functii de productie

STUDIUL TEHNOLOGIEI

FIRMEI

FUNCŢII DE PRODUCŢIE

Capitolul

1

Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului

1.1 Noţiuni introductive

Alături de consumator, firma reprezintă al doilea factor sau actor al procesului economic.

O firmă reprezintă o entitate creată de oameni în vederea atingerii unor anumite obiective. Această entitate va achiziţiona inputuri (factori de producţie) şi îi va combina în vederea obţinerii producţiei, a outputului.

Inputurile sunt achiziţionate de pe pieţele factorilor de producţie şi contravaloarea acestora reprezintă în mod uzual costurile firmei. Producţia va fi vândută pe pieţele bunurilor şi serviciilor, iar în schimbul acesteia firma va încasa contravaloarea acesteia – veniturile.

Cel mai important motiv care stă la baza deciziei de a înfiinţa şi conduce o firmă îl reprezintă obţinerea de către proprietarii firmei a unui profit cât mai mare, profit care în mod uzual este definit ca diferenţa dintre veniturile obţinute în urma vânzării bunurilor şi serviciilor produse şi cheltuielile efectuate pentru cumpărarea inputurilor folosite în procesul de producţie şi cele tehnologic induse de realizarea produsului finit.

Totuşi, maximizarea profitului nu constituie singurul motiv al funcţionării firmei. Alte scopuri ar putea fi maximizarea cotei pe piaţă deţinute, a prestigiului sau a vânzărilor.

Chiar şi în aceste condiţii ipoteza maximizării profitului rămâne cea mai credibilă şi mai robustă în vederea previzionării comportamentului firmei.

Funcţii de producţie

Producţia este procesul transformării inputurilor în outputuri. Cea mai importantă condiţie ce trebuie îndeplinită în cadrul acestui proces este aceea a fezabilităţii tehnologice, respectiv a capacităţii firmei de a produce un anumit bun sau serviciu pornind de la inputurile avute la dispoziţie.

Astfel, firma are la dispoziţie o mulţime de inputuri pe care o vom nota cu X (mulţimea inputurilor, a factorilor de producţie). Un vector

( ) nn xxxxx ℜ⊂∈= ,,, 21 K reprezintă o combinaţie de n - inputuri folosite

în procesul de producţie. Evident, fiecare input va fi exprimat ca fiind o cantitate nenegativă x ≥ 0.

Prin intermediul acestor inputuri firma va produce bunul (sau bunurile) dorite şi fezabile tehnologic. Mulţimea posibilităţilor de producţie va fi notată prin Y, şi y ∈ Y, cu ( )myyyy ,,, 21 K= reprezentând un vector al outputurilor produse de firmă, cu y ≥ 0 1)

1) Un alt mod de a defini mulţimea posibilităţilor de producţie este următorul:

mulţimea Y reprezentând mulţimea tuturor bunurilor din economie. Prin componentele yi negative (yi < 0) ale vectorului Y vom defini inputurile, iar prin componentele pozitive (yi > 0)

Capitolul 1. Studiul tehnologiei firmei. Funcţii de producţie

Tehnologia pe care o are la dispoziţie firma va fi descrisă prin intermediul funcţiei de producţie, care va indica modul în care se pot combina inputurile în vederea obţinerii outputului (sau outputurilor) considerate.

Astfel, vom considera funcţia de producţie f ca fiind o corespondenţă dintre mulţimea inputurilor şi mulţimea outputurilor.

Astfel:

YXf →: , ( )xfy =

cu: X - mulţimea inputurilor, nx +ℜ⊂ Y - mulţimea outputurilor, my +ℜ⊂

Observaţie

Dacă +ℜ∈Y (spaţiul unidimensional) atunci funcţia de producţie se numeşte monooutput sau monoproduct, iar dacă 1 , >ℜ⊂ + my m , atunci funcţia de producţie este numită multioutput.

1.2. Proprietăţi ale funcţiilor de producţie

1.2.1 Cadrul axiomatic

Pentru început vom analiza funcţiile de producţie monooutput. Fie ++ ℜ⊂ℜ⊂→ yxYXf n , ,: , o funcţie de producţie monooutput.

Atunci aceasta are următoarele proprietăţi:

Ipoteza 1

Funcţia de producţie f(x) este: a) continuă; b) de două ori diferenţiabilă 2). Continuitatea funcţiei de producţie f indică faptul că existenţa unor

modificări mici ale inputurilor va conduce la modificări mici ale outputului produs.

vom defini outputurile.

2) Cum funcţiile de producţie sunt de două ori diferenţiabile, atunci derivatele parţiale ( )

nix

xf

i

,1, =∀∂

∂, sunt productivităţile marginale ale factorilor. Aceste derivate vor arăta cu

câte unităţi creşte outputul pentru fiecare unitate suplimentară de input adăugată faţă de cel deja existent.


Diferenţiabilitatea funcţiei f este impusă din raţiuni de simplificare a analizei.

Ipoteza 2

Funcţia de producţie f este strict crescătoare în raport cu fiecare argument: Dacă: ( )ni xxxxx ,,,,, 21 KK= şi ( )ni xxxxx ,,,,,' 21 KK ′= iar ii xx >' atunci ( ) ( ) ( ) nixfxf ,1,' =∀>

Această proprietate arată că orice creştere a unuia dintre inputuri (factori de producţie) va conduce la creşterea outputului.

Ipoteza 3

Mulţimea factorilor de producţie, X, este o mulţime nevidă, compactă şi convexă. Ipoteza 3 este una simplificatoare care arată că nu pot exista restricţii

asupra factorilor de producţie achiziţionaţi de firmă, deci aceasta se poate dota cu cantitatea dorită în orice moment. În realitate, această ipoteză este infirmată deseori în practică, dar pentru zonele pe care le vom analiza, ipoteza este adevărată.

Ipoteza 4

Funcţia de producţie f este concavă (cvasi-concavă) pe mulţimea X , sau:

( )( ) ( ) ( ) (( )101010 11,) xfxfxxfXxx αααα −+≥−+⇒∈∀

pentru orice [ ]1,0∈α .

Ipoteza de concavitate arată faptul că orice combinaţie convexă de inputuri (respectiv alegerea, din doi vectori diferiţi de inputuri, a unui al treilea format din anumite proporţii ale primelor două) va conduce la un output care va fi mai mare decât outputul format din aceleaşi proporţii ale outputurilor determinate de factorii de producţie (inputurile) iniţiali 0x şi 1x .

O altă interpretare a proprietăţii ale cvasi-concavitate este aceea dată de alegerea randamentelor marginale descrescătoare, care afirmă faptul că orice creştere a inputurilor va conduce la creşterea outputurilor, dar cu o proporţie mai mică decât majorarea inputurilor.

Observaţie: Dacă f este de clasă C1 atunci f ’(x) > 0 (∀) x ∈ X.

Ipoteza 5

a) 0)0( =nf , b) ( ) ( ) jinixxxxxxf injj ≠=∀=+− ,,1,,0,,,0,,, 1121 KK .


Această ipoteză indică faptul că dacă nu există inputuri (sau cel puţin unul dintre ele) atunci producţia nu poate fi realizată (outputul este nul).

Ipoteza 6

Funcţia de producţie ( )xf este finită Xx ∈∀)( 3).

Ipoteza 6 ne arată faptul că pentru un vector al inputurilor (resurselor, factorilor de producţie) dat, producţia ce poate fi obţinută pe baza acestuia este finită (respectiv există un output maxim ce poate fi obţinut cu un input dat).

1.2.2 Exemple

Exemplul 1.1. Funcţia de producţie Leontief

( ) ( )nn xxxxf βββ ,,,min 2211 K= ,

cu nii ,1, =β parametri pozitivi, ℜ⊂ℜ⊂→ + yxYXf n ,,: ,

Dacă 2=n (există doar două inputuri) atunci în figura 1.1 este reprezentată această funcţie de producţie de tip Leontief: ( ) ( )221121 ,min, xxxxf ββ= .

Observaţie

Frontierele de producţie ale mulţimii sunt date de ( ) 1/ β⋅f dacă

3 Pentru orice nivel fixat al outputului, y , vom numi y-izocuantă combinaţiile

posibile de inputuri ce poate conduce la outputul y .

x2

( )2β.f

( )1β.f

x1

X

Fig. 1.1. Mulţimea X de producţie pentru o funcţie de producţie Leontief


valoarea funcţiei este ( ) 11xxf β= şi ( ) 2/ β⋅f dacă este dată de ( ) 22 xxf β= . Această funcţie respectă ipotezele prezentate anterior. Dacă x1 = 0 ⇒ f = 0.

Exemplul 1.2.

Funcţia de producţie Cobb-Douglas generalizată

( ) nixAxf

yxYXf

ii

n

i

n

i ,1,0,

,,,:

1

=⟩=

ℜ⊂ℜ⊂→

∏=

++

αα

Funcţia de producţie Cobb-Douglas respectă toate ipotezele anterioare.

Exemplul 1.3.

Funcţia de producţie C.E.S. (Constant Elasticity of Substitution)

( ) .0,

,,,:/1

1

>

=

ℜ⊂ℜ⊂→−

=

−

++

∑ ραρ

ρn

iii

n

xAxf

yxYXf

Acest tip de funcţie de producţie nu respectă ipoteza 5 b) (deoarece dacă unul dintre inputuri este nul, sau chiar toţi) atunci funcţia de producţie nu este nulă (nu este definită pentru ( ) nixi ,1,0 =∀= ).

1.2.3 Izocuante

Pentru un nivel fixat al producţiei, y , mulţimea inputurilor x ce pot conduce la obţinerea acestui output se numeşte izocuantă (sau y-izocuantă). Vom nota această mulţime prin ( )yQ , şi are următoarea expresie:

( ) ( ) yxfxyQ =≥= /0

Pentru o funcţie de producţie Cobb-Douglas cu două inputuri şi parametrii ( )2,1=iiα subunitari ( )( )21

21αα xxAxf ⋅= , în figura 1.2 sunt

reprezentate diverse y-izocuante. Notă: Izocuanta este locul geometric al factorilor care verifică f(x) = y.

Astfel, pentru exemplul din figura 1.2, ecuaţia izocuantei este:

x2 = 1

2

1

1

1α

α

xAy

⋅

=

11αx

C (C – constantă),

adică o hiperbolă: când x1 → 0 ⇒ x2 → 0; când x1 → ∞ ⇒ x2 → ∞, deci având asimptotele: verticală x1 = 0 şi orizontală x2 = 0.

Temă: Determinaţi ecuaţia izocuantei pentru funcţia cu 2 factori şi


trasaţi izocuantele y1, y2, y3, ....

1.2.4 Rate marginale de substituţie tehnică (RMST)

Rata marginală de substituţie tehnică (RMST) arată care sunt proporţiile în care pot fi înlocuite inputurile între ele astfel încât să se obţină acelaşi nivel al outputului.

