functii

Gabriela Zanoschi, profesor la Colegiul “National”, Iasi

Functii

Breviar teoretic 8 ianuarie 2011 15 ianuarie 2011

I Fie I⊂R, interval si :f I R→

1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca , , ( ( ) ( )), ( ) ( )x y I x y f x f y f x f y∀ ∈ < ⇒ < ≤ b) functia f este (strict) crescatoare pe I, daca sensul inegalitatii dintre oricare doua

valori ale argumentului se pastreaza pentru valorile functiei. c) functia f este (strict) crescatoare, daca

( ) ( ) ( ) ( )0 , 0f x f y f x f yx y respectivx y x y

⎛ ⎞− −∀ ≠ ⇒ > ≥⎜ ⎟− −⎝ ⎠

2) a) functia f este (strict) descrescatoare pe I daca

, , ( ( ) ( )), ( ) ( )x y I x y f x f y f x f y∀ ∈ < ⇒ > ≥ b) functia f este (strict) descrescatoare pe I, daca sensul inegalitatii dintre oricare doua valori ale argumentului se schimba pentru valorile functiei. c) functia f este (strict) crescatoare, daca

( ) ( ) ( ) ( )0 , 0f x f y f x f yx y respectivx y x y

⎛ ⎞− −∀ ≠ ⇒ < ≤⎜ ⎟− −⎝ ⎠

.

Fie :f A→ B si , atunci :g B C→ :g f A C→

3) a) Daca :f A B→ , : , : g B C→ h C D→ ( ) ( )h g f h g f= (asociativitatea compunerii functiilor ) b) Daca f si g sunt inversabile, atunci 1 1( )g f f g 1− − −=

II Fie :f R R→

a) functia f este para daca f(-x)=f(x), x R∀ ∈ b) functia f este impara daca f(-x)=-f(x), x R∀ ∈ c) graficul functiei f are axa de simetrie dreapta x=a, daca f(a+x)=f(a-x) sau f(x)=f(2a-x) d) graficul functiei f are centrul de simetrie punctual A(a,b) daca f(x)+f(2a-x)=2b.

Gabriela Zanoschi, profesor la Colegiul “National”, Iasi III Fie :f R → R si T>0

1) functia f este periodica daca f(x+T)=f(x) , x R∀ ∈ 2) cel mai mic numar pozitiv 0T (daca exista) se numeste perioada principala 3) f(x+kT)=f(x) , x R∀ ∈ , *k Z∀ ∈

IV Fie :f A B→ a) 1) functia f este injectiva, daca , , ( ) ( )x y A x y f x f y∀ ∈ ≠ ⇒ ≠ 2) functia f este injectiva, daca din f(x)=f(y)⇒x=y

3) functia f este injectiva, daca orice paralela la axa 0x intersecteaza graficul functiei in cel mult un punct

4) functia f este injectiva, daca ,y B∀ ∈ exista cel mult un x A∈ astfel incat f(x)=y.

b) 1) functia f este surjectiva, daca , , . . ( )y B x A a i f x y∀ ∈ ∃ ∈ =

2) functia f este surjectiva, daca f(A)=B 3) functia f este surjectiva, daca orice paralela la axa 0x, dusa printr-un punct al lui

B, intersecteaza graficul functiei in cel putin un punct. 4) functia f este surjectiva, daca ecuatia f(x)=y, are solutii in A pentru orice y din B.

c) 1) functia f este bijectiva, daca este injective si surjectiva. 2) functia f este bijectiva, daca pentru orice y B∈ , exista un singur , . . ( )x A a i f x y∈ =

A

(ecuatia f(x)=y, are o singura solutie, pentru orice y din B). 3) functia f este bijectiva, daca orice paralela la axa 0x, dusa printr-un punct al lui B, intersecteaza graficul functiei intr-un punct si numai unul. d) 1 prin 1:A A→ ( ) ,A x x x A= ∀ ∈ 1) functia :f A→ B este inversabila, daca exista o functie , astfel :g B A→ incat si 1Ag f = 1Bf g = , unde functia g este inversa functiei f si se noteaza cu 1f −

2) f(x)=y 1( )x f y−⇔ = 3) f este bijectiva ⇔ f este inversabila.

