjectiva. 9. f: XY este bijectiva ( ) y Y ecuatia f(x) = y are o singura solutie in X. 10. f: XY este marginita daca exista doua numere reale m, M astfel incat ( ) xX avem

m < f(x) < M.

www.matematicon.ro

www.matematicon.ro

11. Daca YX:f si ZY:g , spunem ca urmatoarea functie notata ZX:gof unde ))x(f(g)x)(gof( se numeste compusa functiilor g(x) si f(x).

12. X1 este functia identica definita pe X: XX:1x , x)x(1X . 13. Spunem ca functia YX:f este inversabila daca exista o functie XY:g astfel incat

X1)x)(gof( (x) si )y(1)y)(fog( Y . Inversa functiei f(x) se noteaza cu f 1 (x). 14. Functia YX:f este inversabila daca si numai daca f(x) este bijectiva. 15. Functia YX:f este para daca f(x) = f(-x) ( ) xX (X este o multime simetrica fata de 0). 16. Functia YX:f este impara daca f(x) = - f(x) ( ) xX (X este o multime simetrica fata de 0). 17. Functia YX:f este periodica, de perioada T, daca ( ) TR * astfel incat

f(x + T) = f(x) ( ) xX. Cel mai mic dintre aceste numere T pozitive se noteaza cu T * si se numeste perioada principala.

www.matematicon.ro

www.matematicon.ro

B. Functii elementre – proprietati, grafic

FUNCTIA

X

Y

PROPRIETATI

FUNCTIA PUTERE f: XY, f(x) = x n , nN, n 2 Graficul functiei putere a) n par

R

R

i) f(x) este descrescatoare pe R si crescatoare pe R ii) f(x) este para iii) f(x) nu este injectiva pe R dar restrictiile lui f la R si la R sunt functii injective iv) f(x) este surjectiva pe R v) f: R R nu este bijectiva dar restrictiile f R : R R si f R : R R sunt bijective

b) n impar

R R i) f(x) este crescatoare pe R ii) f(x) este impara ii) f(x) este injectiva pe R iii) f(x) este surjectiva pe R iv) f(x) este bijectiva pe R v) f: RR este inversabila iar inversa ei este f 1 : RR, f 1 (x) = n x

FUNCTIA RADICAL f: XY, f(x) = n x , nN, n 2 Graficul functiei radical a) n par

R

R

i) f(x) este crescatoare pe R ii) f(x) este injectiva pe R iii) f(x) este surjectiva pe R iv) f(x) este bijectiva pe R v) f: R R este inversabila iar inversa ei este f 1 : R R , f 1 (x) = x n .

b) n impar

R

R

i) f(x) este crescatoare pe R ii) f(x) este impara iii) f(x) este injectiva pe R iv) f(x) este surjectiva pe R v) f(x) este bijectiva pe R vi) f: RR este inversabila iar inversa ei este f 1 : RR, f 1 (x) = x n .

y

x

O

x

y

O

x

O

y

x

y

O

www.matematicon.ro

www.matematicon.ro

FUNCTIA

X

Y

PROPRIETATI

FUNCTIA EXPONENTIALA f: XY f(x) = a x , a > 0, a 1 Graficul functiei exponentiale a) a > 1

b) a(0, 1)

R

R

(0, + )

(0, + )

i) f(x) este strict crescatoare pe R ii) f(x) este injectiva pe R iii) f(x) este surjectiva pe R iv) f(x) este bijectiva pe R v) f: R (0, + ) este inversabila iar inversa ei este f 1 :(0, + )R, f 1 (x) = log a x. i) f(x) este strict descrescatoare pe R ii) f(x) este injectiva pe R iii) f(x) este surjectiva pe R iv) f(x) este bijectiva pe R v) f: R (0, + ) este inversabila iar inversa ei este f 1 :(0, + )R, f 1 (x) = log a x.

FUNCTIA LOGARITMICA f(x) = log a x, a > 0, a 1 Graficul functiei logaritmice a) a > 1

b) a(0, 1)

(0, + )

(0, + )

R

R

i) f(x) este strict crescatoare pe (0, + ) ii) f(x) este injectiva pe (0, + ) iii) f(x) este surjectiva pe (0, + ) iv) f(x) este bijectiva pe (0, + ) v) f: (0, + ) R este inversabila iar inversa ei este f 1 :R (0, + ), f 1 (x) = a x . i) f(x) este strict descrescatoare pe (0,+ ) ii) f(x) este injectiva pe (0, + ) iii) f(x) este surjectiva pe (0, + ) iv) f(x) este bijectiva pe (0, + ) v) f: (0, + )R este inversabila iar inversa ei este f 1 : R (0, + ), f 1 (x) = a x .