Astfel, dacă vom considera inputurile ix şi jx , atunci rata marginală de

substituţie tehnică între inputurile i şi j va fi notată cu:

( ) ( )( ) j

iij xxf

xxfxRMST∂∂∂∂

−=//

.4

4 Dacă vom folosi notaţia ( ) ( )

ii x

xfxf∂∂

= , obţinem ( ) ( )( ) .xfxf

xRMSTj

iij −=

x1

x2

Q(y1)

Q(y3)Q(y2)

Figura 1.2. Izocuante ale producţiei

pentru 123 yyy >> , nivele fixate ale outputurilor

x2* x*

α

x1*

x2

x1

Figura 1.3. Reprezentarea geometrică a RMST

( )( )( ) ( )

( ) 2*

1*

*12

2*

1*

//

//

xxfxxftgxRMST

xxfxxftg

∂∂∂∂

−==

∂∂∂∂−

=

α

α


Valoarea indicată de ( )xRMSTij , în valoare absolută, arată câte unităţi din inputul i pot înlocui o unitate din inputul j astfel încât producţia să rămână la acelaşi nivel.

Geometric, pentru o funcţie de producţie cu două inputuri, ( )xRMSTij reprezintă panta tangentei la y-izocuantă într-un punct fixat x . (vezi figura 1.3).

1.2.5 Funcţii de producţie separabile

Fie nN ,,2,1 K= mulţimea tuturor inputurilor, iar această mulţime o vom împărţi în p submulţimi, pNNN ,,, 21 K în raport cu tipul de inputuri (de exemplu într-o categorie de inputuri pot intra cele legate de forţa de muncă şi utilizarea acesteia, în altă categorie între inputurile ce conţin materiile prime (exclusiv energia, sau o altă categorie ar putea fi cea a bunurilor de capital).

Definiţia 1.1

a) Funcţia de producţie f este slab separabilă dacă rata marginală de substituţie tehnică dintre două inputuri din aceeaşi mulţime de inputuri este independentă de inputurile din alte grupe:

( ) ( )( )

( ) sk

ji Njix

xfxf∈∀=

∂

∂,,0

/ şi p,,,s,Nk s K21=∉

b) Funcţia de producţie f se numeşte puternic separabilă dacă rata

marginală de substituţie tehnică dintre două inputuri din grupuri diferite este independentă de orice input care aparţine acelor grupuri:

( )

( ) tsk

ji NjNix

xfxf∈∈∀=

∂

∂ , 0

)(/)(, şi tsNNk ts ≠∉ ,U

O concluzie ce derivă din separabilitatea factorilor de producţie (a

inputurilor) pe grupe este aceea că procesul de producţie al unei firme poate fi împărţit pe stadii de producţie, în fiecare stadiu utilizându-se doar anumite inputuri şi obţinându-se outputuri (posibil) intermediare.


Astfel, dacă prin ( )ii xf 1 vom nota funcţiile de producţie pe stadii (pe etape) de fabricaţie, atunci separabilitatea slabă a funcţiei de producţie permite scrierea acesteia ca fiind:

( ) ( ) ( ) ( )( )pp xfxfxfFxf ,,, 2211 K= ,

cu ( )⋅F strict crescătoare şi qvasi-concavă iar ( )ii xf - funcţii de producţie parţiale ce satisfac toate proprietăţile necesare.

În prima etapă a agregării vor fi folosiţi factorii ix pentru producerea inputurilor intermediare ( )ii xf , pentru ca în cea de-a doua etapă să se obţină outputul final ( )y pe baza funcţiei de producţie ( )⋅F .

Observaţie

Dacă o funcţie de producţie este separabilă tare, atunci ea este şi slab separabilă.

Exemplul 1.4.

Funcţia de producţie Cobb-Douglas este separabilă în factori

Fie ( ) ( ) ( )[ ] ii iin

ii

n

i

xfAxAxf αα ∏∏==

⋅=⋅=11

(dacă vom defini funcţia

Cobb-Douglas în termen de inputuri agregate). Atunci productivitatea marginală a unui input i dintr-o clasă sN va fi:

( )( )

( ) ( ) iiin

ii

ss

sss

i

xfAxxf

xfxxf αα ∏

=

⋅⋅∂

∂⋅=

∂∂

1

De aici rezultă că norma diferenţială de substituire între si Nix ∈, şi

tj Njx ∈, este:

( )( )

( )( ) j

tti

ss

ss

tt

t

s

i

j

xxfxxf

xfxf

xx

∂∂∂∂

⋅⋅=∂

∂ /αα

Acest termen depinde doar de tx şi de sx , prin urmare derivata în raport cu oricare alt input din altă grupă este nulă. Deci, funcţia de producţie Cobb-Douglas este separabilă.

1.3. Indicatorii funcţiilor de producţie

Pentru a se putea utiliza şi analiza corespunzător activitatea unei firme (ce este descrisă prin intermediul unei funcţii de producţie) vom determina indicatorii specifici asociaţi.


Astfel vom avea cinci categorii de indicatori. 1.3.1 Tipologia şi calculul indicatorilor

a) indicatori medii

Dată fiind funcţia de producţie +ℜ⊂→ YXf : , indicatorii medii arată modul în care se obţine outputul pe baza fiecărui input, sau cu cât poate fi modificat în medie outputul prin modificarea unui anumit input cu o unitate:

( ) ( )ix

ixi w

xxf

xf ==

unde: ( )

ixxi wxf , - productivitatea medie a inputului ix ; ( )xf - outputul obţinut ix - cantitatea din inputul i utilizată pentru producerea outputului

( )xf .

b) indicatori marginali

Indicatorii marginali vor arăta modul în care se modifică outputul în raport cu modificările marginale ale inputurilor, sau cu alte cuvinte, cu câte unităţi se va modifica outputul dacă vom creşte cu o unitate, faţă de nivelul dat, un anumit input:

( ) ( )ii x

ix x

xfxf η=∂∂

=′

unde: ( )

ii xx xf η=′ - reprezintă productivitatea marginală a inputului i ; ( ) ixxf ∂∂ / - derivata parţială a funcţiei de producţie f în raport cu

factorul ix ;

c) indicatori procentuali (elasticităţi)

Indicatorii procentuali (sau elasticităţile) vor arăta modificările procentuale ale outputului în raport cu modificările procentuale ale inputurilor, sau altfel spus, cu câte procente se va modifica outputul la modificarea cu un procent a unui anumit input:

( ) ( )ii

xi xxf

xxf

E :∂∂

=

sau: ( )( )

i

i

i

i

x

x

x

xxi

wxfxf

Eη

== .


Elasticitatea factorilor mai poate fi determinată ca raport între productivitatea marginală şi productivitatea medie a factorului considerat.

d) Rate marginale tehnice de substituţie (RMST)

O rată marginală de substituţie va arăta care este cantitatea necesară dintr-un anumit input ce poate fi utilizată pentru a înlocui o unitate din alt input astfel încât producţia obţinută să rămână la acelaşi nivel. Astfel, de-a lungul izocuantei y = f (x), y – fixat, diferenţiind, obţinem:

∑=

==∂∂n

ii

i

dydxxf

10 .

Considerând numai modificările a doi factori, respectiv i şi j, cu dxi ≠ 0,

dxj ≠ 0, şi respectiv dxk = 0 pentru orice k ≠ i,j, obţinem:

- ( ) ( )jx

ix

jijxix

j

i

xxf

xxfRMST

dxdx

ηη

=∂∂

∂∂

== :/

Rata marginală de substituţie tehnică mai poate fi determinată ca raport între productivităţile marginale ale factorilor.

e) coeficientul elasticităţii ratei marginale de substituire (sau

elasticitatea substituirii) este inversul elasticităţii RMST:

=

jxix

ij

RMSTE

1σ , unde elasticitatea RMST se calculează în raport

cu nivelul relativ xi /xj de consum al celor doi factori, adică:

j

i

j

i

jxix

jxix

jxix

xxxx

d

RMST

RMSTdRMSTE

÷

=

.


Deci, coeficientul elasticităţii RMST va fi:

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )

( )( ) ( )( )xfxfd

xxdxx

xfxfxfxfd

xxdxfxfxfxfd

xxxxd

ji

ji

ji

ji

ji

ji

ji

ji

ji

jiij

lnln

:

=

=⋅=

==σ

Acest indicator arată cât de uşor pot fi înlocuit un input cu un alt input. Astfel, pentru funcţiile de producţie qvasi-concave, ijσ este pozitiv

( )0≥ijσ . Cu cât valoarea acestuia se apropie de zero cu atât inputurile pot fi substituite mai greu (iar la limită, dacă 0=ijσ , atunci inputurile i şi j nu pot fi substituite), iar dacă ijσ este mare, atunci poate fi realizată o substituire „uşoară” a inputurilor.

În figura 1.4 sunt reprezentate trei situaţii posibile. Astfel în figura 1.4 a) izocuanta funcţiei de producţie este liniară şi atunci ∞→

12 xxσ , adică avem o substituibilitate perfectă între inputuri. În figura 1.4 c) 0

12=xxσ , adică cele

două inputuri nu pot fi substituite, pentru ca în figura 1.4 b) să avem o elasticitate a substituirii intermediară )0( ∞<< σ , deci să poată efectua substituirea doar în anumite proporţii:

σ → ∞ σ = 0

x2 x2 x2

Figura 1.4. Tipuri de funcţii de producţie în raport cu elasticitatea substituirii

0 < σ < ∞

f(x)f(x’)f(x’)

f(x)f(x’)

f(x) x1

a) c)x1x1

b)


1.3.2 Exemple

Exemplul 1.5. Se consideră funcţie de producţie de tip Cobb-Douglas cu doi factori de producţie, respectiv capitalul, K , şi forţa de muncă, L .

Pentru funcţia de producţie ( ) βα LKALKf ⋅⋅=, vom determina indicatorii asociaţi:

a) indicatorii medii:

- productivitatea (sau eficienţa) medie a capitalului:

( ) βα

βα

LKAK

LKAK

LKfwf KK ⋅⋅=⋅⋅

=== −1,

- productivitatea (eficienţa) medie a muncii:

( ) 1−⋅⋅=⋅⋅

=== βαβα

LKAL

LKAL

L,Kfwf LL

unde: - KK wf = , productivitatea medie a capitalului, arată câte unităţi de

producţie se produc, în medie, prin intermediul unei unităţi de capital - LL wf = , productivitatea medie a muncii, arată câte unităţi de

producţie se obţin, în medie, prin intermediul unei unităţi de forţă de muncă

Observaţie

Dacă vom nota prin LKk = (înzestrarea tehnică a muncii, respectiv

câte unităţi de capital revin la o unitate de forţă de muncă) şi 1=+ βα , atunci obţinem următoarele relaţii:

( ) LkALLKALKf

kALKAw

kA

KLAw

L

K

⋅⋅=⋅⋅=

⋅=⋅=

⋅=⋅=

αα

α

αα

α

ββ

β

,

1

b) indicatorii marginali:

- productivitatea (eficienţa) marginală a capitalului:

( )KKK wLKA

KLKff ⋅=⋅⋅⋅=

∂∂

== − ααη βα 1,


- productivitatea (eficienţa) marginală a muncii:

( )LLL wLKA

LLKff ⋅=⋅⋅⋅=

∂∂

== − ββη βα 1,

Observaţie

În raport cu înzestrarea tehnică a muncii, k , şi pentru 1=+ βα obţinem:

α

β

βη

αη

kAk

A

L

K

⋅⋅=

⋅=

- productivitatea marginală a capitalului, Kη , arată cu câte unităţi poate fi majorată producţia în condiţiile în care nivelul capitalului va fi majorat cu o unitate faţă de nivelul existent;

- productivitatea marginală a muncii, Lη , arată cu câte unităţi poate fi mărită producţia în condiţiile în care nivelul muncii este mărit cu o unitate faţă de nivelul existent.

c) indicatorii procentuali (elasticităţile):

( ) ( )

( ) ( )β

η

αη

==∂

∂=

==∂

∂=

L

LL

K

KK

wLLKf

LLKf

E

wKLKf

KLKf

E

,:

,

,:

,

- elasticitatea capitalului, α=KE , arată cu câte procente se va modifica nivelul producţiei dacă nivelul capitalului se modifică cu un procent (de creştere sau scădere);

- elasticitatea forţei de muncă, β=LE , arată cu câte procente se va modifica nivelul producţiei dacă nivelul forţei de muncă utilizat se modifică cu un procent (creştere sau scădere).

d) Rata marginală tehnică de substituţie:

( ) ( )α

β

βα

βα

βα

βα

ηη

KL

LKALKA

LLKf

KLKfRMST

L

KLK ⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

==∂

∂∂

∂= −

−

1

1

/,:,

Dacă 1=+ βα şi în raport cu înzestrarea tehnică a muncii obţinem:

kkRMST LK

1/ ⋅=⋅= −

βα

βα βα


- rata marginală tehnică de substituţie indică, în acest caz, câte unităţi de capital pot înlocui o unitate de forţă de muncă astfel încât producţia să rămână constantă.