V Fie :f A→ B si , doua functii :g B C→ 1) Daca f si g sunt injective atunci este injectiva g f 2) Daca f si g sunt surjective, atunci este surjectiva. g f 3) Daca f si g sunt bijective, atunci este bijectiva. g f 4) Daca f si g sunt (strict) crescatoare, atunci este (strict) crescatoare. g f

Gabriela Zanoschi, profesor la Colegiul “National”, Iasi 5) Daca f si g sunt (strict) descrescatoare, atunci este (strict) g f Crescatoare 6) Daca f si g sunt monotone, de monotonii diferite, atunci este g f

descrescatoare. 7) Daca f este periodica, atunci g f este periodica 8) Daca f este para, atunci g f este para. 9) Daca f si g sunt impare, atunci g f este impara 10) Daca f este impara si g para, atunci g f este para.

VI Fie :f A→ B si , doua functii :g B C→

a) Daca g f este injectriva, atunci f este injectiva. b) Daca g f este surjectiva, atunci g este surjectiva. c) Daca g f este bijectiva, atunci f este injective si g surjectiva. d) Daca f, g:A→B, iar : bijectiva si h B C→ h f h g= , atunci f=g.

VII Fie :f A→ B si X, Y multimi oarecare

a) Functia f este injectiva, daca si numai daca oricare ar fi functiile u, v:X→A, din f u f v u v= ⇒ =

b) Functia f este surjectiva, daca si numai daca oricare ar fi functiile u,v:B→Y, din u f v f u v= ⇒ =

VIII 1) Daca :f A→ B este strict monotona, atunci f este injectiva.

2) Daca :f R R→ este periodica si monotona, atunci f este constanta. 3) Daca :f R R→ este bijectiva si impara, atunci 1f − este impara. 4) Fie A finita si :f A A→ , atunci f este injectiva ⇔ f este surjectiva.

IX Fie :f E → F , atunci

1) f este injectiva : ( surjectiva) astfel incat g f =1E g F E⇔∃ →2) f este surjectiva : ( injectiva) astfel incat 1Fg F E⇔∃ → f g = 3) f bijectiva ⇔ f inversabila.

X Fie :f E F→ 1) functia f este injectiva daca si numai daca , , ( ) ( ) ( )A B E f A B f A f B∀ ⊂ ∩ = ∩

2) functia f este surjectiva daca si numai daca , , , . . ( )B F exista A E a i f A B∀ ⊂ ⊂ = 3) functia f este injectiva daca ( ) ( ) ( ), ,f A B f A f B A B E− = − ∀ ⊂

Gabriela Zanoschi, profesor la Colegiul “National”, Iasi XI Fie :f E → F si , atunci ,A E B E⊂ ⊂ ( ) { / , . . ( ) }f A y F x A a i f x y= ∈ ∃ ∈ = 1( ) { / ( ) }f B x E f x B− = ∈ ∈ . Fie :f E → F si , atunci ,A E B E⊂ ⊂

1) a) ( ) ( )A B f A f B⊂ ⇒ ⊂b) ( ) ( ) ( )f A B f A f B∪ = ∪ c) ( ) ( ) ( )f A B f A f B∩ ⊂ ∩ d) ( ) ( ) ( )f A f B f A B− ⊂ −

Fie :f E → F si , atunci ,A B F⊂

2) a) 1 1( ) ( )A B f A f B− −⊂ ⇒ ⊂b) 1 1 1( ) ( ) ( )f A f B f A B− − −∪ ⊂ ∪ c) 1 1 1( ) ( ) ( )f A f B f A B− − −∩ = ∩ d) 1 1 1( ) ( ) ( )f A f B f A B− − −− = − e) 1( )f F E− = .