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

www.matematicon.ro

www.matematicon.ro

FUNCTIA

X

Y

PROPRIETATI

FUNCTIA SINUS f: XY, f(x) = sin x

R

[-1, 1]

i) f(x) este marginita ii) f(x) este impara iii) f(x) este periodica cu perioada T= 2k , kZ,

T * = 2 este perioada principala.

iv) f(x) nu este injectiva pe R dar restrictia lui f(x) la

2,

2 este o

functie injectiva v) f(x) este surjectiva pe R

vi) f(x) nu este bijectiva pe R dar restrictia sa f:

2,

2[-1,1] este

bijectiva si are ca inversa functia

f 1 :[-1,1]

2,

2, f 1 (x)= arcsin(x).

FUNCTIA COSINUS f: XY, f(x) = cos x

R

[-1, 1]

i) f(x) este marginita ii) f(x) este para iii) f(x) este periodica cu perioada T= 2k , kZ

T * = 2 este perioada principala. iv) f(x) nu este injectiva pe R dar restrictia lui f(x) la [0, ] este injectiva v) f(x) este surjectiva pe R vi) f(x) nu este bijectiva pe R dar restrictia sa f: [0, ][-1,1] este

bijectiva si are ca inversa functia f 1 :[-1,1] [0, ], f 1 (x)= arccos(x).

FUNCTIA TANGENTA f: XY, f(x) = tg x

R\2

+k,kZ

R

i) f(x) este impara ii) f(x) este periodica cu perioada T = k , kZ

T * = este perioada principala.

iii) f(x) nu este injectiva pe R\2

+k,kZ

dar restrictia lui

f(x) la

2,

2 este o functie injectiva

iv) f(x) este surjectiva pe R\2

+k,kZ

v) f(x) nu este bijectiva pe R\2

+k,kZ

dar restrictia sa

f:

2,

2R este bijectiva si are ca inversa functia

f 1 :R

2,

2, f 1 (x)=arctg (x).

FUNCTIA COTANGENTA f: XY, f(x) = ctg x

R\ {k,kZ}

R

i) f(x) este impara ii) f(x) este periodica cu perioada T = k , kZ

T * = este perioada principala. iii) f(x) nu este injectiva pe R\ {k,kZ}, dar restrictia lui f(x) la ,0 este o functie injectiva iv) f(x) este surjectiva pe R\ {k,kZ} v) f(x) nu este bijectiva pe R\ {k,kZ} dar restrictia sa f: ,0 R

este bijectiva si are ca inversa functia f 1 : R ,0 , f 1 (x)= arcctg (x).

x O

y

2π

π/2

π

3π/2

x O

y

-π/2

π/2

π

3π/2

π

π/2

- π

x

-1

1

3π/2

2π

- π/2 O

3π/2

π/2

-π/2

x

-1

1

y

y

www.matematicon.ro

www.matematicon.ro

FUNCTIA

X

Y

PROPRIETATI

FUNCTIA ARCSINUS f: XY, f(x) = arcsin x

[-1, 1]

2,

2

i) f(x) este marginita ii) f(x) este impara iii) f(x) este injectiva pe [-1, 1] iv) f(x) este surjectiva pe [-1, 1] v) f(x) este bijectiva pe [-1, 1] vi) f(x) este inversabila pe [-1, 1] iar inversa sa

este f 1 :

2,

2 [-1,1], f 1 (x) = sin x

FUNCTIA ARCCOSINUS f: XY, f(x) = arccos x

[-1, 1]

[0, ]

i) f(x) este marginita ii) f(x) este injectiva pe [-1, 1] iii) f(x) este surjectiva pe [-1, 1] iv) f(x) este bijectiva pe [-1, 1] v) f(x) este inversabila pe [-1, 1] iar inversa sa este f 1 : [0, ] [-1,1], f 1 (x) = cos x

FUNCTIA ARCTANGENTA f: XY, f(x) = arctg x

R

2,

2

i) f(x) este marginita ii) f(x) este impara iii) f(x) este injectiva pe R iv) f(x) este surjectiva pe R v) f(x) este bijectiva pe R vi) f(x) este inversabila pe R iar inversa sa

este f 1 :

2,

2 R, f 1 (x) = tg x

FUNCTIA ARCCOTANGENTA f: XY, f(x) = arcctg x

R

,0

i) f(x) este marginita ii) f(x) este injectiva pe R iii) f(x) este surjectiva pe R iv) f(x) este bijectiva pe R v) f(x) este inversabila pe R iar inversa este f 1 : ,0 R, f 1 (x) = ctg x x O

y

π/2

π

x

O

y π/2

-π/2

x

O

y

π/2

π

1 -1

x

O

y π/2

-π/2 -1 1