Observaţie

Rata marginală tehnică de substituţie se poate calcula şi invers, respectiv prin a determina câte unităţi de forţă de muncă pot înlocui o unitate de capital, păstrând nemodificat nivelul producţiei:

( ) ( )LK

KL RMSTk

LK

KLKf

LLKfRMST

//

1,:,=⋅=⋅=

∂∂

∂∂

=αβ

αβ

β

α

e) Coeficientul elasticităţii ratei marginale de substituţie (elasticitatea substituţiei)

( ) ( )( )( ) ( )

1:

:,/,ln

ln

=⋅=⋅

∂

⋅∂

=

=∂

∂=

=

βα

αβα

βα

β

σ

k

k

k

k

kkRMST

kkRMST

LKfLKfdLKd

LKKL

Observaţie: Tragem concluzia că pentru orice funcţie Cobb-Douglas şi, în particular, pentru o funcţie de producţie de tip Cobb-Douglas în care

1=+ βα (randamente constante la scală), elasticitatea ratei marginale de substituţie este întotdeauna unitară (1).

Exemplul 1.6.

Considerăm funcţia de producţie de tip C.E.S. (Constant Elasticity of Substitution) exprimate în raport cu doi factori de producţie (să presupunem tot capital şi muncă, K respectiv L ) pentru simplificarea calculelor reluăm cazul din exemplul 1.3, cu αi = 1 şi în loc de -ρ luăm ρ:

( ) ( )ρρρ1

, LKLKf += , cu ( )1,0∈ρ 5

5 Faţă de forma clasică a funcţiei C.E.S. s-a făcut înlocuirea lui - ρ cu ρ, pentru –1< ρ< 0.


indicatorii medii:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ρρρρρ

ρρρρρ

ρ

ρρρρ

/1/1

/1/1/1

1,

111,

kLLK

LLKfw

kKL

KLK

KLK

KLKfw

L

K

+=+

==

+=

+=

+=

+==

indicatorii marginali:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ρ

ρρρρρρ

ρρ

ρρρ

ρ

ρρρρρρ

ρρ

η

ρρ

η

−−−

−−

−

−−

+=⋅⋅+=∂

∂=

+=

+=⋅⋅+=

∂∂

=

111/1

11

11/1

11,

11,

kLLKL

LKf

kK

LKKLKK

LKf

L

K

indicatorii procentuali (elasticităţile):

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ρρρ

ρρ

ρ

ρρρ

ρρ

ρ

η

η

−−

−−

−−

−−

+=

+

+==

∂∂

=

+=

+

+==

∂∂

=

kkk

wLLKf

LLKfE

kkk

wKLKf

KLKfE

L

LL

K

KK

11

11,

:,

11

11,

:,

/1

1

/1

1

rata marginală de substituţie tehnică:

( ) ( ) 11

/,:, −

−

=

==

∂∂

∂∂

= ρρ

ηη k

LK

LLKf

KLKfRMST

L

KLK

e) elasticitatea ratei marginale de substituţie:

( ) ( ) 1: −=∂

∂= ρσ

kkRMST

kkRMST

Observaţie

Denumirea funcţiei (C.E.S. – Constant Elasticity of Substitution) provine din faptul că σ este constant, respectiv are valoarea 1−ρ . Propunem ca studiu de caz determinarea indicatorilor funcţiei CES cu doi factori în cazul general:

Y = A⋅ ( ) ρρρ βα1

−−− + LK


1.4. Proprietăţi speciale

1.4.1 LEMA SHEPARD (pentru funcţii de producţie)

Funcţiile de producţie liniar omogene (omogene de gradul I) sunt concave.

Fie ( )xf o funcţie de producţie, ℜ→ℜ+nf : , continuă, strict

crescătoare şi strict cvasiconcavă pe n+ℜ , iar ( ) 00 =f şi omogenă de gradul 1.

Atunci ( )xf este o funcţie concavă în x .

Demonstraţie.

Fie 0,0,, 2121 ⟩⟩⟩⟩ℜ∈ ++ xxxx n şi ( ) ( )2211 , xyyxfy == . Atunci 0, 21 >yy (deoarece ( ) 00 =f şi f este strict crescătoare). Cum f este omogenă de grad 1 (adică ( ) ( )xfxf λλ = ):

12

2

1

1

=

=

yxf

yxf

Cum f este (strict) cvasiconcavă, avem:

( ) ( ) [ ] ( )∗∈∀≥

−+ 1,0,11 2

2

1

1

tyxt

ytxf

Alegem un 21

1*

yyyt+

= (şi

+

=− 21

2*1

yyy

t

Atunci din ( )∗ rezultă:

121

2

21

1

≥

++

+ yyx

yyx

f ( )∗∗

Din omogenitatea liniară a lui ( )xf şi din ( )∗∗ rezultă că:

( ) ( ) ( )212121 xfxfyyxxf +=+≥+ ( )∗∗∗

Relaţia ( )∗∗∗ este adevărată pentru orice 1x şi 02 ⟩⟩x . Dar, din conti-nuitatea funcţiei ( )xf , rezultă că este adevărată pentru orice 1x şi 02 ≥x .

Pentru a completa demonstraţia, vom considera 01 ≥x şi 02 ≥x , şi [ ]1,0∈t . Vom avea:

−=−⋅=⋅

)()1())1(()()(

22

11

xftxtfxftxtf

(din omogenitatea liniară a funcţiei f )


De aici, conform ( )∗∗∗ rezultă că:

( )( ) ( ) ( ) ( )2121 11 xftxtfxttxf −+≥−+ q.e.d.

Observaţie

Interpretarea Lemei Shepard este următoarea: producţia (optimală) a unei firme ce utilizează cantitatea de factori de producţie 21 xx + este mai mare (cel mult egală) cu suma producţiilor ce sunt realizate de două firme ce utilizează cantităţile 1x , respectiv 2x de inputuri.

Astfel spus, agregarea inputurilor conduce la un output mai mare decât din utilizarea unor inputuri de acelaşi nivel dar pe părţi componente.

1.4.2 Randamentele la scală ale funcţiilor de producţie În multe analize timpul este unul din factorii esenţiali. Astfel, atât

analizele microeconomice cât şi cele macroeconomice consideră timpul la două nivele distincte: pe termen scurt (short run) şi respectiv pe termen lung (long run).

Analizele pe termen scurt presupun (în termenii teoriei producătorului) că cel puţin unul dintre inputuri este fixat în acea perioadă, iar outputul poate fi modificat doar prin variaţia celorlalte inputuri.

Pe termen lung firma îşi poate varia toate inputurile. Randamentul la scală al unei firme (pe o anumită perioadă) va arăta

modul în care variază outputul ca răspuns la variaţia inputurilor. Astfel, pe termen scurt vor varia doar inputurile nefixate, iar rezultatul

variaţiei acestora se va concretiza în variaţia outputului. Pe termen lung se vor varia toate inputurile cu aceeaşi proporţie şi de

aici va rezulta variaţia outputului. În raport cu această variaţie a outputului există trei tipuri de funcţii de

producţie, respectiv cele cu randamente descrescătoare la scală, cu randamente constante la scală şi cu randamente crescătoare la scală.

De asemenea, analizele pot fi efectuate atât la nivel global (pentru întreg domeniul de definiţie), cât şi local, în anumite puncte). Astfel, vom avea:

Definiţia 1.2. Randamente globale la scală:

O funcţie de producţie ( )xf poate avea următoarele tipuri de randamente (globale):

- randamente constante la scală dacă ( ) ( ),xtftxf = ( ) ,0⟩∀ t şi ( ) nx +ℜ∈∀ ;

- randamente crescătoare la scală dacă ( ) ( ),xtftxf ⟩ ( ) ,1⟩∀ t şi ( ) nx +ℜ∈∀ ;


- randamente descrescătoare la scală dacă ( ) ( ),xtftxf ⟨ ( ) ,0⟩∀ t şi ( ) nx +ℜ∈∀ .

Observaţii

1. O funcţie de producţie va avea randamente constante la scală doar dacă este o funcţie omogenă de grad I.

2. Alte interpretări ale tipurilor de randamente la scală sunt următoarele:

a) pentru o funcţie cu randamente constante la scală o creştere cu un procent a tuturor inputurilor va conduce la creşterea tot cu un procent a outputurilor.

b) în cazul unei funcţii cu randamente crescătoare la scală, creşterea cu un procent a inputurilor va conduce la o creştere mai mare de un procent a outputului

c) pentru funcţiile cu randamente descrescătoare la scală, creşterea cu un procent a inputurilor va conduce la creşterea outputului dar cu mai puţin de un procent a outputului.

Multe dintre funcţiile de producţie ce satisfac Ipoteza 4 (de cvasiconcavitate) nu pot fi separate în cele trei categorii descrise anterior deoarece au comportamente diferite (constante, crescătoare sau descrescătoare) în raport cu nivele diferite ale outputurilor. Astfel, pentru a putea descrie aceste funcţii avem nevoie de o măsură locală a randamentelor la scală.

Această măsură se mai numeşte şi elasticitatea scalei sau elasticitatea generală a outputului:

Definiţia 1.3. Randamente locale la scală:

Elasticitatea scalei de fabricaţie în punctul nx +ℜ∈ este:

( ) ( )[ ] ( )

( ) ( )∑∑

=

=

→=

⋅==

n

iix

n

iii

txE

xf

xxf

tdtxfdxE

1

1

1 lnlnlim

Astfel: a) dacă ( ) 1=xE atunci funcţia de producţie are randamente (locale)

constante la scală; b) dacă ( ) 1⟩xE atunci avem randamente crescătoare la scală; c) dacă ( ) 1⟨xE atunci avem randamente descrescătoare la scală. Astfel, funcţia de producţie reprezentată în figura 1.5 are toate cele trei


tipuri de randamente la scală:

Astfel, dacă [ ]*,0 xx i ∈ atunci funcţia de producţie are randamente crescătoare la scală, dacă *xx i = atunci avem randamente constante (local) la scală iar dacă *xx i ⟩ atunci funcţia de producţie are randamente descrescătoare la scală.