XII Fie :f E → F si , atunci au loc afirmatiile ,A E B E⊂ ⊂

1) functia f este injectiva ( ) ( ), ( )f CA Cf A A E⇔ ⊂ ∀ ⊂ Ρ 2) functia f este surjectiva ( ) ( ), ( )Cf A f CA A E⇔ ⊂ ∀ ⊂ Ρ3) functia f este bijectiva ( ) ( ), ( )f CA Cf A A E⇔ = ∀ ⊂ Ρ

( ) , ( ) ( ) ( )E FCA C A E A Cf A C f A F f A= = − = = − XIII Fie :f A→ B , A si B finite. A are n elemente si B are m elemente.Atunci:

1) numarul functiilor :f A B→ este nm . 2) numarul functiilor injective :f A B→ este , ( ) n

mC n m≤3) numarul functiilor surjective :f A B→ este 1 2 3( 1) ( 2) ( 3) ..... ( 1)n n n n m

m m mm C m C m C m C1 1mm

− −− − + − − − + + −


FUNCTII PROBLEME PROPUSE

8 IANUARIE 15 IANUARIE

1) Sa se arate ca nu exista functii care sa verifice relatiile de mai jos:

a) 2( ) ( ) ,f x f x x x− − = ∀ ∈R Solutie: se dau lui x valorile 1 si -1 si f(-1)-f(1)=1 - contradictie (1) ( 1) 1f f⇒ − − = b) *( ) ( ) , ,f x f a x x x R a R+ − = ∀ ∈ ∈ Solutie: se dau lui x valorile 0 si a ⇒ f(0) + f(a)=0 si f(a) + f(0)= a –contradictie c) ( ) ( ) 1, ,f x g y x y x y R= + + ∀ ∈ Solutie: evident f(0)=a 0 si g(0)=b≠ ≠ 0, deoarece pentru x=y=0⇒ f(0)g(0)=1.

Pentru y=0⇒ f(x)= 1xb+ .

Pentru x=0 1( ) yg ya+

⇒ = , care nu verifica relatia din enunt pentru ,x y R∀ ∈ .

2) Sa se determine functia :f R R→ care satisface relatia 23 ( ) 5 ( ) 2 24 4,f x f x x x x− − = + + ∀ ∈R . Solutie: Facand substitutia x x→− in relatia data, obtinem 23 ( ) 5 ( ) 2 24 4f x f x x x− − = − + .Eliminand f(-x) rezulta 2( ) 3 2f x x x= − + −

3) Sa se determine functiile :f R R→ care verifica inegalitatile: . *( ) ( ) , si , df x a x f x a x R a R+ ≤ ≤ + ∀ ∈ ∈ at Solutie: Facand substitutia

x in ( ) ( ) , ori din ( ) ( ) , deci ( )x a f x a x f x x a x f x a f x x a f x x a→ − + ≤ ⇒ ≤ − ≤ + ⇒ ≥ − = −


4) Sa se determine functiile :f R R→ care verifica egalitatea : [ ]( ) ( ) ({ }) ,f x f x f x x x+ = R∀ ∈

0 =

Solutie: Se stie ca x=[x]+{x} si pentru x=0 relatia devine : f(0)+f(0)f(0)=0⇒ f(0)=0 sau f(0)=-1. Daca f(0)=-1, fie , atunci 0 (0,1)x ∈ , absurd. Deci f(0)=0. 0 0 0 0 0 0( ) (0) ( ) ( ) ( ) 0f x f f x x f x f x x x+ = ⇒ − = ⇒ Efectuand substitutia , obtinem [ ] si x {x}x x→ → ([ ]) ([ ]) (0) [ ] ([ ]) [ ]f x f x f x f x x+ = ⇒ = si respectiv ({ }) (0) ({ }) { } ({ }) { }f x f f x x f x+ = ⇒ x= , de unde rezulta forma relatiei din

enunt: 2

( ) [ ]{ } ( ) [ ]{ }, sau ( ) [ ]( [ ]) [ ] [ ]

f x x x x f x x x xf x x x x x x x x x

+ = ⇒ = −

= − − = − +

5) Sa se arate ca daca :f R R→ satisface relatia ( ) ( ) ,f x a f x b x R+ = + ∀ ∈ cu a si b reali fixate, 0a ≠ , atunci f se poate scrie ca suma a doua functii, una periodica si liniara.

alta

Solutie: Punand (1) g(x)=f(x)-mx-n si impunand ca g sa fie periodica, adica

( ) ( ), bg x a g x x R ma b ma

+ = ∀ ∈ ⇒ = ⇒ = si prin urmare, din (1) avem

( ) ( ) ( ) ( ) ,bf x g x mx n f x g x x b x Ra

= + = ⇒ = + + ∀ ∈ .

