MATEMATICA

Muzica ratiunii

1 2

345

6

7 8 9

FUNCTII

Funcția este o relație care asociază fiecărui element dintr-

o mulțime (domeniul) un singur element dintr-o altă (posibil

din aceeași) mulțime (codomeniul). Noțiunea de funcție

este fundamentală în aproape toate ramurile matematicii și

în toate științele exacte. Deci, prin functie se intelege tripletul

ordonat (A,B,f), unde A,B sint multimi nevide, iar f este o corespondenta

(lege), care asociaza fiecarui element x apartine lui A un singur element y

apartine lui B. In alti termeni functia este o aplicatie de la A la B.

O funcție f:A→B se numește „injectivă” sau

„injecție” dacă asociază fiecărui element din

domeniu un element diferit din codomeniu.

O funcție f:A→B se numește „surjectivă” sau

„surjecție” dacă asociază fiecărui element din

codomeniu un element din domeniu.

O funcție f:A→B se numește „bijectivă” sau

„bijecție” dacă este și injectivă și surjectivă.

PROPRIETATI

Singura funcție care este și pară și impară este funcția constantă egală cu

zero.

Suma și diferența a două funcții de aceeași paritate mențin acea paritate.

Orice multiplu al unei funcții are aceeași paritate ca funcția originală.

Produsul a două funcții de aceeași paritate este o funcție pară.

Produsul unei funcții pare cu o funcție impară este o funcție impară.

Raportul dintre două funcții de aceeași paritate este o funcție pară.

Raportul dintre o funcție pară cu o funcție impară este o funcție impară.

Functie paraf(x)=x2

Functie imparaf(x)=x³

MONOTONIA

Dată fiind o mulțime ordonată A, o funcție monotonă cu domeniul A este o funcție

care păstrează sau inversează ordinea elementelor din mulțimea A.

O funcție f : A → B se numește funcție crescătoare pe o submulțime M a lui A dacă

pentru oricare două elemente x1,x2∈M cu proprietatea că x1≤x2 are loc f(x1)≤f(x2).

O funcție f : A → B se numește funcție descrescătoare pe o submulțime M a lui A

dacă pentru oricare două elemente x1,x2∈M cu proprietatea că x1≤x2 are loc

f(x1)≥f(x2).

O funcție se numește funcție crescătoare dacă este crescătoare pe tot domeniul. O

funcție se numește funcție descrescătoare dacă este descrescătoare pe tot domeniul.

O funcție se numește funcție monotonă dacă este crescătoare sau descrescătoare.

De exemplu, funcția modul a numerelor reale,

definită prin relația

este o funcție descrescătoare pe intervalul (-∞,0), dar crescătoare pe intervalul (0,+∞). Într-adevăr, dacă x1,x2<0 sunt două numere negative astfel încât x1≤x2, atunci

deci funcția este descrescătoare mulțimea numerelor reale negative.

În mod analog, pentru două numere reale pozitive

x1,x2>0 cu x1≤x2, atunci

deci funcția este crescătoare mulțimea numerelor reale

pozitive. Fiind descrescătoare pe o parte a domeniului și

crescătoare pe cealaltă, funcția modul nu este monotonă.

GRAFICUL UNEI FUNCTII CRESCATOARE

GRAFICUL UNEI FUNCȚI I DESCRESCĂTOARE

GRAFICUL FUNCȚIEI MODUL

FUNCȚIE CONTINUĂ

În analiza matematică, o funcție se numește continuă într-un punct dacă o

variație mică a argumentului în jurul punctului dat produce o variație mică a

valorii funcției și, mai mult, putem limita oricât de mult variația valorii funcției

prin limitarea variației argumentului. O funcție care este continuă în fiecare

punct al domeniului de definiție se numește simplu funcție continuă.

Păstrând limbajul intuitiv, o funcție este continuă dacă graficul acesteia nu are

întreruperi sau "rupturi". Dacă o modificare mică a argumentului poate

produce un salt (o ruptură) în graficul funcției, sau dacă graficul funcției

oscilează,se zice că funcția este discontinuă, sau că are una sau mai multe

discontinuități.

DEFINIŢIE.

Fie a > 0, a ≠ 1. Funcţia ƒ : R → (0,∞), ƒ(x) = aª, se numeşte

funcţia exponenţială de bază a.

OBSERVAŢII:

1. Baza a este diferită de 1 pentru că în caz contrar ƒ(x) = 1x= 1

este consideratăconstantă şi nu este considerată ca o funcţie

exponenţială.

2. A nu se confunda funcţia exponenţiala ƒ(x) = ax, a>0, a ≠ 1 cu

functia g(x) = xa, ∀x∈ R.

Pentru prima funcţie a este baza puterii axcare este constanta, in

timp ce pentru a douafuncţie a este exponentul puterii axa care este

constant.