1.4.3 Exemple

Exemplul 1.7. Fie funcţia de producţie de tip Cobb-Douglas:

( ) nini

n

ixxxAxAxf αααα ⋅⋅⋅=Π⋅=

=K21

211

Pentru funcţia Cobb-Douglas am văzut că elasticităţile sunt iα , respectiv:

( ) ( ) ( ) ( )

∂∂

==ii

iii xxf

xxf

xExE :α

deoarece ( ) ( )∑ ∑= =

==n

i

n

iiixExE

1 1

α .

Astfel, din punct de vedere local vom avea următoarele tipuri de randamente la scală:

a) Dacă ∑=

⇒=n

ii

1

1α randamente constante la scală.

b) Dacă ∑=

⇒⟩n

ii

1

1α randamente crescătoare la scală.

c) Dacă ∑=

⇒⟨n

ii

1

1α randamente descrescătoare la scală.

A

xiη

( )xfixxi =η

*x 0 ix

Figura 1.5


Pentru funcţia Cobb-Douglas randamentele globale şi cele locale coincid.

Astfel:

( ) ( ) ( )xftxAttxAtxf

n

ii

n

ii

in

ii

n

i

⋅∑

=Π⋅⋅∑

=⋅= ==

==∏ 111

111

αα

αα

Deci, dacă ∑=

=n

ii

1

1α avem randamente globale constante la scală, iar

dacă ∑=

⟩n

ii

1

1α avem randamente crescătoare la scală, respectiv dacă ∑=

⟨n

ii

1

1α

rezultă randamente descrescătoare la scală. Exemplul 1.8.

Funcţia C.E.S. are randamente globale constante la scală:

( )

( ) ( ) ( )xftxtxttxtxf

xxf

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

⋅=

=

=

=

=

−

=

−−

=

−−−

=

−

−

=

−

∑∑∑

∑ρ

ρρ

ρρρ

ρ

ρρ

/1

1

/1

1

/1

1

/1

1

Exemplul 1.9.

Fie funcţia de producţie:

( ) ( ) 1211 −−−+= βα xxkxf , cu 0, ⟩βα ,

iar k nivelul superior al outputului ce poate fi obţinut, adică ( ) kxf ≤≤0 . Vom determina nivelul local al randamentelor la scală pentru funcţia de

producţie dată: Elasticităţile celor două inputuri sunt:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) βαβα

βαβα

β

α

−−−−

−−−−

+=∂∂

=

+=∂∂

=

212122

2

212111

1

1:

1:

xxxxx

xfxxf

xE

xxxxx

xfxxf

xE

De aici:

( ) ( ) ( ) ( )( ) βαβαβα −−−− ⋅++=+= 212121 1 xxxxxExExE ,

care variază în raport cu ( )21 , xxX = , deci vom avea randamente la scală diferite în raport cu nivelul inputurilor (deci şi al outputului). Observăm că


( )121 −=−−

xfkxx βα , şi dacă notăm ( ) 121 −=⇒= −−

ykxxyxf βα

deci:

( )

−=

kyxE 11 α

( )

−=

kyxE 12 β

De aici:

( ) ( )

−+=

ky

xE 1βα

Este evident că atât în raport cu fiecare input, cât şi pentru întreaga funcţie de producţie, randamentele la scală descresc pe măsură ce inputul creşte.

Pentru ( ) ( ) 0,0 ⟩+== βαyEy Pentru ( ) 0, →→ yEky Dacă 1>+ βα atunci avem: randamente crescătoare la scală pentru

+

−∈βα

11,0 ky .

- randamente constante la scală pentru

+

−=βα

11ky

- randamente descrescătoare la scală pentru

+

−∈ kky ,11βα

.

1.4.4 Legea proporţiilor variabile Legea proporţiilor variabile este în esenţă o reglementare a legii

productivităţii marginale descrescătoare, dar pentru un caz mai general. Interpretarea acesteia este următoarea: dacă vom creşte succesiv un input (cu cantităţi constante), păstrând celelalte inputuri fixate, atunci în prima fază vom înregistra o creştere a producţiei mai mare decât creşterea inputului, iar după aceea creşterile outputului vor fi mai mici decât creşterea inputului.

Legea proporţiilor variabile.

Fie ( )xf o funcţie de producţie. Atunci pentru fiecare input ix există un nivel ix astfel încât:

a) dacă ii xx ⟨≤0 atunci ( ) 1⟩ixE


b) dacă ii xx = atunci ( ) 1=ixE

c) dacă ii xx ⟩ atunci ( ) 1⟨ixE

În figura 1.6. este reprezentată grafic o asemenea funcţie de producţie: Productivitatea medie reprezintă panta razei ce uneşte originea cu

punctul ( )*ix xf

i. Productivitatea medie este maximă atunci când este egală cu

productivitatea marginală, (raza este tangentă la curba f (xi)). Condiţia de maxim pentru productivitatea medie este:

( )

( ) ( )( ) ( )

⇒=

−=

−⋅

⟩=⟨=∂

∂

01

0

12

1

ix

ii

ix

i

i

xxf

xfxx

xfxxf

xx

xf

i

i

( ) ( )xfx

xfix

i

1=

(productivitatea medie este egală cu productivitatea marginală - punctul B din figura 1.6 ).

ixw ( )*

ix xwi

ixη

ixη

ix *ix

ix

Figura 1.6. Legea proporţiilor variabile

B

A


Până în punctul A avem o productivitate marginală crescătoare în

raport cu ix (avem ( )

02

2

≥∂

∂

ixxf

), iar după punctul A avem o productivitate

marginală descrescătoare ( )

⟨

∂∂

02

2

ixxf

.

Unii economişti denumesc zona de utilizare a inputurilor dintre 0 şi B – “primul stadiu al producţiei”, iar zona care urmează “al doilea stadiu al producţiei”. Punctul B mai este denumit “marginea extensivă” a producţiei.

1.4.5 Măsurarea gradului de substituire a factorilor Proprietatea de substituţie a factorilor este fundamentală în analiza

neoclasică dar nu poate fi considerată o lege economică. Există şi funcţii de producţie cu factori complementari, în care outputul nu poate fi obţinut decât dacă există toate inputurile (funcţia de producţie Leontief). Totuşi, pentru funcţiile de producţie neoclasice, gradul în care inputurile pot fi substituite este un indicator important pentru decidenţi.

Definiţia 1.4.

Vom numi input limitativ acel input a cărui creştere reprezintă o condiţie necesară (dar nu şi suficientă) pentru ca outputul să crească.

În termenii descrişi de funcţia Leontief:

( ) ( )( )nn xxxxf βββ ,,,min 2211 K=

toţi factorii pot fi consideraţi limitativi. Fie ( ) ( ) yxfxyV == mulţimea care descrie limita inferioară a

outputului. Dacă funcţia de producţie ( )xf este strict monotonă şi derivatele parţiale de ordinul i nu se anulează atunci se pot rezolva ecuaţia ( ) yxf = şi să se obţină soluţia *x .

( ) ( ) nixxxxxgx niiii ,1,,,, 11141* =∀−−= +− de aici rezultă ea.

( ) ( ) nixxxxfy ni ,1,,,,,, *21 =∀= KK (1)

Pentru a determina modificarea inputului ix în raport cu modificarea inputului jx (dacă outputul şi celelalte inputuri rămân nemodificate) atunci vom deriva ( )f în raport cu jx , şi vom obţine:

( ) ( )0=

∂∂

+∂∂⋅

∂∂

jj

i

i xxf

xx

xxf


De aici rezultă că:

( )( ) i

j

j

i

xxfxxf

xx

∂∂

∂∂−=

∂∂

,

care reprezintă tocmai rata marginală de substituţie tehnică. Elasticitatea ratei marginale de substituţie tehnică (directă) a fost

introdusă pentru prima dată de Hicks (1963). Aceasta este:

( )( )

( ) ( )ij

ji

ji

ij

xxxfxf

ffxxd

⋅∂

=σ ( ) ( )

∂∂

=i

i xxf

xfcu

În figura 1.7 este descrisă elasticitatea substituirii din punct de vedere geometric:

În punctul iniţial, raportul dintre inputuri se situează în punctul C, iar RMST este dată de panta tangentei la izocuanta ce trece prin punctele C şi B (respectiv dreapta CB). Dacă raportul dintre inputuri se va modifica, ajungând în punctul D, atunci RMST va fi panta tangentei la izocuanta ( ) yxf = în punctul D, respectiv AD. Elasticitatea substituirii σ este o măsură a curburii

( ) yxf = , iar ( )( ) ( )( )xfxfd

xxd

21

12 este dat de raportul ∆∆k .

Nu există un consens în ceea ce priveşte indicatorul ce poate măsura gradul de substituire între inputuri.

x2

C

x1

∆k ∆

B

A

Dy1

Figura 1.8. Elasticitatea substituirii


Cea mai frecventă utilizată definiţie este cea a elasticităţii directe a substituirii (care a fost dată anterior).

Mai există însă şi alte definiţii din care amintim:

Elasticitatea parţială a substituirii a lui Allen:

( )

FF

xx

xfxij

ji

n

iii

Aij ⋅=

∑=1σ ,

unde - F este determinantul matricei Hessiene asociat funcţiei de producţie

f , bordate cu derivatele parţiale de ordinul I.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

=

xfxfxf

xfxfxfxfxfxfxf

F

nnnn

n

n

KK

MM

K

K

1

112111

210

,

Atât elasticitatea directă a substituirii cât şi elasticitatea Allen a substituirii sunt măsuri simetrice ale gradului de substituire între două inputuri.

Pentru o funcţie de producţie cu doar două inputuri, cele două măsuri sunt egale.

Observaţii.

1. Dacă elasticităţile substituţiei sunt negative, atunci inputurile sunt complementare, iar dacă sunt pozitive, atunci inputurile sunt substituibile.

2. În practică, cel puţin una dintre elasticităţi trebuie să fie pozitive, adică un factor de producţie nu poate fi complementar cu toţi ceilalţi.

Elasticitatea substituirii factorilor Morishima:

( ) ( )FF

xxf

FF

xxf ij

j

jij

i

iMij ⋅−⋅=σ

Legătura dintre elasticităţile Morishima şi Allen este dată de:

( )( )

( )jjAij

ii

jjMij xxf

xxfσσσ −

⋅

⋅=

Observaţii:

- Mijσ nu este simetrică;

cu ( ) ( )i

i xxf

xf∂∂

= şi

( ) ( )ji

ij xxxfxf

∂∂∂

=2


- o pereche de inputuri ( )ji xx , ar putea fi complementare dacă sunt definite prin intermediul măsurii Allen, iar prin cel al măsurii Morishima - substituibile ( 0⟨A

ijσ dar 0⟩Miσ );

- dacă două inputuri sunt substituibile conform măsurii Allen ( 0⟩Miσ )

atunci întotdeauna ele vor fi substituibile şi conform măsurii Morishima dar ( 0⟨M

ijσ ). 1.5. Identificarea funcţiilor de producţie şi a progresului

tehnic 1.5.1. Cadrul conceptual Specificul activităţilor fiecărei firme sau calitatea managementului, a

structurii tehnice pe categorii şi vârste de utilaje, calitatea forţei de muncă angajate şi capacitatea de reacţie la factorii de mediu ne conduc la ideea că există o mare diversitate de funcţii de producţie, practic fiecare firmă având o funcţie proprie de producţie. Aceasta, nu atât în privinţa parametrilor diverselor tipuri de funcţii – parametrii a căror valoare se estimează prin metoda celor mai mici pătrate, cât a formei acestor funcţii, care poate fi specificată prin diferite metode. În practică, cel mai adesea se utilizează funcţia Cobb-Douglas, deşi alegerea ei nu are nici un fundament legat de specificul activităţilor cercetate. De aceea, ne propunem să găsim, în funcţie de particularităţile acestor activităţi forma funcţiei de producţie prin care pot fi specificate, formă care permite aprecierea că aparţine unei anumite clase de funcţii elementare: funcţia Cobb-Douglas, funcţia CES, funcţia VES, etc.