6) Fie :f R R→ . Sa se arate ca:

a) Dreapta x=a este axa de simetrie a graficului functiei, daca si numai daca ( ) (2 ),f x f a x x= − ∀ ∈R .

b) Daca graficul functiei f are doua axe de simetrie, atunci f este periodica. c) Punctul A(a,b) este centrul de simetrie al graficului functiei, daca si numai daca

( ) (2 ) 2 ,f x f a x b x+ − = ∀ ∈R . Solutie: a) Dreapta x=a este axa de simetrie pentru graficul functiei daca si numai daca f(a+x)=f(a-x), x R∀ ∈ . Efectuand substitutia x x a→ − in ultima relatie, obtinem f(x)=f(2a-x)

b) Daca dreptele x=a si x=b sunt axe de simetrie, atunci din f(x)=f(2a-x) si f(x)=f(2b-x), obtinem f(2a-x)=f(2b-x) si efectuand substitutia 2x a x→ − , obtinem f(x)=f(2b-2a+x), deci f este periodica cu perioada T=2(b-a).

c) Daca A(a,b) este centrul de simetrie al graficului functiei, atunci ( ) ( )

2f a x f a x b− + +

= si efectuand substitutia x a x→ − obtinem

( ) (2 ) 2f x f a x+ − = b


7) Sa se gaseasca functia :f R R+→ care indeplineste conditiile: a) f(x)f(-x)≥1, x R ∀ ∈b) *, astfel ca ( ) ( ) ,m n N nf x mf x m n x R∃ ∈ + − = + ∀ ∈

Solutie: Facand substitutia x x→− in ( ) ( )nf x mf x m n+ − = + , obtinem .Adunand si scazand membru cu membru in ipoteza ( ) ( )nf x mf x m n− + = + m obtinem f(x)+f(-x)=2 si f(x)-f(-x)=0 de unde rezulta ca f(x)=1. n≠ Daca m=n atunci relatia din enunt devine: f(x)+f(-x)=2 ⇒ 2=f(x)+f(-x) 2 ( ) ( )f x f x≥ − 2≥ . Daca f(x) f(-x) in cel putin un punct se obtine o contradictie, deci ≠ f(-x)=f(x) f(x)=1. ⇒

8) Sa se determine toate functiile :f R R→ care verifica egalitatea: 2 4( ) (1 ) 2 ,x f x f x x x x R+ − = − ∀ ∈ . Solutie: Dand lui x valorile 0 si 1 obtinem f(1)=0 si respectiv f(1)+f(0)=1⇒ f(0)=1.Facand substitutia 1x x→ − obtinem: 2(1 ) (1 ) ( ) 2(1 ) (1 )4x f x f x x x− − + = − − − .Eliminand f(1-x) din cele doua relatii, rezulta 2 4 2 4(1 ) [2 ( )] ( ) 2(1 ) (1 )4x x x x f x f x x x− − − + = − − − ⇒ 2 2 3 4( )(1 )(1 ) (1 )[2 (1 ) (1 )(2 )]f x x x x x x x x x x− + + − = − − − − − − ⇒ . 2 2 2 2 2( )( 1)( 1) (1 )( 1)( 1)f x x x x x x x x x x− + − − = − − + − − Pentru \{ , }x R α β∈ , unde si α β sunt radacinile ecuatiei 2 1 0x x− − = obtinem 2( ) 1 , \{ , }f x x x R α β= − ∀ ∈ . Sa determinam valorile functiei pentru si x xα β= = . Observam ca (1) 1 si =-1α β αβ+ = si (2) 2 21 0, 1 0α α β β− − = − − = . Dand lui x valorile si α β obtinem