GRAFICUL FUNCŢIEI EXPONENŢIALE

Graficul funcţiei exopnenţiale se trasează în două

cazuri:

1.Baza a ∈ (0, 1) (spunem că Baza este subunitară). În

acest cazgraficul funcţiei este situat deasupra axei Ox şi

intersectează axa Oy în (0, 1). Graficul funcţiei

exponenţiale cu bază subunitară este din ce înce mai

apropiat de axele coordonate, cu cât baza este mai mică.

2) Baza a > 1 (spunem că baza este supraunitară ).

În acest cazgraficul funcţiei este situat deasupra axei

Ox şi intersectează axa Oy în(0, 1).

Graficul funcţiei exponenţiale cu bază subunitară

este din ce înce mai apropiat de axele coordonate, cu

cât baza este mai mare.

PARABOLA

O parabolă este o curbă plană, din familia conicelor, ce

poate fi definită, în mod echivalent, ca:

locul geometric al punctelor dintr-un plan situate la egală

distanță de un punct fix, numit focar, și de o dreaptă fixă;

mulțimea punctelor din plan ale căror coordonate

sunt soluțiile unei ecuații de forma

satisfăcând proprietățile:

cel puțin unul dintre coeficienții a și c este nenul

ecuația admite cel puțin două soluții distincte;

intersecția dintre un con și un plan, dacă una singură

dintre generatoarele conului este paralelă cu planul, iar

celelalte îl intersectează.

Orice parabolă are o axă de simetrie, numită axa

parabolei. Intersecția axei de simetrie cu parabola se

numește vârful parabolei.

LOGARITMII

Logaritmul unui număr real pozitiv este exponentul puterii la care trebuie

ridicat un alt număr fix (numit bază) pentru a se obține numărul dat.

Logaritmii au fost introduși de John Napier la începutul secolului al XVII-lea cu

scopul de a simplifica modul de lucru în calculele matematice. Au fost repede

adoptați de către navigatori, oameni de știință, ingineri și alți specialiști

interesați în a face calcule matematice mai ușor cu ajutorul tabelelor de

logaritmi și a riglelor de calcul. Astfel, operațiile lungi și obositoare de

înmulțire a numerelor cu multe zecimale puteau fi înlocuite cu căutarea în

tabelele de logaritmi și o simplă adunare (datorită proprietății fundamentale a

logaritmilor: logaritmul unui produs este egal cu suma logaritmilor factorilor

acelui produs)

DEFINITIE

Fie numărul real x > 0 . Logaritmul lui x în baza 

,

, notat  ,este numărul  , astfel încât   .

Proprietatea fundamentală a logaritmilor este:

 , ,unde   , ,  .

Exemple:   ;  ,    ,    .

PROPRIETĂȚI DE BAZĂ

Pentru  ,   ,  :

1. 4.

2. 5.

3. 6.

Logaritmii în baza b = 10 sunt numiți logaritmi

zecimali. Logaritmii naturali sunt logaritmii în

baza e (≈ 2,718).Logaritmii binari sunt logaritmii în

baza b = 2. Logaritmii au numeroase aplicații în

științele exacte și în tehnică (inginerie). Logarimii

binari sunt folosiți în informatică.

GRAFICUL FUNCŢIEI LOGARITMICE CU BAZA 2 .

Trecerea unui logaritm dintr-o bază la alta se face

cu ajutorul formulei:

În mod uzual, logaritmii zecimali (în baza 10) se

notează cu lg, iar logaritmii naturali (în baza e) se

notează cu ln. În particular, pentru trecerea de la

logaritmii zecimali la logaritmii naturali și invers, se

utilizează formulele: , respectiv

unde constanta 

Formulele din tehnică provin din fizică, unde

practic întotdeauna logaritmii provin din inversa

funcției exponențiale, deci sunt naturali. Conversia

utilă este lg → ln, folosindu-se raportul 

. O trunchiere la 2,3 conduce la

o eroare de 1‰, uzual acceptabilă în tehnică.

Datorită calculatoarelor, actual formulele conținând

logaritmi zecimali au devenit neuzuale.

MOTIVAȚIA DEFINIRI I LOGARITMULUI CA O INTEGRALĂ

Logaritmul este un exemplu de concept matematic care poate fi definit

prin diferite metode.Când se dorește definirea unui concept, se începe de

la proprietățile dorite care să fie înglobate în ea. În urma inspecției

proprietăților se propune o formulă sau un proces care poate servi drept

definiție, în urma căreia toate proprietățile pot fi deduse.Una din

proprietățile care sunt de dorit la definirea logaritmului este ca suma

logaritmilor a două argumente să fie egală cu logaritmul produsului

acestor argumente. Dacă logaritmul este considerat ca o funcție, atunci

se poate scrie:  , unde x și y aparțin unui domeniu.

Astfel de formulare se numeșteecuație funcțională.