Metoda identificării funcţiei de producţie pentru un anumit producător (sau agregat, la nivelul ramurii sau economiei naţionale) se fundamentează pe cercetarea fenomenologică: determinarea statistică a celor mai stabile corelaţii între indicatorii (medii, marginali, de substituţie şi elasticităţi) activităţii şi pe această bază, deducerea funcţiei de producţie, prin algoritmul:

- pasul 1: determinăm o corelaţie stabilă între indicatori. Această core-laţie se exprimă printr-o ecuaţie diferenţială, în care variabila este, de regulă, productivitatea muncii. Această corelaţie este o ecuaţie diferenţială.

- pasul 2: integrăm această ecuaţie şi obţinem funcţia de producţie cu sau fără progres tehnic.

Prin metoda identificării avem posibilitatea deducerii diverselor clase de

funcţii de producţie. Pe această bază, în practică, putem folosi două metode


pentru specificarea funcţiei de producţie: Metoda I: rezultă direct din algoritmul de identificare a funcţiei de

producţie, bazat pe cercetarea fenomenologică a corelaţiilor fundamentale. Metoda II: Se utilizează N clase de funcţii de producţie cunoscute, cu

sau fără progres tehnic (Cobb-Douglas, Cobb-Douglas generalizată, CES, VES, Sato, etc.) şi pe bază datelor statistice se alege cea mai bună sub aspectul indicatorilor de testare statistică şi a respectării legităţilor economice fundamentale.

Evident, a doua metodă este mai restrictivă faţă de prima, întrucât aplicând prima metodă putem obţine o funcţie de producţie ce nu aparţine nici uneia din clasele de funcţii prestabilite în metoda a doua.

Pentru aplicarea metodei I sintetizăm indicatorii funcţiei de producţie ).( LKFY = în varianta că este cu randamente constante la scală, adică gradul

de omogenitate este 1=ρ , deci verifică cerinţa:

1),,(),( ≥∀= λλλλ ρ LKFLKF .

Luând L1

=λ şi notând )1,()(LKFkf = unde

LKk = este înzestrarea

tehnică a muncii, deducem că LYkf =)( - este productivitatea medie a muncii,

)(kfwL = . Consecinţă: funcţia de producţie se determină imediat cunoscând funcţia

f(k), din )(),( kfLLKFy ⋅== . Ceilalţi indicatori se deduc din această relaţie, conform definiţiei lor din

1.3.

- Randamentul mediu al capitalului: kkfwK

)(=

- Indicatori marginali:

- productivitatea marginală L

kfLLF

L ∂⋅∂

=∂∂

=))((η

Găsim: )()( kfkkfL ⋅−=η

- randamentul marginal al capitalului: K

kfLKF

K ∂⋅∂

=∂∂

=))((η ⇒

)(' kfK =η Cum ceilalţi indicatori (elasticităţi, RMST, coeficientul elasticităţii


RMST) se deduc din indicatori medii şi marginali, obţinem tabelul indicatorilor: Tabelul 1.

Factori Indicatori tL tK

Medii )(kfwL = kkfwK

)(=

Marginali )(')( tttL kfkkf ⋅−=η )(' kfK =η

Elasticităţi* )()('1

kfkfk

wE

L

LL ⋅−==

η)()('

kfkfk

wE

K

KK ⋅==

η

RMST dLdKrk

kfkfr

K

L −=−== ,)(')(

ηη

Coeficientul elasticităţii ')(

1rk

rrE ⋅

==σ

*Considerăm r – valoarea absolută, dLdkr = , când evident de-a lungul

izocuantei Y = fixat, dK > 0, dL<0.

Observaţii: 1) În cazul general când gradul de omogenitate este ρ deducem simi-

lar, că funcţia de producţie este )(kfLY ⋅= ρ . În consecinţă:

- indicatorii medii sunt: kkfLwkfLw KL

)(),( 11 ⋅=⋅= −− ρρ

- indicatorii marginali:

)(')],(')([ 11 kfLkkfkfL KL ⋅=−= −− ρρ ηρη

Elasticităţile: )()(',

)()('

kfkfkE

kfkfkE KL =−= ρ

RMST: kkfkfr −⋅=

)(')(ρ şi coeficientul elasticităţii

'krr

=σ având

aceeaşi expresie, dar valoarea dependentă de ρ . 2) Se constată că faţă de cazul particular al funcţiei omotetice ( 1=ρ ),


în cazul general, indicatorii medii şi marginali se obţin din cei corespunzători acestui caz, prin multiplicarea cu 1−ρL . Este modificată expresia elasticităţii

producţiei în raport cu munca, în loc de )()('1

kfkfkEL ⋅−= avem

)()('

kfkfkEL ⋅−= ρ şi de asemenea RMST este k

kfkf

−⋅)(')(ρ în loc de

kkfkf

−)(')( .

Ca o consecinţă, suma elasticităţilor este ρ=+ KL EE atât în cazul general cât şi în cel particular când 1=ρ .

1.5.2. Identificarea funcţiilor de producţie fără progres tehnic Obiectivul este determinarea expresiei funcţiei:

ttt YLKFRRF =→ ),(,: 2

Considerăm cazul particular când F este cu randamente constante la scală ( 1=ρ ). Cazul general nu prezintă dificultăţi de abordare, fiind posibil studiul în mod similar, conform rezultatelor din observaţia 1) de mai sus.

Cercetăm câteva variante privind specificarea statistică a corelaţiei stabile posibile între indicatori.

A. Funcţii induse de forma elasticităţilor Datele statistice evidenţiază o expresie statistică stabilă a elasticităţii în

raport cu munca )( tL khE = , unde RRh →: este o funcţie elementară – liniară, parabolică, hiperbolică, logaritmică, exponenţială, etc., conform metodologiei statistice de specificare, estimare şi testare parametrică şi de concordanţă. Alegerea expresiei h(k) se face în primul rând pe baza distribuţiei ansamblului de puncte (k, EL) de-a lungul orizontului statistic (figura 9.a, b).

EL

k

h(k) = const.

a)

EL

k

h(k)

b)

Figura 9


Conform tabelului, folosind expresia elasticităţii, deducem ecuaţia diferenţială:

kkh

kfkf )(1)()(' −= (1.5.1)

Prin integrare, obţinem:

∫ ∫−

= dkk

khdkkfkf )(1)()('

adică:

CkHkkf +−= )(ln)(ln (1.5.1’)

unde H(k) este primitiva ∫= dkkkhH )( şi C = constanta de integrare.

Deducem expresia productivităţii muncii:

)()( kHeAkkf −⋅=

şi în consecinţă, forma funcţiei de producţie ⇒⋅= )(kfLY

)(

),( lKH

eAKLKF−

⋅= (1.5.1”)

Situaţii concret posibile:

A1) kkh βα +=)( - deci o dependenţă liniară (care cuprinde şi cazul h(k) = constant, când 0=β ).

Primitiva ∫ ∫ +=+

== kkdkk

kdkkkhkH βαβα ln)()(

deci

⇒⋅= +− )ln(),( kkeAKLKF βα keLAKLKF βαα −− ⋅= 1),( (1.5.1.a)

care este funcţia Cobb-Douglas generalizată. Se constată că atunci când 0=β (deci elasticitatea ==αLE constant, 0>α ), se obţine funcţia Cobb-Douglas clasică.

Aşadar, se delimitează deja o condiţie suficientă de aplicare a funcţiei Cobb-Douglas şi anume când elasticitatea în raport cu unul din factori este constantă. Dacă elasticitatea este liniară cu panta β , în raport cu dotarea tehnică per capita, specificarea prin funcţia Cobb-Douglas nu este corectă, adevărata funcţie fiind (1.5.1.a).


A2) Dependenţe neliniare: cazurile când:

i) 1,)( ≠+= βγα βkkh ii) kkh ln)( = şi

iii) βγα

+−

=kkkh )()(

Indicaţie: În cazul i) deducem funcţia de producţie β

βα

γαk

eLKALKF−

− ⋅⋅= 1),( (1.5.1.b)

adică o funcţie cvasi-Cobb-Douglas când 0≠γ şi

ββα

αk

eLKALKF−

⋅⋅⋅=),( - când 0=γ .

ii) Găsim primitiva kH 2ln21

= şi ecuaţia (1.5.1’) ne conduce la funcţia

de producţie: kk LAKLKF lnln1),( −= (1.5.1.c)

care este funcţia Cobb-Douglas cu elaticităţi variabile.

iii) Găsim primitiva ββ

αγβα+

−+=k

kkH ln)ln( şi funcţia de

producţie

)1(1

)(),( βγ

ααβ

αγ

β+−+

+⋅⋅⋅= LKLKALKF (1.5.1.d)

o funcţie de tip cvasi-Cobb-Douglas.

Observaţii: 1. Aceeaşi metodologie se aplică şi în cazul general când nu pornim cu

ipoteza apriori că funcţia de producţie este cu randamente constante la scală, ci are gradul de omogenitate ρ . Ecuaţia (1.5.1) devine:

k

khkfkf )()()(' −=ρ (1.5.1.g)

care se integrează. Studii de caz: reluaţi situaţiile concrete de mai sus privind forma

funcţiei h(k) şi refaceţi calculele în cazul general, folosind (1.5.1.g). Interpretaţi rezultatele găsite.


2. Există o mare diversitate de forme de funcţii de producţie rezultate din forma funcţiei h(k).

3. Similar se procedează dacă folosim elasticitatea capitalului )(khEK = . Reluaţi şi în această variantă cercetarea când h(k) este de tip A1)

sau A2), liniară sau neliniară.

B. Funcţii induse de forma randamentelor marginale

Datele statistice evidenţiază dependenţa productivităţii marginale de productivitatea medie, ++ →= RRhkwhk LL :)),(()(η . Această dependenţă are la bază ideea că în condiţiile deciziei optime (privind maximizarea profitului sau minimizarea costurilor) la firmă, găsim*) LL c⋅= λη (unde cL = salariul nominal – reprezintă costul muncii şi λ multiplicatorul Lagrange). Ori, este binecunoscută legitatea economică a concordanţei între salariu şi productivitatea muncii; în consecinţă funcţia h este monoton crescătoare şi concavă.

În concluzie, deducem ecuaţia diferenţială:

))(()(')( kfhkkfkf =− (1.5.2)

cu variabile separabile, care prin integrare devine:

∫ ∫=− kdkdk

kfhkfkf

))(()()(' (1.5.2’)

Notăm G(f(k)) primitiva din stânga şi obţinem:

G(f(k)) = ln Ak unde A – constantă de integrare.