(3) 2 4

2 4

( ) (1 ) 2( ) (1 ) 2

f ff f

α α α α α

β β β β

⎧ + − = −⎪⎨

+ − = −⎪⎩ β

Dat din (1) rezulta 1 si 1-α β β− = =α22

si din (2) rezulta

2 4

2 4

1 31 3

α α α α

β β β β

= + ⇒ = +

= + ⇒ = +

Sistemul (3) devine 2

2

( ) ( ) 2( ) ( ) 2

f ff fα α β α

α β β β

⎧ + = − −⎪⎨

+ = −⎪⎩ −, inmultind ecuatia a doua cu 2α ,

Obtinem tinand seama de (1) si (2) si sistemul devine

2 2 2( ) ( ) ( 2) 2 2( 1) 2f fα α β α β α α α α α+ = − − = − = − + = − −


sistemul este compatibil nedeterminat. Notand cu 2

2

( ) ( ) 2( ) ( ) 2

f ff fα α β α

α β β β

⎧ + = − −⎪⎨

+ = −⎪⎩ −

si deci, 2( ) si ( ) 2 ( 1) 2f a f a aα β α α α α= = − − − = + − −

21 , ,( ) ,

( 1) 2,

x xf x a x

a x

α βα

α α β

⎧ − ≠⎪= =⎨⎪− + − − =⎩

9) Sa se determine functiile :f R R→ care satisfac relatia: . ( 1) (1 ) , unde a, b, caf x bf x cx R− + − = ∈ Solutie: Efectuand substitutiile 1 si 1x x x→ + → − x , obtinem

. Studiind solutiile sistemului, obtinem: ( ) ( ) (1 )( ) ( ) (1 )

af x bf x c xbf x af x c x

+ − = +⎧⎨ + − = −⎩

a) 2 2( ) , daca c cf x x aa b a b

= + ≠− +

b

b) f nu exista daca 2 2 si 0a b c= ≠ c) f este orice functie impara daca 0 si 0a b c= ≠ = d) f este orice functie para daca a = -b si c = 0 .

10) Fie a, b, c ∈ R, nu toate egale si a+b+c ≠ 0. Sa se demonstreze ca pentru orice functie exista o singura functie : \{0,1}g R R→ : \{0,1}f R R→ care

verifica relatia : 1 1( ) ( ) ( ) ( ), \{0,1

xaf x bf cf g x x Rx x

1}−+ + = ∀ ∈

−.

Solutie : Efectuand substitutiile 1si 1

xx x 1x x−

→ →−

in relatia data, obtinem

1 1 1( ) ( ) ( ) ( ), \{0,1

x xaf bf cf x g x Rx x x− −

+ + = ∀ ∈−

1} si respective

1 1 1( ) ( ) ( ) ( ), \{0,1 1

xaf bf x cf g x Rx x x

−+ + = ∀ ∈

− −1}.

Rezolvand sistemul in necunoscutele f(x), 1( ), (1

xf f 1)x x

−−

, obtinem

2 2 2

3 3 3

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1( )

3

xa bc g x c ab g b ac g )x xf x

a b c abc

−− + − + −

−=+ + −

.


11) Sa se determine functia 1: \3

f R R→ care satisface relatia : ⎧ ⎫±⎨ ⎬⎩ ⎭

1 1 ( ), \ 1 3 3xf x f x x R

x+⎛ ⎞ ⎧ ⎫= − ∀ ∈ ±⎨ ⎬⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎩ ⎭

.

Solutie : Efectuand in relatia data substitutia

1 1 1 se obtine 1 3 1 3 1 3 1 3x x xx f f 1x

x x x+ − +⎛ ⎞ ⎛→ =⎜ ⎟ ⎜− + −⎝ ⎠ ⎝ x

+ ⎞− ⎟− ⎠ (1)

Efectuand din nou in (1) substitutia

( )1 1 se obtine 1 3 1 3 1 3x xx f x f 1x

x x x− − ⎛ ⎞→ = − ⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠

−+

(2).

Relatia din enunt impreuna cu cele din (1) si (2) da un sistem de unde rezulta

3 2

2

9 6( )9 1

x x xf xx

+ − +=

−2 .

12) Sa se determine :f R R→ care verifica relatia

2 2 2 2( ) (2 ) ( ) 2 4 2 5, ,f x f xy f y x xy y x y− + = − + + ∀ R∈ . Solutie: Pentru y=0 2 2( ) (0) (0) 2 5, deci pentru x 0 ( ) 2 5f x f f x f x x⇒ − + = + ≥ ⇒ = + .