Deoarece f(k) > h(f(k)) din conţinutul economic (productivitatea>salariul) rezultă că G este monoton crescătoare, deci inversabilă (pe codoemniul său), deci

)(ln)( 1 AkGkf −= (1.5.2”)

de unde, funcţia de producţie este:

)(ln),( 1 cLKGLLKF +⋅= − (1.5.2”’)

în care c = lnA.

Expresii concrete:

b1) Funcţia h este liniară: βα += )())(( kfkfh , cu )1,0(∈α , adică

*) vezi Capitolul II


salariul creşte proporţional cu productivitatea. Găsim:

∫ −−−

=−−

= ])()1ln[(1

1)()1(

)('))(( βααβα

kfdkkf

kfkfG .

Deci ecuaţia (1.5.2’) devine:

ckkf +−=−− ln)1(])()1ln[( αβα (c = constantă)

adică αβα −⋅=−− 1)()1( kAkf (A = constantă)

Găsim:

)(1

1)( 1 αβα

−+−

= Akkf ,

deci funcţia de producţie este:

αα

ααβ LKALLKF −

−+⋅

−= 1

11),( (1.5.2.a)

adică un tip nou, o combinaţie liniară între Cobb-Douglas şi o funcţie liniară în L. Dacă 0=β se regăseşte Cobb-Douglas.

b2) Funcţia h este neliniară: 0,10),( ><<= αβα β kfh , concavă. Corespunde ipotezei că salariul creşte o dată cu creşterea productivităţii, dar cu un ritm mai mic.

De exemplu, )()( kffh α= . În acest caz primitiva G va fi:

∫ −=−

= )ln(2')( αα

fdkff

ffG .

Deci ecuaţia (1.5.2’) devine:

kAfq ln)ln( =−α (A = constantă)

Expresia productivităţii muncii este în acest caz:

2)()( αν += kkf cu 2A

=ν

deci funcţia de producţie va fi: 21 )(),( ννν αLKLLKF q +⋅= − (1.5.2.b)

o formă cu totul neaşteptată, provenită dintr-o ipoteză foarte realistă.


Propunem ca exerciţiu rezolvarea în cazul general*) )1,0(∈β şi particularizarea când 3/2=β şi 4/3=β .

Observaţii: 1. Similar se poate formula abordarea în cazul genaral când 1≠ρ .

Propunem ca studiu de caz analiza în cele două situaţii b1) şi b2). Indicaţie: În cazul când dependenţa este liniară, obţinem ecuaţia

diferenţială:

1)()(')( −+=− ρ

βαρL

kfkkfkf

şi după integrare, funcţia de producţie:

ααρ

αρβ LaKLLKF −+⋅−

=),( (1.5.2.a’)

2. O abordare similară se aplică atunci când se analizează corelaţia între randamentul marginal şi randamentul mediu al capitalului, )( KK wh=η , din care deducem ecuaţia diferenţială (EDVS)*) când 1=ρ :

))(()('kkfhkf =

Propunem ca studiu de caz detalierea calculelor şi deducerea funcţiei de producţie când h(wK) este liniară, respectiv neliniară, de aceleaşi forme ca mai sus. Aceeaşi procedură, când 1≠ρ .

C. Funcţii induse de forma RMST

O a treia categorie vizează analiza statistică a RMST prin care se evidenţiază dependenţa de înzestrarea tehnică:

)()(')()( khk

kfkfkhr =−⋅⇒= ρ (1.5.3)

unde, pentru 1=ρ , regăsim cazul particular al funcţiei cu randamente constante la scală. Obţinem:

)()()('

khkkfkf

+=

ρ (1.5.3’)

*) Se obţine o integrală de tip Cebâşev şi se face schimbarea de variabilă uf =−β1 , etc. *) EDVS – ecuaţie diferenţială cu variabile separabile.


şi integrând, rezultă: )()( kHAekf = (1.5.3”)

unde A = constantă şi ∫ += dk

khkkH

)()( ρ

Funcţia de producţie va fi: )(),( kHeLALKF ⋅⋅= ρ (1.5.3”’)

Studiem cazul concret când:

c1) funcţia h este liniară: βα += kkh )(

Deducem:

]1

ln[1)1(

)(αβ

αρ

βαρ

++

+=

++= ∫ kdk

kkH

Deci, conform (1.5.3”), obţinem:

αρ

αρ

βααβ ++ ++=+

+= 11

1 ])1[(]1

[)( kAkAkf

şi funcţia de producţie:

αρ

ααρ

βα ++ ++⋅⋅= 11 ])1[(),( LKLALKF (1.5.3.a)

Dacă 0=α , situaţie ce corespunde ipotezei că RMST = β =constant,

care reflectă conţinutul economic că la optim ===K

L

K

L

ccr

ηη

constant

(indexarea perfectă*) a costurilor factorilor cu rata inflaţiei), obţinem:

0,][),( >+⋅= ρβ ρLKALKF .

Pentru 1=ρ , aceasta este o funcţie liniară de producţie, iar 1≠ρ , este o funcţie particulară CES.

c2) Studiu de caz propus: analizaţi cazul când kekh k γα β +=)( .

*) În realitate, salariile nu sunt indexate perfect cu rata inflaţiei, ceea ce face ca

K

L

cc

să fie

funcţie de timp, deci ),( tkhr = , situaţie ce va fi studiată la identificarea progresului tehnic.


D. Funcţii induse de expresia elasticităţii de substituţie A patra categorie vizează cercetarea pe date statistice a dependenţei

între coeficientul elasticităţii de substituţie şi înzestrarea tehnică per capita:

)(kg=σ , adică )()('

)( kgkrk

kr=

⋅ (1.5.4)

Deducem EDVS:

kkgrr

⋅=

)(1'

care prin integrare conduce la o expresie a RMST: )()( kGAekr = (1.5.4’)

unde ∫= dkkkg

G)(

1 .

În continuare, intrăm în tipologia problemei de la punctul anterior c). d1) Astfel, în cazul când =σ constant (adică de tip CES), obţinem:

kdkk

kG ln11)(σσ

== ∫ , deci σ1

)( Akkr = .

Notăm νσ

=1 şi conform (1.5.3’) deducem EDVS:

ν

ρAkkkf

kf+

=)()(' (1.5.4.a)

Calculăm primitiva

∫∫∫ +=

+=

+= −

−

−

−

− dkAk

kdkAkk

kdkAkk

H ν

ν

ν

ν

ν ρρρ11

1

1 ][]1[

]ln[1

1 Ak +−

= −ν

νρ , 1≠ν .

Deci (1.5.4.a) 11 ]ln[

1)(ln BAkkf ++

−=⇒ −ν

νρ , B1 = constantă de

integrare. Obţinem:

νρ

ν −− += 11 ][)( AkBkf , unde 1BeB = şi funcţia de producţie:


νρ

ν

ννρ −

−

−− +⋅⋅= 1

1

11

][),(L

ALKLBLKF

adică

νρ

νν −−− += 111 ][),( ALKBLKF

deci binecunoscuta funcţie CES, dacă luăm γν −=−1 :

0,][),( ≠+=−

−− γβα γρ

γγ LKLKF (1.5.4.b)

unde α şi β sunt constante (ale căror expresii pot fi obţinute din A şi B, dar nu ne interesează).

Cazul când 1=ν se deduce direct din (1.5.4.a):

1ln1

)(ln)1(

' BkA

kfAf

fk +

+=⇒

+=

ρρ

adică :

αραρ

−+ =⇒= LBKLKFBkkf A ),()( 1

deci o funcţie Cobb-Douglas (unde A+

=1ρα - constantă).

Deducem concomitent şi următoarea legitate:

Dacă elasticitatea RMST, 1→σ , funcţia CES devine o funcţie Cobb-Douglas. Deci funcţia Cobb-Douglas este un caz particular al funcţiei CES.

d2) Dacă ≠σ constant, obţinem funcţii de producţie de tip VES (Variable Elasticity of Substitution).

Astfel, funcţiile de producţie de tip Allen şi Sato sunt de tip VES. Într-adevăr, pentru funcţia Allen, avem:

kkkkA ⋅−

−−==

)())(()( 2 αβγ

βγαγσσ

iar pentru funcţia Sato:

233

33

)(5)2)(2(

21)(

βααβαββασσ

−−−−

==kk

kkkS ,

variabile în raport cu dotarea tehnică k, deci de tip VES.


Prin procedura de la punctul b) găsim funcţia Sato:

0,;),( 33

22

>+

= βαβα LK

LKALKF

şi funcţia Allen:

0,,2),( 22 >−−= βαβαγ KLKLLKF şi αβγ >2 .

Invers, pornind de la aceste funcţii obţinem imediat Aσ şi Sσ . 1.5.3. Specificarea progresului tehnic şi identificarea

funcţiilor de producţie cu progres tehnic neîncorporat

1.5.3.1. Indicatorii progresului tehnic

Problema definirii, a specificării şi cuantificării progresului tehnic este deosebit de complexă şi a generat o bogată literatură de specialitate, începând cu conceptul de progres tehnic neutral (Hicks-1932), extins la progres tehnic neîncorporat (de tip Harrod sau Solow), progres tehnic încorporat (de tip Solow sau Weiszacker), progres tehnic indus (de calitatea factorilor: Nelson sau Denison şi de experienţă: Arrow).

Într-o primă abordare, progresul tehnic poate fi considerat ca un factor care generează creşterea outputului în timp, chiar dacă volumul factorilor fizici (inputurilor) rămâne constant pe termen scurt. În consecinţă, putem folosi teoria funcţiilor de producţie, introducând ca factor de sine stătător, timpul t. Fie ),...,( 21

nn Rxxx +∈=Ω funcţia şi R×Ω=Ω ; specificăm funcţia de

producţie (monoutput) prin:

),,...,(,: 1 txxFYRF nt =→Ω + (1.5.5)

De exemplu, funcţia neoclasică cu progres tehnic va fi:

),,( tLKFY ttt = (1.5.5’)

unde F are proprietăţile cunoscute pe ),...( 1 nxx=Ω - adică pozitivitate, randamente marginale descrescătoare şi matricea hessiană negativ

(semi)definită, iar în raport cu t are proprietatea 0)(>

∂⋅∂

tF .

În consecinţă, pe lângă indicatorii prezentaţi în tabelul 1, paragraful anterior şi care aici vor fi de forma:

t

tKtt k

tkfwtkfw

),();,( ==


),(')();,('),()( tkfttkfktkft tKtttL =⋅−= ηη , etc.

deci conţin explicit variabila timp, se introduc şi doi indicatori specifici pentru a caracteriza efectul direct al celei de-a treia variabile, timpul t, deci a progresului tehnic:

- ritmul progresului tehnic:

tt

tttt Y

tY

tLKFt

tLKFT /),,(:

),,(∂∂

=∂

∂= (1.5.6)

- direcţia progresului tehnic:

),(),(

tkrtkr

Dt

t&= (1.5.7)

adică ritmul modificării în timp a coeficientului de substituire a factorilor (concret a muncii – forţa de muncă) cu cea materializată (stocul de bunuri de capital). Conţinutul economic al coeficientului D rezultă din ideea că în

condiţiile unui management optimal, avem K

L

K

L

cc

r ==ηη

, adică acţiunea

internă a firmei de substituire a muncii prin capital (dLdKr −= ), este indusă de

pieţele factorilor prin preţul relativ al acestor factori ( KL cc / ), deci D comensurează dinamica modificării la firmă a ratei de substituire ( r& ) în funcţie de variaţia preţului relativ al factorilor de producţie, preţuri fixate exogen*) pe pieţele acestor factori.

O importantă consecinţă a folosirii funcţiilor de producţie cu progres tehnic este aceea că putem cuantifica ritmul creşterii outputului:

)()(

)()(

)()(

tLtLE

tKtKET

tYtY

LK

&&&⋅+⋅+= (1.5.8)

adică LLKKY rErETr ⋅+⋅+= - ritmul creşterii producţiei este dedus ca o

combinaţie liniară (convexă – când funcţia este cu randamente constante la scală: 1=+ LK EE ) a ritmurilor de creştere a factorilor, la care se adaugă direct ritmul creşterii prin progresul tehnic.

Demonstraţia este imediată şi se deduce din derivata totală a funcţiei

*) Dacă wcL = = salariul nominal plătit de firmă, indicator clar formulat, pentru costul capitalului, vom face detalierea în capitolul 2, întrucât are o determinare complexă, având ca bază “costul de oportunitate al capitalului”.


),,( tLKF tt , ţinând seama de definiţia elasticităţilor. În aceste condiţii, ritmul progresului tehnic are o determinaţie

endogenă prin:

L

LL

K

KK EET

ηη

ηη &&

⋅+⋅= (1.5.6’)

deci este o combinaţie liniară între ritmurile de variaţie a randamentelor marginale, coeficienţii fiind elasticităţile celor doi factori. În consecinţă, ritmul de creştere a producţiei are o determinare complexă:

)()(LK

rrErrEr LLKKY ηη +++= (1.5.8’)

în care, pe lângă ritmul creşterii factorilor, o contribuţie importantă o are ritmul de variaţie al randamentelor marginale a factorilor, iar ponderile contribuţiilor acestora sunt elasticităţile producţiei în raport cu factorii respectivi. Însă, cum în condiţiile unui management optimal Lη şi Kη trebuie să răspundă cerinţelor induse de preţurile factorilor fixate exogen pe pieţele respective, ritmul producţiei (care este o decizie endogenă firmei) este influenţat în mare măsură de dinamica acestor preţuri, ceea ce reflectă un mecanism adaptiv al deciziilor la firmă în funcţie de influenţele exogene ale pieţelor factorilor.

1.5.2.2. Identificarea tipului de progres tehnic neîncorporat

În literatura de specialitate s-au conturat mai multe direcţii de cuantificare a progresului tehnic, după diverse criterii:

- dacă factorii de producţie sunt comensuraţi agregat, în sensul că nu ţinem seama de diversele generaţii din care provin, progresul tehnic este de tip neîncorporat pe generaţii de factori; în caz contrar, spunem că specificarea este de tip progres tehnic încorporat (vezi mai jos, modelele de tip Solow, respectiv Weizacker);

- dacă progresul tehnic acţionează în mod egal asupra factorilor de producţie, lăsând neschimbat (invariant) raportul randamentelor marginale ale factorilor, adică RMST – este invariantă în timp, avem de a face cu un progres tehnic neutral (în sens Hicks);

- dacă progresul tehnic acţionează în principal prin capital, efectul este creşterea randamentului marginal al acestuia, în detrimentul productivităţii muncii şi în consecinţă acest tip de PT este generator de economie de muncă vie (este tip progres tehnic neîncorporat – PTN de tip Solow);

- dacă acţiunea este inversă, când PT este generator de economie de capital, avem PTN de tip Harrod.

În consecinţă, identificarea progresului tehnic de tip neîncorporat sau neutral se fundamentează pe ideea că anumiţi indicatori sunt invarianţi în timp,


o idee foarte importantă pentru că introduce şi în problematica economică un mecanism specific ştiinţelor exacte, acela al identificării unor invarianţi.

A. Progres tehnic neutral de tip Hicks

Se fundamentează pe ipoteza că RMST este invariantă în timp şi depinde numai de dotarea tehnică per capita:

)(),( tt khtkr = (1.5.9)

Obţinem ecuaţia diferenţială:

)(1

),(),('

ttt

t

khktkftkf

+= (1.5.9’)

care prin integrare, dă:

)()(),(ln tckHtkf tt += (1.5.9”)

unde ∫ += t

ttt dk

khkkH

)(1)( - este o primitivă a membrului din dreapta al

ecuaţiei (1.5.9’) şi constanta de integrare este în acest caz o funcţie de timp c(t) şi constantă în raport cu variabila de integrare kt. Obţinem expresia productivităţii:

)()(),( tkHt etAtkf ⋅=

şi funcţia de producţie:

),()(),,( tttt LKGtAtLKF ⋅= (1.5.9”’)

unde )()( tcetA = şi )/(),( tLtKHttt eLLKG ⋅= , deci ritmul progresului tehnic

este )()(

tAtAT

&= şi în consecinţă funcţia de producţie cu PTN Hicks este:

),(),,( ttTt

tt LKGeAtLKF ⋅⋅= (1.5.9”’.a)

Aşadar, PTN Hicks acţionează concomitent prin cei doi factori şi nu potenţează doar unul dintre ei.

B. Progres tehnic neîncorporat de tip Solow

Are la bază ideea că randamentul marginal al muncii este invariant în timp, dar depinde de productivitatea medie a muncii:

)),((),( tkwhtk tLtL =η (1.5.10)


Economic, această cerinţă reflectă un comportament raţional al angajatorului privind negocierea salariului, în funcţie de productivitatea realizată de angajat, indiferent de momentul de timp (în ianuarie sau în decembrie, în anul acesta sau în anii următori). Aici trebuie observat că efectul inflaţiei în comensurarea indicatorilor se transmite prin nivelul nominal al productivităţii muncii, tLw , .

Înlocuind indicatorii din (1.5.10) cu expresiile lor, deducem EDVS:

ttt

t

ktkfhtkftkf 1

)],([),(),('

=−

(1.5.10’)

care prin integrare conduce la:

)],([)( tkfGktA tt =⋅

unde A(t) este constanta de integrare (faţă de variabila kt) şi

])],([),(

),('exp[)( ∫ −

=⋅ ttt

t dktkfhtkf

tkfG .

Din (1.5.10’) deducem expresia productivităţii muncii:

])([),( 1tt ktAGtkf ⋅= − (1.5.10”)

deci funcţia de producţie cu PTN de tip Solow este:

],)([])([),,( 1tt

t

tttt LKtAQ

LK

tAGLtLKF ⋅=⋅⋅= − (1.5.10”’)

care evidenţiază clar că PT acţionează prin intermediul capitalului, deci este generator de muncă vie.

C. Progres tehnic neutral de tip Harrod Are la bază ipoteza invarianţei în timp a randamentului marginal al

capitalului, dar depinde numai de randamentul mediu al acestuia:

)),((),( tkwhtk tKtK =η (1.5.11)

Se obţine ecuaţia diferenţială:

]),(

[),('t

tt k

tkfhtkf = (1.5.11’)

care prin integrare conduce la funcţia de producţie:

],)([),( ttt KLtAGtKF ⋅= (1.5.11”)


şi evidenţiază că PT acţionează prin intermediul muncii, fiind generator de capital. Acesta este PTN de tip Harrod.

Acestea sunt variantele devenite clasice ale progresului tehnic neîncorporat factorilor. Însă, pe acelaşi raţionament al invarianţei în timp al unor indicatori şi dependenţa acestora de alţi indicatori se deduc o multitudine de funcţii de producţie cu progres tehnic, de exemplu:

)],([),()],,([),( tkfhtktkfhtk ttttK == ση etc.

D. Studii de caz Identificaţi funcţia de producţie şi tipul progresului tehnic când:

a) RMST este invariantă în timp, dar dependentă liniar de înzestrarea tehnică: βα += tt ktkr ),( .

b) Aceeaşi problemă când αtt aktkr =),( .

c) Productivitatea marginală este invariantă în timp, dar depinde liniar de productivitatea muncii: βαη += ),(),( tkftk ttL .

d) Aceeaşi problemă, dar dependenţa este neliniară:

)),(),( tkftk ttLβαη =

şi concret,

)),(),( tkftk ttL αη =

e) Randamentul marginal al capitalului este invariant în timp şi este dependent liniar de randamentul mediu:

βαη += ),(),( tkwtk tKtK

f) Aceeaşi problemă, dar dependenţa este neliniară: βαη )],([),( tkwtk tKtK =

g) Coeficientul elasticităţii de substituţie este invariant în timp, dar depinde liniar de dotarea tehnică per capita:

βασ += tt ktk ),(

h) Elasticitatea în raport cu munca este invariantă în timp, dar este dependentă de dotarea tehnică per capita, dependenţa fiind:

)(),( ttL khtkE =

unde h(kt) sunt specificate prin expresiile i), ii), iii) de la punctul a2) din paragraful 1.5.2.


Indicaţie: a) βα += tt ktkr ),( conduce la EDVS (1.5.9’) care prin integrare dă:

∫ +++

= )()1(1),(ln tcdkk

tkf tt

t βα

adică:

αα βααβ ++ ++=+

+⋅= 11

1/11 ])1)[((]

1[)(),( ttt ktAktAtkf

unde αα ++

⋅=1

1)(

)1(

1)( tcetA .

Funcţia de producţie va fi:

),()(),,( tttt LKGtAtLKF ⋅=

unde:

ααα

βα ++ ++⋅= 11

1 ])1[(),( tttt LKLtKG

deci progresul tehnic este neutral, de tip Hicks.

b) Deducem ecuaţia ∫ ∫ ++

= − )(]1[),(

),('1 tc

akkdk

dktkftkf

tt

tt

t

tα primitiva

din membrul drept este o integrală binomă de tip Cebâşev, deci facem schimbarea de variabilă uk =−α1 şi după calculele elementare găsim:

1,][)(),( 1/11 ≠+⋅= −− ααα aktAtkf tt


ααα −−− +⋅= 11

11 ][)(),,( tttt aLKtAtLKF

adică de tip CES, cu PTN de tip Hicks.

Observaţie: Pentru 1=α , regăsim cazul de la a).

c) Procedând ca la punctul b1) din paragraful 1.5.2, cu observaţia că vom lua constanta de integrare c(t), deducem funcţia de producţie:

ααδγ ttttt LKtALtLKF ⋅+= −1])([),,( (1.5.2.a’)


unde δγ , - constante )1

1,1

(α

δαβγ

−=

−= , deci progresul tehnic este de tip

Solow (potenţează numai capitalul). d) Obţinem ecuaţia diferenţială (1.5.10’) şi integrând, în membrul din

stânga avem o integrală de tip Cebâşev, ca la punctul b) de mai sus şi facem schimbarea de variabilă uf =−α1 . Se continuă calculele ca mai sus.

Procedând similar, propunem rezolvarea celorlalte puncte; vom mai zăbovi asupra cazului f) care conduce la ecuaţia:

1,),(

),(' ≠

⋅= βα

β

t

tt k

tkftkf

adică:

∫ ∫ += )(),(),('

tAkdk

dktkftkf

t

tt

t

tββ α

adică:

ββα −− += 11

1 )]([),( tAktkf tt ,


βββα −−− ⋅+= 11

11 ])([),,( tttt LtAKtLKF , de tip CES, cu PTN Harrod.