Daca 2xy = − , atunci din relatia data, rezulta

2 2

2 2 2 2( ) ( ) 2 2 54 2x xf x f f x x x

⎛ ⎞+ − − = + + + ⇒ 2 2( ) 2f x x⎜ ⎟

⎝ ⎠5− = − +

Deci, pentru x < 0 rezulta f(x) = 2x + 5 , asadar f(x) = 2x + 5 x R∀ ∈ .

13) Sa se determine functiile :f R R→ care verifica relatia ( ) ( ), ,f x y f xy x y R+ ≤ ∀ ∈ .

Solutie: Din relatia data pentru y = 0, obtinem ( ) (0),f x f x R≤ ∀ ∈ (1). Daca in relatia data se fac substitutiile si cu [0, ] (0) ( ) ( )y x x x x f f x x f x→− → ∈ +∞ ⇒ = − ≤ − [0, ]x∀ ∈ +∞ (2) si tinand seama de (1) rezulta f(-x) = f(0) , [0, ]x∀ ∈ +∞ . Daca in relatia data se fac substitutiile si y x x x→− →− obtinem (0) ( 2 ) ( )f f x f= − ≤ x si tinand seama de (1) rezulta f(x) = f(0) , [0, ]x∀ ∈ +∞ , De unde avem f(x) = f(0) = a, , prin urmare numai functiile constante [0, ]x∀ ∈ +∞ verifica relatia data.


14) Fie functia

: \{ 1,0}f R R− → cu proprietatile : f(1) = 0 si

1( ) ( ), \{ 1,0}, si \{ 1,0}xf f x f y x R x y k Zy k

⎛ ⎞= − ∀ ∈ − ≠ ∈ ±⎜ ⎟ .

⎝ ⎠a) Sa se exprime ( )nf x in functie de f(x) pentru *n Z∀ ∈ .

olutie : In relatia data se fac substitutiile

b) Sa se arate ca f nu este injectiva. S

2 2 1, si obtinem ( ) ( )kx x y x f x f x+k

→ → = (1). Facand din nou substitutiile

3, x x y x→ → si tinand seama de (1), obtinem 3 2( ) ( )kf x fk

x+= .

*1( ) ( ),n k nf x f xk

n N+ −= ∀ Prin inductie dupa n, obtinem ∈ . Daca ,

atunci, notand m = -n , obtinem

\n Z N∈

N∈

2 2

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )m

n m m k m n kf x f x f f x f x f xx k k k

−⎛ ⎞ + − + −⎛ ⎞= = = − = − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

, deci

*

2 ( ), \

1 ( ), ( )

1n

k n f x daca n Nkf x

n k f x daca n Z Nk

∈⎪⎩

+ −⎧∈⎪⎪= ⎨

+ −⎪

b)Pentru n par, f este functie para, deci neinjectiva.

15) Sa se determine functia :f R R→ care verifica relatiile : a) f(x)+f(y) = f(x+y), ,x y R∀ ∈ b) f(1) = 1

2 *1 ( ),x f f x xc) R⎛ ⎞ ∈

Solutie : Daca x = 0 x

= ∀⎜ ⎟⎝ ⎠

(0) 0 si pentru f y x⇒ = = − (0) ( ) ( ) ( ) ( ),f f x f x f x f x x⇒ = + − ⇒ − = ∀ ∈ Ra conditie pentru Din ultim

2

2 2

1 1 (1) ( ) 1\{0,1} (1 )1 1 (1 ) (1

( ))

f f x f xx R f f xx x x

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞∈ ⇒ = − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x (1)

Dar, 21 11 (1) 1

1 1 1 1x x xf f f f f

x x x x−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

xx

=

2 21 11 1 1 (11 1

f f fx x x x⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

)x x ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − = + − =⎟⎠

=


2 2

2 2 2 2

( ) ( ) 1 2 ( )1 1 1x1 (1 ) (1 ) (1 )

f x f x x x f xx x x

− +⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + − = + − =− − −⎦

(2)

in (1) si (2) x x⎜ ⎟ ⎢ ⎥−⎝ ⎠ ⎣

D ⇒ ( ) , \{0,1} dar (0) 0 si (1) 1 ( ) ,f x x x R f f f x x x⇒ = ∀ ∈ = = ⇒ = ∀ ∈R .