Din scurta prezentare făcută în paragrafele 1.5.2 şi 1.5.3 se deduce că există o mare varietate de funcţii de producţie pe care se implantează cele trei forme de progres tehnic neîncorporat:

- de tip Hics: ),()(),,( tttt LKGtAtLKF ⋅= - de tip Solow: ),)((),,( tttt LKtAGtLKF = - de tip Harrod: ))(,(),,( tttt LtAKGtLKF = ,

oricare ar fi forma funcţiei identificată ca în 1.5.2. Trebuie însă observat că singura funcţie de producţie pentru care tipul

de progres tehnic poate fi atât de tip Hicks, de tip Solow sau de tip Harrod este funcţia Cobb-Douglas:

ββαβααβα ])([])([)(11

ttttttt LtAKLKtALKtAY ⋅=⋅=⋅= .

Efectele acţiunii celor trei tipuri de progres asupra dinamicii productivităţii muncii )(twL şi a randamentului marginal al capitalului


)(tKη sunt ilustrate în figura 10, într-o reprezentare paralelă – pentru funcţii de producţie cu factori substituibili, respectiv cu factori complementari, pentru două momente de timp t0 şi t1, t0<t1. Punctele în care sunt calculaţi indicatorii la cele două momente de timp sunt P0 şi P1.

1.5.3.3. Specificarea progresului tehnic încorporat

Modelele prezentate anterior ale PTN evidenţiază efectele acţiunii PT prin volumul agregat al factorilor Kt sau Lt. În realitate, acţiunea PT este diferită pe generaţii de factori; de exemplu, capitalul corporal din generaţii mai noi încorporează progresul tehnologic al ultimelor descoperiri în cercetarea ştiinţifică şi tehnologică, deci îşi aduce un aport mai ridicat în creşterea productivităţii faţă de acelaşi volum al capitalului din generaţii mai vechi. Similar, pentru generaţiile mai noi de forţă de muncă care aplică cunoştinţele (teoretice şi practice) cele mai recente în domeniul de specializare în care au fost formaţi, în special capacitatea de utilizare a noilor tehnologii informatizate şi o mai mare adaptabilitate la fluxul informaţional foarte dinamic al prezentului şi viitorului. Progresul tehnic încorporat capitalului. Modelul Solow al PTI

Pentru un sistem economic (firmă, ramură, economie naţională) notăm

kt

P0

P1 w1

w0

k0

ηk1

ηk0

k1

wt

kt

P0

P1 w0 = w1

k0

ηk0 = ηk1

k1

wt

kt

P0

P1 w1

w0

k0

ηk1

ηk0

wt

kt

P0

P1

w1

w0

k0 k1

wt

kt

P0

P1 w0 = w1

k0 k1

wt

kt

P0

w1

w0

k0

wt

P1

a) PNT - Hicks b) PNT - Solow c) PNT - Harrod

Figura 10


tKτ - volumul capitalului deţinut la momentul curent t şi pus în funcţiune la momentul τ şi tLτ - forţa de muncă care îşi desfăşoară activitatea pe utilaje din generaţia τ . Volumul producţiei realizate va fi cuantificat prin funcţia de producţie cu PTN de tip Solow, ),)(( ttt LKAFY τττ τ= - după metodologia de mai sus.

Volumul producţiei (outputul) creat la momentul t este suma producţiilor realizate cu capitalul fix din diverse generaţii, θθτ ],,[ tt −∈ fiind vârsta celei mai vechi generaţii de bunuri de capital deţinut de firmă (ramură, etc.). Deci în ipoteza utilizării unui model continuu în timp,

∫ ∫− −

==t

t

t

tttttt dLKAFdYY

θ θτττ τττ ),)(( (1.5.12)

şi în cazul modelului discret, Ztt ∩−∈ ],[ θτ avem:

∑∑−=−=

==t

tttt

t

ttt LKAFYY

θτττ

θττ τ ],)([ (1.5.13)

Funcţia de producţie )(⋅F poate fi oricare din formele specificate în paragrafele anterioare, dar pentru simplificarea abordării vom folosi funcţia

Cobb-Douglas cu ritmul progresului tehnic )()(

ττλ

AA&

= – constant, deci

AeA ⋅= λττ )( , A=constantă. Ţinând cont de rata deprecierii capitalului fix, volumul tKτ existent la

momentul curent din total capital pus în funcţiune la momentul τ )( ττK este:

τττδ

τ KeK tt ⋅= −− )( , unde τττ IK = - investiţiile făcute la momentul trecut τ .

În aceste condiţii, volumul outputului tYτ va fi:

βτ

ατ

τδαλ

βτ

ατ

ταλ

τ t

t

ttt LIeALKeAY ⋅⋅=⋅⋅=−−

][][)(

şi în consecinţă, volumul producţiei realizat la momentul curent este:

τα

θτ

τδαλ

β dIeLAYt

t

t

tt ][)(

∫−

−−⋅⋅⋅= (1.5.12’)

unde Lt este volumul forţei de muncă utilizat la momentul t. În consecinţă, în model nu este necesar să determinăm efectiv forţa de muncă utilizată pe diverse generaţii de capital, operaţie care practic poate fi deosebit de dificilă.

În modelul discret, abordarea este similară, dar ritmurile (progresului


tehnic respectiv deprecierii capitalului) vor fi utilizate conform modelării

discrete, de tip xxr ∆

= deci 0)1( xrx tt += . În consecinţă, progresul tehnic va

fi AA ⋅+= ττ λ)1( , A – constantă şi efectul deprecierii capitalului este

cuantificat prin ττ

τ δ IK tt

−−= )1( , deci funcţia de producţie este:

ατ

τ

ττ

ατ

β δλ ])1()1([ ILAY tt

ttt ⋅−+⋅⋅= −

−=∑ (1.5.13’)

În concluzie, modelul Solow cu progres tehnic încorporat pe generaţii de capital pune în evidenţă rolul investiţiilor ca purtătoare ale progresului tehnic precum şi influenţa deprecierii capitalului fix.

Trebuie însă observat că pe lângă progresul tehnic încorporat pe generaţii de capital, pe care în model l-am introdus prin ritmul λ , acţionează şi un progres tehnic autonom, neîncorporat, generat la momentul curent de managementul întregului sistem (organizarea producţiei, a muncii, activitatea de marketing, financiară, etc). Introducem acest PTN prin ritmul constant µ şi acţionează în modelele anterioare (1.5.12’), (1.5.13’) prin expresia A(t) în loc de A cu CetA t ⋅= µ)( respectiv Ct ⋅+ )1( µ .

Se obţine modelul Solow cu două trenduri ale PT:

τα

ττ

τδαµ

ταλ

β dIeLAYt

t

tt

tt ][)(

∫−

−−+⋅⋅⋅= (1.5.12”)

în cazul continuu, respectiv:

ατ

τα

θτ

ατ

β δµλ ])1()1()1([ / ILAY ttt

ttt

−

−=

−⋅++⋅⋅= ∑ (1.5.13”)

B. Progresul tehnic încorporat forţei de muncă. Modelul Weiszacker Se fundamentează printr-o abordare similară cu PTI capitalului, de data

aceasta pornind de la ideea că fiecare generaţie de forţă de muncă îşi aduce contribuţia în mod diferenţiat la creşterea producţiei. Fie tNτ – numărul persoanelor în activitate la momentul curent t având vechimea τ de la angajare (considerată imediat după terminarea studiilor de formare în specialitatea dorită) şi tτΨ indicele de eficienţă a unui angajat din categoria tNτ . În consecinţă, la momentul t, volumul forţei de muncă va fi:

∫−

Ψ=t

tttt

L

dNLθ

ττ τ , respectiv ∑−=

Ψ=t

tttt

L

NLθτ

ττ (1.5.14)


Există mai multe metode de cuantificare a indicelui tτΨ (metode statistice, metoda punctajului ş.a.), dar Weiszacker propune specificarea acestor indici în funcţie de nivelul de calificare exprimat în ani de studii tnτ (cuprinzând inclusiv durata studiilor suplimentare de perfecţionare), de gradul de depreciere a cunoştinţelor o dată cu trecerea timpului, faţă de momentul formării şi de experienţa căpătată prin muncă şi în formarea permanentă („learning by doing”- după Arrow). În aceste condiţii putem scrie

)()( tt gtB ττ η⋅=Ψ cu 0)(<

−∂∂τt

g – prin care se reflectă gradul de depreciere şi

BetB tγ=)( sau BtB t)1()( γ+= sau după cum abordarea se face în timp continuu respectiv discret.

Combinând aceste rezultate cu modelele de la punctul A) deducem modelul (continuu sau discret) cu trei trenduri ale progresului tehnic:

β

θττ

θ

ατ

τδταλ

γµ ττ

⋅

⋅⋅⋅= ∫∫

−−

−−+t

ttt

t

t

ttt

LK

dngNdIeeBY )()()()( (1.5.14’)

respectiv: β

θτττ

α

θττ

τατ

δλγµ

⋅⋅

⋅−⋅+⋅++⋅= ∑∑

−=−=

−

LK ttt

t

t

ttt ngNIBY )()1()1()]1)(1[( (1.5.14”)

unde B – constantă, Kθ - vârsta celei mai vechi generaţii de bunuri de capital,

Lθ - vârsta celei mai vechi generaţii de forţă de muncă.

C. Progresul tehnic încorporat prin calitatea factorilor (Denison - Nelson)

Funcţia de producţie este specificată prin:

),()( tttt LKFtAY ⋅= (1.5.15)

unde tt LK , este volumul potenţial al capitalului, respectiv al forţei de muncă. Denison face ipoteza că variaţia volumului potenţial al capitalului are

loc sub influenţa a trei factori, deci:

)1( aKK

KK

Kt

t

t

t ∆−+∆

=∆

λ (1.5.16)

unde primul termen reprezintă ritmul de creştere al capitalului Kt; al doilea conţine prima componentă Kλ - reprezentând ritmul progresului tehnic


încorporat capitalului şi a doua aK ∆⋅− λ – care reflectă efectul modificării structurii capitalului şi a duratei medii de funcţionare, a∆ (reducerea duratei medii de amortizare).

Similar, pentru forţa de muncă, Nelson porneşte de la constatarea că variaţia potenţialului de muncă este:

Lt

t

t

t

LL

LL

λ+∆

=∆

(1.5.17)

- primul termen reprezentând factorul cantitativ, prin ritmul creşterii volumului fizic de muncă;

- al doilea este factorul calitativ, reflectând ritmul progresului tehnic încorporat forţei de muncă prin creşterea nivelului de pregătire în specialitate, prin experienţa în muncă şi informatizarea activităţilor desfăşurate.

În concluzie, ritmul de creştere a producţiei va fi (conform 1.5.8):

t

tL

t

tK

t

t

LL

EKK

ETYY ∆

⋅+∆⋅+=

∆ (1.5.8’)

unde ritmul progresului tehnic este:

LK atAtAT λλ +∆−+

∆= )1(

)()( (1.5.16’)

în care )()(

tAtA∆ - este ritmul progresului tehnic autonom.

Această scurtă prezentare a modalităţilor de specificare a progresului tehnic are, în opinia noastră, obiectivul de a deschide pentru cititor căile de dezvoltare mai aprofundată asupra acestei problematici deosebit de complexă, dar şi foarte importantă.

functii de productie

Documents

Transcript of functii de productie