PROBLEME PROPUSE

15 IANUARIE

1) Sa se arate ca nu exista functii care sa verifice relatiile de mai jos:

FUNCTII

8 IANUARIE

2( ) ( ) ,f x f x x x− − = ∀ ∈ a) R*( ) ( ) , ,f x f a x x x R a R+ − = ∀ ∈ ∈ b)

c) ( ) ( ) 1, ,f x g y x y x y R= + + ∀ ∈

2) Sa se determine functia :f R R→ care sat ace relatia

isf 23 ( ) 5 ( ) 2 24 4,f x f x x x x− − = + + ∀ ∈R .

3) Sa se determine functiile

:f R R→ care verifica inegalitatile: at .


*( ) ( ) , si , df x a x f x a x R a R+ ≤ ≤ + ∀ ∈ ∈

:f R R→ care verifica egalitatea : [ ]( ) ( ) ({ }) ,f x f x f x x x R+ = ∀ ∈

5) Sa se arate ca daca :f R R→ satisface relatia ( ) ( ) ,f x a f x b x R+ = + ∀ ∈ cu a si breali fixa

te, , atunci f se poate scrie ca suma a

liniara.

6) F

0a ≠ doua functii, una periodica si alta

ie :f R R→ . Sa se arate ca: a) Dreapta x=a este axa de simetrie a graficului functiei, daca si numai daca

( ) (2 ),f x f a x x R= − ∀ ∈ . b) Daca graficul functiei f are doua axe de simetrie, atunci f este periodica.

c) Punctul A(a,b) este centrul de simetrie al graficului functiei, daca si numai daca ( ) (2 ) 2 ,f x f a x b x+ − = ∀ ∈R .

7) Sa se gaseasca functia :f R R+→ care indeplineste conditiile:

f(x)f(-x 1,d) )≥ x R∀ ∈ *, astfel ca ( ) ( ) ,m n N nf x mf x m n x R∃ ∈ + − = + ∀ ∈ e)


8) se determine toate functiile

Sa :f R R→ care verifica egalitatea: 4 2 ( ) (1 ) 2 ,x f x f x x x x R+ − = − ∀ ∈ .

9) Sa se determine functiile :f R R→ care satisfac relatia .

: ( 1) (1 ) , unde a, b, caf x bf x cx R− + − = ∈

10) Fie a, b, c ∈ R, nu toate egale si a+b+c ≠ 0. Sa se demon streze ca pentru exista o singura functie orice functie : \{0,1}g R R→ : \{0,1}f R R→ care

verifica relatia : 1 1( ) ( ) ( ) ( ), \{0,1

xaf x bf cf g x x Rx x

1}−+ + = ∀ ∈

−.

11) Sa se determine functia

1: \3

f R R⎧ ⎫± →⎨ ⎬⎩ ⎭

care satisface relatia :

1 1 ( ), \ 1 3 3xf x f x x R

x+⎛ ⎞ ⎧ ⎫= − ∀ ∈ ±⎨ ⎬⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎩ ⎭

.

12) Sa se determine

:f R R→ care verifica relatia 2 2 2 2( ) (2 ) ( ) 2 4 2 5, ,f x f xy f y x xy y x y− + = − + + ∀ R∈ .


:f R R→ care verifica relatia ( ) ( ), ,f x y f xy x y R+ ≤ ∀ ∈ .

14) Fie functia

: \{ 1,0}f R R− → cu proprietatile : f(1) = 0 si

1( ) ( ), \{ 1,0}, si \{ 1,0}xf f x f y x R x y k Zy k

⎛ ⎞= − ∀ ∈ − ≠ ∈ ±⎜ ⎟ .

⎝ ⎠f) Sa se exprime ( )nf x in functie de f(x) pentru *n Z∀ ∈ .

te injectiva

b) Sa se arate ca f nu es

15) Sa se determine functia :f R R→ care verifica relatiile : = f(x+y),g) f(x)+f(y) ,x y R∀ ∈

h) f(1) = 1

i) 2 *1 ( ),x f f x xx

⎛ ⎞ = ∀ ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

R

functii

Documents

Transcript of functii